SỬ DỤNG KĨ NĂNG NHÂN LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

DeThiThu.Net - Thi Th i H c - THPT Qu c Gia - Ti Li u ễn Thi.C p nh t h ng ngy!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net

S DNG K NNG NHN LIấN HP
GII PHNG TRèNH Vễ T
www.DeThiThu.Net

Nguyn Vn Cng GV THPT M c A - H Ni
Email :

Trong thi i hc khi B nm 2010 cú cõu gii phng trỡnh vụ t,cõu ny gõy nhiu khú
khn cho hc sinh khi lm bi thi. giỳp hc sinh nm vng cỏch lm dng phng trỡnh
trờn,bi vit ny tụi xin trỡnh by k nng bin i s dng biu thc liờn hp trong gii
phng trỡnh vụ t . Hy vng rng s giỳp ớch cho cỏc em lm tt cỏc dng bi trờn .
ab
a-b
a b=
(a,b>0, a ạ b); 3 a 3 b =
3 2
am b
a m 3 ab + 3 b 2
Vớ d 1 Gii phng trỡnh 3 x + 1 - 6 - x + 3 x 2 - 14 x - 8 = 0 (1) ( Khi B-2010)
Phõn tớch:
1
Ta tỡm mt s x ( - Ê x Ê 6 ) sao cho 3x+1 v 6-x l mt s chớnh phng tha món phng
3
trỡnh trờn .D thy x=5 tha (*).Vỡ vy ta a phng trỡnh trờn v dng (x-5)f(x)=0,nhng nh
lý Bzu ch ỳng i vi f(x) l a thc ,vỡ vy ta cn lm xut nhõn t chung x-5 t v trỏi ca
phng trỡnh bng phng phỏp liờn hp. Mun vy tỡm hai s a , b > 0 sao cho h phng
trỡnh sau cú nghim x=5.

ỡù 3x + 1 - a = 0 ỡù a = 4
ịớ
www.DeThiThu.Net
ớ
ợù b - 6 - x = 0
ợù b = 1
1
Li gii: TX - Ê x Ê 6
3
3x - 5
x-5
(1) ( 3x + 1 - 4) + (1 - 6 - x ) + 3x 2 - 14 x - 5 = 0
+
+ ( x - 5)(3 x + 1) = 0
3x + 1 + 4 1 + 6 - x
ộx - 5 = 0 x = 5
ờ
1
1
ờ
+
+ (3x + 1) = 0(*)
www.DeThiThu.Net
ờở 3x + 1 + 4 1 + 6 - x
1
Ta thy phng trỡnh (*) vụ nghim vi - Ê x Ê 6 .Vy x=5 l nghim dy nht .
3
2
Vớ d 2:Gii phng trỡnh : 2 x - 1 + x - 3 x + 1 = 0 ( HKD-06) (2)
Phõn tớch: Tng t nh trờn ,ta thy x=1 l mt nghim ca phng trỡnh .

1
Li gii: k x .Vit li phng trỡnh nh sau :
2
2( x - 1)
2
ổ
ử
( 2 x - 1 - 1) + x 2 - 3 x + 2 = 0
+ ( x - 1)( x - 2) = 0 ( x - 1) ỗ
+ x - 2ữ = 0
2x -1 +1
ố 2x -1 + 1
ứ
ộx =1
ờ
2
ờ
www.DeThiThu.Net
+ x - 2 = 0(*)
ờở 2 x - 1 + 1
t t= 2 x - 1 0 , (*) t 2 + 2t - 1 = 0 t = 2 - 1 ị x = -2 - 2 .
Vy nghim ca phng trỡnh l x=1, x = 2 - 2
www.DETHITHU.NET & Nguyn Vn Cng

1

Tham gia ngay! Group: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Thi Th i H c - THPT Qu c Gia - Ti Li u ễn Thi.C p nh t h ng ngy!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net
Cỏch 2:Bin i 2 x - 1 + x 2 - (2 x - 1) - x = 0 ,t t =
Cỏch 3: bin i tng ng

