Chuyên đề giải phương trình vô tỷ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (386.42 KB, 38 trang )
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Mục Lục:
!"#$%
&#!&'()!(*+,-%.
$/!0.1
2!&'!33!34$
5!&'!3!678-2
%890:;!<=>!?(0==@!<=5.
:ABCDCEF.G$
HIJ$$$
ABKBLMCNOPQ$2
-Các từ viết tắt:
sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN)
- Điều kiện xác định: (ĐKXĐ)
1
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ .
CRSTCUKANVCWXCABKYCZS[\]W^B_`aWbKTB\M`BXM
cBBd\eM_fNdSACgMf_C^QWhCRNKcBBPBfaYCi
QZSAC`BMMfWbWF\Bd\eMCjkCKlMCR
STCUNbBNbBSm\nKAW`BCFNAocBWNNdCQp\KMT
CRNCnBp\qBSACCBhCgMf
7rBKQ^BsABCQCRSTCU\to\\BPBBduF
BXMAf\tC\gvwKMfLCgMfCQp\NXNgxQaKBQ^CSA_
C^Q:d\^Wta\\sABCQBPBCRSTCUCc\tNyCCQ
\\OzCBp\_BBqBCQi\\\k!=8
Sáng kiến kinh nghiệm ''Giải phương trình vô tỉ'' được viết theo chương
trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi
học sinh giỏi lớp 9 và học sinh ôn thi vào THPT đối với hoc sinh trường
THCS Yên Lạc.
Trong SKKN này đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải
phương trình vô tỉ:
NÂNG LUỸ THỪA
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn:
$ ĐẶT ẨN PHỤ
2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
5 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
% SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
Q\MfdWXNrBNVC\tgABXMsABCD\Qp\_B
C{KMfL.
TBfSp8HHAf_|NK^B\Qs^Wp\BXMWBXMsE}\SABZ
\\s^\PNDCdNSxW~\]CQp\•M\\CRSTCU
7y\guWb\`€kCBXMa\MfdWXOTCOqBo_B
_tC=ZCTBNQDWF\oYOB•Wtt•MYsMCj\\Cf
\TSA\\‚Np\_BWh\MfdWXAf\AQACBLƒ
7pBWtt„B…BSXgM\f‚gQ†NBK\QN
Tôi xin cảm ơn!
2
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
PHẦN II- NỘI DUNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
* PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA
HI!<=
‡
ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰
≥
= ⇔ ≥
=
‡
ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰
ˆ ‰ ˆ ‰
≥
= ⇔
=
$‡
ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰
≥
+ = ⇔ ≥
+ + =
2‡
Š
ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 4 ˆ ‰
ˆ ‰ ˆ ‰
≥
= ⇔ ≥ ∈
=
5‡
Š
ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰
ˆ ‰ ˆ ‰
≥
= ⇔ ∈
=
%‡
Š
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰
+ +
= ⇔ = ∈
.‡
Š
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰
+
+
= ⇔ = ∈
‹
:6J
Bài 1:BPBCR
„ „ + = −
ˆ‰
!ˆ‰⇔
„ 4 „
„
„ $
„ ˆ„ ‰ „ $„ 4
− ≥ ≥
≥
⇔ ⇔
=
+ = − − =
$
⇔ =
Bài 2:BPBCR
$ 4 − + =
!\t
$ 4 − + =
$ ⇔ + =
4
$
4
$ 4
4
$
$
≥
⇔
+ =
≥
⇔
− − =
≥
⇔ ⇔ =
= −
=
Bài 3:BPBCR
2 + − − = −
!\t
2 + − − = −
2 ⇔ + = − + −
3
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
4
4
2 ˆ ‰ˆ ‰
− ≥
⇔ − ≥
+ = − + − + − −
$
≤
⇔
+ = − +
4
ˆ ‰ $
≤
⇔ + ≥
+ = − +
4
4
. 4
.
−
≤ ≤
−
≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ =
=
+ =
= −
Bài 4:BPBCR
$ 2 4 − − − =
!H
4
2 4
− ≥
⇔ ≥
− ≥
ˆ‰
( )
( )
$ ˆ ‰ˆ ‰ 4
$ 4
4
ˆ‰
.
$ 4
1
⇔ − − − + =
⇔ − − + =
=
− =
⇔ ⇔
−
=
− + =
H•CFˆ‰SAˆ‰CWF\„Œ
Bài 5.BPBCR
$ $ − = +
HD:O
4 $≤ ≤
OBWtCWb\QCW
$
$ $ 4 + + − =
$
$
4 4
$ $ $ $
−
⇔ + = ⇔ =
÷
Bài 6.BPBCR_M
$ 1 2 + = − −
HD:O
$ ≥ −
CRCW
( )
$ $
$ 1
5 1.
