Kỹ thuật phân tích phân tử giải hệ phương trình luyện thi đại học

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

KĨ THUẬT PHÂN TÍCH NHÂN TỬ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
4 x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 = ( 4 x 2 − xy + y 2 ) x 2 − xy + y 2

Ví dụ 1 [Video]. Giải hệ phương trình 
2 x 2 − 2 y + 5 = y 8 x + 3 + 2 y 2 − 4 y + 5
Lời giải
 x 2 − xy + y 2 ≥ 0

ĐK: 8 x + 3 ≥ 0
 2
y − 4y + 5 ≥ 0

(*)

Khi đó (1) ⇔ x3 + 3 x ( x 2 − xy + y 2 ) = 3 x 2 x 2 − xy + y 2 +

(x

2

− xy + y 2 ) .
3

Đặt u = x 2 − xy + y 2 ≥ 0 ⇒ x3 + 3xu 2 = 3 x 2u + u 3 ⇔ ( x − u ) = 0 ⇔ x = u
3

x ≥ 0
≥
0
x


⇒ x = x 2 − xy + y 2 ⇔  2
⇔  y = 0
2
2
 x = x − xy + y
 x = y


(3)

Với y = 0 thế vào (2) ta được 2 x 2 + 5 = 2 5 ⇔ 2 x 2 + 5 − 2 5 = 0 vô nghiệm nên loại.
Khi đó (3) ⇔ x = y ≥ 0, kết hợp với (2) ta được

( x ≥ 0)

2 x2 − 2 x + 5 = x 8x + 3 + 2 x2 − 4 x + 5

⇔ 2 x2 − 2 x + 5 − x 8x + 3 − 2 x2 − 4 x + 5 = 0

(

)

⇔ x x + 2 − 8x + 3 + x2 − 4 x + 5

( x + 2 ) − ( 8 x + 3) +
⇔ x.

(

2

x + 2 + 8x + 3

⇔

x ( x 2 − 4 x + 1)
x + 2 + 8x + 3

(x
+

2

x 2 − 4 x + 5.

)

x2 − 4 x + 5 − 2 = 0
x2 − 4 x + 5 − 4
x2 − 4 x + 5 + 2

− 4 x + 1) x 2 − 4 x + 5

2 + x2 − 4 x + 5

=0

2

( x − 2 ) + 1 
x

⇔ ( x − 4 x + 1)
+
=0
 x + 2 + 8x + 3 2 + x2 − 4x + 5 


2

Với x ≥ 0 ⇒

x
x + 2 + 8x + 3

+

( x − 2)

2

+1

2 + x2 − 4 x + 5

=0

(4)

> 0.

x = 2 + 3 ⇒ y = 2 + 3
thỏa mãn hệ đã cho.
Do đó (4) ⇔ x 2 − 4 x + 1 = 0 ⇔ 
 x = 2 − 3 ⇒ y = 2 − 3

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Đ/s: ( x; y ) =

{( 2 +

) (

3; 2 + 3 , 2 − 3; 2 − 3

Facebook: Lyhung95

)}

 x + 1 + y + 1 = 4 − x + 5 y

Ví dụ 2 [Video]. Giải hệ phương trình 
( x, y ∈ ℝ )
2
x
+
y
+
2
=
5
2
x
−
y
+
1
+
3
x
+
2
(
)

Lời giải
Điều kiện: 3 x + 2 ≥ 0; y ≥ −1; 4 ≥ x − 5 y; 2 x ≥ y − 1 .
Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có:
x + 1 + y + 1 = 4 − x + 5 y ⇔ x + y + 2 + 2 ( x + 1)( y + 1) = 4 − x + 5 y

⇔

2 y + 1 ≥ x

( x + 1)( y + 1) = 2 y + 1 − x ⇔ 

2
2
 xy + x + y + 1 = x + 4 y + 1 − 2 x − 4 xy + 4 y
2 y + 1 ≥ x
x = y
2 y + 1 ≥ x
⇔ 2
⇔

2
x = 4y + 3
 x − 5 xy + 4 y − 3 x + 3 y = 0 ⇔ ( x − y )( x − 4 y ) − 3 ( x − y ) = 0
Với x = 4 y + 3 kết hợp 2 y + 1 ≥ x suy ra 2 y + 1 ≥ x = 4 y + 3 ⇔ y ≤ −1 ⇒ y = −1 ⇒ x = −1 không thỏa mãn
điều kiện 3 x + 2 ≥ 0 nên không là nghiệm của hệ phương trình.
Với x = y thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được: x 2 + x + 2 = 5 ( x + 1) + 3x + 2

