SKKN: Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải

“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

I.

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa
học. Ngay từ thế kỉ XIII, nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn đã nói rằng: “Ai không hiểu
biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không
thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình”. Đến giữa thế kỉ XX nhà vật lí học
nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không được tin
vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này
thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả”. Sự phát triển của các nhà khoa học
đã chứng minh lời tiên đoán của Các Mác: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển
nếu có thể sử dụng được phương pháp toán học”.
Môn Toán học nói chung, Toán học ở bậc THCS nói riêng, trong đó có
chương trình Toán lớp 7 luôn có sự kế thừa và phát triển kiến thức liền mạch trong
hệ thống kiến thức Toán học của nhân loại. Trong quá trình dạy học Toán 7, tôi
thấy các bài toán về tỉ lệ thức chiếm lượng kiến thức lí thuyết không nhiều, song về
bài tập có vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán cơ bản tính toán,
suy luận chúng minh cũng như việc áp dụng kiến thức này vào nhiều phần kiến
thức Toán, kể cả phân môn Hình học. Trong thực tế, nhiều học sinh bị nhầm lẫn
giữa tỉ số của hai số và phân số, giải các bài tập về tỉ lệ thức một cách rập khuôn
máy móc và cảm thấy khó khăn, “sợ” các bài tập này.
Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài
tập về tỉ lệ thức là học sinh chưa chủ động rèn luyện cách trình bày lời giải, các lập
luận, những kiến thức được áp dụng trong quá trình làm bài nên dẫn đến thụ động,
rập khuôn, thiếu tính sáng tạo. Do đó, học sinh mau quên những kĩ năng cơ bản ấy.
Trong thực tế, theo chủ quan cá nhân tôi, tôi thấy điều cơ bản của việc dạy cách
giải bài tập toán là tìm ra phương pháp dạy cho học sinh hiểu và tự giải những bài

tập quen thuộc, cơ bản một cách rõ ràng, ngắn gọn, để từ đó học sinh liên tưởng,
tìm tòi, vận dụng vào trong các bài tập liên quan hoặc cùng dạng. Vậy, làm thế nào
để học sinh khắc sâu và vận dụng những kiến thức về tỉ lệ thức để giải được các bài
tập cơ bản về tỉ lệ thức? Để trả lời câu hỏi này, tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm
tìm hiểu “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” trong chương trình
Toán lớp 7, với mong muốn qua nội dung SKKN này, sẽ giúp các em giải một số
bài tập cơ bản về tỉ lệ thức một cách dễ dàng nhất, hiệu quả nhất. Qua kiến thức
trong sách giáo khoa và tham khảo một số tài liệu liên quan về tỉ lệ thức và dãy tỉ
số bằng nhau, tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập cơ bản liên quan tỉ lệ
thức, mỗi dạng bài tập đều có phần gợi ý nhận xét, định hướng những cách giải
thông qua kiến thức được áp dụng trong bài tập đó.
Hơn nữa, với mong muốn được tích lũy thêm kiến thức kinh nghiệm trong
giảng dạy, dần được làm quen với công tác nghiên cứu khoa học giáo dục, ngày
càng nâng cao nhận thức khoa học bộ môn, những lí luận cần thiết về chuyên môn
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 1 -


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

phục vụ cho công việc giảng dạy của bản thân, đồng thời nhận được nhiều ý kiến
góp ý của các thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường để SKKN này được
trọn vẹn hơn nữa. Có lẽ rằng nhiều ý kiến của tôi nêu ra sẽ chưa thật trọn vẹn, song
tôi luôn hy vọng rằng sự tích lũy của tôi sẽ góp được một điều nhỏ bé nào đó cho
mỗi chúng ta trong quá trình giảng dạy mảng kiến thức này. Đây là lí do giúp tôi
chọn nghiên cứu SKKN này.
Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải những sai

sót trong trình bày, trong diễn đạt …là điều không thể tránh khỏi. Tôi rất mong
nhận được sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô giáo, của các đồng nghiệp và bạn đọc
để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn nữa.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
*Mục tiêu
- Xây dựng cơ sở lý thuyết về tỉ lệ thức để giải các bài toán cơ bản liên quan.
- Phân loại và hệ thống các dạng bài tập từ dễ đến khó.
- Rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài tập, phát triển và rèn luyện tư duy sáng
tạo cho học sinh qua việc tìm tòi, chọn lọc, tham khảo kiến thức và các cách giải
đối với mỗi bài tập.
- Hướng mở rộng SKKN trong điều kiện thực thi được nội dung mở rộng.
* Nhiệm vụ
- Củng cố được các kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức, các kĩ năng thực hiện phép
tính, tính toán thông thường phục vụ cho SKKN, đồng thời phân biệt, nhận dạng
được từng loại bài tập, vận dụng phương pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán.
Từ đó hiểu được bản chất các dạng bài tập cơ bản về tỉ lệ thức.
- Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi làm bài, biết suy luận từ bài dễ
đến bài khó với cách giải hay hơn thông qua việc luyện một số cách giải phù hợp
cho từng dạng.
Với sáng kiến kinh nghiệm này, tôi muốn đưa ra một số bài toán cơ bản về
một số cách giải các bài toán cơ bản về tỉ lệ thức trong chương trình Toán 7 và
những cách giải thông thường. Cụ thể:
+ Hệ thống một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức trong chương trình Toán 7 (nội
dung kiến thức trong tuần 5 và tuần 6 - Bài 7: Tỉ lệ thức và Bài 8: Tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau).
+ Tìm hiểu kết quả và mức độ đạt được khi triển khai sáng kiến sau ba năm
thực hiện. Từ đó phân tích, rút ra bài học kinh nghiệm.
3. Đối tượng nghiên cứu

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 2 -


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

- Kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình
Toán 7 và một số tài liệu liên quan.
- Học sinh Lớp 7 ở bậc trung học cơ sở – Trường THCS Lương Thế Vinh –
Huyện Krông Ana các năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015.
4. Giới hạn, phạm vi nghiên cứu
Do tuổi đời và tuổi nghề chưa nhiều, với sự tích lũy có hạn của bản thân, tôi
chỉ mạn phép nghiên cứu về một số cách giải các bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và
dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình Toán 7, trong thời gian nghiên cứu và áp
dụng SKKN là các năm học gần đây tôi được trực tiếp dạy chương trình Toán 7.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp đàm thoại – gợi mở.
- Phương pháp thu thập và xử lý số liệu.
- Phương pháp tác động giáo dục .
- Phương pháp kiểm tra đánh giá.
- Phương pháp thực nghiệm.
II.

PHẦN NỘI DUNG

1. Cơ sở lí luận
Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và môn Toán lớp 7 bậc

trung học cơ sở – Trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana các năm
học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015 nói riêng, tôi thấy môn Toán 7 - phân
môn Đại số đã tạo ra những sự liên kết kiến thức của cuối chương trình Toán 6 và
đầu chương trình Toán 7, trong đó có phần kiến thức về tỉ lệ thức. Để am hiểu cặn
kẽ mảng kiến thức này, đòi hỏi người học phải luôn có sự đam mê khám phá, tìm
hiểu và ghi nhớ định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức một cách chính xác và sáng tạo.
Những kiến thức ở mức độ căn bản thường yêu cầu tất cả người học phải nắm
được. Những kiến thức mở rộng, nâng cao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho những
ai có lòng say mê bộ môn, có tính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu
và chinh phục.

