Các kiến thức tổng hợp ôn thi vào lớp 10

Ti liu ụn thi vo lp 10
PHN I: I S
A. KIN THC C BN V CC DNG TON THNG GP
CHUYấN I: BIN I BIU THC CHA CN
I. Kin thc c bn.
1. Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ.
a, Tính chất về phân số (phân thức):

A.M A

( M 0, B 0)
B.M B

b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
+)

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

+)

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

+)

A2 - B2 = (A - B)(A + B)

+)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

+)

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

+)

A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2)

+)

A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2)

2. Các kiến thức về căn bậc hai
1) Nếu a 0, x 0,

a = x x2 = a

A có nghĩa thì A 0

2) Để
3)

A2 A

4)

AB A. B ( với A 0 và B 0 )
A
A
( với A 0 và B > 0 )

B
B

5)
6)

A 2 B A B (với B 0 )

7) A B A2 B ( với A 0 và B 0 )
A B A2 B ( với A < 0 và B 0 )
9)
10)
11)
12)

A

B
A

AB
( với AB 0 và B 0 )
B


A B
( với B > 0 )
B

B

C
C ( A B)

( Với A 0 và A B2 )
2
A B
AB
C
C( A
B)

( với A 0, B 0 và A B )
A B
A B

>> Truy cp trang hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht!

1


Ti liu ụn thi vo lp 10
II. Cỏc dng toỏn thng gp.
1. Dng toỏn rỳt gn biu thc khụng cha n
*) Phng phỏp: S dng cỏc cụng thc bin i cỏc biu thc cha du
cn v cỏc hng ng thc ó hc lp 8.
2. Dng toỏn tng hp.
( Rỳt gn biu thc cha bin v cỏc bi toỏn liờn quan )
*) Phng phỏp:
B-ớc 1: Tìm ĐKXĐ ca biu thc (Nếu bài toán ch-a cho)(Phân tích mu thành
nhân t, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia

khác 0)
B-ớc 2:Phân tích t v mu thnh nhân t (ri rút gn nu đ-ợc).
B-ớc 3:Quy ng, gm các bc:
+ Chn mu chung : là tích củc nhân t chung và riêng, mi nhân t ly s m
ln nht.
+ Tìm nhân t ph: ly mu chung chia cho tng mu c nhân t ph
tng ng.
+ Nhân nhân t ph vi t Gi nguyên mu chung.
B-ớc 4: B ngoặc: bng cách nhân a thc hoc dùng hằng ng thc.
B-ớc 5: Thu gn: là cng tr các hng t ng dng.
B-ớc 6: Phân tích t thành nhân t (mu gi nguyên).
B-ớc 7:Rút gn.
L-u ý: Bài toán rút gọn tổng hợp th-ờng có các bài toán phụ: tính giá trị biểu
thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ
hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá
trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức...Do vậy ta phải áp dụng các ph-ơng pháp
giải t-ơng ứng, thích hợp cho từng loại toán.
* Cỏc dng toỏn ph:
+) Dng 1: Tỡm giỏ tr ca bin biu thc t giỏ tr cho trc.
*) Phng phỏp: Cho biu thc t giỏ tr cho trc ri gii phng trỡnh
tỡm giỏ tr ca n.
+) Dng 2: Cho giỏ tr ca bin. Tỡm giỏ tr ca biu thc.
*) Phng phỏp: Thay giỏ tr ca bin vo biu thc.
+) Dng 3: Tỡm giỏ tr ca bin biu thc t giỏ tr nguyờn.

>> Truy cp trang hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht!

2

Ti liu ụn thi vo lp 10
*) Phng phỏp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là -ớc của phần d- (một số),
chú ý điều kiện xác định.
+) Dng 4: Tỡm giỏ tr ca bin biu thc nh hn ( ln hn) giỏ tr
cho trc.
*) Phng phỏp: Chuyển vế và thu gọn đ-a về dạng

M
M
< 0 (hoặc
> 0) trong
N
N

đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết đ-ợc M hoặc N d-ơng hay âm, từ đó dễ
dàng tìm đ-ợc điều kiện của biến.
+) Dng 5: Tỡm GTNN GTLN ca biu thc.
*) Phng phỏp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức.
III. Bi tp tng hp.
Bài 1: Cho biểu thức

1
3
1
A

:
x 3 x 3
x 3

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì A >

1
3

c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất.
1
1
3

Bài 2. Cho biểu thức P
:
x 1 x 1
1 x

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P =

5
4

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M

x 12 1
.
x 1 P

2 x
x

3x 3 2 x 2


1
Bài 3. Cho biểu thức: D

x

9
x

3
x

3
x

3




a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức
b) Tìm x để D < -

1
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D

>> Truy cp trang hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht!

