TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.6 MB, 68 trang )
TỔNG HỢP CÁC DẠNG
TOÁN TÍCH PHÂN
Website: www.alfazi.com
Fanpage: fb.com/alfaziapp
Group: fb.com/groups/alfazi
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
dx x C
x
x
dx
C
1
1
dx
x
e
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
1
ax b
ax b
x
e
x
1
sin
2
x
axb
1
a
dx eaxb C
1
dx tan x C
dx cot x C
1) Các tính chất tích phân:
b C
cos 2 ax b
1
a
b C
Cho
các hàm số f(x)
và g(x)
liên tục trên [a; b]
a
b
a2
f (x)dx 0
;
a
k. f (x)dx k f (x)dx
b
a.
a
ax b
sin
f (x)dx f(x)dx
a
b
b.
a
1
cosax bdx sin ax b C
a
1
sin ax bdx cosax b C
a
1
1
dx tanax
cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
2
dx
ax b C a1
1 ax b
1
ln ax b C x 0
a
1
dx
dx e C
ax
a x dx C 0 a 1
ln a
cos
1
C 1
ln x C x 0
x
d ax b
1
dx cotax
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
du u C
1
u
u du C 1
1
du
ln u C u 0
u
e du e C
u
u
a dx
u
au
C 0 a 1
ln a
cos udu sin u C
sin udu cos u C
cos
2
u
1
sin
2
u
1
du tan u C
du cot u C
a
b
b
( k là hằng số)
b
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
a
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
b
a
c
a
a
b
( với a < c < b )
c
2) Các công thức lượng giác:
a) Công thức nhân đôi:
* sin2a = 2sina.cosa
* cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
b) Công thức hạ bậc:
* sin2a = 1 cos2a
2
* cos2a = 1 cos 2a
2
c) Công thức biến đổi tích thành tổng:
* cos a.cosb 1 cos(a b) cos(a b)
2
* sin a.cos b 1 sin(a b) sin(a b)
2
* sin a.sin b 1 cos(a b) cos(a b)
2
2
3) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
1
n
*
aa
và
n
n
a a
m
m
n
a
a
n
n
b
b
1
* a0 = 1; a1 = a ; a-n = n
a
n
* n a.n b n a.b ;
a
a
.a
a
*
; a
a
* a.b
* a
a a
a .b ;
b
b
a .
4) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
* a2 – b2 = (a+b)(a – b)
* a b2 a2 2ab b2
* a3 b3 (a b)(a2 a.b b2 )
* a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1
Trong phần tích phân này chúng ta chỉ cần dùng các phương pháp bình thường với các công thức trên bảng
nguyên hàm đã có sẵn để có thể tìm ra đáp án.
Câu 1: Tính các tích phân sau.
2
1
(3x 1) dx
3
a) I1 =
0
e x2dx
b)I2 =
0
c)I3 =
3
2x 1 dx
1
0
Giải
1
a) I1 = (3x 1)3dx =
0
1 (3x 1)
.
3
4
4 1
0
Ta thấy mình đã áp dụng công thức
2
b) I2 = e x2dx =
0
1
5
3 14 (1) 4
4
12
1 ax b 1
ax
b
dx
a
0
C 1
2
1 x2
e
= – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1
1
0
Ta thấy mình đã áp dụng công thức e axb dx
c) I3 =
1
1
3
2x 1
2x 1 dx = 3. 2 ln
3)
1
Ta thấy mình đã áp dụng công thức
0
1 axb
e
C
a
= 3 (ln1 ln
2
1
dx
1
ln ax b C x 0
ax b a
Câu 2: Tính các tích phân sau.
2
a) J1 =
x
0
x
2
1
2x 3
dx
b) J2 =
2 x
0
1
2
d
8
c) J3 =
1
x 26 x
d
6
x
x
3
a) Ta có:
(x2 +
1)2 =
(x2)2 +2.x2.1
+
12 =
x4 +
2x2 +
Giải
1
2
x5
206
x3
suy ra J1 = x 1 dx = (x 2x 1)dx = 2 x =
3
15
0
5
0
0
2x 3 2 x 2 3 4 2 2 x 7
1
b) Ta có :
2 7.
2 x
2 x
2 x
2 x
1
1
1
2x 3
1
dx = (2 7.
)dx 2x 7 ln 2 x
suy ra J2 =
0
2 x
0 2 x
0
= (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 .
x 2 6 x x1/2 2x1/6
x1/21/6 2 x1/3 2
c)
1/6
6
x
x
2
2
2
x
1/3
1
=
101
4
2
8
8
suy ra: J3 =
2
3
2dx x 4/3 2x =
4
1
3 84/3 28 ( 3 2)
4
4
= 25,25.
4
Câu 3: Tính các tích phân
sau.
8
b) K2 = cos2 2xdx
4
a) K1 = sin3x.cos xdx
0
0
Giải
1
a) Ta có: sin3x.cosx = sin4x sin2x
2
1
Ta đã áp dụng công thức nhân đôi hồi học 11. sin a.cos b sin(a b) sin(a b)
2
1
suy ra K1 =
2
4 1
1 1
1
=
(sin4x
s
in2x)dx
cos
4x
cos2x
4
2
2
2
0
0
4
8
b) K2 = cos2 2xdx
0
Ta có: cos22x =
1 cos 4x
2
1 8
1
8 1
1
(1 cos 4x)dx x sin4x =
suy ra K2 =
0 2
2 0
2 4
Câu 4: Tính các tích phân sau.
