200 Bài tập Tích phân có đáp án

TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Dạng 1: Tách phân thức
2

Câu 1.

x2

I 

1x



1

2

 I   1

2

2
16
1
6
9 
6ln x  4  9
l n x  3  1 = 1 2
16ln
9ln

25ln2
16ln3
5l n 2  1
6 l n3 .

x =  x 1
dx
d
x  4 x 3

2

Câu 2.

I 

1

d
x
dx
 7x  1
2
12

dx
d
x
x5  x3
1

x
1 1
 

x x3 x2  1
x3( x2  1)

 Ta có:


2
1
3
1
3
1))    lln2
 lln(
n( x2  1
n 2  lln5
n5
2
2
8
2
2x
1
1

nx

 I    lln

2



5

Câu 3.

I 

4

Câu 4.

3x2  1
x  2x  5x  6
3

2

d
x
dx

13
14
2 4 1
3 7 1

4
 I   lln
n  lln
n  lln2
n2
3 3 15 6 5

xxdx
dx

1

I 

( x  1)3
1
x
x  1 1
1
1))2  ( x  1
1))3  I   ( x  1

 (x  1
 Ta có:
x
1))2  ( x  1
1))3 d
dx
3
3

0
8
( x  1)
( x  1)
0

Dạng 2: Đổi biến số
Câu 5.

I 
1

Câu 6.

I 

(x 1
1))2

(2x  1)4

2

d
x
dx

 7x  19999

101

0  2x  1

99
9
9

 7x  1 
 I  

 2x  1 
0
1

1  x 1 
 Ta có: f ( x)  .

3  2x  1 

d
x
dx

100

Câu 7.

I 

0 (x

5x
2

 4)

2

99
9
9

 7x  1 
1 1  7x  1 
 
d


 2x  12 9 0  2x  1   2x  1 
d
x
dx

1 1  7x  1 
 


9 100  2x  1 
1

3

 x  1 
1  x 1 
.
 I  
 C
9  2x  1 
 2x  1 

d
x
dx

1  100 
1

2  1
0 900

 Đặt t  x2  4  I 

1
8

Trang 1
/>

1

x7

Câu 8.

I 

Câu 9.

I   x5((1
1  x3)6d
x
dx

1
0 ((1

x2 ) 5

 Đặt t  1 x2  d
dx  I 
dtt  2x
xdx

d
x
dx

1))3
1 2 (tt  1
1 1
d
dtt  .


2 1 t5
4 25

1
0

 Đặt t  1  x3  d
xd
x
dtt  3x2d
dx
dx
4

Câu 10. I 

3

1


2

Câu 11. I  

d
x
dx

2

1  x7

3



1

 Đặt : x 

2

Câu 14. I  
2

1

1



t



1

3

  t  t 2  1ddtt  4 llnn 2


dx
xx4.d
x

5

 I 

((1 x7 ))..x6
1

dx
d
x
x (1
(1  x2 )
3
3

tt 6
1
 I   2 d
dt
t 
t


1
t
1
001
x22001

x2 )1002

Cách 2: Ta có: I 

1

3
3

t t 2  1 

1002


1 3 1
x  2  1
x


117
41
1
17  4
1 3 

1 

dtt =
d

12
135
t2  1

.d
x . Đặt t 
dx

1

x2

dtt  
1  d

2
x3

dx
d
x.

000
11
x22000

..2
2xxdx
dx
. Đặt t  1 x2  d
dx
dtt  2x
xdx

2000
2
2
2
2 0 ((1
1 x )
((1
1 x )
1
000
1000

1
 x4
11

4

1

.d
x

dx

000
1 2 (t  1
)1)11000
1 2  1
 I   1000 2 d
dtt    1  
21 t
2 1 t 
t

1  x2



 t t

.d
x
dx
2

3
2 1002
1 x (1  x )

2

3

28
1 1128
1 t
d
x . Đặt t  x7  I  
d
dx
dtt
7
7
7
t

t
(1
)
x
x
.(1

)
1
1

2

00
x422004

Câu 15. I  

1
2

6

1 (1 

 I 

11 6
1  t 7 t8 
1
t
1
(

t
)
d
t

(1
dt
  

30
3  7 8  168

1 3322 dtdt
 I   5 10
. Đặt t  x  I  
2
5 1 t( t 2  1
1))2
1 x .( x  1)

d
x
dx
7
x
(1

x
)
1

Câu 13. I 

3x2

2

10
1))2
1 x..(( x  1

Câu 12. I  

I 

 Đặt t  x2  I 

dx
d
x
x( x4  1)

1

d
tdt

 1
1
d 1  
 t  2002.21001

d
x
dx

Trang 2
/>

1 x

2

 Ta có:

1
1
 x4

3
2

1



1

x2 . Đặt t  x  1  dt   1  1  dx


1
x
x2 

x2  2

x
3
2

3

 2 1 

t 2
1
1
 I  2

.ln

ln


dt


2
t  2 t  2 
 2  1
2
2
t

2
2
2
2
2
t

2



1
1


1
dt
dt

2

Câu 16. I  

1

1
1
 x2

4
1 1 x

1

1

dx

1

5

1
2 dt
2

1
1
1 x
dt
x
 Ta có:
. Đặt t  x   dt   1   dx  I   
.

2
x
1  x 4 x2  1
1
t

2
 xx2 
2
x2
du
u
d
5

5
Đặt t  2 ttan
; ttan
an u  2  u1  a
rctan 2; ttan
an u   u2  a
rctan
arctan2;
arctan
dtt  2
an u  d
2
2
2
cos u
2

u


2 2
2
2
5
du 
(u2  ud1) 
rctanu  a
rctan 2 
arctan
arctan2

a

2 u
2
2 
2

1

I

2

Câu 17. I  

1
1
 x2

3
1 x x

u

u

1

1
2

4
1
x
 Ta có: I  
dx
d
x . Đặt t  x   I  lln
n
1
x
5
1
x
x
2

dx
d
x

1 4

Câu 18. I  

0

x 1
x6  1

d

x
dx

x 4  1 ( x 4  x2  1
x4  x2  1
x2
1
x2
1))  x2





x6  1
x6  1
( x2  1)( x4  x2  1) x6  1 x2  1 x6  1

 Ta có:

1 1 dd(xx3)
 1  
 I   2 dx   3 2 dx   . 
3 0 (x )  1
4 3 4 3
0 x 1
1

Câu 19.

