tài liệu ptbpthpt cực hay và dễ hiểu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.33 MB, 58 trang )
NguyÔn §iÖp
0973870375
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
2
f ( x) g ( x)
(1)
(2)
3
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x)
3
Chú ý: Điều kiện khi giải phương trình và chỉ được bình phương khi hai vế không âm
Ví dụ 1: (D – 2006). Giải phương trình:
2 x 1 x 2 3x 1 0
(Chú ý (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca )
2
x 3x 1 0
pt 2 x 1 x 3x 1
2
2
2 x 1 ( x 3x 1)
2
3 5
3 5
3 5
3 5
3 5
3 5
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2 x 1 x 4 9 x 2 1 6 x 3 6 x 2 x 2
x 4 6 x3 11x 2 8 x 2 0
( x 1)( x3 5 x 2 6 x 2) 0
3 5
3 5
3 5
3 5
x 1
x
x
2
2
2
2
x 2 2
( x 1)( x 1)( x 2 4 x 2) 0
x 1; x 2 2
Ví dụ 2: (B – 2006). Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
x2 mx 2 2 x 1
1
x
2 x 1 0
2
pt 2
2
2
x mx 2 (2 x 1)
3x 4 x 1 m
x
3x 2 4 x 1
1
m có hai nghiệm x
Để pt đã cho có 2 nghiệm thì phương trình
x
2
3x 2 4 x 1
Hay đường thẳng y = m cắt đồ thị y
tại hai điểm phân biệt
x
3x 2 4 x 1
3x 2 1
0
Xét y
có y '
x2
x
1
1
9
Lập bảng biến thiên với x [ ; ) . Với x y
2
2
2
9
Mô phỏng bằng đồ thị và suy ra đáp số: m
2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
*) Dạng 1: Biến đổi thông thƣờng
Bài tập 1: Giải các phương trình
a) ( x 3) x2 5x 4 2 x 6
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 1
NguyÔn §iÖp
0973870375
b) ( x 3) 10 x2 x2 x 12
c) x 2 7 x 2 x 1 x2 8x 7 1
d ) x 2 x 1 ( x 1) x x 2 x 0
Giải
a) và b) Nhóm nhân tử chung
c) ĐK: 1 x 7
pt x 1 2 x 1 2 7 x ( x 1)(7 x) 0 x 1( x 1 2) 7 x ( x 1 2) 0
x 1 2
x 5
( x 1 2)( x 1 7 x ) 0
x 4
x 1 7 x
d) ĐK x 1
pt ( x 1 1)2 ( x 1) x x( x 1) 0 ( x 1 1) 2 x( x 1)( x 1 1) 0
( x 1 1)[ x 1 1 x( x 1)] 0
TH1:
x 1 1 x 2
TH2:
x 1 1 x( x 1) (bình phương sẽ vô nghiệm)
Bài tập 2: Giải các phương trình
a)
4 x 1 3x 2
x3
3
b) 3(2 x 2) 2 x x 6
c) (B – 2010):
3x 1 6 x 3x 2 14 x 8 0
Giải
a) Giống câu b)
b) ĐK: x 2
pt 3 x 2 x 6 2 x 6
(3 x 2 x 6)(3 x 2 x 6)
8( x 3)
2x 6
2( x 3)
3 x2 x6
3 x2 x6
4( x 3) ( x 3)(3 x 2 x 6) ( x 3)(4 3 x 2 x 6) 0
TH1: x 3 0 x 3
TH2: 4 3 x 2 x 6 4 3 x 2 x 6 16 9( x 2) 6 x 2 4 x 12 x 6
14
11 45
x
3 x 4 x 12 14 5 x
x
5
2
x 2 11x 19 0
1
c) ĐK: x 6
3
2
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 2
NguyÔn §iÖp
0973870375
pt ( 3x 1 4) (1 6 x ) 3x 2 14 x 5 0
( 3x 1 4)( 3x 1 4) (1 6 x )(1 6 x )
( x 5)(3x 1) 0
3x 1 4
1 6 x
3( x 5)
x 5
3
1
( x 5)(3x 1) 0 ( x 5)
3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
3x 1 4 1 6 x
x 5 0 x 5
Bài tập 3: Giải các phương trình:
a)
2 x2 8x 6 x2 1 2 x 2
b)
x 2 4 x 3 2 x 2 3x 1 x 1
c)
x 2 3x 2 x 2 4 x 3 2 x 2 5 x 4
Giải
a) Điều kiện x 3; x 1; x 1
pt 2( x 1)( x 3) ( x 1)( x 1) 2( x 1)
x 1 ta có:
*) Với x 1 chia cả 2 vế cho
pt 2( x 3) x 1 2 x 1 2( x 1) 2 2 x 2 4 x 6 x 1 4( x 1)
x 1
2 2 x 4 x 6 x 1 7 x 18 x 25 0
x 25 (loai)
7
2
2
*) Với x = -1 thử trực tiếp ta thấy thỏa mãn nên x = -1 là nghiệm
*) Với x 3
pt 2( x 1)( x 3) ( x 1)( x 1) 2( x 1)
2( x 3) x 1 2 x 1 (PT vô nghiệm vì VP < 0)
Vậy x 1
Bài tập 4: Giải các phương trình
a) x 2 x 1 x 2 x 1 2
b)
5 2
5 2
x 1 x2
x 1 x2 x 1
4
4
c)( D 2005) : 2 x 2 2 x 1 x 1 4
Giải
a) pt ( x 1 1)2 ( x 1 1)2 2
x 1 1
TH1: Nếu
ĐK: x 1
x 1 1 2
x 1 1 0 x 2 ta có:
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 3
NguyÔn §iÖp
0973870375
pt x 1 1 x 1 1 2 x 1 1 x 2
TH2:
x 1 1 0 x 2 kết hợp x 1 1 x 2 ta có:
pt x 1 1 x 1 1 2 2 2 (luôn đúng)
Vậy 1 x 2
c) pt 2 ( x 1 1)2 x 1 4
ĐK: x 1
2( x 1 1) x 1 4 x 1 2 x 3
Vậy x = 3
* Dạng 2: Đặt ẩn phụ
a) Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình bậc 2 - bậc 3 – bậc 4.