$ $
•
=
+ + =
+ + = ⇔ ⇔
− −
=
+ + = −
Bài 7.BPBCR_M
( ) ( )
$
$
$ 1 $ $ + + = + +
HD:C
( )
$
$ $
$ 4 ⇔ + − = ⇔ =
Bài 8.BPBSAsBLKMDCR
„ 2 „ N− = −
!\t
„ 2 „ N− = −
⇔
„ N „ N
„ 2 „ 2„N N N„ ˆN 2‰ 4
≥ ≥
⇔
− = − + − + =
G•MNŒ4CRSTBLN
G•MNŽ4
N 2
„
N
+
=
BXMOBLWh\tBLN„•N⇔
N 2
N
+
•N
4
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
••MN‘4N
•2•N
⇔N
’2⇔
4 N < ≤
••MN“4N
•2’N
⇔N
•2⇔N’G
tNK^B
G•MN’GQy\4“N’CR\tNVCBLN
N 2
„
N
+
=
G•MG“N’4Qy\N‘CRSTBLN
Bài 9.BPBSAsBLKMDCRS”BNKACN_`
! −=− $
"#$%&'()!$*+++,
!\t
„ N „ N
„ $ „ N
„ $ „ N N„ N„ ˆN $‰ 4
≥ ≥
− = − ⇔ ⇔
− = + − − + =
G•MNŒ4CRSTBLN
G•MNŽ4
N $
„
N
+
=
BXMOBLWh\tBLN„•N⇔
N $
N
N
+
≥
••MN‘4N
•$•N
⇔N
’$⇔
4 N $≤ ≤
••MN“4N
•$’N
⇔N
•$⇔N’
$−
tNK^B
G •M
4 N $≤ ≤
Qy\
N $≤ −
CR \t NVC BLN
N $
„
N
+
=
G•M
$ N 4− < ≤
Qy\
N $>
CRSTBLN
Bài 10.BPBSAsBLKMDC‚QCN_`NCR
„ „ N N− = −
!BXMOBL„•4
G•MN“4CRSTBLN
G•MNŒ4CRCiCA
„ˆ „ ‰ 4− =
⇒\tBBLN„
Œ4a„
Œ
G•MN‘4CRWb\QCWS”B
ˆ „ N‰ˆ „ N ‰ 4− + − =
„ N 4
„ N
− =
⇔
= −
••M4“N’CR\tBBLN„
ŒN•„
Œ
ˆ N‰−
••MN‘CR\tNVCBLN„ŒN
III-Bài tập áp dụng:
Bài 1:BPB\\CR_M
‡
$ + − =
‡
$ $2 $ $ + − − =
2‡
2 + + = +
5‡
„ $ 5 „ + = − −
.‡
„ „ „ 2 „ 1 4− − − − + + =
•‡
5 4 − − =
4‡
5 4
− + =
‡
1
$ $
%
− + =
$‡
% . • $ + = −
2‡
$ $ + + − =
5
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Bài 2BPBCR
‰
− = −
s‰
$ 4 − + =
g‰
$ % $ + + − =
‚‰
$ $ − + − =
‰
1 5 2 + = − +
‰
$ 2 $ + − + = +
Bài 3RNNWhCR_M\tBLN
$ ! − + − = + −
Bài 4=QCR
!− − =
‰ BPBCROBNŒ
s‰ RNNWhCR\tBLN
Bài 5=QCR
$ ! !+ − = −
‰ BPBCROBNŒ$
s‰ ”BBC[AQ\]NCRCR\tBLN
Bài 6: BPB\\CR_M
‡
. $ 1 4 − − − =
g‡
1
$ .
− − − + − = −
s‡
− =
‚‡
5 $
$ 1 . 2
$
− − − + − = −
\‡
$ . 2 4 − + =
–‰
ˆ $‰ 4 + − = − −
PHƯƠNG PHÁP 2:ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
I-KIẾN THỨC:
8…gv—W˜Ce\_M
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ˆ ‰ 4‰
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ˆ ‰ 4‰
= ≥
= ⇔ = ⇔
= − <
II-BÀI TẬP:
Bài 1: BPBCR
„ 2„ 2 „ •− + + =
ˆ‰
!ˆ‰⇔
ˆ„ ‰ • „− = −
⇔™„G™Œ•G„
G•M„“ˆ‰⇒G„Œ•G„ˆSTBLN‰
G•M„
≥
ˆ‰⇒„GŒ•G„⇔„Œ5ˆCQPNb‰Df„Œ5
Bài 2: BPBCR
„ „ „ 4 % „ „ „ + + + + + − + = + − +
ˆ‰
! ˆ‰⇔
„ 4
„ „ „ $ „ 1 „ „
+ ≥
+ + + + + + − + + = + − + +
⇔
„
„ ™ „ $ ™ ™ „ ™
≥ −
+ + + + − = + −
ˆŠ‰
yC f Œ
„ +
ˆf • 4‰ ⇒ CRˆŠ‰ Wb \Q Ci CA
f ™ f $™ ™ f ™+ + − = −
G•M4’f“f••$GfŒGf⇔fŒGˆKQ^B‰
G•M’f’$f••$GfŒfG⇔fŒ$
6
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
G•Mf‘$f••fG$ŒfGˆSTBLN‰
”BfŒ$⇔„•Œ1⇔„Œ•ˆCQPNb‰Df„Œ•
Bài 3:BPBCR
5 $ 5 . − + − + + + − =
!H
5
≥
5 5 5 % 5 1 2 ⇔ − + − + + − + − + =
5 5 $ 2 ⇔ − + + − + =
5 5⇔ − =
5
⇔ =
ˆQPNb‰Df„Œ5
Bài 4:BPBCR
+ − + − − =
!H
≥
C
⇔ − + − + + − − − + =
⇔ − + + − − =
•M
>
C
⇔ − + + − − =
⇔ =
ˆQ^B‰
•M
≤
C
⇔ − + + − − =
4 4⇔ =
ˆMTWZS”B
∀
‰
DfCDBLN\]CRKA
{ }
™ / = ∈ ≤ ≤
III-Bài tập áp dụng:
BPB\\CR_M
‡
5 + + =
‡
2 2 $ − + =
$‡
% 1 − + = −
2‡
2 2 5 + + = +
5‡
2 2 2 − + + + + =
%‡
2 2 4 − + − − + =
.‡
% 1 • •
− + + + + = − +
•‡
2 2 % 1 − + + − + =
1‡
+ − + − − =
4‡
$ 2 2 2 − − − + − − =
‡
% %
+ − + + + − + =
‡
5 $ 5 .