(

2 x - 1 0 ta cú x2- t2 = x-t

)

Vớ d 3 Gii phng trỡnh : 3 2 + x - 2 = 2 x + x + 6 (3) (HVKTQS 2000)
Phõn tớch :
Nhn thy x=3 l mt nghim ca nghim ca phng trỡnh .Ta s a (2) v dng
(x-3)f(x)=0 nh sau
Li gii: Vit li phng trỡnh (2):
8( x - 3)
2(x-3) + ( x + 6 - 3 x - 2) = 0 2( x - 3) =0
x+6 +3 x-2
ộx = 3
ộx - 3 = 0
ộx = 3
ờ

ờ
ờ
8
ờ x = 11 - 3 5
ờ2 =0
x+6 +3 x-2 =4

ở
ờở
ờở
x+6 +3 x-2
2

www.DeThiThu.Net

1 - x 2x + x2
=
(4)
x
1 + x2
1
Phõn tớch: Ta thy phng trỡnh cú nghim x= ,ta phõn tớch nh sau
2
Li gii:
k 0 < x Ê 1 ,(3) (1 + x 2 ) 1 - x = ( 2 x + x 2 ) x x 2 1 - x - x +
Vớ d 4 :Gii phng trỡnh

(



x 2 (1 - 2 x )
1- x + x

+

) (

)

1- x - 2x x = 0

ổ
1 - x - 4 x3
x2
2x2 + x + 1 ử
= 0 (1 - 2 x ) ỗ
+
ữ=0
1- x + 2x x
1- x + 2x x ứ
ố 1- x + x

ộ
x2
2 x2 + x + 1
+
= 0(*)
ờ
1
x
+
x
1
x
+
2

x
x
ờ

ờ
1
ờở x = 2
Nhn thy (*) vụ nghim vi 0 < x Ê 1 .Vy x =
Vớ d 5:Gii phng trỡnh : 9
Li gii: k x

(

www.DeThiThu.Net
1
l nghim dy nht .
2

)

4 x + 1 - 3x - 2 = x + 3 (5) (HSG k12 H Ni -2010)

2
,Nhn thy x=6 l mt nghim ca phng trỡnh ,ta phõn tớch nh sau
3

27( x - 6) ự
ộ 36( x - 6)
4 x + 1 - 5 + 4 - 3x - 2 ự = x - 6 ờ
ỳ = x-6

ỷ
ở 4 x + 1 + 5 4 + 3x - 2 ỷ
ộx = 6
36
27
ộ
ự
( x - 6) ờ
- 1ỳ = 0 ờ
36
27
ờ
- 1 = 0(*)
4
x
+
1
+
5
4
+
3
x
2
ở
ỷ
ờở 4 x + 1 + 5 4 + 3 x - 2
R thy phng trỡnh (*) vụ nghim.
x+3
ổ

ử
Cỏch khỏc : (5) 9 ỗ
ữ = x + 3 9 = 4 x + 1 + 3x - 2
ố 4 x + 1 + 3x - 2 ứ
Bỡnh phng hai v ta cng thu c x=6
(5) 9 ộ
ở

(

) (

Vớ d 6 Gii phng trỡnh :

)

x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 (6)

www.DETHITHU.NET & Nguyn Vn Cng

www.DeThiThu.Net
2

Tham gia ngay! Group: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Thi Th i H c - THPT Qu c Gia - Ti Li u ễn Thi.C p nh t h ng ngy!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net
x 2 + 12 - x 2 + 5 = 3 x - 5 > 0 x >

Phan tớch: phng trỡnh cú nghim thỡ :

