Luận Văn Vô Tuyến Tin Học Truyền Thông - Thuật Toán Biến Đổi Fourier Nhanh

Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

Thuật toán biến đổi Fourier nhanh
Trong chơng trớc chúng ta đã giới thiệu tổng quan về thuật toán biến
đổi fourier nhanh.
Nguyên tắc cơ bản của tất cả các thuật toán FFT là dựa vào việc phân
tách DFT N điểm thành DFT nhỏ hơn ( tức là số điểm tích DFT nhỏ hơn ).
Theo cách này chúng ta sẽ khai thác cả tính đối xứng và tính tuần hoàn của
hàm N.
1.

Tính đối xứng

2.

Tính tuần hoàn

Wk(N-n) = (Wkn)*
Wkn = Wk(n+N)

Thuật toán phân chia dựa trên việc phân chia dãy x(n) thành dãy nhỏ
hơn đợc gọi là thuật toán phân chia theo thời gian, vì chữ số n thờng đợc gắn
liền với thời gian. Nguyên tắc thuật toán này đợc minh họa rõ nhất khi ta
xem xét tổng hợp khi N lấy giá trị đặc biệt: N là lũy thừa của 2 ( do đó có tên
FFT có số 2 N=2M).
N là một số chẵn nên ta có thể tính X(k) bằng cách tách x(n) thành hai
dãy mới có chứa N/2 điểm một dãy chứa điểm lẻ, một dãy chứa điểm chẵn.
Cụ thể từ công thức tính X(k) ta có:

X( k ) =

N 1

x( n)W kn

Với k = 0,1,2..., N 1.

n=0

Sau tách dãy x(n) thành dãy đánh số chẵn và dãy đánh số lẻ ta có:

X( k ) =

N 1

N 1

n = ch ẵ n

n = lẻ

x(n)W kn +

x(n)W kn

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

44

Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

Hoặc bằng cách thay thế biến n = 2r khi n chẵn, n = 2r+1 đối với n

N
1
2

N
1
2

r =o
N
1
2

r =0
N
1
2

r =o

r =0

X( k ) =

lẻ:

=

x(2r )W 2 rk + x(2r + 1)W (2 r +1) k

x(2r)(W 2 ) rk + W k x(2r + 1)(W 2 ) rk .

2
Song W = W N

do W 2 = e j2(2 / N ) = e j2 ( N / 2 ) .

2

Do đó ta có:

X( k ) =

N
1
2

x(2r )WNrk/ 2

r =o

Đặt

và

Ta có

X 0 (k) =

X1 (k) =

N
1
2

x(2r)WNrk/ 2

+ WNk

N
1
2

x(2r + 1)WNrk/ 2

r =0

(X0 tơng ứng với r chẵn).

r =o

N
1
2

x(2r + 1)WNrk/ 2

(X1 tơng ứng r lẻ).

r =0

X(k) = X0(k) + Wk.X1(k)

(*)

Ta thấy ngay X0(k) và X1(k) chính là DFT của N/2 điểm, trong đó
X0(k) là DFT N/2 điểm của các điểm đánh số chẵn của dãy x(n) ban đầu,
còn X1(k) là DFT N/2 điểm đánh số lẻ của dãy ban đầu.
Mặt dù chỉ tính số k của X(k) chạy qua N giá trị k= 0, 1, 2, , N-1.
Do X0(k) và X1(k) là tuần hoàn theo k với chu kỳ N/2, sau khi 2DFT X 0 (k)
và X1(k) tơng ứng đợc tính, chúng sẽ đợc kết hợp với nhau để tạo ra DFT N
điểm là X(k).

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

45


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

Để minh họa bằng hình vẽ ta chọn ví dụ N=8, hình vẽ sau đây minh
họa cách tính X(k) theo biểu thức (*) cho một dãy 8 điểm. Nhánh ra của một
nút bằng giá trị của nút xuất phát nhân với hệ số truyền của nhánh. Nếu

nhánh không ghi hệ số thì ta hiểu hệ số truyền của nhánh bằng 1.
Ví dụ: Để tính

X(k) với k = 4 ta có

X(4) = X0(4) + WN4 .X1(4).

Song do tính tuần hoàn ta có X0(4) = X0(0) và X1(4) = X1(0)
Nên

X(4) = X0(4) + WN4 .X1(0).

Ta có thể sơ bộ tính số phép nhân và cộng cần có cho cách tính DFT
kiểu này. DFT N điểm nếu tính trực tiếp thì cần có N 2 phép nhân phức và
khoảng N2 phép cộng phức (chính xác là N(N-1) phép cộng phức song để
rễ so sánh ta giả thiết rằng N đủ lớn để có thể có N-1 xấp xỉ là N). Sau khi
phân tách thành 2DFT N/2 điểm ta cần 2(N/2) 2 phép nhân phức và
2(N/2)2 phép cộng phức để thực hiện X 0(k) và X1(k) và thêm N phép cộng
phức để tính X(k) từ X0(k) và X1(k).
X(0)
X0(0)
W0 X(0)
X(2)
X0(1)
W1 X(1)
DFT
X(4)
W2 X(2)
N/2 điểm X0(2)
X(6)

X0(3)
W3 X(3)
X(1)
X(3)
X(5)
X(7)

X1(0)
X1(1)
X1(2)
DFT
N/2 điểm X1(3)

