tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học môn toán hay nhất năm 2016

Chuyên đề 1:

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
& BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab
a 2 + b 2 = (a − b) 2 + 2ab

4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

a 3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)

3. a2 − b2 = (a + b)(a − b)

5. (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

6. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
7. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

Áp dụng:
Biết x + y = S và xy = P . Hãy tính các biểu thức sau theo S và P
a) A = x 2 + y 2

b) B = (x - y) 2

c) C = x 3 + y 3

A. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Giải và biện luận phương trình bậc nhất:
1. Dạng :

⎧x : ẩn số
⎨
⎩a, b : tham số

ax + b = 0 (1)

2. Giải và biện luận:
Ta có :
Biện luận:

(1) ⇔ ax = -b (2)

b
a
• Nếu a = 0 thì (2) trở thành 0.x = -b
* Nếu b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
* Nếu b = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
Tóm lại :
b
• a ≠ 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = −
a
• a = 0 và b ≠ 0 : phương trình (1) vô nghiệm
• a = 0 và b = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

•

Nếu a ≠ 0 thì (2) ⇔ x = −

1

d) D = x4 + y4


Áp dụng:
Ví dụ : Giải và biện luận các phương trình sau:
1) 2 x + 3m = mx + 2
2
2) m x + 2 = x + 2m
x−m x−2
=
3)
x +1 x −1
2 x + 3m
m
2m − 1
4)
=
+
2
x +1 x −1
x −1
3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình:
Đònh lý:
Xét phương trình ax + b = 0 (1) ta có:

•

(1) có nghiệm duy nhất

⇔

•

(1) vô nghiệm

⇔

•

(1) nghiệm đúng với mọi x ⇔

a ≠0
⎧a = 0
⎨
⎩b ≠ 0
⎧a = 0
⎨
⎩b = 0

Áp dụng:
Ví dụ :

1) Với giá trò nào của a, b thì phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a 4 − ( x + 1)a 2 + x − b = 0

( a = ±1; b = 0 )
2) Cho phương trình (2m − 1) x + (3 − n)( x − 2) − 2m + n + 2 = 0
Tìm m và n để phương trình nghiệm đúng với mọi x

3) Cho phương trình: (2m + 1) x − 3m + 2 = 3 x + m
Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ ( 0;3)
4) Cho phương trình: (3m − 2) x − m = 4mx + 2m − 5
Tìm m ngun để phương trình có nghiệm ngun

5) Cho phương trình:

2mx − 3
x

=

(m <

1
∨m >2)
2

( m ∈ {−3; −13; −1;9} )

x−m
x

Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm duy nhất

6) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm

2x + m
x − 2m + 3
− 4 x −1 =
x −1
x −1
7) Cho phương trình:

1
( m = − ;n =1)
2

(

1
< m < 3)
2

x − 1 ⎡⎣(2m − 3) x + m + (1 − m) x − 3⎤⎦ = 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

(2 < m <

5
)
2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Thời gian 10 phút

ĐỀ:
Bài 1: Phương trình 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m − 3) có nghiệm duy nhất với giá trò của m là:
4
3
10
4
(B) m = −
(C) m ≠ −
(D) m ≠
(A) m =
3
4
3
3
2
Bài 2: Phương trình (m − 2)(x + 1) = x + 2 vô nghiệm với giá trò của m là:

(B) m = ±1
(C) m = ±2
(A) m = 0
2
Bài 3: Phương trình (m + 3m)x + m + 3 = 0 có tập nghiệm là R khi :
(A) m = 0
(B) m = −3
(C) m = 0; m = −3
2x + m
Bài 4: Phương trình

= m vô nghiệm với giá trò của m là:
x −1
(B) m = −2
(C) m = ±2
(A) m = 2
−mx + m + 1
= m vô nghiệm với giá trò của m là:
Bài 5: Phương trình
x−2
(A) m = 0
(B) m = 1
(C) m = 0; m = 1

(D) m = ± 3
(D) Một đáp số khác

(D) Không có m

(D) Một đáp số khác

ĐÁP ÁN:
Bài 1: Phương trình 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m − 3) có nghiệm duy nhất với giá trò của m là:
4
3
10
4
(B) m = −
(C) m ≠ −
(D) m ≠
(A) m =

3
4
3
3
2
Bài 2: Phương trình (m − 2)(x + 1) = x + 2 vô nghiệm với giá trò của m là:

(B) m = ±1
(C) m = ±2
(A) m = 0
2
Bài 3: Phương trình (m + 3m)x + m + 3 = 0 có tập nghiệm là R khi :
(A) m = 0
(B) m = −3
(C) m = 0; m = −3
2x + m
Bài 4: Phương trình
= m vô nghiệm với giá trò của m là:
x −1
(A) m = 2
(B) m = −2
(C) m = ±2
−mx + m + 1
= m vô nghiệm với giá trò của m là:
Bài 5: Phương trình
x−2
(A) m = 0
(B) m = 1
(C) m = 0; m = 1

3

(D) m = ± 3
(D) Một đáp số khác

(D) Không có m

(D) Một đáp số khác


II.Giải và biện luận phương trình bậc hai:
1. Dạng:

⎧x : ẩn số
⎨
⎩a, b , c : tham số

ax 2 + bx + c = 0 (1)

2. Giải và biện luận phương trình :

Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì (1) là phương trình bậc nhất : bx + c = 0
•

b ≠ 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = −

c
b

• b = 0 và c ≠ 0 : phương trình (1) vô nghiệm
• b = 0 và c = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có
Biệt số Δ = b 2 − 4ac

( hoặc Δ ' = b '2 − ac với b' =

Biện luận:
) Nếu Δ < 0 thì pt (1) vô nghiệm
) Nếu Δ = 0 thì pt (1) có nghiệm số kép x1 = x2 = −

b
2a

) Nếu Δ > 0 thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2 =

−b ± Δ
2a

Áp dụng:
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
5 − 12 x
=x
1)
12 x − 8
x2 + 2x − 3
2)
= −3
( x − 1)2

