skkn một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng hs lớp 10 thpt nam hà

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
***************************
CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG
THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10
Giáo Viên: VÕ THANH LONG
Năm Học 2013 – 2014
1
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN
1. Họ và tên VÕ THANH LONG
2. Ngày tháng năm sinh: 02 / 01 / 1977.
3. Giới tính: Nam.
4. Địa chỉ: B9/10, Tổ 4, khu phố 1, Phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai.
5. Điện thoại Di động: 0918806566.
6. Chức vụ: Không
7. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi, Biên Hoà, Đồng Nai.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
• Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học Sư phạm.
• Năm nhận bằng: 1999.
• Chuyên ngành đào tạo: Toán.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
• Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy Toán bậc THPT.
• Số năm có kinh nghiệm: 13 năm

2
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường THPT Nguyễn Trãi Độc lập Tự do Hạnh phúc

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI
Năm học 2013 - 2014
Tên đề tài:
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG
THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10
Họ và tên tác giả: VÕ THANH LONG Tổ Toán Tin học
Lĩnh vực:
Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Tính mới
 Có giải pháp hoàn toàn mới
 Có cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2. Hiệu quả
 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp
dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp
dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
3. Khả năng áp dụng
 Cung cấp các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách
Tốt Khá Đạt
 Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ
thực hiện và dễ đi vào cuộc sống
Tốt Khá Đạt
 Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng
đạt hiệu quả trong phạm vi rộng
Tốt Khá Đạt
3

4. Xếp loại
Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tổ trưởng chuyên môn (Ký, ghi rõ họ tên và đóng dấu)
Trương Ngọc Dũng
4
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG
THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10
Võ Thanh Long
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Khi thực hành giảng dạy cho học sinh về các bài toán của hình học phẳng, các em tiếp
xúc các vấn đề trên một cách khó khăn, nhưng lại là phần kiến thức quan trọng để các em
bắt đầu vào chương trình phổ thông; cũng như phần kiến thức cơ bản để các em tiếp tục
học trong hai năm còn lại của chương trình phổ thông.
Các bài toán liên quan đến đường thẳng: Lập phương trình đường thẳng, tìm tọa độ
các đỉnh của tam giác, xác định khoảng cách và góc giữa các đường thẳng … là các vấn
đề mà tôi thấy các em cần thiết phải nhớ, thấu hiểu và áp dụng cho các bài toán liên quan
để học tốt hơn, và để cho các em ôn thi đại học đạt được kết quả tốt, đó chính là lý do tôi
viết bài này.
Trong quá trình giảng dạy, tôi có tổng hợp lại, hệ thống lại các bài tập theo hướng từ
dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao, dễ áp dung cho cả học sinh và với giáo viên là một
bài toán để tham khảo thêm. Một số phương pháp có thể giải quyết các bài toán một cách
nhẹ nhàng, dễ áp dụng và bài toán được giải nhanh chóng. Tôi xin mạo muội viết lại “một
số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng dành cho học sinh lớp 10”, nhằm hỗ trợ cho
học sinh có thêm một tài liệu bổ sung, giúp các em học tốt hơn, nhẹ nhàng hơn trong quá
trình học toán.
Để thực hiện bài viết này, tôi có tham khảo tài liệu “ Truyển tập các chuyên đề luyện
thi Đại học môn toán Hình Giải tích” của tác giả Trần Phương – Lê Hồng Đức, các bài

toán trong đề thi tuyển sinh các năm học gần đây.
Thực hiện bài viết này, tôi xin cảm ơn BGH trường, tổ trưởng tổ toán và các thầy cô
đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện bài viết này.
Trong bài viết còn khiếm khuyết, xin các thầy cô trong ban giám khảo, các đồng
nghiệp đánh giá, nhận xét và đóng góp ý kiến để bài viết của tôi được tốt hơn. Xin chân
thành cảm ơn.
Bài viết gồm các phần sau:
1. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
2. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG
TAM GIÁC
3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
4. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ TẬP HỢP ĐIỂM
5
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
A – Kiến thức cần nhớ
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ
u 0≠
r
r
được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng ∆ nếu giá của nó
song song hoặc trùng với ∆.
Nhận xét: – Nếu
u
r
là một VTCP của
∆
thì
ku
r

(k
≠
0) cũng là một VTCP của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ
n 0≠
r
r
được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng ∆ nếu giá của nó
vuông góc với ∆.
Nhận xét: – Nếu
n
r
là một VTPT của
∆
thì
kn
r
(k
≠
0) cũng là một VTPT của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
– Nếu
u
r

là một VTCP và
n
r
là một VTPT của
∆
thì
u n
⊥
r r
.
3. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2
( ; )=
r
.
Phương trình tham số của ∆:
x x tu
y y tu
0 1
0 2

= +

= +


(1) ( t là tham số).
Nhận xét: – M(x; y)
∈

∆

⇔

∃
t
∈
R:
x x tu
y y tu
0 1
0 2

= +

= +

.
– Gọi k là hệ số góc của
∆
thì:
+ k = tan
α
,với
α

=
·
xAv
,
α

≠

0
90
+ k =
u
u
2
1
, với
u
1
0≠
.
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có véc tơ chỉ phương
u u u
1 2
( ; )=
r

.
Phương trình chính tắc của ∆:
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
=
(2) (u
1

≠
0, u
2

≠
0)
Chú ý: Trong trường hợp u
1
= 0 hoặc u
2
= 0 thì đường thẳng không có phương trình chính
tắc.
5. Phương trình tổng quát của đường thẳng
PT
ax by c 0
+ + =
với
a b
2 2

0
+ ≠
được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu
∆
có phương trình
ax by c 0
+ + =
thì
∆
có:
Véc tơ pháp tuyến là
n a b( ; )
=
r
và VTCP
u b a( ; )= −
r
hoặc
u b a( ; )= −
r
.
– Nếu
∆
đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có véc tơ pháp tuyến
n a b( ; )

=
r
thì phương trình của
∆

là:
a x x b y y
0 0
( ) ( ) 0
− + − =
6
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
Các trường hợp đặc biệt:
Các hệ số
Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆
c = 0
0ax by+ =
∆
đi qua gốc toạ độ O
a = 0
0by c+ =
∆
// Ox hoặc
∆

≡
Ox
b = 0
0ax c+ =
∆

// Oy hoặc
∆

≡
Oy
•

∆
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b
≠
0): Phương trình của
∆
:
x y
a b
1+ =
.
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
•

∆
đi qua điểm
M x y
0 0 0
( ; )
và có hệ số góc k: Phương trình của
∆
:
0 0
( )