W4 X(4)
W5 X(5)
W6 X(6)
W7 X(7)

Hình 4.2.1: DFT 8 điểm đợc tách thành 2DFT 4 điểm

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

46


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

Tổng cộng lại ta cần N + 2(N/2) 2 = N + N2/2 phép nhân phức và phép

cộng phức để tính tất cả các giá trị của X(k).
Ta có thể kiểm tra với N>2, N + N 2/2 nhỏ hơn N/2. Vậy với N chẵn
ta đã chia nhỏ 2DFT N/2 điểm với số phép tính và đơng nhiên thời gian tính
nhỏ hơn. Với N/2 lại là một số chẵn thì hoàn toàn tơng tự, ta lại có chia
DFT N/2 điểm thành DFT N/4 điểm.
Nừu số điểm có dạng N = 2 M thì ta có thể tiếp tục chia đôi nh vậy M
lận, cho đến khi số điểm tính DFT là bằng 2 để phân biệt với FFT cơ số 4
nếu N = 4M.
X0(k) đợc nh sau:

X 0 (k) =

N
1
2

x(2r)WNrk/ 2

=

r =o

N
1
2

g(r)WNrk/ 2

r =o

Tơng tự, ta đặt l = 2r để tách g(r) thành 2 dãy lẻ:
X(0)
X00(k)
W0N/2 X0(0)
DFT
N/4 điểm
X(4)
X01(k)
W1N/2 X0(1)
X(2)
X02(k)
W2N/2 X0(2)
DFT
N/4
điểm
X(6)
X03(k)
W3N/2 X0(3)
Hình 4. 2: Lu đồ phân tích DFT N/2 điểm thành DFT N/4 điểm.
Điểm với (N=8) theo phơng pháp phân chia theo thời gian vẽ cho
X0(k).

X 0 (k) =

X 0 (k) =

N
1
4

N
1
4

g(2l)WN2lk + g(2l + 1)WN2(l+1) k

l=0

2

l =0

2

N
1
4

N
1
4

l=0

2 l = 0

g(2l)WNlk + WNk g(2l + 1)WNlk

4
DFT

N
4

diểm

4

DFT

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

N
4

diểm

47


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

Nh vậy X0(k) lại đợc tách thành hai DFT: X 00(k) và X01(k). với X00(k)
là DFT của dãy g(r) có chỉ số chẵn và X01(k) là DFT của dãy g(r) có chỉ số lẻ.
Hình 4.2.2, minh họa cách chia DFT N/2 điểm. Khi đó hệ số W thực
sự mang gí trị đặc biệt là 1 và -1 nên trong thực tế ta không phải làm phép
nhân nữa và phép chia cũng dừng lại ở đây.
Kết quả của việc kết hợp hình (4.1) và (4.2) nh sau

X(0)

DFT
N/4 điểm

X(4)
X(2)
X(6)
X(1)
X(5)
X(3)

DFT
N/4 điểm

DFT
N/4 điểm

X00(0)

W0

X0(0)

X00(1)
X00(2)

W1
W2

X0(1)
X0(2)

X00(3)
X01(0)

W3
W4

X0(3)
X0(4)

X01(2)
X01(3)

W5
W6

X0(5)
X0(6)

X(7)
X01(4)
W7 X0(7)
DFThọa DFT N điểm phân chia theo thời gian sau
Hình 4.2.3. Lu đồ N/4
minh
điểm
hai lần phân chia (N =8)
X(0)

WN0 = 1

X(4)

W2 = WNN / 2 = 1

Lu đồ tính cho DFT 2 điểm, áp dụng cho hai điểm vào X(0) và X(4).
Với N = 2m số lần phân chia và cũng chính là số tầng phân chia

trong lu đồ là M lần. Số phép tính nhân và cộng phức cần thực hiện sau
M = log2(N). phân tích chia có thể dựa vào hình sau:
Nó tơng ứng với mỗi tầng trong sơ đồ, ta cần N phép nhân phức để
nhân kết qủa của DFT của tầng trớc với hệ số W tơng ứng và N phép cộng
phức để nhóm kết qủa lại với nhau. Tổng cộng ta chỉ cần N.log 2(N) phép
nhân phức và N.log2(N) phép cộng phức để thực hiện toàn bộ FFT.

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

48


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

X(0)
X(4)

-1

X(2)
X(6)

-1

X(1)

W0

W0

W2

W1

W4

W2

X(2)

W6

W3

X(3)

W0

X(5)

-1

X(3)

X(0)
X(1)

W4

W2

W5

W4

W6

X(4)
X(5)
X(6)

X(7)
-1
W6
W7
X(7)
Hình 4..2.4. sơ đồ minh hoạ tính DFT N điểm phân chia theo thời gian sau
ba lần phân chia (N=8).

