SKKN HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9

Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
PHÒNG GD & ĐT KRÔNG ANA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC
VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC TRONG
SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9

Họ và tên : 1) Nguyễn Anh Tuấn
2) Nguyễn Thị Cẩm Linh
Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp
Trình độ chuyên môn : Đại học sư phạm
Môn đào tạo :
Toán
Krông Ana, tháng 1 năm 2016
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

1


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1. Lý do chọn đề tài :
- Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao.
Đặc biệt là với hình học nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logíc và phát
triển tư duy sáng tạo. Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp
cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài

tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen suy nghĩ tìm tòi lời
giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học.
- Qua nhiều năm công tác và giảng dạy Toán 9 ở trường THCS Buôn Trấp chúng
tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh năng lực học toán nói riêng,
muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì việc cần
làm ở mỗi người thầy, đó là giúp học sinh khai thác đề bài toán để từ một bài toán ta chỉ
cần thêm bớt một số giả thiết hay kết luận ta sẽ có được bài toán mới phong phú hơn,
vận dụng được nhiều kiến thức đã học nhằm phát huy nội lực trong giải toán nói riêng và
học toán nói chung. Vì vậy tôi ra sức tìm tòi, giải và chắt lọc hệ thống lại một số các bài
tập mà ta có thể khai thác được đề bài để học sinh có thể lĩnh hội được nhiều kiến thức
trong cùng một bài toán.
- Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ nhoi của mình trong việc bồi
dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng
tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo
của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán
của ngành giáo dục Krông Ana ngày một khả quan hơn. Chúng tôi xin cung cấp và trao
đổi cùng đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh khai thác và phát
triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9” . Đề tài này ta có thể
bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh và cũng có thể dùng nó trong việc dạy chủ đề
tự chọn toán 9 trong trường THCS hiện nay. Mong quý đồng nghiệp cùng tham khảo và
góp ý.
I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn
Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này
tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc
hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi.Vì đây là đề tài rộng
nên trong kinh nghiệm này chỉ trình bày một vài chủ đề của môn Hình lớp 9, chủ yếu là
phần đường tròn do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện nhiều trong các kỳ
thi. Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy,
những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do

chưa nắm phương pháp giải dạng toán này. Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy
không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Toán nói
chung và phần Hình học nói riêng. Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác
nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở phần Hình học mới có,
làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Toán hơn. Đó là mục đích của bất kì giáo
viên dạy ở môn nào cũng cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích và niềm đam mê của
học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy
của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh. Qua mỗi bài toán học sinh có sự
nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm
chất của con người mới.
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

2


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
I.3. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1,2).
I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.
Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp, chủ yếu là học sinh khối
9 và ôn luyện thi vào 10, thi vào các trường chuyên, cũng như trong bồi dưỡng đội tuyển
học sinh giỏi các cấp qua nhiều năm học.
Thời gian thực hiện trong các năm học 2009 - 2016.
I.5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà trường.
Tra cứu tài liệu, tham khảo nghiên cứu các tài liệu trên mạng.
Thực nghiệm, đối chiếu so sánh.
Nhận xét.
II. PHẦN NỘI DUNG

II.1.Cơ sở lí luận
Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS chúng tôi thấy hiện nay đa số học
sinh sợ học phần Hình học. Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có rất nhiều học sinh chưa
thực sự hứng thú học tập bộ môn này vì chưa có phương pháp học tập phù hợp với đặc
thù bộ môn, sự hứng thú với phần Hình học là hầu như ít có. Có nhiều nguyên nhân,
trong đó ta có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau:
- Đặc thù của bộ môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năng này
học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năng trình
bày suy luận một cách logic. Kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó, đặc biệt là
học sinh lớp 9 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học. Các em đang bắt
đầu tập dượt suy luận có căn cứ và trình bày chứng minh Hình học hoàn chỉnh. Đứng
trước một bài toán hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trình bày chứng
minh như thế nào.
- Trong quá trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc chưa chú trọng việc
nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở SGK hoặc chưa đầu tư vào lĩnh
vực này, vì thế chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đề mới từ
bài toán cơ bản.
- Việc đưa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từng đối
tượng học sinh để có kết quả giáo dục tốt còn hiều hạn chế.
- Học sinh THCS nói chung chưa có năng lực giải các bài toán khó, nhưng nếu
được giáo viên định hướng về phương pháp hoặc kiến thức vận dụng, hoặc gợi ý về
phạm vi tìm kiếm thì các em có thể giải quyết được vấn đề.
- Ngay cả với học sinh khá giỏi cũng còn e ngại với phân môn Hình học do thiếu
sự tự tin và niềm đam mê.
II.2. Thực trạng
a) Thuận lợi, khó khăn:
*) Thận lợi:
Tôi đã được trực tiếp giảng dạy môn Toán khối 9 được 7 năm, bồi dưỡng học
sinh giỏi toán 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10, thi vào
trường chuyên nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài "Hướng dẫn học sinh

khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 ".
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

3


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
Chúng tôi được các đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm góp ý kiến trong quá trình
giảng dạy, tham khảo các tài liệu liên quan trên mạng, ...
Học sinh ở độ tuổi này luôn năng động sáng tạo, luôn thích khám phá học hỏi
những điều mới lạ.
Điều kiện kinh tế xã hội ngày càng phát triển. Từ đó sự quan tâm của các bậc phụ
huynh học sinh ngày một nâng lên, luôn tạo điều kiện tốt nhất, trang bị đầy đủ cho con
em mình các thiết bị và đồ dùng học tập.
*) Khó khăn:
Trong chương trình Toán THCS “Các bài toán về hình học” rất đa dạng, phong
phú và trừu tượng, mỗi dạng toán có nhiều phương pháp giải khác nhau. Học sinh khi
học toán đã khó, đối với Hình học lạ càng khó hơn bởi vì: Để làm bài toán Hình học thì
học sinh phải vận dụng tất cả các định nghĩa, định lí, tính chất ..., mà mình đã được học
một cách linh hoạt. Bên cạnh đó để giải một bài toán Hình học lớp trên thì học sinh phải
nắm vững tất cả kiển thức, các bài toán cơ bản ở lớp dưới.
Kinh tế từng gia đình không đồng đều, một số gia đình chưa có điều kiện nên còn
mải lo làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em mình,
phó mặc cho con cái cho thầy, cô và nhà trường.
Tác động xã hội đã làm một số học sinh không làm chủ được mình nên đã đua
đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà dẫn thân vào các tệ nạn xã hội như chơi
game, đánh bài, hút Shisha ... dẫn đến các em hư hỏng.
b) Thành công, hạn chế
*) Thành công:

