SKKN: Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng

“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
Mục

Tên đề mục

Trang

1

Lý do chọn đề tài

2

2

Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

3

3

Đối tượng nghiên cứu

3

4

Phạm vi nghiên cứu

3

5

Phương pháp nghiên cứu

4

PHẦN II: NỘI DUNG
Mục
1

Tên đề mục
Cơ sở lý luận để thực hiện đề tài

Trang
4

2

Thực trạng

4

3

Giải pháp, biện pháp, nội dung

7

4

Kết quả

27

PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Mục

Tên đề mục

Trang

1

Kết luận

28

2

Kiến nghị

28

3

Tài liệu tham khảo

30

Dương Thị Kim Nhân

1

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
a) Cơ sở lý luận: Đại đa số học sinh cấp hai không thích học môn hình học chính
vì vậy chất lượng môn hình học thấp kéo theo chất lượng môn Toán không cao. Đối với
học sinh lớp 9 kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn là rất quan trọng. Để
chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa
góc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, …. Đặc biệt phải
biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 .
b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản
thể hiện ở định lý đảo “Tứ giác nội tiếp” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt
hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt
các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường
tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất
lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.
- Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp học
sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay cách lý giải căn cứ
khác. Đối với các em khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp và
những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm của
nội dung Hình học lớp 9, mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội

tiếp đường tròn là như thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm
gì ?
- Mặt khác ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội
tiếp đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở một
đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữa
các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau. Với phương pháp tứ giác
nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó
- Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là:“Một số phương pháp
chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng” nhằm trước hết giải quyết khó khăn
trong thực tế giảng dạy của mình, của giáo viên trong trường, cũng mong được trao đổi

Dương Thị Kim Nhân

2

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

với các đồng nghiệp khác. Rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát
huy hiệu quả.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
a) Mục tiêu: Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp
chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải một
số bài toán hay và khó như:
+ Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
+ Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
+ Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
+ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.

+ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình
+ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm cực trị…
- Ngoài ra còn góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán ở trường THCS, giúp học sinh
lớp 9 giải được các bài toán về tứ giác nội tiếp từ cơ bản đến nâng cao..
- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm về một số phương pháp chứng minh tứ giác nội
tiếp
- Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm
Như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ một cách
có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn”.
- Ngoài những mục tiêu như trên thì ý của tôi khi thực hiện sáng kiến là có sự lồng ghép
nho nhỏ cách phát triển bài toán từ một bài toán ban đầu để tìm ra nhiều phương pháp
chứng minh khác nhau.
b) Nhiệm vụ:
Những nhiệm vụ cụ thể của đề tài là:
- Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa.
- Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay và khó có bài tập
minh họa.
3. Đối tượng nghiên cứu:
:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

Dương Thị Kim Nhân

3

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

4. Phạm vi nghiên cứu:

- Nghiên cứu về một số phương pháp hướng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp
trong một đường tròn và cách vận dụng
- Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán 9.
- Phụ đạo và nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 9A1, 9A2 năm học 2014-2015 trường
THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý thuyết.
- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận
- Thực hiện giảng dạy trên lớp và các tiết chuyên đề cho học sinh lớp 9A1, 9A2 trường
THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana
- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi tiến hành giảng dạy .
PHẦN II
NỘI DUNG
1.Cơ sở lí luận để thực hiện đề tài:
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất
là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai
cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy
sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học hội tụ được những yêu cầu đó
Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình
khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động
học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng
dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô giáo. Hình thành và phát
triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS là một quá trình lâu dài.
Dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp là dạng toán rất quan trọng trong chương
trình toán 9 và làm cơ sở để học sinh làm tốt các bài toán có liên quan trong chương trình
toán trung học cơ sở . Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh chứng minh tứ giác nội
tiếp một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này đòi
hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá

Dương Thị Kim Nhân

4

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải bài toán hình học , kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo
từng đối tượng học sinh mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương
pháp đã học để giúp học sinh học tập tốt hơn.
2. Thực trạng:
2.1. Thuận lợi, khó khăn:
a/ Thuận lợi:
- Xã Quảng Điền là một xã giàu truyền thống cách mạng, dân cư chủ yếu là người
Quảng Nam nhưng lại có truyền thống rất hiếu học. Đặc biệt có sự quan tâm của Đảng uỷ,
UBND xã, sự quan tâm của các tổ chức, đoàn thể trong xã đối với công tác giáo dục, đảm
bảo cơ sở vật chất cho công tác giảng dạy của nhà trường.
- Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường trong các
hoạt động, duy trì tương đối hiệu quả việc học tập của con em trong địa phương.
- Phòng Giáo dục Đào tạo và lãnh đạo nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất cả
các hoạt động chuyên môn của trường.
- Hội khuyến học Xã hết sức nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhà
nói chung và trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng .
- Đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ thầy cô trẻ,
khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc.
- Thuận lợi lớn nhất khi thực hiện đề tài của tôi đó chính là HS, dạng toán này là
dạng hơi khó nhưng các em đó cố gắng chăm chú lắng nghe đặc biệt là các em HS giỏi
luôn thích tìm tòi và thường xuyên đặt câu hỏi cho tôi để tôi gợi mở khi các em thực hiện

b/ Khó khăn:
- Nhân dân xã Quảng Điền đa số nhiều gia đình đông con sống chủ yếu bằng nghề
nông đời sống kinh tế còn nhiều khó khăn, trình độ dân trí không đồng đều, hằng năm
chịu nhiều ảnh hưởng của thiên tai. Do đó hoàn cảnh gia đình còn gặp nhiều khó khăn nên
chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến
việc đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho con em họ. Từ đó ảnh hưởng đến kết quả học
tập của học sinh và của nhà trường.

Dương Thị Kim Nhân

5

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

- Đa số HS không yêu thích môn hình học, thậm chí còn sợ học môn này nên thời
gian đầu làm sáng kiến các em chưa thực sự thích nên cũng không dám sáng tạo gì thêm
do đó không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.

2.2. Thành công, hạn chế:
a/. Thành công: Với nội dung của đề tài nghiên cứu:“Một số phương pháp chứng minh
Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”sau khi áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy đã rèn
luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán hình học có hiệu quả đặc biệt là phần chứng
minh tứ giác nội tiếp đường tròn
b/. Hạn chế: Vì đây là dạng toán mà đa số các em học yếu đều không thích học nên nói
thật phần vận dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh các bài tập thì đa số các em học sinh
khá giỏi có hứng thú hơn các em trung bình và yếu. Để đề tài trên được áp dụng vào thực
tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong

phân phối chương trình số tiết hình học ở lớp 9 là tiết hai tiết/ tuần. Riêng phần tứ giác
nội tiếp được hai tiết (1 tiết lý thuyết và một tiết bài tập) chính vì vậy mà giáo viên không
có thời gian để luyện tập nhiều .Với những lý do trên đề tài khó có thể áp dụng và đem lại
hiệu quả mong muốn.
2.3. Mặt mạnh, mặt yếu:
a/. Mặt mạnh:
- Khi vận dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy phần lớn học sinh không còn
lúng túng trong khi giải bài toán hình học, đa số các em đó nhận dạng được bài tập và đó
biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí và trình bày lời giải tương đối chặt chẽ. Những
em học sinh khá giỏi đặc biệt là ôn thi học sinh giỏi các em rất hào hứng trong việc áp
dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh hình học.
b/. Mặt yếu:
- Tâm lý học sinh không thích học môn hình học nên khi chưa thưc hiện đề tài
dường như các em ( kể cả học sinh giỏi) cũng không muốn khám phá dạng toán này. Đại
đa số các em thích học Đại số hơn. Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý
thuyết cơ bản song số bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại

Dương Thị Kim Nhân

6

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh. Mức
độ kiến thức của dạng toán này tương đối trừu tượng và phức tạp.
2.4. Nguyên nhân:
Thực tế học sinh ở trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến

thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Nguyên nhân chủ yếu của khó khăn trên là:
- Học sinh không đam mê môn Hình học
- Khả năng phán đoán ,định hướng không tới đích .
- Không năng động trong khi chứng minh và vẽ hình .Chính vì vậy hướng dẫn cho
học sinh nắm chắc về khái niệm để vận dụng vào chứng minh là điều quan trọng .
- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian
để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều.
2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Đề tài:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, chứng minh hình học
cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệu
quả giảng dạy.
- Như đã nói ở trên, trong phân phối chương trình của môn toán 9 không có thời
lượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu này. Do đó để thực hiện đề tài này, giáo viên cần
phải lồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ôn tập chương, các tiết ôn tập học kì 2, các
tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Trong quá trình giảng dạy môn Toán, vai trò của người thầy trong việc tạo hứng
thú cho học sinh đặc biệt quan trọng, do đó mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh
vào các tình huống có vấn đề để các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạng
toán. Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân
trọng thành quả đạt được của các em .
- Ngày nay, phương pháp dạy học ở bậc THCS nói chung đã có nhiều biến đổi tích
cực, điều kiện về vật chất ngày càng được nâng lên rõ rệt. Nhưng để đạt được kết quả tốt
yêu cầu mỗi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn bài và đặc biệt là phải tận
tụy với công việc, tránh tư tưởng chủ quan chỉ cho học sinh tìm hiểu ở mức độ sơ sơ, đưa

Dương Thị Kim Nhân

7

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

ra lời giải ngay khi học sinh chưa suy nghĩ. Sự đầu tư nhiệt tình của người giáo viên sẽ
được đền bù xứng đáng bằng kết quả của học sinh.
3. Giải pháp, biện pháp:
3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
- Những giải pháp, biện pháp được nêu trong đề tài này nhằm mục đích trang bị
cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng bài tập chứng
minh tứ giác nội tiếp và vận dụng từ cơ bản đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có khả
năng vận dụng tốt dạng toán này.
3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
- Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bài
toán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính toán của GV
THCS.
- Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dưỡng ôn thi học sinh lớp 9 , những năm
trước đây thấy học sinh rất ít em phát hiện được tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất,
nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay được tổng hai góc đối diện của tứ giác
bằng 180 độ. Hay HS cứ phải đưa về tổng hai góc đối diện bằng 180 độ nên dài, nhiều khi
dẫn đến sai.
- Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phương pháp chứng minh
và tính chất của tứ giác nội tiếp . Đặc biệt là tìm cách nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp
trước khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180 độ trong các bài toán có chứng
minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp .
- Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là những thầy cô
dạy toán giỏi trong tổ, trong trường.
- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, phụ đạo HS
yếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi .

- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến các định
lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các phương pháp chứng
minh tứ giác nội tiếp .
Từ các phương pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút ra được kinh
nghiệm nhỏ trong quá trình áp dụng đề tài cụ thể như sau:

Dương Thị Kim Nhân

8

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

*Nội dung:
1/ .Chuẩn bị :
- Phần trọng tâm của lý thuyết, điều cần ghi nhớ.
- Phân loại các bài tập để vận dụng chứng minh từng phần ghi nhớ.
2/ .Phần lý thuyết:
2.1/ Định nghĩa: Nếu qua bốn đỉnh của một
tứ giác có một đường tròn thì tứ giác đó gọi
là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và
đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp
tứ giác.
2.2/ Định lý : Trong một tứ giác nội tiếp một đường tròn tổng các góc đối diện nhau bằng
hai góc vuông .
* Đảo lại : Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện nhau bằng hai góc vuông thì tứ giác
đó nội tiếp được trong một đường tròn .
Khi đó : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) ⇔

[

µA + C
µ = 2v
µ +D
µ = 2v
B

2.2.1/ Chú ý: Hình chữ nhật ,hình vuông và hình thang cân luôn luôn nội tiếp được trong
một đường tròn vì các tứ giác này đều có tổng hai góc đối bù nhau

A

B

D

C

A

B

C

D

(Đây là cách nhận biết tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất mà chưa cần phải chứng
minh)

3. Một số vấn đề liên quan đến tứ giác nội tiếp:
3.1. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp:

Dương Thị Kim Nhân

9

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

Một tứ giác sẽ là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn nếu có một trong các điều
kiện sau :
+) Bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó ( đ/n)
+) Tổng các góc đối diện bằng 2v ( định lý đảo)
+) Từ hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh ứng với hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau
·
·
của tứ giác ABCD có : DAC
= DBC
= α ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp

+) Hai đỉnh cùng nhìn xuống một cạnh dưới một góc vuông
·
·
(Tứ giác ABCD có: DAC
= DBC
= 900 ) ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp

+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Dùng tỉ lệ thức để chứng minh tứ giác nội tiếp…..
3.2. Vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh một số bài toán hay và
khó.
- Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
- Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
- Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
- Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
- Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình
- Chứng minh tứ giác nội tiếp để tìm cực trị…
Sau đây là một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn kèm theo
bài tập minh họa
3.3 - BÀI TẬP MINH HOẠ:
3.3.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
*Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
* Bài toán 1:
Cho tam giác ABC các đường cao BB’,
CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.
Chứng minh:
Lấy O là trung điểm của cạnh BC.
· ' C = 900 (GT)
Xét ∆BB’C có : BB

OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Dương Thị Kim Nhân

10

THCS Lê Đình Chinh

“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

⇒ OB’ = OB = OC = r (1)
· ' C = 900 (GT)
Xét ∆BC’C có : BB

Tương tự trên ⇒ OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r)
⇒ ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn.
Từ bài toán 1 này nếu ta thay đổi dữ kiện là cho tam giác nội tiếp trong đường tròn
và kẻ các đường cao, ta lại phải chứng minh tứ giác mới nội tiếp
*Phương pháp 2: Dựa vào định lý
µ = 1800 hoặc B
µ +D
µ = 1800
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ µA + C

* Bài toán 2:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội
tiếp đường tròn (O), các đường cao AD,
BE,CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn(O)
tại M,N,P . Chứng minh:
a. Tứ giác CEHD nội tiếp.
Chứng minh:
·
·
a/ Xét ◊ CEHD có : CEH
= 900 và CHD

= 900 (GT)
·
·
⇒ CEH
+ CDH
= 1800 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

⇒ ◊ CEHD nội tiếp đường tròn.
Từ bài toán 2 ta lại thay tam giác ABC đều và thay đổi dữ kiện sau đó yêu cầu HS
chứng minh tiếp điểm D cũng thuộc đường tròn

A

*Bài toán 3:
Cho ∆ABC đều. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB=DC

•

1
·
= ·ACB
và DCB
2

B

1

1

2

2

C

D

Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp.
0
µ
µ
µ
* Chứng minh: Ta có : ∆ABC đều => A = B = C = 60

Dương Thị Kim Nhân

11

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

¶ = 1C
µ = 300 => ·ACD = 900
Mặt khác: C
2
1

2

¶ =C
¶ = 300 => ·ABD = 900 .
Do DB = DC => ∆DBC cân => B
2
2

Tứ giác ABCD có ·ABD + ·ACD = 1800 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
nên tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn đường kính AD
* Khi ôn thi học sinh giỏi tôi đã thay bài toán trên một số dữ kiện liên quan đến quỹ tích
cung chứa góc nhằm củng cố cách sử dụng định lý để chứng minh đồng thời củng cố kiến
thức về lượng giác
* Bài toán 4: Cho đường tròn tâm O đường kính
A
AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo
với nhau góc 600, nằm về hai phía của AB, cắt
O
đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Đường thẳng
N
BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F.
M
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF.
B
EF
= 3.
1. Chứng minh rằng
F
AB
E

2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.
K
y
x

*Chứng minh:
1) ·AMB = ·ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ B là trực tâm của tam giác AEF
⇒ AB ⊥ EF
·
·
⇒ ·NEF = NAB
(cùng phụ với NFE
)
⇒ ∆ vuông NEF
∆ vuông NAB (g.g)
⇒

EF NE
·
= tan600 =
=
= tan NAE
AB NA

3

·
·
·

2) MON
là góc ở tâm cùng chắn cung MN ⇒ MON
= 2 MAN
= 1200
·
·
EMF
= ENF
= 900 ⇒ tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF tâm K.
·
·
⇒ MKN
= 2 MEN
= 2.300 = 600
·
·
⇒ MON
+ MKN
= 1800 ⇒ OMKN là tứ giác nội tiếp.

* Đặc biệt hoá bài toán 2: Phát triển thêm bài toán ta lại tiếp tục yêu cầu học sinh chứng
minh tiếp tứ giác BCEF nội tiếp

Dương Thị Kim Nhân

12

THCS Lê Đình Chinh

“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

* Bài toán 5 ( Đề mở rộng của bài toán 2)
Câu b. Chứng minh bốn điểm B,C,E,F cùng nằm
trên một đường tròn

·
*Chứng minh: Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC ⇒ BCE
= 900
·
CF là đường cao => CF ⊥ AB ⇒ BFC
= 900

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900
=> E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC
=> Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
Hay tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Đây chính là cách sử dụng cung chứa góc.Cũng từ bài toán 2 ta thay dữ kiện tam giác nội
tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh tứ giác nội tiếp cụ thể của phương pháp này như
sau:
*Phương pháp 4: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc
* Bài toán 6:
Cho tam giác ACD. Lấy điểm B sao cho A,
B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa
·
·
DC và có DAC
.Chứng minh tứ giác
= DBC

ABCD nội tiếp .