Để tiện cho việc tính toán ta quy ớc nút i của tầng thứ m đợc ký hiệu là
Xin(i). Mỗi tầng có N nút và có M=log 2(N) tầng. Để thuận tiện ta ký hiệu
dãy vào x(n) nh là tầng thứ 0. Nh vậy đối với tầng thứ m+1 ta có thể coi dãy
vào x(n) nh là dãy Xin(i) nh là dãy vào và Xm+1(i) kết quả tính toán nh là dãy
ra.
N = 8 ta có
X0(0) = x(0)
X4(4) = x(4)
X1(1) = x(1)
X5(5) = x(5)
X2(2) = x(2)
X6(6) = x(6)
X3(3) = x(3)
X7(7) = x(7)

X m +1 ( p ) = X m (q ) + WNr + .X m ( q)
r+

X m +1 ( p ) = X m (q ) + WN

N
2 .X

m (q)

= X m (q ) WNr .X m (q)
Xm(p)

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

Xm+1(p)

49


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42
Xm+1(q)

Xm(q)

WNr

WNr + N / 2 = WNr

Hình 4.5. Sơ đồ tính toán của một hình Bớm
Nhờ có tính chất:

WNr + N / 2 = WNr nên ta còn có thể tiếp tục

rút bớt phép tính nhân đi một nữa số hạng T = WNr X m (q ) .

X m +1 ( p) = X m (p) + T
X m +1 ( q) = X m (q ) T

Xm(p)

Xm+1(p) = Xm(p)+T

Xm(q)

Xm+1(p) = Xm(p)-T

Hình 4. 2.6. Lu đồ tính toán của một hình Bớm đã đợc cải tiến. Lu
đồ này ta chỉ cần một phép nhân.
Tóm lại: Với cách sử dụng thuật toán ta thấy giảm đáng kể đợc số
phép nhân, thời gian làm phép nhân lớn hơn rất nhiều thời gian làm phép
cộng.
3. Thuật toán tính tại chỗ (Inplace).
Các sơ đồ tính FFT trình bày ở trên không những cho ta thấy hiệu quả
của tính toán, mà còn cho ta thấy cách cất giữ số liệu vào x(n) và kết qủa ra
X(k). ta thấy mỗi tầng của các hình đều có N nút vào và N nút ra.
Nếu nh ta cho mỗi nút tơng ứng với một biến phức trong khi lập chơng
trình thì số ô nhớ cần dùng sẽ khá lớn (tỷ lê Nlog2N).
Dãy vào đợc bố trí theo thứ tự phân chia nh trên hình vẽ thì ta nhận đợc kết qủa ra theo đúng thứ tự tăng dần của nó. Và sau mỗi lần tính một tầng
ta có thể dùng ô nhớ chứa dãy vào để chứa dãy ra với một số ô nhớ phụ trợ
thêm trong quá trình tính toán. Cụ thể trong mỗi hình bớm ta thấy ngay
Xm(P) và Xm(q) không cần dùng đến nữa. nên ta có thể chứa vào đó kết qủa

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

50


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

ra là Xm+1(P) và Xm+1(q) tơng ứng. Nh vậy nút nằm trên cùng một hàng

ngang của các tầng đợc hiểu là chứa trong cùng một ô nhớ cùng một chỗ.
Sau khi làm nh vậy đối với tất cả các tầng kết qủa cuối cùng là dãy
X(k) sẽ nhận đợc tại các ô nhớ chứa dãy vào x(n) vậy là thuật toán tại chỗ
Ví dụ: N=8, chỉ số của dãy vào là n có thể biểu diễn bằng 3 bits là n 2,
n1, n0, việc lúc đầu dãy x(n) đợc phân thành hai dãy chẵn và lẻ có thể quy về
việc phân dãy x(n) thành dãy có bit n 0 = 0 và dãy có bit n 0 = 1(tơng ứng số
lẻ).
Sau đó việc phân chia chẵn lẻ của hai dãy con lại đợc tiến hành thông
qua bit n1 là bằng 0 hay bằng 1. Công việc cứ tiếp tục nh vậy với bit n2.
Vậy thứ tự các bít biểu diễn chỉ số của dãy x(n) đợc phân chia khi nãy
là n0, n1, n2 tức là ngợc với thứ tự các bit biểu diễn chỉ số của dãy vào x(n) lúc
đầu là n2, n1, n0. Do đó việc phân chia kiểu này gọi là kiểu đảo bít (bit
reserse)
n2
n1
0
x(000) = x(0)
n0
0
1
x(100) = x(4)
0
1
0
x(010) = x(2)
X(n2, n1, n0)
1
x(110) = x(6)
0
x(001) = x(1)

1
0 1
x(101) = x(5)
1
0
x(011) = x(3)
1
x(111) = x(7)
Hình 4.2.7. Minh họa việc phân chia dãy vào x(n) theo nguyên tắc đảo
bít.

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

51


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

X(0)
X(1)

W0

X(2)

W0

X(3)

W0

W2

1
W2

X(4)

-1

X(5)

-1

X(6)

1

W2

X(7)

-1

W2

-1

W1

W3

-1

-1

-1

Lu đồ minh họa tính DFT N điểm phân chia theo thời gian với dãy
vào đợc sắp xếp theo thứ tự tự nhiên và dãy ra đợc sắp xếp theo thứ tự đảo
bít. Đây là lu đồ sắp xếp lại từ hình trên.

II.
thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số:
1. Nguyên tắc chung:
Thuật toán FFT dựa trên việc phân chia nhỏ dãy vào x(n) để tách việc
tính DFT N điểm thành các DFT.