1
1) L =
1
sin 4 0 = 1 1 .
8 4
8
2 8 4
(x 3x 2)dx
4
2
0
2) I = 3 1 sin x d
sin 2 x x
6
12
4) M =
sin 7x.sin 5xdx
0
2
4
3) K =
2x 3 5x 2
x2
dx
1
3
5) P = sin2 3xdx
0
Giải
4
1
x5
1
6
x 3 2x 1 2
1) L = (x 3x 2)dx
5
5
0 5
0
1
4
2
4
1 sin x
dx 12 sin x dx cot x cos x 4 cot cos cot cos
2
4
6
4
6
sin x
sin x
6
4
3
2) I
6
6
2
3
1
3
2
2
Ta đã áp dụng 2 công thức:
2
3) K =
2x 5x
1 x2 dx
3
2
22 3
2
1
sin
2
u
du cot u C và sin udu cos u C
2
2x 5dx x
2
5x 22 5.2 1 5 2
2
1
1
12
sin 7x.sin 5xdx
4) M =
0
Nhìn vào câu này ta sẽ áp dụng công thức tích thành tổng trong lượng giác.
sin a.sin b 1 cos(a b) cos(a b)
2
1 1
1
12
M cos2x cos12x dx sin 2x sin12x
20
22
12
0
1 12
1 1
1
1
1
1
sin sin sin 0 sin 0
12
2 2
6 12
2
8
Áp dụng công thức tính tích phân cosax bdx 1 sin ax b C
a
3
5) P = sin 2 3xdx
0
Nhìn vào thấy sin2 3x thì không có công thức nào tính trực tiếp. Nhưng ta còn nhớ đến công thức hạ bậc
1 cos 2a
trong lượng giác sin2 a
. Như vậy là ta sẽ dễ dàng áp dụng công thức trong bảng
2
nguyên hàm.
1
1
3 1 1
P 1 cos6x dx x sin6x sin 2 sin 0
20
2
6
0 2 3 6
6
13
PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu
a2 x2
Cách chọn
x a sin t
x a cost
5
x a
2
x
x
2
a
sin t
a
cost
x a tgt
x a cot gt
a2x2
ax ax
x a cost
ax ax
x a cost
a 2 b2 x2
1
, n=1, 2, …
(a 2 b2 x2 )n
x
a
x
a
sin t b
tgt b
b
Cần tính I =
f(x)dx
a
Loại 1: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt
+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới.
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Câu 1 : Tính các tích phân sau.
2
a) I1 =
3
4 x2 dx
b) I2 =
0
1
9 x
2
dx
0
Giải
2
a) I1 =
4 x2 dx
0
Đặt x = 2sint , t ; (u(t) = 2sint) dx = 2costdt
2 2
Đổi cận
x
0
2
t
0
2
2
I1 =
0
4 x2 dx =
2
2
2
2
0
0
0
0
4 4sin 2 t.2cost dt = 4 1 sin2 t .cost dt = 4 cos2 t.cost dt =4 cos2 tdt
6
2
1
= 2 (1 cos 2t)dt = 2 t sin2t = .
0
2
0
2
3
1
9 x
b) I2 =
dx
2
0
3
Đặt x = 3tant, t ; dx =
= 3(1 +tan2t)dt
cos2 t
2 2
Đổi cận
x
0
3
t
0
4
1
1 4 = 1 .
1
3(1 tan t)
3(1 tan t)
t
dx=
dt
=
dt
=
dt
=
9(1 tan 2 t)
0 9 9 tan 2 t
3 0
3 0
3 4
9 x2
0
0
Loại 2: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx
+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là và thì =u(a) = u(b).
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính.
3
2
4
I2 =
4
2
4
Câu 2: Tính các tích phân sau.
2
2
e
xe dx
x
a) J1 =
b)J2 =
1
1
2
d) J4 =
/2
4 x 2 .xdx
cos x
(1 sin x)
e)J5 =
0
1
1 ln x
dx
x
4
3
4
5
c)J3 = x (x 1) dx
0
dx
0
Giải
2
2
x
a) J1 = xe dx
1
Đặt u = x2 du = 2xdx xdx =
1
du
2
Đổi cận
x
1
t
2
1
4
2
x
J1 = xe dx =
2
1
4
2 e du = 12 e
1
u
u 4
1
1
=
1 ( e4 – e 1) = 1 ( e4 – e)
2
2
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy rằng: x x2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1 2
1
J1 = xe dx x 2 ex dx e x d x 2 e x e4 e
21
2 1 2
12
1
e
1 ln x
b)J2 =
dx
x
1
x2
7
Đặt u = 1 ln x u 2 = 1 + lnx 2udu =
Đổi cận
x
1
e
2
1 ln x
1
t
e
J2 =
1
dx
x
2
dx =
x
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy: ln x x
1
2
u.2udu =
1
3
2
u3
1
=
2
2
( 2)3 13 ) = (2 2 1)
3
3
e
e
J2
e
1 ln
dx ln x 1ln xdx
x x
1
1
e
1
1 ln x 2 dln x
1
1 lnx
1
1
1
2
1
2
2
1 ln x 1 ln x
3
e
1
1
4 2 2
2
2. 2 1
3
3
1
3
4
5
c)J3 = x (x 1) dx
0
Đặt u = x4 – 1 du = 4x3dx x3dx =
1
du
4
Đổi cận
x
0
1
-1
t
0
1
J3 =
x3 (x 4 1)5dx =
0
0
0
5 1
1 u6 = 1
u
du
4 = 46
24
1
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy: x3 x 4 1
4
1
1
J 3 = x3 (x 4 1)5 dx
0
0
x
4
1
4
1 x 4 1 dx
5
11
x
4
4
1 d x 4 1
5
0
1 x
.
