MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ

Trng THCS Nguyn Cụng Tr
Chuyờn mch cu.
Giỏo viờn:H DUY CHUNG 0979 824 428
MT S PHNG PHP GII BI TON MCH CU IN TR
1. kháI quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng
và mạch cầu không cân bằng.

Mch cu l mch dựng ph bin trong cỏc phộp o chớnh xỏc phũng thớ nghim in.
Mch cu c v nh (H - 0.a) v (H - 0.b)



Cỏc
in tr R1, R2, R3, R4 gi l cỏc cnh ca mch
cu in tr R5 cú vai trũ khỏc bit gi l ng chộo ca mch cu (ngi ta khụng tớnh thờm
ng chộo ni gia A B. Vỡ nu cú thỡ ta coi ng chộo ú mc song song vi mch cu).

Mạch cầu có thể phân thành hai loại
Mch cu cõn bng (Dựng trong phộp o lng in). I5 = 0 ; U5 = 0
Mch cu khụng cõn bng: Trong ú mch cu khụng cõn bng c phõn lm 2 loi:


Loi cú mt trong 5 in tr bng khụng (vớ d mt trong 5 in tr ú b ni tt, hoc thay vo ú
l mt ampe k cú in tr ng khụng ). Khi gp loi bi tp ny ta cú th chuyn mch v dng
quen thuc, ri ỏp dng nh lut ụm gii.



Loi mch cn tng quỏt khụng cõn bng cú c 5 in tr, thỡ khụng th gii c nu ta ch ỏp
dng nh lut ễm, loi bi tp ny c gii bng phng phỏp c bit ( Trỡnh by mc 2.3)

Vậy điều kiện cân bằng là gì ?
Cho mch cu in tr nh (H1.1)
Nu qua R5 cú dũng I5 = 0 v U5 = 0 thỡ cỏc in tr nhỏnh lp
thnh t l thc :

R1 R 2
=
= n = const
R3 R 4

Ngc li nu cú t l thc trờn thỡ I5 = 0 v U5 = 0, ta cú mch cu cõn bng.


Tóm lại: Cn ghi nh

Nu mch cu in tr cú dũng I5 = 0 v U5 = 0 thỡ bn in tr nhỏnh ca mch cu lp thnh t l
thc:

R1 R 2
=
= n (n l hng s) (*)
R3 R4

(Vi bt k giỏ tr no ca R5.).

Khi ú nu bit ba trong bn in tr nhỏnh ta s xỏc nh c in tr cũn li.
Ngc li: Nu cỏc in tr nhỏnh ca mch cu lp thnh t l thc tờn, ta cú mch cu cõn bng
v do ú I5 = 0 v U5 = 0
Khi mch cu cõn bng thỡ in tr tng ng ca mch luụn c xỏc nh v khụng ph thuc
vo giỏ tr ca in tr R5 . ng thi cỏc i lng hiu in th v khụng ph thuc vo in tr

1


Trng THCS Nguyn Cụng Tr
Chuyờn mch cu.

Giỏo viờn:H DUY CHUNG 0979 824 428

R5. Lỳc ú cú th coi mch in khụng cú in tr R 5 v bi toỏn c gii bỡnh thng theo nh
lut ễm.
Biu thc (*) chớnh l iu kin mch cu cõn bng.
2. phơng pháp tính điện trở tơng đơng của mạch cầu.

Tớnh in tr tng ng ca mt mch in l mt vic lm c bn v rt quan trng, cho dự u
bi cú yờu cu hay khụng yờu cu, thỡ trong quỏ trỡnh gii cỏc bi tp in ta vn thng phi tin
hnh cụng vic ny.


Vi cỏc mch in thụng thng, thỡ u cú th tớnh in tr tng ng bng mt trong
hai cỏch sau.

Nu bit trc cỏc giỏ tr in tr trong mch v phõn tớch c s mch in (thnh cỏc on
mc ni tip, cỏc on mc song song) thỡ ỏp dng cụng thc tớnh in tr ca cỏc on mc ni tip
hay cỏc on mc song song.
Nu cha bit ht cỏc giỏ tr ca in tr trong mch, nhng bit c Hiu in th 2 u on
mch v cng dũng in qua on mch ú, thỡ cú th tớnh in tr tng ng ca mch bng
cụng thc nh lut ễm.
Tuy nhiờn vi cỏc mch in phc tp nh mch cu, thỡ vic phõn tớch on mch ny v dng cỏc
on mch mi ni tip v song song l khụng th c. iu ú cng cú ngha l khụng th tớnh

in tr tng ng ca mch cu bng cỏch ỏp dng, cỏc cụng thc tớnh in tr ca on mch
mc ni tip hay on mch mc song song. Vy ta phi tớnh in tr tng ng ca mch cu
bng cỏch no?


Vi mch cu cõn bng thỡ ta b qua in tr R5 tớnh in tr tng ng ca mch cu.



Vi loi mch cu cú mt trong 5 in tr bng 0, ta luụn a c v dng mch in cú cỏc
on mc ni tip, mc song song gii.



Loi mch cu tng quỏt khụng cõn bng thỡ in tr tng ng c tớnh bng cỏc phng
phỏp sau.

Phơng án chuyển mạch.
Thc cht l chuyn mch cu tng quỏt v mch in tng ng (in tr tng ng ca mch
khụng thay i). M vi mch in mi ny ta cú th ỏp dng cỏc cụng thc tớnh in tr ca on
mch ni tip, on mch song song tớnh in tr tng ng.
Mun s dng phng phỏp ny trc ht ta phi nm c cụng thc chuyn mch (chuyn t
mch sao thnh mch tam giỏc v ngc li t mch tam giỏc thnh mch sao). Cụng thc chuyn
mch - nh lý Kennli.