Vận dụng các bài tập trong sáng kiến vào các tiết ôn tập và bồi dưỡng học sinh
giỏi rất hiệu quả.
Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách giáo
khoa nên mục đích cần hướng đến là học sinh trung bình cần phải làm tốt những bài tập
này.
*) Hạn chế:
Giải bài tập Hình học là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát
triển óc tư duy. Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để cho
phần lớn các học sinh khá và trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề đó mới là quan trọng.
Do đặc điểm của môn Hình học khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc vẽ
hình phức tạp, khi giải một bài toán hình thì học sinh phải vận dụng tất cả các định
nghĩa, định lí, tính chất, ... mà mình đã được học một cách linh hoạt. Nên giáo viên phải
tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa trên những bài toán
cơ bản.
c) Mặt mạnh, mặt yếu
*) Mặt mạnh:
Giúp cho học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản, nhưng
quan trọng hơn giáo viên cần giúp cho học sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán.
Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say
mê môn Toán. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn một bài toán
dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố đó rất
quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học
sinh tốt hơn.
*) Mặt yếu:
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana
4


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

Số học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản là không
nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả học sinh và giáo viên, mặc
dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra
những dạng mà thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên giáo
viên cần phải động viên giúp các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó không những cần có
kiến thức vô cùng chắc chắn mà học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học. Điều này chỉ
phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá trình dạy học sinh
giỏi.
d) Các nguyên nhân, các yếu tố tác động
*) Học sinh không giải được:
- Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao.
- Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh
hoạt.
*) Học sinh giải được:
- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian.
- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức.
Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức
chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng đều.
Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng phân tích và vận
dụng …
Một số bộ phận phụ huynh học sinh không thể hướng dẫn con em mình giải các
bài toán hình. Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp.
e) Phân tích đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra.
Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói riêng
thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều
khi cho ta những kết quả khá thú vị. Ta biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học
cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ. Cụ thể như khi truyền
thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững
đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến
thức đã học vào các hoạt động toán học. Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó

dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên
đứng lớp . Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một
bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ
bản đến nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo
viên. Từ những bài toán chuẩn kiến thức, giáo viên không dừng ở việc giải toán. Việc
khai thác một số bài toán hình học cơ bản trong SGK không những gớp phần rèn luyện
tư duy cho HS khá giỏi mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho
HS ở nhiều đối tượng khác nhau.
+ Để giải quyết vấn đề trên trong quá trình giảng dạy cần chú trong các bài toán ở
SGK. Biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát
triển năng lực tư duy toán học, vừa có điều kiện tăng khả năng nhìn nhận vấn đề mới từ
cái đơn giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này.
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

5


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
+ Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần thiết
và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc
giải toán vì nó không tạo cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học
sinh có sự tự tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn hình thành cho các em sự yêu
thích và đam mê bộ môn hơn.
- Các em phải được tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
- Phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hình thành cho
học sinh tư duy tích cực ,độc lập và kích thích tò mò ham tìm hiểu đem lại niềm vui cho
các em.
II.3. Giải pháp, biện pháp
a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :

- Tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiến
thức cơ bản đã học.
- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài.
- Giải hoặc hướng dẫn học sinh cách giải.
- Khai thác bài toán và giúp học sinh hướng giải bài toán đã được khai thác
- Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp
cụ thể. Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
- Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra.
Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán hình học, thông qua các bài toán
có tính tư duy.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra 4 bài toán trong Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1&
tập 2):
Bài 1: ( Bài tập 11 trang 104 SGK – Toán 9 tập 1)
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H
và K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh CH = DK
(Gợi ý kẻ OM ⊥ CD ).
Giải:
AB
Cho (O,

), dây CD không cắt AB
2
GT AH ⊥ CD tại H; BK ⊥ CD tại K
KL

C/m: CH = DK

Chứng minh:
Ta có AH ⊥ CD và BK ⊥ CD (gt) nên AH// BK ⇒ Tứ giác AHKB là hình thang.
Kẻ OM ⊥ CD tại M ⇒ MC = MD (1) ( ĐL quan hệ giữa vuông góc giữa đường kính
và dây).
Xét hình thang AHKB có OA =OB = R ; OM // AH // BK ( ⊥ CD )
⇒ OM là đường trung bình của hình thang ⇒ MH = MK (2)
Từ (1) và (2), ta có CH = DK
Từ bài toán trên chúng ta có thể phát triển dưới dạng một
bài toán khác như sau:
Bài 1.1: Thêm vào bài tập 1 câu b như sau: Chứng minh H và
K ở bên ngoài đường tròn (O).
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana
6


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
Giải : ( Dùng phương pháp phản chứng)
Giả sử chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng CD là H’. H’ là điểm nằm
giữa hai điểm C và D.
·
·
·
·
·
⇒ ACH'
Xét ∆ACH , ta có : ACH'
= ACB
+ BCD

= 90 0 + BCD
> 90 0
0
·
Mà ACH'
= 90 0 (theo giả sử) ⇒ Tổng các góc trong của ∆ACH lớn hơn 180 là điều vô
lí.
Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn(O) hay H nằm ngoài đường tròn (O).
Chứng minh tương tự đối với điểm K.
* Nhận xét: Từ việc vẽ OM ⊥ CD ta có MH = MK ta dễ nhận thấy rằng
S∆OMH = S∆OMA = S∆OMK = S ∆OMB ⇒ S∆OHK = S∆AMB ⇒ HK.OM = AB.MM’(với MM ' ⊥ AB tại M’)
Bài 1.2: Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài 1 câu b:
Chứng minh S AHKB = S ∆ACB + S ∆ADB .
Vẽ thêm CC ' ⊥ AB, DD ' ⊥ AB ( C ', D ' ∈ AB )
Ta có

CC '+ DD '
= MM ' (MM’ là đường trung bình của hình
2

thang CDD’C’)
⇒ HK.OM = AB.