5
3

Ta nhn thy : x=2 l nghim ca phng trỡnh .
Li gii:

x2 - 4

(6) x + 12 - 4 = 3x - 6 + x + 5 - 3
2

2

x 2 + 12 + 4

x2 - 4

= 3( x - 2) +

x2 + 5 + 3

ổ
ử
x+2
x+2
( x - 2) ỗ
- 3ữ = 0 x = 2

2
x2 + 5 + 3 ứ
ố x + 12 + 4
x+2
x+2
5
(D dng chng minh c :
- 3 < 0, "x > )
3
x 2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
Vớ d 7. Gii phng trỡnh : 3 x 2 - 1 + x =

x3 - 1 (7)

Li gii : k x 3 2
Nhn thy x=3 l nghim ca phng trỡnh , nờn ta bin i phng trỡnh
3

ộ
ờ
x 2 - 1 - 2 + x - 3 = x 3 - 2 - 5 ( x - 3) ờ1 +
ờở
x+3

Ta chng minh : 1 +
3

(x

2

- 1) + 2 x - 1 + 4
2

3

ự
2
ỳ ( x - 3) ( x + 3 x + 9 )
ỳ=
2
3 2
3 x2 -1
x3 - 2 + 5
( ) + 2 x - 1 + 4 ỳỷ
x +3

= 1+

2

(

x+3
3

)

2

<2<

x -1 + 1 + 3
2

x 2 + 3x + 9
x3 - 2 + 5

Vy pt cú nghim dy nht x=3
Vớ d 8 Gii phng trỡnh x - 2 + 4 - x = 2 x 2 - 5 x - 1 (8) (THTT)
Li gii: k: 2 Ê x Ê 4
x-3
x-3
(7) ( x - 2 - 1) + ( 4 - x - 1) = 2 x 2 - 5 x - 3
= ( x - 3)(2 x + 1)
x - 2 +1
4 - x +1
ộx = 3
www.DeThiThu.Net
ờ
1
1
ờ
= 2 x + 1(*)
ờở x - 2 + 1
4 - x +1
1
1
1

1
1
Nhn xột
Ê 1;

= 2 -1 ị
Ê 2- 2
x - 2 +1
4 - x +1
2 +1
x - 2 +1
4 - x +1
Li cú 2x+1 5 vi mi x tha 2 Ê x Ê 4 .Vy (*) vụ nghim .(7) cú nghim x=3.
3
x + 2 + 3 x + 1 = 3 2 x 2 + 3 2 x 2 + 1 (9)
Vớ d 9 Gii phng trỡnh
Phõn tớch :
VP 1 ị VT 1 ị x -1 .Nhn thy nu 2x2 = x+1 thỡ hai v ca pt bng nhau gi cho ta ngh
n vic phõn tớch ra tha s chung l 2x2 -x 1

Li gii: (8) ( 3 2 x 2 + 1 - 3 x + 2) + ( 3 2 x 2 - 3 x + 1) = 0
2 x2 - x - 1


3

(2 x 2 + 1) 2 + 3 (2 x 2 + 1)( x + 2) + 3 ( x + 2)2

+

2x2 - x -1
3

4 x 4 + 3 2 x 2 ( x + 1) + 3 ( x + 1) 2

=0

www.DeThiThu.Net
www.DETHITHU.NET & Nguyn Vn Cng

3

Tham gia ngay! Group: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net
é2 x2 - x - 1 = 0
ê
1
1
Ûê
+
= 0(*)
ê 3 (2 x 2 + 1) 2 + 3 (2 x 2 + 1)( x + 2) + 3 ( x + 2)2 3 4 x 4 + 3 2 x 2 ( x + 1) + 3 ( x + 1)2
ë