Ví dụ 2:
1) Giải và biện luận phương trình : x 2 − 2 x = m( x − 1) − 2

2) Giải và biện luận phương trình : (m − 1) x 2 + (2m − 3) x + m + 1 = 0

4

( x1 = x2 = −
( x1,2 =

b'
)
a

− b' ± Δ '
)
a

b
)
2


3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình bậc hai:
Đònh lý :
Xét phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (1)
⎧a = 0
⎧a ≠ 0
⎪
⇔ ⎨b = 0 hoặc ⎨

⎩Δ < 0
⎪c ≠ 0
⎩

)

Pt (1) vô nghiệm

)

Pt (1) có nghiệm kép

)

Pt (1) có hai nghiệm phân biệt

)

Pt (1) có hai nghiệm

)

⎧a ≠ 0
⇔ ⎨
⎩Δ = 0
⎧a ≠ 0
⇔ ⎨
⎩Δ > 0
⎧a ≠ 0
⇔ ⎨

⎩Δ ≥ 0
⎧a = 0
⎪
⇔ ⎨b = 0
⎪c = 0
⎩

Pt (1) nghiệm đúng với mọi x

Đặc biệt
Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng:
Ví dụ 1:
Với giá trò nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
2x 2 − x + 1
= m−x
x −1
Ví dụ 2:
1) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
( x + 1)( x 2 + 2mx + m + 2) = 0
2) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
( x − 1)(mx 2 − 4 x + m) = 0
4. Đònh lý VIÉT đối với phương trình bậc hai:
) Đònh lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1, x2 thì

b
⎧
⎪⎪S = x1 + x 2 = − a
⎨

⎪ P = x .x = c
1 2
a
⎩⎪
) Đònh lý đảo : Nếu có hai số α , β mà α + β = S và α .β = P ( S 2 ≥ 4 P) thì α , β là nghiệm của
phương trình

x2 - Sx + P = 0
5


) Ý nghóa của đònh lý VIÉT:
Cho phép tính giá trò các biểu thức đối xứng của các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x1, x2 và
x 2 + x 22
1
1
+ 2 + 2 ) mà
không thay đổi giá trò khi ta thay đổi vai trò x1,x2 cho nhau .Ví dụ: A = 1
x1 x 2
x1 x 2

không cần giải pt tìm x1, x2 , tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ….
Chú ý:
) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là x1 = 1 và x 2 =

c
a

) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là x1 = −1 và x 2 = −

Áp dụng:

Ví dụ 1 : Cho phương trình: x 2 − 2 x + m − 1 = 0 (1)
Với giá trò nào của m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12 + x 22 = 4
Ví dụ 2: Cho phương trình: x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 5 x1 + 3 x 2 = 4
Ví dụ 3: Cho phương trình: (3m − 1)x 2 + 2(m + 1)x − m + 2 = 0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x 2 = 2
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:
Dựa vào đònh lý Viét ta có thể suy ra đònh lý sau:
Đònh lý: Xét phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 (1) ( a ≠ 0 )
⎧Δ > 0
⎪
) Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔
⎨P > 0
⎪S > 0
⎩
⎧Δ > 0
⎪
) Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt
⇔
⎨P > 0
⎪S < 0
⎩
) Pt (1) có hai nghiệm trái dấu

⇔

P<0

Áp dụng:
Ví dụ :

1) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:
mx 2 + x + m = 0
2) Cho phương trình: ( x − 2)( x 2 − 2mx + 3m − 2) = 0
Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

6

c
a


ĐỀ SỐ 1:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Thời gian 10 phút

Bài 1: Phương trình (m − 1)x 2 + 2mx + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khi :
(B) m ≥ 0
(C) m > 0 và m ≠ 1 (D) m ≥ 0 và m ≠ 1
(A) m > 0
2
Bài 2: Phương trình : mx + 2(m − 3)x + m − 5 = 0 vô nghiệm khi :
(B) m ≥ 9
(C) m < 9
(D) m < 9 và m ≠ 0
(A) m > 9

2
2
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x − 2(m + 2)x + m + 12 = 0 . Giá trò nguyên nhỏ nhất của tham số m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
(A) m = 1
(B) m = 2
(C) m = 3
(D) m = 4
1 1
Bài 4: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 + 3x − 10 = 0 . Giá trò của tổng
+
là
x1 x 2
3
3
10
10
(A)
(B) −
(C)
(D) −
10
10
3
3
2
Bài 5: Phương trình: x − mx + m − 1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt khi
(A) m > 1
(B) m ≥ 1
(C) m > 1 và m ≠ 2 (D) m ≥ 1 và m ≠ 2

ĐÁP ÁN:
Bài 1: Phương trình (m − 1)x 2 + 2mx + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khi :
(A) m > 0
(B) m ≥ 0
(C) m > 0 và m ≠ 1 (D) m ≥ 0 và m ≠ 1
2
Bài 2: Phương trình : mx + 2(m − 3)x + m − 5 = 0 vô nghiệm khi :
(A) m > 9
(B) m ≥ 9
(C) m < 9
(D) m < 9 và m ≠ 0
2
2
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x − 2(m + 2)x + m + 12 = 0 . Giá trò nguyên nhỏ nhất của tham số m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
(A) m = 1
(B) m = 2
(C) m = 3
(D) m = 4
1 1
+
Bài 4: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 + 3x − 10 = 0 . Giá trò của tổng
là
x1 x 2
3
3
10
10
(A)

(B) −
(C)
(D) −
10
10
3
3
2
Bài 5: Phương trình: x − mx + m − 1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt khi
(A) m > 1
(B) m ≥ 1
(C) m > 1 và m ≠ 2 (D) m ≥ 1 và m ≠ 2

7


II. Phương trình trùng phươngï:
1.Dạng :

ax 4 + bx 2 + c = 0

(a ≠ 0)

(1)