3


Ti liu ụn thi vo lp 10
a2 a
a a

Bài 4. Cho biểu thức: P
1 :
1
a 2
a 1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a Z để P nhận giá trị nguyên.
Bài 5. Cho biểu thức B
2



1



2

x 3 1

1



x 3 1

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
x2 x
2x x 2 x 1
Bài 6. Cho biểu thức P


x x 1
x
x 1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức Q

2 x
nhận giá trị nguyên.
P

1
x 1
1
Bài 7. Cho biểu thức: P

2
:
x x 1 x 1 x



a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P



b) Tìm x để P > 0

1 a 1
a 2
1


Bài 8. Cho biểu thức P

:
a a 2
a 1
a 1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 9. (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012)
Cho A

x

10 x
5


, vi x 0 v x 25.
x 5 x 25
x 5

1) Rỳt gn biu thc A.
2) Tỡm giỏ tr ca A khi x = 9.
3) Tỡm x A <

1
.
3

Bài 10. Cho biểu thức: P

x
3
6 x 4


x 1
x 1
x 1

>> Truy cp trang hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht!

4

Ti liu ụn thi vo lp 10
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
1
b) Tìm x để P < .
2

x
1
1
Bài 11. Cho biểu thức A

:
x 1 x x x 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
1 1
1


1 với a > 0 và a 1.
Bài 12. Cho biểu thức: P

1 a 1 a a


a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P >

Bài 13. Cho biu thc : A =

1
.
2

x
2x x
vi ( x > 0 v x 1)

x 1 x x

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức khi x 3 2 2
1

x

x

:
Bài 14. Cho biểu thức P =
x 1 x x
x

a) Rút gọn P
b) Tính GT của P khi x= 4
c) Tìm GT của x để P =

13

3

(Đề thi H Ni nm 2008-2009)
Bài 15. Cho biu thc : A =

x 1 2 x x x

x 1
x 1

1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
2) Với giá trị nào của x thì A < -1
Bài 16. Cho biu thc : A = (1

x x
x x
)(1
)
x 1
x 1

(Vi x 0; x 1 )

a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 1
>> Truy cp trang hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht!

5

Tài liệu ơn thi vào lớp 10
1

Bµi 17. Cho biểu thức : B =

2 x 2



1

x
2 x  2 1 x


a) T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc B.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa B víi x = 3
c) TÝnh gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A 
Bµi 18. Cho biểu thức :

1
2

x 1

P=

x 2



2 x
x 2



25 x
4 x

a) T×m TX§ råi rót gän P
b) T×m x ®Ĩ P = 2
Bµi 19. Cho biểu thức : Q = (

1
1
a 1
a 2

):(

)
a 1
a
a 2
a 1

a) T×m TX§ råi rót gän Q.
b) T×m a ®Ĩ Q d-¬ng.
c) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc khi a = 9 - 4 5
 a

1  a  a a  a 


Bµi 20. Cho biểu thức : M = 




 2

2 a  a  1

a 1 

a) T×m TX§ råi rót gän M
b) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ M = - 4.
CHUN ĐỀ II: HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a1 x  b1y  c1
(1)

a2 x  b2 y  c2

1. Dạng :

Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng ...
2. Giải và biện luận hệ phương trình : Quy trình giải và biện luận
Bước 1: Tính các đònh thức :
+) D 

a1

b1

a2

b2

 a1b2  a 2 b1

(gọi là đònh thức của hệ)

+) Dx 

c1
c2

b1
 c1b2  c2 b1
b2

(gọi là đònh thức của x)

+) D y 

a1

c1

a2

c2

(gọi là đònh thức của y)

 a1c2  a 2 c1

Bước 2: Biện luận

>> Truy cập trang để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Tài liệu ơn thi vào lớp 10

 x 
+) Nếu D  0 thì hệ có nghiệm duy nhất 
y 


Dx
D
Dy
D

+) Nếu D = 0 và Dx  0 hoặc D y  0 thì hệ vô nghiệm
+) Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm
*) Ý nghóa hình học: Giả sử (d1) là đường thẳng a1x + b1y = c1
(d2) là đường thẳng a2x + b2y = c2

Khi đó:
1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất  (d1) và (d2) cắt nhau
2. Hệ (I) vô nghiệm
 (d1) và (d2) song song với nhau
3. Hệ (I) có vô số nghiệm
 (d1) và (d2) trùng nhau
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai
ẩn:
Ví dụ : Giải các hệ:
x  2 y  5

a) 

2
2
 x  2 y  2 xy  5

x  2y  1

b) 

2
2
x  14y  1  4xy

Cách giải: Giải bằng phép thế
2. Hệ phương trình đối xứng :
2.1. Hệ phương trình đối xứng loại I:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho

nhau thì hệ phương trình không thay đổi.
b.Cách giải:
Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với S 2  4P ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn S 2  4P .
Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :
X 2  SX  P  0 ( đònh lý Viét đảo ).
Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0)
cũng là nghiệm của hệ
2.2. Hệ phương trình đối xứng loại II:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho
nhau thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ.
b. Cách giải:
 Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích
số.
 Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra
nghiệm của hệ .