Bài tập 1: Giải phương trình:
a) x 2 2 x 2 13 22
b) x 2 4 x 2 2 0
c) x 2 2 x 2 3x 11 3x 4
d )( x 4)( x 1) 3 x2 5x 2 6
Giải
d) ĐK: x
5 17
5 17
x
2
2
pt x 2 5x 4 3 x 2 5x 2 6
Đặt t x2 5x 2; t 0 ta có:
t 1(loai)
t 2 2 3t 6 t 2 3t 4 0
t 4
x 7
t 4 x 2 5 x 2 4 x 2 5 x 14 0
x 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -7 và x = 2.
Bài tập 2: Giải phương trình
a)1 2 x x 2 ( x 1)(2 x)
b) x 2 3x 1 ( x 3) x 2 1
c) x 2 2 x 1 2(1 x) x 2 2 x 1
Giải
x 1 2
c) ĐK:
x 1 2
pt x2 2 x 1 2(1 x) x 2 2 x 1 4 x . Đặt
x 2 2 x 1 t; t 0 ta có:
t 2
t 2 2(1 x)t 4 x 0
t 2 x
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 4
NguyÔn §iÖp
0973870375
x 1 6
TH1: t 2 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 5 0
x 1 6
TH2: t 2 x x 0 kết hợp ĐK ban đầu ta có: x 1 2
pt x 2 2 x 1 2 x 3x 2 2 x 1 0 (vô nghiệm)
Vậy x 1 6 và x 1 6
Bài tập 3: Giải phương trình:
a) x 2 x 12 x 1 36
b)( D 2006) : 2 x 1 x 2 3x 1 0
Giải
b) ĐK: x
1
Đặt
2
2 x 1 t; t 0 x
t2 1
ta có:
2
2
t 2 1
t 2 1
4
2
3
2
t
3
1 0 t 4t 4t 1 0 (t 1)(t t 3t 1) 0
2
2
t 1
(t 1)(t 1)(t 2t 1) 0 t 1 2(loai)
t 1 2
2
TH1: t 1 x 1
TH2: t 1 2 x 2 2
Vậy x = 1 và x 2 2
Bài tập 4: Giải các phương trình:
a) x 2 x 2 2 x 2 4 2 2 x
b) 3x 2 x 1 4 x 9 2 3x 2 5 x 2
c)( B 2011) : 3 2 x 6 2 x 4 4 x2 10 3x
d )4( 1 x 1 x ) 8 x 2
e) 3 x 6 x (3 x)(6 x) 3
f ) x 4 x 2 2 3x 4 x 2
g) x 1 x
2
x x2 1
3
Giải
b) ĐK: x 1 .
Đặt t 3x 2 x 1; t 1 t 2 4 x 3 2 3x 2 5x 2 ta có:
t 3
pt t t 2 6 t 2 t 6 0
t 2(loai)
Với t = 3 3x 2 x 1 3 3x2 5x 2 6 2 x
6 2 x 0
x 3
x 3
2
x2
2
2
x
2;
x
17
3
x
5
x
2
36
24
x
4
x
x
19
x
34
0
Vậy x = 2.
c) ĐK: 2 x 2
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 5
NguyÔn §iÖp
0973870375
pt 3( 2 x 2 2 x ) 4 4 x 2 10 3x
Đặt t 2 x 2 2 x ; 4 t 2 t 2 2 x 4 4 x 2 4(2 x) 4 4 x 2 3x 10 t 2
t 0
t 3(loai )
Khi đó: pt 3t 10 t 2 10 t 2 3t 0
Với t = 0 2 x 2 2 x 0 2 x 4(2 x) x
6
5
Bài tập 5: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
a)( B 2004) : m( 1 x 2 1 x 2 2) 2 1 x 4 1 x 2 1 x 2
b)6 x 2 (4 x)(2 x 2) m 4( 4 x 2 x 2)
c)9 2 4 x2 m( 2 x 2 x )
d ) 1 x 8 x (1 x)(8 x) m
Giải
a) ĐK: 1 x 1
Đặt
1 x 2 1 x 2 t ,0 t 2 (tìm GTLN – NN của t)
1 x2 2 (1 x2 )(1 x 2 ) 1 x 2 t 2 1 x 4 2 t 2
pt m(t 2) 2 t 2 t
t 2 t 2
m, 0 t 2
t2
Để pt đã cho có nghiệm thì 2 đồ thị
f
2 t2 t
, 0 t 2 và f = m phải cắt nhau
t2
Xét hàm f (t )
2 t2 t
t 2 4t
, (0 t 2) f '(t )
0
t2
(t 2)2
t
0
-
f’
f’
2
1
2/(2+ 2 )
Vậy
2
m 1
2 2
Bài tập 6: (A – 2007). Tìm m để pt sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 2 4 x 2 1
Giải
ĐK: x 1
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 6
NguyÔn §iÖp
0973870375
3 x 1 m x 1 2 4 x2 1 m
m 24
Đặt
4
x2 1
x 1
x 1
x 1
3
m 24
3
2
( x 1)
x 1
x 1
x 1
x 1
t,
x 1
3
1
t
4
2 4 x2 1 3 x 1
2 4 x2 1 3 x 1
m
4
x 1
x 1
x 1
( x 1)2
3
x 1 x 1 4
1 x 1 4 x 1 1 x 1 4
2
0, x 1
t'
.
x 1 x 1
4 x 1 x 1 4 x 1 ( x 1) 2
'
x 1 t 0
0 t 1
x lim t 1
pt 3t 2 2t m,0 t 1
f 3t 2 2t , 0 t 1
Do đó để pt đã cho có nghiệm thì 2 đồ thị
f m
Xét hàm f (t ) 3t 2 2t f '(t ) 6t 2 f '(t ) 0 x
t
0
phải cắt nhau
1
3
1/3
f’
-
f’
1/3
0
Từ BBT ta có: 1 m
1
-1
1
3
Bài tập 7: Tìm m để pt sau có nghiệm x x x 12 m( 5 x 4 x )
Giải
ĐK: 0 x 4
pt
x x x 12
m.