= − +
y k x x y
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
.
Toạ độ giao điểm của ∆
1
và ∆
2
là nghiệm của hệ phương trình:
a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
0
0

+ + =


+ + =

(1)
• ∆
1
cắt ∆
2
⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔
a b
a b
1 1
2 2
≠
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0
≠
)
• ∆
1
// ∆
2
⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= ≠

(nếu
a b c
2 2 2
, , 0
≠
)
• ∆
1
≡ ∆
2
⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= =
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
7. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
(có VTPT
n a b

1 1 1
( ; )
=
r
)
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0
+ + =
(có VTPT
n a b
2 2 2
( ; )=
r
).
·
n n khi n n
n n khi n n
0
1 2 1 2
1 2
0 0
1 2 1 2
( , ) ( , ) 90
( , )
180 ( , ) ( , ) 90
∆ ∆


≤

=

− >


r r r r
r r r r
·
·
n n a b a b
n n
n n
a b a b
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
cos( , ) cos( , )
.
.
∆ ∆
+
= = =
+ +
r r

r r
r r
Chú ý:
•

∆
1

⊥

∆
2

⇔

a a b b
1 2 1 2
0
+ =
.
•
Cho
∆
1
:
y k x m
1 1
= +
,
∆

2
:
y k x m
2 2
= +
thì:
+
∆
1
//
∆
2

⇔
k
1
= k
2
+
∆
1
⊥

∆
2

⇔
k
1
. k

2
= –1.
+ Ta cũng có thể sử dụng cho góc giữa hai véc tơ chỉ phương.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
7
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
và điểm
M x y
0 0 0
( ; )
:
ax by c
d M
a b
0 0
0
2 2
( , )
∆
+ +
=
+
•
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0
+ + =
và hai điểm

M M N N
M x y N x y( ; ), ( ; )
∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + >
.
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0
+ + + + <
.
•
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0
+ + =
cắt nhau. Phương trình các
đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆
1

và ∆
2
là:
a x b y c a x b y c
a b a b
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
+ + + +
= ±
+ +
B – Nội Dung
I – Lập Phương Trình Đường Thẳng
Kiến thức cần nhớ để lập phương trình một đường thẳng
• Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
∆
ta cần xác định
một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
∈

∆
và một véc tơ chỉ phương
u u u
1 2
( ; )
=
r

của
∆
.
Phương trình tham số của
∆
:
x x tu
y y tu
0 1
0 2

= +

= +

;PTCT của
∆
:
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
=
(u
1

≠
0, u
2

≠
0).
• Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
ta cần xác định một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
thuộc
∆
và một Véc tơ pháp tuyến
n a b( ; )=
r
của
∆
. Phương trình tổng quát của
∆
:
a x x b y y
0 0
( ) ( ) 0
− + − =
• Một số bài toán thường gặp:
+
∆
đi qua hai điểm
A A B B
A x y B x y( ; ) , ( ; )
(với

A B A B
x x y y,
≠ ≠
):
Phương trình của đường thẳng
∆
:
A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −

+
∆
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b
≠
0):
Phương trình của đường thẳng
∆
:
x y
a b
1
+ =
.(Phương trình đoạn chắn)
+
∆

đi qua điểm
M x y
0 0 0
( ; )
và có hệ số góc k: PT của
∆
:
y y k x x
0 0
( )
− = −
Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một
đường thẳng.
8
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
•
Để tìm điểm M
′
đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng
∆
qua M và vuông góc với d.
– Xác định I = d
∩

∆
(I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M
′
sao cho I là trung điểm của MM

′
.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM
′
. Khi đó:
M
′
đối xứng của M qua d
⇔

d
MM u
I d


′
⊥

∈


uuuuur
r
(sử dụng toạ độ)
•
Để viết phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng
∆
, ta có

thể thực hiện như sau:
– Nếu d //
∆
:
+ Lấy A
∈
d. Xác định A
′
đối xứng với A qua
∆
.
+ Viết phương trình đường thẳng d
′
qua A
′
và song song với d.
– Nếu d
∩

∆
= I:
+ Lấy A
∈
d (A
≠
I). Xác định A
′
đối xứng với A qua
∆
.

+ Viết phương trình đường thẳng d
′
qua A
′
và I.
•
Để viết phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua điểm I,
∆
, ta có thể
thực hiện như sau:
– Lấy A
∈
d. Xác định A
′
đối xứng với A qua I.
– Viết phương trình đường thẳng d
′
qua A
′
và song song với d.
Các ví dụ
Bài 1) Lập phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong các trường
hợp sau:
a) Đi qua điểm M(1;− 2) và có véc tơ chỉ phương
(2; 1)a
= −
r
b) Đi qua điểm A(3;2) và song song với đường thẳng

( ) : 2 3 3 0d x y
− − =
.
c) Đi qua điểm A(3;2) và vuông góc với đường thẳng
( ) : 2 1 0d x y− − =
.
Giải
a) + Phương trình tham số của đường thẳng Δ : Đường thẳng Δ đi qua M(1;− 2) và có véc
tơ chỉ phương
(2; 1)a
= −
r
nên có phương trình tham số là:
( )
1 2
2
x t
t R
y t
= +

∈

= − −

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ: Δ qua điểm A(3;2) và có một véc tơ chỉ
phương
(2; 1)a = −
r
nên có một véc tơ pháp tuyến là

(1;2)n =
r
nên có phương trình tổng
quát là:
( 2) 2( 3) 0 2 8 0x y x y
− + − = ⇔ + − =

b) + Vì đường thẳng Δ song song với đường thẳng (d) nên có một véc tơ pháp tuyến là
(2; 3)n = −
r
và đi qua điểm A(3;2) nên có phương trình tổng quát:
: 2( 3) 3( 2) 0 2 3 0x y x y∆ − − − = ⇔ − =
+ Khi đó đường thẳng Δ có một véc tơ chỉ phương
(3;2)a =
r
và đi qua A(3;2) nên có
9
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
phương trình tham số:
( )
3 2
3 2
x t
t R
y t
= +

∈

= +


∗ Nếu đường thẳng có một véc tơ pháp tuyến
( ; )n a b
=
r
thì có một véc tơ chỉ phương
( ; )a b a
= −
r
hay
( ; )a b a
= −
r
do
. 0n a n a
⊥ ⇒ =
r r r r
c) Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng (d) nên nhận véc tơ pháp tuyến của đường
thẳng (d) là
(2; 1)n
= −
r
làm véc tơ chỉ phương và đi qua điểm nên có phương trình tham
số
3 2
( ) ( )
2
x t
t R
y t