2.Cách giải:
) Đặt ẩn phụ : t = x2 ( t ≥ 0 ). Ta được phương trình: at 2 + bt + c = 0 (2)
Giải pt (2) tìm t. Thay t tìm được vào t = x2 để tìm x
Tùy theo số nghiệm của phương trình (2) mà ta suy ra được số nghiệm
của phương trình (1)

Áp dụng:
Ví du 1ï:

Giải phương trình : 32x3 =

89x2 − 25
với x > 0; x ≠ 1
2x

Ví dụ 2:
1) Với giá trò nào của m thì các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
a) x 4 − 2 x 2 − 3 = m
b) x 4 − (m + 2) x 2 + 4m + 1 = 0

2) Cho phương trình: x 4 − (m + 2) x 2 + 4m + 1 = 0
Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng
III . Phương trình bậc ba:
1. Dạng:

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) ( a ≠ 0 )

2 .Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1)
)Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1). Giả sử nghiệm là x = x0
)Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân
tử và đưa pt (1) về dạng tích số :
(1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0
⎡ x = x0
⇔ ⎢ 2
⎣ Ax + Bx + C = 0 (2)

)Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( nếu có).

Bổ sung kiến thức:
Định lý Bezu (Bơ-du)
“Đa thức P(x) có nghiệm x = x0 khi và chỉ khi P(x) chia hết cho x − x0
Áp dụng:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 = 0
b) x 3 + x 2 − x + 2 = 4 x − 1
c) 2 x 3 + 7 x 2 − 28 x + 12 = 0

8


Ví dụ 2:
Với giá trò nào của m thì các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
a) x 3 − 3 x 2 + 2 = mx + m − 2
b) x 3 − (2m + 1) x 2 + mx + m = 0

c) x 3 − 2(m + 1) x 2 + (7m − 2) x + 4 − 6m = 0
d) mx 3 − (m − 4) x 2 + (4 + m) x − m = 0
e) x 3 + (1 − m) x 2 − 3mx + 2m 2 = 0
Ví dụ 3: Cho phương trình : x 3 + 3mx 2 − 3 x − 3m + 2 = 0
Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho A = x12 + x22 + x32 đạt GTNN.

Chú ý
Ta có thể áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng kỷ thuật sử dụng sơ đồ HOÓCNE,
để giải các phương trình đa thức bậc cao (với điều kiện nhẩm được một nghiệm của đa thức)
Ví dụ:
Giải các phương trình:

1) x 4 − 5 x 3 + x 2 + 21x − 18 = 0
2) x 4 + x 3 − 7 x 2 − x + 6 = 0
3) x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 − 5 x − 6 = 0
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN QUY VỀ BẬC HAI BẰNG PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ

1.Dạng I:

ax 4 + bx 2 + c = 0

(a ≠ 0)

) Đặt ẩn phụ : t = x2

2. Dạng II.

( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) = k

( k ≠ 0 ) trong đó a+b = c+d

) Đặt ẩn phụ : t = (x+a)(x+b)
Ví dụ : Giải phương trình: ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7 ) = 9

3.Dạng III:

( x + a )4 + ( x + b )4 = k

(k ≠ 0)

) Đặt ẩn phụ : t = x +

a+b
2

Ví dụ : Giải phương trình: ( x + 3) + ( x + 5) = 2
4

4

9


4.Daùng IV:

ax 4 + bx 3 + cx 2 bx + a = 0

Chia hai veỏ phửụng trỡnh cho x2
1
x
4
3
2
Vớ d : Gii phng trỡnh: 2 x + 3 x 16 x + 3 x + 2 = 0
) ẹaởt aồn phuù : t = x

10


B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Bất phương trình bậc nhất:
1. Dạng :

(hoặc

ax + b > 0 (1)

≥, <, ≤ )

2. Giải và biện luận:

Ta có :

(1) ⇔ ax > −b (2)

Biện luận:

•
•
•

b
a
b
Nếu a < 0 thì (2) ⇔ x < −
a
Nếu a = 0 thì (2) trở thành : 0.x > −b
* b ≤ 0 thì bpt vô nghiệm
* b > 0 thì bpt nghiệm đúng với mọi x
Nếu a > 0 thì

(2) ⇔ x > −

Áp dụng:
Ví dụ1: Giải và biện luận bất phương trình : mx + 1 > x + m 2
⎧2 x + 9 ≥ 0
⎪
Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình sau: ⎨4 − x ≥ 0
⎪3 x + 1 ≥ 0
⎩

⎧2x − 1 ≤ x + 4
Ví dụ 3: Với giá trò nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: ⎨
⎩ −5x + 2m − 1 < x + m
II. Dấu của nhò thức bậc nhất:
1. Dạng:

f ( x) = ax + b (a ≠ 0)

2. Bảng xét dấu của nhò thức:

x
ax+b

−∞

−
Trái dấu với a

b
a
0

Áp dụng:
Ví dụ : Xét dấu các biểu thức sau:
1) A = ( x − 3)( x + 1)(2 − 3x)
x+7
2) B =
( x − 2)(2 x − 1)

11

+∞

Cùng dấu với a


III. Dấu của tam thức bậc hai:

f ( x) = ax 2 + bx + c

1. Dạng:

(a ≠ 0)

2. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai:

Δ<0

Δ = b 2 − 4ac

Δ=0

x
f(x)
x

−∞
Cùng dấu a

−∞

f(x)

Δ>0

+∞

x
f(x)

−

Cùng dấu a

−∞

b
2a
0

x1

Đònh lý: Cho tam thức bậc hai: f ( x) = ax 2 + bx + c

f ( x) > 0 ∀x ∈ R

•

f ( x) < 0 ∀x ∈ R

•

f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ R

•

f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ R

(a ≠ 0)

⎧Δ < 0
⇔ ⎨
⎩a > 0
⎧Δ < 0
⇔ ⎨
⎩a < 0
⎧Δ ≤ 0
⇔ ⎨
⎩a > 0
⎧Δ ≤ 0
⇔ ⎨

⎩a < 0

Áp dụng:
Ví dụ1 : Cho f ( x) = (m − 1) x 2 − 2(m + 1) x + 3(m − 2)
Tìm m để f ( x) > 0 ∀x ∈ R

2x 2 − x + 3a
≤ 3 thỏa với mọi x ∈
Ví dụ 2: Với giá trò nào của m thì −2 ≤ 2
x +x+4
IV. Bất phương trình bậc hai:
1. Dạng:

ax 2 + bx + c > 0

Cùng dấu a

x2

+∞

Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

3. Điều kiện không đổi dấu của tam thức:

•

+∞

( hoặc

12

≥, <, ≤ )


2. Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái rồi chọn nghiệm thích hợp.