5 x 4 x
x x x 12
f
Do đó để pt đã cho có nghiệm thì 2 đồ thị:
5 x 4 x phải cắt nhau
f m
Xét f
x x x 12
,0 x 4
5 x 4 x
Ta có:
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 7
NguyÔn §iÖp
f '
0973870375
( x x x 12) '( 5 x 4 x ) ( 5 x 4 x ) '( x x x 12)
5 x 4 x
2
1
1
3
1
2 x
( 5 x 4 x)
x x x 12
2 x 12
2 5 x 2 4 x
0
( 5 x 4 x )2
x
0
4
+
f’
||
12
f’
12/(2+ 5)
Vậy
12
m 12
2 5
Bài tập 8: Giải phương trình:
a)
x
x 1 3
x 1
x
2
b) 3
2x 3 x 1
2
x 1
2x
Giải
b) ĐK: x 0, x 1
Đặt
3
2x
x 1 1
t 3
x 1
2x
t
1
pt t 2 t 2 2t 1 0 t 1
t
3
2x
2x
1
1 2x x 1 x 1
x 1
x 1
b) Đặt ẩn phụ đƣa về hệ
Bài tập 1: Giải phương trình:
a)
x 2 3x 3 x 2 3x 6 3
b)
Giải
2 x2 5x 2 2 2 x 2 5x 6 1
2
5 73
5 73
x 3x 3 u
,x
b) ĐK: x
. Đặt
, u, v 0 ta có:
2
4
4
x
3
x
6
v
u 2v 1
2 2
u v 8
(1)
(2)
. Từ (1) ta có u = 1+ 2v thế vào (2) ta có:
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 8
NguyÔn §iÖp
0973870375
7
v (loai )
(1 2v) v 8 3v 4v 7 0
3
v 1
2
2
2
x 1
v = 1 2 x 5x 6 1 2 x 5x 7 0
(thỏa mãn)
x 7
2
2
2
Bài tập 2: Giải pt:
a) 3 2 x 1 x 1
b)( A 2009).2 3 3x 2 3 6 5x 8 0
d ) 3 (2 x)2 3 (7 x)2 3 (7 x)(2 x) 3
c) 4 18 x 4 x 1 3
Giải
3
2 x u
a) ĐK: x 1 . Đặt
x 1 v
, v 0 ta có:
u 1 v(1)
. Thế (1) vào (2) ta có:
3 2
u v 1(2)
3 2 x 0
u 0
x 2
u 3 (1 u ) 2 1 u 3 u 2 2u 0 u 1 3 2 x 1 x 1 (thoản mãn)
u 2 3 2 x 2
x 10
3 3x 2 u
6
5
b) ĐK: x . Đặt
6 5x v
, v 0 ta có:
2u 3v 8 0(1)
. Thế (1) vào (2) ta có:
3
2
5u 3v 8(2)
8 2u
3
2
2
5u 3 3
8 15u 4u 32u 40 0 (u 2)(15u 26u 20) 0
3
2
u 2 3 3x 2 2 3x 2 8 x 2 (thỏa mãn)
* Dạng 3: Một số phƣơng pháp khác
a) Phƣơng pháp đánh giá
Bài tập 1: Giải phương trình
a) 4 x 1 4 x 2 1 1
c)
b) x 2 2 x 5 x 1 2
x 1
x4 5
x 10
x
2
d ) 2 x2 x 2
1 1
4
x2 x
Giải
1
2
a) ĐK: x . Với x
1
ta có:
2
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 9
NguyÔn §iÖp
0973870375
4x 1 1
4 x 1 4 x2 1 1
2
4x 1 0
Vậy
4 x 1 4 x 2 1 1 x
1
2
1
là nghiệm của phương trình
2
b) ĐK: x 1 . Với x 1 ta có:
Vậy x
2
2
x 2 x 5 ( x 1) 4 2
x2 2 x 5 x 1 2
x 1 0
Vậy x2 2x 5 x 1 2 x 1
Vậy x = 1 là nghiệm
c) ĐK: x 4 . Đặt f ( x)
x 1
x4
ta có:
x 10
x
'
x 1
x4
8 x
8 x
1
1
f '( x)
(8
x
)
2
2
x 2 x 1( x 10)2 2 x 2 x 4
2 x 1( x 10) 2 x x 4
x 10
f '( x) 0 x 8
x
4
f’
||
+
0
-
5
12
f’
f ( x)
8
5
x 1
x4 5
12
x 10
x
12
x 1
x4 5
x8
x 10
x
12
Vậy x = 8 là nghiệm
2 x 2 0
1
d) ĐK 2 2 0
x
x 0
Chú ý (BĐT Bunhia): a1b1 a2b2 ... anbb (a12 ... an2 )(b12 ... bn2 )
2
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 10
NguyÔn §iÖp
0973870375
Dấu ‘=” xảy ra
a
a1
... n
b1
bn
2
1 1
1 1
Ta có: 2 x 2 x 2 2 (1 1 1 1)(2 x 2 x 2 2 2 2 ) 16
x
x
x
x
2 x2 x 2
1 1
4
x2 x
2 x2 x 2
1 1
1 1
4 2 x2 x 2 2
2
x
x
x
x
2
2 x x
1
x 2 2 x 1
x
1
x
x
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình
Bài tập 2: Gpt
b) x2 4 x 5 x 2 4 x 8 x 2 4 x 1