Cho hai s mch in, mi mch in c to thnh t ba in tr .
H2.1a mch tam giỏc ()

;

(

H2.1b - Mch sao (Y) )

2


Trường THCS Nguyễn Công Trứ
Chuyên đề mạch cầu.

Giáo viên:HÀ DUY CHUNG 0979 824 428

 Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi đó hai mạch
tương đương nhau. Công thức tính điện trở của mạch này theo mạch kia khi chúng tương đương
nhau như sau:

 Biến đổi từ mạch tam giác R1, R2, R3 thành mạch sao R’1, R’2, R’3
R 2 .R 3
R1 + R 2 + R 3
R 1.R 2
R 3' =
R1 + R 2 + R 3
R 1' =

(1)

R '2 =

;

R1.R 3
R1 + R 2 + R 3

(2)

( Ở đây R’1, R’2, R’3 lần lượt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3 )

(3)

 Biến đổi từ mạch sao R’1, R’2, R’3 thành mạch tam giác R1, R2, R3
R1 =

R1' .R '2 + R '2 .R 3' + R1' .R 3'
R 1'

(4)

R2 =

R1' .R '2 + R '2 .R 3' + R1' .R 3'
R '2

(5)

R3 =

R 1' .R '2 + R '2 .R 3' + R 1' .R '3
R 3'

(6)

− Áp dụng vào bài toán tính điện trở tương đương
của mạch cầu ta có hai cách chuyển mạch như sau:

C¸ch 1:

Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch tam giác R 1, R3, R5 thành mạch sao :R’1; R’3; R’5 (H2.2a)
Trong đó các điện trở R13, R15, R35 được xác định theo công thức: (1); (2) và (3) từ sơ đồ mạch điện
mới (H2.2a) ta có thể áp dụng công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song
song để tính điện trở tương đương của mạch AB, kết quả là:
R AB

(R 3' + R 2 )(R1' + R 4 )
=R + '
(R 3 + R 2 ) + (R 1' + R 4 )
'
5

C¸ch 2:
Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch sao R1, R2 , R5
thành mạch tam giác R’1, R’2 , R’5 (H2.2b ). Trong đó các điện trở R’ 1, R’2, R’3 được xác định theo công
thức (4), (5) và(6). Từ sơ đồ mạch điện mới (H 2.2b) áp dụng công thức tính điện trở tương đương ta
R 3 .R '2
R '1 .R 4
+
)
R 3 + R '2 R 1 + R ' 4
=
R .R '
R '1 .R 4

R '5 + ( 3 2 +
)
R 3 + R '2 R 1 + R ' 4
R '5 (

cũng được kết quả: R AB

3


Trng THCS Nguyn Cụng Tr
Chuyờn mch cu.

Giỏo viờn:H DUY CHUNG 0979 824 428

Phơng pháp dùng định luật Ôm.
T biu thc: I =

U
R

suy ra R =

U
I

(*)

Trong ú: U l hiu in th hai u on mch.
I l cng dũng in qua mch chớnh.

Vy theo cụng thc (*) nu mun tớnh in tr tng ng (R) ca mch thỡ trc ht ta phi tớnh
I theo U, ri sau ú thay vo cụng thc (*) s c kt qu.
( Cú nhiu phng phỏp tớnh I theo U s c trỡnh by chi tit mc sau ).
Xột vớ d c th:
Cho mch in nh hỡnh H . 2.3a.
Bit R1 = R3 = R5 = 3 , R2 = 2 ; R4 = 5
a. Tớnh in tr tng ng ca on mch AB.
b. t vo hai u on AB mt hiu in th khụng
i U = 3 (V). Hóy tớnh cng dũng in qua
cỏc in tr v hiu in th hai u mi in tr.

Phơng pháp 1: Chuyn mch.
Cách 1: Chuyn mch tam giỏc R1; R3 ; R5 thnh
mch sao R1 ; R3 ; R5 (H2.3b) Ta cú:
R1. .R 3
3.3
=
= 1()
R1 + R 2 + R 3 3 + 3 + 3
R 1.R 5
R 3' =
= 1()
R1 + R 3 + R 5
R 3 .R 5
R 1' =
= 1()
R1 + R 3 + R 5
R 5' =

Suy ra in tr tng ng ca on mch AB l :

R AB

(R 3' + R 2 )(R 1' + R 4 )
(1 + 2)(1 + 5)
=R + '
= 1+
= 3
'
(R 1 + R 2 ) + (R 1 + R 4 )
(1 + 2) + (1 + 5)
'
5

Cách 2: Chuyn mch sao R1; R2; R5 thnh mch tam giỏc
R1.R 2 + R 2 .R 5 + R1.R 5 3.2 + 2.3 + 3.3
=
= 7
R1
3
R .R + R 2 .R 5 +R1.R 5
R '2 = 1
= 10,5()
;
R2

R 1' ; R 2' ; R 3' (H2.3c). Ta cú:

R 1' =

R 5' =

R 1.R + R 2 .R 5 + R 1.R 5
= 7()
R5

R '2 .R3
R 1' .R 4
+
)
R '2 + R 3 R 1' + R 4
=
= 3( )
R '2 .R 3
R1' .R 4
'
R5 + '
+
R 2 + R 3 R 1' + R 4
R 5' (

Suy ra: R AB

4


Trường THCS Nguyễn Công Trứ
Chuyên đề mạch cầu.