4
4
1
61
6
1
1
0 1
24
24
0
2
d) J4 =
2
4 x .xdx
0
Đặt u = 4 x2 u2 = 4 – x 2 2udu = – 2xdx xdx = –udu
Đổi cận
x
0 2
2
J4 =
0
2
t
0
0
2
2
4 x 2 .xdx = u.( u)du = u 2du = 1 u 3 2 = 8
0
3
0
3
Cách 2: Dùng hàm hợp
8
Ta thấy: x
1
4 x2
2
2
J4 = 4 x .xdx
2
0
0
1
4 x2 4 x2
3
/2
cos x
(1 sin x)
e)J5 =
2
4
2
0
1
12
1 4 x
1
2 2
2
4 x 4 x dx 4 x d 4 x 2 .
1
20
2
2
1
2
1
1
2 2
2
2
0
1
8
4 22 4 22 4.2
3
3
dx
0
Đặt u = 1 + sinx du =
cosxdx Đổi cận
x
0
t
1
2
2
/2
2
du
cos x
J5 =
dx =
=
4
u4
(1
sin x)
1
0
Cách 2: Dùng hàm hợp
2
u
1
4
2
du = 1 u 3 = 7
1
24
3
Ta thấy: cos x 1 sin x
2
2
2
1 sin x
cosx
1
1
4
J5
dx
dx 1 sin x d 1 sin x .
4
4
(1 sin x)
3 1 sin x 3
0 1sin x
0
0
2
0
1
1
1
1 1 1 7
3
3
3
3 8 24
1 sin 0
1 sin
2
Câu 3 : Tính các tích phân sau.
2
6
a) I =
b) J = x
1 4 sin x.cos xdx
3
0
(3 ln x)dx
d) L =
x
1
e
g) N =
0
0
3
c) K =
8.x 2 dx
e x dx
2 e1x
1
x 2
.x.dx
e
0
Giải
6
a) I = 1 4 sin x.cos xdx
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t 1 4 sin x t2 1 4 sin x 2tdt 4 cos xdx cos xdxtdt
2
Đổi cận
9
x
0
6
3
1
t
3
3
3
t3
1 3 3 1
2
tdt 1 t dt
t.
I
6
6
6
6
1
2 2
1
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy rằng: cos x 1 4 sin x nên ta dùng phương pháp hàm hợp cũng rất nhanh. Vì cách này mình
4
làm trực tiếp.
3
3
6
I 1 4 sin x. cos xdx
0
0
1 .1 4 sin x 1 4sin x
6
1 1
1
1
16
1 1 4 sin x 2
1 4 sin x. 1 4 sin x dx 1 4 sin x 2 d 1 4 sin x .
1
4
40
4
1
2
6
3 3 1
1
1 4sin 1 4 sin 1 4 sin 1 4sin 0
6
6
6 0
6
6
0
2
b) J = 3 x 3 8.x 2 dx
0
Đặt t x 8 t x 8 3t2dt 3x2dx t2dt
x2dx
Đổi cận
x 0
2
4t 0
t0 -2
00
2
3
4
J t.t dt t dt
4
2
2
2
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy được: x2 x3 8
3
3
3
3
2
2
0
0
3
J 3 x 3 8.x 2 dx 3 x 3 8.
1 x 8
1 3
1
x 8 dx x 3 8 d x3 8
3
30
3 1 1
3
2
1
3
3
1
1
3
2
0
4 2
4
4
1
1 3
x 8 3 23 8 3 83 4
4
4
0
1
c) K =
.x.dx
2
e x
0 2 dt 2xdx xdx
Đặt t x
dt
2
Đổi cận
x
0
0
t
1
-1
10
1
1
t 1
1
dt
e
ee
K e t.
e 1 e0
1
2
2
2
2
0
0
2e
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thây được: x x2
2
1
1
1
1 1 x
1 x 1
1 1 e 1
1
x
x
2
2
e 1 e 0 1
K e .x.dx e
x dx e d x e
2
20
2
2
2 e
2
0
0
0
x
2
u
Cái chỗ: 1 e d x thì ta xem như là dạng 1 e d u rồi áp dụng công thức như thường.