a) 2 x 3 5 2 x x 2 4 x 6
Giải
a) ĐK:
3
5
x ta có:
2
2
2x 3 5 2x
2
(1 1)(2 x 3 5 2 x) 4 2 x 3 5 2 x 2
x2 4 x 6 ( x 2)2 2 2
2x 3 5 2x 2
2 x 3 5 2 x x2 4 x 6 2
x2
x 4x 6 2
Vậy x = 2
b) ĐK: x
2
2
x 4 x 5 ( x 2) 1 1
VT 3
2
2
x 4 x 8 ( x 2) 4 2
x2 4 x 1 3 ( x 2)2 3
x2 4 x 5 x2 4 x 8 3
x2 4x 5 x2 4 x 8 x2 4 x 1
x2
2
x
4
x
1
3
Vậy x = 2
b) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
* f(x) = c (c_const) có 1 nghiệm x0 . Nếu f(x) luôn ĐB hoặc NB thì x0 là nghiệm duy nhất
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 11
NguyÔn §iÖp
0973870375
* f(x) = g(x) có 1 nghiệm x0 . Nếu 1 vế ĐB, vế kia NB thì x0 là nghiệm duy nhất
Bài tập: GPT
a) x3 x 7 x 2 5
TXĐ: R
x3 x 7 x 2 5 0 . Ta thấy x = 2 là nghiệm
Mặt khác xét f ( x) x3 x 7 x2 5 0 có:
f '( x) 3x 2 1
x
x2 5
0, x nên f(x) đồng biến
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất
b) ( x 2)(2 x 1) 3 x 6 4 ( x 6)(2 x 1) 3 x 2
ĐK: x
1
2
( x 2)(2 x 1) 3 x 2 ( x 6)(2 x 1) 3 x 6 4
x 2( 2 x 1 3) x 6( 2 x 1 3) 4
( 2 x 1 3)( x 2 x 6) 4
Với
1
x 5 thì
2
2 x 1 3 0 VT 0 nên pt vô nghiệm
Với x > 5 ta thấy x = 7 là nghiệm
Mặt khác xét f ( x) ( 2 x 1 3)( x 2 x 6)
f '( x)
1
1
1
( x 2 x 6) ( 2 x 1 3)
0
2x 1
2 x2 2 x6
Vậy f(x) đồng biến trên tập xác định
Vậy x = 7 là nghiệm duy nhất
c)
x2 15 3x 2 x 2 8 .
x 2 15 x 2 8 3x 2
TXĐ: R
7
x 2 15 x 2 8
3x 2
Ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình:
mặt khác VP đồng biến, VT nghịch biến nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 12
NguyÔn §iÖp
0973870375
CHUYÊN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
*
f ( x ) g ( x)
ĐK: f(x) 0
Nếu g(x) 0 thì BPT luôn đúng
Nếu g(x) 0 thì bình phương 2 vế
*
f ( x) g ( x)
ĐK: f(x) 0
Nếu g(x) 0 thì BPT luôn đúng
Nếu g(x) 0 thì bình phương 2 vế
*
f ( x ) g ( x)
ĐK: f(x) 0
f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) [g ( x)]2
*
f ( x ) g ( x)
ĐK: f(x) 0
f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) [g ( x)]2
Ví dụ 1: Gbpt
( x 5)(3x 4) 4( x 1) 0 .
ĐK: x 5, x
4
3
3x 2 19 x 20 4( x 1)
Với 4(x-1) < 0 thì x < 1 kết hợp ĐK x 5,1 x
4
BPT luôn thỏa mãn
3
Với 4( x 1) 0 x 1 ta có bpt tương đương:
3x 2 19 x 20 16( x 1)2 13x 2 51x 4 0
1
x4
13
Kết hợp x 1 ta có 1 x 4
4
3
Hợp 2 trường hợp ta có: x 5, x 4
2( x 2 16)
Ví dụ 2: (A – 2004)
x 3
x 3
7x
x 3
ĐK: x 4
2( x2 16) x 3 7 x 2( x 2 16) 10 2 x
Nếu 10 2x 0 x 5 thì BPT luôn thỏa mãn
Nếu x 5 kết hợp x 4 ta có: 4 x 5 bình phương 2 vế ta có:
2( x2 16) 10 2 x x 2 20 x 66 0 10 34 x 10 34 .
2
Kết hợp 4 x 5 ta có: 10 34 x 5 nên nghiệm cuối là x 10 34
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 13
NguyÔn §iÖp
0973870375
Ví dụ 3: 8x2 6 x 1 4 x 1 0 8x2 6 x 1 4 x 1
1
1
x
,
x
1
4
2
8 x 2 6 x 1 0
x
1
2
x
4 x 1 0
4
x 1
2
2
8 x 6 x 1 4 x 1
1
4
x
0,
x
4
Ví dụ 4 (A – 2010).