Giáo viên:HÀ DUY CHUNG 0979 824 428

Ph¬ng ph¸p 2: Dùng công thức định luật Ôm.
Từ công thức: I AB =

U AB
U
⇒ R = AB
R AB
IAB

( *)

− Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB ; I là cường độ dòng điện qua đoạn mạch AB
Biểu diễn I theo U
Đặt I1 là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều như hình vẽ (H2.3d)
Ta lần lượt có:
U1 = R1I1 = 3 I1
I2 =

(1)

U 2 U − 3I1
=
R2
2

U 5 = I.R 5 =

15I1 − 3U
2

;

U 2 = U – U 1 = U – 3 I1
5I1 − U
2

(3)

;

I5 = I1 − I2 =

(5)

;

U3 = U1 + U 5 =

;

U4 = U − U3 =

I3 =

U 21I1 − 3U
=
R3
6

(7)

I4 =

U 4 5U − 21.I1
=
R4
10

(9)

Tại nút D, ta có: I4 = I3 + I5 ⇔

(2)
(4)

21I1 − 3U
2

(6)

5U − 21I1
2

5U − 21.I1
21I1 − 3U 5I1 − U
=
+
10
6
2

(8)

( 10 )

⇒ I1 =

5U
27

(11)

4
U
Thay (11) vào (7) ta được: I3 = 27

Suy ra cường độ dòng điện mạch chính. I = I1 + I3 =

5U 4U 1
+
= U
27 27 3

( 12 )

Thay (12) vào (*) ta được kết quả: RAB = 3 (Ω)
5
9

b. Thay U = 3 V vào phương trình (11) ta được: I1 = (A)

Thay U = 3(V) và I1 =
2
I 2 = (A)
3

I3 =

U1 = U 4 =

5
(A) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả:
9

4
(A)
9

5
( V)
3

1
I 4 = (A)
3
U 2 = U3 =

I5 =

4
( V)

3

−1
−1
(A) ( I5 =
có chiều từ C đến D)
9
9
U5 = U X =

1
( V) ;
3

 Lu ý
 Cả hai phương trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tương đương của bất kỳ mạch
cầu điện trở nào. Mỗi phương trình giải đều có những ưu điểm và nhược điểm của nó. Tuỳ từng bài
tập cụ thể ta lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý.
 Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tương đương của mạch cầu (chỉ câu hỏi a) thì áp dụng
phương pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn.

5


Trng THCS Nguyn Cụng Tr
Chuyờn mch cu.
Giỏo viờn:H DUY CHUNG 0979 824 428
Nu bi toỏn yờu cu tớnh c cỏc giỏ tr dũng in v hiu in th (hi thờm cõu b) thỡ ỏp dng
phung phỏp th hai gii bi toỏn, bao gi cng ngn gn, d hiu v lụ gic hn.
Trong phng phỏp th 2, vic biu din I theo U liờn quan trc tip n vic tớnh toỏn cỏc i

lng cng dũng in v hiu in th trong mch cu. õy l mt bi toỏn khụng h n gin
m ta rt hay gp trong khi gii cỏc thi hc sinh gii, thi tuyn sinh. Vy cú nhng phng phỏp
no gii bi toỏn tớnh cng dũng in v hiu in th trong mch cu thỡ chỳng ta tỡm hiu
mc d õy.
3. phơng pháp giảI toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế
trong mạch cầu

Vi mch cu cõn bng hoc mch cu khụng cõn bng m cú 1 trong 5 in tr bng 0 (hoc
ln vụ cựng) thỡ u cú th chuyn mch cu ú v mch in quen thuc (gm cỏc on mc
ni tip v mc song song). Khi ú ta ỏp dng nh lut ễm gii bi toỏn ny mt cỏch n
gin.
Vớ d: Cho cỏc s cỏc mch in nh hỡnh v: (H.3.1a); (H. 3.1b); (H3.1c); (H3.1d) bit cỏc vụn k
v cỏc am pe k l lý tng.

Ta cú th chuyn cỏc s mch in trờn thnh cỏc s mch in tng ng, tng ng vi cỏc
hỡnh H.3.1a; H.3.1b; H.3.1c; H.3.1d.

T cỏc s mch in mi, ta cú th ỏp dng nh lut ễm tỡm cỏc i lng m bi toỏn yờu
cu:
Lu ý.
Cỏc bi loi ny cú nhiu ti liu ó trỡnh by, nờn trong ti ny khụng i sõu vo vic
phõn tớch cỏc bi toỏn ú tuy nhiờn trc khi ging dy bi toỏn v mch cu tng quỏt, nờn
rốn cho hc sinh k nng gii cỏc bi tp loi ny tht thnh tho.
Vi mch cu tng quỏt khụng cõn bng cú c 5 in tr, ta khụng th a v dng mch
in gm cỏc on mc ni tip v mc song song. Do ú cỏc bi tp loi ny phi cú phng
phỏp gii c bit - Sau õy l mt s phng phỏp gii c th:

Bài toán 3:

Cho mch in h hỡnh v (H3.2a) Bit U = 45V

R1 = 20, R2 = 24 ; R3 = 50 ; R4 = 45 R5 l mt bin tr
1. Tớnh cng dũng in v hiu in th ca mi in tr
v tớnh in tr tng ng ca mch khi R5 = 30
2. Khi R5 thay i trong khong t 0 n vụ cựng, thỡ in

6


Trường THCS Nguyễn Công Trứ
Chuyên đề mạch cầu.

Giáo viên:HÀ DUY CHUNG 0979 824 428

trở tương đương của mạch điện thay đổi như thế nào?
1. Tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở và tính điện trở tương đương của
mạch khi R5 = 30Ω

Ph¬ng ph¸p 1: Lập hệ phương trình có ẩn số là dòng điện (Chẳng hạn chọn I1 làm ẩn số)
Bíc 1: Chọn chiều dòng điện trên sơ đồ
Bíc 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đạilượng cònl lại theo ẩn số (I 1) đã
chọn (ta được các phương trình với ẩn số I1).