1

3
3



I

x4  1

0

I

x2

3
3



0

d
x
dx

2

xx

( x  1)( x  1)
2

1

Câu 20. I  

0x

2

xxdx
dx
4

 x2  1

.

d
xdx 

1
2

3
3 

1 

1

1

n(2 
  x2  1  x2  1 ddxx  4 lln(2
0





 Đặt t  x2  I 

1 1 td
11
dt

2 0 t 2  t  1 2 0

3
3)) 


12
d
dtt

2
 1  3 

t    
 2  2 

2




6 3

Trang 3
/>

Câu 21. I 

1 5
2



x2  1
x 4  x2  1

1

1

1

x2  1

 Ta có:

d
x
dx

x 4  x2  1

x2
1


x2 

x2

. Đặt t  x 

1


1
1
 dt   1   dx
x
x2 





1

dt
dt

0t

2

 I 

1

4

du
d
u

. Đặt t  ttan
an u ddtt 

2

cos u

 I  d
du
u
0


4

TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1

x

Câu 22. I  

d
x
dx

3x  9x  1
x
 I 
xd
d   3x2xdx
d   x 9x2  1dx
dx
dx   x(3x  9x2  1)xdx
3x  9x2  1
2

3

1
1
+ I 1   3x d
9x2  )1
1)  (9
(9x2  1
1)) 2  C2
x   9x2  1 d((9
dx
xdx  x  C1 + I 2   x 9x  1d
27
18
2

2

3

3

1
 I  (9
(9x2  1
1)) 2  x3  C
27
x2  x

Câu 23. I  





1
x x
1

dx
d
x

x2  xx

x2
x
dx
ddx
x 
d
x
ddx
x.
1 x x
1 x x
1
1 x x
x2

4
dx
x . Đặt t= 1  x x  t 2  1  x x  x3  (t 2  1
d
x  t (t 2  1
dx
1))d
dtt
1))2  x2d
3
1 x x

+ I1  

4
4
4
4
  (t 2  1
1))d
dtt  t 3  t  C =
9
3
3
9
x

+ I2  

1 x x

Vậy: I 

4
9



4

Câu 24. I  

0 1

dx =

1 x x

2x  1
2x  1



3

d
x
dx



1 x

x

3



4
1  x x  C1
3

2 d((1
1  x x)
4
d
1 xx x  C2
=

3
3
1 x x
1

C

 Đặt t  2x  1 . I =

3

t2
n2 .
 1  t ddtt 2  lln2
1

Trang 4
/>

6

dx
d
x

Câu 25. I  

2 2x  1 

4x  1

1

Câu 26. I   xx3 1  xx2 ddx
x

3 1
2 1
2
12

 Đặt t  4x  1 . I  lln
n 

1

 Đặt: t  1  x2  I    t 2  t 4 d
dtt 

0

0

1

1 x

Câu 27. I  


1
01

2
.
15

d
x
dx

x
1

t t
2 
11
1
1
4
ln2 .
4ln2
d
dtt = 2  t 2  t  2 
dtt =
d
3
t 1
1 t 

0
0

1 3

 Đặt t  x  d
dx
dtt . I = 2
x2
. t.d

3

x3

Câu 28. I  

d
x
dx
1

x
3
3
x


0
2

2
2
1
3
ln
6ln
d
2t  6
d
dtt   ((2

6))d
dtt  6
dtt  3  6
2
2
tt  1
1 t  3t  2
1
1

du  d
x  I 
dx
 Đặt t  x  1  2ttdu
0

 x.

Câu 29. I 

3

2t 3  8t

x  1d
x
dx

1

1

 t7 t4 
9
 Đặt t  x  1  t  x  1  d
dx
dtt  I   3
3((t  1
1))ddtt  3    
x  3t d
2
8
28
 7 4 0
0
3

3

5

Câu 30. I  

1

x2  1

x 3x  1

1

2

3

d
x
dx
2

 t2  1

 1
4 3 
d
2ttdt
dt
2ttdt
 Đặt t  3x  1  d
 I   2 
.
x
dx
3
3
t 1
2
.t
3
4

4
2 1 3 
100
9
t 1

 ln .
  t  t   ln
9 3
5
t  1 2 27
2
3

Câu 31. I  

0

 Đặt

2 x2  x  1

x 1



4
dtt
24 2
d

(
t

1
)
d
t

2
1)
dt


2
92
2 t 1

dx

x  1  t  x  t2 1  d
dx
x  2ttdt
dt
2

(2
2(tt 2  1
1))2  (tt 2  1
1))  1
 I 

2ttdt
dt
t
1

2

 4t 5

5
4
54
(2t 4  3t 2 )d
dtt  
 2 (2
 2t 3  
 5
1 5
1
2

Trang 5

/>

1

x2d
x
dx

Câu 32. I  2

0 ( x  1)

x 1

 Đặt t  x  1  t 2  x  1  2ttdt
dt  d
x
dx
I 

2



(t 2  1)2

t3

1
4

.2tdt 2 

1

x 1

Câu 33. I  

1 

0

2

2
 t3
 1
1
16  11 2
 t   dt  2   2t   
t 1
3
3
 t

2

1  2x 

2

dx
d
x

 Đặt t  1  1  2x  d

dtt 

x
d
dx

1  2x

dx
1))d
dtt và x 
d
x  (t  1

t 2  2t
2

2)(
1))
1 (t 2  2t  2
)( t  1
1 4 t 3  3t 2  4t  2
1 4
4 2
Ta có: I = 
tdt  
d
d
dtt    t  3   d
dtt

