bài 1 nghiệm hữu tỷ đơn

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI
Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
BÀI 1: NGHIỆM HỮU TỶ ĐƠN
Bài 1: Giải phương trình: x2  x  6  2 x2  6 x  1  3x  2  0
2
Điều kiện xác định: x  . Ta có phương trình: x2  x  6  2 x2  6 x  1  3x  2  0
3
Ta dễ dàng kiểm tra bằng máy tính bài toán có 1 nghiệm x  1 và là nghiệm đơn
 x2  x  2 





2x2  6x  1  3 

  x  1 x  2  

2x2  6x  8
2x2  6x  1  3



3 x  2  1  0   x  1 x  2  



3x  3
3x  2  1

 0   x  1 x  2  

2x2  6x  1  9
2

2x  6x  1  3

3x  2  1



 x  1 2 x  8 
2x2  6x  1  3

3x  2  1



0

3  x  1
3x  2  1

0

x  1  0


2x  8 



3
(*)
  x  1   x  2  

 2x  8  
0 
3
0
3 x  2  1 
2x2  6x  1  3
 x  2  

3x  2  1
2x2  6x  1  3


Do x 

 2x  8  
2
3
nên  x  2  
0
3
3x  2  1
2x2  6x  1  3

Do đó phương trình (*)  x  1  0  x  1 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1
Bài 2: Giải bất phương trình: 3  x  2   3x  4  3 2 x  1  x  3
Ta dễ dàng kiểm tra bằng máy tính bài toán có 1 nghiệm x  4 và là nghiệm đơn

 x3 1

Nếu chúng ta thay giá trị vào các căn:  2 x  1  3

 3 x  4  4
Cách 1: Nhân liên hợp căn với số:

 3  x  2   3x  4  3 2 x  1  x  3  0 


3x  12
3x  4  4



4x
1 x  3





 

 



3 x  4  4  1  x  3  3 3  2 x  1  3 x  12  0



3
1
6
 3x  12  0   x  4  


 3  0
3  2x  1
 3x  4  4 1  x  3 3  2 x  1


24  6 x



 

3
1
6
  x  4  
 1 
2 
  0
3  2 x  1  
 3x  4  4  1  x  3  


3
x3
2 2x  1 
  x  4


0 3 x4
 3x  4  4 1  x  3 3  2 x  1 




Cách 2: Sử dụng truy ngược dấu:
Do trong bài có 2 lượng biểu thức bị âm dấu do đó chúng ta cần xử lý ở 2 căn này theo đúng trình tự ở trên ta






 x3 x3

được lượng liên hợp tương ứng như sau: 
Do đó bài toán sẽ được trình bày như sau:
 2x  1  3 2x  1




Điều kiện xác định: x  3
Bpt 





 

 



3x  4  4  x  3  x  3  2 x  1  3 2 x  1  0

3 x  4
3x  4  4

 x3





x  3  1  2x  1





2x  1  3  0

 2 2x  1
3
x3 
  x  4


0 3x4
 2x  1  3
3x  4  4
x  3  1 

Vậy tập nghiệm của BPT là: S   3; 4 
Bài 3: Giải bất phương trình: 2 x  14  3x  1   x  8  x  3
Dễ dàng kiểm tra bài toán có nghiệm đơn x  1 do đó:
Điều kiện xác định: x  

1
3

  x  8  x  3  2 x  14  3x  1  0   x  8 



 

x3 2 



3x  1  2  0

  x  8

3
 0   x  1 

0
x3 2
3x  1  2
3 x  1  2 
 x  3  2
 2 x  10  3 x  3
 x  8

3 3x  1 
3 3
3

  x  1  
  
0
   0   x  1 
2
2
x

3


2
3
x

1

2
x

3

2
3
x

1

2










x 1

  x  8


  x  1 




  x  1 





3x  3


3 3x  1 
0
3x  1  2 
x3



3 3x  1 

 0 (*)
3 x  1  2 
x3


4 x 2  31x  73



x  3  2 2 x  10  3






31  207
 2 x  4   16


x  3  2 2 x  10  3



2







2

Do:




31  207
 2 x  4   16
3 3x  1
1



 0x   nên bất phương trình (*)  x  1  0  x  1
3
3x  1  2
x  3  2 2 x  10  3 x  3





 1 
Vậy tập nghiệm của BPT là: S    ;1 
 3 

Bài 4: Giải Bất phương trình: x  1  x 2  4 x  1  3 x

(Trích đề tuyển sinh đại học khối B năm 2012)

Do cần tạo ra liên hợp

 x  4  .  x  41  nên: Giả sử liên hợp với




 f ( x )  g( x )

x 2  4 x  1  ax  b Khi đó 
 f ( x )  g( x )

x 2  4 x  1 là

Do đó liên hợp của


4a  b  1
a


 1


1
 4 a  b  4
b 


x4

x

f ( x)  x 2  4 x  1 là g( x)  ax  b

1
4

1
5
1
5

1
 x  1
5

Giả sử liên hợp với h( x)  x là l( x)  ax  b

h( x)  l( x)

x  ax  b Khi đó 
h( x)  l( x)

x là

Do đó liên hợp của

x4

x

1
4


4a  b  2
a


 1
1
 4 a  b  2
b 


2
5
2
5

2
 x  1
5

 2
1
 x  4 x  1  5  x  1
Vậy là chúng ta có 2 liên hợp thích hợp trong bài toán đó là: 
 2  x  1  x

 5
 x  2  3
x  2  3
 x 2  4 x  1  0
 
Điều kiện xác định: 
  x  2  3  

 0  x  2  3
 x  0

 x  0


2

1
Ta có bất phương trình x  1  x 2  4 x  1  3 x   x 2  4 x  1   x  1   3   x  1  x   0
5


5






25 x 2  4 x  1   x  1

  5 x  4 x  1   x  1   3  2  x  1  5 x   0 




5 x 2  4 x  1   x  1
2



24 x 2  102 x  24
5 x 2  4 x  1   x  1



12 x 2  51x  12
2  x  1  5 x

0 

24 x 2  102 x  24
5 x 2  4 x  1   x  1



2

 4 x  1 2  25x 
 
0

 3
 2  x  1  5 x 



24 x 2  102 x  24
4  x  1  10 x

0



1
1
  0 (*)
 24 x 2  102 x  24 

 5 x 2  4 x  1   x  1 4  x  1  10 x 





Do x  0 nên



1
5 x 2  4 x  1   x  1



x  4
 0 do đó (*)  24 x 2  102 x  24  0  
x  1
4  x  1  10 x

4
1






x  4
Kết hợp điều kiện  
0  x  1

4
 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S   0;    4;  
 4

Bài 5: Giải bất phương trình: 2 x 2  5x  5  3 x  3   x  2  3 3x  5
Dễ dàng sử dụng máy tính để tìm được bài toán có 2 nghiệm đơn là: x  1; x  2 do đó rất dễ dàng tìm được
liên hợp của bài toán( làm tương tự bài 4 tìm liên hợp 2 nghiệm)
Điều kiện xác định: x  3









 2 x 2  5x  5  3 x  3   x  2  3 3x  5  0  x 2  x  2  x  5  3 x  3   x  2  x  1  3 3x  5  0
  x  1 x  2  

  x  1 x  2  

 x  2   x  3x  4 

x  3  x  1   x  1 3 x  5   3 x  5 
3

x2  x  2
x53

2

3

 x  1 x  2 
x53

2

3

 x  2   x  1

x  3  x  1   x  1 3 x  5   3 x  5 

2

0

3

2

3

3

2

0

2

x  2

1

  x  1 x  2  1 

2

2
x

5

3
x

3
 x  1   x  1 3 3 x  5  3  3 x  5 


Do: 1 

1
x53

 x  2

x  3  x  1   x  1  3 x  5   3 x  5 


  0 (*)