− + − + + + − =
$‡
5 4 + − + + − =
2‡
2525%2
=−−−+−++
5‡
2 2 4 − + + =
%‡
• − + + =
.‡
2
+ + + + =
•‡
45%
2
=−−++
1‡
$
+
+ − + − − =
4‡
2 2 − + = −
‡
ˆ ‰ 2 2 % 1
− + − − + − − − + =
‡
• % 2 + − − =
PHƯƠNG PHÁP 3:ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
`BS”BBXMCRSTSTCšaWhBPB\ZC\tChWyC
( )
=
SA\ZYWBXMOBL\]
•MCRsWMCiCACR
7
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
\eNVCsB•
•MCpC\tChBPBWF\CRWtC‚Q
CR
SBL\WyCv„‚N›QACQAœ
Bài 1. BPBCR
− − + + − =
HD:Điều kiện
≥
D„•C
− − + − =
yC
= − −
CRCR\tg^
+ = ⇔ =
fSAQCRNWF\
=
Bài 2. BPBCR
% 2 5 − − = +
HD:BXMOBL
2
5
≥ −
yC
2 5ˆ 4‰ = + ≥
CR
5
2
−
=
fSAQC\tCR_M
2
2
4 5 %
ˆ 5‰ • . 4
% 2
− +
− − − = ⇔ − − + =
ˆ .‰ˆ ‰ 4 ⇔ + − − − =
CRNWF\s`BLNKA
a $a2
• $ = − ± = ±
Q
4
≥
d\šD\\BC[
$
a $ = − + = +
jWtCRNWF\\\BLN\]CRK
$ vaø = − = +
01\tChsRBS•\]CRS”BWBXMOBL
% 4 − − ≥
WF\
ˆ $‰ ˆ ‰ 4 − − − =
aCjWtCCRNWF\BLNCe
BPkCKACWyC
$ 2 52 − = +
SAWSXLW`B„eˆXem
phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)
Bài 3. BPBCR_M
5 % + + − =
!BXMOBL
%≤ ≤
yC
ˆ 4‰2 2= − ≥
CRCRCiCA
2
5 5 4 4 42 2 2 2 2+ + = ⇔ − − + =
ˆS”B
5‰2 ≤
ˆ 2‰ˆ 5‰ 42 2 2 2⇔ + − − − =
.
a
(loaïi)2 2
+ − +
⇔ = =
jWtCCRNWF\\\BC[\]
.
−
=
Bài 4 BPBCR_M
( )
(
)
442 = + − −
HD:H
4 ≤ ≤
yC
2 = −
CRCRCiCA
( )
( )
44 4 42 2 2 2 − + − = ⇔ = ⇔ =
8
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Bài 5.BPBCR_M
$
+ − = +
HD:BXMOBL
4− ≤ <
=B\PBS•\Q„CDWF\
$
+ − = +
yC
= −
aCBPBWF\
Bài 6.BPBCR
2 $
+ − = +
!
4 =
OTPBKABLNa=B\PBS•\Q„CWF\
$
− + − =
÷
yCCŒ
$
−
a\t
$
4 + − = ⇔
5
±
= ⇔ =
Bài 7.BPBCR
$ • . . + + + + + =
!yCfŒ
. . + +
•
42 ≥
CR\tg^$f
•f5Œ4
5
$
2
2
−
=
⇔
=
2⇔ =
”BfŒ
. . ⇔ + + =
%
= −
⇔
= −
ABLN\]CRWb\Q
Nhận xét`BS”B\\WyCžvCd\ZC\šBPB•Mf•CWF\
NVCK”sABWBPaWTBOBCRW`BS”B
K^B•MOtBPB
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
=ZCWbsB•C\\BPBCR
43 3
α β
+ + =
ˆ‰s—\\
Ÿ•C
4
≠
CRCiCA
4
3 3
α β
+ + =
÷ ÷
4 =
C…C{\CB•
=\CcF_M\ WSXWF\ˆ‰
( ) ( ) ( ) ( )
4 5 67 5 7 + =
3 !3
α β
+ = +
=ZCbfCf\\sBhMCe\#ˆ„‰a:ˆ„‰siB\\sBhMCe\STCšCR_|
DWF\CRSTCšC‚Qg^Af
a) . Phương trình dạng :
( ) ( ) ( ) ( )
4 5 6 7 5 7 + =
SDfCR
( ) ( )
8 9
α
=
\tChBPBs—Cd
•M
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
9 5 7
8 45 67
=
= +
ŸMkCCCjW˜Ce\
( )
( )
$
+ = + − +
9
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
( ) ( ) ( )
2 2
+ + = + + − = + + − +
( ) ( )
2
+ = − + + +
( ) ( )
2
2 + = − + + +
!bfC^QoCRSTCšg^CdS}gv
2
2 2 − + = +
h\tNVCCRW~a\ZCPB\pL_`asa\_Q\Q
CRsD\B
44 6 + − =
BPB›BLNW~œ
Bài 1. BPBCR
( )
$
5 + = +
HD:yC
$
ˆ 4‰ • ˆ ‰
3 3 = + ≥ = − + ≥
CRCiCA
( )
5
3
3 3
3
=
+ = ⇔
=
RNWF\
5 $.
±
=
Bài 2.BPBCR
2
$
$
$
− + = − + +
ˆŠ‰
!¡Ckf
( ) ( ) ( )
2 2
+ + = + + − = + + − +
SB•C
( ) ( ) ( ) ( )
$
α β
+ + + − + = − + + − +
¢kCS•CBS”BˆŠ‰CWF\
( ) ( ) ( ) ( )
$ % $ − + + + − + = − + + − +
yC
$ $
•
2 2
3 3
= + + ≥ = − + ≥
÷ ÷
CRCiCA$M•%SŒ
$ 3
$3
⇒ =
jWlfC_|CRNWF\„
Bài 3:BPBCR_M
$
5 . + − = −
ˆŠ‰
!O
≥
D„•CSB•C
( )
( )
( )
( )
.