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 3 -


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

Trong quá trình giảng dạy, cùng với sự trao đổi qua các đồng nghiệp, tôi thấy
kết quả của học sinh trong khi học mảng kiến thức về tỉ lệ thức được thể hiện rất rõ
qua việc luyện tập trên lớp, bài kiểm tra 15 phút lần một và bài kiểm tra một tiết lần
một. Có những bài học sinh trình bày rất tốt, sáng tạo, tuy nhiên có nhiều bài làm
trình bày sơ sài, dư thừa hoặc thiếu sót nhiều, thậm chí nhiều bài không định hình
được cách trình bày…Và sau khi hướng dẫn, tìm cho các em những mẹo nhớ,
những cách trình bày ngắn gọn thì các em phần nào đã cải thiện được chất lượng
bài làm, nhiều em học sinh khá giỏi rất hứng thú với mảng kiến thức này.
Kiến thức lí thuyết
1/ Định nghĩa

- Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số:

a c
= hoặc a : b = c : d
b d

(với a, b, c, d ∈ Q; b,d ≠ 0 là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các ngoại tỉ; b
và c là các trung tỉ)
2/ Tính chất
2.1) Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Trong một tỉ lệ thức, tích
a c
các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ. Từ tỉ lệ thức = suy ra a.d = b.c
b d
2.2) Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 , cho ta các tỉ lệ
a c a b d c d b
thức: = ; = ; = ; =
b d c d b a c a
2.3) Tính chất 3: (tính chất hoán vị các số hạng của tỉ lệ thức): Từ tỉ lệ thức
a c
= ;(a, b, c, d ≠ 0) , suy ra các tỉ lệ thức:
b d
d c
=
b a
a b
+ Đổi chỗ trung tỉ: =
c d
+ Đổi chỗ ngoại tỉ:

+ Đổi chỗ ngoại tỉ và đổi chỗ trung tỉ:

d b
=
c a

3/ Dãy các tỉ số bằng nhau:
* Dãy tỉ số bằng nhau gồm ba tỉ số bằng nhau trở lên:

a c e
= = = ...
b d f

* Tính chất:

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 4 -


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

+ Từ tỉ lệ thức

a c
a c a +c a −c
= suy ra tỉ lệ thức sau: = =
=
;(b ≠ ± d)

b d
b d b+d b−d

+ Dãy tỉ số bằng nhau:

a c e a + c + e a − c + e 2a + 3c − e
= = =
=
=
= ...
b d f b + d + f b − d + f 2b + 3d − f

* Nếu a, b, c tỉ lệ với m, n, p, ta có:
* Nếu có

a b c
= =
m n p

a c e
= = = m thì a = b.m, c = d.m, e = f .m
b d f

* Ngoài ra, ta thấy tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó cũng có tính chất của một
a c
đẳng thức: Từ tỉ lệ thức = ;(a, b, c, d ≠ 0) , suy ra:
b d
2

2

a c a c
+/  ÷ =  ÷ = .
b d b d

2

a
c
+/ m. = m. ; ( m ≠ 0 )
b
d
3

a c e
+/  ÷ = .
b d f
3

3

m.a n.c
a c e
a
c
e
a c e
=
; ( m;n ≠ 0 ) +/ = = ⇒  ÷ =  ÷ =  ÷ = . .
+/

m.b n.d
b d f
b d f  b d f
2. Thực trạng
Sau thời gian được phân công giảng dạy các lớp 7 trong những năm học vừa
qua tại trường THCS Lương Thế Vinh, bản thân tôi đã tích lũy được những kiến
thức và học hỏi từ đồng nghiệp rất nhiều kinh nghiệm quý báu, điều đó đã giúp tôi
có nhiều thuận lợi hơn trong quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được phân
công. Trong những năm tôi mới ra trường, tôi đã được phân công dạy lớp 7. Từ
năm học 2007– 2008, tôi đã tích lũy một số kiến thức và các dạng bài tập cơ bản về
tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. Tôi đã dần sưu tầm, tìm hiểu các bài toán về vấn
đề này và áp dụng vào dạy các năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015.
Qua thời gian nghiên cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN “Một số bài toán cơ
bản về tỉ lệ thức và các cách giải” ở trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện
Krông Ana – Tỉnh ĐắkLắk”, bản thân tôi tiếp tục trao đổi với những giáo viên đã
và đang giảng dạy khối 7 để tích lũy thêm kiến thức cho SKKN này. Qua đó, tôi
thấy:
2.1. Thuận lợi – Khó khăn
* Thuận lợi: SKKN này được chuẩn bị, thử nghiệm và hoàn thành trong
thời gian ba năm học, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh nghiệm với các
đồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình một vốn kiến thức
nho nhỏ đảm bảo cho SKKN được hoàn thành. Với lượng kiến thức nêu trong
SKKN, tuy chưa đầy đủ song có thể đã đáp ứng được mục tiêu của SKKN đề ra,
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 5 -

“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

phần nào đã giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong tiếp cận và ghi nhớ các dạng bài
tập cơ bản về tỉ lệ thức. Đồng thời, thu hút thêm sự đóng góp ý kiến, nhận xét của
mọi người để SKKN hoàn thiện hơn.
* Khó khăn: Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh
những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến. Trước hết, do
những năm đầu đi dạy, tuổi đời và tuổi nghề của bản thân còn quá non trẻ, ít kinh
nghiệm trong giảng dạy, chủ yếu chú trọng rèn luyện nhiều ở phương pháp dạy
học, lại là những năm đầu bước vào nghề nên bản thân tôi còn nhiều lúng túng. Do
đó việc thử nghiệm, so sánh kết quả của SKKN này có phần không được thuận lợi
như mong muốn. Mặt khác, các em học sinh khối 7 đã có sự thay đổi về tâm sinh lí
lứa tuổi, tính tự giác trong học tập của các em chưa cao, vì vậy muốn các em áp
dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể thì GV sẽ phải trình bày bài tập mẫu,
chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, khi đó các em mới có thể hiểu và nắm được kiến thức,
song nhiều em ít có sự rèn luyện, tự học nên việc lưu giữ kiến thức còn hạn chế,
mau nhớ kiến thức nhưng có thể quên ngay hoặc nhớ không chính xác các kiến
thức đã học. Vì vậy, khi gặp lại các dạng toán hoặc các bài toán đã học, tuy quen
thuộc nhưng đối với nhiều em dường như là rất mới mẻ …
2.2. Thành công – Hạn chế
* Thành công: SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh
trong nhiều tiết luyện tập bài tập của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ
bản) cũng như trong việc dạy học hai buổi tại trường đã đạt mục tiêu đề ra. Đồng
thời, tôi đã áp dụng trong ôn thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay Casio
(từ năm 2013 đến 2015), ôn thi học sinh giỏi môn Toán (năm học 2010 – 2015), ôn
thi Violympic khối 9 (năm học 2011 – 2015), thi Violympic khối 7 (2010 – 2015).
Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn, nhận dạng và phân tích bài
toán nhanh hơn. Từ đó, kĩ năng trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt, kết quả học
sinh giỏi các cấp đáng ghi nhận. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi đáng kể
góp phần giữ vững kết quả đại trà và công tác bồi dưỡng HSG đối với nội dung

kiến thức này của bản thân tôi trong thời gian vừa qua.
* Hạn chế: Học sinh khối 7 đã có sự thay đổi về tâm sinh lí lứa tuổi, mất
tập trung trong giờ học, nhiều em chưa tập trung trong việc học và làm bài ở lớp
cũng như ở nhà, giảm chất lượng của các kĩ năng “nghe – ghi – nghĩ – nói” trong
giờ học. Vì thế, năng lực tư duy logic của các em chưa thật tốt. Vì thế, việc áp lý
thuyết để làm bài tập về tỉ lệ thức nói riêng và nhiều mảng kiến thức khác đối với
các em là một điều lạ lẫm, khó khăn. Hầu hết chỉ có các học sinh khá, giỏi mới có
thể tự làm đúng hướng và trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh
khác lúng túng không biết cách trình bày lời giải, nhiều em nhầm lẫn tỉ số của a và
a
a
b là ( a,b ∈ Q;b ≠ 0 ) với phân số ( a,b ∈ Z;b ≠ 0 ) , kĩ năng phân tích và lập
b
b
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 6 -