1
2
2
2
2
2
0
0
1
e
dx e axb C . ở đây thật ra ta thay cái ẩn trong công thức là x thành x2 nên cũng có thể xem nó như
dạng là eaax b d x rồi áp dụng công thức như thường.
axb
e
d) L =
1
2
2
(3 ln x)dx
x
Đặt t 3 ln x dt
dx
x
Đổi cận
x
1
t
3
7
2
e
7
2
7
2
2
13
1 7
2
2 2 3
8
3
3
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy: 3 ln x
x
t2
L tdt 2
e
3( nl
L
ln x 3 ln x dx
x)dx
1
1
x 1 2
2
1
lne
1
3 4 13
3lne2
2
2
2
1
x
8
e dx
g) N =
x
2e
0
e
e
2
ln 2 e
x
ln
e
3 ln x d ln x 3ln x 2 3ln
2
1
1
e
Đặt t 2 e x dt e x dx
Đổi cận
x
t
0
3
1
2e
2e
dt
2e
ln
t
ln 2 e ln 3 ln
3
3 t
3
Cách 2: Dùng hàm hợp
2e
N
11
Ta thấy: ex 2 ex
1
2 ex dx 1 d 2 ex
e xdx
ln 2 ex
N
x
x
x
2
e
2
e
2
e
0
0
0
1
1
0
2e
3
ln 2 e ln 3 ln
PHẦN III: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
b
b
Công thức: udv uv a vdu
b
a
a
b
Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I P(x).Q(x)dx
a
Dạng
P(x): Đa thức
hàm Q(x): sinkx hay coskx
P(x): Đa thức
Q(x):ekx
*u = P(x)
*dv là Phần còn lại
Cách
của biểu thức dưới
đặt
dấu tích phân
Câu 1: Tính các tích phân sau.
3
1
2x cos 2xdx
b)I2 = (x 1)e dx
c) I3 = 2x ln(x 1)dx
2x
0
0
2
Giải
/4
a) I1 =
P(x): Đa thức
1
Q(x):
1
hay
2
2
sin x cos x
*u = P(x)
*dv là Phần còn lại của
biểu thức dưới dấu tích
phân
*u = P(x)
* u = ln(ax + b)
*dv là Phần còn lại * dv = P(x)dx
của biểu thức dưới
dấu tích phân
/4
a) I1 =
P(x): Đa thức
Q(x):ln(ax+b)
2x cos 2xdx
0
du 2dx
u 2x
Đặt:
1
dv cos 2xdx v sin2x
2
/4
I1 =
=
/4
2x cos 2xdx = x.sin2x 0
/4
–
0
sin 2xdx
0
1
1
(cos cos 0) =
4 2
2
4 2
=
sin 0 1 cos 2x /4
0
4
2
2
1
b) I2 = (x 1)e2 xdx
0
du dx
u x 1
Đặt:
1
2x
v e2 x
dv e dx
2
1
1
I2 = (x 1)e dx = (x 1)e2 x
2
0
1
–
2x
0
11
e
2
0
2x
dx =
1
1
1
1
1
[(11)e2 (0 1)e0 ] e2 x = (2e2 1) (e2 1)
0
4
2
2
4
3e 1
4
2
=
12
3
c) I3 = 2x ln(x 1)dx
2
1
u ln x 1 du
dx
Đặt:
x 1
dv 2xdx
v x 2
3
I 3 = 2x ln(x 1)dx = x 2 ln(x 1) –
2
3
2
3
3
x2 1 1
x 1 x 1 1
x2
dx
=
9ln2
–
0
dx
9ln2
2 x 1
2
x 1
x 1
2
3
3
1
x2
= 9ln2 – (x 1
)dx = 9ln2 – ( x ln x1)
2
x 1
2
Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu
u ln x 1 du 1 dx
x 1
2
dv 2xdx
v x 1 x 1x 1
3
= 8ln2 –
2
3
7
2
3
x
7
I 3 x 1 x 1 ln(x 1) 2 x 1 dx 2.4.ln 2 x 8ln 2
2
2
2
2
3
2
Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x. Như đã biết 2xdx x2 c
,trong đa số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0. Trong bài tích phân vừa tính,chọn
c 1 thích hợp hơn.
Câu 2: Tính các tích phân sau.
4
xdx
cos2 x
0
2
b) J2 = ln xdx
2
a) J1 =
1
x
Giải
4
xdx
2
cos
x
0
a) J1 =
u x
du dx
Đặt:
dx
v tanx
dv cos2 x
J1 =
4
/4
xdx
= x.tan x 0 –
2
cos x
0
/4
tan xdx = x tan x
d cos x x tan x 4 ln cos x
x tan 04
0
cos x
0
x
b) J2 = 2 ln xdx
2
1
4
sin x dx x tan x
0
0
0
4
4
4
0
=
4
tan
cos x
0
4
cos x dx
cosx
4
0
2
/4
= ln 2
0 ln cos x 0 = ln
4
2 4
4
x
du dx
u lnx
x
Đặt:
dx
dv 2
1
v
x
x
13
2
2
2
2
ln xdx
1
1
1
1
1
1
+
= ln 2 ln1
J2 =
ln
x
= ln 2 (
=
2
2 dx
2
x1
x
x
(1 ln 2) 2
x
1
1
1
2
1
1) =
2
x 1
1
Giải thích: 12 x2 có 1 nguyên hàm là
1
x
x
ln xdx
thì ta lại dùng phương pháp đổi biến
x
2
Chú ý: Lưu ý: Nếu tính
1
Câu 3: Tính các tích phân sau.