>> Truy cập trang để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
III. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU
KIỆN CHO TRƢỚC

Phƣơng pháp giải:
 Giải hệ phương trình theo tham số
 Viết x, y của hệ về dạng: n +

k
với n, k nguyên
f (m)

 Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
mx  2 y  m  1

2 x  my  2m  1

HD Giải:
2mx  4 y  2m  2

2
2
2mx  m y  2m  m
(m 2  4) y  2m 2  3m  2  (m  2)(2m  1)

2 x  my  2m  1
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4  0 hay m   2
Vậy với m   2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(m  2)(2m  1) 2m  1
3


 2
2
 y 
m2
m2

m 4

x  m  1  1  3

m2
m2
Để x, y là những số nguyên thì m + 2  Ư(3) = 1;1;3;3
Vậy: m + 2 =  1,  3 => m = -1; -3; 1; -5

mx  2 y  m  1


2 x  my  2m  1

Bài Tập:
Bài 1:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
(m  1) x  2 y  m  1
 2
2
m x  y  m  2m

Bài 2:
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
2mx  (m  1) y  m  n

(m  2) x  3ny  2m  3

HD:
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n

b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là
x = 1 và x = -2
HD:
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3
chia hết cho 4x – 1 và x + 3

>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
HD: f(x) = 2ax + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết
2

b
a

cho ax + b thì f(- ) = 0
a b
 1
  3 0
f( ) 0
Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
 8 4
 4
18a  3b  3  0
 f (3)  0

d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng
f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD:
 f (2)  6
4a  2b  2



 f (1)  0
a  b  4

a  1

b  3

Bài 3:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
HD:
Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương
2 a  b  1

a  b  2

trình 

a  1

b  3

Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm

a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2)
b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là
3x  2 y  4
 x  0,5
. Vậy M(0,2 ; 1,25)

x  2 y  3
 y  1,25

nghiệm của hệ phương trình: 

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức
là: 2.0,2- 1,25 = m  m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ;
x - y = 2m ;
mx – (m – 1)y = 2m – 1
2
b) mx + y = m + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ;
(2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức
cho trước
mx  4 y  9
 x  my  8

Cho hệ phương trình: 

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +

38
=3
m 4
2

HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m   2
- Giải hệ phương trình theo m

>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


Tài liệu ơn thi vào lớp 10
mx  4 y  9
mx  4 y  9



2
 x  my  8
mx  m y  8m

- Thay x =

(m 2  4) y  8m  9


 x  my  8

8m  9

 y  m 2  4

 x  9m  32

m2  4

9m  32
8m  9
;y= 2
vào hệ thức đã cho ta được:
2
m 4
m 4
9m  32
8m  9
38
2. 2
+ 2
+ 2
=3
m 4
m 4 m 4

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
2
 3m – 26m + 23 = 0
 m1 = 1 ; m2 =

Vậy m = 1 ; m =

23
(cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
3

23
3

IV. Các hệ phương trình khác:
Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
1. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình :
 xy  x  y  3
1)  2 2
 x  y  x  y  xy  6
 x 2  y2  x  y  5
3)  3 2
2
3

 x  x y  xy  y  6

 x 2  y 2  x  y  12

2) 
 x( x  1) y ( y  1)  36
x2  1  y(y  x)  4y
4)  2

(x  1)(y  x  2)  y

2. Sử dụng phép cộng và phép thế:
Ví dụ: Giải hệ phương trình :

x2  y2  10x  0

 2
2

x  y  4x  2y  20  0

3. Biến đổi về tích số:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau:
x 2  x  y 2  y
1)  2 2


 x  y  3( x  y )
1
1

x  x  y  y
3) 
2 y  x 3  1



x 3  7 x  y 3  7 y
2)  2 2


x  y  x  y  2

V. Bà i tập tổng hợp.
Bài 1:
mx  4 y  10  m
(m là tham số)
 x  my  4

Cho hệ phương trình 

a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị ngun của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho
x> 0, y > 0

>> Truy cập trang để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên
dương
Bài 2:

(m  1) x  my  3m  1
2 x  y  m  5

Cho hệ phương trình : 

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một
điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x 2 + y2 đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 3:
3x  2 y  4
2 x  y  m