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

chương trình giải còn hạn chế nhiều và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc
dù được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu.
2.3. Mặt mạnh – mặt yếu
* Mặt mạnh: Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng
rãi, có giá trị sử dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn.
Nội dung này là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp
dụng được trực tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi

dưỡng HSG của nhiều khối lớp cấp THCS.
* Mặt yếu: Cách trình bày bài làm đôi khi gây cho học sinh lối mòn nếu
học sinh không thật chăm chỉ, thụ động. Đề bài đôi khi quá “cồng kềnh” như dạng
toán chia tỉ lệ hoặc quá “đơn giản” như dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng
thức dẫn đến học sinh dễ mắc sai lầm trong suy nghĩ, trong lời giải, trong trình
bày…Vì vậy, đây là một vấn đề để bản thân tôi trăn trở, suy nghĩ và chuẩn bị kiến
thức thật cẩn thận khi giảng dạy. Từ đó, tôi tự rút kinh nghiệm cho mình để mục
đích cuối cùng là đạt được kết quả cao về nội dung của SKKN đề ra.
2.4. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động.
Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên những
khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học tập
của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sút
nhiều, học sinh bị thụ động hoặc “bão hòa” kiến thức vì học thêm, học ôn quá
nhiều môn học. Nhiều học sinh chăm ngoan, học giỏi, có ý thức rèn luyện và tự học
cao. Các em ít có những suy nghĩ sáng tạo khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập
sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều, còn chờ đợi
giáo viên sửa bài. Một điều nữa là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình
bày bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt, các em lười học bài và làm bài tập ở
nhà, thậm chí nhiều em làm bài tập đối phó, chiếu lệ cho xong. Trong mảng kiến
thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, các em học sinh trung bình và trung bình
– khá tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày lời giải. Vì vậy mà các em nhanh
quên kiến thức đã áp dụng để giải bài tập dẫn đến ngại làm bài tập tương tự. Trong
khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng hiệu quả là
luyện giải bài tập.
2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra
Từ thực trạng và nguyên nhân trên, để giúp các em có vốn kiến thức, lấy lại
sự tự tin trong học tập, thầy cô cần giúp các em ôn tập, một cách hệ thống lại các
kiến thức đã học, hướng dẫn các em cách trình bày lời giải của một bài tập, sau đó
yêu cầu các em vận dụng làm các bài tập từ dễ đến khó. Giáo viên cần kiểm tra
thường xuyên việc học và làm bài tập của học sinh. Giải pháp khắc phục là cần

tăng cường sự phối hợp tốt hơn nữa giữa nhà trường và gia đình học sinh, đặc biệt
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 7 -


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

là những em mà gia đình có điều kiện kinh tế khó khăn, sự động viên khích lệ của
giáo viên dành cho gia đình và bản thân các em là cần thiết.
3. Giải pháp, biện pháp
3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
Do yêu cầu của phương pháp dạy học mới có sự thay đổi so với phương pháp
dạy học truyền thống, phải đảm bảo tính chủ đạo của thầy và chủ động của trò; thầy
hướng dẫn, điều khiển, đồng thời kích thích hứng thú học tập ở các em để các em
tự giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức của nhân loại cho bản thân. Để giúp học sinh
nắm được tốt các kiến thức về tỉ lệ thức vào làm các bài tập cơ bản, tôi đã sử dụng
phối kết hợp nhiều phương pháp dạy học như: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở, trực
quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêm động lực, niềm phấn khích đối với các
em… để các em có thể tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất.
3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
Một số dạng bài tập cơ bản.
Dạng 1: Lập tỉ lệ thức
7 4
: ;
3 5

Bài 1:Thay tỉ số các số bằng tỉ số của các số nguyên:

2
: 0,3;
5

0,23 :1,2

* Phương pháp: Thực hiện phép chia hai số hữu tỉ (hoặc hai số thực)
Ví dụ:

7 4 7 5 35
: = . =
(là tỉ số của hai số nguyên 35 và 12)
3 5 3 4 12

Bài 2: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không?
a)

15
30
và
21
42

b) 0,25 :1,75 và

1
7

c) 0,4:1

2
3
và .
5
5

* Phương pháp: Sử dụng định nghĩa về tỉ lệ thức.
+ Nếu hai tỉ số bằng nhau: lập được tỉ lệ thức.
+ Nếu hai tỉ số không bằng nhau: không lập được tỉ lệ thức.
Ví dụ: a) Ta có:

15 5
30 5
15 30
= và
= ⇒
=
là một tỉ lệ thức.
21 7
42 7
21 42

2 2
2 3
0,4 :1 ≠ nên ta không có tỉ lệ thức trong trường
b) Ta có: 0,4 :1 =
5 7
5 5
hợp này.
Bài 3: Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu có hãy viết

các tỉ lệ thức đó: 3; 9; 27; 81; 243.
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 8 -


Mt s bi toỏn c bn v t l thc v cỏc cỏch gii

* Phng phỏp:
+ Trc ht, to ng thc a.d = b.c (bng cỏch kim tra).
+ p dng tớnh cht Tớnh cht 2: T ng thc a.d = b.c vi a, b, c, d 0 ,
a c a b d c d b
cho ta cỏc t l thc: = ; = ; = ; =
b d c d b a c a
Vớ d: Ta cú 3.81 = 9.27 , theo thớnh cht 2, ta cú cỏc t l thc sau:
3 27
= ;
9 81

3
9
= ;
27 81

9 81
= ;
3 27

27 81
=
3
9

Dng 2: Tỡm s hng cha bit ca t l thc:
* Tỡm mt s hng cha bit ca t l thc:
Bi 4: Tỡm x bit:
a)