e
1
(x 3)e dx
a) I 1=
4
b) I2 = (1 2x) ln xdx
x
1
c) I3 =
0
1
xdx
2
x
cos
e
d) I4 =
2ln x
dx
2
x
1
Giải
1
a) I 1=
(x 3)e dx
x
1
u x 3
du dx
Đặt:
x
x
dv e dx v e
I1 x 3 e
1
x 1
1
exdx x 3 ex
1
1
1
ex
1
1
4e 2.e1 e e 1 3e e1
3e2 1
e
e
b) I2 = (1 2x) ln xdx
1
dx
u ln x
du
Đặt:
x
dv 1 2x dx
v x 2
e
e
e
I2 x ln x 1 xdx x ln x 1
2
2
1
x2
2
e
1
e2 1
e2 1
e2
2 2
2 2
4
c) I3 =
xdx
2
x
cos
0
u x
du dx
Đặt:
dx
v tanx
dv cos2 x
I3 x tan x
x tanx
4
0
4
0
4
0
4
tan xdx x tanx
ln cos x
4
0
4
ln
2
2
0
4
sin x
dx x tanx
cos x
0
0
4
cos x dx x tanx 0
cos x
4
0
4
4
d cos x
cos x
0
14
e
2ln x
dx
x2
d) I4 =
1
du 2dx
u 2 ln x
x
Đặt:
dx
dv
v 1
x2
x
e
e dx
2 ln x e 2 e
2 2
4
2 ln x
2 2
2 2
I4
x
x 1 x1
e e
e
x 1
1
PHẦN IV: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P2
Câu 1: Tính các tích phân sau.
a) I1 =
1
0
3
b) I2 =
x dx
1
0
(2x 1)3 dx
1 4x dx
1
3
0
e) I5 2x 3 x 2 3x 1 dx
d) I 4 x 1x 2 2x 5 dx
1
c) I3 =
1
3
0
3
0
Giải
a) I1 =
1
b) I2 =
1
0
0
4
x 3dx =
x
4
1
0
1
¸ p dông c«ng thøc
4
x dx
x 1
C 1
1
(2x 1)3 dx
Với dạng câu này ta có nhiều cách làm.
Cách 1: Chúng ta phân tích nó ra rồi áp dụng công thức tính tích phân như thường . Áp dụng công thức:
a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3
I2 =
1
0
1
(2x 1)3 dx
8x
12x 2 6x 1dx 2x4 4x 3 3x2 x 10 2 4 3 1 10
0
¸ p dông c«ng thøc
Cách 1: Đổi biến số
I2 =
3
1
0
x dx
x 1
C 1
1
(2x 1)3dx
Đặt t = 2x 1 dt 2dx dx
Đổi cận
x
0
t
1
2
1
3
3
1 t4
1 3
t dt
2 1
2 4
Cách 3: Dùng hàm hợp
Cách này có lẽ là lẹ nhất.
Suy ra: I 2
dt
3
1
1 4
3 1 10
8
15
1 2x 1
1
11
3
3
I2 = (2x 1) dx = 2x 1 2x 1 dx 2x 1 d 2x 1
0
2
4
20
2
0
1
1
4 1
3
0
1
2 14 1 10
8
1 4x dx
1
c) I3 =
3
0
Cách 1: khai triển hằng đẳng thức a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3
I3 =
1
0 1 4x
1
3
dx =
112x 48x
2
64x 3 dx x 6x 2 16x 3 16x 4 1 6 16 16 5
1
0
0
Cách 2: Đổi biến số
I3 =
1 4x dx
1
3
0
Đặt t 1 4x dt 4dx dx
Đổi cận
x
0
1
1
t
dt
4
-3
1 3
1 t4
Suy ra: I3 t dt
44
41
3
3
1
4
1 3 1
5
4 4
4
Cách 3: Dùng hàm hợp
I3 =
1 4x dx =
1
3
0
4 1
1
1
1 1 4x
3
3
4 1 4x 1 4x dx 4 1 4x d 1 4x 4 4
0
0
1
1
d) I 4 0 x 1 x 2 2x 5 dx
1
0
4
1 1 4 1
5
4 4
4
3
Đối với câu này nếu như đi dùng phương pháp khai triển hằng đẳng thức rồi nhân phân phối vào thì ghi rất
mệt nên ta sẽ bỏ qua cách đó.
