Ebook sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von neumann phần 1

Mục lục
Trang
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Kỳ vọng có điều kiện và Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 - 13

1.1. Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Các đặc tr-ng của kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2. Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann . . . . . . . . . 14 - 30

2.1. Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Dạng khác của hội tụ hầu chắc chắn trong đại số
von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Một dạng không giao hoán của Định lý Egoroff . . . . . . . 27
3. Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại
số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - 62

3.1. Kỳ vọng có điều kiện trong đại số von Neumann . . . . . . 31
3.2. Sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện và
martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tài liệu tham khảo.


Hệ thống ký hiệu
(, F , P)
G
(Fn , n N)
(n , n N)

Lp
E() =

()dP

Không gian xác suất đầy đủ.
đại

số con của F .

Dãy không giảm các



- đại số con của F .

Dãy các biến ngẫu nhiên t-ơng thích với

(Fn , n N).

Tập tất cả các biến ngẫu nhiên khả tích cấp

p, 1

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên .


G

E () = E(|G)

T
H
B(H)
C

Tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H.
C

- đại số.

A

Hoán tập của A.



biết G .

Không gian Hilbert.

Đại số von Neumann A.

1}



Thời điểm dừng bị chặn.

A

P rojA
A = W {An ; n

Kỳ vọng có điều kiện của

Tập tất cả các phép chiếu trực giao trong A.
Đại số von Neumann sinh bởi
Trạng thái trên A.

(An ).

p

.


Mở Đầu
Lý thuyết xác suất và thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên
cứu các hiện t-ợng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Các khái
niệm đầu tiên của xác suất do các nhà toán học tên tuổi Pierre Fermat
(1601 - 1665) và Bailes Pascal (1623 - 1662) xây dựng từ thế kỷ thứ
17 dựa trên việc nghiên cứu các quy luật trong trò chơi may rủi. Sau
gần 3 thế kỷ phát triển, lý thuyết xác suất đã đ-ợc A.N. Kolmogorov
tiên đề hoá. Có thể nói, cuốn sách "Các cơ sở của lý thuyết xác suất"
do ông xuất bản lần đầu tiên bằng tiếng Đức, năm 1933 đ-ợc coi là
bằng chứng khai sinh ra xác suất hiện đại. Dựa trên nền tảng đó, nhiều
h-ớng nghiên cứu chuyên sâu của xác suất đã ra đời, trong đó có lý
thuyết về kỳ vọng có điều kiện và martingale. Đề tài luận văn của tôi:
"Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von
Neumann"

là một phần nhỏ thuộc h-ớng nghiên cứu đó. Để có thể

hiểu và nắm bắt đ-ợc một số kết quả của đề tài, tôi xây dựng luận văn
theo 3 ch-ơng nh- sau:
Ch-ơng 1: Kỳ vọng có điều kiện và martingale.

Ch-ơng 2: Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann.

Ch-ơng 3: Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale
trong đại số von Neumann.

Hai ch-ơng đầu là nền tảng, trong đó một số đặc tr-ng của kỳ vọng
có điều kiện trong không gian

Lp

và các dạng hội tụ trong đại số von

Neumann đ-ợc coi là quan trọng nhất. Nội dung chính của luận văn
nằm trong Ch-ơng 3. ở đó, các Định lý 3.2.9 ; 3.2.11 và Định lý
3.2.16 về sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện trong đại số von
1


Neumann là đáng chú ý nhất.
Hoàn thành đ-ợc luận văn trên, tr-ớc tiên tôi muốn bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến PGS.TS Phan Viết Th-, ng-ời đã tận tình h-ớng dẫn,
chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn.
Tôi cũng muốn đ-ợc gửi lời cảm ơn đến các thầy cô thuộc Khoa

Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê, Phòng Đào tạo, Phòng
Sau đại học tr-ờng ĐHKHTN - ĐHQGHN và các thầy bên Viện Toán
học đã giảng dạy, rèn luyện tôi trong suốt thời gian tôi học tập tại
tr-ờng, cũng nh- tất cả các bạn lớp cao học khóa 2007 - 2009 đã tạo
điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Luận văn cũng
là món quà nhỏ của tôi dành kính tặng bố mẹ, vợ con và những ng-ời
thân trong gia đình đã dành những tình cảm yêu th-ơng nhất cho tôi.
Cuối cùng, do khả năng và thời gian có hạn nên luận văn không
thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận đ-ợc sự h-ớng
dẫn, chỉ bảo của các thầy cô, sự hợp tác của các bạn để tôi có thể hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2009.
Học viên:
Đinh Thanh Tuấn.