Áp dụng:
Ví dụ1 : Giải các hệ bất phương trình:
⎧3 x − 11 > 0
a) ⎨
2
⎩− 11x + 10 x + 1 > 0
⎧⎪3x 2 − 7 x + 2 > 0
b) ⎨
⎪⎩− 2 x 2 + x + 3 > 0
Phương pháp: Giải từng bất phương trình của hệ rồi chọn nghiệm chung (phần giao của các tập
nghiệm của từng bất phương trình trong hệ).
x + 5 2x − 1
+
>2
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình:
2x − 1 x + 5
Ví dụ 3: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
x 2 − (2m + 3) x + 2(m + 3) = 0
2x − 3
Ví dụ 4: Tìm tập xác đònh của hàm số: y = 2x 2 + x − 6 +
x 2 − 5x + 4
V. So sánh một số α với các nghiệm của tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
Đònh lý:

⎡ Tam thức có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa ⎤
⎢
⎥
x1 < α < x 2
⎣
⎦

⇔

⎡ Tam thức có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa ⎤
⎢
⎥
x1 < x 2 < α
⎣
⎦

⇔

⎡ Tam thức có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa ⎤
⎢
⎥
α < x1 < x 2
⎣
⎦

⇔

⎡ Tam thức có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa
⎢
⎢ một nghiệm thuộc khoảng (α;β) và

⎢⎣ nghiệm còn lại nằm ngoài đoạn [α;β]

⎤
⎥
⎥
⎥⎦

⇔

[ a.f(α) < 0 ]
⎡⎧
⎤
⎢ ⎪Δ > 0
⎥
⎢⎪
⎥
⎢ ⎨a.f(α ) > 0 ⎥
⎥
⎢⎪ S
⎢⎪ − α < 0 ⎥
⎣⎩ 2
⎦
⎡⎧
⎤
⎢ ⎪Δ > 0
⎥
⎢⎪
⎥
⎢ ⎨a.f(α ) > 0 ⎥
⎢⎪ S

⎥
⎢⎪ − α > 0 ⎥
⎣⎩ 2
⎦

[f(α ).f(β) < 0]

Áp dụng:
Ví dụ : Cho phương trình: x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1 < x1 < x 2

13


BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
2

x − 2x + 4
= mx + 2 − 2m (1)
x−2
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2: Cho phương trình: x 2 − (m + 1) x + 3m − 5 = 0 (1)

Bài 1: Cho phương trình:

(m>1)

Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt

mx 2 + x + m

Bài 3: Cho phương trình:
=0
x −1

5
( < m < 3∨ m > 7 )
3

(1)

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

(−

Bài 4: Cho phương trình: x 4 − mx 2 + m − 1 = 0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

1
< m <0)
2

(m > 1 ∧ m ≠ 2)

Bài 5: Cho phương trình: ( x − 1)( x + mx + m) = 0 (1)
2

1
(m < 0 ∨ m > 4 ∧ m ≠ − )
2

Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
Bài 6: Cho phương trình : mx 2 + (m − 1) x + 3(m − 1) = 0

(1)

Với giá trò nào của m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa

1
1 7
+ 2 =
2
x1 x 2 9

1
(m = )
2

1 3
2
x − mx 2 − x + m + = 0 (1)
3
3
Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệmphân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn x12 + x 22 + x32 > 15
(m < −1 ∨ m > 1)
--------------------Hết--------------------

Bài 7: Cho phương trình:

14

ĐỀ SỐ 1:

TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1: Tập hợp các giá trò m để phương trình:

⎛1
⎞
(A) ⎜ ; +∞ ⎟
⎝3
⎠

x −1 +

1⎞
⎛
(B) ⎜ −∞; ⎟
3⎠
⎝

x−m
2m
=
có nghiệm là
x −1
x −1
⎡1
⎞
(C) (1; +∞ )

(D) ⎢ ; +∞ ⎟
⎣3
⎠

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số y = 4x − 3 + x 2 + 5x − 6 là
⎡3
⎞
⎡3 ⎤
(A) [1; +∞ )
(B) ⎢ ; +∞ ⎟
(C) ⎢ ;1⎥
⎣4 ⎦
⎣4
⎠

⎡ 6 3⎤
(D) ⎢ − ; ⎥
⎣ 5 4⎦

2x 2 − 3x + 4
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình:
> 1 là
x2 + 2
(A) ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ )
(B) ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; +∞ )
(C) ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

(D) ( −∞;2 ) ∪ ( 4; +∞ )

Câu 4: Phương trình: (m 2 + 1)x 2 − x − 2m + 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

2
3
3
3
(A) m >
(B) m <
(C) m >
(D) m > −
3
2
2
2
⎧2x − 1 > 0
Câu 5: Hệ bất phương trình : ⎨
vô nghiệm khi và chỉ khi
⎩x − m < 3
5
5
7
5
(B) m ≤ −
(C) m <
(D) m ≥ −
(A) m < −
2
2
2
2

ĐÁP ÁN:

Câu 1: Tập hợp các giá trò m để phương trình:

⎛1
⎞
(A) ⎜ ; +∞ ⎟
⎝3
⎠

x −1 +

1⎞
⎛
(B) ⎜ −∞; ⎟
3⎠
⎝

x−m
2m
=
có nghiệm là
x −1
x −1
⎡1
⎞
(C) (1; +∞ )
(D) ⎢ ; +∞ ⎟
⎣3
⎠

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số y = 4x − 3 + x 2 + 5x − 6 là
⎡3
⎞
⎡3 ⎤
(A) [1; +∞ )
(B) ⎢ ; +∞ ⎟
(C) ⎢ ;1⎥
⎣4 ⎦
⎣4
⎠

(A) ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ )

2x 2 − 3x + 4
> 1 là
x2 + 2
(B) ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; +∞ )

(C) ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

(D) ( −∞;2 ) ∪ ( 4; +∞ )

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình:

⎡ 6 3⎤
(D) ⎢ − ; ⎥
⎣ 5 4⎦

Câu 4: Phương trình: (m 2 + 1)x 2 − x − 2m + 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
2

3
3
3
(B) m <
(C) m >
(D) m > −
(A) m >
3
2
2
2
⎧2x − 1 > 0
Câu 5: Hệ bất phương trình : ⎨
vô nghiệm khi và chỉ khi
⎩x − m < 3
5
5
7
5
(B) m ≤ −
(C) m <
(D) m ≥ −
(A) m < −
2
2
2
2

15

ĐỀ SỐ 2:
Câu 1:Tập hợp các giá trò m để phương trình:

(A) ( 2;3)

x
1 − x2

=

(B)

5 − 2m

có nghiệm là
1 − x2
(C) [ 2;3]
(D) ( −1;1)

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số y = x 2 + x − 2 + 2x − 3 là
⎡3
⎞
(A) [1; +∞ )
(B) [ −2;1] ∪ ⎢ ; +∞ ⎟
(C)
⎣2
⎠

⎡3

⎤
⎛3
⎞
(D) ⎜ ; +∞ ⎟
⎢⎣ 2 ; +∞ ⎥⎦
⎝2
⎠
2
2
Câu 3: Các giá trò của m để phương trình: 3x + (3m − 1)x + m − 4 = 0 có hai nghiệm trái dấu là
(B) −2 < m < 2
(C) m < 2
(D) m < −2 hoặc m > 2
(A) m < 4
2
Câu 4: Phương trình: x + x + m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
3
3
5
(B) m < −
(C) m > 0
(D) m > −
(A) m > −
4
4
4
x −1
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
> 1 là
x−3

(A) ∅
(B)
(C) ( 3; +∞ )
(D) ( −∞;5)

ĐÁP ÁN:
Câu 1:Tập hợp các giá trò m để phương trình:

(A) ( 2;3)

x
1 − x2

(B)

=

5 − 2m

có nghiệm là
1 − x2
(C) [ 2;3]
(D) ( −1;1)

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số y = x 2 + x − 2 + 2x − 3 là
⎡3
⎞
(A) [1; +∞ )
(B) [ −2;1] ∪ ⎢ ; +∞ ⎟
(C)

⎣2
⎠

⎡3
⎤
⎛3
⎞
(D) ⎜ ; +∞ ⎟
⎢⎣ 2 ; +∞ ⎥⎦
⎝2
⎠
2
2
Câu 3: Các giá trò của m để phương trình: 3x + (3m − 1)x + m − 4 = 0 có hai nghiệm trái dấu là
(B) −2 < m < 2
(C) m < 2
(D) m < −2 hoặc m > 2
(A) m < 4
2
Câu 4: Phương trình: x + x + m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
3
3
5
(A) m > −
(B) m < −
(C) m > 0
(D) m > −
4
4
4

x −1
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
> 1 là
x−3
(A) ∅
(B)
(C) ( 3; +∞ )
(D) ( −∞;5)

16


ĐỀ SỐ 3:
Câu 1: Tập xác đònh của hàm số y = 4 − 3x − x 2 là
1⎤
⎡ 1 ⎤
⎛
(A) [ −4;1]
(B) ⎢ − ;1⎥
(C) ( −∞; −4] ∪ [1; +∞ )
(D) ⎜ −∞; − ⎥ ∪ [1; +∞ )
4⎦
⎣ 4 ⎦
⎝
(m − 1)x (m + 2)x − 2m + 1
Câu 2: Tập hợp các giá trò m để phương trình:
có nghiệm là
=
4 − x2
4 − x2

⎛ 7 3⎞
⎛ 5 7⎞
⎛5 7⎞
(B) ⎜ − ; ⎟
(C) ⎜ ; ⎟
(D)
(A) ⎜ − ; ⎟
⎝ 2 2⎠
⎝ 2 2⎠
⎝2 2⎠
Câu 3: Phương trình: x 2 − 2mx + m 2 + 3m − 1 = 0 có hai nghiệm khi và chỉ khi
1
1
1
1
(A) m ≤
(B) m <
(C) m ≥
(D) m ≥ −
3
3
3
3
2
Câu 4: Phương trình: (m + 3)x − 3x + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
5
5
5
(A) m > 3
(B) −3 < m <

(C) m <
(D) m < −3 hoặc m >
2
2
2
⎧3x − 1 ≥ 0
Câu 5: Với giá trò nào của m thì hệ bất phương trình: ⎨
có nghiệm duy nhất ?
⎩x + m ≤ 2
5
5
7
(B) m = −
(C) m =
(D) không có giá trò nào của m
(A) m =
3
3
3

ĐÁP ÁN:
Câu 1: Tập xác đònh của hàm số y = 4 − 3x − x 2 là
1⎤
⎡ 1 ⎤
⎛
(A) [ −4;1]
(B) ⎢ − ;1⎥
(C) ( −∞; −4] ∪ [1; +∞ )
(D) ⎜ −∞; − ⎥ ∪ [1; +∞ )
4⎦