= −

∆ ∈

= −


Và đường thẳng (Δ) có một véc tơ pháp
tuyến là
(1;2)n
∆
=
r
và đi qua A(3;2) nên có
phương trình tổng quát là:
( 2) 2( 3) 0 2 5 0x y x y
− + − = ⇔ + − =
Bài 2) Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
a) Đi qua A(1;1) và có hệ số góc k = 2.
b) Đi qua hai điểm M(1;-3) và N(0,2)
c) Đi qua B(1;2) và tạo với hướng dương của trục Ox một góc 30
0
.
d) Đi qua điểm C(3;4) và tạo với trục Ox một góc 45
0
.
Giải
a) Đường thẳng (d) qua điểm A(1;1) và có hệ số góc k = 2 nên có phương trình
2( 1) 1y x
= − +

hay (d)
2 1y x
= −
b) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm M(1;-3) và N(0,2) nên ta có thể lập phương trình
đường thẳng (d) bằng nhiều cách sau:
Cách 1: Đường thẳng MN đi qua hai điểm M(1;-3) và N(0,2) nên có phương trình
1 3
5 2 0
0 1 2 3
x y
x y
− +
= ⇔ + − =
− +

Cách 2: Đường thẳng MN nhận véc tơ
( 1;5)MN
= −
uuuur
làm véc tơ chỉ phương và đi qua
điểm M nên có phương trình tham số
1
3 5
x t
y t
= −


= − +


Học sinh có thể tự làm tự làm theo nhiều cách khác.
c) Đường thẳng (d) đi qua điểm C(3;4) và tạo với hướng dương của trục Ox một góc 45
0

nên ta có hệ số góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox: k = tan45
0
= 1 ⇒ phương trình
đường thẳng (d):
( 3) 4 1y x hay y x= − + = +
d) Đường thẳng (d) đi qua điểm C(3;4) và tạo với trục Ox một góc 30
0
nên
0
tan30 3k
= =
hoặc
0
tan150 3k
= = −
+ Với
3 ( ): 3( 3) 4 3 4 3 3k d y x y x
= ⇒ = − + ⇔ = + −
+ Với
3 ( ) : 3( 3) 4 3 4 3 3k d y x y x
= − ⇒ = − − + ⇔ = − + +
Vậy có hai đường thẳng (d) thỏa yêu cầu đề bài.
10
x
Δ

y
(d)
O
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
Bài 3) Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác ABC
biết tam giác ABC có trung điểm ba cạnh BC, AC và AB lần lượt là
(2;3), (4; 1), ( 3;5)M N P
− −
.
Giải
Vì các dạng toán như nhau nên ta giải mỗi dạng bài một câu
+ Lập phương trình cạnh AB: AB qua điểm P(−3;5) và song song với
MN nên có một véc tơ chỉ phương
(2; 4)MN
= −
uuuur
⇒ Véc tơ pháp
tuyến
(2;1)n
=
r
⇒ phương trình cạnh AB:
2( 3) ( 5) 0 2 1 0x y x y
+ + − = ⇔ + + =
+ Lập phương trình đường trung tuyến AM: Trung tuyến AM qua M(2;3) và có véc tơ chỉ
phương là
AM
uuuur
.
Xác định tọa độ điểm A: ta có:

3 2 1
( 1;1)
5 4 1
x x
MN PA A
y y
+ = = −
 
= ⇔ ⇔ ⇒ −
 
− = − =
 
uuuur uuur
(3;2)AM
⇒ =
uuuur

Vậy phương trình tham số của trung tuyến AM là:
2 3
( )
3 2
x t
t R
y t
= +

∈

= +


(Ta cũng có thể
lập phương trình tổng quát)
+ Phương trình đường trung trực AB: Đường trung trực Δ của AB qua trung điểm P và
vuông góc với AB, mà AB // MN ⇒ Đường thẳng Δ nhận véc tơ
(2; 4)MN
= −
uuuur
làm véc
tơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát:
2( 3) 4( 5) 0x y+ − − =
.

2 4 26 0 2 13 0x y hay x y
⇔ − + = − + =
Bài 4) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng
nhau, với M(2;1)
Giải
Gọi đường thẳng Δ đi qua M(2;1) và chắn trên hai trục tọa độ tại hai điểm A(a;0) và
B(0;b)
Theo đề ra ta có: OA = OB ⇒
a b b a hay b a
= ⇒ = = −

+ b = a ⇒ A(a;0) và B(0;a).
Khi đó phương trình đường thẳng Δ:
1 0
x y
x y a
a a
+ = ⇔ + − =

Mà M(2;1) ∈ Δ ⇒ a = 3 ⇒ phương trình đường thẳng Δ:
3 0x y
+ − =
.
+ b = −a ⇒ A(a;0) và B(0;−a).
Khi đó phương trình đường thẳng Δ:
1 0
x y
x y a
a a
+ = ⇔ − − =
−

Mà M(2;1) ∈ Δ ⇒ a = 1 ⇒ phương trình đường thẳng Δ:
1 0x y
− − =
.
Bài 5) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một
tam giác có diện tích S, với M2;1), S = 2
Giải
Đường thẳng (d) qua điểm M(2;1) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a;0) và B(0;b)
Theo đề ra ta có:
1 1
. . 2 . 4
2 2
S OAOB a b a b= = = ⇔ =

11
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long

Phương trình đoạn chắn của (d) có dạng:
1
x y
bx ay ab
a b
+ = ⇔ + =
(1)
•
a.b > 0 ⇒ a.b = 4 ⇒
4
b
a
=
, Thế vào (1) ta được:
2
4
4 4 4
x
ay x a y a
a
+ = ⇔ + =
M(2;1) ∈ (d) ⇒
2 2
8 4 4 8 0a a a a
+ = ⇔ − + =
⇒ phương trình vô nghiệm.
•
a.b < 0 ⇒ a.b = −4 ⇒
4
b

a
= −

Thế vào (1) ta được:
2
4
4 4 4
x
ay x a y a
a
− + = − ⇔ − + = −
M(2;1) ∈ (d) ⇒
2 2
8 4 4 8 0a a a a
− + + ⇔ + − =
có hai nghiệm theo a
+ Với
2 2 3 2 2 3a b
= − − ⇒ = +
, từ (1) ⇒ (d):
( ) ( )
2 2 3 2 2 3 4 0x y
+ − + − =

+ Với, từ (1) ⇒ (d):
( ) ( )
2 2 3 2 3 2 4 0x y
− + − − =
.
Bài 6) Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua

đường thẳng (d) biết M(– 5; 13),
d x y:2 3 3 0− − =
Giải
•
Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M xuống đường thẳng (d):
+ Dựng đường thẳng Δ qua điểm M(− 5;13) và vuông góc với
đường thẳng (d), nhận véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d)
(2; 3)a
= −
r
làm véc tơ chỉ phương ⇒ véc tơ pháp tuyến của Δ là
(3;2)n
=
r
nên có phương trình:
3( 5) 2( 13) 0 3 2 11 0x y x y
+ + − = ⇔ + − =

+ Tọa độ hình chiếu H của điểm M xuống đường thẳng (d) là giao điểm của hai đường
thẳng (d) và Δ ⇒ H(3;1)
•
Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (d):
M’ đối xứng với M qua (d) ⇒ H là trung điểm của MM’
'
'
' '
2 11
2
2 11
2

M M
H
M H M
M M M H M
H
x x
x
x x x
H
y y y y y
y
+

=

= − =


⇒
 
+ = − = −


=


. Vậy tọa độ điểm M’(11;−11)
Bài 7) Lập phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng

− + =: 2 4 0d x y
qua:
a)
điểm I(−3;0) b) qua đường thẳng
∆
− + =:3 4 2 0x y
c) (d
1
): x – 2y – 2 = 0
Giải
a) Nhận xét: (d’) đối xứng với (d) qua I
⇒
(d’)// (d) nên (d’) có phương trình:
x – 2y + c = 0
12
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
Lấy điểm M(2;3)
∈
(d), M’ đối xứng với M qua I
⇒
M’(
−
8;
−
3)
∈
(d’), thế vào phương
trình đường thẳng (d’)
⇒
c = 2.

Vậy phương trình đường thẳng (d’): x – 2y + 2 = 0.
b) Gọi B = (d)
∩
Δ
⇒
B(6;5)
Lấy M(2;3)
∈
(d), Ta tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (d)
⇒
M’
∈
(d’).
Dựng đường thẳng (D
1
) qua M(2;3) và vuông góc với đường thẳng (Δ ), nhận
(3; 4)n
= −
r
làm véc tơ chỉ phương
⇒
một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng là (4;3).
Đường thẳng (D
1
) có phương trình: 4x + 3y – 17 = 0.
(D
1
)
∩
(d) =

62 59 12 16
; ' ;
25 25 25 25
H M
   
⇒ −
 ÷  ÷
   

Khi đó đường thẳng (d’) đi qua hai điểm B và M’ nên có véc tơ chỉ phương
138 141 141 138
' ; ;
25 25 25 25
BM n
   
= − − ⇒ = −
 ÷  ÷
   
uuuur r

Vậy phương trình đường thẳng (d’): 141x – 138y – 156 = 0
c) Nhận xét: (d
1
) // (d) qua I
⇒
(d’)// (d) nên (d’) có phương trình: x – 2y + c = 0
Lấy điểm M(2;3)
∈
(d), M’ đối xứng với M qua (d
1

)
Dựng đường thẳng (D) qua M(2;3) và vuông góc với đường thẳng (d
1
), nhận
(1; 2)n = −
r

làm véc tơ chỉ phương
⇒
một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng là (2;1).
Đường thẳng (D) có phương trình: 2x + y – 17 = 0.

( ) ( )
36 13 42 11
; ' ; , ' ( ')
5 5 5 25
Hd M M dD
   
= ⇒ ∈
 ÷  ÷
  
∩


⇒
M’
∈
(d’), thế vào phương trình đường thẳng (d’)
⇒
c =

−
4.
Vậy phương trình đường thẳng (d’): x – 2y – 4 = 0.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Baøi 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP
u
r
:
a) M(–2; 3) ,
u (5; 1)
= −
r
b) M(–1; 2),
u ( 2;3)
= −
r
c) M(3; –1),
u ( 2; 5)
= − −
r
d) M(1; 2),
u (5;0)
=
r
e) M(7; –3),
u (0;3)
=
r
f) M ≡ O(0;0),
u (2;5)

=
r
Baøi 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT
n
r
:
a) M(–2; 3) ,
n (5; 1)
= −
r
b) M(–1; 2),
n ( 2;3)
= −
r
c) M(3; –1),
n ( 2; 5)
= − −
r
d) M(1; 2),
n (5;0)
=
r
e) M(7; –3),
n (0;3)
=
r
f) M ≡ O(0; 0),
n (2;5)
=
r

Baøi 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc
k:
a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1
d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M ≡ O(0; 0), k = 4
Baøi 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
13
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8)
d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2)
g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6)
Baøi 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với
đường thẳng d:
a) M(2; 3), d:
x y4 10 1 0
− + =
b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d
≡
Oy
d) M(2; –3), d:
x t
y t
1 2
3 4

= −

= +

e) M(0; 3), d:
x y1 4

3 2
− +
=
−
Baøi 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc
với đường thẳng d:
a) M(2; 3), d:
x y4 10 1 0
− + =

b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d
≡
Oy
d) M(2; –3), d:
x t
y t
1 2
3 4

= −

= +

e) M(0; 3), d:
x y1 4
3 2
− +
=
−
Baøi 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao

của tam giác với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)
Baøi 8. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các
đường cao của tam giác, với:
a)
AB x y BC x y CA x y:2 3 1 0, : 3 7 0, : 5 2 1 0
− − = + + = − + =
b)
AB x y BC x y CA x y:2 2 0, : 4 5 8 0, : 4 8 0
+ + = + − = − − =
Baøi 9. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các
cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b)
M N P
3 5 5 7
; , ; , (2; 4)
2 2 2 2
   
− − −
 ÷  ÷
   
c)
M N P
3 1
2; , 1; , (1; 2)
2 2
   
− − −
 ÷  ÷

   
d)
M N P
3 7
;2 , ;3 , (1;4)
2 2
   
 ÷  ÷
   
Baøi 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng
nhau, với:
a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1)
Baøi 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một
tam giác có diện tích S, với:
a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4 c) M(–3; –2), S = 3 d) M(2; –1), S = 4
Baøi 12. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường
thẳng d với:
a) M(2; 1),
d x y: 2 3 0
+ − =
b) M(3; – 1),
d x y: 2 5 30 0
+ − =
c) M(4; 1),
d x y: 2 4 0
− + =
d) M(– 5; 13),
d x y: 2 3 3 0
− − =
Baøi 13. Lập phương trình đường thẳng d