Bíc 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng của đầu bài yêu cầu.
Bíc 4: Từ các kết quả vừa tìm được, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở bước 1
 Nếu tìm được I > 0, giữ nguyên chiều đã chọn.
 Nếu tìm được I < 0, đảo ngược chiều đã chọn.

Lêi gi¶i :
− Giả sử dòng điện mạch có chiều như hình vẽ H3.2b
− Chọn I1 làm ẩn số ta lần lượt có:

U1 = R1 . I1 = 20I1
U 2 45 − 20I1
=
R2
24
20I1 − 225
U 5 = R 5 .I5 =
4
U 12I1 − 9
I3 = 3 =
R3
8
U
27 − 20I1
I4 = 4 =
R4
12
I2 =

(1)

;

( 3)

;

(5)

;

( 7)

;

U2 = U – U1 = 45 – 20I1
44I1 − 45
24
300I1 − 225
U3 = U1 + U5 =
4
405 − 300 I1
U4 = U − U3 =
4
I5 = I1 − I =

(2)
(4)

( 6)
(8)

(9)

− Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5

⇔

27 − 20I1 12I1 − 9 44I1 − 48
=

+
12
8
24

(10)

Suy ra I1= 1,05 (A)
− Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta được các kết quả:
I1 = 1(A)

;

I3 = 0,45 (A)

;

I4 = 0,5 (A)

;

I5 = 0,05 (A)

Vậy chiều dòng điện đã chọn là đúng.
Hiệu điện thế : U1 = 21(V)
U3 = 22,5 (V)

U2 = 24 (V)
UBND = 22,5 (V)

 Điện trở tương đương R AB =

U5 = 1,5 (V)

U
U
45
=
=
= 30Ω
I
I1 + I3 1, 05 + 0, 45

Ph¬ng ph¸p 2: Lập hệ phương trình có ẩn số là hiệu điện thế các bước tiến hành giống như phương
pháp 1. Nhưng chọn ẩn số là Hiệu điện thế. Áp dụng (Giải cụ thể)
− Chọn chiều dòng điện trong mạch như hình vẽ H3.2b
− Chọn U1 làm ẩn số ta lần lượt có:

7


Trường THCS Nguyễn Công Trứ
Chuyên đề mạch cầu.
U
U
I1 = 1 = 1
R1 20
I2 =

U 2 45 − U1

=
R2
24

U 5 = I5 .R 5 =

11U1 − 225
4

U 4 = U − U3 =
I4 =

405 − 300U1
4

U 4 27 − U1
=
R4
12

Giáo viên:HÀ DUY CHUNG 0979 824 428

(1)

U2 = U – U1 = 45 – U1

(3)

I5 = I1 − I 2 =

(5)

U 3 = U1 + U5 =

(7)

I3 =

11I1 − U1
120

(2)
(4)

15U1 − 225
4

U 3 3U1 − 45
=
R3
40

(6)
(8)

(9)

− Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5

⇔

27 − U1 3U1 − 45 11U1 − 225
=
+
12
40
120

(10)

Suy ra: U 1 = 21 (V)
Thay U1 = 21 (V) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả giống hệt phương pháp 1

Ph¬ng ph¸p 3: Chọn gốc điện thế.
Bíc 1: Chọn chiều dòng điện trong mạch
Bíc 2: Lập phương trình về cường độ tại các nút (Nút C và D)
Bíc 3: Dùng định luật ôm, biến đổi các phương trình về VC, VD theo VA, VB
Bíc 4: Chọn VB = 0 ⇒ VA = UAB
Bíc 5: Giải hệ phương trình để tìm VC, VDtheo VA rồi suy ra U1, U2, U3, U4, U5
Bíc 6: Tính các đại lượng dòng điện rồi so sánh với chiều dòng điện đã chọn ở bước 1. Áp dụng
− Giả sử dòng điện có chiều như hình vẽ H3.2b
− Áp dụng định luật về nút ở C và D, ta có:

 I1 = I2 + I5

 I 4 = I 3 + I5

(1)
(2)

 VA − VC VC − VD VC − VD
=
+

R2
R5
 R1
- Áp dụng định luật Ôm, ta có: 
 VD − VB = VA − VD + VC − VD

R3
R5
 R4
− Chọn VD = 0 thì VA = UAB = 45 (V).

 45 − VC VC VC − VD
 20 = 24 + 30
 Hệ phương trình thành: 
 VD = 45 − VD + V C − VD
 45
50
30
− Giải hệ 2 phương trình (3) và (4) ta được:

VC = 24(V);

( 3)
( 4)
VD = 22,5(V)

8


Trường THCS Nguyễn Công Trứ
Chuyên đề mạch cầu.
Suy ra:
U2 = VC – VB = 24 (V)
U1 = U – U2 = 21 (V)

Giáo viên:HÀ DUY CHUNG 0979 824 428
U4 = VD – VB = 22,5 (V)

U3 = U – UBND = 22,5V

U5 = VC – VD = 1,5 (V)

Từ các kết quả vừa tìm được ta dễ ràng tính được các giá trị cường độ dòng điện
(như Ph¬ng ph¸p 1).