2
2
22
22
2 2
t t2 
t
t
4

=

Câu 34. I 

8



3

1  t2
2
1
4ln
ln t   = 2
ln 2 
2ln2
  3t  4
t 
2  2

4
x 1

dx
d
x
x2  1





 xx
1 


dx

x =  x2  1  lln
I 
n x  x2  1 
d
 2
2
x 1
3 x 1
8

8
3



n
= 1  lln

3  2  lln
n  8  3

1

Câu 35. I   ( x  1
x
1))3 2x  x2 d
dx
0
1

1

 I   (x 1
)1)3 2x  x2 d
x   ( x2  2x  1
)1) 2x  x2 ( x  1
x . Đặt t  2x  x2  I  
dx
1))d
dx
0

0
2

2
.
15

2x  3x  x
d
x
dx
0
x2  x  1
3

Câu 36. I  

2

2

3
( x2  x))(2
2
( x 1
1))
4
2
t


x

x

1
 I 
ddx
x . Đặt
dtt  .
 I  2  (t 2  1
)1)d
3
0
x2  x  1
1
2

x3d
x
dx

Câu 37. I  

3

0

4  x2

3

dx  3t 2d
dtt  I 
 Đặt t  4  x2  x2  t 3  4  2xxdx


3 2 4
3 8
dtt     4 3 2 
(t  4t )d

23
2 5

4

Câu 38. I 

1



11 

d
x
dx

x  1  x2

Trang 6
/>

 Ta có: I 
+ I1 
+ I2 

1
1
1  x  1  x2
1 11 
1  x2
dx

dx

dx
x
x

1
d
x

d
d
 2x ddxx
 (1 x2)2  ((1 2x2 )

x 

2
2
x


1
1
1
1

1

1  x  1  x2

1 11 
1
x   ln
n x  x  |11 1
dx
  1 d

2 1 x 
2
1

1  x2
dt  2x
dx  I2=
xdx
ddx

x . Đặt t  1 x2  t 2  1 x2  2ttdt
2x



1

2



t 2d
dt
t

2(t 2  1)
1)
2 2(

0

Vậy: I  1 .
Cách 2: Đặt t  xx  xx2  1 .



1

Câu 39. I  

1
3 3
x xx



x44

1
3

4  x2
dx
dx
xx

Câu 40. I  

1

2

4  x2
xxxdx
dxx . Đặt t =
x2

 Ta có: I  

1

0

t (ttdt
dt )



4  t2

3

Câu 41. I 



0

1

x  x2

3

 Đặt t  x  I  5 

1
1
0

td

dt

11 1
15
5
 ln
ln .
4 7
3t 4

 Đặt t  x  5  I  

2


 2
2  5
2t
1 
n 
dtt  5  1  
d

ddtt  5 3  1  lln

2
2
3 1
2
12

t tt  1 t  1

1)
t(t  )1
1 
3

t3  2
2

1

ddx
x
x2 xx  1
1 3
1

3

5

2

 Đặt t  x  xx2  x  1x I  x 
Câu 44. I  


2 3 


n
=   3  lln


2

3
3



d
dx
x
3

6

0

4

dxdx
dx
( x2  1)
1) xx2  5
x 2

Câu 43. I  

0

tt 2

x

27
7
2
7



4  x2  t 2  4  x2  ttdt
dt   xxdx
dx


tt  2 
 
d
((1
)d
dtt   1
dtt   t  ln
ln

2
t2 
tt 2  4


3tt  4
3

2 5
2

Câu 42. I 

dx
d
x

3

2

I=

1

 1
3 1
1
 Ta có: I    2  1 . 3 d
1  I  6.
dx
x . Đặt t 
x22
 x

1 x
x
1

x2

(  1  x )2 (2
(2  1 xx )2
(1
01
4



1
dtt
2d
 lln(2
n(22t  1
)1))
11
2t  1

3

 lln
n

3 2 3
3

dx
dx
42
4
2 3
36
6

4

 Đặt 2  1 x  t  I    2t  1
6
 d
12
2 4
42l
2 ln
16
dtt  1
42ln
2
t
3
t


3

Trang 7

/>

3

x2

2(( x  1
1))  2
02

x 1  x x 1

Câu 45. I  

2

 Đặt t  x  1  I  
Câu 46. I 

3

2 2



1

t (t  1)2

2011
x  x3  2
011xx
dx
4
x
3

2 2

 Ta có: I 



1

M

2 2

1

3



N

2 2

2011



3

 I



dx . Đặt t 

dx 

2 2



1

0 (1 

x2

1  M  

3
2



0

2 2

 2011
2011x dx   

 2x2  1
3

t 3d
dtt  



2
13 7
21
128

14077
16

3

x3). 1  x3
3

3

3

3

2

dt



2
 3

 
1
t 2. t 3  1  3  
  t 

Đặt u  1 

Câu 48. I 

1
t33

2 2



3

 du 



tt 2

1

t 4.(t 3  1) 3

2

1

3dt

d
dtt 

3

2

dt



t44

3

2



 Đặt t  1  x  I 

1

1

7
2

dx
x
d

Câu 47. I  



3

3

14077 213 7
.