α β
− + + + = − + +
¢kCS•CBS”BˆŠ‰CWF\
( ) ( ) ( )
( )
$ . − + + + = − + +
yC
4a 43 = − ≥ = + + >
aCWF\
1
$ .
2
3
3 3
3
=
+ = ⇔
=
WF\
2 % = ±
Bài 4.BPBCR
( )
$
$
$ % 4 − + + − =
!D„•CyC
2 = +
CsB•CCdSXCRCMkCsD\
$W`BS”B„SAf
10
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
$ $ $ $
$ % 4 $ 4
2
2 2 2
2
=
− + − = ⇔ − + = ⇔
= −
C\tBLN
a $ = = −
Bài 5:BPBCR
( )
$
4 $ + = +
!H
≥ −
C
4 $ˆ ‰ ⇔ + − + = +
yC
ˆ a 4‰
3
3
= +
≥
= − +
CRCiCA4MSŒ$ˆM
•S
‰
⇔
( ) ( )
$ $ 43 3 − − =
$
$
3
3
=
⇔
=
•MMŒ$S
$ 1 4 • 4 ⇔ + = − + ⇔ − + =
ˆSTBLN‰
•MSŒ$M
5 $$
$ 4 • 4
5 $$
= −
⇔ − + = + ⇔ − − = ⇔
= +
KABLN
b).Phương trình dạng :
3 !3
α β
+ = +
CR\Qig^AfCcOt›CBL›g^Cda
•MCsRBS•CRWSXWF\g^Cd
Bài 1. BPBCR
2
$ + − = − +
!WyC
( )
a 4•
3
3 3
=
≥ ≥
= −
OBWtCRCiCA
$3 3 + = −
fˆM•S‰ˆMS‰Œ
( ) ( )
3 3 + −
Bài 2.BPBCR_M
$ 2 + + − = + +
!O
≥
:RS•C\t
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+ − = + ⇔ + − = + − −
\tChWyC
3
= +
= −
OBWtC\tL
5
5
3
3 3
3
−
=
= − ⇔
+
=
Q
a 43 ≥
( )
5 5
3
+ +
= ⇔ + = −
Bài 3.BPBCR
5 2 1 4 5 − + − − − = +
!O
5 ≥
=MfhS•sRCWF\
( )
( )
5 5 4 − + = − − +
11
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Nhận xét : HTC¢C^B_`
a
α β
Wh
( )
( )
5 4
α β
− + = − − + +
SDfCOTChWyC
4
3
= − −
= +
NfN€C\t
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4 2 5 2 2 5 − − + = + − + = + − −
SB•CK^BCR
( )
( )
2 5 $ 2 5 ˆ 2 5‰ˆ 2‰ − − + + = − − +
•
WlfsABCQWF\BPB•Mf•C
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
joCRC}\
( ) ( )
4 + − + − + =
a
( ) ( )
$ $ 4 + − + − + =
HBCBhSAZCpC_|WF\oCRSTCšOTCNCc
\ZCAQaWVOt\]CRg^AfvCMV\SAQCRC}\
NAC„MkCC
jWt\ZCN”BWBCRN\\BPBCRg^Af
BPBWF\ChBL•M\\S}gv_M
Bài 1.BPBCR
(
)
$ + − + = + +
!yC
= +
•
≥
aC\t
( )
$
$ $ 4
=
− + − + = ⇔
= −
Bài 2BPBCR
( )
$ + − + = +
!yC
$a = − + ≥
HBWtCRCiC
( )
+ = +
( )
4 ⇔ + − + =
:lfBcCCdNs”CaWhWF\CRsD\C‚QC\t
∆
\£
( ) ( ) ( ) ( )
$ 4 4
=
− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔
= −
Bài 3:BPBCR
( )
$ $ + + = + +
!yC
• = + ≥
CRCiCAC
ˆ„•$‰C•$„Œ4
⇔
ˆC„‰ˆC$‰Œ4
$
=
⇔
=
•MCŒ„
⇔ + =
ˆTKY‰
•MCŒ$
$ ⇔ + = ⇔ = ±
Df
= ±
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
ŸMkCCCjNVC_`L›W^B_`›W~\ZC\tChC^QWF\o
CRSTCšNAOBBPBt\ZCK^BWyCBXMžvSACRNN`B
•MLBo\\žvWhWSXL
12
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
ŸMkCCCjW˜Ce\
( ) ( ) ( ) ( )
$
$ $ $
$4 6 4 6 4 6 6 4+ + = + + + + + +
a\t
( ) ( ) ( ) ( )
$
$ $ $
44 6 4 6 4 6 4 6 + + = + + ⇔ + + + =
jD„•CAfC\tChC^QoCRSTCš\t\e\¤sD\
s
$ $
$
. • • + − − − + − + =
$ $ $ $
$ 5 1 2 $ 4 + + − + − − − =
Bài 1. BPBCR
$ $ 5 5 = − − + − − + − −
!H
≤
yC
• 4
$ •
5 • $
3 3
: :
= − ≥
= − ≥
= − ≥
aC\t
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
$ $
5
5
3 3 :
3 3 : :3
3 : :3 3 :