Ph¬ng ph¸p 4:
Chuyển mạch sao thành mạch tam giác ( Hoặc mạch tam giác thành mạch sao ).
− Chẳng h ạn chuyển mạch tam giác R1 , R3 , R5 thành mạch sao R’1 , R’3 , R’5 ta được sơ đồ mạch
điện tương đương H3.2c (Lúc đó các giá trị RAB, I1, I4, I, U2, U4,UCD vẫn không đổi)
− Các bước tiến hành giải như sau:

Bíc 1:
Bíc 2:
Bíc 3:
Bíc 4:
Bíc 5:

Vẽ sơ đồ mạch điện mới.
Tính các giá trị điện trở mới (sao R’1 , R’3 , R’5)
Tính điện trở tương đương của mạch
Tính cường độ dòng điện mạch chính (I)
Tính I2, I4 rồi suy ra các giá trị U2, U4.
R +R

1
4
Ta có: I 2 = I. R + R + R ' + R
1
4
3
3

Và:

I 4 = I – I2

Bíc 6: Trở lại mạch điện ban đầu để tính các đại lượng còn lại.
¸p dông:
− Từ sơ đồ mạch điện (H - 3.2C) ta có
R '1 =

R 3 .R 5
50.30
=
= 15(Ω)
R1 + R 3 + R 5 20 + 50 + 30

R '3 =

R 1.R 5
20.30
=
= 6(Ω)
R1 + R 3 + R 5 20 + 50 + 30

R '5 =

R1.R 3
20.50
=
= 10(Ω)
R 1 + R 3 + R 5 20 + 50 + 30

− Điện trở tương đương của mạch: R AB = R +

(R 3' + R '2 ).(R1' + R '4 )

'

5

(R 3' + R '2 ) + (R 1' + R '4 )
U

− Cường độ dòng điện trong mạch chính: I = R
Suy ra: I 2 = I

AB

=

= 30(Ω)

45
= 1,5(A)
30

(R 1' + R 4 )
= 1(A) ⇔ I4 = I – I2 = 1,5 – 1 = 0,5 (A)
(R 1' + R 4 ) + (R 3' + R 2 )

U2 = I2.R2 = 24 (V)

U4 = I4.R4 = 22,5 (V)

− Trở lại sơ đồ mạch điện ban đầu (H - 3.2 b) ta có kết quả:
Hiệu điện thế: U1 = U – U2 = 21 (V) ; U3 = U – U4 = = 22,5(V) ; U5 = U3 – U1 = 1,5(V)

9


Trng THCS Nguyn Cụng Tr
Chuyờn mch cu.

Giỏo viờn:H DUY CHUNG 0979 824 428

U
U1
= 1, 05(A) ; I3 = 3 = 0, 45(A) ; I5 = I1 I3 = 0,05 (A)
V cỏc giỏ tr dũng in I1 =
R1
R3

Phơng pháp 5: p dng nh lut Kic Sp ( chng trỡnh lớ 11 v cao hn)


Do cỏc khỏi nim: Sut in ng ca ngun, in tr trong ca ngun, hay cỏc bi tp v mch
in cú mc nhiu ngun, hc sinh lp 9 cha c hc. Nờn vic ging day cho cỏc em hiu
y v nh lut Kic sp l khụng th c. Tuy nhiờn ta vn cú th hng dn hc sinh lp
9 ỏp dng nh lut ny gii bi tp mch cu da vo cỏch phỏt biu sau:

Định luật về nút mạng.
T cụng thc: I = I1+ I2+ +In(i vi mch mc song song), ta cú th phỏt biu tng quỏt: mi
nỳt, tng cỏc dũng in i n im nỳt bng tng cỏc dũng in i ra khi nỳt

Trong mỗi mạch vòng.
Cụng thc: U = U1+ U2+ + Un (i vi cỏc in tr mc ni tip) c hiu l ỳng khụng nhng
i vi cỏc in tr mc ni tip m cú th m rng ra: Hiu in th U AB gia hai im A v B bng
tng i s tt c cỏc hiu in th U 1, U2, ca cỏc on k tip nhau tớnh t A n B theo bt k
ng i no t A n B trong mch in
Vy cú th núi: Hiu in th trong mi mch vũng (mt mng) bng tng i s gim th trờn
mch vũng ú
Trong ú gim th: UK = IK.RK ( vi K = 1, 2, 3, )
Chú ý:

Dũng in IK mang du (+) nu cựng chiu i trờn mch

Dũng in IK mang du () nu ngc chiu i trờn mch.

Các bớc tiến hành giải.

Bớc 1: Chn chiu dũng in i trong mch
Bớc 2: Vit tt c cỏc phng trỡnh cho cỏc nỳt mng
V tt c cỏc phng trỡnh cho cỏc mt mng.

Bớc 3: Gii h cỏc phng trỡnh va lp tỡm cỏc i lng dũng in v hiu in th trong mch.
Bớc 4: Bin lun kt qu. Nu dũng in tỡm c l:
IK > 0: ta gi nguyờn chiu ó chn.
IK < 0: ta o chiu ó chn.

áp dụng:

Chn chiu dũng in i trong mch nh hỡnh v H3.2b.

I1 = I 2 + I5
Ti nỳt C v D ta cú:
I 4 = I3 + I5

( 1)
( 2)

Phng trỡnh cho cỏc mch vũng:

10


Trường THCS Nguyễn Công Trứ

Chuyên đề mạch cầu.
Giáo viên:HÀ DUY CHUNG 0979 824 428
 Mạch vòng ACBA: U = I1.R1 + I2.R2
(3)
 Mạch vòng ACDA:

I1.R1 + I5.R5 – I3.R3 = 0

(4)

 Mạch vòng BCDB:

I4.R4 + I5.R5 – I2.R2 = 0

(5)

− Thay các giá trị điện trở và hiệu điện thế vào các phương trình trên rồi rút gọn, ta được hệ phương

 I1 = I 2 + I5

 I 4 = I3 + I5

trình:  20I1 + 24I 2 = 45
2I + 3I = 5I
5
3
 1
45I 4 + 30I5 = 24I 2

( 1’)

( 2’)
( 3’)
( 4’)
( 5’)