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

52


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

X(0)

X(1)
X(2)
X(3)

g(0)

X(4)
X(5)
X(6)
X(7)

W

g(1)
g(2)
g(3)

1

W

1

W

1

W

X)

X(0)
X(2)
X(4)
X(6)

DFT
N/2 điểm

X(1)
X(3)
X(5)
X(7)

DFT
X
N/2 điểm

Hình 4.8. Sơ đồ phân chia theo tần số DFN N điểm thành DFT N/2
điểm (cụ thể N = 8).
ở đây ta xem xét thuật toán FFT dựa trên việc phân chia dãy ra X(k)
thành các dãy nhỏ hơn theo cùng một cách phân tách dãy x(n).
Do chỉ số k của X(k) đợc gắn liền với thang tần số nên thuật toán
này gọi là thuật toán FFT phân chia theo tần số.
Giả thiết N = 2M, ta có thể chia dãy vào ra làm hai nửa, một nửa đầu
chứa N/2 mẩu đầu: {x(n)} với n = 0, 1, , N/2 - 1. Nửa còn lại chứa N/2

mẩu còn lại. Ta có:

X( k ) =

N / 2 1



n=0

X( k ) =

N / 2 1



n =0

x( n )WNnk

x( n )WNnk + WN( N / 2 ) k

N / 2 1



n =0

N 1

+

x(n)WNnk .

n=N / 2

x( n + N / 2).WNnk

với WNnk = 1 và ta kết hợp hai tổng lại ta có:

X( k ) =

N / 2 1



n=0

[x(n) + (1)

k

]

.x( n + N / 2) .WNnk .

x(0)

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

X(0)

53

Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

x(1)

X(4)

x(2)

X(2)

x(3)

X(6)

x(4)

X(1)

x(5)

X(5)

x(6)

X(3)

x(7)

X(7)

Hình 4.9. Lu đồ đầy đủ minh họa cách tính DFT 8 điểm theo phơng
pháp phân chia theo tần số.

Xét k = 2r (k chẵn) và k = 2r + 1 (k lẻ) ta nhận đợc X(2r) và X(2r +1)
tơng ứng với dãy ra chỉ số chẵn và dãy ra chỉ số lẻ.
r = 0, 1, (N/2 - 1).

X (2 r ) =

N / 2 1

[ x( n) + x(n + N / 2)].WN2 rn .

n =0
N / 2 1

X(2 r + 1) =

[ x(n) x(n + N / 2)].WNn .WN2 rn .

n =0

Do WN2 rn = WNrn/ 2 nên ta có thể thấy ngay X(2r) chính là DFT N/2
điểm của dãy g(n) = x(n) + x(n + N/2), g(n) là tổng của nửa đầu của dãy
x(n) với nửa sau của dãy x(n). Còn X(2r + 1) là DFT N/2 điểm của tích W
đối với dãy h(n) = x(n) - x(n + N/2);

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

54


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

h(n) là hiệu nửa đầu của dãy x(n) với nửa sau của dãy x(n). Nh vậy
DFT N điểm của dãy x(n) có thể đợc tính nh sau:
Trớc hết ta tạo ra hai dãy g(n) và h(n), sau đó thực hiện h((n).W n cuối
cùng thực hiện DFT của hai dãy này, ta sẽ có các điểm ra X(k) chỉ số chẵn
và X(k) chỉ số lẻ.
Mỗi DFT N/2 điểm ta lại tiến hành hoàn toàn tơng tự nh đã làm ở trên
để tách một cái thành hai DFT N/4 điểm. Cứ thế cho đến lúc các DFT cuối
cùng là các DFT 2 điểm. Các bớc và hình vẽ trung gian không đợc trình bày
ở đây. Ta thấy mỗi tầng cần N/2 phép nhân và có M = log 2(N) tầng. Số phép
nhân là (N/2).log2(N), bằng số phép nhân trong cách tính theo phơng pháp
nhân chia theo thời gian.
Nói chung: Cả hai thuật toán đầu tính tại chỗ, số phép nhân phức
trong cả hai thuật giải là nh nhau. Vì vậy nên khả năng lựa chọn giữa hai
thuật ngữ FFT rât it.

III.

Cách tính FFT ngợc: (IFFT: Inverse FFT).

X( k ) =

N 1

x( n)WNkn

với k = 0, 1, N -1.

k =0

1 N 1
x( n) = X( k )WN kn
N k =0

với n = 0, 1, N-1.

Ta có thể dùng thuật toán FFT để tính FFT ngợc bằng cách sau: Lấy
liên hợp phức cả hai vế công thức (*) và chuyển hệ số tỷ lệ N sang trái ta có:
*

N.x ( n ) =

N 1

X * ( k )WNkn .

k =0

Vế phải của công thức trên chính là DFT của dãy X *(k) nên ta có thể
dùng bất kỳ một chơng trình tính FFT nào để tính. Sau đó dãy x(n) có thể
nhận đợc bằng cách lấy liên hợp phức hai vế của công thức (*) và chia cho N

để có:

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

55


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42
*


1 N 1 *
x( n) = X ( k )WNkn .
N k =0

Nh vậy một chơng trình tính DFT có thể đợc dùng để tính cả FFT
thuận lẫn FFT ngợc. Việc tính FFT ngợc bằng chơng trình tính FFT thuận
có thể bằng bớc sau:
Cho dãy x(k), lấy liên hợp phức của X(k) bằng cách đổi dấu phần ảo của
X(k).
Gọi chơng trình tính FFT để tính FFT của dãy X(k) đã đổi dấu phần ảo
Lấy liên hợp phức của kết qủa thu đợc bằng cách đổi dấu phần ảo sau đó
chia cả dãy cho hệ số tỷ lệ N để thu đợc kết qủa mong muốn.
Phụ lục thuật toán biến đổi FFT viết trên ngôn ngữ C đợc trình bày
trong phần phụ lục.