Ta có
x x
1 2( x 2 x 1)
1
1
3
3
2( x 2 x 1) 2( x )2
1 do đó BPT tương đương
2
2
2
x x 1 2( x 2 x 1)
ĐK: x 0
1 x x 0
2( x 2 x 1) 1 x x
2
2
2( x x 1) (1 x x )
1 x x 0
1 x x 0
2
2
2
2 x 2 x 2 1 x x 2 x 2 x x 2 x
x 2x x x 2 x 1 0
Đặt
2
1 t t 0(1)
x t , t 0 khi đó ta có hệ: 4
3
2
t 2t t 2t 1 0(2)
(1) t 2 t 1 0
1 5
1 5
1 5
kết hợp t 0 0 t
t
2
2
2
1 5
3 5
(*)
0 x
2
2
2 1
1
1
1
1
(2) t 2 2t 1 2 0 t 2 2 2(t ) 1 0 (t ) 2 2 2(t ) 1 0
t t
t
t
t
t
0 x
2
1
1
1
1
(t )2 2(t ) 1 0 (t ) 1 0 (t ) 1 0
t
t
t
t
1 5
(loai )
t
1 5
3 5
2
2
(**)
t t 1 0
x
x
2
2
1 5
t
2
Kết hợp (*) và (**) ta có: x
Ví dụ 5:
3 5
2
x2 2 x 15 x 2 0 x 2 2 x 15 x 2
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 14
NguyÔn §iÖp
0973870375
x 5, x 3
x 2 2 x 15 0
19
x 2
3 x
x 2 0
6
x 2 2 x 15 ( x 2) 2
19
x
6
Ví dụ 6 (B – 2012). x 1 x2 4 x 1 3 x
.ĐK: x 2 3, x 2 3
x2 4 x 1 3 x x 1
Nếu 3 x x 1 0 x
3 5
3 5
73 5
73 5
x
0 x
x
2
2
2
2
thì BPT luôn đúng
Nếu 3 x x 1 0
kết hợp ĐK ta có:
3 5
3 5
7 3 5
73 5
(1)
x
x
2
2
2
2
73 5
73 5
(*) bình phương 2 vế ta có:
x 2 3 2 3 x
2
2
x2 4 x 1 9 x x 2 1 6 x x 6 x 2 x 15x 6 x x 6 x 0
x (15 x 6 x 6) 0 15 x 6 x 6 0 x
1
1
x 2 x x4
2
4
73 5
1
73 5
x 4 x
2
4
2
1
Kết hợp (1) và (2) ta có: 0 x x 4
4
Kết hợp điều kiện (*) ta có:
(2)
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
* Dạng 1: Biến đổi thông thƣờng.
Bài tập 1: Giải các BPT:
a)
3x 2 x 4 2
2
x
b)
1 1 4 x2
3
x
c)
x 2 2 x 51
1
1 x
Giải
x 2 2 x 51 0
c) ĐK:
1 x 0
1 52 x 1 52
1 52 x 1 1 x 1 52
x 1
* Với 1 52 x 1 thì 1 – x > 0
BPT x2 2 x 51 1 x 2 x 2 50 0 x 5 x 5
kết hợp với 1 52 x 1 ta có: 1 52 x 5
* Với 1 x 1 52 thì 1 – x < 0 ta có:
(1)
x2 2 x 51 1 x (luôn thỏa mãn) (2)
1 52 x 5
Từ (1) và (2) ta có:
1 x 1 52
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 15
NguyÔn §iÖp
0973870375
Bài tập 2: Giải các BPT
a)
1
x2
1 x
2
x4
b)
4( x 1)2
1
3 2x
2
2 x 10
c)
2 x2
3
9 2x
2
x 21
Giải
9
9 2 x 0
x
c) ĐK:
2 khi đó ta có:
9
2
x
3
x 0
BPT
2 x2 3 9 2 x
3 9 2x
3 9 2x
2
2
2
3 9 2x
2
x 21
2 x2 3 9 2 x
4 x2
2
x 21
2( x 21) 6 9 2 x 24 9 2 x 4 x
9
2
Kết hợp ĐK ta có: x 0 0 x
7
2
7
2
Bài tập 3: Giải BPT:
a)( x 3) x 2 3 x 2 9
b)2 x 1 x 2 x 2
Giải
b) ĐK: x 1
BPT
(2 x 1 x 2)(2 x 1 x 2)
3( x 2)
x2
x2
2 x 1 x 2
2 x 1 x 2
3( x 2) ( x 2)(2 x 1 x 2) ( x 2)(2 x 1 x 2 3) 0
* Nếu x – 2 < 0 x 2 kết hợp ĐK: 1 x 2 ta có:
2 x 1 x 2 3 4( x 1) ( x 2) 4 ( x 1)( x 2) 9 4 x 2 x 2 11 5x
16( x2 x 2) (11 5x)2 x2 14 x 17 0 7 32 x 7 32
kết hợp 1 x 2 ta có: 7 32 x 2
* Nếu x > 2 ta có:
(1)
2 x 1 x 2 3 4 x2 x 2 11 5x
x2 x 2 0
11
x
5
11 5 x 0
16( x 2 x 2) (11 5 x) 2
x 7 32 x 7 32
kết hợp x > 2 ta có BPT trường hợp này vô nghiệm (2)
Từ (1) và (2) ta có: 7 32 x 2
Bài tập 4: Giải BPT:
a ) x 2 4 x 3 2 x 2 3x 1 x 1
TTGDTX&DN YÊN LẠC
b) x 2 3x 2 x 2 6 x 5 2 x 2 9 x 7
Trang 16
NguyÔn §iÖp
0973870375
Giải
b) ĐK: x 5, x 1
BPT ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 5) ( x 1)(2 x 7)
* Với x = -1 ta thấy thỏa mãn
* Với x > -1 ta có:
( x 2) ( x 5) (2 x 7) 2 x 2 7 x 10 0
x 2
(không thoản mãn)
x 2 7 x 10 0
x 5
* Với x 5 ta có: BPT ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 5) ( x 1)(2 x 7)
( x 2) ( x 5) (2 x 7) 2 x 2 7 x 10 0
x 2(loai)