CC '+ DD ' 1
= AB ( CC '+ DD ' ) = S∆ACB + S ∆ADB
2
2

Mặt khác HK.OM = SAHKB ( Vì OM là đường trung bình của hình thang AHBK, nên
AH + KB

)
2
Từ đó S AHKB = S ∆ACB + S ∆ADB (đpc/m)

OM =

D

K

M
Bài 1.3: Từ bài toán trên ta lại có bài toán quỹ tích:
E
C
a/ Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng CD khi C (hoặc H
D) chạy trên đường tròn (O).
D'
O
b/ Tìm quỹ điểm H và K khi C ( hoặc D) chạy trên đường tròn A C'
O đường kính AB.
c/ Gọi E là giao điểm của BK và (O). Chứng minh OM ⊥ AE.
Hướng dẫn giải:
·
·
a) Dùng quỹ tích cung chứa góc ( OMC
= OMD
= 900 )
b) Khi điểm C cố định, điểm D chạy trên (O).
Gọi C’ là hình chiếu của C trên AB ⇒ C, C’ cố định, ta có: Tứ giác AHCC’ và

AC
BC
) và (I’,
) ⇒ H ∈ ( I ) , K ∈ ( I ')
2
2
·
c) Chứng minh AEB
= 900 ⇒ AE ⊥ BK ⇒ AE // HK ⇒ đpc/m

BKCC’ lần lượt nội tiếp đường tròn (I,

+) Nhận xét : Từ bài toán 1 nếu dây cung CD cắt đường kính AB thì kết luận CH = DK
có còn đúng nữa không? Kết luận đó vẫn đúng và chúng ta có bài toán khó hơn bài toán
(*) một chút như sau:
Bài 1.4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường
kính AB tại G. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên
CD. Chứng minh rằng CH = DK.
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có chung
trung điểm.
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

7

B


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

Qua O vẽ đường thẳng song song với AH và BK cắt CD tại I, cắt AK tại F.
Lập luận để có OI là đường trung trực của đoạn CD và FI là đường trung bình của
tam giác AHK ⇒ I là trung điểm của HK ⇒ đpc/m.
Bài 1.5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng hình
chiếu vuông góc của các cạnh đối diện của tứ giác trên đường chéo CD bằng nhau.
(Cách giải hoàn toàn tương tự như bài 1)
Bài 1.6: Gọi G là điểm thuộc đoạn thẳng AB (G không trùng với A
và B). Lấy AB, AG và BG làm đường kính, dựng các đường tròn tâm
O, O1, O2. Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt
(O1) tại H, cắt (O2) tại K. Chứng minh CH = DK.
Hướng dẫn giải:
Lập luận để có AH ⊥ CD và BK ⊥ CD ⇒ Cách giải hoàn toàn
tương tự như bài 1)
Bài 1.7: Đặc biệt khi CD không phải là một dây mà CD trở thành
tiếp tuyến của (O) như hình vẽ bên ta vẫn có S ∆AMB = S ∆HOK và
HK .OM = AB.MM ' ( lúc này M thuộc nửa đường tròn (O) nên AB
= 2OM.
Do đó ta có HK.OM = 2OM.MM’ ⇒ MM ' =

HK
2

Dựa vào điều kiện một điểm thuộc đường tròn ta có
M ' ∈ (M ;

HK
HK
) ⇒ (M ;
) tiếp xúc với AB tại M’.
2

2

Từ bài toán 1 chúng ta có thể phát biểu bài toán đảo như sau :
Bài 1.8 : Trên đường kính AB của đường tròn tâm (O) ta lấy hai
điểm H và K sao cho AH = KB. Qua H và K kẻ hai đường thẳng
song với nhau lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm C và D ( C, D
cùng thuộc nửa đường tròn tâm O). Chứng minh rằng HC ⊥ CD ,
KD ⊥ CD .
Bài 1.9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD cắt bán kính OA ở I. Kẻ AE,
BH cùng vuông góc với CD. Qua O kẻ đường kính vuông góc với CD tại G và cắt EB ở
M. Chứng minh:
a) M là trung điểm của EB và G là trung điểm của EH.
b) EC = HD
Hướng dẫn tìm lời giải:
a) Hãy chứng minh OM là đường trung bình của tam giác AEB và MG là đường
trung bình của tam giác EHB.
b) Áp dụng định lý về đường kính và dây cung và lưu ý G là trung điểm của EH
(theo câu a) để được đẳng thức cần chứng minh.
Cách giải
D
a) Xét ∆AEB , có:
OM // AE( ⊥ CD) 
 ⇒ OM là đường trung bình của ∆AEB
AO = OB ( gt ) 
⇒ M là trung điểm của EB (đpc/m)
Xét ∆EHB , có:

H
G
I

A

O
E

B

M

C

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông
Ana
Hình 6

8


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
GM // BH ( ⊥ CD) 
 ⇒ MG là đường trung bình của ∆EHB
BM = EM ( gt ) 
⇒ G là trung điểm của EH (đpc/m.
b) Xét (O) có: OG ⊥ CD (gt) ⇒ GC = GD (đ/l).

Mà GE = GH (c/mt)
⇒ EC = HD(đpc/m)
Khai thác bài toán:

Bài này có thể thêm câu hỏi sau đây: Chứng minh rằng:
c) AE. IG = IE .OG;
b) OG.IH = IG.BH ( cho học sinh tự chứng minh)
Bài toán 2 ( bài 30 – trang 116 SGk – toán 9, tập 1)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB
( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phảng bờ AB). Qua điểm M thuộc
nửa đường tròn ( M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo
thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
·
a) COD
= 900
b) CD = AC + BD
c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
AB
), Ax ⊥ AB tại A;
2
By ⊥ AB tại B; M ∈ ( O ) .
CD ⊥ OM tại M ( C ∈ Ax ; D ∈ By )
Cho (O,
GT

KL

C/mr:

·
a) COD
= 90 0
b) CD = AC + BD
c) AC.BD không đổi

a) Xét (O) có CA, CM là tiếp tuyến của (O)
µ =O
¶ ( t/c tiếp tuyến) (1)
·
⇒ OC là tia phân giác của AOM
hay O
1
2
¶ =O
¶ (2)
Tương tự DB, DM là tiếp tuyến của (O) ⇒ O
3
4
µ +O
¶ =O
¶ +O
¶
Từ (1) và (2) ⇒ O
1
4
2
3
µ +O
¶ +O
¶ +O
¶ = 180 0 ⇒ O
µ +O
¶ =O
¶ +O