2,1 x
10
12
x
3
= ; d) 2,5 : x = 4,7 :12,1
==
;b)
; c)
0,7 3
4
5
x
36
* Phng phỏp: p dng tớnh cht 1, t t l thc

a c
= suy ra a.d = b.c . T
b d

ú:
a=

b.c
b.c
; d=
(Tỡm ngoi t ta ly tớch hai trung t chia cho ngoi t cũn li)
d
a

b=

a.d
a.d
; c=
(Tỡm trung t ta ly tớch hai ngoi t chia cho trung t cũn li)
c
b
Vớ d: a)

x
4

=

3
5

x=

( 4 ) .( 3)
5

=

12
5

(x l ngoi t)

d) 2,5 : x = 4,7 :12,1 ị x = ( 2,5.12,1) : 4,7 =

605
(x l trung t)
94

Bi 5: Tỡm x trong cỏc t l thc sau:
a) - 15 : 6 = - 2x : ( - 4)

b) 30 : 5x = 4 :12

x 2 24
=
c)
6
25

* Phng phỏp: Tỡm ngoi t hoc trung t l biu thc cha x, sau ú tỡm x
- 15.( - 4)
= 10 ị x = 10 : (- 2) = - 5

a) - 15 : 6 = - 2x : ( - 4) ị - 2x =
6
2

12
12
x 2 24
6.24 144 ổ
12 ử
ữ
x=
x ==
ị x2 =
=
=ỗ
ị
c)
hoc
ữ
ỗ
ữ
ố5 ứ
5
5
6
25
25
25 ỗ
Giỏo viờn: on Cụng Nam

Trng THCS Lng Th Vinh

Trang - 9 -


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

Bài 6: Tìm x trong tỉ lệ thức sau:

x
- 60
=
- 15
x

* Phương pháp: Áp dụng tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Trong
một tỉ lệ thức, tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ. Từ tỉ lệ thức
a c
= suy ra a.d = b.c
b d
x
- 60
=
Þ x.x = (- 15)(- 60) Þ x 2 = 900 Þ x = 30 hoặc x = - 30
- 15
x
Bài 7: Tìm x trong tỉ lệ thức:

a)

x- 1 6
=
x+ 5 7

b)

x- 2 x+ 4
=
x- 1 x+ 7

* Phương pháp: Áp dụng tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Trong
một tỉ lệ thức, tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ. Từ tỉ lệ thức
a c
= suy ra a.d = b.c
b d
a)

x- 1 6
= Þ 7 ( x - 1) = 6.( x + 5) Û 7x - 7 = 6x + 30 Þ 7x - 6x = 30 + 7 Þ x = 37
x+ 5 7

b)

x- 2 x+ 4
=
Þ ( x - 2) ( x + 7) = ( x - 1) ( x + 4)
x- 1 x+ 7

Þ x 2 + 7x - 2x - 14 = x 2 + 4x - x - 4 Þ 5x - 14 = 3x - 4
Þ 5x - 3x = - 4 + 14 Þ 2x = 10 Þ x = 5

* Tìm hai, ba, … số hạng chưa biết của tỉ lệ thức:
Bài 8: Tìm hai số x và y biết rằng:
a)

x y
= và x + y = −63
2 5

b)

x y
= và x − y = 109
2 5

c)

x y
= và x.y = 10
2 5

* Phương pháp:
+ Cách 1: Khi x, y là hai số hạng khác nhau (x là trung tỉ thì y là ngoại tỉ và ngược
lại), căn cứ vào mối quan hệ của x và y trong đề bài đã cho (tổng hay hiệu), ta áp
dụng tính chất:
Từ tỉ lệ thức

a c
a c a +c a −c
= suy ra tỉ lệ thức sau: = =

=
;(b ≠ ± d)
b d
b d b+d b−d

*Chú ý: ta phải viết lại dãy tỉ số bằng nhau hoặc tỉ lệ thức được áp dụng tính chất.
Ví dụ: a)

x y
= và x + y = −63
2 5

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 10


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Suy ra:

x y x + y −63
= =
=
= −9
2 5 2+5

7

x
y
= −9 ⇒ x = (−9).2 = −18; = −9 ⇒ y = (−9).5 = −45 Vậy x = −18; y = −45
2
5

+ Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có

a c e
= = = m thì a = b.m, c = d.m, e = f .m
b d f

x y
= = m ⇒ x = 2m; y = 5m (1) . Theo đề bài ta có: x + y = −63 , thay (1) vào
2 5
biểu thức ta được: 2m + 5m = −63 ⇒ 7m = −63 ⇒ m = −9
Khi đó: x = 2(−9) = −18; y = 5( −9) = −45
Đặt:

+ Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia.
Ta có:

x y
2y
= ⇒x=
2 5
5

ta được: x + y = −63 ⇒

(2)

. Theo đề bài ta có: x + y = −63 , thay (2) vào biểu thức

2y
( −63).5
+ y = −63 ⇒ 2y + 5y = (−63).5 ⇒ y =
= −45
5
7

Thay y = −45 vào (2), ta được: x =
c)

2.(−45)
= −18
5

x y
= và x.y = 10
2 5

+ Cách 1: Đối với dạng bài tập mà mối quan hệ của x và y không phải là tổng
(hiệu), chúng ta phải sử dụng đến các tính chất bổ trợ, chẳng hạn câu c, ta áp dụng
2
2
a c a c
tính chất:  ÷ =  ÷ = .

b d b d
2

x
x
 x  x.y 10
= = 1 ⇒ = 1 hoặc = −1 . Suy ra x = 2 hoặc x = −2
Ta có:  ÷ =
10 10
2
2
2
+ Với x = 2 ⇒ y = 5

+ Với x = −2 ⇒ y = −5

+ Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có
Đặt

a c e
= = = m thì a = b.m, c = d.m, e = f .m
b d f

x y
= = m ⇒ x = 2m; y = 5m (3) . Thay (3) và biểu thức x.y = 10 , ta được:
2 5

2m.5m = 10 ⇒ m 2 = 1 . Suy ra m = 1 hoặc m = −1
Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 11


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

+ Với m = 1 ⇒ x = 2; y = 5
+ Với m = −1 ⇒ x = −2; y = −5
+ Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia.
Ta có:

x y
2y
= ⇒x=
2 5
5

x.y = 10 ⇒

(4)

. Thay (4) vào biểu thức x.y = 10 , ta được:

2y
2
.y = 10 ⇒ 2y 2 = 50 ⇒ y 2 = 25 = ( 5 )
5

Suy ra y = 5 hoặc y = −5
+ Với y = 5 ⇒ x = 2
+ Với y = −5 ⇒ x = −2
Bài 9: Tìm hai số x, y biết rằng:

x y
= và x 2 + y 2 = 4;(x, y > 0)
5 3

* Phương pháp:
x y x 2 y2 x 2 − y2 4 1
=
= =
+ Cách 1: Áp dụng tính chất trong bài 7, ta có: = ⇒ =
5 3 25 9
25 − 9 16 4
⇒ x2 =

25
5
5
9
3
3
⇒ x = hoặc x = − và y 2 = ⇒ y = hoặc y = −
4
2
2
4
2

2

Vì x, y > 0 nên x =

5
3
và y = .
2
2

+ Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có
Đặt

a c e
= = = m thì a = b.m, c = d.m, e = f .m
b d f

 x = 5k
x y
= =k⇒
; thay vào x 2 + y 2 = 4 , tiếp tục tìm x và y.
5 3
 y = 3k

+ Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia.
x y
5y
= ⇒x=
, thay vào biểu thức x 2 + y 2 = 4 , tiếp tục tìm x và y.
5 3