2

2

3

3

2

 0x  3

x  1
nên BPT (*)   x  1 x  2   0  
 x  2
Vậy tập nghiệm của BPT là: S   1;     3; 2 
Bài 6: Giải bất phương trình:

 4x  2

3x2  4 x  2
9
 3 x  3
x
 x


Điều kiện xác định: x  3; x  0


1 2
3x2  5x  2  x  2 



 x  3   3x  5x  2   x  2  x  3   0
x
x
 x 

Với x ở dưới mẫu coi như cuối cùng xét. Đến đây ta bấm phương trình 3x 2  5x  2   x  2  x  3 và nhận
thấy phương trình có 2 nghiệm x  1; x  2 do đó việc xử lý không có gì khó khăn
Nhưng việc biểu thức  x  2  x  3 đã có sẵn nghiệm x  2 nên chúng ta sẽ xử lý 2 cách như sau:
Cách 1 không quan tâm đến dấu trừ đằng trước biểu thức  x  2  x  3 ( chỉ cần liên hợp nghiệm đơn)






Do

1 2
3x  3x  6   x  2 
x 

 x  1 x  2   3 



x

3 x3 5
x3 2





1
x 1 
x  3  2   0   3  x  1 x  2    x  2 
0

x
x  3  2

 x  1 x  2   3 x  3  5   0



0 
x
x  3  2
 x  3  2 
1

 0x  3 nên 

 x  1 x  2   0   x  1


 2  x  0

x

Vậy tập nghiệm của BPT là: S   1;     2; 0 
Cách 2: xử lý truy ngược dấu: ( làm tương tự bài 4 tìm liên hợp 2 nghiệm)







1 
x2  x  2 
1  2


8
x

1
x

2

x

2
8
x

8

x

16

x

2
x

5

3
x

3

0
   
 
 
0

3x 
3x 
x5 x3

2

x  1 x  2  
x  1 x  2  


 x  2    0 (*)
1 
0  

8  x  1 x  2  
8 

3x 
3x
x5 x3 
x  5  x  3 




Do 8 

 x  2
x5 x3

 0x  3 nên(*) 

 x  1 x  2   0   x  1


 2  x  0

3x

Vậy tập nghiệm của BPT là: S   1;     2; 0 
Bài 7: Giải bất phương trình: 3 7 x  8  5 x  1  x 2 x  1  2
Dễ dàng sử dụng máy tính để tìm được bài toán có 2 nghiệm đơn là: x  1; x  5 do đó rất dễ dàng tìm được
liên hợp của bài toán( làm tương tự bài 4 tìm liên hợp 2 nghiệm)
Điều kiện xác định: x  1

 2 x 2 x  1  4  2 3 7 x  8  10 x  1  0



 

 

 



 2 x  2  3 7 x  8  x x  1  2 2x  1  5 x  1  2 x  1  x2  6x  5  0


2  x  1 x  5 

 x  2   x  2
2

3

7x  8 

3

7 x  8 

2



x  x  1 x  5 
x  1  2 2x  1



5 x  1  x  5
x 1  2

  x  1 x  5   0



5
2 x 1
x x 1

 x  1  0
 x  1  x  5  

2
2
3

x 1  2
x  1  2 2x  1

  x  2    x  2  7 x  8  3  7 x  8 


x
2 x 1
5
 x  11 
 x  1  x  5  

2
2
3
x 1 2
x 1  2

  x  2    x  2  7 x  8  3  7 x  8 

x  1 1  2 2x  1
2 x 1
5

 x  1  x  5  

2
2
3
x  1  2 2x  1

x 1  2
  x  2    x  2  7 x  8  3  7 x  8 




  0
2x  1 

   0 (*)