(

) (

)

x2 − x − 1
x2 − x − 1
+

=0
x + 2 + 5 x + 5 x + 1 + 3x + 2

1+ 5
2

x= y=

≥
−
x
1
1



2
⇔ ( x 2 − x − 1) 1 +
+
⇔
3
=0⇔

x + 2 + 5 x + 5 x + 1 + 3x + 2 

1− 5
x2 − x − 1 = 0

x = y =


2
⇔ x 2 − x − 1 + x + 2 − 5 x + 5 + x + 1 − 3x + 2 = 0 ⇔ x 2 − x − 1 +

Vì 1 +

1
x + 2 + 5x + 5

+

1

2
> 0; ∀x ≥ − . Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.
3
x + 1 + 3x + 2

3 x 2 + y 2 = xy + x + ( y − x + 1) 3 x 2 + y 2 ,

Ví dụ 3 [Video]. Giải hệ phương trình 
2
 x ( x − 5 x + 9 ) = 2 y + 8 x − 7 + 10 x − 6.
Lời giải.
7
Điều kiện x ≥ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
8
3 x 2 + y 2 − ( y − x + 1) 3 x 2 + y 2 − x ( y + 1) = 0
 3 x 2 + y 2 = y + 1 (1)
3x 2 + y 2 + x = 0 ⇔ 
 3x 2 + y 2 = − x

( 2)

x ≤ 0
x ≤ 0
Xét ( 2 ) ⇔  2
⇔ 2
⇔ x = y = 0 , không thỏa mãn ĐKXĐ.
2
2
2
3x + y = x
2 x + y = 0
 y +1 ≥ 0
 y ≥ −1
Xét (1) ⇔  2
⇔
 2
2
2
3x + y = y + 2 y + 1 3x = 2 y + 1
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có x3 − 8 x 2 + 9 x + 1 = 8 x − 7 + 10 x − 6
⇔

(

)(

3x2 + y 2 − y − 1

)

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

⇔ x − 8 x − 7 + x + 1 − 10 x − 6 + x3 − 8 x 2 + 7 x = 0
x2 − 8x + 7
x2 − 8x + 7
+
+ x ( x2 − 8x + 7) = 0
x + 8 x − 7 x + 1 + 10 x − 6
1
1


⇔ ( x2 − 8x + 7 ) 
+
+ x = 0
 x + 8 x − 7 x + 1 + 10 x − 6

1
1
7
Rõ ràng
+
+ x > 0, ∀x ≥ nên x 2 − 8 x + 7 = 0 ⇔ x ∈ {1;8} .
8

x + 8 x − 7 x + 1 + 10 x − 6
 191 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ,  8;
.
 2 
 x ( x 2 + 1) + y ( y 2 + 1) + 3 xy = 2

Ví dụ 4 [Video]. Giải hệ phương trình 
2
2
4 y + 2 − ( x + 1) ( x − y + 3) = x + x + 8
Lời giải:
2
Điều kiện: ( x + 1) ( x − y + 3) ≥ 0; y ≥ −2 .
⇔

Phương trình một của hệ tương đương
x3 + y 3 + 3 xy + x + y − 2 = 0 ⇔ ( x + y ) + x + y − 2 − 3 xy ( x + y − 1) = 0
3

2
⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) + x + y + 2  − 3 xy ( x + y − 1) = 0


x + y = 1
⇔ ( x + y − 1) ( x 2 + y 2 + x + y − xy + 2 ) = 0 ⇔  2
2
 x + (1 − y ) x + y + y + 2 = 0

( ∗)

Giải ( ∗) , có ∆ x = (1 − y ) − 4 ( y 2 + y + 2 ) = − ( 3 y 2 + 6 y + 7 ) < 0; ∀x, y ∈ ℝ suy ra ( ∗) vô nghiệm.
2

Với y = 1 − x thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được:

4 3− x −

( x + 1) ( x 2 + x + 3) = x 2 + x + 8

(i )

Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:
4 3 − x = 2 4 ( 3 − x ) ≤ 4 + 3 − x

⇔ x2 + x + 8 = 4 3 − x −

2
− ( x + 1) ( x + x + 3) ≤ 0

( x + 1) ( x 2 + x + 3) ≤ 7 − x ⇔ ( x + 1)

2

≤0

Do đó phương trình ( i ) ⇒ ( x + 1) = 0 ⇔ x = −1 ⇒ y = 2 ( thỏa mãn điều kiện bài cho )
2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( x; y ) = ( −1; 2 ) .