0
0
·
·
*Chứng minh: Thật vậy, giả sử DAC
= DBC
= α ( 0 < α < 180 ) Vì do DC cố định nên A,

B nằm trên cung chứa góc α dựng trên đoạn DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc )
Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp .
·
·
Khi cho α = 900 ta có DAC
= DBC
= 900

Và A, B cùng một nửa mặt phẳng bờ DC thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường
kính DC. Sau khi đưa ra phương pháp đưa ra bài toán 7 để củng cố

Dương Thị Kim Nhân

13

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

* Bài toán 7:

M

Cho ∆ ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên tia

A

đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của

1 2

tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN.
Chứng minh ◊ AMNO nội tiếp.

O

1

C

B

N

* Chứng minh:
¶
Ta có: ∆ ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇒ µA1 = A
2

Mặt khác ta có: ∆AOC cân tại O (vì OA = OC)
µ nên µ
¶ =C
µ
A1 = A
⇒ ¶A2 = C
1
2
1
·
µ + OCN
·
·
·
= 1800 và C
= 1800 ⇒ OAM
Mà µA1 + OAM
= OCN
1
·
·
Xét: ∆OAM và ∆OCN có : OA = OC; OAM
; AM = CN
= OCN

⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c)
·
⇒ ·AMO = CNO
hay ·AMO = ·ANO

Do đó: ◊ AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dưới
cùng một góc). Thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC.
Cũng từ bài toán 1 ta lại thay đổi tiếp dữ kiện bài toán nhằm có thêm một cách nữa
chứng minh tứ giác nội tiếp đó là:
*Phương pháp 5: Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:
* Bài toán 8:
Cho tam giác ABC. Lấy một điểm D bất kỳ
sao cho hai đường thẳng AB và CD cắt
nhau tại M.
Chứng minh ◊ ABCD nội tiếp.

*Chứng minh:

Dương Thị Kim Nhân

14

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

Nếu xét tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn
Ta có: AB cắt DC tại M ta suy ra được ·ABD = ·ACD = 900
Vậy là : ∆MAC

∆MDB

Đảo lại: Nếu ∆MAC

∆MDB . Với A ∈ BM và D ∈ MC

thì tứ giác ABCD nội tiếp.
Thật vậy, vì ∆MAC đồng dạng với ∆MDB suy ra ·ABD = ·ACD => tứ giác ABCD nội tiếp (
B, C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AD và nhìn AD dưới hai góc bằng nhau )
+ Từ đó nếu có ∆MAC

∆MDB, A∈ BM,

D∈ MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp.
+ Nhưng nếu ta xét theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ ∆MAD đồng
dạng với ∆MCB suy ra:

MA MD
=
⇔ MA . MB = MC . MD
MC MB

Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:
Nghĩa là nếu MA . MB = MC . MD => A∈ BM, D∈ MC => Tứ giác ABCD nội tiếp .
Nhưng đối với bài tập này ta cũng chú ý
cho học sinh nếu vẽ hình trong trường hợp

C

B

C

B

b thì nó không phải tứ giác lồi.

D

M

A

O
D

A
M
a/

b/

* Củng cố phương pháp này cho học sinh làm bài tập sau:
Bài toán 9:
A
Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường
cao AH . Gọi I, K tương ứng là tâm đường

R

tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH .
Đường thẳng IK cắt AC tại N. Chứng minh
tứ giác HCNK nội tiếp được.

M
B

I
S

K

N

1

C

H

Chứng minh:

Dương Thị Kim Nhân

15

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

·
Từ giả thiết dễ thấy HIK
= µA = 900 (1)

¶ = NCH
·
giả sử tứ giác HCNK nội tiếp thì: K
(2) . Thế thì ∆HIK
1

∆ABC (3)

Chứng minh (3): ∆HAB và ∆HCA
đồng dạng =>

HA AB
=
(4)
HC AC

Chứng minh : ∆HAS
Từ (4) và (5) =>

∆HCR ⇒

HA HI
=
(5)
HC HK

HI HK
=
(6)
AB AC

Từ (1) và (6) => (3) => (2) => Tứ giác HCNK nội tiếp
Ngoài những cách chứng minh tứ giác nội tiếp như trên thì ta cũng hướng cho học
sinh có thể khai thác sử dụng tính chất của hai góc kề bù
*Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của hai góc kề bù:
* Bài toán 10: Chứng minh tứ giác ABCD có
µA + C
µ = 1800 thì nội tiếp một đường tròn