2


Ch-ơng 1.

kỳ vọng có điều kiện và martingale
1.1 Kỳ vọng có điều kiện
Kỳ vọng có điều kiện là một công cụ cơ bản và hữu hiệu của lý
thuyết xác suất. Vì vậy, trong phần này tôi xin trình bày vắn tắt các
tính chất của toán tử kỳ vọng có điều kiện. Tr-ớc hết, ta có định nghĩa
sau:
1.1.1. Định nghĩa.

Cho
và

F

(, F , P)

L1 .

là không gian xác suất đầy đủ,

Ta gọi biến ngẫu nhiên, ký hiệu là

vọng có điều kiện của
i)

E(|G)

ii)

là

G

là

G

Với mọi

với

đo đ-ợc và

A G,

G



E(|G)

đại số con của
hay

EG ()

là kỳ

đã cho, nếu nó thoả mãn:

E(|G) L1 .

ta có:
E(|G)dP =
A

dP.
A

Chú ý:

1) Nếu

= 1A , A F

kiện của biến cố
2) Nếu


thì



A

thì

P(A|G) := E(1A |G)

với điều kiện



đại số

là biến ngẫu nhiên đã cho và

E(|) := E(|G)

đ-ợc gọi là xác suất có điều
G

đã cho.

G = ()

là



đại số sinh bởi

đ-ợc gọi là kỳ vọng có điều kiện của



biết .

1.1.2. Ví dụ.

Cho

(, F , P)

là không gian xác suất,

hoạch nào đó của ,

G = (Bi )iK

và

(Bi )iK , K N

là một phân

L1 .

Khi đó:
EG () =

EBk ()1Bk

với

EBk () =

kK

1
P(Bk )

dP,
Bk

3

k K.

1.1.3. Các tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện .

Trong suốt mục này ta luôn giả thiết

(, F , P)

là không gian xác suất

đầy đủ cố định, các biến ngẫu nhiên đều khả tích và
số con nào đó của


thì

(h.c.c)

là



đại

Khi đó, kỳ vọng điều kiện có các tính chất sau:

F.

1. Nếu c là hằng số thì
2. Nếu

G F

E(c|G) = c

E(|G)

3. Nếu a, b là hằng số ;

(h.c.c).

E(|G)

,

(h.c.c).

là các biến ngẫu nhiên thì:

E(a + b|G) = aE(|G) + bE(|G)

4.

E(|{, }) = E()

5.

E(|F ) =

6.

E E(|G) = E()

(h.c.c).

(h.c.c).

(h.c.c).
(h.c.c).

7. Tính t-ơng thích: Nếu

G1 , G2

là các



đại số con của

F

và

G1 G 2

thì:
E E(|G2 )|G1 = E(|G1 ) = E E(|G1 )|G2

(h.c.c).

8. Tính không giãn:
E(|G)

9. Nếu

và



10. Nếu



G

là

E || G

(h.c.c)

độc lập thì

G

đo đ-ợc,

và

E(|G)

E(|G) = E()
E || <

E(|G) = E(|G)

||||1.

1

(h.c.c).

và

E || <

thì:

(h.c.c).

Đối với kỳ vọng có điều kiện, ngoài những tính chất trên còn có
một số tính chất quan trọng sau đây:
Nhóm tính chất chuyển qua giới hạn:
11. Định lý hội tụ đơn điệu Levy:
a) Nếu

n

(h.c.c)

và tồn tại

nN

E(n |G) E(|G)

b) Nếu

n

(h.c.c)

và tồn tại

12. Bổ đề Fatou: Giả sử



E(n ) <

thì:

E(n+ ) <

thì:

(h.c.c).

nN

E(n |G) E(|G)

sao cho
sao cho

(h.c.c).

là biến ngẫu nhiên khả tích, khi đó:
4


a) Nếu

n

(h.c.c)

thì

E(lim n |G)

lim E(n |G)

(h.c.c).

b) Nếu

n

(h.c.c)

thì

E(lim n |G)

lim E(n |G)

(h.c.c).