3
Bài 10: Tìm x, y biết:

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

x
y
=
và 2x + 3y = 180
15 20

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 12


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

* Phương pháp: Đề bài cho trước 2x + 3y = 180 . Vậy, làm như thế nào để
x
y
=
áp dụng được tính chất đã biết đối với tỉ lệ thức
?
15 20
Áp dụng tính chất:
Ta có:

m.a n.c

=
; ( m;n ≠ 0 )
m.b n.d

x
y 2x 3y 2x + 3y 180
=
=
=
=
=
=2
15 20 30 60 30 + 60 90

Suy ra: x = 2.15 = 30 và y = 2.20 = 40 . Vậy x = 30; y = 40
* Các cách 2 và 3 áp dụng tương tự cho bài tập 10.
Bài 11: Tìm x, y, z cho:

x
y
z
=
= và x + y − z = 42
15 20 28

* Phương pháp: Sử dụng các cách có thể, chẳng hạn dùng tính chất của dãy
x
y
z
x+y−z

42
=
=
=
=
=6
tỉ số bằng nhau, ta có:
15 20 28 15 + 20 − 28 7
Suy ra: x = 90; y = 120;z = 168
Bài 12: Tìm x, y, z cho:

x
y
z
=
= và 3x + 2y − z = 19
15 20 28

* Gợi ý: Thay đổi điều kiện x + y − z = 42 thành điều kiện 3x + 2y − z = 19 , ta giải
x
y
z 3x 2y z
=
=
=
=
=
tương tự bài 11. Ta có:
15 20 28 45 40 28
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta tiếp tục tìm x và y.

Bài 13: Tìm x, y, z biết:

x y
=
2 3

(5)

y z
; =
4 5

(6)

và x + y − z = 10 (7)

* Phương pháp:
+ Cách 1: Đối với bài tập này, cần tìm ba số hạng là x, y, z. Vì vậy, để áp dụng
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta phải tạo được dãy tỉ số bằng nhau bằng cách
a
c
sử dụng tính chất: m. = m. ; ( m ≠ 0 ) như sau:
b
d
x y
x 1 y 1
x y 
= ⇒ . = . ⇒ = 
z
2 3

2 4 3 4
8 12  x y
=
⇒ =
y z
y 1 z 1
y
z
8 12 15
= ⇒ . = . ⇒
= 
4 5
4 3 5 3 12 15 
Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 13


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

y
y
và là hai tỉ số cùng chứa số hạng y của hai tỉ lệ thức đã cho, nên
3
4
ta tạo ra hai tỉ số giống nhau đối với số hạng y của hai tỉ lệ thức này để lập dãy tỉ
số bằng nhau)

(Ở đây ta có

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Suy ra

x
= 2 ⇒ x = 16 ;
8

x y
z
x + y − z 10
=
= =
=
=2
8 12 15 8 + 12 − 15 5
z
= 2 ⇒ z = 30
15

y
= 2 ⇒ y = 24 ;
12

Vậy x = 16 ; y = 24 ; z = 30
+ Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có
Đặt

a c e

= = = m thì a = b.m, c = d.m, e = f .m
b d f

x y
y z
3m
= = m ; = = n ⇒ y = 3m = 4n ⇒ n =
.
2 3
4 5
4

Khi đó:

x y
y z
= = m ⇒ x = 2m; y = 3m và = = n ⇒ y = 4n;z = 5n
2 3
4 5

Mà x + y − z = 10 (7) nên 2m + 3m − 5n = 10
Thay n =

3m
3m
= 10 ⇒ 5m = 10 ⇒ m = 2
vào 2m + 3m − 5n = 10 ⇒ 2m + 3m − 5.
4
4

Tiếp tục thay m = 2 vào x = 2m; y = 3m; z = 5.

3m
để tìm x, y, z.
4

+ Cách 3: Biểu thị hai số hạng này theo số hạng còn lại.
Từ (5) ta suy ra x =

2y
5y
.Từ (6) ta suy ra z =
. Thay vào (7) ta được:
3
4

2y
5y
+y+
= 10 . Ta tìm y, sau đó thay y vào tìm x và z.
3
4
+ Cách 4: Biến đổi và áp dụng tính chất của đẳng thức
Ta có: 3x = 2y và 5y = 4z

Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta được: 3x + 5y = 2y + 4z ⇒ 3x + 3y − 4z = 0
⇒ 3(x + y − z) − z = 0 ⇒ z = 30 (vì x + y − z = 10 (7) )
Vì 5y = 4z ⇒ y =

4z

= 24
5

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 14


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

Vì 3x = 2y ⇒ x =

2y
= 16
3

Bài 14: Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z và x + y − z = 95 (8)
* Phương pháp:
+ Cách 1: Từ 2x = 3y ⇒

x y
= ;
3 2

3y = 5z ⇒

y z

=
5 3

Sau đó, đưa về dãy tỉ số bằng nhau và giải tương tự cách 1 của bài 13. Tuy nhiên,
cách này hơi dài và một số học sinh thường bị sai ở bước đầu tạo ra hai tỉ lệ thức
a
c
như trên hoặc một số học sinh bị sai khi áp dụng tính chất m. = m. ; ( m ≠ 0 ) .
b
d
Vì vậy mà các em thường nhớ máy móc để làm bài.
+ Cách 2: Chúng ta phân tích cách làm:
- Nếu có dãy tỉ số bằng nhau của của x, y, z và kết hợp điều kiện (8) ta sẽ tìm được
x, y, z.
- Làm thế nào để từ điều kiện 2x = 3y = 5z sẽ có dãy tỉ số bằng nhau của của x, y,
z. Ta sẽ chia các vế của đẳng thức 2x = 3y = 5z cho BCNN(2;3;5) = 30 như sau:
2x = 3y = 5z ⇒

2x 3y 5z x
y z
=
=
= = =
30 30 30 15 10 6

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x
y z
x + y − z 95

= = =
=
=5
15 10 6 15 + 10 − 6 19

⇒ x = 75; y = 50; z = 30
•

Bài tập mở rộng dạng 2:

Bài 15: Tìm x, y, z biết:

1
2
3
x= y= z
2
3
4

(9)

và x − y = 15

* Gợi ý: Ta chọn cách giải phù hợp
+ Cách 1: (tương tự bài 14)
- Chia các vế của (9) cho BCNN(1; 2; 3) = 6 ta có:
⇒ x = 12.5 = 60;

y = 5.9 = 45;

x y z x − y 15
= = =
= =5
12 9 8 12 − 9 3

z = 8.5 = 40

+ Cách 2: Vì x − y = 15 ta nên biểu thị x và y theo z

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 15


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

1
2
3
3
9
x = y = z ⇒ x = z và y = z (10)
2
3
4
2

8
Sau đó, ta thay (10) vào điều kiện x − y = 15 để tìm z, sau đó tìm x và y.
Bài 16. Tìm x, y, z biết:
a)

x −1 y − 2 z − 3
=
=
2
3
4

b)

2x 2y 4z
=
=
3
4
5

( 12 )