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

56


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

Tài liệu tham khảo
1.
2.
3.
4.
5.
6.

7.
8.

9.

Xử lý tín hiệu và lọc số tác giả : Nguyễn Quốc Trung .
Lý thuyết mạch tín hiệu tác giả : Đỗ Huy Giác (chủ biên ) .
Ghép nối máy tính
tác giả : Nguyễn Mạnh Giang .
Xử lý tín hiệu số tác giả Quách Tuấn Ngọc .
M . Hassler , J . Dunjnck Fcltrec eslednques . TE . XLX . Presses
tolytechinesques roman-des , Lausanne 1982.
INMOS Limited Digital Signal Processing Prentice Hall international
( UK ) Ltd . Priented and bound in Great Britain by Willian Clowes Ltd.
1993.

Burrus , C.S ... , and Parks ,T.W DFT/FFT and Convolution algorithim
John Wiley and Son, New York , 1985 .
Digital Signal Processing application with the TMS320 Family Theory ,
Algorith in and Implementation , Volume 3 , Texas Instrument , Inc,
Dallas , Texas , March 1990.
TMS320 ( 62xx Technical Brief , Texas Instrumemt , Inc ... Pallas,
Texas JW January .1997 . )
BN Burrus , C.S , Heideman , M.T ..., Jones , D.L , Sorensen , H.V
Real Valued Fast Fourier Tranform in algorithms , IEEE
Transactions on acoustios , Speed , and Signal Processing , Vol . LSSP35 TV.6 , PP . 849 863 ,June 1987 .
Relay. Htm.

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

57


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

Mở đầu
Giới thiệu khái quát về vai trò lọc số và phân tích phổ.
- Nh ta đã biết ngày nay có rất nhiều hệ thống thông tin và để đánh giá
đợc chất lợng truyền dẫn, thu phát thông tin ngời ta xử dụng xác suất lỗi bít.
Xác suất lỗi bít là tham số quan trọng trong hệ thống thông tin số
nên cần có biện pháp giảm bớt xác xuất lỗi bít trong thông tin số.
Dựa trên việc nghiên cứu về lý thuyết thông tin ngời ta chỉ ra rằng :
Nếu cho một tín hiệu vào, tín hiệu ấy thuộc một vùng nào đó. Bằng cách biến
đổi xử lý DSP sang vùng tơng tự thì ta có thể giảm đợc tạp và nhiễu.

Trong DSP chứa bộ lọc số quan trọng, bộ lọc này dùng với hai mục
đích chính:
- Tách tín hiệu đã bị ghép.
- Phục hồi những tín hiệu đã bị nhiễu (méo) theo một số kiểu nào đó.
Những bộ lọc thông tin tơng tự (analog), hay điện (electric) cũng đợc
dùng với hai mục đích trên. Tuy nhiên những bộ lọc số có thể tạo đợc bằng
kết quả vợt trội hơn.
Trên thực tế nhờ có bộ lọc số mà DSP trở lên phổ biến.
Nh đã biết ở trên bộ lọc số có hai ứng dụng chính:
Tách tín hiệu và phục hồi tín hiệu.
Tách tín hiệu : rất cần thiết khi tín hiệu bị ảnh hởng bởi nhiễu, ồn hay
tín hiệu khác.
Ví dụ: phơng pháp đo hoạt động của tim thai nhi, khi vẫn nằm trong
bụng mẹ, tín hiệu đó chịu ảnh hởng của hơi thở và nhịp tim của ngời mẹ, bộ
lọc tách các tín hiệu này ra nh vậy sẽ phân tách một cách riêng lẻ.
Sự phục hồi: Tín hiệu đợc dùng khi một tín hiệu bị méo đi.
Ví dụ: Một đoạn băng thu với những thiết bị tồi có thể qua bộ lọc để
thu đợc âm thanh tốt hơn. Vấn đề đó đều có thể đợc giải quyết với bộ lọc số
hay bộ lọc tơng tự. Bộ lọc tơng tự rẻ, nhanh .Tuy nhiên, chỉ lọc tín hiệu có
tần số và cờng độ lớn, chất lợng lọc không cao. Còn bộ lọc số thì đem lại
chất lợng thực hiện tốt. Bộ lọc số có thể đạt đợc chất lợng gấp cả ngàn lần bộ
lọc tơng tự.
Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