x 2 7 x 10 0
x 5
Vậy x = -1 và x = -5
Bài tập 5: Giải BPT
a) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
b) x 2 x 1 x 2 x 1
3
2
Giải
b) x 2 x 1 x 2 x 1
x 1 1
* Nếu
x 1 1
3
2
2
x 1 1
x 1 1
2
3
2
ĐK: x 1
3
2
x 1 1 0 x 2 ta có:
BPT x 1 1 x 1 1
3
25
4 x 1 3 16( x 1) 9 x
2
16
kết hợp x 2 ta có x 2
* Nếu
x 1 1 0 1 x 2 ta có:
BPT x 1 1 x 1 1
3
3
2 (luôn thỏa mãn)
2
2
Vậy ta có: x 2
* Dạng 2: Đặt ẩn phụ
Bài tập 1: Giải các BPT
a) ( x 1)( x 4) 5 x2 5x 28 x 2 5x 4 5 x 2 5x 28 . Đặt
x 2 5 x 28 t , t
87
4
Ta có: t 2 5t 24 0 3 t 8
Kết hợp t
87
ta có:
4
87
87
t 8
x 2 5 x 28 64
4
4
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 17
NguyÔn §iÖp
0973870375
x 2 5 x 28 64
x 2 5 x 36 0
9 x 4
2
87 2
x
4 x 20 x 25 0
x 5 x 28
4
Vậy 9 x 4
b) x2 2 x2 4 x 3 6 2 x 2 x2 2 2 x2 4 x 3 12 4 x
2 x2 4 x 12 2 2 x2 4 x 3 0 . Đặt
2 x 2 4 x 3 t , t 1 ta có:
t 5
t 2 2t 15 0
t 3
Với t > 3 ta có:
c)
x 3
2x2 4x 3 3 2 x2 4 x 6 0
x 1
x
x2
4 5
. ĐK: x 2, x 0
x2
x
Đặt
x2
t , t 0 ta có:
x
1
4 5t 5t 3 4t 2 1 0 (t 1)(5t 2 t 1) 0 5t 2 t 1 0 (luôn đúng)
t2
Vậy x 2, x 0 là nghiệm của BPT
d)
3
x 24 12 x 6
ĐK: x 12
Đặt 12 x t , t 0 x 12 t 2 ta có:
3
36 t 2 t 6 3 36 t 2 6 t 36 t 2 (6 t )3
(6 t )(6 t ) (6 t )3 (6 t )(t 2 13t 10) 0
0 12 x 3
0 t 3
3 x 12
6 t 10 6 12 x 10
88 x 24
e)
7 x 7 7 x 6 2 49 x2 7 x 42 181 14 x
6
7
ĐK: x . Đặt
7 x 7 7 x 6 t , t 13 ta có: t 2 14 x 1 2 49 x 2 7 x 42
BPT 7 x 7 7 x 6 2 49 x 2 7 x 42 14 x 1 182 0
t 14
t t 2 182 0
t 13
Với t 13 7 x 7 7 x 6 13 49 x2 7 x 42 84 7 x
84
thì BPT luôn đúng
7
84
6
6
84
Nếu 84 7 x 0 x
kết hợp x nên x . Bình phương 2 vế ta có:
7
7
7
7
Nếu 84 7 x 0 x
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 18
NguyÔn §iÖp
0973870375
49 x2 7 x 42 (84 7 x)2 1183x 7098 x 6
Vậy x > 6.
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. CÁC PHÉP TOÁN VỀ LŨY THỪA
1)a 0 1
3)a m
5)
2)a1 a
1
am
4)a m .a n a mn
am
a mn
n
a
am a
7) m
b
b
9) n a m
6)a m .bm (a.b)m
m
n
8)(a m )n (a n )m a m.n
m
a
m
an
10)a m a n m n
II. CÁC PHÉP TOÁN VỀ LOGARIT
1) log a 1 0
2) log a a 1
3)aloga b b
4) log a b
5) log a b .log a b
6) log a b
7) log a b log a b
8) log a b.logb c log a c
9) log a b log a c loga (b.c)
b
10) log a b log a c log a
c
11)alogb c clogb a
12) loga b loga c b c
1
logb a
1
log a b
B. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN
1)a x b(0 a 1)
Nếu b 0 pt vô nghiệm
Nếu b > 0 pt có nghiệm duy nhất x log a b
2)a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x)
Ví dụ: Giải pt:
x
1)3
x 1
3x
3
8 8x 3 x log 3 3
3
8
8
x
2)4x1 4x2 4x3 9.6x 6x 1 6x 2 4.4x 16.4x 64.4x 9.6x 6.6x 36.6x
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 19
NguyÔn §iÖp
0973870375
x
51
51
4
84.4 x 51.6 x
x log 4
6 84
6 84
x
x
3
3
3)3 2 (5 x 10 x 25) 5 x 2 10 x 25 5( x 1) 2 20
2
2
x
x
2
Ta thấy VP luôn âm, VP luôn dương nên PT vô nghiệm
4)123 x 4 32 x 11.44 x 3 33 x 4.43 x 4 32 x 11.44 x 3
33 x 4 44 x 3
3
2 x 11 3 x 4 3x 7 4 x 7
3
4
4
5) 5 2 6
6)
2
x
6x
5 2 6 52 6
(0,5)23 x 2
x
2
x 7
6x
1 x 7 log 3 1 x 7
4
1
52 6
52 6
5 2 6
6x
1
x
1
6
x
4
2 3x 5 x 4 x
2
5
2 (23 x )
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
* Dạng 1: Nhóm thừa số chung.