( 11)

và 2x + 3y − z = 50

và x + y + z = 49

* Gợi ý:

a) Từ (1) ta có:
2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) z − 3 2x − 2 + 3y − 6 − z + 3 ( 2x + 3y − z ) + −2 − 6 + 3
=
=
=
=
4
9
4
4+9−4
9
50 − 5
=
=5
9
Suy ra:

x −1
= 5 ⇒ x = 11 ;
2

y−2
= 5 ⇒ x = 17 ;
3

z −3
= 5 ⇒ z = 23
4

b) Tương tự bài 14: Chia các vế của (12) cho BCNN (2;3;4) = 12

2x 3y 4z
2x
3y
4z
x
y
z
x+y+z
49
=
=
⇒
=
=
⇒ = = =
=
=1
3
4
5
3.12 4.12 5.12 18 16 15 18 + 16 + 15 49
Suy ra x = 18; y = 16; z = 15
Bài 17: Tìm các số a1 , a 2 , ..., a 9 biết:

a1 − 1 a 2 − 2
a −9
=
= ... = 9
9
8

1

và a1 + a 2 + ... + a 9 = 90
* Gợi ý: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a1 − 1 a 2 − 2
a − 9 a1 − 1 + a 2 − 2 + ... + a 9 − 9
=
= ... = 9
=
9
8
1
9 + 8 + 7 + ... + 1
( a + a + ... + a 9 ) − ( 1 + 2 + ... + 9 ) = 90 − 45 = 1
= 1 2
9 + 8 + ... + 1
45
Từ đó suy ra a1 , a 2 , ..., a 9
Dạng 3: Bài toán về chứng minh đẳng thức

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 16


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

Sau khi học sinh đã nắm được kiến thức cơ bản của tỉ lệ thức và dãy tỉ số
bằng nhau, thành thạo hai dạng toán nêu trên, có thể nâng cao khả năng tư duy của
học sinh bằng dạng bài tập chứng minh đẳng thức với một số bài tập cơ bản sau:
Bài 18: Chứng minh rằng: Nếu

a c
a+b c+d
= ≠ 1 thì
=
với a, b, c, d ≠ 0
b d
a −b c−d

a c
a
c
a+b c+d
= ⇒ +1 = +1⇒
=
(cộng vào
b d
b
d
b
d
a+b b
= (1) (đổi chỗ trung tỉ)
hai vế của đẳng thức với cùng một số) ⇒
c+d d
* Gợi ý: Với a, b, c, d ≠ 0 , ta có:

Tương tự:

a c
a
c
a −b c−d
a −b b
= ⇒ −1 = −1⇒
=
⇒
= (2)
b d
b
d
b
d
c−d d

Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 19: Cho

a+b a−b
a+b c+d
=
⇒
=
(đpcm)
c+d c−d
a −b c−d

a c
ac a 2 + c 2
= . Chứng minh rằng:
=
b d
bd b 2 + d 2
2

2

a c
ac a 2 c2
a c a c
=
=
* Gợi ý: Áp dụng tính chất  ÷ =  ÷ = . ta có: = ⇒
b d
bd b 2 d 2
b d b d
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
ac a 2 c 2 a 2 + c 2
ac a 2 + c 2
=
=
=
⇒
=
(đpcm)
bd b 2 d 2 b 2 + d 2

bd b 2 + d 2
Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu
a)

a c
= thì:
b d

5a + 3b 5c + 3d
=
5a − 3b 5c − 3d

b)

7a 2 + 3ab 7c2 + 3cd
=
11a 2 − 8b 2 11c 2 − 8d 2

* Phân tích:
a)

5a + 3b 5c + 3d
=
5a − 3b 5c − 3d

?/ Nhận xét điều phải chứng minh? Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
?/ Bài 18 gợi ý gì cho kết quả bài 20?
Từ

a c

a b
5a 3b
5a 5c 5a + 3b 5c + 3d
= ⇒ = ⇒
=
⇒
=
=
=
(đpcm)
b d
c d
5c 3d
3b 3d 5a − 3b 5c − 3d

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 17


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

b) Tương tự:
a c
a b
a 2 b 2 ab
7a 2 8b 2 3ab 11a 2 7a 2 + 3ab 11a 2 − 8b 2

= ⇒ = ⇒ 2= 2=
⇒ 2= 2=
=
=
=
b d
c d
c
d
cd
7c
8d
3cd 11c 2 7c 2 + 3cd 11c 2 − 8d 2
Dạng 4: Ứng dụng tính chất của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau vào giải
bài toán chia tỉ lệ
Bài 21: Tam giác ABC có số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5.
Tính số đo các góc của tam giác ABC.
Lời giải: Gọi số đo các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là x, y, z. Vì số đo
x y z
các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5 nên ta có: = =
3 4 5
0
Vì tổng các góc của tam giác bằng 1800 nên: x + y + z = 180

x y z x + y + z 1800
=
= 150
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = =
3 4 5 3 + 4 + 5 12
0

0
0
Suy ra: x = 45 ; y = 60 ;z = 75 .

Vậy số đo các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là: 450 ;600 ;750
Bài 23: Diện tích rừng tự nhiên ở nước ta trong năm 1945; 1990 và 2002 lần
lượt tỉ lệ với 40; 26; 34. Tính diện tích rừng của nước ta vào các năm đó, biết rằng
tổng diện tích rừng trong ba năm 1945; 1990; 2002 là 35 triệu ha. (số liệu đã làm
tròn đến hàng trăm nghìn).
Lời giải: Gọi diện tích rừng ở nước ta vào các năm 1945, 1990 và 2002 lần lượt là
a b c
a, b, c (triệu ha). Theo đề bài ta có: = = và a + b + c = 35000000
40 26 34
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c
a+ b+ c
35000000
= = =
=
= 350000
40 26 34 40 + 26 + 34
100
Suy ra: x = 14000000; y = 9100000; z = 11900000
Vậy diện tích rừng ở nước ta vào các năm 1945, 1990 và 2002 lần lượt là 14 triệu
ha; 9,1 triệu ha và 11,9 triệu ha.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm y trong các tỉ lệ thức sau:
a)

y

0,15
=
3,15 7,2

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

b)

- 2,6 - 12
=
y
42

Trường THCS Lương Thế Vinh

c) 11:10,5 = 6,32 : y
Trang - 18


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

(Đáp số: a) y = 0,065625 =

21
320

b) y = 9,1

c) y =

1659
)
275

Bài 2: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
1 1 7
a) 2 : = : x
3 3 9
(Đáp số: a) x =

1
9

1 12 15
b) x : = :
3 99 90

c)

b) x =

c) x =

Bài 3: Tìm x, y thỏa:
y = - 14 )

8
33

4
1
: x = 3 : 2,25
9
3
3
13

x y
= và xy = 84 (Đáp số: x = 6 ; y = 14 hoặc x = - 6 ;
3 7

Bài 4: Tìm x, y, z biết:
a)

x y
= và x + y = −40
2 3

(Đáp số x = −16; y = −24 )

b)

x y
y z
= và = và 2x + 3y − z = 372
3 4
5 7

(Đáp số: x = 90; y = 120; z = 168 )

4

a c
a 4 + b4
 a −b 
=
Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu = thì 
÷
4
4
b d
c−d  c +d

Trên đây là một số bài tập cơ bản về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau mà tôi đã
lựa chọn và phân dạng. Qua việc áp dụng các kiến thức về tỉ lệ thức và dãy các tỉ số
bằng nhau… để giải bài tập, học sinh đã nắm được các kiến thức cơ bản nêu trên
một cách chắc chắn hơn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy toán học logic, có
căn cứ, đồng thời gây hứng thú học tập, thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học
sinh trong môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung. Đồng thời giúp các
em biết cách xử lý một cách linh hoạt, nhanh nhạy, tối ưu các tình huống trong đời
sống hàng ngày khi vận dụng kiến thức đã học vào thực tế.
Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiến thức về tỉ lệ thức, theo ý kiến
chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thực hiện như sau:
1. Thứ nhất, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức
và dãy các tỉ số bằng nhau như đã nêu trên.
2. Thứ hai, giáo viên hướng dẫn cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết
dạy lý thuyết về những bài tập cơ bản, sau đó luyện giải các dạng bài tập cụ thể, đa
dạng từ dễ đến khó trong tiết luyện tập. Cần rèn luyện thêm cách lập luận và trình
bày bài làm cho học sinh yếu, trung bình vì đây là học sinh rất mau quên kiến thức,
hay chán nản và dễ bị mất kiến thức, thờ ơ với phương pháp học tập ở cấp THCS.