: 3 : :3
: 3 :
+ + =
− = + +
− = + + ⇔ + + =
− = + +
+ + =
aBPBLCWF\
$4 $1
%4 4
3 = ⇔ =
Bài 2.BPBCR_M
$ $ − + − − = + + + − +
!WyC
$
$
4
6
;
= −
= − −
= + +
= − +
aOBWtC\t
4 6 ;
4 6 ;
+ = +
⇔ = −
− = −
Bài 3. BPB\\CR_M
2 5 1 $ + + − − + = −
!yC
( )
2 5
• 4
4
4 6
6
= + +
≥
= − +
WF\LCR
2 1 $
1 $
4 6
4 6
− = −
− = −
jWtC\t
2s
Œs
⇔
ˆs‰ˆ•s‰Œ4
4 6
4 6
=
⇔
= −
•MŒs
2 5
$
⇔ + + = − + ⇔ =
ˆCQPNb‰
•MŒs
2 5 ⇔ + + = − − +
ˆŠ‰
\tˆŠ‰
4≥
ˆ‰
ˆŠ‰Œ
$
$ 4
2
− − + = − − + ≤ − <
÷
ˆ‰
jˆ‰SAˆ‰_MfCRˆŠ‰STBLN
13
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
DfCRWb\Q\tBLNgMfkC
$
=
Bài tập áp dụng:
BPB\\CR_M
( ) ( ) ( )
$
$
2
2
2
2
+ − + − = − + + −
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
yC
( ) ( )
a3
α β
= =
SACRNN`B•MLBo
( )
α
SA
( )
β
CjWtCRN
WF\LC‚QMaS
Bài 1. BPBCR
(
)
$ $
$ $
$5 $5 $4 − + − =
!yC
$
$ $ $
$5 $52 2= − ⇒ + =
HBWtCR\MfhSXLCR_M
$ $
ˆ ‰ $4
$5
2 2
2
+ =
+ =
aBPBL
AfCCRNWF\
ˆ • ‰ ˆ•$‰ ˆ$•‰ 2 = =
e\KABLN\]CRKA
¥•$¦ ∈
Bài 2. BPBCR
2
2
− − + =
!BXMOBL
4 ≤ ≤ −
yC
2
2
4 a4
3
3
− − =
⇒ ≤ ≤ − ≤ ≤ −
=
WSXLCR_M
2
2
2
2
2
3
3
3
= −
+ =
⇔
+ = −
− + = −
÷
BPBCRCe
2
ˆ ‰ 4
+ − + =
÷
aCjWtCRN
¢BCf
SAQCRNBLN\]CR
Bài 3. BPBCR_M
5 % + + − =
!BXMOBL
≥
yC
a 5 ˆ 4a 5‰4 6 4 6= − = + − ≥ ≥
CRCWSXLCR
_M
5
ˆ ‰ˆ ‰ 4 4
5
4 6
4 6 4 6 4 6 4 6
6 4
+ =
⇒ + − + = ⇒ − + = ⇒ = −
− =
Df
.
5 5
−
− + = + − ⇔ − = − ⇒ =
Bài 4. BPBCR
% % •
$
5 5
− +
+ =
− +
14
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
!BXMOBL
5 5− < <
yC
( )
5 a 5 4 a 43 2 3 = − = − < <
HBWtCWF\LCR
ˆ ‰ 4
4
2
2 2 •
ˆ ‰
ˆ ‰
$
$
3 3
3
3
3
3
3
+ = +
+ =
⇔
+ − =
− − + + =
÷
Bài 5. BPBCR
• %1
22
=++−
!H
%1
− ≤ ≤
yC
2
2
%1
ˆ • 4‰
3
3
= −
≥
= +
.4%a•
22
=+=+⇒ 33
yCCŒMS
=
=
⇔
=+−⇒
$
5
4%15•
”BCŒ5
⇒
„Œ2
”BCŒ$
⇒
„Œ52•
Bài 6. BPBCR
$ $
$ + − + + + =
ˆ‰
!”BWBXMOBL
$ $
4 4 + − ≥ ⇒ + + >
yC
$
$
3
= + −
= + +
”BS‘M•4
CRˆ‰CiCAM•SŒ$
\tLCR
$
$
$
$
$
$
$ $
ˆ ‰ˆ ‰ $
2
3
3
3 3 3
3 3 3
+ =
− =
+ = + = =
⇔ ⇔ ⇔
+ − = − = =
+ − =
⇔
+ + =
+ − =
⇔
+ + =
$
4
ˆ ‰ˆ ‰ 4
ˆ 4 ‰
;
⇔ + − =
⇔ − + + =
⇔ = + + > ∀
DfCRWb\Q\tCDBLNKA8Œ¥¦
Bài 7. BPBCR
$
−=−
15
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
!BXMOBL
4
4
4
4
− ≤ ≤
− ≥
⇔ ⇔ ≤ ≤
≥
≥
ˆŠ‰
”BWBXMOBLˆŠ‰aWyC
3 =
•
−=
$
aS”BM•4a
$
≤
\t
=
−
−=−
2
$
3
QgtC\tL
( )
( )
2 2
2
$
$
$
$
$
$
% %5
2
4
1 •
1
$
• 12
•
3
3
3
3
3
3
3 3 3 3 3
3
3
3 3
3 3
3
3
3
+ =
+ =
⇔
+ =
− =
+ =
+ =
⇔ ⇔
+ − = + − − =
+ =
+ =
⇔ ⇔
− − =
− − =
÷
+ =
−
=
⇔
+ =
5
• 12
•
3
+
=
⇒
MSASKABLN\]CR
=
+
+−
=
−
+−
‰ˆ4
•
12•
$
‰ˆ4
•
12•
$
622
422
• ˆs‰STBLN
• ˆ‰\tBLN
$
$
1.
•
$
1.
−+
=
−−
= 22
QWt
=
=
∨
=
=
2
23
2
23
16
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
RM•4dC\p
$
$
1.
−+
== 23
$
$
1.
−+
=⇒
$
$
1.
−+
=⇒
DfCRWb\Q\tBLNgMfkC
$
1.