′
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với:
a)
d x y x y:2 1 0, :3 4 2 0
∆
− + = − + =
b)
d x y x y: 2 4 0, :2 2 0
∆
− + = + − =
c)
d x y x y: 1 0, : 3 3 0
∆
+ − = − + =
d)
d x y x y: 2 3 1 0, :2 3 1 0
∆
− + = − − =
Baøi 14. Lập phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với:
a)
d x y I:2 1 0, (2;1)
− + =
b)
d x y I: 2 4 0, ( 3;0)
− + = −
c)
d x y I: 1 0, (0;3)
+ − =

d)
d x y I O:2 3 1 0, (0;0)
− + = ≡
14
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
Đáp số: Phần này xin để bạn đọc tự giải
15
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
II - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG TRONG TAM GIÁC
Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam giác
khi biết một số yếu tố của tam giác đó.
Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác.
Sau đây là một số dạng:
Dạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao
BB
′
, CC
′
.
Cách dựng: – Xác định B = BC
∩
BB
′
, C = BC
∩
CC
′
.
– Dựng AB qua B và vuông góc với CC
′

.
– Dựng AC qua C và vuông góc với BB
′
.
– Xác định A = AB
∩
AC.
Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB
′
,
CC
′
.
Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC
′
.
– Dựng AC qua A và vuông góc với BB
′
.
– Xác định B = AB
∩
BB
′
, C = AC
∩
CC
′
.
Dạng 3: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung
tuyến BM, CN.

Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM
∩
CN.
– Xác định A
′
đối xứng với A qua G (suy ra BA
′
// CN, CA
′
// BM).
– Dựng d
B
qua A
′
và song song với CN.
– Dựng d
C
qua A
′
và song song với BM.
– Xác định B = BM
∩
d
B
, C = CN
∩
d
C
.
Dạng 4: Dựng tam giác ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung

điểm M của cạnh BC.
Cách dựng: – Xác định A = AB
∩
AC.
– Dựng d
1
qua M và song song với AB.
– Dựng d
2
qua M và song song với AC.
– Xác định trung điểm I của AC: I = AC
∩
d
1
.
– Xác định trung điểm J của AB: J = AB
∩
d
2
.
– Xác định B, C sao cho
JB AJ IC AI,
= =
uur uur uur uur
.
Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho
MB MC= −
uuur uuur
.
Các Ví dụ

Bài 1) (ĐHKT – 2001) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(
−
4;
−
5) và hai
đường cao có phương trình là: (d
1
): 5x + 3y
−
4 = 0 và (d
2
): 3x + 8y +13 = 0.
Giải
16
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
Nhận xét: Điểm B(
−
4;
−
5)
∉
(d
1
) và B(
−
4;
−
5)
∉
(d

2
). Vậy giả sử (d
1
) và (d
2
) lần lượt là phương
trình hai đường cao xuất phát từ A và C của tam giác ABC.
•
Phương trình cạnh AB:
Vì AB
⊥
(d
2
)
⇒
AB: 8x – 3y + C = 0
Vì B(
−
4;
−
5)
∈
AB
⇒
8(–4) –3(–5) + C = 0
⇒
C = 17
Vậy phương trình cạnh AB: 8x – 3y + 17 = 0.
•
Phương trình cạnh BC:

Vì BC
⊥
(d
1
)
⇒
BC: 3x – 5y + D = 0
Vì B(
−
4;
−
5)
∈
BC
⇒
3(–4) –5(–5) + D = 0
⇒
D =
−
13
Vậy phương trình cạnh AB: 3x – 5y
−
13 = 0.
•
Phương trình cạnh AC:
Điểm A = (d
1
)
∩
AB

⇒
tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
5 3 4 0
8 3 17 0
x y
x y
+ − =


− + =


( 1;3)A
⇒ −
.
Tương tự tọa độ điểm C = (d
2
)
∩
BC
⇒

3 8 13 0
(1; 2)
3 5 13 0
x y
C
x y
+ + =


⇒ −

− − =

Đường thẳng AC qua hai điểm A và C nên có véc tơ chỉ phương
(2; 5) (5;2) : 5( 1) 2( 3) 0 5 2 1 0AC n AC x y hay x y
= − ⇒ = ⇒ + + − = + − =
uuur r

Bài 2) Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là 5x – 3y + 2 = 0, các đường cao qua
đỉnh A và B lần lượt là (d
1
): 4x
−
3y + 1 = 0 và (d
2
): 7x + 2y
−
22 = 0. Lập phương trình hai
cạnh AC và BC và đường cao thứ ba.
Giải
•
Phương trình cạnh AC:
+ Điểm A = AB
∩
(d
1
)
⇒
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

5 3 2 0
( 1; 1)
4 3 1 0
x y
A
x y
− + =

⇒ − −

− + =

2
( ) : 7 2 22 0 ( ) : 2 7 0Do AC d x y AC x y C
⊥ + − = ⇒ − + =
.
+ Vì A(− 1;− 1) ∈ AC ⇒
2( 1) 7( 1) 0 5C C− − − + = ⇒ = −

Vậy phương trình cạnh AC:
: 2 7 5 0x y
− − =
•
Phương trình cạnh BC: Điểm B = AB
∩
(d
2
)
⇒
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

5 3 2 0
(2;4)
7 2 22 0
x y
B
x y
− + =

⇒

+ − =

17
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
1
( ) : 4 3 1 0 ( ):3 4 0Do BC d x y BC x y D
⊥ − + = ⇒ + + =
.
+ Vì B(2;4) ∈ AC ⇒
3.2 4.4 0 22D D
+ + = ⇒ = −

Vậy phương trình cạnh BC:
3 4 22 0x y
+ − =
•
Phương trình đường cao hạ từ đỉnh C, là CH, với H ∈ BC
+ Do CH
⊥

AB: 5x – 3y + 2 = 0 nên CH có phương trình: 3x + 5y + E = 0
+ C = AC
∩
BC
⇒
tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
2 7 5 0
(6;1)
3 4 22 0
x y
C
x y
− − =

⇒

+ − =

+ Vì C(6;1) ∈ CH ⇒
3.6 5.1 0 23E E+ + = ⇒ = −

Vậy phương trình cạnh CH:
3 5 23 0x y
+ − =
Bài 3) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;
−
1), đường cao và đường
trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là: (d
1
): 2x – 3y +12 = 0 và