13. Định lý bị chặn Lebesgue:
Giả sử



khả tích,

|n |

và

(h.c.c)

h.c.c

n , n N.

E(limn |G) = limE(n |G)
n

n

Khi đó:

(h.c.c).

14. Bất đẳng thức Jensen:
Giả sử

:I R

là hàm lồi d-ới,

nhận giá trị trong I . Khi đó, nếu
E(|G)



và

I R

()

và



là biến ngẫu nhiên

khả tích thì:

E ()|G .

Vì khuôn khổ có hạn của luận văn, cũng nh- các chứng minh chi
tiết có thể tìm đ-ợc trong [1] , [9] nên tôi xin phép đ-ợc bỏ qua các
giải thích cụ thể mà b-ớc ngay sang phần quan trọng sau.

1.2 Các đặc tr-ng của kỳ vọng có điều kiện
Tr-ớc tiên, ta sẽ nghiên cứu nó trên không gian
gian

L2 ,

L2 .

Trong không

ta có thể định nghĩa một tích vô h-ớng nh- sau:
.dP = E(.)

< , >=

, L2



Rõ ràng, tích vô h-ớng này xác định trên
||||2

=

1
2

< , >

L2

chuẩn
2

=

|| dP

||.||2
1
2

đã có:

.



Vì

L2 , ||.||2

là không gian Banach nên

L2 , < . >

là không gian Hilbert.

Từ kết quả thuộc về giải tích hàm ta thu đ-ợc khẳng định sau đây:
1.2.1. Định lý.

Nếu
L2

M

là một không gian véc tơ con đóng của không gian Hilbert

thì mỗi phần tử của L2 đ-ợc biểu diễn duy nhất d-ới dạng :

trong đó

M

;

M

với

M = H L2 :< H, M >= 0, M M .
5

= +,


Từ nay về sau, ta gọi
gian



là hình chiếu trực giao của



trên không

M.

1.2.2. Bổ đề.

Kỳ vọng điều kiện
không gian Hilbert

EG (.),

L2

hạn chế trên

là phép chiếu vuông góc từ

L2

xuống không gian véc tơ con đóng

L2 (G)

của nó,

trong đó:
là

L2 (G) = L2 :

G-

đo đ-ợc

.

Chứng minh.

Dễ thấy,
đó, nếu
Với

L2 (G)

thì theo Định lý trên ta có

L2

BG

là không gian vectơ con đóng của không gian

ta thấy

1B L2 (G)

= + , L2 (G)

và

L2 .

Khi

L
2 (G).

nên:
hay

1B dP =< 1B , >= 0,


dP = 0,
B

suy ra
dP =

B

( + )dP =
B

L2

B G.

B

Do đó, theo định nghĩa của
trên

dP,

E(.|G)

ta có :

= E(|G).

là phép chiếu trực giao từ không gian

nghĩa là, nếu

L2

và

L2 (G)

L2

Vậy

EG (.)

thu hẹp

lên không gian

L2 (G),

thì:

E(|G)

L2 (G),



và:
EG ()dP =


dP.


1.2.3. Định lý.

Để toán tử tuyến tính

T : L2 L2

là toán tử kỳ vọng điều kiện, điều

kiện cần và đủ là: T là phép chiếu trực giao, không âm và bất biến
đối với hàm hằng.
6


Chứng minh.
()

Cho

T : L2 L2

điều kiện
thì

E(.|G)

với

là toán tử tuyến tính. Giả sử nó cũng là kỳ vọng
là

G

đại số con của F . Lúc đó, theo Bổ đề 1.2.2

phải là phép chiếu trực giao từ

T

chất 1.1.3 thì

T

L2

lên

L2 (G),

hơn nữa theo Tính

phải là toán tử không âm và bảo toàn hằng số.