*Chứng minh: Gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn
·
·
·
·
giả sử xAD
thế thì vì xAD
= BCD
+ DAB
= 1800 (kề bù)
·
·
⇒ BCD
+ DAB
= 1800 => Tứ giác ABCD nội tiếp

Thực chất của phương pháp này là dựa vào tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng
góc trong của đỉnh đối diện nhưng khi mình đưa ra phương pháp sử dụng tính chất của hai
góc kề bù nhằm phát huy trí sáng tạo của học sinh ( Khi dạy có thể hỏi các em thử dùng
tính chất hai góc kề bù để chứng minh Tứ giác nội tiếp được không?)

Dương Thị Kim Nhân

16

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

*Phương pháp 6 : Dựa vào tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh
đối diện.
*Bài toán 11:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm
chính giữa của cung AB. Nối M với D, M
với C cắt AB lần lượt ở E và P.
Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được
đường tròn.

Chứng minh:
·
Ta có : MEP
là góc có đỉnh nằm bên trong (O)
·
⇒ MEP
=

» + MB
¼ )
s®(AD
2

¼
sd DM
·
Mà DCP
=
2

Hay

(góc nội tiếp)

» )
sd ( »AD + MA
·
DCP
=
2

Lại có :

¼
sđ ¼
AM = sđ BM

Nên :

·
·
MEP

= DCP

Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy ◊ PEDC nội tiếp được đường tròn.
3.3.2. Vận dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh bài tập hay và khó:
* Bài toán 1: Tính số đo góc:
Cho hình vẽ:

E

Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD

400

B

x

O
A

Dương Thị Kim Nhân

17

C

x

•

D

200

F

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

·
* Giải: Gọi số đo BCE = x

Do tứ giác ABCD nội tiếp nên :
·ABC + ·ADC = 1800

Mà: ·ABC = 400 + x và ·ADC = 200 + x (theo t/c góc ngoài của tam giác)
=> 400 + x + 200 + x = 180 0
=> 2 x = 1200 ⇒ x = 600
0
0
0
0
0
0
0
0
·

·
·
=> ABC = 40 + x = 40 + 60 = 100 => BAD = 180 − BCD = 180 −120 = 60

* Bài toán 2: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
* Bài toán: Cho 3 điểm A,B ,C trên một
đường tròn .Chứng minh rằng chân đường
vuông góc hạ từ một điểm M bất kỳ trên
đường tròn xuống các đường thẳng
AB,BC,CA cùng nằm trên một đường
thẳng .
* Chứng minh :
·
·
= BIM
= 1800
Ta có : Tứ giác BHMI nội tiếp vì BHM

¶ =M
¶ (1)
⇒H
1
1

µ và K
µ cùng nhìn MC dưới một góc vuông )
Tứ giác MHKC nội tiếp (vì H
¶ =M
¶
⇒H

(2)
2
2
¶ +B
µ 1 = 900 (∆ BIM vuông tại I) Và M
¶ 2 + ·ACM = 900 (∆ MKC vuông tại K)
Ta có ⇒ M
1
µ
Mà ·ACM = B
1

¶ =M
¶
(◊ ABMC nội tiếp ) Suy ra M
1
2

( 3)

¶ =H
¶
Từ ( 1), (2) và (3) suy ra H
1
2
·
¶ = 1800 ( B,H,C thẳng hàng )
+H
Mà BHK
2

·
¶ = 1800
⇒ BNK
+H
1

Do đó I , H ,K thẳng hàng
* Bài toán 3: Chứng minh các góc bằng nhau:

Dương Thị Kim Nhân

18

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

* Bài toán: Gọi H là giao điểm các đường
cao AA';BB';CC' .Chứng minh các đường
cao của tam giác ABC là phân giác các góc
của tam giác A ' B ' C '

*Chứng minh :
Xét tứ giác BA ' HC ' có :
· ' H = 900 (CC ' ⊥ AB )
BC
· ' H = 900 (AA' ⊥ BC )
BA
· ' H + BA

· ' H = 1800
⇒ BC
⇒ Tứ giác BA ' HC ' nội tiếp đường tròn đường kính BH .
⇒µ
B1 = µ
A '1 (cùng chắn cung HC ' )(1)

- Mặt khác : Xét tứ giác ABA ' B ' có:
·AB ' B = 900 ( BB ' ⊥ AC )
·AA ' B = 900 (AA' ⊥ BC )

⇒ A’ ; B’ cùng nhìn xuống cạnh AB dưới một gócvuông .