 4 y + 4 x x + y +1 + 9 = 2 x + y +1 +1
(
)

Ví dụ 5 [Tham khảo]. Giải hệ phương trình 
 y 2 − 13 x 2 − 2 y 2 + 4 = x 2 − y + 2
Lời giải:
2
2
Điều kiện: x ≥ 0; x + y + 1 ≥ 0; 13 x ≥ 2 y − 4 .

(

)

Bình phương hai vế phương trình một của hệ, ta có: 4 y + 4 x ( x + y + 1) + 9 = 2 x + y + 1 + 1
⇔ 4 y + 4 x ( x + y + 1) + 9 = 4 ( x + y + 1) + 4 x + y + 1 + 1 ⇔
⇔

(

)(

x −1

(

)

x −1

x + y +1 = x −1

x = 1
 x =1⇔ x =1
x + y +1 − x −1 = 0 ⇔ 
⇔
 x + y + 1 = x + 1  x + y + 1 =

)

2

(

)

2

x +1 ⇔ y = 2 x

TH1. Với x = 1 thế xuống phương trình hai trong hệ, ta được: y 2 + y − 3 − 17 − 2 y 2 = 0

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

)

(

⇔ y 2 − 4 + y + 1 − 17 − 2 y 2 = 0 ⇔ ( y − 2 )( y + 2 ) +

3y + 8
⇔ ( y − 2)  y + 2 +

y + 1 + 17 − 2 y 2


Facebook: Lyhung95

( y − 2 )( 3 y + 8 )
y + 1 + 17 − 2 y 2

=0


2
 = 0 ⇔ ( y − 2 ) ( y + 3) + ( y + 2 ) 17 − 2 y 2 + 1 = 0






17 
2
⇔ y = 2 ⇒ ( x; y ) = (1; 2 ) do ( y + 3) + ( y + 2 ) 17 − 2 y 2 + 1 > 0; ∀y ∈  −2;


2 


TH2. Với y = 2 x thế xuống phương trình hai trong hệ, ta được: 4 x − 13x 2 − 8 x + 4 = x 2 − 2 x + 2
Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:
2 x ≤ x + 1

2
2
⇔ 4 x + 2 x − 13x 2 − 8 x + 4 ≤ 1 + 2 x

−
x
1
x
x


2
≥ 6 ≥ 3x; x ≥ 0
 13x − 8 x + 4 = 6 
 +
4
2
 3 


(i )

Do đó từ phương trình ( i ) suy ra x 2 + 2 ≤ 1 + 2 x ⇔ ( x − 1) ≤ 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 2 .
2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( x; y ) = (1; 2 ) .

 2
x ( x + 1)
 x + y+x =
y −1
Ví dụ 6 [Tham khảo]. Giải hệ phương trình 
3 y 2 − 19 x + 8 = 2 y − 2


( x, y ∈ ℝ )

Lời giải
Điều kiện: x + x + y ≥ 0; y ≥ 2 .
2

Đặt a = x 2 + x , khi đó phương trình một của hệ trở thành:
a ≥ 0
a ≥ 0
a
⇔
⇔
a+ y =
 2
2
2
2

2
y −1
( a + y )( y − 1) = a
a − ( y − 1) a − y ( y − 1) = 0
2

( y − 1)
a =
2
4
2
2
Có ∆ a = ( y − 1) + 4 y ( y − 1) = ( y − 1) ≥ 0 nên suy ra ( i ) ⇔ 
2

 a = ( y − 1)


+ ( y 2 − 1)
2

− ( y 2 − 1)
2

(i )
= y2 − y
=1− y

x + y = 0
TH1. Nếu a = y 2 − y ta có: x 2 + x = y 2 − y ⇔ x 2 − y 2 + x + y = 0 ⇔ ( x + y )( x − y + 1) = 0 ⇔ 

x = y −1
2
• Với x + y = 0 thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được: 3 y + 19 y + 8 = 2 y − 2
3 y 2 + 18 y + 9 + y − 2 − 2 y − 2 + 1 = 2 y − 2 ⇔ 3 y 2 + 18 y + 9 +

•

Với x = y − 1 thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được:

(

(

)

2

y − 2 − 1 = 0 vô nghiệm.