¶ = 90 0 hay COD
·
Mà O
= 90 0 (đpc/m)
1
2
3
4
1
4
2
3
b) Theo t/c tiếp tuyến , ta có: CA = CM và DB = DM
Mà M ∈ CD ⇒ CD = CM + MD ⇒ CD = CA + BD
Vậy CD = CA + BD (đpc/m)
c) Xét ∆COD vuông tại O (c/mt), có: OM ⊥ CD (gt) ⇒ OM 2 = CM .DM ( đ/l)
Mà CA = CM và DB = DM ⇒ OM 2 = AC.BD mà OM = R (gt)
⇒ AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. (đpc/m)
Từ bài toán trên ta khai thác bài toán như sau:
1) Đối với học sinh trung bình:
Bài 2.1: OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F. Xác định tâm P của
đường tròn đi qua bốn điểm O, E, M, F.
Bài 2.2: Chứng minh tứ giác ACBD có diện tích nhỏ
nhất khi nó là hình chữ nhật và tính diện tích nhỏ nhất đó.
Tìm hiểu đề bài:

y
D

t

x

N

Q

M

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana
C

E

A

P

9

F

O

B
Hình 11


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

Bài ra cho nủa đường tròn tâm O và ba tiếp tuyến theo thứ tự tạ A, B và M bất kì
trên (O). Yêu cầu chứng minh một đẳng thức, bốn điểm thuốc đường tròn và diện tích
nhỏ nhất của một tứ giác tạo thành.
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
1) Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật nên giao điểm P của hai đường
chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật
2) Tứ giác ACDB là hình thang ⇒ S ACDB =

1
( AC + BD ) AB . AB không đổi ⇒
2

chứng minh AC + BD nhỏ nhất khi CD // AB.
Cách giải:
·
·
·
1) Tứ giác EMFO có OEM
= EMF
= OFM
= 900 ⇒ Tứ giác EMFO là hình chữ nhật.



Mà OM ∩ EF tại P ⇒ OP = OE =OM = OF . Vậy 4 điểm O, E, M, F ∈  P ;

OM
2



÷.


2) Tứ giác ACBD có AC / / BD ( ⊥ AB ) ⇒ Tứ giác ACBD là hình thang vuông.
1
( AC + BD ) AB = ON . AB ≥ OQ. AB (ON là đường trung bình của hình thang).
2
1
Vậy ( S ACDB ) MIN = OQ. AB = AB 2 .Khi đó N trùng với Q và ACDB là hình chữ nhật (tiếp
2
⇒ S ACDB =

tuyến CD // AB).
2) Đối với học sinh khá, giỏi:
Bài 2.3: Gọi K là giao điểm của BC và AD. Chứng minh: MK // AC // BD.
Bài 2.4: Gọi H là giao điểm của MK và AB. Chứng minh rằng K là trung điểm của
MH.
Bài 2.5: Gọi E, F lần lượt là giao điểm của OC và AM, OD và BM. Chứng minh ba
điểm E, K, F thẳng hàng.
Chứng minh :
3) Xét ∆AKC có AC // BD (gt) ⇒

KD KB DB
=
=
KA KC AC

( đ/l talet) (1)
CA, CM là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) nên
CM = CA, DB = DM (t/c) (2)

Từ (1) và (2) ⇒

KD MD
=
⇒ MK / / AC ( theo định lí
KA MC

K

H

talet đảo)
Vậy MK // AC // BD (đpc/m)
 Sau khi chứng minh được MK // AC ta có thể có thêm yêu học sinh chứng minh:
CD.MK = CM.DB.
Chứng minh: Theo chứng minh trên MK //AC ⇒ ∆CKM ∆CBD
CD DB
⇒
⇒ đpc/m.
=
CM

MK

Bài 2.6: Ta có thể đặt thêm các câu hỏi sau đây: Khi M chạy trên nửa đường tròn
(O).
1) Tìm quỹ tích của N;
2) Tìm quỹ tích của P;
Cách giải như sau:
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

10


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
1) Vì ON là đường trung bình của hình thang ACBD nên ON // Ax // By. Do đó quỹ
tích N là tia Qt song song và cách đều hai tia Ax và By
2) Giao điểm P các đường chéo của hình chữ nhật OEMF cách O một khoảng
1
R
PO = OM =
điểm O cố định, khoảng cách PO không đổi nên quỹ tích của P là nửa
2
2

đường tròn đồng tâm với (O) bán kính bằng nửa bán kính của (O).
Từ bài toán trên ta có thể ra bài toán mới như sau:
Bài 2.7: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính
AH. Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (A) tại D, E. Chứng minh rằng:
a) D, A, E thẳng hàng.
b) BD.CE = AH2 ( không đổi)
c) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Bài toán 3( Bài 39/123 (SGK toán 9 tập 1)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC
.( B ∈ ( O ) ; C ∈ (O ')), tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I.
·
= 900
a) Chứng minh rằng : BAC
· '

b) Tính số đo OIO
c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O’A = 4cm.
Giải

GT

KL

Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A
OB ⊥ BC tại B; CO’ ⊥ BC tại C;
B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ')
AI ⊥ OO’ tại A ( I ∈ BC )
OA = 9cm; O’A= 4cm
C/mr:
·
a) BAC
= 900
·
b) Tính OIO
'?
c) Tính BC ?

B
I
C

O'

A

O

Chứng minh:
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
1
2

IA = IB; IB = IC (đ/l) ⇒ IA = IB = IC = BC ⇒ ∆ABC vuông tại A (đ/l đường trung tuyến)

·
Vậy BAC
= 900 (đpc/m)
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
·
OI là tia phân giác của BIA
·
·
⇒ OIO
O’I là tia phân giác của AIC
' = 900 (đ/l)
·
·
Mà BIA
+ AIC
= 1800 (kề bù)
c) Xét ∆OIO ' vuông tại I (c/mt), Có :
IA ⊥ OO ' tại A (t/c) ⇒ IA2 = OA. AO’ ( đ/l)
= 9.4 = 36 ⇒ IA = 6cm.
Mà BC = 2AI = 2.6 = 12cm.
Khai thác và phát triển bài toán :

Bài 3.1: Chứng minh rằng: OO’ là tiếp tuyến của
đường tròn đường kính BC.
Vì (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.

B
I
C

O

A

O'

D

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

11


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
IA ⊥ OO ' tai A ( t/c ) 
 ⇒ OO’ là tiếp tuyến của đường tròn
IA = IB = IC (t / c ) 

 BC 
 I;
÷tại A. (đpc/m)

 2 
Bài 3.2: Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O ( D ≠ A). Chứng minh

Nên

rằng : Ba điểm B, O, D thẳng hàng.
·
·

O'CA
= O'AC
·
·
Ta có
 ⇒ ODA = O'CA
·ODA = OAD
·

Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ O’C // OD.
Mặt khác O’C // OB ( ⊥ BC ) (gt) ⇒ Ba điểm B, O, D thẳng hàng (tiên đề Ơclít)

Bài 3.3: Giả sử OA = R, O’A = r .
B
I
a. Tính độ dài BC theo R, r.
C
R
b. Tính độ dài OI và O’I theo R, r.
r
c. Tính các cạnh của ∆ABC theo R, r.