⎣ 4 ⎦
⎝
(m − 1)x (m + 2)x − 2m + 1
=
Câu 2: Tập hợp các giá trò m để phương trình:
có nghiệm là
4 − x2
4 − x2
⎛ 7 3⎞
⎛ 5 7⎞
⎛5 7⎞
(B) ⎜ − ; ⎟
(C) ⎜ ; ⎟
(D)
(A) ⎜ − ; ⎟
⎝ 2 2⎠
⎝ 2 2⎠
⎝2 2⎠
Câu 3: Phương trình: x 2 − 2mx + m 2 + 3m − 1 = 0 có hai nghiệm khi và chỉ khi
1
1
1
1
(A) m ≤
(B) m <
(C) m ≥
(D) m ≥ −
3
3
3

3
2
Câu 4: Phương trình: (m + 3)x − 3x + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
5
5
5
(A) m > 3
(B) −3 < m <
(C) m <
(D) m < −3 hoặc m >
2
2
2
⎧3x − 1 ≥ 0
Câu 5: Với giá trò nào của m thì hệ bất phương trình: ⎨
có nghiệm duy nhất ?
⎩x + m ≤ 2
5
5
7
(B) m = −
(C) m =
(D) không có giá trò nào của m
(A) m =
3
3
3

17

ĐỀ SỐ 4:
x2 + 2
là
x2 + 3x − 4
(B) ( −4;1)
(C) ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ )

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số y =

(A) ( −∞; −4 ] ∪ [1; +∞ )

(D) [ −4;1]

Câu 2: Phương trình: x + 4mx + 4m − 2m − 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
5
5
5
5
(A) m ≥ −
(B) m > −
(C) m ≥
(D) m ≤ −
2
2
2
2
2
Câu 3: Phương trình: x − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi
(B) m < 1

(C) m = 1
(D) 1 < m < 3
(A) m < 3
2
Câu 4: Phương trình: x + x + m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
3
3
5
(A) m > −
(B) m < −
(C) m > 0
(D) m > −
4
4
4
1
Câu 5: Tập xác đònh của hàm số y = x 2 + x + 2 +
là
2x − 3
⎛2
⎞
⎡2
⎞
⎡3
⎤
⎛3
⎞
(B) ⎢ ; +∞ ⎟
(C) ⎢ ; +∞ ⎥
(D) ⎜ ; +∞ ⎟

(A) ⎜ ; +∞ ⎟
⎣2
⎦
⎝3
⎠
⎣3
⎠
⎝2
⎠
2

2

ĐÁP ÁN:
x2 + 2
Câu 1: Tập xác đònh của hàm số y =
là
x2 + 3x − 4
(B) ( −4;1)
(C) ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ )
(A) ( −∞; −4 ] ∪ [1; +∞ )

(D) [ −4;1]

Câu 2: Phương trình: x 2 + 4mx + 4m 2 − 2m − 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
5
5
5
5
(A) m ≥ −

(B) m > −
(C) m ≥
(D) m ≤ −
2
2
2
2
2
Câu 3: Phương trình: x − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi
(B) m < 1
(C) m = 1
(D) 1 < m < 3
(A) m < 3
2
Câu 4: Phương trình: x + x + m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
3
3
5
(A) m > −
(B) m < −
(C) m > 0
(D) m > −
4
4
4
1
Câu 5: Tập xác đònh của hàm số y = x 2 + x + 2 +
là
2x − 3
⎛2

⎞
⎡2
⎞
⎡3
⎤
⎛3
⎞
(B) ⎢ ; +∞ ⎟
(C) ⎢ ; +∞ ⎥
(D) ⎜ ; +∞ ⎟
(A) ⎜ ; +∞ ⎟
⎣2
⎦
⎝3
⎠
⎣3
⎠
⎝2
⎠

18


ĐỀ SỐ 5:
Câu 1: Tập xác đònh của hàm số y = x 2 + x + 2 +

⎛2
⎞
(A) ⎜ ; +∞ ⎟
⎝3

⎠

1
là
2x − 3

⎡2
⎞
(B) ⎢ ; +∞ ⎟
⎣3
⎠

⎡3
⎤
(C) ⎢ ; +∞ ⎥
⎣2
⎦

⎛3
⎞
(D) ⎜ ; +∞ ⎟
⎝2
⎠

x2 − 1
là
1− x
(B) [ −1; +∞ ) \ {1}

(C) ( −∞; −1] ∪ (1; +∞ )

(D) ( −∞;1)

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số y =

(A) ( −∞; −1]

Câu 3: Phương trình: x 2 − 7mx − m − 6 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A) m < −6
(B) m > −6
(C) m < 6
(D) m > 6
Câu 4: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 − 13x − 7 = 0 . Giá trò của tổng

(A)

13
7

(B) −

13
7

(C) −

2x + 11
>0
x −1
⎛ 11

⎞
(B) S = ⎜ ; +∞ ⎟
(C)
⎝2
⎠

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:

⎛ 11
⎞
(A) S = ⎜ − ; +∞ ⎟
⎝ 2
⎠

7
13

(D)

7
13

1 1
+
là
x1 x 2

là
⎛ 11 ⎞
⎜ − ;1⎟

⎝ 2 ⎠

11 ⎞
⎛
(D) ⎜ −∞; − ⎟ ∪ (1; +∞ )
2⎠
⎝

ĐÁP ÁN:
Câu 1: Tập xác đònh của hàm số y = x 2 + x + 2 +

⎛2
⎞
(A) ⎜ ; +∞ ⎟
⎝3
⎠

1
là
2x − 3

⎡2
⎞
(B) ⎢ ; +∞ ⎟
⎣3
⎠

⎡3
⎤
(C) ⎢ ; +∞ ⎥

⎣2
⎦

⎛3
⎞
(D) ⎜ ; +∞ ⎟
⎝2
⎠

x2 − 1
là
1− x
(B) [ −1; +∞ ) \ {1}

(C) ( −∞; −1] ∪ (1; +∞ )

(D) ( −∞;1)

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số y =

(A) ( −∞; −1]

Câu 3: Phương trình: x 2 − 7mx − m − 6 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A) m < −6
(B) m > −6
(C) m < 6
(D) m > 6
Câu 4: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 − 13x − 7 = 0 . Giá trò của tổng

(A)