− Giải hệ 5 phương trình trên ta tìm được 5 giá trị dòng điện:
I1 = 1,05(A); I2 = 1(A); I3 = 0,45(A); I4 = 0,5(A) và I5 = 0,05(A)
− Các kết quả dòng điện đều dương do đó chiều dòng điện đã chọn là đúng.
− Từ các kết quả trên ta dễ dàng tìm được các giá trị hiệu điện thế U1, U2, U3, U4, U5 và RAB (Giống
như các kết quả đã tìm ra ở phương pháp 1)
2. Sự phụ thuộc của điện trở tương đương vào R5

 Khi R5 = 0, mạch cầu có điện trở là:
R TÐ = R o =

R1.R 3
R .R
20.50
24.45
+ 2 4 =
+
≈ 29,93(Ω)
R 1 + R 3 R 2 + R 4 20 + 50 24 + 45

 Khi R5 = ∞, mạch cầu có điện trở là:
R TÐ = R ∞ =

(R 1 + R 2 ).(R 3 + R 4 )
(20 + 24).(50 = 45)
=

≈ 30, 07(Ω)
(R1 + R 2 ) + (R 3 + R 4 ) (20 + 24) + (50 + 45)

− Vậy khi R5 nằm trong khoảng (0, ∞) thì điện trở tương đương nằm trong khoảng (Ro, R∞)
− Nếu mạch cầu cân bằng thì với mọi giá trị R5 đều có RTĐ = R0 = R∞
 NhËn xÐt chung.
− Trên đây là 5 phương pháp để giải bài toán mạch cầu tổng quát. Mỗi bài tập về mạch cầu đều có thể
sử dụng một trong 5 phương pháp này để giải. Tuy nhiên với học sinh lớp 9 nên sử dụng phương
pháp lập hệ phương trình với ẩn số là dòng điện (Hoặc ẩn số là hiệu điện thế), thì lời giải bao
giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lôgíc hơn.
− Để cho học sinh có thể hiểu sâu sắc các tính chất của mạch cầu điện trở, cũng như việc rèn luyện kỹ
năng giải các bài tập điện một chiều, thì nhất thiết giáo viên phải hướng dẫn các em hiểu và vận
dụng tốt cả 5 phương phương pháp trên. Các phương pháp đó không chỉ phục vụ cho việc ôn thi
học sinh giỏi vật lý lớp 9 mà cả chương trình Vật Lý lớp 11 và ôn thi Đại học cũng gặp rất nhiều
bài tập phải áp dụng các phương pháp này mơí giải được.

11


Trng THCS Nguyn Cụng Tr
Chuyờn mch cu.

Giỏo viờn:H DUY CHUNG 0979 824 428

4. bài toán cầu dây

Mch cu dõy l mch in cú dng nh hỡnh v H4.1. Trong ú
hai in tr R3 v R4 cú giỏ tr thay i khi con chy C dch
chuyn dc theo chiu di ca bin tr
(R3 = RAC; R4 = RCB). Mch cu dõy c ng dng o

in tr ca 1 vt dn.

cỏc bi tp v mch cu dõy rt a dng; phc tp v ph bin
trong chng trỡnh Vt lý nõng cao lp 9 v lp 11.Vy s dng mch cu dõy o in tr
nh th no? V phng phỏp gii bi tp v mch cu dõy nh th no?

Phơng pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch dây cầu
Bài toán 4:
o giỏ tr ca in tr Rx ngi ta dựng mt in tr mu Ro,
mt bin tr ACB cú in tr phõn b u theo chiu di, v mt
in k nhy G, mc vo mch nh hỡnh v H 4.2. Di chuyn con
chy C ca bin tr n khi in k G ch s 0 o l 1 ; l2 ta c kt
qu: R X = R 0 .

Lời giải.

l2
hóy gii thớch phộp o ny ?
l1

Trờn s mch in, con chy C chia bin tr (AB) thnh hai
phn.

on AC cú chiu di l1, in tr l R1
on CB cú chiu di l2, in tr l R2
in k cho bit khi no cú dũng in chy qua on dõy CD.

Nu in k ch s 0, thỡ mch cu cõn bng, khi ú in th im C bng in th im D.
Do ú: VA VD = VA VC
Hay UAn = UAC R0I0 = R4 I1

Ta c:

R 0 I1
=
R1 I0

(1)

(Vi I0, I1 ln lt l dũng in qua R0 v R4)
R

I

X
1
Tng t: U AB = U BC R X .I 0 = R 2 .I 2 R = I
2
0

R

R

R .R 2

0
0
X
T (1) v (2) ta c: R = R R X = R
1

2
1

( 2)
(3)

Vỡ on dõy AB l ng cht, cú tit din u nờn in tr tng phn c tớnh theo cụng thc.

12


Trng THCS Nguyn Cụng Tr
Chuyờn mch cu.
l
R 1 = 1 v
S



Giỏo viờn:H DUY CHUNG 0979 824 428

l
R
l
R2 = 2 2 = 2
S
R1 l1

( 4 ) Thay (4) vo (3) ta c kt qu:

R X = R 0.

l2
l1

Chú ý.

o in tr ca vt dn bng phng phỏp trờn cho kt qu cú chớnh xỏc rt cao v n gin
nờn c ng dng rng rói trong phũng thớ nghim

Các bài toán thờng gặp về mạch dây cầu.
Bài toán 5
Cho mch in nh hỡnh v H4.3. in tr ca am pe k v
dõy ni khụng ỏng k, in tr ton phn ca bin tr .
a. Tỡm v trớ uc con chy C khi bit s ch ca ampek (IA) ?
b. Bit v trớ con chy C, tỡm s ch ca ampe k ?

Phơng pháp

Cỏc in tr trong mch in dc mc nh sau: (R1//RAC) nt (R2 // RCB)
a. t x = RAC (0< x< R)


Trng hp 1: Nu bi toỏn cho bit s ch ca ampe k IA = 0

Thỡ mch cu cõn bng, lỳc ú ta cú iu kin cõn bng.