1
é

x = -1; x = ê
Û
(Chú ý có thể dùng phương pháp hàm số)
2
ê
www.DeThiThu.Net
ë (*)vn
3
Ví dụ 10 Giải phương trình :
x + 24 + 12 - x = 6 (10)
Lời giải: Đk: x £ 12
x-3
3- x
(10) Û ( 3 x + 24 - 3) + ( 12 - x - 3) = 0 Û
+
=0
3
12 - x + 3
( x + 24) 2 + 3 3 ( x + 24) + 9
éx = 3
Ûê
2
êë 12 - x - 3 ( x + 24) - 3 3 ( x + 24) - 6 = 0(*)
Thay 6 = 3 x + 24 + 12 - x vào (*) ta có 3 ( x + 24) 2 + 4 3 ( x + 24) = 0 Û x = -24; x = -88
Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn (9).
Vậy nghiệm của (9) :x=2;x=-24;x=-88.
Nhận xét: Một số phương trình vô tỷ được giải nhờ vào sự quan sát tinh tế, lựa
chọn hợp lý biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình.Ta xét Ví dụ sau
Ví dụ 11 Giải phương trình
1 + x +1 1+ x + 2x - 5 = x

(11)

(

)(

)

Lời giải: Đk x ³ -1 . Nhận xét rằng x=0 không là nghiệm của phương trình ,nhân cả hai
vế của phương trình trên với 1 + x - 1 ¹ 0 ta có

(

) (

)

x 1 + x + 2x - 5 = x 1 + x -1 Û 1 + x + 2x - 5 = 1 + x -1 Û x = 2
Nhận xét: Qua lời giải trên cho thấy vai trò và tầm quan trọng của việc sử dụng biểu thức liên hợp
.Bạn hãy giải theo hướng khác để thấy được tầm quan trọng của phương pháp này .
Ví dụ 12 Giải phương trình : 2 x 2 + 3x + 5 + 2 x 2 - 3x + 5 = 3x (12)
Lời giải: Từ vế trái của phương trình dương,suy ra phương trình có nghiệm khi x >0
Nhân cả hai vế của phương trình với
(12) Û 6 x = 3 x

(

2 x 2 + 3x + 5 - 2 x 2 - 3x + 5 ¹ 0

)

2 x 2 + 3 x + 5 - 2 x 2 - 3 x + 5 Û 2 x 2 + 3 x + 5 - 2 x 2 - 3 x + 5 = 2 (*)

Lấy (*) cộng với (12) theo vế ta có 2 2 x 2 + 3x + 5 = 2 + 3x Û x = 4
Thử lại ta thấy x=4 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 13

2x - 3 - x = 2x - 6

Giải phương trình

www.DeThiThu.Net

3
( 2 x - 3 - x )( 2 x - 3 + x )
,pt tương đương
= 2( x - 3)
2x - 3 + x
2
1
x-3
1
é
ù
Û
= 2( x - 3) Û ( x - 3) ê 2 =
0
2
,
>0

2x - 3 + x
2 x - 3 + x úû
2x - 3 + x
ë

Lời giải:Đk x ³

Ví dụ 14: Giải phương trình x + 9 x + 20 = 2 3x + 10
2

Lời Giải: ĐK x ³ -

2 ( 3 x + 10 - 1)( 3 x + 10 + 1)
10
,pt Û ( x + 3)( x + 6 ) =
Û
3
( 3x + 10 + 1)

www.DETHITHU.NET & Nguyễn Văn Cường

4

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net

( x + 3)( x + 6 ) =

é
Û ( x + 3) ê( x + 6) ê
3x + 10 + 1
ë
6( x + 3)

(

)

(

ù
ú = 0 Û ( x + 6) 3x + 10 + 1 ú
û
6

)

(

6

)

3 x + 10 + 1

=

0(*)
Hoặc x=-3.Mặt khác x>-3 và -

10
£ x £ -3 phương trình (*) vô nghiệm
3

Ví dụ 15 Giải phương trình 2 x 2 - 11x + 21 = 3 3 4 x - 4
Lời giải: pt tương đương
( x - 3)(2 x - 5) =

3

(

3

(

( 4x - 4) - 2) 3 ( 4x - 4)

x=3 hoặc 2 x - 5 -

(

3

(4x - 4)