Suy ra ABA ' B ' nội tiếp đường tròn đường kính AB.
µ1 = µ
Do đó : B
A '2 (cùng chắn cung AB’)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra : µA '1 = µA '2
· ' A' B '
Do đó AA’ là phân giác của góc C

Chứng minh tương tự : BB’ là phân giác của góc ·A ' B ' C '
CC’ là phân giác của góc ·A ' C ' B '
Vậy các đường cao của tam giác ABC là phân giác của các góc tam giác A’B’C’
*Bài toán 4: Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, ta có

thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy ra 4 điểm A, B, C,
D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai đường tròn này có ba điểm

Dương Thị Kim Nhân

19

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đường tròn thì chúng phải trùng
nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
b. Ví dụ : (Bài toán về đường tròn
Euler)
Chứng minh rằng, trong một tam giác
bất kì, ba trung điểm của các cạnh, ba
chân của các đường cao, ba trung điểm
của các đoạn thẳng nối trực tâm với
đỉnh đều ở trên một đường tròn.
*Chứng minh:
Ta có: ME là đường trung bình của ∆AHC
ND là đường trung bình của ∆BHC
⇒ ME = ND =

HC
2

⇒ Tứ giác MNDE là hình bình hành (1)

Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của ∆HAB)
Mà CH ⊥ AB (GT)
⇒ ME ⊥ MN (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNDE là hình chữ nhật
Gọi O là trung điểm của MD ⇒ O cũng là trung điểm của NE
Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)
Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)
0
·
Vì MID = 90 ⇒ I ∈ (O; OM)
0
0
·
·
Vì FLP = 90 ; NKE = 90 ⇒ L; K ∈ (O; OM)

Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ∈ (O; OM) (Điều phải chứng minh)
* Bài toán 5: Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định,

Dương Thị Kim Nhân

20

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội
tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm
đã chọn là điểm cố định.
b.Ví dụ :
Từ một điểm A ở ngoài đường
tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn. Lấy điểm D
nằm giữa B và C. Qua D vẽ một
đường thẳng vuông góc với OD
cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
Khi điểm D di động trên BC,
chứng minh rằng đường tròn
(AEF) luôn đi qua một điểm cố
định khác A.
Chứng minh:
0
·
Ta có : EBO = 90 (AB là tiếp tuyến với (O) tại B)

·
EDO
= 900 (GT)

⇒ hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.
⇒ ◊ EBOD nội tiếp đường tròn
·
·
⇒ BEO
(1) (cùng chắn cung OB)

= BDO

Chứng minh tương tự ta có : ◊ ODCF nội tiếp đường tròn
·
·
⇒ OFC
(2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
= BDO
·
·
Từ (1) và (2) ⇒ BEO
⇒ ◊ AEOF nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong
= OFC

một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Vậy đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định.
Bài toán 6: Chứng minh tìm cực trị

Dương Thị Kim Nhân

21

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

Ví dụ :
M

Cho đường tròn (O), dây AB không đi
qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M
(M không trùng với A, B). Kẻ dây MN
vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông

E
H

A

góc với AN ( K ∈ AN ) .
1) Chứng minh: Tứ giác AMHK
nội tiếp
2) Chứng minh: MN là phân giác
của góc BMK.
3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ
AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN.
Xác định vị trí của điểm M để
(MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.
Giải :

O

B

K

N

·

·
1) Từ giả thiết: AKM
= 900 , AHM
= 900
Bốn điểm A, K, H, M cùng thuộc một đường
Tròn . Suy ra tứ giác AMHK nội tiếp

·
·
2) NAH
=
= NMK

1 »
sđ KH (1)
2

1 »
·
·
= sđ NB
(2)
NAH
= NMB
2
·
·
Từ (1) và (2) ⇒ NMK
= NMB
⇒ MN là phân giác của góc KMB