Bài tập 1: Giải phương trình:
1)8.3x 6x 3.2x 24
2)25.2x 10x 5x 25 0
3)12.3x 3.15x 5x1 20
Giải
3)12.3 3.15 5
x
x
x 1
20 12.3 3.3 .5 5.5x 20
x
x
x
3.3x (4 5x ) 5(4 5x ) (4 5x )(3.3x 5) 0
5x 4(vo nghiem)
x 5
5
3 x log 3
3
3
Bài tập 2: Giải pt
1)( D 2006).2x
2
x
4.2x
2
x
22 x 4 0
2
2
2
2
2x
2 .2 4. x 22 x 4 0 2 x .22 x 4.2 x 22 x.2 x 4.2 x 0 2 x (22 x 4) 2 x (22 x 4) 0
2
x2
x
22 x 4
2 x 2
x 1
(2 4)(2 2 ) 0 2
2
x
x
x 0
x x
2 2
x2
2x
x
2)( D 2010).42 x
pt 42 x.4
4
x2
24.22
x2
x2
2 x 42
3
2x 42.4
3
x2
x2
2x 4 x 4
2x .24 x4 4
3
24 x
(2 2 ) 2 ( 4 1) 4
2
4x
x2
4
x3
ĐK: x 2
3
x2
(42 x 42 ) 2 x (24 x4 1)
2 x (24 x 24 )
(2 2 )
24
3
x2
4x
4
(24 x 24 ) 2x (24 x 24 ) (24 x 24 )(242
3
TTGDTX&DN YÊN LẠC
3
x2
2x ) 0
3
Trang 20
NguyÔn §iÖp
0973870375
24 x 24 (1)
3
4 2 x 2
2 x (2)
2
(1) 4x 4 x 1
3
3
x 4 0
x 4
6
6
3
3
4( x 2) x 8 x 16
x 8x 4 x 8 0
(2) 4 2 x 2 x3 2 x 2 x3 4
3
x 4(1)
2
4
3
2
( x 2 x)( x 2 x 4 x ) 4( x 2) 0(2)
(2) ( x 2)( x5 2 x4 4 x3 4) 0 x 2
Vậy x = 2 và x = 2
Bài tập 3: Giải pt
1)4x
2
x
22 x
21 x 2( x1) 1
2
2
2 x
2
21 x 2x
2
2
2 x 1
1 22 x
2
2 x
21 x 22 x
2
2
2 x 1 x2
1 22 x
2
2 x
21 x 22 x
2
2
2 x
.21 x 1
2
21 x 1 20
x 1
1) 0 2
22 x 2 x 1 20
x 0
2
2
2)4x
2 x2 2 x
(1 2
3 x 2
4x
2
1 x 2
2
1 x 2
) 1 2
6 x 5
42 x
2
1 x 2
(1 2
3 x 7
)(2
2 x2 2 x
1 (làm tương tự câu thứ nhất)
3)(2 2) x 2x (2 2) x 1 4 x
x
(2 2) x 2(2 2) 1 2(2 2)(2 2)
x
x
x
(2 2) x 2(2 2) 1 2(2 2) (2 2) x
x
x
(2 2) x 1 2(2 2) (2 2) x 1 (2 2) x 1 2(2 2) 1 0
(2 2) x 1
x0
x
2(2 2) 1
* Dạng 2: Đặt ẩn phụ
Bài tập 1: Giải pt
2
1)( D 2003).2
3)
x x
2
2
2 x x
2
3
72 x
6.(0, 7) x 7
x
100
5)9x
2
x 1
10.3x
2
x2
1
1
1 x
1 x
2) 3 12
3
3
4)4x
x 2 5
12.2x1
x 2 5
8 0
6)34 x8 4.32 x5 27 0
1 0
Giải
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 21
NguyÔn §iÖp
1) PT 2 x
2
x
22
2
t
0973870375
x2 x
Đặt 2x x t , t 0 ta có:
3
2
2
t 1(loai)
x 1
4
3 t 2 3t 4 0
2x x 4 x2 x 2
t
t 4
x 2
4)4x
2
x 2 5
12.2x1
x x 2 5
12.
2
x 2 5
2x
8 0
x 2 5
2
ĐK: x2 5 0
8 0 . Đặt 2 x
2x
t 2
t 6t 8 0
2x
t 4
x 2 5
2(1)
x 5
4(2)
2
2
x 2 5
t , t 0 ta có:
x 1 0
x 1
(1) x x 2 5 1 x 2 5 x 1 2
x3
2
x 5 x 2x 1 x 3
x 2
x 2
9
(2) x x 5 2 x 5 x 2 2
9x
2
4
x
x 5 x 4x 4
4
9
Vậy x = 3 và x
4
2
2
Bài tập 2: Giải PT
1
1
1
1)8x 18x 2.27 x
2)6.9 x 13.6 x 6.4 x 0
3)( A 2006) : 3.8x 4.12x 18x 2.27 x 0
4)25 x
5)125x 50x 213 x
6)3x 1 22 x 1 12 2 0
2
2 x 1
9 x
2
2 x 1
34.152 x x
2
x
Giải
x
2x
3x
12 x 18x
27 x
3 3
3
3) PT 3 4. x x 2. x 0 3 4 2 0
8
8
8
2 2
2
x
3
Đặt t , t 0 ta có:
2
t 1(loai)
3 4t t 2t 0 2t t 4t 3 0 (t 1)(2t t 3) 0 3
t
2
2
3
3
2
2
x
3
3
3
Với t x 1
2
2
2
6) PT 3.3 2.4
x
x
12
TTGDTX&DN YÊN LẠC
x
x
x
x
x
4 12
4 4
0 3 2
0 3 2
0
3 9
3 3
Trang 22
NguyÔn §iÖp
0973870375
x
4
Đặt
t , t 0 ta có:
3
x
x
0
t 1
4
4 4
3 2t t 0
1
x0
t 3 (loai) 3
3 3
2
2
Bài tập 3: Giải các PT:
1)42 x 2.4 x
2
2
x
42 x 0
2)22 x
2
1
9.2x
2
x
22 x 2 0
x 3 x 6
3)22
15.2
x 3 5
2x
Giải
2
2
42 x
4x x
2.