Cách 1: Đổi biến số
Ta dễ dàng quan sát thấy được nếu như x2 2x 5 2x 2 2 x 1 thì nhìn vô biểu thức tích phân
x 1 nên mình dễ dàng nghĩ ngay tới chuyện đổi biến số kiểu bên dưới.
dt
Đặt t x2 2x 5 dt 2x 2 dx x 1 dx
có cái
2
Đổi cận
x
0
1
5
4
t
4
14
1t
Suy ra: I 4 t3dt
2 4
25
Cách 2: Dùng hàm hợp
4
5
1 44 5 4
369
2 4 4
8
I 4 0 x 1 x 2 2x 5 dx
1
3
3
3
1
11
1 x 2x 5
x 2 2x 5 x 2 2x 5 dx x 2 2x 5 d x 2 2x 5
20
2
4
02
1
2
4 1
1 1 2 54 54 369
8
8
0
16
e) I 5 2x 3 x 2 3x 1 dx
1
3
0
Cách 1: Đổi biến số
Ta quan sát thấy được x2 3x 1 2x 3 nên ta hãy nghĩ tới cách đổi biến như bên
dưới. Đặt t x2 3x 1 dt 2x 3 dx
Đổi cận
x
0
1
1
t
-1
1
1
t4
Suy ra: I5 t dt
4
1
14 14
3
4
1
0
4
Cách 2: Dùng hàm hợp
I5 2x 3x 2 3x 1 dx
1
3
0
3
x 3x 1x2 3x 1
1
2
x
dx
2
3x1
4 1
4
0
1 3
1
0
14
0
4
4
Câu 2: Tính các tích phân sau.
1
4
7
a) I1 xdx
4
c) I3
2x 1dx
b) I2
x
2dx
1
2
e) I5 x 1
x 2 dx
0
1
d) I4 x 1 x 2 dx
0
1
f) I6
0
1
0
1 x
x 2 2x 3dx
0
1
h) I8 x 2 2x x 3 3x2 2dx
g) I7 x 2 x 3 1dx
0
0
Giải
1
a) I1
xdx
0
với dạng này ta chuyển về hàm mũ để áp dụng công thức ¸ p dông c«ng thøc
1
1
1
I
1
xdx x
1
dx
0
7
0
2
1
x 1
x dx 1 C 1
1
1
3
x2
2 2
2
x
1
3 0 3
1
2
0
b) I2 x 2dx
2
Với dạng này ta cứ chuyển về hàm mũ.
7
7
7
1
I2 x 2dx x 2 2 dx
2
2
1
1
2
x 2
1
1
2
7
3
3
3
2
x 2 2 2 7 2 2 2 2 2 38
3
7
3
2
2
17
¸ p dông c«ng thøc
ax b
1 ax b
dx
a 1
1
C 1
4
4
c) I3
0
3
2
1 2x 1
2x 1dx = 2x 12 dx
3
2
0
2
4
1
3
2
2x 1
4
3
0
3
2.4 12
3
1 26
3 3
0
1
2
d) I4 x 1 x dx
0
Cách 1: Đổi biến số
Với phương pháp này chúng ta cần chú ý là đặt ẩn như thế nào đó mà chúng ta có thể thay hết các
ẩn trong dấu tích phân ban đầu thành 1 loại ẩn khác thôi. Trong dấu tích phân không được chứa 2
ẩn. Như là ban đầu trong dấu tích phân chỉ có ẩn x thì khi đặt ẩn t thì làm sao đó ẩn x phải mất hết.
Đặt t 1 x2 t2 1 x2 2tdt 2xdx tdt xdx
Đổi cận
x
0
1
2
1
t
2
2
2
t3
Suy ra: I 4 t.tdt t 2dt
3
1
1
2
3
3
1
1 1 2 2
3
3
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
1
1
1
1
1
1
1 x 2 1 x 2 dx 1 x 2 d 1 x 2 1 x 2 2 d 1 x 2
20
20
02
I4 x 1 x 2 dx
0
31
1
12
=
1 x 2 2 1 x2 1 x3
23
3
0
1
1
0
1
2 2 1
1
2 2 1
3
3
2
e) I5 x 1 x dx
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t 1 x 2 t 2 1 x 2 2tdt 2xdx tdt xdx
Đổi cận
x
0
1
1
0
t
0
0
0
1
1
t3
2
Suy ra: I 5 t.tdt t dt 3
0 3 1 1
3 3
3
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
1
0
0
I5 x 1 x 2 dx
1
1
1
1
1
1
1 x 2 1 x 2 dx 1 x 2 d 1 x 2 1 x 2 2 d 1 x 2
2
20
20
18
31
1
12
=1 x 2 2 1 x2 1 x3
23
3
0
1
1 x
f) I6
1
1
1 0 1
3
3
0
x2 2x 3dx
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t x2 2x 3 t 2 x2 2x 3 2tdt 2x 2 dx tdt x 1 dx tdt 1 x dx
Đổi cận
x
0
1
3
t
2
t 3
Suy ra: I6 t.tdt
3
3
2
2
1
3
3
2 3 31 2 2 3 3 23 2 3
3
3
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
I6
1
1 x
x2 2x 3dx
0
1
0
1 2
x 2x 3 x2 2x 3dx
2
1
1
1
1
=- x 2 2x 3d x 2 2x 3 x 2 2x 32 d x 2 2x 3
20
20
3
2
2
1 x 2x 3
=
3
2
2
1
2
1
3
3
1
1
2 2
2
2
3
1 2 3 3 2 2 3 3
3
3
3
0
3
g) I7 x x
1dx
0
2tdt 2
Cách
3 1: Đổi 2
3
2
x dx
xsố 1 t x 1 2tdt 3x dx
Đặt t biến
3
Đổi cận
x
0
1
2
1
t
2
t.