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 19


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

Đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm bài ở nhà của học
sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy.
3. Thứ ba, bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỉ số bằng nhau tuy đa dạng nhưng
với chương trình Sách giáo khoa yêu cầu các dạng bài tập cơ bản, do đó với mỗi
dạng bài tập giáo viên nên chốt lại phương pháp làm bài và các kiến thức đã áp
dụng như việc áp dụng các tính chất, các nhận xét, cách trình bày…sau khi giải
hoặc hướng dẫn, giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm là mấu chốt của bài toán để khi
gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ.
4. Thứ tư, mỗi giáo viên nên thường xuyên động viên, khích lệ các em, tạo
tâm thế yên tâm, tin tưởng cho các em phấn đấu bởi trong thực tế chắc chắn có
nhiều em học rất tốt, nhưng cũng có nhiều em học yếu, đôi lúc làm chúng ta buồn
bực, thất vọng. Đây cũng có thể là một yếu tố tác động tích cực nhằm đem lại kết
quả khả quan hơn trong quá trình dạy và học của cả giáo viên và học sinh, bởi đối
với cấp THCS, lứa tuổi lớp 7 và lớp 8 chưa ổn định..
5. Cuối cùng, tăng cường phối hợp các phương pháp, kết hợp dạy kiến thức
mới, củng cố kiến thức cũ đan xen các bài kiểm tra về các dạng bài tập, các mảng
kiến thức đã học, khi có sự đánh giá, nhận xét của giáo viên thì học sinh phần nào
biết được mức độ nắm bắt kiến thức của bản thân để điều chỉnh tốt hơn. Thông qua
đó, kịp thời liên hệ với giáo viên chủ nhiệm lớp (nếu không làm công tác chủ

nhiệm) hoặc liên hệ trực tiếp với phụ huynh học sinh (nếu là giáo viên chủ nhiệm)
để thông báo tình hình học tập, chất lượng kiểm tra chủ đề kiến thức đang học để
nhắc nhở, chấn chỉnh các em.
3.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp
Các giải pháp nêu trên được thực hiện trực tiếp trong quá trình dạy – học của
giáo viên – học sinh. Trên cơ sở tích lũy của giáo viên và sự chuẩn bị chu đáo cho
nội dung các bài dạy thì hiệu quả đề ra sẽ khả quan hơn. Bên cạnh đó, có thể mở
rộng kiến thức vào các bài tập nâng cao đối với học sinh khá giỏi trong những tiết
học hai buổi, trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán các khối lớp THCS với
những kiến thức liên quan.
3.4. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
Các giải pháp trên có sự tương tác bổ trợ trực tiếp lẫn nhau, có quan hệ tác
động lẫn nhau. Giải pháp (1) là tiền đề cơ bản, là điều kiện tiên quyết của quá trình
dạy – học. Giải pháp (2) tạo sự bền vững cho kết quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Là giải pháp nhằm duy trì chất lượng tác động giáo dục của giáo viên với học sinh.
Giải pháp (3) tạo điều kiện để nâng cao chất lượng của quá trình tác động giáo dục
giữa giáo viên và học sinh, có tính bổ trợ, có tác dụng trực tiếp đem lại hiệu quả
cho người học khi người học có ý thức tự giác, tự rèn luyện. Giải pháp (4) hỗ trợ,
tạo động lực cho người học, tạo sự phấn khích để tăng thêm ý chí cố gắng và lòng
Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 20


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

quyết tâm, vững tin hơn đối với học sinh – chủ thể của quá trình tiếp cận tri thức

của nhân loại. Cuối cùng, giải pháp (5) như đòn bẩy, tạo sức bật cho người học, kịp
thời điều chỉnh hành vi học tập của học sinh thông qua sự phối kết hợp gia đình và
nhà trường trong việc giáo dục các em.
Nhìn chung, các giải pháp này đan xen, tương tác với nhau, tạo nên những
nghệ thuật dạy học riêng, đem lại hiệu quả riêng cho mỗi giáo viên bởi hiệu quả đạt
được của quá trình dạy học còn phụ thược vào nghệ thuật sư phạm của từng nhà
giáo.
3.5. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu
Qua quá trình tích lũy và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, bản thân tôi
thấy trước hết tôi đã tích lũy cho mình được vốn kiến thức nho nhỏ về chủ đề “Một
số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” để có thể phục vụ công việc giảng
dạy và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của bản thân. Đối với học sinh, sau mỗi
năm học lớp 7, mỗi kì thi học sinh giỏi, tôi nhận thấy đa số các em đã biết tích lũy
kiến thức cơ bản, nhiều em trong số đó đạt kết quả cao trong học tập, đạt giải cao
trong thi học sinh giỏi các môn về Toán học.
Theo tôi nghĩ nội dung nghiên cứu của SKKN này sẽ đáp ứng được lượng kiến
thức cần thiết cho các em học sinh có thể tự học, tự rèn luyện thêm, đồng thời đối
với mỗi giáo viên, đã tạo cho chúng ta nhiều suy nghĩ để mỗi người tự tích lũy
thêm cho bản thân vốn kiến thức ngày một trọn vẹn để mỗi ngày dạy tốt hơn, có
nhiều kinh nghiệm, sáng kiến sau này hay và giá trị hơn những ý tưởng có trước.
4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên
cứu
Qua quá trình tích lũy và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, bản thân tôi
thấy trước hết tôi đã tích lũy cho mình được vốn kiến thức nho nhỏ về chủ đề “Một
số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” để có thể phục vụ công việc giảng
dạy và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của bản thân. Đối với học sinh, sau mỗi
năm học lớp 7, mỗi kì thi học sinh giỏi, tôi nhận thấy đa số các em đã biết tích lũy
kiến thức cơ bản, nhiều em trong số đó đạt kết quả cao trong học tập, đạt giải cao
trong thi học sinh giỏi các môn về Toán học.
Cụ thể, trong những năm qua, kết quả của chủ đề “Một số bài toán cơ bản về tỉ

lệ thức và các cách giải” mà tôi bổ trợ cho học sinh thông qua việc học tập trên lớp
đã đạt kết quả kiểm tra chủ đề như sau:
Năm học
2012 – 2013

Trước khi áp dụng SKKN

Sau khi áp dụng SKKN

≈ 65% Trung bình + Khá (từ 5 đến ≈ 55% Trung bình + Khá (từ 5
7 điểm)

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

đến 7 điểm)
Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 21


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

2013 – 2014

2014 – 2015

≈ 35% Giỏi (từ 8 đến 10 điểm)

≈ 45% Giỏi (từ 8 đến 10 điểm)

Không có học sinh yếu

Không có học sinh yếu

≈ 76% Trung bình + Khá (từ 5 đến ≈ 65% Trung bình + Khá (từ 5
7 điểm)

đến 7 điểm)