Cho hệ phương trình 

a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4:
mx  4 y  9
 x  my  8

Cho hệ phương trình: 

a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5:

 x  my  9
mx  3 y  4

Cho hệ phương trình: 
a)
b)
c)
d)

Giải hệ phương trình khi m = 3
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
x - 3y =

28
-3
m 3
2

Bài 6:
mx  y  2
3x  my  5

Cho hệ phương trình: 

a) Giải hệ phương trình khi m  2 .
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa
m2
mãn hệ thức x  y  1  2

.
m 3

Bài 7:
3x  my  9
mx  2 y  16

Cho hệ phương trình 

a) Giải hệ phương trình khi m = 5
>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11


b)
c)
d)
e)

Tài liệu ôn thi vào lớp 10
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một
điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7

CHUYÊN ĐỀ III: PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Các kiến thức cần nhớ.
1. Giải và biện luận pt.

Phương trình ax2  bx  c  0(2)
- a  0 : phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0.
- a  0 : Đặt   b2  4ac
+   0 : pt(2) vô nghiệm.
+   0 : pt(2) có nghiệm kép x  

b
.
2a

+   0 : pt(2) có 2 nghiệm phân biệt x 

b  
b  
; x
2a
2a

Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương
trình.
2. Các trƣờng hợp về số nghiệm và dấu các của phƣơng trình.
b
a

Cho phương trình ax2  bx  c  0(2) . Đặt S  x1  x2   ; P  x1.x2 

c
trong đó
a

x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình (2)
 a  0

 b  0
a/ Pt(2) vô nghiệm    c  0

 a  0

    0

 a  0

b0
b/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm   
a  0

   0

a0
c/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt  
2

  b  4ac  0

a  0
d/Pt(2) có VSN   b  0
c  0


e/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu  x1.x2  0  P  0

  0
g/ Pt(2) có 2 nghiệm dương  0  x1  x2  P  0
S  0

  0
h/ Pt(2) có 2 nghiệm âm  x1  x2  0  P  0
S  0


>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
 a  0
 a  0; x>0

 a  0


   0

x

0

x

c

2
i/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương   1
  x    0    S  0
 x x 0


b
2
 1
 P  0

 x1  0  x 2  0
 P0

  S  0
 a  0
 a  0; x<0

 a  0


   0

x

0

x

c

2
  x    0    S  0
k/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm   1
 x x 0


b

2
 1
 P  0

 P0

 x1  0  x 2  0
  S  0
 a  0
a  0

 a  0; x>0

c
 x    0   0


l/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương   x1  0  x2   
b

S  0
x  x  0


P

0

1
2

 P  0
  S  0

a  0
b
x 
m/Pt(2) có nghiệm kép  
2a
  0

 a  0
a  0

 a  0; x>0

c


x    0   0

n/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm   x1  0  x2   
b



S  0
x  x  0
 P  0
2
 1
 P  0
  S  0


3. Hệ thức vi – ét và ứng dụng.
 Hai số x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax2  bx  c  0(2) khi và chỉ
khi chúng thỏa các hệ thức: x1  x2  

b
c
va` x1.x2  .
a
a

 Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét:
- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2  SX  P  0
( Điều kiện tồn tại hai số trên là S2  4P  0 )
- Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức
f(x)  ax2  bx  c có hai nghiệm x1; x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử
f(x)  a(x  x1 )(x  x2 )

- Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc
hai:
b
a

c
a

+ S  x1  x2   ; P  x1.x2  .
+ x12  x22  S2  2P
>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
+ x13  x32  S3  3SP
3.1. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH :
3.1.1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.12 + b.1 + c = 0  a + b + c = 0
c
a
b) Nếu cho x =  1 thì ta có (*)  a.(  1)2 + b(  1) + c = 0 a  b + c = 0
c
Như vậy phương trình có một nghiệm là x1  1 và nghiệm còn lại là x2 
a

Như vây phương trình có một nghiệm x1  1 và nghiệm còn lại là x2 

Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1) 2 x2  5x  3  0 (1)
2) 3x2  8x 11  0 (2)
Ta thấy :

3
2
11
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1  1 và x2 
3

Phương trình (1) có dạng a  b + c = 0 nên có nghiệm x1  1 và x2 

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1. 35x2  37 x  2  0
2. 7 x2  500 x  507  0
3. x2  49 x  50  0
4. 4321x2  21x  4300  0
3.1.2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm
nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình x2  2 px  5  0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm
thứ hai.
b) Phương trình x2  5x  q  0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình : x2  7 x  q  0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2  qx  50  0 , biết phương trình có 2
nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Bài giải:
a) Thay x1  2 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :
44p 5  0  p 

1
4

T ừ x1 x2  5 suy ra x2 

5 5

x1 2

b) Thay x1  5 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
25  25  q  0  q  50