O'
A
O
d. Gọi H là giao điểm của OO’ và BC. Tính
độ dài OH, O’H theo R, r.
Lời giải:
·
·
a) Ta có : BAC
= 900 và OIO
' = 900 .Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam
giác vuông, ta có: IA2 = OA. AO’ = R.r ⇒ IA = R.r
B

Mà BC = 2.IA = 2 R.r
2
2
2
2
b) Ta có : OI = IA + OA = R.r + R = R ( R + r )

I
C
R
r

⇒ OI = R ( R + r )

O

A

O'

O ' I 2 = IA2 + O ' A2 = R.r + r 2 = r ( R + r )
⇒ O'I = r ( R + r) .

D

c) Gọi CA ∩ ( O ) = { D} . Khi đó ba điểm B, O, D thẳng hàng.

Xét ∆CBD vuông tại B, ta có : BC = 2 R.r ; BD = 2R.
Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

1
1
1
1
1
R+r
=
+
=
+
=
2
2
2
2
4 Rr 4 R 2 r

AB
BD
BC
4R
2R r
2r R
⇒ AB =
Tương tự AC =
R+r
R+r
2R r
2r R
Vậy các cạnh của ∆ABC là : AB =
; AC =
; BC = 2 R.r .
R+r
R+r
d) Xét ∆HO ' C và ∆HOB có :
·

OHB
chung
B
 ⇒ ∆HO ' C ∆HOB (g.g)
·
·
OBH
= O'CH
= 900 ( gt ) 
C

R
OH
OB
OH
OB
r
⇒
=
hay
=
O'
O ' H O 'C
OH − O ' H OB − O ' C
O
A
R( R + r )
r(R + r)
⇒ OH =
; O'H =
R−r
R−r

H

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

12


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong

Sách giáo khoa Toán 9
Bài 3.4: ( Bài toán đảo) Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm (O) đi qua
A và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm (O’) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C.
Chứng minh rằng:
a) (O) và (O’) tiếp xúc với nhau.
b) Trung tuyến AI của ∆ABC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A.
Giải :
a) Vì các ∆AOB và ∆AO ' C là các tam giác cân.
B
·
· ' AC = O
· ' CA
I
Nên ·AOB = OBA
và O
C
·
· ' CA + ·ACB = 900
Ta có OBA
+ ·ABC = 900 & O
· ' AC + BAO
·
⇒O
= 900

O'

O
· ' AC + CAB
·

·
Do đó O
+ BAO
= 1800
⇒ ba điểm O, A, O’ thẳng hàng và OO’ = OA + O’A.
Vậy (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A. (đpc/m)
b) Vì AI là trung tuyến của ∆ABC vuông tại A, nên IA = IC ⇒ ∆IO ' A = ∆IO ' C (c.c.c )
·
·
⇒ IAO
' = ICO
' = 900 ⇒ AI ⊥ OO ' tại A.
Vậy AI là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) tại A.(đpc/m)
+) Nhận xét : Nếu hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau, thì ta có bài toán sau:
Bài 3.5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC, B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ') , đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) tại các
điểm D và E. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A.
Gọi I là trung điểm của BC.
B
I
Chứng minh rằng:
C
0
·
a) BAC
= 90 .
c
b) AD.AB = AE.AC
c) Tứ giác BCED nội tiếp.
O

D
E
O'
A
d) IA ⊥ OO ' .
Chứng minh:
a) Theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
A

1

1·
- Xét (O) có : ·ABC = BOD
( t/c)

2
1·
' E ( t/c)
- Xét (O’) có : ·ACB = CO
2
·
· ' E = 1800 ( vì OB // O’C)
Mà BOD
+ CO
·
Nên ·ABC + ·ACB = 900 ⇒ BAC
= 900 .(đpc/m)
b) Ta có: ·ABC = ·ACO ' ( phụ với ·ACB )
·ACO ' = CEO
·

' ( vì ∆EO ' C cân tạo O’)
·
Mà CEO
' = ·AED (đối đỉnh) ⇒ ·AED = ·ABC .
Xét ∆ABC và ∆AED có:
·

CAB
chung
AE AD
=
⇒ AE. AC = AB. AD (đpc/m).
 ⇒ ∆ABC ∆AED (g.g) ⇒
·AED = ·ABC (cmt ) 
AB
AC

·
·
·
c) Vì AED = ABC (cmt) ⇒ ·ABC + DEC
= 1800
·
Mà ·ABC & DEC
là hai góc đối nhau.

Vậy tứ giác BCED nội tiếp (đpc/m)
d) Vì AI là trung tuyến của ∆ABC vuông tại A, nên IA = IB = IC (đ/l)
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

13


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
⇒ ∆ABI cân tại I
·
(t/c)
⇒ ·ABI = BAI
·
⇒ ·AED + IAC
= 900 ⇒ IA ⊥ OO ' (đpc/m).

+) Nhận xét : Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau, thì ta có bài toán sau:
Bài 3.6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M,N. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC, B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ') , đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và
(O’) tại các điểm D và E. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A.
Chứng minh rằng:
B
·
a) BAC
= 900 .
C
M
b) Tứ giác BCED nội tiếp.
A
c) AD.AB = AE.AC
E
D O'
O

Chứng minh:
a) Chứng minh tương tự câu a bài toán 3.
N
·
·
·
b) Ta có: DBC
)
= ECO
' ( phụ với ECB
·
·
ECO
' = CEO
' ( vì ∆EO ' C cân tạo O’)
·
·
và cùng nhìn xuống cạnh DC dưới một góc không đổi.
⇒ DEC
= DBC
Vậy tứ giác BCED nội tiếp (đpc/m).
c) Xét ∆ABC và ∆AED có:
·
·
CAB
= EAD
·ABC = ·AED
⇒



 ⇒ ∆ABC


∆AED (g.g)

AE AD
=
⇒ AE. AC = AB. AD (đpc/m).
AB AC

Bài toán 4(Bài tập 95/105( SGK hình học 9 tập 2)
Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của ∆ABC cắt nhau tại H (C ≠ 900) và cắt
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE
;
b) ∆BHD cân
;
c) CD = CH
A

Cho ∆ABC nội tiếp (O)
BN ⊥ AC tại N; AM ⊥ BC tại M
GT AM ∩ ( O ) tại D; BN ∩ ( O ) tại E;
AM ∩ BN tại H

E
N
H

KL

C/mr:
a) CD = CE
b) ∆BHD cân
c) CD = CH

B

M

C

D

Chứng minh:
- Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AD với BC và BE với AC.
·
·
·
a) Ta có DAC
+ ·AHN = 900 và CBE
+ BHM
= 900
·
·
·
⇒ DAC
+ ·AHN = CBE
+ BHM
(= 900 )

·
Mà ·AHN = BHM
(đđ)

» = DC
» ( các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)
·
·
⇒ EC
⇒ DAC
= CBE
⇒ CD = CE ( liên hệ giữa cung và dây) (đpc/m).