R1
R2
=

X RX

( 1)

Gii phng trỡnh (1) ta s tỡm c: RAC = x
Trng hp 2: Am pe k ch giỏ tr IA 0
Vit phng trỡnh dũng in cho hai nỳt C v D. Ri ỏp dng nh lut ụm chuyn hai phng trỡnh
ú v dng cú n súo l U1 v x.

Nỳt C cho bit: IA = ICB I X =

U UX UX
U U1 U1

IA =

R X
X
R X X

Nỳt D cho bit: IA = I1 I2 I A =

U1 U U1

R1
R2

( 2)

( 3)

(Trong ú cỏc giỏ tr U, Ia, R, R1, R2 u bi cho trc )

Xột chiu dũng in qua ampe k (nu u bi khụng cho trc), gii phng trỡnh (3) tỡm giỏ
tr U1, ri thay vo phng trỡnh (2) tỡm x.

T giỏ tr ca x ta tỡm c v trớ tng ng con chy C.
b. Vỡ u bi cho bit v trớ con chy C, nờn ta xỏc nh c in tr R AC v RCB.
Mch in: (R// RAC ) nt (R2 //RCB)
p dng nh lut ụm ta d dng tỡm c I1v I2. Suy ra s ch ca Ampe k: IA = I1 - I2

Bài tập áp dụng.
Cho mch in nh hỡnh v H4.4. Bit U = 7V khụng i.R1 = 3,
R2= 6. Bin tr ACB l mt dõy dn cú in tr sut l = 4.106
( m), chiu di l = AB = 1,5m, tit din u: S = 1mm2

13


Trường THCS Nguyễn Công Trứ
Chuyên đề mạch cầu.

Giáo viên:HÀ DUY CHUNG 0979 824 428

a. Tính điện trở toàn phần của biến trở
b. Xác định vị trí con chạy C để số chỉ của ampe kế bằng 0
c. Con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB, hỏi lúc đó ampe kế chỉ bao nhiêu?
d. Xác định vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

1

(A)
3

Lêi gi¶i.
l
1,5
= 4.10−6 −6 = 6 (Ω)
S
10
R1
R
= 2
b. Ampe kế chỉ số 0 thì mạch cầu cân bằng, khi đó:
R AC R CB
3
6
Đặt x = RAC ⇒ RCB = 6 – x ⇒ =
. Suy ra x = 2 (Ω)
x 6− x

a. Điện trở toàn phần của biến trở: R AB = δ

Với RAC = x = 2Ω thì con chạy C ở cách A một đoạn bằng: AC =

R AC. .S
= 0,5(m)
ρ

Vậy khi con chạy C cách A một đoạn bằng 0,5m thì ampe kế chỉ số 0
c. Khi con chạy ở vị trí mà AC = 2CB, ta dễ dàng tính được RAC = 4 (Ω)

Còn RCB = 2 (Ω). VT RA = 0 ⇒ Mạch điện (R1 //RAC ) nt (R2 //RCB)
R .R

R .R

12 12

45

1.
AC
2.
CB
− Điện trở tương đương của mạch: R T Ð = R + R + R + R = 7 + 8 = 14 (Ω)
1
AC
2
CB

− Cường độ dòng điện trong mạch chính:
Suy ra:

I=

I1 = I.

R AC
98 4 56
= . = (A)
R1 + R AC 45 7 45

I2 = I

R CB
98 2 49
= . =
( A)
R 2 + R CB 45 8 90

U
7 98
=
= (A)
45
RTÐ
45
14

Vì: I1 > I2, suy ra số chỉ của ampe kế là: I A = I1 − I 2 =

56 49 7
−
= ⇒ I A = 0, 7 ( A )
45 90 10

Vậy khi con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB thì ampe kế chỉ 0,7 (A)
d. Tìm vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

1
(A)

3

− Vì: RA = 0 => mạch điện (R1// RAC) nt (R2 // RCB)
Suy ra: Ux = U1

 Phương trình dòng điện tại nút C: IA = ICB − I x =
 Phương trình dòng điện tại nút D: IA = I1 − I 2 =


U − U1 U1
7 − U1 U1
−
⇔ IA =
−
R −X
X
6 −X
X

U1 U − U1
U 7 − U1
−
⇔ IA = 1 −
R1
R2
3
6

( 1)
( 2)

Trường hợp 1:

Ampe kế chỉ IA =

1
3 (A) D đến C

− Từ phương trình (2) ta tìm được U1 = 3 (V)

14


Trường THCS Nguyễn Công Trứ
Chuyên đề mạch cầu.

Giáo viên:HÀ DUY CHUNG 0979 824 428

− Thay U1 = 3 (V) vào phương trình (1) ta tìm được x = 3 (Ω)

− Với RAC = x = 3Ω ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng AC = 75 (m)


Trường hợp 2:

1
(A) chiều từ C đến D
3
5
− Từ phương trình (2) ta tìm được U1 = (V)

3
5
− Thay U1 = (V) vào phương trình (1) ta tìm được x ≈ 1,16 (Ω)
3

Ampe kế chỉ IA =

− Với RAC = x = 1,16 Ω , ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng AC ≈ 29 (cm)
Vâỵ tại các vị trí mà con chạy C cách A một đoạn bằng 75 (cm) hoặc 29 (cm) thì am pe kế chỉ

1
(A) .
3

Bµi to¸n 6:
Cho mạch điện như hình vẽ H4.3. Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn
mạch là U không đổi. Biển trở có điện toàn phần là R, vôn kế có
điện trở rất lớn
a. Tìm vị trí con chạy C, khi biết số chỉ của vôn kế
b. Biết vị trí con chạy C, tìm số chỉ của vôn kế