()

Để chứng minh điều kiện đủ của định lý, ta đặt:
M = L2 : T = .

Từ những giả thiết về T , dễ dàng kiểm tra đ-ợc rằng
các giả thiết của Hệ quả I.1.2- [6], tức là, tồn tại

F

sao cho

Vậy

T



M

thỏa mãn

đại số con

G

của

M = L2 (G).

có hai tính chất cơ bản:

1)

T () L2 (G),

2)

T ()dP =


Đặc biệt với

L2 .

với

dP,

L2 , L2(G).



= 1A , A G

thì

1A L2 (G),

T ()dP =
A

và nh- vậy thì

nên từ đẳng thức trên, ta có:

T ()1A dP =

1A dP =


dP,
A

T () = E(|G).

Định lý đ-ợc chứng minh.
Sau đây, ta sẽ nghiên cứu kỳ vọng có điều kiện trên không gian

Lp

1.2.4. Định lý.

Cho tr-ớc một số
vào

Lp

p

1.

Khi đó toán tử tuyến tính liên tục T từ

là toán tử kỳ vọng có điều kiện (tức là

số con nào đó của

i)

T dP =


F

dP,

T = E(.|G))

với

G

là



khi và chỉ khi T thoả mãn hai tính chất sau:
Lp .



7

Lp

đại

ii)

Lp , L .

với

T (.T ) = T .T

Chứng minh.

Điều kiện cần suy ngay ra từ định nghĩa và tính chất kỳ vọng có
điều kiện. Để chứng minh điều kiện đủ ta tiến hành theo hai b-ớc sau:
B-ớc 1:

Ta chứng minh

Thật vậy, với

L ,

T (L ) L .

ta lập dãy

1 = ; n+1 = .T (n )

Rõ ràng

n Lp .

Với

n

trong

(n , n N)
n

với

Lp

nh- sau:

1.

thì theo (ii) ta có:

1

T n+1 = T (.T (n)) = T .T (n ).

Lại tiếp tục biểu diễn
Vì

(T )n Lp

n

nh- vậy, cuối cùng ta sẽ đ-ợc

với mọi n, nên suy ra

T n+1 = T (.T n)

và

T

T Ls

với mọi

s < .

T n = (T )n .

Hơn nữa, do

liên tục nên:

T n+1

T . .T n

p

T .

p



. T n .
p

Vì:
T

T .

T .

p

p

,


nên:
n

(T )n
p

= T n

T .

p

.


Nh-ng:
n

(T )n

= T
np

p

n

nên

n

T .

T
np

,


suy ra:

T

T .
np

Vì ta có

Ls

T

,


và họ chuẩn

với

s

8

1.

s

T

T

s<

n



, suy ra, nếu

L


thì

và

T L

T

T .




.

Vậy ta đã chứng minh đ-ợc

T (L ) L .

B-ớc 2:
Xét đại số

= : L , T () = T ().

là đại số con của

- [6] thì



có dạng

Lp (G)

Lp (G)

thì tồn tại dãy con

Vì

T

với

G

là

đại số con đầy đủ nào đó của
của

(n , n N)

vào

Lp

Lp

Lp



hội tụ trong



trong

Lp

sẽ

F.

Lúc đó, nếu

Lp

đến .

nên ta có:

n N, Lp ,

T ()n T (),
Lp

n N, Lp

T (n ) T (),
n ,

, theo Mệnh đề I.1.5

chứa giá trị hằng, suy ra

L

là toán tử liên tục từ

Nh-ng vì từng

Lp

nên ta cũng có:
T ()n = T (n ), n N.

Điều này cho ta:

Lp , Lp .

T () = T (),
dP =


Vậy với mọi

AG

T () =


cố định, lấy

= 1A

A

ta nhận đ-ợc

T ()dP.
A

T

là toán tử kỳ vọng có điều kiện

ta chỉ cần phải chứng minh rằng
Lp

T () Lp (G), L .

thì luôn tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản

L

sao cho

Lp

kéo theo

Lp

n .

Mặt khác

(n , n N)

Khẳng định này cùng với tính liên tục của

Lp

T (n) T (), n N.

E(.|G)

T () Lp (G), Lp .