T ừ x1 x2  50 suy ra x2 

50 50

 10
x1
5

>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

14


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1  x2  11 và theo VI x1  x2  11  x1  9

 x1  x2  7

 x2  2

ÉT ta có x1  x2  7 , ta giải hệ sau: 

Suy ra q  x1 x2  18
d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1  2 x2 và theo VI-ÉT
ta có x1 x2  50 . Suy ra
 x  5
2 x22  50  x22  52   2
 x2  5
Với x2  5 th ì x1  10

Với x2  5 th ì x1  10
3.2. LẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI
3.2.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x2
Ví dụ : Cho x1  3 ; x2  2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
 S  x1  x2  5
vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có
 P  x1 x2  6

Theo hệ thức VI-ÉT ta có 
dạng:

x2  Sx  P  0  x2  5x  6  0

Bài tập áp dụng:
1.
x1 = 8
2.
x1 = 3a

3.
x1 = 36
x1 = 1  2

4.

vµ
vµ
vµ

x2 = -3
x2 = a
x2 = -104

vµ

x2 = 1  2

3.2.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai
nghiệm của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x2  3x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1  x2 
y2  x1 

1
và
x1

1
x2

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 1
x x
1
1
3 9
 x1   ( x1  x2 )      ( x1  x2 )  1 2  3  
x1
x2
x1 x2
2 2
 x1 x2 
1
1
1
1 9
P  y1 y2  ( x2  )( x1  )  x1 x2  1  1 
 2 11 
x1
x2
x1 x2
2 2

S  y1  y2  x2 

Vậy phương trình cần lập có dạng:
hay

y 2  Sy  P  0

9
9
y2  y   0  2 y2  9 y  9  0
2
2

Bài tập áp dụng:

>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

15


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
1/ Cho phương trình 3x2  5x  6  0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải
phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1  x1 
y2  x2 

1
và
x2

5
1
1
(Đáp số: y 2  y   0 hay 6 y 2  5 y  3  0 )
x1
6
2

2/ Cho phương trình : x2  5x 1  0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc
2 có ẩn y thoả mãn y1  x14 và y2  x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các
nghiệm của phương trình đã cho).(Đáp số : y 2  727 y  1  0 )
3/ Cho phương trình bậc hai: x2  2 x  m2  0 có các nghiệm x1; x2 . Hãy lập
phương trình bậc hai có các nghiệm y1; y2 sao cho :
a) y1  x1  3 và y2  x2  3

b) y1  2 x1  1 và y2  2 x2  1

(Đáp số
a) y 2  4 y  3  m2  0
b) y 2  2 y  (4m2  3)  0
)
3.3. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình : x2  Sx  P  0
(điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  3 và tích P = ab =  4
Vì a + b =  3 và ab =  4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x2  3x  4  0
giải phương trình trên ta được x  1 và x2  4
Vậy nếu a = 1 thì b =  4
nếu a =  4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3
và
P=2
2. S =  3 và
P=6
3. S = 9
và

P = 20
4. S = 2x
và
P = x2  y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
2. a  b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ
thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
1

T ừ a  b  9   a  b   81  a  2ab  b  81  ab 
2

2

2

81   a 2  b2 
2

 20

 x1  4
 x2  5

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x 2  9 x  20  0  
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4

2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c =  b ta có : a + c = 5 và a.c =  36

>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

16


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
 x1  4
 x2  9

Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x 2  5 x  36  0  
Do đó nếu a =  4 thì c = 9 nên b =  9
nếu a = 9 thì c =  4 nên b = 4
2
2
2
2
Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab   a  b    a  b   4ab  169

 a  b  13
2
  a  b   132  
 a  b  13
*) Với a  b  13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
 x  4
x 2  13x  36  0   1
 x2  9
Vậy a = 4 thì b = 9

*) Với a  b  13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x  4
x 2  13x  36  0   1
 x2  9

Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
 a  b  11
 a  b  11

T ừ: a2 + b2 = 61   a  b   a 2  b2  2ab  61  2.30  121  112  
2

*) Nếu a  b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:
 x  5
x 2  11x  30  0   1
 x2  6
Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5
*) Nếu a  b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
x  5
x 2  11x  30  0   1
 x2  6

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
3.4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu
thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp
dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
3.4.1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1  x2 ) và x1 x2
Ví dụ 1

a) x12  x22  ( x12  2 x1 x2  x22 )  2 x1 x2  ( x1  x2 )2  2x1 x2
b) x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   3x1 x2 
2

c) x14  x24  ( x12 )2  ( x22 )2   x12  x22   2 x12 x22  ( x1  x2 )2  2 x1 x2   2 x12 x22
2

1 1 x1  x2
 
x1 x2
x1 x2

d)
Ví dụ 2

2

x1  x2  ?