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

14


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
» = DC
» (cmt) ⇒ EBC
·
·
b)Ta có EC
( hệ quả góc nội tiếp) ⇒ ∆BHD cân ( Vì có BM
= CBD
vừa là đường cao vừa là đường phân giác) (đpc/m).
c) Vì ∆BHD cân tại B ⇒ BC là đường trung trực của HD.
⇒ CD = CH (t/c) (đpc/m).

Khai thác và phát triển bài toán :
Bài 4.1: Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABMN; CMHN nội tiếp.
b) CN.CA = CM.CB.
Chứng minh:
a) - Xét tứ giác ABMN có: ·ANB + ·AMB = 900 ( gt ) và cùng nhìn xuống cạnh AB.
Vậy tứ giác ABMN nội tiếp.
- Xét tứ giác CMHN có:
·
·
·
·
CNH
= CMH
= 900 ( gt ) ⇒ CNH
+ CMH
= 1800
·
·
Mà CNH
là hai góc đối nhau của tứ giác.
& CMH

Vậy tứ giác CMHN nội tiếp.
b) Xét ∆CAM và ∆CBN có:
·ACB chung

 ⇒ ∆CAM ∆CBN (g.g)
·AMC = BNC
·

= 900 ( gt ) 
CA CM
⇒
=
⇒ CA.CN = CB.CM (đpc/m).
CB CN

Bài 4.2: Các đường cao AM và BN cắt (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng:
a) MN // DE.
A
b) OC ⊥ DE.
E
Chứng minh:
·
·
a) Vì tứ giác ABMN nội tiếp (cmt) ⇒ BAM
N
= BNM
F
Q
¼ )
(cùng chắn BM
H
»
·
·
Mà BAD
(cùng
chắn
)

= BED
BD
·
·
⇒ BNM = BED mà hai góc ở vị trí đồng vị
B
M
C
⇒ DE // MN (đpc/m).
D
c) Kẻ tiếp tuyến Cx với (O) tại C
1 »
·
·
= BCx
= sđ BC
Ta có: BAC
(hệ quả)

2
·
·
Mà BAC = CMN (vì tứ giác ABMN nội tiếp)
·
·
và hai góc ở vị trí so le trong.
⇒ BCx
= CMN
⇒ MN // Cx ⇒ DE // Cx
Mặt khác Cx ⊥ OC tại C (đ/l) ⇒ OC ⊥ DE (đpc/m).

Bài 4.3: Kẻ đường cao CQ cắt (O) tại F.Chứng minh rằng:
a) H là tâm đường tròn nội tiếp ∆QMN
b) H là tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF
Chứng minh:
a) - Xét tứ giác AQHN có:
·ANH = ·AQH = 900 ( gt ) ⇒ ·ANH + ·AQH = 1800
Mà ·ANH & ·AQH là hai góc đối nhau của tứ giác.

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

15


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
» )
·
·
Vậy tứ giác AQHN nội tiếp ⇒ BAD
(cùng chắn QH
= QNH
·
·
¼ )
Vì tứ giác CMHN nội tiếp (cmt) ⇒ BCQ
(cùng chắn MH
= MNH
·
·

Mặt khác BAD
(phụ với ·ABC )
= BCQ
·
·
·
hay NH là tia phân giác của QNM
.
⇒ MNH
= QNH

Chứng minh tương tự:
·
- QH là tia phân giác của NQM
·
- MN là tia phân giác của QMN
⇒ H là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆QMN (đpc/m).
·
» )
c) Ta có: B· EF = BCF
(cùng chắn BF
» )
· ED = ·ABD (cùng chắn BD
B
·
·
Mà BAD
(phụ với ·ABC )
= BCF
· EF = BED

·
· EF .
hay EH là tia phân giác của D
⇒B
Chứng minh tương tự:
·
- FH là tia phân giác của DFE
·
- DH là tia phân giác của EDF
⇒ H là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆DEF (đpc/m).
A
Nhận xét: Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AQHN và đường tròn
ngoại tiếp tứ giác CMHN cắt nhau tại 2 điểm H và N. Nếu gọi
I, K lần lượt là trung điểm của AH, CH ⇒ IK là đoạn nối
I
N
F
tâm. Ta có bài toán sau:
Q
H
O
1)
Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường
tròn (O), các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H (
K
( M ∈ BC; N ∈ AC; Q ∈ AB ) và lần lượt cắt đường tròn ngoại B
M
tiếp ∆ABC tại D, E, F. Gọi I là trung điểm của HC. Chứng
D
minh rằng: IK ⊥ NH.

Nhận xét: Gọi P là trung điểm của BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Chứng
A
minh rằng:
a)
Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn.
E

b)

OP =

Chứng minh:
a) –Xét tứ giác BHCT có:

1
AH
2

F

- Xét ∆TAH có:

C

N
Q

B

 Tứ giác BHCT là hình bình hành.

⇒
BC ∩ HT = { P} ( gt ) 
⇒ BH // CT (t/c)
Mà BH ⊥ AC tại N (gt) ⇒ CT ⊥ AC tại C hay ·ACT = 900
Tương tự ·ABT = 900 ⇒ Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn (đpc/m).
b) Xét (O) có ·ACT = 900 (cmt) ⇒ AT là đường kính của (O).