1
−+=
Bài 8. BPBCR
25%25•
22
=−++
!”BWBXMOBL
≤≤−⇔
≤
−≥
⇔
≥−
≥+
5
%2
5
•
5
%2
5
•
45%2
45•
ˆŠ‰
yC
22
5%2a5• 3 −=+=
aS”BM•4aS•4
8Mf
−=
+=
3
5%2
5•
2
2
CRWb\QCWS”BL
( )
≥≥
=−+
=+
⇔
≥≥
=+
=+
4a4
•‰ˆ
2
4a4
•
2
22
33
3
3
3
yC#ŒM•SSAŒMSaC\t
( )
≥
=∨=
=
⇔
≥
=+−
=
⇒
≥≥
=−−
=
4
1$
2
4
4•.$
2
4a4
•
2
9
99
9
9(
9
99
ˆ‰ ”B8Œ2aŒ$
MSASKABLN\]CR
2 $ 4
$
2
2 2
2
=
− + = ⇔
=
QWtC\t
=
=
∨
=
=
$
$
3
3
8Mf
2 2
2 2
• 5 • 5 $
%2 5 $ %2 5
+ = + =
∨
− = − =
• 5 • 5 •
%2 5 • %2 5
+ = + =
⇔ ∨
− = − =
17
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
5
%$
5
.
=∨−=⇔
CQPNbˆŠ‰
ˆ‰ ”B8Œ2aŒ1
⇒
OTC¢C^BMSAS
DfCRWb\Q\tBLNKA
.
5
%$
5
= −
=
5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II
bfWBCRNM¢`\\]osABCQBPBCRs—\\
WSXLW`B„eKQ^B
„•CNVCLCRW`B„eKQ^B_M
( )
( )
ˆ‰
ˆ‰
2
2
+ = +
+ = +
SBL\BPBLAfCRWBP
:lfBcC_|sB•LCACRs—\\WyC
( )
2 =
_Q\Q
ˆ‰KMTWZa
2 = + −
aOBWtC\tCR
( )
ˆ ‰ + = + − + ⇔ + = +
DfWhBPBCR
+ = +
CWyCK^BCdSAWSXL
:—\\CC{„•CLCE•MCg^sD\
( )
( )
42 6
2 4 6
α β
α β
+ = +
+ = +
aC_|
„lfg{WF\CRg^_MWyC
2 4 6
α β
+ = +
aOBWtC\t
CR
( )
4
4 6 6
β
α β
α α
+ = + + −
C{\QsD\\Q
( )
4
4 6 6
β
α β
α α
+ = + + −
tNK^BCRCc\Qg”Bg^OBCBhCPBSB•CSXg^
( )
§ §
( 4 6
α β γ
+ = + +
WyC
2 4 6
α β
+ = +
WhWSXLa\ZYSXgkM
\]
α
¨¨¨
BL\\p
•
α β
CTCc\ZC\š\SB•Cg”Bg^
( )
§ §
( 4 6
α β γ
+ = + +
KA\pWF\
Bài 1: BPBCR
− = −
!BXMOBL
≥
\tCRWF\SB•CK^BKA
ˆ ‰ − − = −
yC
2 − = −
CRCWSXL_M
ˆ ‰
ˆ ‰
2
2 2
− = −
− = −
jBS•\]CRCWF\
ˆ ‰ˆ ‰ 4 2 2− + =
BPBCCRNWF\BLN\]CRKA
= +
Cách 2:yC
4− = +
4 4
⇒ − = + +
18
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
=pŒCWF\C
CŒ„
O•CFS”BWMsABC\tLCR
− = −
− = −
BPBLAfC_|CRNWF\„
Bài 2. BPBCR
% 2 5 − − = +
!BXMOBL
5
2
≥ −
sB•WEBCR_M
2 2 5 ˆ $‰ 2 5 − − = + ⇔ − = + +
yC
$ 2 52 − = +
CWF\LCR_M
ˆ $‰ 2 5
ˆ ‰ˆ ‰ 4
ˆ $‰ 2 5
2
2 2
2
− = +
⇒ − + − =
− = +
”B
$ 2 5 $ 2 = ⇒ − = + ⇒ = +
”B
4 2 5 2 2 + − = ⇔ = − ⇔ − − = +
ˆSTBLN‰
H•CKMDBLN\]CRKA
$ = +
Bài 3:BPBCR
5 5 − + =
!H
5 ≥ −
C
5 5 • 5 ⇔ − = + ≥
ˆŠ‰
yC
5 5 4 4 4+ = + ⇔ + = + +
=pŒ4CWF\C
5Œ„SAO•CFS”BˆŠ‰CWF\LCR
5
5
− =
− =
CjWlfC_|CRNWF\BLN
Bài 4:BPBCR.„
•.„Œ
2 1
ˆ 4‰
•
+
>
!yC
2 1
•
4
+
= +
2 1
•
4 4
+
⇒ = + +
=p
4 =
CWF\
2 1
. .
• 2
+
= + + ⇒ + = +
H•CFS”BWMsABCWF\LCR
. .
. .
+ = +
+ = +
BPBLCRCdCCRNWF\BLN
Bài tập áp dụng:
BPBCR
2 + + = +
PHƯƠNG PHÁP 4:PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I-KIẾN THỨC:
19
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
=QBsV_`ˆas‰aˆ„af‰CRC\tˆ„•sf‰
ˆ ‰ˆ ‰4 6 2≤ + +
kM©©Œªª„Pf
4 6
2
⇔ =
2.Bất đẳng thức côsi:
‰”BB_`as
≥
4CRC\t
4 6
46
+
≥
kM©©Œªª„Pf
4 6⇔ =
s‰”Bs_`asa\
≥
4CRC\t
$
$
4 6
46
+ +
≥
kM©©Œªª„Pf
4 6⇔ =
Œ\
\‰”Bs`_`asa\ag
≥
4CRC\t
2
2
4 6 ;
46;
+ + +
≥
kM©©Œªª„Pf
4 6⇔ =
Œ\Œg
‚‰”B_`
a
a‹a
≥
4CRC\t
4 4 4
4 4 4
+ + +
≥
kM©©Œªª„Pf
4 4 4⇔ = = =
3.GTLN,GTNN của biểu thức:
‡#ŒN•–
ˆ„‰
≥
N
5 !