13
7

(B) −

13
7

(C) −

2x + 11
>0
x −1
⎛ 11
⎞
(B) S = ⎜ ; +∞ ⎟
(C)
⎝2
⎠

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:

⎛ 11
⎞
(A) S = ⎜ − ; +∞ ⎟
⎝ 2
⎠

19

7
13

(D)

7
13

1 1
+
là
x1 x 2

là
⎛ 11 ⎞
⎜ − ;1⎟
⎝ 2 ⎠

11 ⎞
⎛
(D) ⎜ −∞; − ⎟ ∪ (1; +∞ )
2⎠
⎝


ĐỀ SỐ 6:
Câu 1: Phương trình: x 2 − 4mx + 2m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
1
1

(B) m < ∨ m > 0
(C) m ∈ ∅
(D) m ∈
(A) 0 < m <
2
2
(x − 1)(x + 3)
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình:
≥ 0 là
2x − 1
⎡ 1⎞
⎛1 ⎞
(A) S = ⎢ −3; ⎟ ∪ [1; +∞ )
(B) S = ⎜ ;1⎟
(C) ( −∞; −3)
(D) S = (1; +∞ )
⎣ 2⎠
⎝2 ⎠
Câu 3: Phương trình: x 2 − 2x − m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < x 2 < 2 khi và chỉ khi
1
(A) −1 < m < 0
(B) −1 ≤ m < 0
(C) m > 0
(D) m > −
4
⎧(2x − 1)(x + 3) < 0
Câu 4: Hệ bất phương trình : ⎨ 2
có tập nghiệm là:
⎩x ≤ 4

1⎞
⎛
(A) S = ⎜ −3; ⎟
2⎠
⎝

1⎞
⎡
(B) S = ⎢ −2; ⎟
2⎠
⎣
x2
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
≥ x + 1 là
x−2
(A) S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) (B) S = ( −∞; −2] ∪ ( 2; +∞ )

⎛ 1⎤
(C) S = ⎜ 0; ⎥
⎝ 2⎦

(D) S = [ −2;2 ]

(C) ( −∞; −2 )

(D) S = ( 2; +∞ )

ĐÁP ÁN:
Câu 1: Phương trình: x 2 − 4mx + 2m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
1

1
(A) 0 < m <
(B) m < ∨ m > 0
(C) m ∈ ∅
(D) m ∈
2
2
(x − 1)(x + 3)
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình:
≥ 0 là
2x − 1
⎡ 1⎞
⎛1 ⎞
(B) S = ⎜ ;1⎟
(C) ( −∞; −3)
(D) S = (1; +∞ )
(A) S = ⎢ −3; ⎟ ∪ [1; +∞ )
⎣ 2⎠
⎝2 ⎠
Câu 3: Phương trình: x 2 − 2x − m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < x 2 < 2 khi và chỉ khi
1
(A) −1 < m < 0
(B) −1 ≤ m < 0
(C) m > 0
(D) m > −
4
⎧(2x − 1)(x + 3) < 0
Câu 4: Hệ bất phương trình : ⎨ 2
có tập nghiệm là:
⎩x ≤ 4

1⎞
1⎞
⎛
⎡
⎛ 1⎤
(B) S = ⎢ −2; ⎟
(C) S = ⎜ 0; ⎥
(D) S = [ −2;2 ]
(A) S = ⎜ −3; ⎟
2⎠
2⎠
⎣
⎝
⎝ 2⎦
x2
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
≥ x + 1 là
x−2
(A) S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) (B) S = ( −∞; −2] ∪ ( 2; +∞ ) (C) ( −∞; −2 )
(D) S = ( 2; +∞ )

20


Chuyên đề 2 :

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA

I. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

⎧a1 x + b1 y = c1
⎨
⎩a2 x + b2 y = c2

a. Dạng :

(1)

Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng ...
b. Giải và biện luận phương trình : Quy trình giải và biện luận
Bước 1: Tính các đònh thức :
a1 b1
= a1b2 − a 2 b1
• D=
(gọi là đònh thức của hệ)
a 2 b2
•

Dx =

c1
c2

b1
= c1b2 − c 2 b1
b2

(gọi là đònh thức của x)

•

Dy =

a1
a2

c1
= a1c 2 − a 2 c1
c2

(gọi là đònh thức của y)

Bước 2: Biện luận

•

Dx
⎧
⎪⎪ x = D
Nếu D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất ⎨
⎪ y = Dy
⎪⎩
D
Nếu D = 0 và D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

•

Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

•

Ý nghóa hình học:

Giả sử (d1) là đường thẳng a1x + b1y = c1
(d2) là đường thẳng a2x + b2y = c2
Khi đó:
1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔ (d1) và (d2) cắt nhau
⇔ (d1) và (d2) song song với nhau
2. Hệ (I) vô nghiệm
3. Hệ (I) có vô số nghiệm
⇔ (d1) và (d2) trùng nhau

Áp dụng:

⎧5 x − 2 y = −9
Ví dụ1: Giải hệ phương trình: ⎨
⎩4 x + 3 y = 2
⎧mx + y = m + 1
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình : ⎨
⎩ x + my = 2
⎧mx + 2 y = 3
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình :
⎨
⎩ x + my = 1
9


Xác đònh tất cả các giá trò của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa x >1 và y > 0

( − 2 < m < 0)
⎧mx + 4 y = m + 2
Ví dụ 4: Với giá trò nguyên nào của tham số m hệ phương trình ⎨
có nghiệm duy nhất
⎩ x + my = m
(x;y) với x, y là các số nguyên.
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:
⎧x + 2 y = 5
Ví dụ : Giải hệ: ⎨ 2
2
⎩ x + 2 y − 2 xy = 5

( m = −1 ∨ m = −3 )