Ta biết  x1  x2    x1  x2   4 x1 x2  x1  x2    x1  x2   4x1x2
2

2

2

>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

17

Tài liệu ôn thi vào lớp 10
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
1. x12  x22
(   x1  x2  x1  x2  =…….)
2. x13  x23
3. x14  x24

( =  x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   x1 x2  =……. )
2

( =  x12  x22  x12  x22  =…… )

4. x16  x26
( = ( x12 )3  ( x22 )3   x12  x22  x14  x12 x22  x24  = ……..)
Bài tập áp dụng
5. x16  x26

7. x17  x27

6. x15  x25

8.

1
1

x1  1 x2  1

3.4.2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2  8x  15  0 Không giải phương trình, hãy tính
1. x12  x22
3.

x1 x2

x2 x1

8
 
 15 

1 1

x1 x2

(34)

2.

 34 
 
 15 

4.  x1  x2 

2

(46)

b) Cho phương trình : 8x2  72 x  64  0 Không giải phương trình, hãy tính:
1.

1 1

x1 x2

9
 
8

2. x12  x22

(65)

c) Cho phương trình : x2 14 x  29  0 Không giải phương trình, hãy tính:
1.

1 1

x1 x2

 14 
 
 29 

2. x12  x22

(138)

d) Cho phương trình : 2 x2  3x  1  0 Không giải phương trình, hãy tính:
1 1

x1 x2

(3)

2.

1  x1 1  x2

x1
x2

(1)

3. x12  x22

(1)

4.

x1
x
 2
x2  1 x1  1

5
 
6

1.

e) Cho phương trình x2  4 3x  8  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương
trình, tính Q 

6 x12  10 x1 x2  6 x22
5 x1 x23  5 x13 x2

6 x12  10 x1 x2  6 x22
6( x1  x2 ) 2  2 x1 x2
6.(4 3) 2  2.8
17



HD: Q 
3
3
2
2
5 x1 x2  5 x1 x2
5 x1 x2  x1  x2   2 x1 x2  5.8 (4 3)  2.8 80



3.5. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG
TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY
ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a  0 và   0)
>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

18


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ
thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
Ví dụ 1: Cho phương trình :  m  1 x2  2mx  m  4  0 có 2 nghiệm x1; x2 . Lập hệ
thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
m  1
m  1
m  1  0
m  1

 2


4

m
 '0
5m  4  0
m  (m  1)(m  4)  0

5



Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
2m
2


x

x

x

x

2

(1)
1
2
1
2


m 1
m 1


m


4
 x .x 
 x .x  1  3 (2)
 1 2 m  1
 1 2
m 1

Rút m từ (1) ta có :
2
2
 x1  x2  2  m  1 
m 1
x1  x2  2

(3)

Rút m từ (2) ta có :
3
3
 1  x1 x2  m  1 
m 1
1  x1 x2

(4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
2
3

 2 1  x1 x2   3  x1  x2  2   3  x1  x2   2 x1 x2  8  0

x1  x2  2 1  x1 x2

Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình :  m  1 x2  2mx  m  4  0 . Chứng
minh rằng biểu thức A  3  x1  x2   2 x1x2  8 không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
m  1
m  1
m  1  0
m  1

 2


4

m
 '0
5m  4  0
m  (m  1)(m  4)  0

5


Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
2m

 x1  x2  m  1

 x .x  m  4
1 2

m 1


thay v ào A ta c ó:

A  3  x1  x2   2 x1 x2  8  3.

2m
m4
6m  2m  8  8(m  1)
0
 2.
8 

0
m 1
m 1
m 1
m 1

>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

19


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
4
5

Vậy A = 0 với mọi m  1 và m  . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích
nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không
phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình : x2   m  2 x   2m  1  0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập hệ
thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho x1; x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy    m  2  4  2m  1  m2  4m  8   m  2  4  0
2

2

do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
m  x1  x2  2(1)
 x1  x2  m  2



x x 1
m  1 2 (2)
 x1.x2  2m  1


2

Từ (1) và (2) ta có:
x1  x2  2 

x1 x2  1
 2  x1  x2   x1 x2  5  0
2

2. Cho phương trình : x2   4m  1 x  2  m  4  0 .
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy   (4m  1)2  4.2(m  4)  16m2  33  0 do đó phương trình đã
cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 x1  x2  (4m  1)
4m  ( x1  x2 )  1(1)


 x1.x2  2(m  4)
4m  2 x1 x2  16(2)

Từ (1) và (2) ta có:
( x1  x2 )  1  2 x1 x2  16  2 x1 x2  ( x1  x2 )  17  0

3.6. TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU
THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a  0 và   0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình
(có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