16
128
1
6
1
28
1

3

x

1
2 2
2011
2
011
x2
dx
dx
d
d
x 
xM N
3
x3
x
1

x

1

x

d

1

1

x2
x3

1

2
2 2
2
1))3 
 2 (t  1
1))2 d
dtt  (t  1
1
3
3
1

dt

2tt(tt 2  1
)1)2 d
t

1

d
x
dx

2
3


1
t 4 1 3 
 t 

1
2

2
u 3

 I 

0

3



2



dtt
d

1

t 2.(t 3  1) 3

2



1



t 
t4

2 1  3 



1

d
u
du



2
3

dt

1
2
1 2 3
u du
du 

3

0

 1
1  u3

1
2


 
3 1 

 
 3 0

1
1 2
 u3
0



1
3

2

x4
dx
d
x

1 2
 x  x  x 1



 Đặt t  x2  1

Trang 8
/>

3

 I 

3
3
1
9
1
2  4 2 
t  2t 2  1
19
2
tdt
d  tt dt
t 
t 
ln 
dt

ln
dt
t =

22
3
4  4  2 
t22  2
t2  2
2

2
2t 2
3 4

12
(t 2  1)

2

Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
1


 dx

2
x
x
n
l
ln
1

x
x


 1 x
 dxx



0

Câu 49. I   

1 x

1

1 x
dxdx . Đặt
1 x

 Tính H  

0

 

x  ccos
ost;;tt   00
;;   H  2 
0;
2
 2

1
uu  lln(1
n(1 xx)
11

 Tính K   2x ln
 K
ln(1
(1  x)d
x . Đặt 
dx
22
dx
dv  2xxdx
 dv
0
v
x
d

Câu 50. I 

2

4x  x
 x( x x x) 4) xd
5

22

2 2

d
x
dx

d

2

I=

2

 (x

5

 x )) 44 xxdxd
xx =
dx
22

22

2

2

x

5

4  x dxd
dx

x +
2

2
2

+ Tính A =

x

2

x

2

4  xxdx2dxd
dx
x = A + B.

2

4  x2 d
x . Đặt t   x . Tính được: A = 0.
dx

5

2
2

+ Tính B =

x

2sin
is
ns t . Tính được: B = 2 .
4  xx2 d
xd. Đặt
x x2
dx

2

2

Vậy: I  2 .
2

Câu 51. I  

3 



4  x2 dx
dx
2x 4

1
2

 Ta có: I  

2

3

44
1 2x

2

+ Tính I 1 = 

3

4
1 2x

2

+ Tính I 2  

1

dx
dx  

d
xdx =

1

4  x2
2x4 4

dx
dx .

3 2 4
7
x dx
dx  .

16
21
6
1
6

4  x2
2sin
dx
2cos
si n t  d
x2
c
costtdt

dt .
dx .xĐặt x  2
ddx
2x 4

Trang 9
/>







1 cos
cos tdt
ttd 1
12
3
2  1 

c
o
t
t
d
t


cot 2 t .d (cot

(cot t ) 
cot
dt
cot





4
2
8  sin
8
8
8
in t
in t 
 sin
2

2

 I2 

2

6

Vậy: I 

11 
77 22 33 .
1
66
16

1

x2dx
dx

0

4  x6

Câu 52. I  

6

6

2
 Đặt t  x3  dt
dt t 3xx
d
dxx I 
dx

1 1 dtd
dtt

.

3 0 4  t2
2



 
16

2sin
2cos
s
i n u, u   0
;0;   d
dtt  2
2c
cosu
udu
du  I   d
Đặt t  2
dtt  .
 2
18
30
18

2

2 x

d
x
dx
x2

Câu 53. I  

0

2

0

1

x
x2d
dx

0

3  2 x x2x2

Câu 54. I  

1

 Ta có: I  

0

x2dx
dx
1))2
22  ( x  )1

. Đặt x  1  2
2cos
co
cost .


2

 I  

2
3

1
2

Câu 55.



tt
2

 Đặt x  2

2cos
dx
2sin
c
so
s t d
x
x  2
si n ttdt
dt  I  4  sin
sn
i 2 dt
dt t    2 .

(1
(1 2
2s
sco t) 2
siin
nt
2cos
2sin
dd
tt =
dt
2
4  (2
(2cos
co
s t)

2

2
3

co
sst  2
cos2t d
2cos2
dtt =
  3  44cos





3 3

44
2
2

2



1  2x 1
1
 x2 d
x

dx

6

 Đặt x  ssin
i n t  I   ((cos
c ost  s
i nt) s
cos
co ttdt
sin
dt 

0

0


2
1
12



3 1

8 8

Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 56. I 

3



dx
x2  1d
x

2

Trang 10
/>


x

u
du
dx
d
x
u  x 2  1  d
2
 Đặt 

x 1

dv  dx
v  x


 I  x x 1
2

5 2

3



2

 I

3
2



3



x.

2

x  1dx 
2

x

x2  1
3



2

dx  5 2 

dx

x2  1

 2
  x 1 

2

3


 dx
x2  1 

1

 5 2  I  ln x  x2  1

3
2

1
5 2
 ln 2  1  ln2
2
4

Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x 

1
vì  ;2
3    1
1
2;3
;1;1
cost

Trang 11
/>

TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
Câu 57. I  

8
co
s 2 x  ssin2
i n 2x  3

8cos
ddx
x
sin x  cos x

(i(sin
n
s xc
ocos
s )x)2 
4 c4cos2
o2 s x
d
x   si nsin x c
ocos
s x4
si(n x  ccos
so x ddx
x
dx
4(sin
sin x  cos x
 3cosx  5sin x  C .
2tan2
ccot
ot x  ttan
an x  2
tan 2x
Câu 58. I  
d

x
dx
sin4x
2cot
2tan2
2cot
2
cot 2x  2
tan 2 x
2
cot 4 x
ccos4
os4 x
1
 Ta có: I  
dx
dx
dx
d
x 
d
x  2
d
x
CC
2
sin4x
sin4 x
2sin4 x
sin 4x



ccos
os2  x  
8

Câu 59. I  
d
x
dx
sin2x  cos2x  2


1  ccos
os 2x  
1

4 d
 Ta có: I 
x
dx

2 2 1  sin  2x   



4


 cos 2x   




1 
dx


4  dx 




2
2 2  1  sin  2x   
 


  


sin  x    cos x    

4

8
8  

 


 I 





cos 2x  


1 
dx
4  dx  1




2 2
3  
2 2  1  sin  2x   
sin  x 




4
8 






1 

3  

 ln 1  sin  2x    cot  x 
  C

8  
4

4 2 
Câu 60. I 



 2



dx

3
si n x  ccos
os x
3sin

3

ddx

x
1
1
xdx
d
=I 
=
.
  