HP = PT ( gt )
BP = PC ( gt )

E

H

M

O

C

P

D

T

HP = HT ( gt ) 
 ⇒ OP là đường trung bình của ∆TAH
AO = OT (cmt ) 

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

16


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
 OP / / AH

⇒
1
(t/c)
 OP = 2 AH

Bài 4.4: Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC , Các đường cao AM, BN,
CQ của ∆ABC cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: Nếu AM + BN + CQ = 9r thì ∆ABC
đều.
Chứng minh:
1
1
2
2
( AB + BC + AC ) .r

1
2

1
( a + b + c ) .r
2

( AB + BC + AC ) .r

Ta có : S ABC = a.ha = b.hb = c.hc =
⇒ CQ =

AB

; BN =

;

AM =

( AB + BC + AC ) .r

AC
BC
1
1
1


⇒ AM + BN + CQ = ( AB + BC + AC ) 
+
+
÷.r (1)
 AB BC AC 
1 1 1
Áp dụng bất đẳng thức: ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9 . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b = c.
a b c

Chứng minh:Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương a,b,c. Ta có:
a + b + c ≥ 3 3 abc . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b = c. (2)
1 1 1
1 1 1
+ + ≥ 3 3 . . . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b = c. (3)
a b c
a b c
1 1 1
Từ (2) và (3) ⇒ ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9 . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b = c. (4)
a b c
Từ (1) và (4) ⇒ AM + BN + CQ ≥ 9r . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ AB = BC = AC.
⇒ ∆ABC đều (đpc/m).

 Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2011 – 2012)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD
và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng BD cắt đường tròn
(O)
tại điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh:
1) BEDC là tứ giác nội tiếp.
2) HQ. HC = HP. HB
3) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ.
4) Đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Bài 2 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2012 – 2013)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn O (AB < AC). Hai tiếp
tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. E là trung
điểm đoạn AD. EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác OEBM nội tiếp.
;

2) MB2 = MA.MD.
·
·
3) BFC
.
;
4) BF // AM.
= MOC
Bài 3 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2013 – 2014)
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn.
M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax,
by lần lượt tại P, Q.
1) Chứng minh rằng : tứ giác APMQ nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ.
3) Chứng minh rằng: AP. BQ = AO2.
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

17


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
4) Khi điểm M di động trên đường tròn (O), tìm các vị trí của điểm M sao
cho diện tích tứ giác APQB nhỏ nhất.
Bài 4 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2014 – 2015)
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC ( M
không trùng với H, C). Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AC lần lượt là P
và Q.
1) Chứng minh rằng APMQ là tứ giác nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tứ giác APMQ.

2) Chứng minh rằng : BP. BA = BH. BM.
3) Chứng minh rằng : OH vuông góc PQ.
4) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên HC thì MP + MQ không đổi.
Bài 5 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2015 – 2016)
Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC và A là một điểm bất kỳ thuộc đường
tròn (A khác B và C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Đường tròn đường kính AH cắt
các dây cung AB, AC lần lượt tại các điểm M và N.
5)
Chứng minh rằng: tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
6)
Chứng minh rằng: AM. AB = AN. AC
7)
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CH và BH.
Chứng minh MQ và NP là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
8)
Khi điểm A di chuyển trên đường tròn (O; R), tính diện tích lớn nhất
của tứ giác MNPQ theo R.
c) Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp
Để gặt hái được những thành tích cao trong học tập. Học sinh là nhân vật trung
tâm trong việc bồi dưỡng đào tạo, đây là nhân tố giữ vai trò quyết định trong sự thành
công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy. Vì chính các em mới là
người học, là người đi thi và là người đem lại những thành tích đó.
Người giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn
toán trong bậc học của mình, phải là người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường
xuyên những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả. Nói tóm lại là kiến thức của
thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là người giỏi toán. Cần phải lên được kế hoạch
giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực. Cập nhật thường xuyên những kiến thức mới mà
các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt là phải kích thích được các em say sưa học
tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em để công việc học
tập của các em đạt được hiệu quả cao.

Trong mỗi chuyên đề toán học giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến
thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp
giải, kịp thời lưu ý cho các em những sai lầm khi giải, dạy theo từng dạng, đi sâu mỗi
dạng và tìm ra hướng tư duy, hướng giải và phát triển bài toán. Việc phân dạng, chọn
các ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú
nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu. Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh
phân biệt dạng và tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ
nắm vững vấn đề, phát hiện ra cách giải và tìm ra phương pháp phù hợp nhất, khoa
học nhất.
d) Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
Để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải
có một sự nỗ lực rất lớn. Một sự quyết tâm học tập hết khả năng của bản thân mình.
Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

18


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
những giáo viên là rất lớn. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa
tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các emm. Nhận thức rõ điều
đó, mỗi giáo viên cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động
viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có một sự quyết tâm lớn trong công
việc học tập của mình. Đồng thời giáo viên phải khéo léo lồng vào các tiết dạy nhằm thu
hút và phát huy sự sáng tạo cho học sinh. Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết
sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen dần.
Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những kiến thức rất cơ bản trong sách
giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư duy sáng tạo, biết tìm cách giải dạng
toán mới, tập trung “Sáng tạo” ra các vấn đề mới.

e) Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu.
Qua nhiều năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến của mình tôi thấy
khả năng vận dụng các bài toán hình học 9 của học sinh đã có nhiều tiến bộ, thể hiện ở
chỗ đa số học sinh biết cách giải toán linh hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm tòi
kiến thức mới góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường.
Với đối tượng là học sinh khối 9 trường trung học cơ sở Buôn Trấp, khi áp
dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh lớp thực nghiệm cho thấy: Phương pháp tư
duy, kỹ năng giải bài tập và năng lực sáng tạo của học sinh tốt hơn. Trong các bài
kiểm tra đạt được những kết quả nhất định như sau:
+/ Năm học 2009 - 2010:
Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

9A5

42

40

95,2%

2

4,8%

9A6

40

35

87,5%

5

12,5%

+/ Năm học 2010 - 2011:
Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

9A1

40

32

80%

8

20%

9A3

40

35

87,5%

5

12,5%

9A6

40

34

85%

6

15%

+/ Năm học 2011 - 2012:
Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

9A1

40

30

75%

10

25%

9A2

40

32

80%

8

20%

+/ Năm học 2012 - 2013:
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

19


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

9A1

42

28

66,7%

14

33,3%

9A2

40

29

72,5%

11

27,5%

+/ Năm học 2013 - 2014:
Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát

triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

9A1

42

25

59,5%

17

40,5%

9A2

40

26

65%

14

35%

+/ Năm học 2014 - 2015:
Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

9A1

40

24

60%

19

47,5%

9A2

40

26

65%

15

37,5%

- Giá trị khoa học: Đề tài giúp giáo viên và học sinh biết cách khai thác và phát
triển một số bài toán Hình học 9 một cách đơn giản, dễ hiểu, dễ trình bày.
I.4. Kết quả
1/ Nhận xét:
Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách giáo
khoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là học sinh trung bình cần phải làm tốt
những bài tập này. Sau đó giáo viên phải giúp cho số học sinh đó hiểu được một số bài
toán phát triển từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn giáo viên cần giúp cho học
sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế
đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số học sinh làm được điều
này không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả học sinh và giáo
viên mặc dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ
không tạo ra những dạng mà thầy, cô đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất

hạn chế nên giáo viên cần phải động viên giúp các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó
không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn mà học sinh cần có sự nhạy cảm của
toán học. Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong
quá trình dạy học sinh giỏi. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn một
bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu
tố đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy
cho học sinh tốt hơn.
.
2/ Kết quả sau khi áp dụng :
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