(d
2
): 2x + 3y = 0.
Giải
•
Phương trình cạnh BC: Vì (BC)
⊥
(d
1
): 2x – 3y +12 = 0
⇒
(BC):3x + 2y +C = 0
Vì C(4;
−
1)
∈
(BC)
⇒
3.4 + 2(-1) + C = 0
⇒
C = 10.
Vậy phương trình đường thẳng (BC): 3x + 2y +10 = 0.
•
Phương trình cạnh AC: Ta có A = (d
1
)
∩
(d
2
)

⇒
tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương
trình

2 3 12 0
( 3;2)
2 3 0
x y
A
x y
− + =

⇒ −

+ =

. Khi đó (AC) đi qua hai điểm A và C nên có một véc tơ
chỉ phương
(7; 3)AC
= −
uuur
nên có một véc tơ pháp tuyến
(3;7)n
=
r
( ) : 3( 4) 7( 1) 0 3 7 5 0AC x y x y
⇒ − + + = ⇔ + − =
.
•
Phương trình cạnh AB:

+ Gọi M là trung điểm AB ⇒
2
( )M d BC= ∩
⇒ tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
3 2 10 0
(6; 4)
2 3 0
x y
M
x y
+ − =

⇒ −

+ =

+ Do M là trung điểm của BC ⇒ B
2 8
2 7
B M C
B M C
x x x
y y y
= − =


= − = −

+ Phương trình cạnh AB đi qua 2 điểm A và B có véc tơ chỉ phương
(11; 9)AB

= −
uuur
có
phương trình tham số của đường thẳng AB là:
8 11
( )
7 9
x t
t R
y t
= +

∈

= − −

18
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
Bài 4) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và hai trung tuyến có phương
trình lần lượt là
2 1 0, 1 0x y y− + = − =
.
Giải
Nhận xét: Để lập được phương trình các cạnh của tam giác, ta
cần tìm tọa độ các đỉnh B và C.
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua trọng tâm G của tam giác
ABC, khi đó ta có:
2
1
'/ /( )

' / /( )
BA d
A C d



Suy ra điểm B = A’B ∩ (d
2
) và C = A’C ∩ (d
1
). Vậy ta thực hiện lần lượt theo các bước
sau:
•
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ G = (d
1
) ∩ (d
2
) ⇒ Tọa độ điểm G là nghiệm
của hệ phương trình
2 1 0
(1;1)
1 0
x y
G
y
− + =

⇒

− =


•
Điểm A’ đối xứng với A qua G ⇒
'
'
2 1
'(1; 1)
2 1
A G A
A G A
x x x
A
y y y
= − =

⇒ −

= − = −

•
Tọa độ điểm B: đường thẳng A’B qua A’(1;− 1) và song song với (d
1
) nên có phương
trình:
( 1) 2( 1) 0 2 3 0x y x y
− − + = ⇔ − − =
+ Khi đó B = A’B ∩ (d
2
) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
2 3 0

(5;1)
1 0
x y
B
y
− − =

⇒

− =

•
Tương tự ta có tọa độ điểm C(−3;−1)
•
Phương trình cạnh AC qua A(1;3) và có véc tơ chỉ phương
( 4; 4)AC
= − −
uuur
:
1 4
3 4
x t
y t
= −


= −

•
Phương trình cạnh AB qua A(1;3) và có véc tơ chỉ phương

(4; 2)AB
= −
uuur
:
1 4
3 2
x t
y t
= +


= −

•
Phương trình cạnh BC qua B(5;1) và có véc tơ chỉ phương
( 8; 2)BC
= − −
uuur
:
5 8
1 2
x t
y t
= −


= −

Bài 5) Cho tam giác ABC biết A(2;−1) và hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt
có phương trình

( ): 2 1 0
B
d x y
− + =
,
( ) : 3 0
C
d x y
+ + =
. Lập phương trình cạnh BC
Giải
Nhận xét: Gọi E là điểm đối xứng của A qua đường
phân giác (d
B
): Khi đó tam giác ABE cân tại B hay
E ∈ BC, tương tự gọi H là điểm đối xứng của A qua (d
C
)
⇒ H ∈ BC
Vậy phương trình cạnh BC cũng chính là phương trình
cạnh EH. Vậy ta tìm tọa độ hai điểm E và H
19
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
•Xác định tọa độ điểm E:
+ Gọi đường thẳng (a) qua A(2;-1) và vuông góc với (d
B
): có véc tơ pháp tuyến là
(2;1)a
=
r

, có phương trình
2 3 0x y+ − =
.
+ Gọi I = (a) ∩
( )
B
d
⇒ Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình
2 1 0
(1;1)
2 3 0
x y
I
x y
− + =

⇒

+ − =

+ E là điểm đối xứng của A qua I nên ta có:
2 0
(0;3)
2 3
E I A
E I A
x x x
E
y y y
= − =


⇒

= − =

•Xác định H ta làm tương tự như trên, tìm được H(−2;−5)
•Đường thẳng BC đi qua hai điểm EH, nhận
( 2; 8)EH
= − −
uuur
làm véc tơ chỉ phương nên có
một véc tơ pháp tuyến là (4;−1), có phương trình
4 ( 3) 0 4 3 0x y x y− − = ⇔ − + =
.
Bài 6) Viết phương trình cạnh thứ ba của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ, biết phương
trình hai là:
5 2 6 0x y− + =
,
4 7 21 0x y
+ − =
và trực tâm H của tam giác đó trùng với
gốc tọa độ O.
Giải
Giả sử phương trình hai cạnh AB và AC lần lượt là
5 2 6 0x y− + =
và
4 7 21 0x y
+ − =
. Ta cần xác định tọa độ đỉnh B
+ Hai đường thẳng AB và AC lần lượt có hai véc tơ pháp tuyến

là
1
(5; 2),n
= −
ur
2
(4;7)n
=
uur
+ Lập phương trình đường cao BO: Qua O và vuông góc
với AC nên có véc tơ chỉ phương là
2
(4;7)n
=
uur
nên có
véc tơ pháp tuyến là
2
(7; 4)u
= −
uur
⇒ BO:
7 4 0x y− =
+ B = BO ∩ AB ⇒ Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
7 4 0
( 4; 7)
5 2 6 0
x y
B
x y

− =

⇒ − −

− + =

+ Xác định tọa độ điểm C: Lập phương trình đường cao CO: Qua O và vuông góc
với AB nên có véc tơ chỉ phương là
1
(5; 2),n = −
ur
nên có véc tơ pháp tuyến là
1
(2,5)u =
ur
⇒ CO:
2 5 0x y
+ =
+ C = CO∩AC⇒ Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
4 7 21 0
35
( ; 7)
2 5 0
2
x y
C
x y
+ − =