4 
  4 3
2 xx 
1  cos x  
2sin   
3
3
3

2 6



1
I 
2 



Câu 61. I 

6

1

 2sin x 
0

x
d
dx
33

Trang 12
/>

 Ta có: I 





6

6

1
2 0

1

1
2

dx  
dx


0
I dx dx
sin x  sin
sin x  sin
3
3
x x 660
 x    x  
0 1 1 1


cos
      
cos
6
6
2 sin
  2 6   2 6   dx
3

dx




sin sin





0 2cos x   .sin x  
sin03sin
3 x  sin




3
2 6
2 6
 


x 

cos
sin   
  
  x   


6
6

1
 2 6 dx  1
 2 6  dx  ln sin  x    6  ln cos x    6  .....

 x2x  x  




2 0
x 
2 6 0
2 6 0
dx dx0 xsin   
cos  
2 6
x x 66 2 6
0 0 cos 
cos 2 2
Câu 62. I   (sin4 x  cos4 x)(sin6 x  cos6 x)dx .
6 2
0
6 3
33
33
3
3 7
3
3
sin

 Tasin
có: ((sin
 ccos4
os4x  ccos8
os8x  I 
.
cos
cos
si n4 x  c
os4 x))(sin
(si n6 x  c
os6 x) 
1
28
64 16
64
128
2cos
.sin 3 2 
2
Câu 663. 2I   c
os2x((sin
si n4 x  ccos
os4 x)ddx
x
cos2
6  0

   


   2
 1 2 
1 2 1 2 
os2x  1  xssin
i n 2x  dx    1 x ssin
i n 2x d
si n 2xx)  0
 I   ccos2
 d((sin2
0




2



2 0

2



 
2


Câu 64. I   ((cos
cos3 x  1

os2 x.d
x
1)) ccos
dx
   0
  

   2
2
2
8
 A =  ccos
os5 xdx   1d s
isin
n2 x  xd((sin
si n x) =
15
0

 0

  

2
12

2
B
=
cos

x
.
dx
dx =
xdx

(1  cos2x ).dx



4
20

0
Vậy I= 8 –  .
15 4



x

d

d

x



x

x 2
dx
os 2 x ccos
os 22xxdx
dx
Câu 65. I   ccos
dx
x0
x
6
6

x



0 2





1
12
2
I cos
c
o
s
x

c
o
2
s
x
x
d

(
1

c
o
2
s
x
)
c
o
s
2
x
d
x

cos
2 x  ccos4
os4x)d
x
cos

cos2
xdx
(1
cos2
cos2
xdx
dx


 (1(1 22cos2
2
4
sin 2 6
0
0
0
2 6
1122
sin cos
Trang 13
262
I
/>6 
0

2




2
1
1

 ( x  ssin2
i n x  sin4
i x) 
4
4
8
0



4sin
si n3 x
2 4
dx
d
x
0 1 cos x

Câu 66. I  



4sin
4sin
4
si n3 x 4

si n3 x((1
1  ccos
os x)
4sin
4sin
4sin
2sin2

4
si n x  4
si n x ccos
os x  4
si n x  2
si n 2x
1  cos x
sin2 x


 I   2 (4sin x  2sin2x)dx  2
0

2

Câu 67. I 



sinxxdx
dx
11 sin

0

I

2
2
 x  
 xx
xx 
xx
xx
in   d
x
dx
dx
i n  ccos
os  dxdx   ssin
i n  ccos
os d
x  2  ssin
 ssin
2 4
2
2
2

2
0
0

2

2



0

 3

2
2
x  
x 
 2   sin   dx   sin    dx   4 2
2 4
2 4 
0
3


2




Câu 68. I 

4



0

dx
d
x

cos6 x

4

 Ta có: I   ((1
1 2
tan2 x  ttan
an4 x)d((tan
tan x) 
2tan
0

2
8
28
.
15
1
5

Dạng 2: Đổi biến số dạng 1

ssin2
i n 2xxdx
dx
3  4sin x  cos2x
2
i2sin
ns cx scos
o x
1
 Ta có: I  
sin
n x  I  lln
n ssin
in x  1 
C
ddx
x . Đặt t  is
ssin
in x  1
2sin2 x  4sin x  2
dx
d
x
Câu 70. I  
3
sin x.cos5 x
ddxx
ddxx
 8 3
 I 3

3
2
sin 2 x. ccos
os 2 x
sin x. cos x. cos x


3
1 4
3 2
1
an x . I    t 3  3t   t 3  td
an x  ttan
an x  3
l n ttan
an x 
C
dt  ttan
3ln
Đặt t  ttan
t
2
4


2tan2 x
2t
Chú ý: s
.
isin2

n2 x 
1 t2
1
Câu 69. I  

Trang 14
/>

dx
d
x

Câu 71. I  

sin x.cos3 x
dxdx

 I 

ddx
x

 2

. Đặt t  ttan
an x  d
dtt 

dx
d

x

; ssin2
i n 2x 

sin x.cos x.cos2 x
sin2x.cos2 x
cos22xx
dt
t2  1
t2
1
tan2 x

dt   (t  )dt   ln t  C 
 I  2
 ln tan x  C
2t
t
t
2
2

2t

1
1
tt22

1 t2

Câu 72. I  

2011
2
011

011
009
s
isin
n 22011
xs
isin
n 22009
x
ccot
ot xxdx
dx
5
sin x

1

2011
2
1
01 1 

issin
n2 x ccot

ot xxdx
dx  
sin4 x

 Ta có: I  

Đặt t  c
ot x  I  
cot

2
2011
2
0
t 11 ((1
1  t 2)ttdt
dt

4
024
4024

2011
2
011

 ccot
ot 2 x

sin4 x

ccot
ot xxdx
dx

4
024
4024

8
046
8046

2
011 22011
2
011 22011
2011
2011

t 011 
t 011  C
4024
8046
4
024
8
046

8

046
8046

2
011
011
2011
2011
011 x  2
011 x  C
=
ccot
ot 22011
ccot
ot 22011
4024
8046


Câu 73. I 

2

ssin2
i n 2x..cos
cos x
ddx
x
x
1


cos
0




2
1))2
(t  1
ssin
i n x..cos
cos2 x
cos
os x  I  2
d
ln2  1
dtt  2
2ln2
d
x . Đặt t  1 c
dx
t
cos
x
1

c
o
s

1
0

2

 Ta có: I  2 

3

Câu 74. I   s
i n2 x ttan
an xxdx
dx
sin
0





3

 Ta có: I   ssin
i n2 x.
0

3
ssin
in x
(1

os2 x))sin
si n x
(1 ccos
cos
osx
d
x 
d
x . Đặt t  c
dx
dx
cos
ccos
s x
o
c
o
s
x
0