<5 !
⇒ ≥
⇒ =
kM§§Œ§§„Pf
⇔
–ˆ„‰Œ4
s‡#Œ7
ˆ„‰
≤
7
„
5 <
< 5 <
⇒ ≤
⇒ =
kM§§Œ§§„Pf
⇔
ˆ„‰Œ4
4. Dùng hằng đẳng thức :
joWBsR
45 7+ ≥
aC„lfg{CR
g^
45 7+ =
jCR
( ) ( )
5 1 5 4 − − + − − + − =
COBCBh\tCR
( )
2 2 5 1 5 + + − = − + −
5. Dùng bất đẳng thức
7VC_`CRWF\C^QCjgkMs—\]skCW˜Ce\
ˆ‰
ˆ‰
5 !
7 !
≥
≤
•MgkMs—iˆ‰SAˆ‰\uW^CWF\C^B
4
CR
4
KABLN\]
CR
5 7=
\t
+ + − ≤
kMs—OBSA\šOB
4 =
SA
+ + ≥
+
agkMs—OBSA\šOB„Œ4DfC\tCR
44• 44•
− + + = + +
+
20
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
TBOBNVC_`CRWF\C^QCjYCi
( )
ˆ ‰
5
7
≥
≤
OBWt
( )
( )
5
5 7
7
=
= ⇔
=
•MCWQC”\WF\BLNCRSBL\guskCW˜Ce\g¡gA
a\tBXMsABBLNKASTCšSBL\WQBLNOTWF\aC
SmguskCW˜Ce\WhWBWF\
II-BÀI TẬP:
Bài 1.BPBCR
1
+ = +
+
!O
4 ≥
\t
( )
1
+ ≤ + + + = +
÷ ÷
+
+ +
kMs—
.
⇔ = ⇔ =
+ +
Bài 2.BPBCR
2 2
$ 1 % − + + =
!O
− ≤ ≤
:B•WEBCC\t
(
)
$ 1 5% − + + =
3gvskCW˜Ce\:MB\Q„OB
(
)
( )
( ) ( )
$ $ $ $ $ $ . $ $ $ $ 24 % 4
− + + ≤ + − + + = −
3gvskCW˜Ce\=T_B
( )
%
4 % 4 %2
− ≤ =
÷
kMs—
5
$
4 % 4
5
=
+
− =
⇔ ⇔
= −
= −
Bài 3.BPBCR
$«
2
$ • 24 • 2 2 4 − − + − + =
!\eNB
2
• 2 2 $ + ≤ +
SA
( ) ( )
$
$ • 24 4 $ $ $ − − + ≥ ⇔ − + ≥ +
Bài 4:BPBCR
. 5 $• − + − = − +
!\t
Œˆ
. 5 − + −
‰
≤
ˆ•‰ˆ.„•„5‰Œ2
d4“
≤
7yCO\Œ„
„•$•Œ•ˆ„%‰
≥
‚QBPCB•CgkM§§Œ§§„PfOBSA\šOB„Œ%
Df„Œ%KABLNgMfkC\]CRWb\Q
Bài 5:BPBCR
$ − + − + + =
!H
[ ]
• ˆ‰ ∈
21
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
$ ˆ‰ ⇔ − + − = − +
jˆ‰C\t
4
ˆ$‰
− + ≥
⇔ + ≤
⇔ + ≤
⇔ ≤
jˆ‰SAˆ$‰\t„ŒC•SAQˆ‰CQPNbDf„Œ
Bài 6:BPBCR
„ 2„
„
2„
−
+ =
−
!BXMOBL
„
2
>
3gvskCW˜Ce\\T_BC\t
„ 2„ „ 2„
„ „
2„ 2„
− −
+ ≥ × =
− −
‚QBPCB•CgkMs—„PfOBSA\šOB
„ 2„
„
2„
−
=
−
„ 2„ 4
ˆ„ ‰ $
„ $
⇔ − + =
⇔ − =
⇔ = ±
kM›Œœ„Pf⇔
„ 2„ „ 2„ 4= − ⇔ − + =
⇔
„ 2„ 2 $ 4 ˆ„ ‰ $ „ $ „ $− + − = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±
ˆQPNb‰
Df
$ = ±
Bài 7:BPBCR
„ 5„ $„ − − − = −
!=\WBXMOBL„•
”B„•CR•CB
„ 5„ − < −
⇒S•CBKMTlN
•PB
$„ −
•⇒S•PBKMTg
DfCRWb\QSTBLN
=\”B„•aC\t
„ 5„ $„ − = − + −
⇔
„ •„ $ ˆ5„ ‰ˆ$„ ‰− = − + − −
⇔
.„ ˆ5„ ‰ˆ$„ ‰− = − −
•CBKMTKANVC_`lNS”B„•aS•PBgS”B„•⇒CR
STBLN
Bài 8:BPBCR
$„ %„ . 5„ 4„ 2 2 „ „+ + + + + = − −
ˆ‰
!\tˆ‰⇔
2 1
$ „ „ 5 „ „ ˆ„ „ ‰ 5
$ 5
+ + + + + + + = − + + +
÷ ÷
⇔
$ˆ„ ‰ 2 5ˆ„ ‰ 1 5 ˆ„ ‰+ + + + + = − +
\t•CB•
2 1 $ 5+ = + =
kM›Œœ„Pf⇔„ŒG
•PB’5kM›Œœ„Pf⇔„ŒG
DfCRWb\Q\tNVCBLN„ŒG
22
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Bài 9:BPBCR
„ .