58


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

Điều này gây ra một tranh cãi lớn về việc xử lý vấn đề lọc ra sao.Với
bộ tơng tự ngời ta muốn nhấn mạnh vào việc kiểm soát các giới hạn của thiết
bị nh là độ chính xác và sự ổn định của điện trở và điện dung.
Ngợc lại bộ lọc số lại tốt đến mức mà sự thể hiện của bộ lọc thờng bị
bỏ qua.Ngời ta chỉ nhấn mạnh vào giới hạn của tín hiệu vào và ra về mặt lý
thuyết. Trong DSP các tín hiệu vào và ra của bộ lọc số nằm trong trờng thời
gian (Time do main). Sở dĩ nh vậy là vì tín hiệu đó đợc tạo thành bằng cách
lấy mẫu trong khoảng thời gian là đều nhau.
Tuy nhiên, đây không phải là cách lấy mẫu duy nhất. Cách lấy mẫu
thông dụng thứ hai tín hiệu lấy khoảng không gian đều nhau.
Ví dụ: Tởng tợng ta đọc đồng thời từ một mảng các biến cảm sắp xếp cách
nhau 1Cm dọc theo cánh của một chiếc máy bay. Trong trờng hợp này ta có
thể ứng dụng nhiều phơng pháp, tuy nhiên việc sử dụng thời gian hay không
gian vẫn là hai phơng pháp phổ biến nhất. Khi thấy có trờng thời gian trong
DSP chứng tỏ điều này muốn nói đến mẫu thời gian.
Trong DSP có một bộ lọc tuyến tính. Bộ lọc tuyến tính cho một đáp
ứng xung ,một đáp ứng bớc,một đáp ứng tần. Mỗi đáp ứng này đều chứa
thông tin đầy đủ về bộ lọc, nhng cách thể hiện nó khác nhau. Nếu một đáp
ứng đợc sử dụng thì hai đáp ứng còn lại có thể tính toán gián tiếp thông qua
đáp ứng này.
Song song với việc lọc số, trongDSP thì việc phân tích phổ trong DSP
cũng khá quan trọng. Nó cho chúng ta thấy dạng phổ và cách tính toán phổ
của tín hiệu trong vùng thời gian và vùng tần số. Bằng cách sử dụng Fourier
rời rạc (Dicrete - Fourier - Transform ):
- Tính toán đợc phổ của tín hiệu.
- Sử dụng ngay bớc xử lý tín hiệu.
- Tìm thấy phổ trong vùng tần số từ vùng tơng ứng và ngợc lại.
Ví dụ: sử dụng thuật toán FFT (Fast - Founer Transform) nó nhanh gấp
100 lần so với việc sử dụng DFT.

Phổ tần tín hiệu là thông tin rất chung đợc mã hóa dới dạng hình
sin .Tín hiệu đó đợc đặc trng bởi biên độ , tần số và góc pha trong đó vùng

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

59


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

tần số có một vai trò quan trọng. DSP sử dụng để đa ra thông tin trên . Hay
nói cách khác, qua biến đổi DSP từ vùng thời gian sang vùng tần số ta đã đợc
tín hiệu bớt nhiễu, tạp và cho phổ tần số gần nh mong muốn. Phân tích phổ
có tác dụng lọc nhiễu, khử tạp, cải thiện đợc những nhợc điểm trong hệ
thống thông tin bằng cách ứng dụng DSP.

Chơng 1: tổng quan về tín hiệu, lọc số, phân tích DFT
và FFT.
1

1. Tín hiệu

1.Giới thiệu chung:
1. Tín hiệu:
Tín hiệu hiểu theo một nghĩa khái quát đó là một quá trình vật lý có
chứa đựng thông tin hay một quá trình vật lý mang tin tức. Nói cách khác tín
hiệu là biễu diễn vật lý của thông tin, tin tức có thể là một bản nhạc của một
mệnh lệnh trong kỹ thuật viễn thông hay trong hệ thống tự điều khiển tín

hiệu thờng là tín hiệu điện, dòng điện hay điện áp. Quá trình thu và nhận tín
hiệu trên kênh thông tin ngoài tín hiệu có ích còn có can nhiễu, có thể nhiễu
bao gồm mọi quá trình vật lý khác nhau có tác dụng làm xấu hay giảm bớt
chất lợng của qúa trình truyền và thu tin tức.
- khi công suất truyền không đỗi can nhiễu càng lớn chất lợng truyền
và thu tin tức càng giảm.
Ví dụ: các tín hiệu nhìn thấy là sóng ánh sáng mang thông tin, tín hiệu
đợc phân làm hai loại: - tín hiệu tiền định
- tín hiệu ngẫu nhiên

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

60


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

- Tín hiệu tiền định là tín hiệu mà ta biết trớc đợc tham số hoặc quy
luật biến thiên của tham số của nó.
- Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu mà ta không thể biết trớc đợc tham
số hay quy luật biến thiên của tham số, mà có thể đánh giá nó bằng
lý thuyết xác xuất.
- Tín hiệu là một tham số của thời gian và nhiễu tham số khác.

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

61

Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

2. Cách biểu diễn tín hiệu:
- Về mặt toán học, tín hiệu đợc biểu diễn bởi một hàm của một hoặc
nhiều biến số độc lập.
Ví dụ: (hình 1.1) minh họa cách biễu diễn tín hiệu S a(t) là một hàm
biến số và biến số này chính là thời gian t.
Vì hàm là hàm một biến nên ta gọi là tín hiệu một chiều.
Sa(t)
0

t

Hình 1.1.
Ví dụ 2: trong xử lý số ta chỉ xét hình ảnh, một ảnh đợc biểu diễn trên
hệ trục tọa độ trong mặt phẳng, ảnh ia(x,y) là tín hiệu hai chiều ia(x,y) biểu
diễn nh sau:
ia(x,y)
ia(x,y)
0

y0

y

x0
3 Tín hiệu tiền định

Tín hiệu tiền định :có hai loại
-Tín hiệu liên tục
-Tín hiệu không liên tục
+ Tín hiệu liên tục: có định nghĩa nh sau:
C1: - Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của một tín hiệu là
liên tục thì đó là tín hiệu liên tục.
Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