Thật vậy, theo b-ớc 1 và (ii) ta có :
nếu

T ()dP.


dP =

Cuối cùng để chứng minh

Do đó theo (i) thì:

L-u ý rằng

Định lý đ-ợc chứng minh.
9

T (n )

nên

T

của

trong

T () = Lp (G).


1.3 Thời điểm dừng
Ngoài kỳ vọng có điều kiện, thời điểm dừng cũng đ-ợc xem nh- là
một công cụ mạnh khác để nghiên cứu martingale. Công cụ này đ-ợc
hiểu một cách đơn giản nh- sau:
Giả sử

(n , n N)

là dãy thu nhập của một ng-ời chơi nào đó trong

trò chơi ngẫu nhiên hai ng-ời và

ng-ời chơi biết đ-ợc cho tới ván thứ
tăng và

(n , n N)

nghĩa là từng

Dựa vào dãy

đại số các "thông tin" mà



n, n N.

Rõ ràng

(Fn , n N)

là dãy các biến ngẫu nhiên t-ơng thích với

là

n

là

Fn

Fn

là dãy

(Fn , n N),

- đo đ-ợc.

(Fn , n N),

ng-ời chơi đ-a ra một chiến l-ợc hoặc chơi

tiếp hoặc dừng lại. Thời điểm dừng đ-ợc định nghĩa d-ới đây chính là
mô hình ngẫu nhiên của các chiến l-ợc nói trên.
1.3.1. Định nghĩa.

Biến ngẫu nhiên
giảm các



:N

đại số con

gọi là thời điểm dừng đối với họ không

(Fn , n N)

của F , nếu:

{ : () = n} = { = n} Fn ,

Hơn nữa, nếu tồn tại

kN

sao cho

n N.

P( < k) = 1

thì

gọi là thời điểm

dừng bị chặn.
Để cho tiện, từ nay về sau ta ký hiệu tập tất cả các thời điểm dừng
bị chặn là T. Hơn thế, ta định nghĩa thứ tự:


Lúc đó,

(T, )



nếu và chỉ nếu



là một tập định h-ớng và

T.
1.3.2. Nhận xét.

10

(h.c.c).
N

có thể coi là tập con của

i) Với
F

là



ii)

T,

ta định nghĩa

đại số, hơn thế, nếu

E(|F ) =

E(|Fn )

F = A F : A { = n} Fn , n N .
, T

với

thoả mãn

(h.c.c)

thì

Lúc đó

F F .

L1 , T.

nN

1.4 Martingale
1.4.1. Định nghĩa (dãy t-ơng thích).

Dãy các biến ngẫu nhiên
nghi) với họ các
n N,

với mọi



đại số

tức là:

(n , n N)

đ-ợc gọi là t-ơng thích (thích

F1 F2 .... Fn F ,

n L0 (Fn )

với mọi

nếu

là

n

đ-ợc hiểu là một dãy không giảm các
với

và

- đo đ-ợc

n N.

Từ đây trở đi, nếu ta không giả thiết gì thêm thì
F , Fn F

Fn

(Fn , n N)

luôn

- đại số con đầy đủ của



là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, t-ơng thích

(n , n N)

(Fn , n N).

Từ giả thiết này và Nhận xét 1.3.2, ta thấy mỗi dãy
sinh ra một dãy (suy rộng) các biến ngẫu nhiên khả tích
thích với dãy không giảm các
từng



là

F



- đại số con

(F , T)

(n , n N)

( , T)

cảm

t-ơng

của F , nghĩa là,

- đo đ-ợc.

Ta có định nghĩa sau:
1.4.2. Định nghĩa.

Giả sử

(, F , P)

là không gian xác suất. Khi đó, dãy

gọi là:
a) martingale, nếu:
Với mọi

m

n

thì

E(n |Fm ) = m .

P h.c.c

b) martingale trên, nếu:
Với mọi

m

n

thì

E(n |Fm )

m

P h.c.c.

E(n |Fm )

m

P h.c.c.

c) martingale d-ới, nếu:
Với mọi

m

n

thì

11

(n , n N)

đ-ợc


Kết quả sau đây rất giản đơn nh-ng cực kỳ quan trọng:
1.4.3. Mệnh đề.