20

Tài liệu ôn thi vào lớp 10
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2  6  m  1 x  9  m  3  0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
x1  x2  x1.x2

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
m  0
m  0
m  0
m  0




2

2
2
 '  3  m  21  9(m  3)m  0  '  9  m  2m  1  9m  27  0  '  9  m  1  0 m  1
6(m  1)

 x1  x2  m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 
và từ giả thiết: x1  x2  x1 x2 .
 x x  9(m  3)
 1 2
m

Suy ra:
6(m  1) 9(m  3)

 6(m  1)  9(m  3)  6m  6  9m  27  3m  21  m  7
m
m

(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
x1  x2  x1.x2

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2   2m  1 x  m2  2  0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2  5  x1  x2   7  0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
 '  (2m  1)2  4(m2  2)  0
 4m2  4m  1  4m2  8  0  4m  7  0  m 

 x1  x2  2m  1

Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 

2
 x1 x2  m  2

7
4

và từ giả thiết

3x1 x2  5  x1  x2   7  0 . Suy ra

3(m 2  2)  5(2m  1)  7  0
 3m 2  6  10m  5  7  0
 m  2(TM )
 3m  10m  8  0  
 m  4 ( KTM )
3

2

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
3x1 x2  5  x1  x2   7  0

3.7. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU
THỨC NGHIỆM

>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

21


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân
tích được:
A m
C
k  B

(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)

Thì ta thấy : C  m (v ì A  0 )

(*)

 min C  m  A  0

C  k (v ì B  0 )

 max C  k  B  0
Ví dụ 1: Cho phương trình : x   2m  1 x  m  0
2

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
A  x12  x22  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.

 x1  x2  (2m  1)
 x1 x2  m

Bài giải: Theo VI-ÉT: 

A  x12  x22  6 x1 x2   x1  x2   8 x1 x2
2

Theo đ ề b ài :

  2m  1  8m
2

 4m 2  12m  1
 (2m  3) 2  8  8

Suy ra: min A  8  2m  3  0 hay m 

3
2

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2  mx  m 1  0
Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá
trị lớn nhất của biểu thức sau:
B

2 x1 x2  3
x  x22  2  x1 x2  1
2
1

 x1  x2  m
 x1 x2  m  1

Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 
B

2 x1 x2  3
2 x1 x2  3
2(m  1)  3 2m  1


 2
2
2

x  x2  2  x1 x2  1 ( x1  x2 )  2
m2  2
m 2
2
1

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
B

m2  2   m2  2m  1
m2  2

Vì  m  1  0 
2

 m  1

 1

 m  1

2

m2  2

2

m2  2

 0  B 1

Vậy max B=1  m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:

>> Truy cập trang để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

22


Ti liu ụn thi vo lp 10
1 2
1
1 2
1
m 2m 1 m 2
m 4m 4 m 2 2 m 2 2

1
2
2
B 2
2


2
2
2
m 2
m 2

2 m 2 2

Vỡ m 2 0
2

m 2

2

2 m 2
2

0 B

1
2

1
2

Vy min B m 2
Cỏch 2: a v gii phng trỡnh bc 2 vi n l m v B l tham s, ta s tỡm
iu kin cho tham s B phng trỡnh ó cho luụn cú nghim vi mi m.
2m 1
Bm2 2m 2 B 1 0
2
m 2
Ta cú: 1 B(2B 1) 1 2B2 B
B

(Vi m l n, B l tham s)

(**)

phng trỡnh (**) luụn cú nghim vi mi m thỡ 0
hay 2B2 B 1 0 2B2 B 1 0 2B 1 B 1 0

1
B 2
2 B 1 0


1
B 1
B 1 0


B 1
2 B 1 0
2
B 1

2

B 1 0
B 1

Vy: max B=1 m = 1
1
min B m 2

2

Bi tp ỏp dng
1. Cho phng trỡnh : x2 4m 1 x 2 m 4 0 .Tỡm m biu thc
A x1 x2 cú giỏ tr nh nht.
2

2. Cho phng trỡnh x2 2(m 1) x 3 m 0 . Tỡm m sao cho nghim x1; x2 tha
món iu kin x12 x22 10 .
3. Cho phng trỡnh : x2 2(m 4) x m2 8 0 xỏc nh m phng trỡnh cú 2
nghim x1; x2 tha món
a) A x1 x2 3x1 x2 t giỏ tr ln nht
b) B x12 x22 x1x2 t giỏ tr nh nht
4. Cho phng trỡnh : x2 (m 1) x m2 m 2 0 . Vi giỏ tr no ca m, biu thc
C x12 x22 dt giỏ tr nh nht.
5. Cho phng trỡnh x2 (m 1) m 0 . Xỏc nh m biu thc E x12 x22 t
giỏ tr nh nht.
II. Bi tp tng hp.
1. Các bài tập trong tài liệu ôn thi vào lớp 10.
Bài 1. Giải các ph-ơng trình :

>> Truy cp trang hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht!