62


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

C2: - Xét trong miền thời gian tín hiệu S(t) đợc gọi là tuần hoàn nếu
nó thoả mãn điều kiện S(t) = S(t+nT).
T có gía trị hữu hạn và gọi là chu kỳ của tín hiệu tuần hoàn
S(t) tín hiệu tuần hoàn
n là số nguyên bất kỳ
Nếu dựa vào biên độ ngời ta phần tín hiệu ra làm hai loại:
- Tín hiệu tơng tự :
- Tín hiệu lợng tử hóa.
* Tín hiệu tơng tự: nếu biên độ của tín hiệu liên tục là liên tục thì tín
hiệu đó gọi là tín hiệu tơng tự (hình a).
xa(t)
xa(t)
(a)

(b)

89
79
69
59
49
39
29

9

0

t

t

0

hình (a)

hinh(b)

Tín hiệu lợng tử hóa (hình b).
Tín hiệu hình sin là tín hiệu đơn giản nhất
S(t)= Acos(2/T +) (1-2)
Trong đó A,T, , là hằng số.
A :biên độ không đổi

: tần số góc

T: chu kỳ

: pha ban đầu tơng ứng.

Tín hiệu (1-2) là tín hiệu đơn âm, tức là nó chỉ có một vạch. Trong
thực tế không tồn tại các tín hiệu tuần hoàn, song tín hiệu có chu kỳ lặp lại
và tồn tại trong khoảng thời gian khá lớn có thể xem nh tín hiệu tuần hoàn.
Tín hiệu S(t) không thoả mãn điều kiện (1-1) gọi là tín hiệu không tuần hoàn
(rời rạc) hay phi chu kỳ.
- Tín hiệu rời rạc: nếu tín hiệu đợc biểu diễn bởi hàm các biến rời rạc
thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu rời rạc.
Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

63


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

- Dựa vào biên độ ngời ta có thể phân loại tín hiệu rời rạc làm hai
loại
*tín hiệu lấy mẫu
* tín hiệu số.
Tín hiệu lấy mẫu: nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên tục (không
đợc lợng tử hóa ) thì đợc gọi là tín hiệu lấy mẫu.
Tín hiệu số: biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó là
tín hiệu số.
Tín hiệu tiền định S(t) đợc có thể là tín hiệu liên tục hoặc tín hiệu

xung
Tín hiệu S(t) đợc gọi là tín hiệu liên tục nếu nó là hàm liên tục theo biến
thời gian t. Tín hiệu S(t) có giá trị khác không trong khoảng thời gian khá
bé liên tục còn ngoài khoảng thời gian đó S(t)=0 nó đợc gọi là tín hiệu
xung.
Tín hiệu ngẫu nhiên: tín hiệu S(t) đợc gọi là tín hiệu ngẫu nhiên
nếu ta không thể biết trớc giá trị cũng nh quy luật biến thiên tham
số của nó.
Ví dụ: điện áp tơng ứng tiếng nói của ngời là một tín hiệu ngẫu nhiên.
đối với tín hiệu ngẫu nhiên ta phải đánh giá nó thông qua tham số của lý
thuyết xác suất nhng
Quy luật phân bố xác suất, phân bố phổ, công suất tín hiệu. Tín hiệu ngẫu
nhiên cũng có thể là tín hiệu hữu ích hoặc can nhiễu.
Ví dụ: Tín hiệu đo đài Rađa phát đi hoặc khi gặp mục tiêu cần phát
tín hiệu phản xạ trở lại mà máy thu rađa thu đợc là tín hiệu ngẫu nhiên hữu
ích.
Còn tín hiệu mà máy rađa thu đợc không phải từ tín hiệu phát lại mà từ
nguồn khác là tín hiệu ngẫu nhiên.
4

5 4. Các hệ thống xử lý tín hiệu:
có thể phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu theo chính tín hiệu cần xử
lý. Có một hệ thống tơng tự ở đầu vào của hệ thống chúng đặt các tín hiệu tơng tự thì ở đầu ra chúng ta thu đợc các tín hiệu tơng tự.

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

64


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

Tín hiệu vào
Tín hiệu tơng tự

Tín hiệu ra
Tín hiệu tơng tự
Hệ thống tơng tự

Ta có một hệ thống số khi tín hiệu ở đầu vào và đầu ra của hệ thống đó
là tín hiệu số
Vào
Ra
Tín hiệu số
Tín hiệu số
Hệ thống số
Sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý số đợc cho nh sau:
Vào
xd(n)
yd(n)
ra
ADC
DAC
xa(t)
ya(t)
Hệ thống số
* Tín hiệu tơng tự ở đầu vào đợc chuyển sang dạng số nhờ một thiết
bị tơng tứ số ADC
* Tín hiệu tơng tự ở đầu ra thiết bị lặp lại nhờ hệ biến đổi tơng tự ở

DAC
Nh vậy tín hiệu ra của hệ biến đổi ADC là tín hiệu số Yd(n)
Mô hình sử lý tín hiệu tơng tự bằng phơng pháp số nh sau:
Tín hiệu vào
(tơng tự)
LPF

Tín hiệu ra
(tơng tự)
S&H

ADC

DSP

DAC

LPF

Xử lý
Tín hiệu số
Xử lý tín hiệu số
S & H: Sampling and Hold
LPF: Low-pass Filter
ADC: Analog-Digital Convertor

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

Mạch trích mẫu và giữ mẫu
Mạch lọc thông thấp.