⇒ −


+ =

+ Vậy phương trình đường thẳng BC qua
( 4; 7)B
− −
và có véc tơ chỉ phương
52
( ;0)
2
BC =
uuur

⇒ Véc tơ pháp tuyến là
(0;1) : 7 0BC y⇒ + =
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(2;2) và hai đường cao có
phương trình là:
1
( ) : 2 0d x y
+ − =
,
2
( ):9 3 4 0d x y
− − =
.
20
O x
y

A
B
C
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
Bài 2) Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB:
9 0x y
+ − =
, các đường cao qua đỉnh A
và B lần lượt là
1
( ): 2 13 0d x y
+ − =
,
2
( ) : 7 5 49 0d x y
+ − =
. Lập phương trình cạnh AC,
BC và đường cao thứ 3.
Bài 3) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(3;5), đường cao và đường
trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là:
1
( ):5 4 1 0d x y
+ − =
,
2
( ) :8 7 0d x y
+ − =
Bài 4) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;1) và hai đường trung tuyến có
phương trình :
1

( ) : 2 1 0d x y
− − =
,
2
( ) : 1 0d x
− =
Bài 5) Phương trình hai cạnh của một tam giác lần lượt là
3 24 0x y− + =
,
3 4 96 0x y
+ − =
.
Lập phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác là
32
0;
3
H
 
 ÷
 
.
Bài 6) Cho đường thẳng (d):
3 4 12 0x y
+ − =
.
a) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục tọa độ Ox, Oy
b) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm O trên đường thẳng (d).
c) Viết phương trình đường thẳng (d
1
) đối xứng với (d) qua O

Đáp Số
Bài 1)
: 3 8 0, :2 3 0, : 0AB x y BC x y AC x y+ − = − + = − =
Bài 2)
:5 7 3 0, :2 3 0AC x y BC x y− + = − + =
và đường cao thứ 3:
1 0x y
− + =
Bài 3)
: 2 3 1 0, :4 5 13 0, :3 4 0AB x y BC x y AC x y+ + = − + = − − =
Bài 4)
: 2 0, :4 1 0, :2 7 0AB x y BC x y AC x y
− − = − + = + − =
Bài 5) Phương trình cạnh thứ ba:
0y
=
Bài 6) a) A(4;0), B(0;3) b)
36 48
;
25 25
H
 
 ÷
 
c)
1
( ) : 3 4 12 0d x y
+ + =
III - KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Kiến thức cần nhớ

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0
+ + =
.
Toạ độ giao điểm của ∆
1
và ∆
2
là nghiệm của hệ phương trình:
a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
0
0

+ + =

+ + =


(1)
• ∆
1
cắt ∆
2
⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔
a b
a b
1 1
2 2
≠
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0
≠
)
21
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
• ∆
1
// ∆
2
⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= ≠

(nếu
a b c
2 2 2
, , 0
≠
)
• ∆
1
≡ ∆
2
⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= =
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0
≠
)
2. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0
+ + =

(có véc tơ pháp tuyến là
n a b
1 1 1
( ; )
=
r
)
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0
+ + =
(có véc tơ pháp tuyến
n a b
2 2 2
( ; )=
r
).
·
n n khi n n
n n khi n n
0
1 2 1 2
1 2
0 0
1 2 1 2
( , ) ( , ) 90
( , )

180 ( , ) ( , ) 90
∆ ∆

≤

=

− >


r r r r
r r r r
·
·
n n a b a b
n n
n n
a b a b
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
cos( , ) cos( , )
.
.
∆ ∆
+
= = =

+ +
r r
r r
r r
Chú ý:
•

∆
1

⊥

∆
2

⇔

a a b b
1 2 1 2
0
+ =
.
•
Cho
∆
1
:
y k x m
1 1
= +

,
∆
2
:
y k x m
2 2
= +
thì:
+
∆
1
//
∆
2

⇔
k
1
= k
2
+
∆
1
⊥

∆
2

⇔
k

1
. k
2
= –1.
+ Ta cũng có thể sử dụng cho góc giữa hai véc tơ chỉ phương.
3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
•
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0
+ + =
và điểm
M x y
0 0 0
( ; )
:
ax by c
d M
a b
0 0
0
2 2
( , )
∆
+ +
=
+
•
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:

ax by c 0+ + =
và hai điểm
M M N N
M x y N x y( ; ), ( ; )
∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0
+ + + + >
.
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0
+ + + + <
.
•
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0
+ + =

cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
là:
a x b y c a x b y c
a b a b
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
+ + + +
= ±
+ +
Các Ví dụ
22
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
Bài 1) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong các trường hợp sau;
a) ∆
1
:
+ + =1 0x y
và ∆
2
:
+ + =2 2 3 0x y
b)
∆
1
:

+ + =
2 1 0x y
và ∆
2
:
+ + =
4 3 0x y
c)
∆
1
: 2x + 3y + 1 = 0 và
∆
2
: 4x + 6y + 2 = 0
Giải
a)
Lập hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng
∆
1
và
∆
2
ta có:
1 0
2 2 3 0
x y
x x
+ + =



+ + =

.
Hệ phương trình vô nghiệm nên hai đường thẳng song song.
b)
Lập hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng
∆
1
và
∆
2
ta có:
2 1 0
4 3 0
x y
x x
+ + =


+ + =


có nghiệm I(1;-1) nên hai đường thẳng cắt nhau tại I(1;−1)
c)
Lập hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng
∆
1
và
∆
2

ta có:
2 3 1 0
4 6 2 0
x y
x x
+ + =


+ + =


Hệ phương trình có vô số nghiệm (x;y) có tọa độ nằm trên đường thẳng ∆
1
hoặc ∆
2
.
Vậy hai đường thẳng trùng nhau.
Bài 2) Cho hai đường thẳng (d
1
):
2
( )
3
x t
t R
y t
= −

∈


= −

và (d
2
):
1 3
( )
3 6
x u
u R
y u
= +

∈

= +

a) Xác định giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
b) Tính cosin của góc tạo bởi (d
1
) và (d
2
).
Giải
a) Xét hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng (d
1

) và (d
2
):
1 2
2 1 3 1
( ) ( ) ( 2; 3)
3 3 6 1
t u t
d d A
t u u
− = + =
 
⇔ ⇒ ∩ = − −
 
− = + = −
 
b) Gọi
( 2; 3), (1;2)a b
= − − =
r r
lần lượt là hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng
(d
1
) và (d
2
). Khi đó cosin của góc nhọn α tạo bởi hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) được

xác định bởi:
2 2 2 2
.
2.1 3.2
8
cos
65
.
( 2) ( 3) . 1 2
a b
a b
α
− −
= = =
− + − +
r r
r r
Bài 3) Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1). Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng
cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3.
Giải
Gọi (d):
2 5 0Ax By A B+ − − =
là đường thẳng qua P cần tìm
Do
2 2
2 2
3 4
( ,( )) 3 3 3 4 3
A B
d Q d A B A B