Do

2 x 1

 x  2   x  2
2

7 x  8  3 7 x  8 

3

2

5



x 1  2





x  1 1  2 2x  1
x  1  2 2x  1

  0x  1

Nên(*):  x  1  x  5   0  1  x  5
Vậy tập nghiệm của BPT là: S   1; 5 

x  2  x  1  x 2  3x  2  1

Bài 8: Giải bất phương trình:

2x  x  1



6

x3



x  2 1



x  2

Điều kiện xác định: 
13
 x  3; x 
4








x 1 1 x  2  x  2 1





2  x  1  x  1  3

1  x  2   
 2 x  1  3

x2 1
6



 x  3 

 x  1  11  x  2    x  3  x  2  1
6  x  3
6  x  2  1 x  2  1
 2 x  1  3 x  1  1
1

2 x 1  3



x2 1





3
9
13
85
1
9  2 x 1
x

 0   x 1  

6
2
2
4
4
2 x 1  3

 13 85 
Vậy tập nghiệm của BPT là: S   ; 
 4 4 

Bài 9: Giải bất phương trình:







x  3  x  1 1  x2  2x  3  4

Điều kiện xác định: x  1

 x  3  x  1



x3 

1 

x 1



x3 

 x  3  x  1 

 1  x2  2x  3  x  3  x  1  1 





x  3 1



 x  2



x 1 1  0 

x 3 1

1 
x 1

4

x2  2x  3  4 

.

 x  2
x 1 1



x2  2x  3  4

x 3  x1  0

 0(*) Do



 x  2
x 3 1



x 1 1

Nên (*)  x  2  0  x  2
Vậy tập nghiệm của BPT là: S  1; 2 
Bài 10: Giải bất phương trình:



x 6

 x  2x

2





 26 x  8  4  x 2 x  3 x  33



Điều kiện xác định: x  0
 x 2 x 2  26 x  8  6 x 2 x 2  26 x  8  4  2 x 2  3 x x  33 x  0

 



 2 x 2  26 x  8  6 x 2 x 2  26 x  8  9 x  x




2 x 2  26 x  8  3 x

  x

2



2 x 2  26 x  8  3 x  4  2 x  0



2 x 2  26 x  8  3 x  4  2 x  0



 0x  1


Đặt: a  2 x 2  26 x  8  3 x 

2 x 2  17 x  8
2 x 2  26 x  8  3 x

 0x  0

a 2  xa  4  2 x  0   a  2  a  2   x  a  2   0   a  2  a  x  2   0  a  x  2  0
 2 x 2  26 x  8  3 x  x  2  0  3 x  x  2  2 x 2  26 x  8  0

Đến đây bấm máy tính phát hiện phương trình có 2 nghiệm x  1; x  4 do đó cần tìm liên hợp( giống bài 4)

2 x 2  26 x  8  mx  n

x 1; x  4

m  n  6
m  2


4 m  n  12
n  4

 





Do đó bpt trở thành:  2 x  4  2 x 2  26 x  8  3 x   x  2   0 



2 x2  5x  4

2 x 2  26 x  8  2 x  4



2
1
 x2  5x  4 

0
2

 2 x  26 x  8  2 x  4 x  2  3 x 







 x  5x  4 






2



0
2
2 x  26 x  8  2 x  4 x  2  3 x 

6 x  2 x 2  26 x  8









2 x 2  10 x  8


 x  5x  4 
0
2
2
2 x  26 x  8  2 x  4 x  2  3 x 
 6 x  2 x  26 x  8



2 
2

2
 x  5x  4 
  0 (*)
2
2
6
x

2
x

26

x

8
2
x

26
x

8

2
x

4
x

2

3
x







2



Do









6 x  2 x 2  26 x  8



do đó(*)  x 2  5x  4



2



2











2 x 2  26 x  8  2 x  4 x  2  3 x

x  1
 0  x2  5x  4  0  
x  4

Vậy tập nghiệm của BPT là: S  1; 4





 0x  0







x2  5x  4
x23 x

0