1 0 42( x x ) 2.4 x x 1 0
2x
2x
4
4
2
1) PT
2
Đặt 4x x t , t 0 ta có:
2
t 2 2t 1 0 t 1 4 x
3)22
x 3 x 6
22
15.2
x 3 x 6
2x
Đặt 2
x3 x3
15.
x 3 5
x
x 0
1 x2 x 0
x 1
2x
x 3 5
2
2
2x
ĐK: x 3
1 2
2( x 3 x 3)
15.2
x3 x32
1 2
2( x 3 x 3)
15.
2
x3 x3
4
1
t , t 0 ta có:
t 4(loai )
4t 15t 4 0 1
2
t
4
x3 x3
2
1
2
4
x3 x3
22
x 1
1 x 0
x 3 x 3 2 x 3 1 x
x 1 x 1
2
x 3 x 2 x 1 x 2
Bài tập 4: Giải các PT:
1)( B 2007).
5)
x
3) 5 21 7 5 21
5 1
x
2 1
x2 x
2 x
2
x 1
x
2 1 2 2 0
x
2
4) 5 21
x3
3( 5 1) x
2
5 2 6
5 21
2
2) 5 2 6
x
2 x x2
sin x
sin x
2 x x2
2
1 2 x x2
0
6)(cos 720 ) x (cos360 ) x 3.2 x
Giải
Ta có
2 1
x
x
2 1 1 nên đặt
x
2 1 t
x
2 1
1
ta có:
t
t 2 1
1
t 2 2 0 t 2 2 2t 1 0
t
t 2 1
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 23
NguyÔn §iÖp
0973870375
2 1
Với t 2 1
Với t
4) PT 5 21
5 21
Đặt
2
2 1
x
2 1 2 1 x 1
2 x x2
x
2 1
5 21
2 x x2
x
2 1
2.22 x x
2
1
2 1
x
2 1
5 21
0
2
2 x x2
2 1
1
x 1
5 21
2
2 x x2
2. 0
2 x x2
t , t 0 ta có:
5 21
1
t 2 0 t 2 2t 1 0 t 1
t
2
2 x x2
x 0
1 2x x2 0
x 2
Bài tập 5: Giải phương trình: 8x 81 x 6 2x 21 x 1
23 x
8
2
6(2 x x ) 1
3x
2
2
3
2
2
6
8
8
2
Đặt 2 x x t t 3 2 x x 23 x 6.2 x x 3 x 23 x 3 x 6 2 x x ta có:
2
2
2 2
2
2
2 x 1(loai)
2
2x
x
t 6t 6t 1 t 1 2 x 1 2 2 2 0 x
x 1
2
2 2
3
x
* Dạng 3: Logarit hóa 2 vế
Bài tập: Giải pt
x 2
1)3 .2 1
x
x2
x 1
3
x
2)5 .2
3)20112012 20122011
x
x
4)2x
2
20
4
3x 2
Giải
x 2
x 1
3
x
2)5 .2
20
x 1
3
x
5x 2.2
ĐK: x 0
x 1
3
5x 2 2 x
5.22
. 2
5
2
x 3
x
1 5x 3.2
1
x 3
x 3 x x 3
x 3
x 3
log5 5 .2
log5 1 log5 5 log 5 2 x 0 x 3
log 5 2 0
x
x 3
x( x 3) ( x 3) log 5 2 0 ( x 3)( x log 5 2) 0
x log5 2
3) PT log 2011 20112012 log 2011 20122011 2012x 2011x.log 2011 2012
x
TTGDTX&DN YÊN LẠC
x
Trang 24
NguyÔn §iÖp
0973870375
x
2012
log 2011 201 x log 2012 log 2011 2012
2011
2011
* Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Chú ý:
* Xét PT f(x) = c (c_ hằng số)
Giả sử x0 là 1 nghiệm của PT
Nếu f(x) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến thì x0 là nghiệm duy nhất của
PT
* Xét PT f(x) = g(x)
Giả sử x0 là 1 nghiệm của PT
Nếu 1 vế luôn ĐB, vế kia luôn NB thì x0 là nghiệm duy nhất của PT
* Tổng các hàm ĐB (NB) là 1 hàm ĐB (NB)
Bài tập 1: Giải PT
x
1)32 1 2 x
2)4x 6x 13.2x
Giải
x
2
1)3 1 2
x
3
x
x
3 1 x
1 2
1
2 2
x
Ta thấy x = 2 là nghiệm
Mặt khác: VT là 2 hàm luôn NB, VP là hằng số nên x = 2 là nghiệm duy nhất
(Hàm số mũ có cơ số <1 nên luôn nghịch biến)
2)4x 6x 13.2x 2x 3x 13
Ta thấy x = 2 là nghiệm
Mặt khác VT là 2 hàm đồng biến, VP là hằng số nên x = 2 là nghiệm duy nhất
Bài tập 2: GPT
1)3x 5 2 x
2)76 x x 2
3)3x 3 x 2x 2 x 6 x 6 2 x
4)255 x 2( x 2).55 x 3 2 x 0
5)2x1 4x x 1
Giải
1)3 5 2 x
x
Ta thấy x = 1 là nghiệm
Mặt khác VT là 1 hàm đồng biến
Xét f ( x) 5 2 x f '( x) 2 0 nên VP luôn nghịch biến
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất
2)76 x x 2
TTGDTX&DN YÊN LẠC
Trang 25