20


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

Trên đây là đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài
tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9” mà chúng tôi đã áp dụng giảng dạy
trên thực tế hiện nay ở trường THCS Buôn trấp, tôi thấy chất lượng kiểm tra đã
được nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tượng học sinh trung bình, cũng như trong
quá trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp được nâng lên rõ rệt. Tôi cùng
các đồng nghiệp đã thu được kết quả như sau:
+) Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập và
yêu thích bộ môn toán Hình học hơn.
+ Học sinh tránh được những sai sót cơ bản và có kĩ năng vận dụng thành thạo,
phát huy được tính tích cực và sáng tạo thông qua các bài toán.
Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ
thống, phân loại bài tập thành từng dạng, giáo viên xây dựng kiến thức cũ đến kiến thức
mới, từ củ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức

của học sinh.
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
III.1.Kết luận
Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy nhiên
khi làm bài tập Hình học, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau thì sẽ
hiểu sâu sắc bài tập Hình học và hơn nữa tìm được cái đẹp của môn Toán. Cái nhìn ở các
phương diện khác nhau chính là cách thay đổi bài toán có thể trở thành bài dễ hơn nhưng
cũng có thể thành bài toán khó hơn. Khi làm được như vậy thì ý thức tự học của học sinh
sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở nên dễ hơn, và quan trọng nhất là học sinh có được
sự tự tin khi làm bài tập.
Để làm được như vậy thì giáo viên phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập từ
dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ
bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy.
Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài toán, thay
đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách nêu nên cách dạy
một số bài toán Hình học cơ bản trong sách giáo khoa, thay đổi, phát triển bài toán đó
thành những bài toán khác nhau. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp
bài toán lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng
nhu cầu của cuộc sống hiện đại.
- Mặc dù bản thân tôi đã có cố gắng nhiều trong quá trình viết nhưng vì thời gian
nghiên cứu chưa nhiều, năng lực có hạn, quá trình công tác và kinh nghiệm còn ít nên
không thể tránh được những thiếu sót. Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quý báu
của quý thầy cô và đồng nghiệp có tâm huyết để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn và có
thể triển khai áp dụng vào thực tiễn.
III.2. Kiến nghị
Căn cứ vào nhiệm vụ đã đề cập và kết quả nghiên cứu sau nhiều năm của đề tài, tôi
mạnh dạn đề xuất một số ý kiến chủ quan của bản thân về phương pháp “Hướng dẫn

học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa
Toán 9” nói riêng và của bộ môn nói chung nhằm góp phần giúp học sinh nắm được

cách giải, từ đó khiến các em yêu thích bộ môn hơn và góp phần nâng cao chất lượng
của bộ môn.
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

21


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
*/ Đối với lãnh đạo Phòng giáo dục:
- Tăng cường tổ chức các chuyên đề về phương pháp dạy của từng dạng toán phù
hợp với các đối tượng học sinh của từng trường. Tổ chức nhiều buổi chuyên đề về từng
mảng kiến thức khó để giáo viên có thể chia sẻ, học tập lẫn nhau và không ngừng nâng
cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ. Nên phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay cấp
huyện, cấp tỉnh thành các chuyên đề để giáo viên chúng tôi được học tập, góp phần nâng
cao chất lượng giảng dạy.
*/ Đối với lãnh đạo các trường:
- Chỉ đạo đổi mới cách sinh hoạt của tổ bộ môn theo hướng tích cực, chú trọng
hơn đến phương pháp nâng cao chất lượng học tập của học sinh chứ không nên mang
nặng tính hình thức.
- Nếu có thể cho áp dụng sáng kiến kinh nghiện trong toàn khối 9 để kiểm tra tính
thực tế.
- Tạo điều kiện hơn nữa về thời gian cho giáo viên được nâng cao trình độ chuyên
môn, nghiệp vụ.
- Kết hợp chặt chẽ với phụ huynh học sinh tạo điều kiện học tập tối đa cho học
sinh, nhất là học sinh khối 9...
*/ Đối với giáo viên:
- Luôn tìm tòi, sáng tạo trong dạy học, tận dụng mọi cơ hội tiếp xúc với học sinh,
lắng nghe học sinh nói để tìm ra những phương pháp dạy mới phù hợp với đối tượng học
sinh từ đó nâng cao chất lượng đại trà của bộ môn.

- Đổi mới cách ra đề bài tập, giải bài tập, chú trọng vào phương pháp lấy học sinh
làm trung tâm, gây hứng thú học tập cho học sinh học môn Toán. Khuyến khích các em
nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó tìm ra cách giải mới, hay chứ không
nên bắt buộc các em cứ phải giải theo cách của mình.
- Tự học để nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ, sử dụng tốt công nghệ
thông tin phục vụ cho các hoạt dộng dạy học để tạo hứng thú học tập cho học sinh.
- Tận tâm hơn với nghề dạy học, tôn trọng những kết quả đạt được của học sinh
dù là nhỏ nhất…
Xin chân thành cảm ơn!
Buôn Trấp, Ngày 01 tháng 01 năm 2016
Người viết

Nguyễn Anh Tuấn

Nguyễn Thị Cẩm Linh

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

22


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
( Ký tên, đóng dấu )

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

23


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9
2) Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán trung học cơ sở.
3) Sách Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Tác
giả: Trần Thị Vân Anh). Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
4) Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 ( Nhóm tác giả: Nguyễn Đức Tân, Nguyễn Anh
Hoàng, Nguyễn Đoàn Vũ, Phan Bá Trình, Nguyễn Văn Danh, Đỗ Quang Thanh…).
Nhã xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
5) Sách 50 bộ đề toán thi vào lớp 10 chuyên chọn (Tác giả: Minh Tân )Nhà xuất bản
Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.
6) Sách Bài tập thực hành toán 9, tập hai ( Tác giả: Quách Tú Chương, Nguyễn Đức
Tấn, Nguyễn Anh Hoàng). Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
7) Các tài liệu tham khảo trên Internet,...

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

24