1 ¼
1 ¼
·
·
·
·
= MNB
= sđ MB
= MKH
= sđ MH
3) MAB
; MAB

2
2
·
·
⇒ K,M,E,N cùng thuộc một đường tròn
⇒ MNB
= MKH
·
·
⇒ MEN
+ MKN
= 1800 ⇒ ME ⊥ NB

1
1
1

S ∆MAN = MK.AN; S ∆MNB = ME.NB; S Y AMBN = MN.AB
2
2
2
⇒ MK.AN + ME.BN = MN.AB
⇒ ( MK.NA + ME.NB ) lớn nhất ⇔ MN.AB lớn nhất
»
⇔ MN lớn nhất (Vì AB= const ) ⇒ M là chính giữa AB

Dương Thị Kim Nhân

22

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

* Bài toán 7: Chứng minh quan hệ về đại lượng
Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lượng như:
- Chứng minh các hệ thức hình học.
- Chứng minh tỉ số các đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng bằng nhau, đoạn
này gấp đôi đoạn kia….) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là không đổi....
* Bài toán: Chứng minh rằng trong một
tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo
bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối.
Nghĩa là: Cho tứ giác ABCD nội tiếp
đường tròn (O).
Khi đó: AC.BD=AB.CD+AD.BC

Chứng minh:
Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh:
AC. BD = AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
·
·
Lấy E ∈ BD sao cho: BAC
= EAD

⇒ ∆ DAE
⇒

∆ CAB (g. g)

AD DE
=
AC BC

⇒ AD. BC = AC. DE (1)
Tương tự: ∆ BAE
⇒

∆ CAD (g. g)

BE AB
=
CD AC

⇒ BE. AC = CD. AB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC
⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DB (ĐPCM)

Dương Thị Kim Nhân

23

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

* Bài toán 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
* Bài toán

B

A

Cho hình vuông ABCD, tâm O. Một đường
thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD và
N

BC lần lượt tại M và N. Trên CD lấy điểm
O

K sao cho DK = DM. Gọi H là hình chiếu
của K trên xy. Tìm quỹ tích điểm H.

H

M

1

2

l
2

1

D

K

C

Chứng minh:
* Phần thuận:
Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM
⇒ CK = CN
Lại có ◊ MHKD và ◊ NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông góc)
0
0
¶
¶
¶
¶
⇒ M1 = H1 = 45 và N2 = H2 = 45

·

⇒ DHC = 90

0

Vậy H nằm trên đường tròn đường kính DC
Giới hạn:
Vì đường thẳng xy quay quanh O nhưng phải cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại M và N
nên điểm H chỉ nằm trên một nửa đường tròn đường kính CD và nằm trong hình vuông.
* Phần đảo:
Lấy điểm H bất kì trên nửa đường tròn đường kính CD.
Vẽ đường thẳng HO cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
Lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM.
Ta phải chứng minh H là hình chiếu của K trên MN.
Thật vậy,
·
·
Vì DHC
= 900 ; DOC
= 900 nên ◊ HOCD nội tiếp

Dương Thị Kim Nhân

24

THCS Lê Đình Chinh

“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
0
·
·
⇒ DHM = DCO = 45
0
·
Mặt khác DKM = 90

·
·
Nên: DHM
= DKM
= 450
·
⇒ ◊ HKDM nội tiếp ⇒ KHM
= 900

⇒ KH ⊥ NM
⇒ H là hình chiếu của K trên MN.
Kết luận:
Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường tròn này nằm
trong hình vuông.
* Bài toán 9: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình
* Bài toán :Cho tam giác ABC nhọn (AB <

A

AC), điểm D di động trên cạnh BC. Vẽ DE

a

⊥ AB, DF ⊥ AC. Xác định vị trí của điểm
E

D để:
a/ EF có độ dài nhỏ nhất.

O
F

M

b/ EF có độ dài lớn nhất.
B

D

C

Chứng minh:
Gọi O là trung điểm của AD
·
Tứ giác AEDF có : ·AED + AFD
= 900 + 900 = 1800

⇒ ◊ AEDF nội tiếp (O; OA)
Vẽ OM ⊥ EF ⇒ ME = MF
·
Đặt BAC

=a
·

EOF ·
·
Ta có : EOM
=
= BAC = a
2

·
Xét ∆ MOE có OME
= 900

⇒ EM = OE. sin a
⇒ EF = 2 OE. sin a

Dương Thị Kim Nhân

25

THCS Lê Đình Chinh