Ph¬ng ph¸p.
− Vì vôn kế có điện trở rất lớn nên mạch điện có dạng (R1 nt R2) // RAB
a. Tìm vị trí con chạy C
R

1
− Với mọi vị trí của C, ta luôn tìm được: U1 = U. R + R
1
2

− Xét hai trường hợp: UAC = U1 + UV và UAC = U1 - UVư

Mỗi trường hợp ta luôn có: R AC =

;

I AC =

U
R

U AC
TAC

Từ giá trị của RAC ta tìm được vị trí tương ứng của con chạy C.
b. Biết vị trí con chạy C, ta dễ dàng tìm được RAC và RCB và cũng dễ dàng tính được U1 và UAC.
Từ đó chỉ số của vôn kế: U v = U1 − U AC

Bµi tËp ¸p dông.
Cho mạch điện như hình vẽ H4.6. Biết V = 9V không đổi, R1 = 3Ω, R2 = 6Ω.
Biến trở ACB có điện trở toàn phần là R = 18Ω, vốn kế là lý tưởng.
a. Xác định vị trí con chạy C để vôn kế chỉ số 0
b. Xác định vị trí con chạy C để vôn kế chỉ số 1vôn
c. Khi RAC = 10Ω thì vôn kế chỉ bao nhiêu vôn ?
Lời giải
− Vì vôn kế là lý tưởng nên mạch điện có dạng: (R1 nt R2) // RAB

15

Trường THCS Nguyễn Công Trứ
Chuyên đề mạch cầu.

Giáo viên:HÀ DUY CHUNG 0979 824 428

a. Để vôn kế chỉ số 0, thì mạch cầu phải cân bằng, khi đó:

R1
R2
3
6
=
⇔
=
⇒ RAC = 6
R AC R − R AC
R AC 18 − R AC

(Ω)
b. Xác định vị trí con chạy C, để Uv = 1(V)
R

3

1
− Với mọi vị trí của con chạy C, ta luôn có: U1 = U R + R = 9 3 + 6 = 3(V) ;
1
2
 Trường hợp 1: Vôn kế chỉ: UV = U1 – UAC = 1 (V)

Suy ra: UAC = U1 – UV = 3 – 1 = 2 (V) ⇒ RAC =

I AC =

U 9
= = 0,5(A)
R 18

U AC
2
=
= 4 (Ω)
I AC 0,5

 Trường hợp 2:
Vôn kế chỉ UV = UAC – U1 = 1 (V)
Suy ra: UAC = U1 + UV = 3 + 1 = 4 (V) ⇒ R AC =

U AC
4
=
= 8 = 8 (Ω)
I AC 0,5

Vậy tại vị trí mà RAC = 4 (Ω) hoặc RAC = 8 (Ω) thì vôn kế chỉ 1 (V)
c. Tìm số chỉ vôn kế, khi RAC = 10 (Ω)
Khi RAC = 10(Ω) ⇒ RCB = 18 – 10 = 8 (Ω) ⇒ UAC = IAC . RAC = 0,5 .10 = 5 (V)
Suy ra số chỉ của vôn kế là: UV = UAC – U1 = 5 – 3 = 2 (V)
Vâỵ khi RAC = 10Ω thì vôn kế chỉ 2(V)

16


Trường THCS Nguyễn Công Trứ
Chuyên đề mạch cầu.
Giáo viên:HÀ DUY CHUNG 0979 824 428
Một Số Quy Tắc Chuyển Mạch Điện Không Đổi Phức Tạp Về Mạch Đơn Giản
Tương Đương
Các bài toán về dòng điện không đổi chiếm một lượng khá lớn trong phần điện học. Có những
bài toán mạch điện rất phức tạp khiến học sinh chúng mình khó giải được. Một trong những
cách giải quyết trong tình huống đó là chúng ta tìm cách chuyển mạch điện về những dạng đơn
giản hơn nhưng tương đương với mạch ban đầu.
Sau đây là một số QUY TẮC để chuyển những mạch điện phức tạp về những dạng đơn giản.
Từ đó tìm ra lời giải ngắn gọn cho bài toán.
QUY TẮC 1 : Chập các điểm có cùng hiệu điện thế.
Các điểm có cùng hiệu điện thế là các điểm sau đây:
- Nối với nhau bằng dây dẫn và ampe kế có điện trở rất nhỏ có thể bỏ qua.
- Các điểm đối xứng với nhau qua trục đối xứng của mạch đối xứng. Trục đối xứng là đường
thẳng hoặc mặt phẳng đi qua điểm vào và ra của mạch điện, chia mạch điện thành hai nửa đối
xứng.
QUY TẮC 2 : Tách nút.
Tách một nút thành hai nút sao cho hai nút vừa tách có cùng điện thế, chập lại ta được mạch
điện ban đầu.
QUY TẮC 3 : Bỏ điện trở.
Ta có thể bỏ các điện trở (khác 0) nếu hai đầu điện trở đó có điện thế bằng nhau.
QUY TẮC 4 : Mạch tuần hoàn.
Nếu một mạch điện có các mắt xích giống hệt nhau lặp đi lặp lại một cách tuần hoàn thì điện
trở tương đương sẽ không thay đổi nếu ta thêm vào (hoặc bớt đi) một mắt xích.
QUY TẮC 5 : Mạch cầu.
Nếu mạch điện là mạch cầu không cân bằng thì phải chuyển mạch tam giác thành mạch hình

sao theo công thức sau:

Áp dụng biến đổi mạch sao sang mạch tam giác cho mạng AMN ta có:

Đây chỉ là một số cách để tính điện trở tương đương, nếu các bạn muốn tính cường độ dòng
điện hay số chỉ của vôn kế thì phải trở lại mạch ban đầu để tính.
- Sưu tầm và tích luỹ -

17