Cách giải: Giải bằng phép thế
2. Hệ phương trình đối xứng :
1. Hệ phương trình đối xứng loại I:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì hệ phương trình không thay đổi.
b.Cách giải:
Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với S 2 ≥ 4 P ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn S 2 ≥ 4 P .
Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :
X 2 − SX + P = 0 ( đònh lý Viét đảo ).
Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ
Áp dụng:
Ví du 1ï: Giải các hệ phương trình sau :
⎧ x 2 + y 2 = 13
⎧ x 2 + xy + y 2 = 4

⎧ xy + x + y = 11
⎧ x + y + xy = −7
1) ⎨
2) ⎨ 2
3)
4)
⎨
⎨ 2
2
2
⎩ x + y − 3 x − 3y = 16
⎩ xy + x + y = 2
⎩ x y + xy = 30
⎩3( x + y ) + 2 xy + 9 = 0

⎧⎪ x + y = 4
⎧ x 4 + y 4 = 34
7) ⎨
8) ⎨
⎪⎩ x + y − xy = 4
⎩x + y = 2
3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
2) (2; −3),(−3;2),(1 + 10;1 − 10),(1 − 10;1 + 10)

⎧⎪ x 2 y + xy 2 = 30
5) ⎨ 3
⎪⎩ x + y 3 = 35

1) (0;2); (2;0)

⎧⎪ x y + y x = 6
6) ⎨
⎪⎩ x 2 y + xy 2 = 20

10
10
10
10
; −2 −
),(−2 −
; −2 +
)
2
2
2
2
8) (1 − 2;1 + 2 ),(1 + 2;1 − 2 )

4) (3; −2),(−2;3),(−2 +
7) (4;4)

5) (2;3);(3;2)

6) (1;4),(4;1)

⎧⎪ x + y = 1
Ví dụ2 : Với giá trò nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: ⎨
⎪⎩ x x + y y = 1 − 3m

10

2. Hệ phương trình đối xứng loại II:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ.
b. Cách giải:

•
•

Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ .

Áp dụng:
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
⎧⎪2 x 2 + y = 3y 2 − 2
1) ⎨ 2
2
⎪⎩2 y + x = 3 x − 2

⎧
⎪⎪3 x + y =
4) ⎨
⎪3y + x =
⎪⎩

1
x2
1
y2

⎧⎪2 x 2 + xy = 3 x
2) ⎨ 2
⎪⎩2 y + xy = 3 y
⎧
y2 + 2
=
3
y
⎪
x2
⎪
5) ⎨
2
⎪3x = x + 2
⎪⎩
y2

⎧⎪ y 2 = x 3 − 3 x 2 + 2 x
3) ⎨ 2
3
2
⎪⎩ x = y − 3y + 2 y

III. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai:
a. Dạng :

⎧⎪a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1
⎨ 2
2

⎪⎩a2 x + b2 xy + c2 y = d2

b. Cách giải:

x
x
y
= t hoặc = t . Giả sử ta chọn cách đặt = t .
y
y
x
Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:
Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ?
Bước 2: Với y ≠ 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta
khử y để được 1 phương trình chứa t .
Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y.
Đặt ẩn phụ

Áp dụng:
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
2
2
⎪⎧3 x + 2 xy + y = 11
1) ⎨ 2
2
⎪⎩ x + 2 xy + 5y = 25

⎧⎪6 x 2 − xy − 2 y 2 = 56
2) ⎨ 2
⎪⎩5 x − xy − y 2 = 49

IV. Các hệ phương trình khác:
Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
a. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình :
⎧ x 2 + y 2 − x − y = 12
⎧ xy − x + y = −3
1) ⎨ 2
2)
⎨
2
⎩ x + y − x + y + xy = 6
⎩ x( x − 1) y ( y − 1) = 36
11

3
2
⎪⎧2 x + 3 x y = 5
3) ⎨ 3
2
⎪⎩ y + 6 xy = 7

2
2
⎪⎧ x − y + x − y = 5
3) ⎨ 3
2
2
3
⎪⎩ x − x y − xy + y = 6

b. Sử dụng phép cộng và phép thế:
2
2
⎪⎧x + y − 10x = 0
Ví dụ: Giải hệ phương trình : ⎨ 2
2
⎪⎩x + y + 4x − 2y − 20 = 0
c. Biến đổi về tích số:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau:
⎧⎪ x 2 + x = y 2 + y
1) ⎨ 2
⎪⎩ x + y 2 = 3( x + y )

⎧⎪ x 3 + 7 x = y 3 + 7 y
2) ⎨ 2
⎪⎩ x + y 2 = x + y + 2

1
1
⎧
⎪x − x = y − y
3) ⎨
⎪2 y = x 3 + 1
⎩

--------------------------Hết------------------------

12

Chuyên đề 3:

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA

I. Các điều kiện và tính chất cơ bản :
*
*

A có nghóa khi A ≥ 0
A ≥ 0 với A ≥ 0

*

A2 = A

*
*
*

( A)

2

=A

&

⎧ A nếu A ≥ 0
A =⎨
⎩- A nếu A < 0

với A ≥ 0

A.B = A. B
khi A , B ≥ 0
A.B = − A. − B khi A , B ≤ 0

II. Các đònh lý cơ bản :
a) Đònh lý 1 : Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì :
b) Đònh lý 2 : Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì :
c) Đònh lý 3 : Với A, B bất kỳ thì :

A=B
A>B
A=B
A>B

⇔
⇔
⇔
⇔

A2 = B2
A2 > B2
A3 = B3
A3 > B3

III. Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải :

* Dạng 1 :
* Dạng 2 :

* Dạng 3 :

* Dạng 4:

⎧A ≥ 0
A= B⇔⎨
⎩A = B
⎧⎪ B ≥ 0
A =B⇔ ⎨
2
⎪⎩ A = B
⎧A ≥ 0
⎪
A < B ⇔ ⎨B > 0
⎪
2
⎩A < B
⎡⎧A ≥ 0
⎢⎨
⎢ ⎩B < 0
A >B⇔ ⎢
⎧B ≥ 0
⎢ ⎪⎨
2

⎣⎢ ⎪⎩ A > B

13

(hoặc B ≥ 0 )