2

2

+ 2 3 ( 4x - 4) + 4

+ 2 3 (4x - 4) + 4

12
= 0, t =
t + 2t + 4
2

3

)

) Û ( x - 3)(2x - 5) =

( 4 x - 4 ) .x>3 ,2x-5>1 ,

2x + 4 - 2 2 - x =

Ví dụ 16: Giải phương trình

www.DeThiThu.Net

6x - 4

(

12( x - 3)
3

(4x - 4)

+ 2 3 (4x - 4) + 4

2

)

12
<1,cmtt x<3 ptvn
t + 2t + 4
2

x2 + 4
2(3 x - 2)
2(3 x - 2)
Lời giải : Đk x Î [ -2;2] , Phương trình tương đương
=
2x + 4 + 2 2 - x
x2 + 4

x 2 + 4 Û 4 2 ( 2 + x )( 2 - x ) + ( 2 - x )( x + 4 ) = 0

2x + 4 + 2 2 - x =

x=3 hoặc

(

)

Û 2 - x 4 2(2 + x) + ( x + 4 ) 2 - x = 0 Û x = 2
Ví dụ 17 GPT: x-1+ x + 1 +
+) ĐK: xÎ [-1;2]

www.DeThiThu.Net

2 - x = x 2 + 2 (1)

x

PT (1) Û ( x 2 - x) + ( 2 - 2 - x ) + (1 - x + 1) = 0 Û x( x - 1) +

2 + 2- x

éx = 0
Ûê
1
1
ê x -1+
= 0(2)
êë
2 + 2 - x 1+ x +1
+) Giải (2):

-

x
=0
1+ x +1

www.DeThiThu.Net

x -1
x -1
+
( x + 1 - 2) + (1 - 2 - x )
PT (2) Û ( x - 1) +
= 0 Û ( x - 1) + x + 1 + 2 1 + 2 - x = 0
( 2 + 2 - x )(1 + x + 1)
( 2 + 2 - x )(1 + x + 1)
1
1
+
Û ( x - 1)[1 + x + 1 + 2 1 + 2 - x ] = 0 Û x = 1.Vay PT(1) có 2 nghiem x=0, x=1.
( 2 + 2 - x )(1 + x + 1)
Ví dụ 18:Tìm a để bất phương tình sau có nghiệm x3 + 3 x 2 - 1 = a
Lời giải: Đk x ³ 1 ;(13) Û

(

x3 + 3x 2 - 1
x - x -1

)

3

= a Û ( x3 + 3 x 2 - 1)

(

(

x - x -1

)

)

3

(13)

3

x + x -1 = a

Xét hàm số g(x) = x + 3 x - 1 >0 , đồng biến trên [1; +¥ )
3

h(x) =

(

2

x + x -1

)

3

>0, đồng biến trên [1; +¥ )

www.DETHITHU.NET & Nguyễn Văn Cường

5

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Dacebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

DETHITHU.NET | www.dethithu.net
suy ra hàm f(x) = ( x + 3 x - 1)
3

2

(

x + x -1

)

3

đồng biến trên [1; +¥ )

www.DeThiThu.Net

nên f(x) ³ f (1) = 3 .Vậy a ³ 3 thì phương trình có nghiệm .

DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

Truy cập thường xuyên để cập nhật nhiều Đề Thi Thử THPT Quốc
Gia, tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia các môn Toán, Lý, Hóa, Anh, Văn
Sinh , Sử, Địa được DeThiThu.Net cập nhật hằng ngày phục vụ sĩ tử!
Like Fanpage Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi:
để cập nhật nhiều đề thi thử và tài liệu ôn thi hơn
Tham gia Group: Ôn Thi ĐH Toán - Anh để cùng nhau học tập, ôn thi:
/>
www.DETHITHU.NET & Nguyễn Văn Cường

6