Bộ biến đổi tơng tự - số

65


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

DAC: Digital-Analog Convertor
DSP: Digital Signal Processor

Bộ biến đổi số-tơng tự.
Bộ xử lý tín hiệu số.

2. Cách biểu diễn tín hiệu rời rạc:
1. Biểu diễn toán học: Một tín hiệu rời rạc đợc biểu diễn bởi một dãy
các giá trị thực hoặc phức .Nếu có đợc hình thành bởi giá trị thực thì đợc gọi
là tín hiệu thực. Còn nếu tín hiệu đợc hình thành bởi giá trị phức thì gọi là tín
hiệu phức.
- Tín hỉệu rời rạc gồm hai phần :tín hiệu lấy mẫu
Tín hiệu số
Kí hiệu
Xs(nTs) - tín hiệu lấy mẫu
Xd(nTd)-tín hiệu số
Bây giờ thống nhất kí hiêu ở đây của tín hịu rời rạc x(nTs).
n: số nguyên
Ts: chu kì lấy mẫu
Để tiện cho cách biểu diễn tín hiệu rời rạc chúng ta sẽ chuẩn hoá biên
độc lập từ nTs bởi chu kì lấy mẫu Ts nh sau

nTs/Ts=n
chuẩn hóa

x(n)
Sau khi chuẩn ta có x(nTs)
Bởi Ts

Chú ý trong miền biến số chúng ta chuẩn hoá bởi chu kì lấy mấu Ts thì
trong miền tần số chúng ta phải chuẩn hoá tần số lấy mẫu Fs (Fs=1/T)
Cách biểu diễn toánhọc rời rạc cụ thể nh sau

Biểu thức toá n học N 1 n N 2
xn =
0
n còn lạ i

Ví dụ: cho cách biểu diễn 1 tín hiệu rời rạc nào đó:

n
1
xn = 4
0

0n4
n còn lạ i

N1=0, N2=4.

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

66


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

b. Biểu diễn đồ thị:
Để minh hoạ một cách trực quan trong nhiều trờng hợp chúng ta dùng
biểu diễn đồ thị nh sau:
Ví dụ: Hãy biểu diễn tín hiệu rời rạc của

n
1
xn = 4
0

0n4
n còn lạ i

x(n)

-1 0

1

2

3

4

n

c.Biểu diễn bằng dãy số:
Các biểu diễn này là ở chỗ chúng ta liệt kê giá trị Xn thành một dãy
nh sau:

Xn = X(n-1), X(n), X(n+1).

để chỉ ra giá trị của X(n) tại vị trí thứ n ta dùng ký hiệu vectơ n bởi vì khi
dùng cách biểu diễn này ta không biết đâu là X(n) vì tín hiệu rời rạc thực
chất là các dãy số nh cách biểu diễn này nên ta thờng gọi là tín hiệu rời rạc
X(n) là dãy X(n).
- chú ý : tín hiệu rời rạc X(n) đợc định nghĩa chỉ với n nguyên.
X(n) không đợc coi nh bằng 0 đối với giá trị không nguyên này .
X(n) không đợc định nghĩa với gía trị không nguyên này.
Trong cách biểu diễn trên thì cách thứ hai là ta hay dùng để phân tích chuỗi
Fourier trong bản luận văn này,hay ngời ta gọi là The Discrete Fourier
Transform.

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

67


Luận văn tốt nghiệp

Vật lý K42

Biến đổi Fourier rời rạc là biến đổi một chuỗi phần tử sử dụng dới
dạng tín hiệu số, tín hiệu số đợc hình thành từ số thực thì gọi là tín hiệu thực,
tín hiệu số đợc hình thành từ số phức thì đợc gọi là tín hiệu phức.
DFT phân tín hiệu ra làm 4 dạng nh sau:
tín hiệu liên tục không sin (aperiodic - continuos), nó bao gồm hàm
Exponentials và tín hiệu đờng vòng Gaussian. Tín hiệu mở rộng về
cả hai phía của 0, tức là cả âm và dơng không có sự lập lại theo chu
kỳbiến đổi Fourier của tín hiệu dạng là đơn giản và gọi là Fourier
_transform

Tín hiệu sin -liên tục:
Loại này bao gồm dạng sin dạng vuông và nhiều dạng khá, nó đợc lặp
đi lặp lại theo chu kỳ mở rộng từ phía âm sang đến vùng dơng. Đó là việc
biến tớng của sự biến đổi Fourier gọi là Fourier Series.

Tín hiệu rời rạc không sin:
Tín hiệu rời rạc mở rộng cả hai phía âm và dơng hữu hạn không có sự
lặp lại theo chu kỳ gọi là Discrete Time Fourier Transform.

Rời rạc tuần hoàn: là điểm rời rạc, tín hiệu này lặp lại giống chu kỳ trớc ở dạng số âm và số dơng hữu hạn.

Chuyên ngành: Vô tuyến tin học truyền thông

68