Suy ra:
2tdt
2
2
t
3
2
3
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
1
I7 x
1
2
0
dt
2t3
33
1
1
x 1dx x3 1
03
3
2
2 1 4
2
9
3
2 2
9
1
11
1 2
x 1 dx x 3 1 2 d x 3 1 . x 3 1
30
3 3
3
31
2
0
2 23
2 1
9
4 22
2
2 2 1
9
9
19
h) I 8
1
x
2
2x x 3 3x2 2dx
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t x 3 3x 2 2 t 2 x 3 3x 2 2 2tdt 3x 2 6x dx
Đổi cận
x
0
2tdt
x 2 2x dx
3
1
2
t
0
0
2tdt 2
Suy ra: I8 t.
3
3
2
0
2 t3
2
t
dt
33
2
0
2 4 2
3
2
3
2
3
9
Cách 2: Dùng hàm hợp
I8
1
x
1
1
2x x3 3x2 2dx
1 3
1
x 3x2 2 x3 3x2 2dx x3 3x 2 2d x3 3x 2 2
30
03
2
0
1
3
1
3
1
2
2
4 2
1
2
= x 3 3x 2 2 2 x 3 3x 2 2 2 0 2 2 . 2 2
30
9
9
9
9
0
Câu 3: Tính các tích phân sau.
4
a) I1
1
1
d) I4
0
1
dx
x
b) I2
1
e) I5
x 2 2x 2
c) I3
2x 1
0
x 1 dx
0
dx
0
1
dx
1 2x
x 2 dx
x 2 4x 5
Giải
4
dx
x
1
Dạng này ta cũng chuyển về hàm mũ cho dễ làm. Để khỏi mắt công nhớ nhiều công thức quá nặng não.
a) I1
4
dx
I1
x
1
4
4
1
1
dx
1 x2
1
1
2
1
4
1 4
x
x 2 dx 1 1 2.x 2 2
1
1
2 1
4 1 2
1
1
b) I2
0
0
c) I3
1
1
1
2
1
1 2x 1
dx
dx
2 dx
2x
1
1
2 1 1
2x 1 0 2x 1 2 0
2
1
1
1
2x 1 0 3 1
0
0
1
0
0
1
1 1 2x 2
dx
dx
2 dx .
1
2x
1
1
2
1 2x 1 1 2x 2 1
2
1 2x
0
1
1 3 3 1
1
20
x 1 dx
1
d) I4
x 2 2x 2
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t x2 2x 2 t 2 x2 2x 2 2tdt 2x 2 dx tdt x 1 dx
Đổi cận
x
0
1
2
t
5
5
5
tdt
Suy ra: I4
t
2
dt t
5
2
2
5 2
Cách 2: Dùng hàm hợp
I4
1
0
1
x 1dx
1
x 2 2x 2
0
1
2
x
2
2
2x 2
2
1
1 1 d x 2x 2 1 1 2
2 d x 2 2x 2
x
2x
2
dx
1
2
2
2
x 2x 2
2
0
0
2
x 2x 2
1
2
1 x 2x 2
1
2
2
0
1
x 2 dx
e) I5
x 2 4x 5
0
1
x2 2x 2
0
5 2
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t x2 4x 5 t2 x2 4x 5 2tdt 2x 4 dx tdt x 2 dx
Đổi cận
x
0
t
1
5
2
2
Suy ra: I5
tdt
t
5
2
dt t
2
5
5
2 5
Cách 2: Dùng hàm hợp
1 2
2
1
x 4x 5
1
1
x 2 dx
1 1 d x 4x 5 1 1 2
2
I5
dx
x 4x 5 2 d x2 4x 5
1
2
2
2
20
x 4x 5 0
x 4x 5
0
0
x 2 4x 5 2
1
2
1 x 4x 52
1
2
2
1
1
x2 4x 5
0
2
5
0
Câu 4: Tính các tích phân sau.