23


Ti liu ụn thi vo lp 10
a / x 2 2 5x 4 0
b / x 4 29x 2 100 0
c / x 2 3x x 1 2 0

d /11x 2 2 8x 9 18x 6 0
e / 4x 2

1
4
7 8x
2
x
x

Bài 2. Cho ph-ơng trình x2 + px - 5 = 0 có nghiệm x1; x2.
Hãy lập ph-ơng trình có hai nghiệm là hai số đ-ợc cho trong mỗi tr-ờng hợp sau
a / x1 và x 2
b / x12 và x 22
Bài 3. Cho ph-ơng trình : x 2 3y2 2xy 2x 10y 4 0
(1)
2
2
a/ Tìm nghiệm (x; y) của ph-ơng trình (1) thỏa mãn x + y = 10.
b/ Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình (1).
Bài 4. Cho ph-ơng trình : (x k 3) x 2 2(k 3)x 3k 9 0
(1)
a/ Giải ph-ơng trình (1) khi k = 3.
b/ Tìm các giá trị của k để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm d-ơng và một nghiệm
âm.
Bài 5. Giải ph-ơng trình :
a / x 2x 1 x 2x 1 2
b / 6x 2 15x 2x 2 5x 1 1
c / 8x 2 8x 3 12x 2 12x 7 2(2x 2 2x 1)

Bài 6. Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số t : x 2 2(t 1)x t 2 3 0
(1)
a/ Tìm t để ph-ơng trình (1) có nghiệm.
b/ Tìm t để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích
hai nghiệm.
Bài 7. Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số m : mx 2 5x (m 5) 0
(1)
a/ Giải ph-ơng trình (1) khi m = 5.
b/ Chứng tỏ rằng ph-ơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c/ Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1; x2. Hãy tính
theo m giá trị của biểu thức A 16x1x 2 3(x12 x 22 ). Tìm m để A = 0.
Bài 8. Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số m :
(m 3)x 2 2(m2 3m)x m3 12 0

(1)

a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao
cho x12 x 22 là một số nguyên.
2. Các bài tập trong đề thi vào lớp 10 của Bắc Ninh.
Bài 1. (Bắc Ninh 1997 - 1998)
Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
x2 2(m 3) x 2m 7 0
(1)
a/ Chứng tỏ rằng ph-ơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

>> Truy cp trang hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht!

24

Ti liu ụn thi vo lp 10
b/ Gọi hai nghiệm của ph-ơng trình (1) là x1; x2 . Hãy tìm m để
1
1

m
x1 1 x2 1

Bài 2. (Bắc Ninh 1998 - 1999)
1
1
;b
2 3
2 3
a/ Hãy tính : ab và

1. Cho a

a b.

b/ Hãy lập một ph-ơng trình bậc hai có các nghiệm là x1

a
b
.
; x2
b 1
a 1

2. Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
x2 3mx 3m 4 0

(1)
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ph-ơng trình (1) luôn có hai
nghiệm phân biệt ?
b/ Hãy tìm m để ph-ơng trình (1) có một nghiệm x1 4 2 3 . Khi đó hãy
tìm nghiệm x2 của ph-ơng trình đó
Bài 3. (Bắc Ninh 1999 - 2000)


a

b



a b

1. Cho biểu thức P
(với a 0, b 0, a b )

:
ab b a ab a b b a
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tính số trị của biểu thức P khi biết a và b là hai nghiệm của ph-ơng trình
x2 8x 4 0 .
2. Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số : x2 2 x m 0
(1)
a/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có nghiệm.

b/ Chứng minh rằng với mọi m ph-ơng trình (1) không thể có hai nghiệm
cùng là số âm.
c/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = 5.
Bài 4. (Bắc Ninh 1999 - 2000)
Cho hai ph-ơng trình bậc hai ẩn x (a là tham số) :
x 2 3x a 2 0

(1)

x ax 1 0

(2)

2

a/ Giải các ph-ơng trình (1) và (2) trong tr-ờng hợp a = -1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai ph-ơng trình trên luôn
có ít nhất một trong hai ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài 5. (Bắc Ninh 2000 - 2001)
Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) :
x2 (m n) x (m2 n2 ) 0 (1)

a/ Giải ph-ơng trình (1) khi m = n = 1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì ph-ơng trình (1) luôn có nghiệm.
c/ Tìm m, n để ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình x2 x 5 0 .
>> Truy cp trang hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht!

25