1
2

1 uu2
3
d
u  lln2
n2 
du

u
8
1

 I  


sin2 x(2
(2 11 cos2
cos2x )d
)x
dx
Câu 75. I   sin


2





2sin xxdx
dx   sin
sin2 x 11 cos2
cos2xxdx
dx  H  K
 Ta có: I   2sin
2





2

2

Trang 15
/>





+ H   2sin
2sin xxdx
dx   (1(1 cos2
cos2x )d
)x   
dx
2





2

2






22 22













2

2

2

+ K   sin
sin2 x 2cos
2cos2 x   22 sin
sin2 x cos
cosxxdx

dx   2  sin
s
i n2 xxd
d(sin
(si nx))

I 





2

2
3

2
3



Câu 76. I 

3

dx

 ssin
i n2 x..cos

cos4 x



4


3

dx
d
x

ddx
x
. Đặt t  ttan
.
an x  d
dtt 
cos2 x
 sin 2xx.cos xx

.4. 
 I 4

2

2

4

I 

3



(1  t 2 )2dt
dt
t2

1

3





1

3

 1
1
tt 3 
8 34
2

2

dt


t

t
dt

2
t

 

 2

3 1
3
 t
t




Câu 77. I 

2

sin 2 x

dx

  2  ssin
in x 
2

0





2

2

ssin2
i n 2x

 Ta có: I  

2
0 (2  sin x)

3

 I  2

2

t 2
t2

d
x  2
dx

ssin
i n x ccos
os x

2
0 (2  sin x)

sin
in x .
d
x . Đặt t  2  s
dx
3

1 2 

2
3 2
ln 
2ln
dtt  2    ddtt  2  lln
d
n tt   2
t 2
t t2 

2 3

2
3



Câu 78. I 

6

ssin
in x

 cos2x ddxx
0





6

6
ssin
in x
ssin
in x
cos
dtt   s

sin
xdx
osx  d
in x
dx
d
x 
d
x . Đặt t  c
dx
dx
2
cos2x
0 2cos x  1
0

I

1;; x 
Đổi cận: x  0  t  1
3
2

Ta được I   

1

1
2t  1
2

d
dtt 


6

t 

1
2 2

lln
n

3
2
2t  2
2t  2

1

=
3
2

1
2 2

lln

n

3 2 2
5 2 6

Trang 16
/>



Câu 79. I 

2

sin2 x

e

11 t
1
e (1  t )dt = e  1.

2
20

 Đặt t  sin x
2

3

.sin x.cos x. dx

0


2

1
dx
2

Câu 80. I   sin x  sin2 x 



 Đặt t  cosx . I 

3
(  2)
16

6


Câu 81. I 

4

sin4x



sin x  cos x
6

0

6

dx


4

sin4x



I

1
4

3
1  sin2 2x
4

0

4

3
2 1 
dx . Đặt t  1  sin2 2x  I =   
t
dt =
3
4
3
t


1

1
1
4



2
.
3



Câu 82. I 

2

sin x



 sin x 

0



3

3 cos x

dx




 Ta có: sin x  3 cos x  2cos x 



;
6



 
3 
 1


sin x  sin   x     =
sin  x    cos x  
6 6
2
6 2
6







sin  x   dx
2
6
3
1 2
3
dx

I=
=



6
16 0



  16 0

cos3  x  
cos2  x  
6
6




Câu 83. I 

4

sin x 1  cos2 x



cos2 x





I

dx

3





4

sin x

4

sin x



cos2 x



cos2 x





1  cos2 x .dx 





3



sin x dx 

3

0







sin x
cos2 x

sin x dx 

4



sin x

2
0 cos x

sin x dx

3



= 

0

sin2 x



cos2 x





4

dx  

0

sin2 x
cos2 x

dx 

7
 3  1.
12

3

Trang 17
/>


6

 sin x 

Câu 84. I 

0

1

dx
3 cos x



sin  x  
1
1

1
1
3  dx .

I
dx = 
dx = 
20


20


0 sin x  3 cos x
sin  x  
1  cos2  x  
3
3








6

6

6

1
2





1
1
1
Đặt t  cos x    dt   sin  x   dx  I  
dt  ln3
3
3
2 0 1 t2
4



2



Câu 85. I 

1  3sin2x  2cos2 xdx

0

I





2

3



sin x  3 cos x dx = I 

0





sin x  3 cos x dx 

2

 sin x 

3 cos x dx  3  3



0

3



Câu 86. I 

2

sin xdx

 (sin x  cos x)3

0



 Đặt x 


2

 t  dx  dt  I 



2

costdt

0



2

cosxdx

 (sin t  cost )3  (sin x  cosx)3


0





12
dx
1
 4
1
 
  cot( x  )  1  I 
 2I  
2

20 2

2
4 0
2
0 (sin x  cos x)
sin ( x  )
4
2

dx



Câu 87. I 

2

7sin x  5cos x

 (sin x  cos x)3 dx

0



 Xét: I 1 



0

Đặt x 


2



2

sin xdx

 sin x  cos x 

3

I2 

;

2



0

cos xdx

sin x  cos x 

3

.