)

3 y 2 − 19 y + 27 = 2 y − 2 ⇔ 3 ( y 2 − 7 y + 11) + 2 y − 3 − y − 2 = 0

2 ( y 2 − 7 y + 11)



2
= 0 ⇔ ( y 2 − 7 y + 11)  3 +
=0


y −3+ y − 2
y − 3 + y − 2 

y −1+ y − 2
2
7± 5
⇔ y 2 − 7 y + 11 = 0 ⇔ y =
vì 3 +
= 2+
> 0; ∀y ≥ 2 .
2
y −3+ y −2
y −3+ y −2

⇔ 3 ( y − 7 y + 11) +
2

2

1
3

TH2. Nếu a = 1 − y ta có: x + x = 1 − y ⇔ x + x + y − 1 = 0 ⇔  x +  + ( y − 2 ) + = 0 vô nghiệm.
2
4

2

2

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

5+ 5 7+ 5  5− 5 7− 5 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( x; y ) = 
;
;
, 
.
2   2
2 
 2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
5 x 2 − 2 xy + 5 y 2 = 4 ( x + y ) x 2 − xy + y 2

Câu 1. Giải hệ phương trình 
3 x 2 + 2 y + 3 = x 9 y + 7 + ( y + 1) 2 x 2 − x + 3
Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; 2 )}
 x − 4 = 2 y 2 + 2x + y ( x + 4)

Câu 2. Giải hệ phương trình 
 x + y 2 − 4 = 16 y − 7 + ( y 2 + 3) ( x + y − 7 )

Đ/s: ( x; y ) = {(10;1) ; (12; 2 )} .

 y x 2 + y 2 + 1 = y 2 − xy + 1

Câu 3. Giải hệ phương trình  x + 1
3
+ 2 = 3 4 x2 +
− 8 + 5 ( x 2 + 4 ) ( 2 x − 1)

2
y
2
y

 1   1  
Đ/s: ( x; y ) = 1;  ;  9;   .
 2   18  
 2
x2 + 1
=0
 x − 4 y + 1 + 3 y
y
Câu 4. Giải hệ phương trình 

2 y − x + 3 = 8 x + 10 + 2 ( x + 2 )( y + 2 )

{(

)(

Đ/s: ( x; y ) = 1 + 2; 4 + 2 2 1 − 2; 4 − 2 2

)} .

( y + 1) 2 x − y − x 2 + x + xy = 0
Câu 5. Giải hệ phương trình 
2
2
 x + y − 2 xy − 3 x + 2 = 0

Đ/s: ( x; y ) = ( 2;0 )
2
2
2
2
( x − 5 y ) x + y + 1 = x + 4 y + xy
Câu 6. Giải hệ phương trình 
2 (1 − 2 x )( 3 y − 4 x − 2 ) = −7
36
3
1 
Đ/s: ( x; y ) = 
− 3 ; − 3 
6
 4 4 6
 x2 − y − 2 y + 1 = 8 y2 − 7 x2 − y + 2

Câu 7. Giải hệ phương trình 
2
2
2

( x + 2 ) 4 x − 1 + 2 y + 4 y = 0
Đ/s: hệ phương trình vô nghiệm
( x + y + 4 ) x − y + x + 3 y + 12 = 0
Câu 8. Giải hệ phương trình 
2
2
( x − y ) ( x + 6 ) + x − y − 1 = y + 1
Đ/s: ( x; y ) = ( −2; −3) .

(

( x, y ∈ ℝ )

)

2 y − 3x + y ( x − 2 ) = 4 x − 2 − y − 6

Câu 9. Giải hệ phương trình 
 y + 2 y ( xy − x + 5 ) = 2 ( y + 2 ) − 5 x + 6
Đ/s: ( x; y ) = ( 2;0 )

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

1
x 1 y 1

 y − xy + x = x 2 + y 2 − 1

Câu 10. Giải hệ phương trình 
2
2
 x + y = x − xy + y
 x + 1 y + 1
xy
Đ/s: ( x; y ) = (1;1)
3 2 y − 1 + y 1 − 4 x = 4 ( x + 1)

Câu 11. Giải hệ phương trình 
2
 x + 1 + 1 ( y − 2 ) = ( y + 1)( x − 1)

 3 1 
Đ/s: ( x; y ) = ( 0;1) ,  − ;   .
 4 2 


(

)

( x + 3) x − y + y 2 − y ( x − 2 ) = 3x + 2
Câu 12. Giải hệ phương trình 
 2 x − 11y − 5 − 21y − 17 = 6 y − x + 4
Đ/s: ( x; y ) = {(10;1) , (18; 2 )} .
 x 2 + xy − 2 y 2 = ( y − x ) x − 2 y + 1


Câu 13. Giải hệ phương trình 
2
2
3
2
4 ( 2 x − 1) + ( 4 y − 3) = 1 + 4 ( 2 y − 1) . 3 ( 4 x − 3)
 5 + 5 5 + 5   5 − 5 5 − 5  

Đ/s: ( x; y ) = (1;1) , 
;
;
, 

4   4
4  

 4

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!