21
0
e
dx
x
1
1
d) I4
0
1
dx
1 2x
1
a) I1
xdx
x 1
0
c) I3
b) I2
x 1 dx
2
x2
dx
x 4x 5
0
1
e) I5
x 2x 2
2
2
Giải
e
a) I1
1
dx
ln x
x
ln e ln1 1 ¸ p dông c«ng thøc
e
1
0
dx
1
ln 1 2x
2
1 1 2x
b) I2
¸ p dông c«ng thøc
1
xdx
c) I3 2
0 x 1
Cách 1: Đổi biến số
dx
ax b
0
1
dx
x
ln x C x 0
ln 3
1
ln1 ln 3 2
2
1
ln ax b C x 0
a
Đặt t x2 1 dt 2xdx xdx
dt
2
Đổi cận
x
0
1
t
1
2
1 2 dt 1
ln t
2 1 t 2
Cách 2: Dùng Hàm hợp
Suy ra: I3
1
1
I3
0
1
xdx
x 2 1 0
1
d) I4
0
1
x 1
2
2
2
x 1
2
x 1 dx
ln 2 ln1 ln 2
2
2
2
1
1 d x 1
1
dx
ln x 2 1
2
2 0 x 1
2
1
0
1
ln 2 ln1 ln 2
2
2
x 2 2x 2
Cách 1: Đổi biến số
dt
Đặt t x2 2x 2 dt 2x 2 dx x 1
dx
2
Đổi cận
x
0
5
1 5 dt 1
Suy ra: I4 ln t
22 t 2
t
2
1
5
2
1
1 5
ln 5 ln 2 ln
2 2
2
22
Cách 2: Dùng Hàm hợp
1
x 1dx
1
I4
x
2
0
1
2
2x 2
x 2 2x 2
x 2x 2
2
0
2
1
1 d x 2x 2
1
dx
ln x 2 2x 2
2
2 0 x 2x 2
2
1
0
1
ln 5 ln 2 1 ln 5
2
2 2
x2
dx
x 0 4x 5
Cách 1: Đổi biến số
1
e) I5
2
dt
Đặt t x2 4x 5 dt 2x 4 dx x 2
dx
2
Đổi cận
x
0
t
5
1
2
2
1 dt 1
Suy ra: I5 ln t
25 t 2
2
5
1
1 2
ln 2 ln 5 ln
2 5
2
Cách 2: Dùng Hàm hợp
1
x2
0 x 2 4x 5 dx
1
I5
1
0
x
2
2
4x 5
x 4x 5
2
2
1
1 d x 4x 5
1
ln x 2 4x 5
2 0 x 2 4x 5
2
dx
Câu 5: Tính các tích phân sau.
0
2
dx
dx
a) I1 2
b) I2
2
x
1 2x 1
1
1
1
2
0
ln 2 ln 5 1 ln 2
2
5
1
d
x 2
0 3x 1
c) I3
Giải
2
dx
x2
1
Câu này ta sẽ chuyển về hàm mũ để cho dễ giải.
a) I1
2
2
21
12
1
1
dx
x
2
1
I1 2 x dx
x
21 1
x1
2
2
1
1
2
0
b) I2
dx
2x 1
2
1
Câu này ta sẽ chuyển về hàm mũ rồi áp dụng công thức
0
I2
1
dx
2x 1
2
0
2x 1
1
2
1 0
1 2x 1
dx
2 2 1
1
1 ax b 1
ax
b
dx
1
2 2x 1
a
0
1
1
C 1
1
1
1
1
2
3 3
23
c) I3
1
dx
3x 1
2
1
1
3x 1
0
2
0
1 1
1
1
dx 1 . 1
34 4
3 3x 1 0
Câu 6: Tính các tích phân sau.
1
1
1
b) I2 e 2e 1 dx
a) I1 e dx
3x
x
0
0
1
2
ex dx
d) I4 x
e 1
0
e) I5
1
1
c) I3 e x 1 4e x dx
3
x
0
e2 x dx
e
2x
f) I6
1
2
1
g) I7 e x 2ex 1dx
h) I8 ex 2
0
3
2
e2 x dx
1
13e
1
i) I9
2x
1 3e dx
0
2x 3
e xdx
0
e x 1
Giải
1
1
a) I1 e3x dx e3x
3
0
1
1
0
3
e 1
3 3
¸ p dông c«ng thøc
e
ax b
dx
1 ax b
e
Ca
b) I2 e x 2e x 1 dx
3
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t 2ex 1 dt 2ex dx
dt
ex dx
2
Đổi cận
x
0
1
t
3
2e1
4
1 2e1
1 t
Suy ra: I 2 t3dt .
2 4
2 3
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
2 e1
3
2 e1
1
4
2e 1 34
818
8
4
1
1
I2 e x 2e x 1 dx
3
3
1
1
2e x 1 2e x 1 dx 2e x 1 d 2e x 1
20
02
3
0
2ex 1
= 1.
4
2
4 1
1 2e 14 34 2e 1 81
8
8
4
0
1
c) I3 e x 1 4e x dx
3
0
Cách 1: Đổi biến số
24
dt
Đặt t 1 4ex
ex dx
4
Đổi cận
x
0
1
t
-3
1 4e
14e
Suy ra: I3
14e
1
4
3
4
81 1 4 e
1
4
4
1t
t 3dt
1 4e 3
4 4 3
16
16
4
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
I3 e x 1 4e x
3
0
1
1
1 4e x 3 dx 1 1 4e x 3 d 1 4e x 1 . 1 4e
dx 1 4e x
4 4
4
4 0
0
1
x
4 1
0
81 1 4e
4
4
1 . 1 4e 3
16
16
4
1
ex dx
x
0 e 1
Cách 1: Đổi biến số
d) I4
Đặt t e x 1 dt e x dx
Đổi cận
x
0
1
t
2
e 1
e1
Suy ra: I4
2
dt
ln t
t
e1
2
ln e 1 ln 2 ln
e 1
2
Cách 2: Dùng hàm hợp
I4
x1
ed
e
0
x
2
e) I5
1
x1
e
10
e
2x
e dx
e
2x
1
x
x
1
1
dx
d e x 1
0
e 1
x
ln e x 1 ln e 1 ln 2 ln
1
0
e 1
2
1
2
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t e2 x 1 dt 2e2 x dx
dt
e2 x dx
2
Đổi cận
25