≈ 20% Giỏi (từ 8 đến 10 điểm)
≈ 04% Yếu (dưới 5 điểm)

≈ 35% Giỏi (từ 8 đến 10 điểm)

≈ 47% Trung bình + Khá (từ 5 đến ≈ 60% Trung bình + Khá (từ 5
7 điểm)

đến 7 điểm)

≈ 45% Giỏi (từ 8 đến 10 điểm)
≈ 40% Giỏi (từ 8 đến 10 điểm)
≈ 08% đạt điểm Yếu (dưới 5 Không có học sinh yếu
điểm)
* Kết quả chất lượng mũi nhọn.
Năm học

Năm học

Năm học

2012 – 2013

2013 – 2014

2014 – 2015

- Đa số học sinh chăm - Nhiều học sinh học
học. Tính sáng tạo cao.
trung bình nên chỉ nắm
- Vận dụng kiến thức các bài tập đơn giản, hiểu
sáng tạo, chủ động và tự nội dung kiến thức nhưng
tin khi làm dạng toán mau quên.
này. - Môn Toán đạt 03
HSG cấp Huyện Đạt hai
em
Violympic
cấp
Huyện và dự thi cấp tỉnh
đạt giải nhì cấp tỉnh.

- Đa phần các em trong các
lớp tạo nguồn đã rèn được
cách trình bày bài toán, bình
tĩnh suy nghĩ tìm hướng
giải cẩn thận.

- HS vận dụng vào kiến - Đạt 03 HSG Toán Huyện,
thức lớp 8 (Định lí Talet), 06 dự thi Violympic
khi thi Violympic Toán 7 Tỉnh.01 em đạt giải khuyến

- Môn Toán đạt 05 khích cấp tỉnh.
Violympic Huyện, thi
cấp Tỉnh đạt 280/300
điểm, đạt giải nhì cấp
tỉnh

Theo tôi nghĩ nội dung nghiên cứu của SKKN này sẽ đáp ứng được lượng
kiến thức cần thiết cho các em học sinh có thể tự học, tự rèn luyện thêm, đồng thời
đối với mỗi giáo viên, đã tạo cho chúng ta nhiều suy nghĩ để mỗi người tự tích lũy
thêm cho bản thân vốn kiến thức ngày một trọn vẹn để mỗi ngày dạy tốt hơn, có
nhiều kinh nghiệm, sáng kiến sau này hay và giá trị hơn những ý tưởng có trước.
Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 22


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

III.

PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận
Việc giải các bài cơ bản về tỉ lệ thức là việc làm cần thiết đối với học sinh lớp
7. Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên sau khi áp dụng giảng dạy cho học
sinh lớp 7 các năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014– 2015 và bồi dưỡng học
sinh giỏi môn Toán, môn giải toán trên máy tính cầm tay Casio, môn giải toán trên

Mạng Internet Violympic mà bản thân tôi đã đảm nhận tôi thấy trình độ học sinh
được nâng lên rõ rệt khi giải các bài toán về tỉ lệ thức và vận dụng nó vào giải các
bài toán liên quan. Học sinh giải thành thạo các bài toán tìm số hạng chưa biết của
tỉ lệ thức, đồng thời các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp để trình bày
lời giải một cách ngắn gọn và đầy đủ.
Học sinh không còn lúng túng, lo sợ khi gặp phải những bài tập dạng này,
các em đã thấy hứng thú, tự tin hơn khi gặp các loại toán này trong quá trình học
cũng như thi. Đặc biệt các em chủ động tìm tòi và phát huy khả năng sáng tạo trong
lời giải. Do vậy kết quả chất lượng đại trà và thi học sinh giỏi các cấp nâng lên rõ
rệt, tạo tâm lý thích học môn Toán hơn.
Trên đây là những suy nghĩ, tìm tòi của bản thân thông qua việc nghiên cứu
SKKN này. Để thực sự nắm vững và có kĩ năng thành thạo trong việc vận dụng vào
giải toán thì ngay từ đầu khi học, giáo viên có thể chọn lọc từng phương pháp phù
hợp với từng khối lớp nhằm khai thác và phát triển từ bài toán cụ thể trong SGK và
sách bài tập, tạo điều kiện bồi dưỡng tư duy toán học cho những đối tượng học sinh
khá, giỏi từ đó gây được hiệu ứng tích cực và lòng say mê sáng tạo trong học tập
nói chung và trong học toán nói riêng.
Qua quá trình nghiên cứu về mảng kiến thức này tôi đã có điều kiện để học
tập, nghiên cứu tự phát triển kiến thức nâng cao năng lực chuyên môn góp phần
thực hiện tốt nhiệm vụ được giao, tạo hứng thú cho các em trong học toán, nâng
cao chất lượng giáo dục và góp phần nhỏ bé của mình vào sự nghiệp giáo dục của
Đảng, Nhà nước.
Một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra trong quá trình giảng dạy
và chỉ đạo chuyên môn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được
sự góp ý bổ sung của các đồng chí, đồng nghiệp giúp tôi hoàn thiện hơn trong quá
trình chỉ đạo chuyên môn để đáp ứng được với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục
trong thời thời kì hiện nay.
2. Kiến nghị
Qua quá trình giảng dạy ở trường trung học cơ sở, qua thực tế tìm hiểu quá
trình dạy và học của học sinh. Tôi xin mạnh dạn đề xuất ý kiến như sau:

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 23


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

- Ở các trường nên tăng thêm một vài hoạt động ngoại khóa toàn trường về tìm
hiểu kiến thức phổ thông theo từng môn để học sinh có cơ hội giao lưu, học hỏi và
khẳng định bản thân, giúp các em hăng say học tập và đam mê nghiên cứu để thể
hiện mình hơn.
- Chúng ta cần có những buổi chuyên đề thảo luận về một nội dung, một trọng
điểm hay một vấn đề cụ thể của Toán học để thu hút đông đảo sự tham gia của toàn
bộ giáo viên trong trường, trong cụm hoặc trong huyện (tùy vào phạm vị tổ chức).
Trên đây là nội dung sáng kiến kinh nghiệm của tôi. Một lần nữa tôi xin chân
thành cảm ơn quý thầy cô, các đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này.
Do năng lực và kinh nghiệm chưa nhiều nên SKKN này không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô,
đồng nghiệp và quý bạn đọc để SKKN này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân
thành cảm ơn!
Krông Ana, ngày 20 tháng 1 năm 2016
Người viết

Đoàn Công Nam
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 24


“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”

MỤC LỤC
NỘI DUNG
I . PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài.
3. Đối tượng nghiên cứu.
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu.
II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận.
2. Thực trạng
2.1 Thuận lợi – Khó khăn

2.2 Thành công – Hạn chế
2.3 Mặt mạnh – Mặt yếu
2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động
2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề
tài đặt ra
3. Giải pháp, biện pháp.
3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
3.3 Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp
3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
3.5 Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề
nghiên cứu.
4. Kết quả thu được của khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề
nghiên cứu.
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận.
2. Kiến nghị.
Mục lục
Tài liệu tham khảo

Giáo viên: Đoàn Công Nam
-

Trường THCS Lương Thế Vinh

TRANG
1-3
1-2
2
2-3

3
3
3-18
3-5
5-6
6
6–7
7
7
7-8
8 - 20
20
20 - 21
21
21 -22
22 - 23
23 - 24
25
26

Trang - 25