A B
−
= ⇔ = ⇔ − = +
+

Ta có phương trình
2 2 2
(3 4 ) 9( )A B A B
− = +
. Phương trình có hai nghiệm
23
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
0 1 ( ) : 2 0
24
: 7 24 ( ) : 7 24 134 0
7
B A d x
B A cho A B d x y
= ⇒ = ⇒ − =


⇔

= = ⇒ = ⇒ + − =

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: x – 2 = 0 và 7x + 24y – 134 = 0.
Bài 4) Cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2

) có phương trình:
1
( ) :
4 2
x t
d
y t
=


= +

,
2
( ) : 7 0d x y
+ − =
a) Tính khoảng cách từ điểm M(2;1) đến đường thẳng (d
1
).
b) Lập phương trình các đường phân giác tạo bởi hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(2;1) và tạo với đường thẳng (d
1
) một góc
45
0
.

Giải
a) Ta đưa phương trình đường thẳng (d
1
) về phương trình tổng quát
1
( ) : 2 4 0d x y
− + =
⇒
1
2 2
2.1 2.1 4
( , ) 2 2
1 ( 1)
d M d
− +
= =
+ −
b) Phương trình hai đường phân giác tạo bởi hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có dạng:
1
2
: 3 11 0
2 4 7
: 2 3 0
1 1 1 1
y
x y x y

x y
∆ − =

− + + −
= ± ⇔

∆ − − =
+ +

c) Đường thẳng (d) qua A(2;1) và có một véc tơ
pháp tuyến
2 2
( ; ), ( 0),n a b a b
= + >
r
có phương
trình dạng: ax + by – (2a + b) = 0.
+ Đường thẳng
1
( )d
có véc tơ pháp tuyến
1
(2; 1)n = −
ur
+ Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (d) và
1
( )d
⇒ cos α = cos45
0

⇔
1
2 2 2 2
1
. .
2
2 2
cos
2 2
.
2 1 .
n n
a b
n n
a b
α
−
= = ⇔ =
+ +
r ur
r ur
⇔
( )
(
)
2
2
2 2 2 2
2 2 5. 3 8 3 0a b a b a ab b− = + ⇔ − − =
Ta xem đây là phương trình bậc hai theo biến a, b là tham số. Giải phương trình trên

ta được hai nghiệm phân biệt:
+
,
b
a
a
= −
chọn b = − 3 ⇒ a = 1 ⇒ (d):
3 1 0x y
− + =
+
3 ,a b
=
chọn b = 1 3 ⇒ a = 3 ⇒ (d):
3 7 0x y+ − =
Bài 5) Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2;−1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai
đường thẳng
1
( )d
: 2 5 0x y− + =
,
2
( )d
:3 6 1 0x y+ − =
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là
giao điểm của hai đường thẳng
1
( )d
và
2

( )d
Giải
24
O
P
d
2
d
1
∆
1
∆
2
y
x
Đường thẳng trong mặt phẳng Võ Thanh Long
Cách 1: Tam giác cân có đỉnh
29 17
;
15 15
I
 
−
 ÷
 
là giao điểm của
1
( )d
và
2

( )d
⇒ cạnh còn lại đi qua P và vuông góc với hai đường phân giác tạo bởi
1
( )d
và
2
( )d
Phương trình hai đường phân giác của hai đường thẳng
1
( )d
và
2
( )d
:
1
2 2 2 2
2
: 3 9 16 0
2 5 3 6 1
: 9 3 14 0
2 ( 1) 3 6
x y
x y x y
x y
∆ − + =

− + + −
= ± ⇔

∆ + + =

+ − +

+ Gọi (a) là đường thẳng qua P(2;− 1) và vuông góc với ∆
1
: có véc tơ pháp tuyến
(3;1)
a
n =
uur
có phương trình
3( 2) ( 1) 0 3 5 0x y x y− + + = ⇔ − − =
+ Gọi (b) là đường thẳng qua P(2;− 1) và vuông góc với ∆
2
có véc tơ pháp tuyến
(1; 3)
b
n = −
uur
có phương trình
( 2) 3( 1) 0 3 5 0x y x y− − + = ⇔ − − =
Cách 2: Ta cũng có thể thiết lập theo dữ kiện như sau:
Tam giác ABC cân tại A =
1
( )d
∩
2
( )d
Với
1 2
( ; ) ( ), ( ; ) ( ),

B B C C
B x y d C x y d
∈ ∈
AB = AC và ba điểm B, P C thẳng hàng.
Cách 3: Ta có thể dùng hệ số góc để lập phương trình của các đường thẳng cần tìm.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(5;1)và tạo với đường thẳng (d):
y = 2x + 1 một góc 45
0
.
Bài 2) Viết phương trình các đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
trong các trường hợp sau:
a)
1
( ):
1
x t
d
y t
=


= +

,
2

( ): 2 1 0d x y
+ − =
b)
1
( ): 3 4 1 0d x y
+ + =
,
2
( ): 4 3 3 0d x y
+ + =
Bài 3) Cho hai điểm A(1;3) và B(3;1). Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A và cách B một
khoảng bằng 1.
Bài 4) Cho P(1;1) và hai đường thẳng
1
( ) : 0d x y
+ =
,
2
( ): 1 0d x y
− + =
. Gọi (d) là đường
thẳng qua P và cắt hai đường thẳng
1
( )d
và
2
( )d
lần lượt tại A và B. Viết phương trình
của (d) biết PA = 2PB.
Bài 5) Cho hai hai đường thẳng

1
( ) : 0d x y
+ =
,
2
( ) : 1 0d x y
− + =
. Lập phương trình đường
thẳng (d) đi qua gốc tọa độ sao cho đường thẳng (d) tạo với
1
( )d
,
2
( )d
một tam giác cân
có đỉnh là giao điểm của
1
( )d
,
2
( )d
. Tính diện tích tam giác cân đó.
Đáp Số
Bài 1)
: 3 2 0 :3 16 0x y hay x y
∆ − − = ∆ + − =
Bài 2) a)
1 2
: ( 5 2 2) ( 5 2) 2 5 0& : ( 5 2 2) ( 5 2) 2 5 0x y x y
∆ − + − + − = ∆ + + + − − =

25