• „ „
„
+
+ = + −
+
!WBXMOBL„•
¡Ckf„ŒKANVCBLN\]CR
G•M
„
≤ <
Œ
%
• • $
„
+ + < +
+
7A‘
• $+
G•M„‘Œ„
•
„ −
‘
•
$
Œ
• $+
“
• $+
„ „
% %
$
„
> ⇒ + > +
+ < + =
+ +
DfCRWb\Q\tNVCBLNgMfkCKA„Œ
Bài 10:BPBCR
% •
%
$ „ „
+ =
− −
!H„“:—\\C…aCCkf„Œ
$
KABLN\]CR
\\eNBWtKABLNgMfkCDCSDf”B„“
$
%
$ „
<
−
SA
•
2
„
<
−
⇒
% •
%
$ „ „
+ <
− −
C{S”B
$
“„“
% •
%
$ „ „
+ >
− −
Bài 11:RNBLNMfdg\]CR
( )
2 2
$ $2
2 5
− +
+ + + ×××+ =
+
− +
!H
2 ≤
ˆ‰
\t
2 5
− = −
+
− +
2 2 ⇔ − = −
ˆŠ‰
\tˆŠ‰Œ
2 4 2 − ≥ ⇒ ≥
ˆ‰
jˆ‰SAˆ‰C\t„Œ2KABLNgMfkC
III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:BPB\\CR_M
− +
− + + = +
+ −
2
− + − = − +
÷
2 2 2
• 2 2 2 2 + = + + −
2 $$
% 5 % 2 + = +
$«
2
$ • 24 • 2 2 4 − − + − + =
$ $ 2
• %2 • • + + − = − +
2 2 2
• + − + − − = +
$ 5 • • − + − = − +
Bài 2:BPB\\CR_M
‡
„• %„Œ „ •„•2
‡
2 % 4 . − + − = − +
$‡
% % $ − + + = − +
2‡
2 $ − + + =
23
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
8…gv\\C}\kC\]AN_`WhBPBCRKAg^CQO•M‚
CMV\
\t$”gv_MWlf
Hướng 1{\BLC‚Q\\s”\
7=>*=MfhCRSXg^
ˆ ‰ 0=
7=>,Ÿ•CAN_`
ˆ ‰2 =
7=>?D„•C
• ”B
4 4
ˆ ‰ ˆ ‰ 0= ⇔ = =
gQWt
4
KABLN
• ”B
4 4
ˆ ‰ ˆ ‰ 0> ⇔ > =
gQWtCRSTBLN
• ”B
4 4
ˆ ‰ ˆ ‰ 0< ⇔ < =
gQWtCRSTBLN
• Df
4
KABLNgMfkC\]CR
Hướng 2{\BLC‚Q\\s”\
7=>*=MfhCRSXg^
ˆ ‰ ˆ ‰ =
7=>,uKDKMDO˜W[—
ˆ ‰
SAˆ„‰\toC}\kCCB
F\MSA„\W[
4
_Q\Q
4 4
ˆ ‰ ˆ ‰ =
7=>?Df
4
KABLNgMfkC\]CR
Hướng 3{\BLC‚Q\\s”\
7=>*=MfhCRSXg^
ˆ ‰ ˆ ‰ 3 =
7=>,Ÿ•CAN_`
ˆ ‰2 =
aguKDKMDO˜W[AN_`WWBLM
7=>?HBWt
ˆ ‰ ˆ ‰ 3 3 = ⇔ =
Ví dụ: BPBCR
( )
(
)
(
)
2 2 2 $ 1 $ 4 + + + + + + + =
!C
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
$ $ $ $ $ ⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = −
Ÿ•CAN_`
( )
(
)
$ = + +
aKAANW¢sB•Cd(aC\t
5
= −
Ví Dụ 2:BPBCR
$ $ $
% $ 4 + + + + + =
!DCkf„ŒKANVCBLN\]CR
yC
( )
$ $ $
% $ = + + + + +
”B
( ) ( )
< ⇒ <
SDfAN_`–ˆ„‰W¢sB•Cd(
Df„ŒKABLNgMfkC\]CR
Bài tập áp dụng:
BPBCR
‰
2 2
− + − =
\‰
$
− = + −
‚‰
$
− + + =
s‰
$
2 5
− = − − +
g‰
$
= − + −
–‰
$ 2
− + + = −
PHƯƠNG PHÁP 6:
24
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
7VC_`CRSTCšC\tChžNWF\BLN
4
SDf
CRKMTWSXWF\g^C}\
( )
( )
4
4 5 − =
C\tChBPB
CR
( )
45 =
Qy\\eNB
( )
45 =
STBLNa@AB#3
0C4!C4(=DEFBG4HGBI4
( )
45 =
J!
:ABBPBCR
( ) ( )
+ + − =
ˆ‰
!=H
• ≤ − ≥
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
$
− − −
⇔ =
− − +
−
⇔ =
− − +
•M„
≥
C\t
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
$
$
$
−
− − + =
−
⇒ − = +
− + + =
BPBˆ$‰CCRNWF\„
•M„
≤
C\t
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
$
$
2
− − + =
⇒ − = − +
− + + = −
BPBˆ2‰CCRNWF\„
=H
• ≤ − ≥
•M„
≥
C\B\PBS•\Q
CWF\
( ) ( )
+ + − =
:RBS•_MWtBPBCRCCRNWF\„
•M„
≤
yCCŒ„
⇒ ≥
fSAQCRCWF\
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
− − + + − − − = −
⇔ − + + =
=B\PBS•\Q
CWF\
( ) ( )
− + + =
:RBS•CRNWF\C
8MWtCRN„
Q=CWb_…gvOB•Ce\KBdF=nCQ=CSDgvOB•
Ce\NBX„\W[SXž\]CRR\MCRSBL\SDgv
C‚Q=WBP
Bài 2 .BPBCR_M
( )
$ 5 $ $ 2 − + − − = − − − − +
HD:
DCkf
( ) ( )
( )
$ 5 $ $ $ − + − − − = − −
S
( ) ( )
( )
$ 2 $ − − − + = −
25