 t . Ta chứng minh được I1 = I2


Tính I1 + I2 =

2



0



dx

 sin x  cos x

2



2

dx

0

2cos2 ( x  )
4







1
 
tan( x  ) 2  1
4 0
2

Trang 18
/>

 I1  I 2 

1
 I  7I 1 – 5I 2  1.
2



Câu 88. I 

3sin x  2cos x

2

 (sin x  cos x)3 dx

0





 Đặt x 

2

 t  dx  dt  I 



3cost  2sin t

2

 (cost  sin t )3

0



 2I  I  I 

2

Câu 89. I 

2

3sin x  2cos x

3cos x  2sin x

 (cos x  sin x)3 dx

0





2

3cos x  2sin
2sin x

2

11

 (sin x  cos x)3 dx   (cosx  sin x)3 dx   (sin x  cosx)2 dx  1 

0



dt 

0

I 

0

1
.
2

x sin x

 1  cos2 xdx

0



 Đặt x    t  dx  dt  I  
0



sin t

 2I   

2
0 1  cos t



(  t )sin t

1  cos2 t



dt   

sin t

2
0 1  cos t

dt  I

  
2
    I 
2
8
 4 4
0 1  cos t
d(cost )

dt   



Câu 90. I 

cos4 x sin x

2

 cos3 x  sin3 x dx

0



 Đặt x 


2

0

 t  dx  dt  I   


4

sin t cost

cos3 t  sin3 t

dt 

2

sin4 x cos x

 cos3 x  sin3 xdx

0

2



 2I 

2





cos x sin x  sin x cos x
4

4

sin3 x  cos3 x

0

dx 

2



0



sin xcos
cosx(sin
(sin x cos
cos x))
3

sin3 x  cos3 x

3

dx 

11 2
11
sin2xdx 

20

2

1
4

 I .


Câu 91. I 

2

1

  cos2(sin x)  tan


0

 Đặt x 


2


(cos x)  dx


 t  dx  dt


2

2



2


1
 tan2(sin t)  dt   
 tan2(sin x)  dx
2
2


 cos (cos t)
 cos (cos x)
0
0

 I 

1

Trang 19
/>





2
2

1
1
Do đó: 2I   
 tan2 (cos x)  tan2(sin x)  dx = 2  dt  

2
2

 cos (sin x) cos (cos x)
0
0

 I


2

.



Câu 92. I 

4



cos x  sin x
3  sin2x

0

dx

2

 Đặt u  sin x  cosx  I 



1

du
4  u2

. Đặt u  2sin t  I 



4

2costdt



4  4sin2 t



4





12

  dt 

6

.

6



Câu 93. I 

3

sin x

0

cos x 3  sin2 x



 Đặt t  3  sin2 x =

I=

dx

4  cos2 x . Ta có: cos2 x  4  t 2 và dt 





3

3



0

sin x
cos x 3  sin2 x
15
2

1 t2
= ln
4 t 2

3

2

3

sin x.cos x
cos2 x 3  sin2 x

sin2 x

+ Tính I 1  

3

2
3

+ Tính I 2= 

3





dx =

3

dt
4  t2

=

1
4

3  sin x
2

dx .

15
2 



3

1 
1


dt
 t  2 t 2

1
15  4
32 
1 
 =
 ln
 ln
ln 15  4  ln  3  2  .

4
2
15
4
3
2







2
3

x
2
3

Vậy: I 

0

sin3 x  sin2 x

3

 I  



x  ( x  sin x)sin x

Câu 94. I  3
2
3

=

.dx =

15
2

sin x cos x

dx  

3



dx

dx
.
1  sin x

u  x


du  dx
dx  
I1 

dx . Đặt 
dv 
v   cot x
3
sin2 x

sin2 x


x

2

dx

 3
1  sin x 
3

2

dx
dx
 3
4  2 3


x
2
1  cos  x 
3 2cos   
2

 4 2

 4 2 3.

3

Trang 20
/>


2

Câu 95.

sin2x

I

cos2 x  4sin2 x

0



I

2



dx

2
udu
22
2
3
dx . Đặt u  3sin x  1  I  
  du 
3
u
31

1
3sin2 x  1

2sin x cos x

0

2

2



tan  x  
4 dx

Câu 96. I  
cos2x
0


6




tan  x  
6
tan2 x  1
1


4

I
dx . Đặt t  tan x  dt 
dx   
dx  (tan2 x  1)dx
2
2
cos2x
cos x
0
0 (tan x  1)


6

1

 I 

3



0

1

1 3 1 3

.


2
(t  1)2 t  1 0

dt



Câu 97. I 

3

cot x
dx

 sin x.sin  x  


4

6




3

cot x



sin2 x(1  cot x)

 I  2

dx . Đặt 1 cot x  t 

1
sin2 x

dx  dt

6

 I 2

3 1



3 1

t 1
dt  2  t  ln t 
t

3 1
3 1

3

 2

 ln 3 
 2
 3


3



Câu 98. I 

3

dx

 sin2 x.cos4 x



4


3

dx



sin2 2x.cos2 x

 Ta có: I  4. 

. Đặt t  tan x  dx 

dt

1 t2

4

3
3
3 (1  t 2)2 dt
3 1
1
8 34
t
  (  2  t 2)dt  (  2t  )

 I 
2
3
t
3
t2
1

1 t
1

Trang 21
/>


4

sin x

 5sin x.cos2 x  2cos xdx

Câu 99. I 

0


4

 Ta có: I 

tan x

1

 5tan x  2(1  tan2 x) . cos2 x dx . Đặt t  tan x ,

0

2
1 1 2
1 
1
 I  2
dt   

 dt  ln3  ln2
3 0  t  2 2t  1 
2
3
0 2t  5t  2
1

t


4

sin2 xdx



cos4 x(tan2 x  2tan x  5)



Câu 100. I 



4

 Đặt t  tan x  dx 
1

dt



Tính I 1 

1 t

2

 2t  5

dt

1 t2

. Đặt

I
t 1
2

1

t 2dt

1
2
dt

2

3
ln


 2
3 1 t 2  2t  5
1 t  2t  5

 tan u  I 1 

1
2

0




du 



2 3
. Vậy I  2  ln 
.
8
3 8



4



Câu 101. I 

sin2 x
dx .

 sin3x
2

6



I


2

2

2

sin x

sin x

 3sin x  4sin3 x dx   4cos2 x  1 dx





6

6

Đặt t  cosx  dt   sin xdx  I  

0



3
2



Câu 102. I  2

sin x  cos x
1  sin2x

4

dt
4t  1
2



1
4

3
2



0

dt
t2 

1
4



1

ln(2  3)
4

dx

  
 Ta có: 1 sin2x  sin x  cos x  sin x  cos x (vì x   ;  )
4 2


 I  2
4

I 

1

sin x  cos x
dx . Đặt t  sin x  cosx  dt  (cosx  sin x)dx
sin x  cos x

21

2
1
dt  ln t 1  ln2
t
2

Trang 22

/>

2

6

Câu 103. I  2 1  cos3 x .sin x.cos5 xdx
1

 Đặt t  6 1  cos3 x  t 6  1  cos3 x  6t 5dt  3cos2 x sin xdx  dx 

2t 5dt

cos2 x sin x

1

 t 7 t13 
12
 I  2 t (1  t )dt  2  
 
 7 13  0 91
0
1

6

6



Câu 104. I 

4

tan xdx

0

cos x 1  cos2 x





 Ta có: I 

4

tan xdx

0

cos2 x tan2 x  2



3

tdt

 I 

t
2

. Đặt t  2  tan 2 x  t 2  2  tan 2 x  tdt 

tan x
dx
cos2 x

3

 dt 

3 2

2



Câu 105. I 

2

cos2x

 (cos x  sin x  3)3

4

t 3
1
dt   .
3
32
2 t

 Đặt t  cosx  sin x  3  I  

dx

0



Câu 106. I 

4

sin4x

0

cos x. tan x  1



2

4

dx



 Ta có: I 

4

sin4x



sin x  cos x
4

0

4

dx . Đặt t  sin4 x  cos4 x  I  2

2
2



dt  2  2 .

1



Câu 107. I 

4

sin4x

 1  cos2 xdx

0



 Ta có: I 

4



2sin2x(2cos x  1)
2

1  cos x
2

0



1
2

1
2(2t  1)
dt  2  6ln .
t 1
3
1

dx . Đặt t  cos2 x  I   



tan( x  )
4 dx
Câu 108. I  
cos2 x
0
6



1
3

tan x  1
dt

1 3
dx . Đặt t  tan x  I   
.

2
2

(tan
x
1)
t
(

1)
2
0
0
6

 Ta có: I   

2

Trang 23
/>



Câu 109. I 

tan 3 x
0 cos 2 xdx
6





6
tan3 x
tan3 x
dx  
dx .
2 x  sin 2 x
2 x(1  tan 2 x)
cos
cos
0
0
3
3 t3
1 1 2
Đặt t  tan x  I  
dt    ln .
2
6 2 3
0 1 t
6

 Ta có: I  





Câu 110. I 

2

cos x



7  cos2 x

0

I

dx

2

1

cos x dx



2

22  sin2 x

0




6 2


3

Câu 111.

4



dx
sin3 x.cos5 x

4





3

1



 Ta có:

3



sin x

4

4

3

dx 



1

1

.

2
tan x cos x

dx .

3

4

cos x

Đặt t  tan x  I 

4



.cos8 x
3 3
t 4 dt

3

 4  8 3  1

1


Câu 112. I 

 x(
0

cos x cos x sin x
)dx
1  cos 2 x
3





 cos x(1  cos2 x)  sin x 
x.sin x
dx

x
x
dx

dx  J  K
.cos
.



2
2


1


cos
x
cos
1

x
0
0



 Ta có: I   x 
0



u  x
du  dx
+ Tính J   x.cos
 J  2
.cosx.dx
. . Đặt 

dv  cos xdx v  sin x
0


+ Tính K  

x.sin x

2
0 1  cos x



K 

dx .

(  t ).sin(  t )

0



 2K  
0

1  cos (  t )
2

( x    x).sin x
1  cos2 x

Đặt x    t  dx  dt


dt  
0

(  t ).sin t
1  cos t
2



dx   



dt  

sin x.dx

2
0 1  cos x

0

(  x).sin x
1  cos2 x

K 

dx

  sin x.dx

2 0 1  cos2 x

Trang 24
/>

Đặt t  cosx  K 



1

dt

,
2  1 t2

đặt t  tan u  dt  (1 tan2 u)du

1



K 





4

(1  tan u)du

2



1  tan2 u

Vậy I 

2





2

4

2
4





4







du 


2



. u 4 


2

4

4

4

2



Câu 113. I 

2

cos x


 sin x

3  cos 2 x

dx

6


2

 Ta có: I  


sin x cos x
sin x 3  cos x
2

2

dx . Đặt t  3  cos2 x

6

 I

15

2



3

dt

4  t2



1
 ln( 15  4)  ln( 3  2)
2

Dạng 3: Đổi biến số dạng 2


2

Câu 114. I   sin x  sin 2 x 



1
.dx
2

6



 Đặt cos x 


3

3  1
34
sin t,  0  t    I =  cos2 tdt =    .
2

2
2 4 2
20



Câu 115. I 

2

3sin x  4cos x
dx
2
x  4cos 2 x

 3sin
0











2
3sin x  4cos x
4cos x
3sin x
3sin x
4cos x


dx
dx

dx
dx

dx
2
2
2
2





3  cos x
3  cos x
3  cos x
3  cos x
4  sin 2 x
0
0
0
0
0
2

2

 I 

2

2


1

2

3dt
3sin x

dx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I1  
2
3  t2
3  cos x
0
0

+ Tính I1  

Trang 25

/>