Ta có các khẳng định d-ới đây:
)

Dãy (n , n N) là martingale trên khi và chỉ khi dãy các số

E( ), T

là dãy không tăng.
)

Dãy (n , n N) là martingale d-ới khi và chỉ khi dãy các số

E( ), T

là dãy không giảm.
)

Dãy

dãy

(n , n N)

là martingale khi và chỉ khi tất cả các phần tử của

đều bằng một hằng số cố định (nào đó).

E( ), T

1.4.4. Ví dụ.

(1). Giả sử là biến ngẫu nhiên khả tích. Khi đó dãy n = E(|Fn ), n
N

là martingale và ta sẽ gọi là martingale chính quy.

Thật vậy:
i)
với

(n , n N)
Fn

là dãy t-ơng thích vì

kéo theo

ii) Do



n

E(|Fn )

là đo đ-ợc đối với

là hiển nhiên đo đ-ợc đối

Fn .

khả tích nên:
E |n | = E |E(|Fn )|

E (||) | Fn = E || <

iii)
n1 = E(|Fn1 ) = E (|Fn ) | Fn1 = E(n |Fm ).

(2). Giả sử (n , n N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, độc lập

với

E(n ) = 0, n N.

Khi đó, dãy tổng riêng:
S = 0 + 1 + .... + n ,

là martingale đối với

(Fn = (0, 1 , ..., n), n N).

12


(3). Giả sử (n , n N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, độc

lập với

E(n ) = 1, n N.

Khi đó, dãy:
n

S=

k ,
k=0

là martingale đối với

(Fn = (0, 1 , ..., n), n N).

Do khuôn khổ có hạn của luận văn, nhiều tính chất và đặc tr-ng
khác của toán tử kỳ vọng có điều kiện cũng nh- martingale ch-a đ-ợc
nhắc đến. Những ai quan tâm có thể tìm đọc thêm trong [1] , [6] , [9]
. . . . . .

13


Ch-ơng 2.

Sự hội tụ hầu đều trong
đại số von Neumann
2.1 Đại số von Neumann
Trong phần này tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến đại số
von Neumann. Tr-ớc hết ta nhắc lại một số định nghĩa cơ bản sau:
2.1.1. Định nghĩa.

Một không gian vectơ thực

đ-ợc gọi là không gian tiền Hilbert

X

(hay không gian Unita), nếu trong đó có xác định một hàm hai biến
(x, y),

gọi là tích vô h-ớng của hai vectơ

x, y

thỏa mãn các tính chất sau

đây:
i)

(x, y) = (y, x)

ii)

(x + y, z) = (x, z) + (y, z)

iii)

(x, y) = (x, y),

iv)

(x, x) = x

với mọi



thực

2

Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi
khái niệm và tính chất của không gian định chuẩn đều có thể áp dụng
cho nó. Nói riêng, một không gian tiền Hilbert có thể đủ hoặc không
đủ. Một không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert.
2.1.2. Định nghĩa.

Một đại số

A

đ-ợc gọi là một đại số Banach nếu nó thỏa mãn các

điều kiện sau đây:
i)

A

là không gian Banach;

ii) Có một tích:

AìA A

(xy)z = x(yz),

sao cho, với mọi

x, y, z A; C,

(x + y)z = xz + yz,
14

ta có:


x(y + z) = xy + xz,

Hơn nữa, có một phần tử đơn vị
iii)

e = 1;

iv)

xy

x

y

, với mọi

(xy) = (x)y = x(y)
e : ex = xe = x, x A;

x, y A.

2.1.3. Định nghĩa.

i) Một đại số

A

đ-ợc gọi là một - đại số nếu

A

là một đại số phức

cùng với phép tuyến tính liên hợp mà nó là một phản đẳng cấu, nghĩa
là, với mọi

x, y A

và

C,

ta có:

(x + y) = x + y , (x) = x, x = x

ii) Một chuẩn trên - đại số

gọi là một
một

C

C -

(xy) = y x .

thỏa mãn:

A

với mọi

x x = x 2 ,

và

chuẩn. Nếu với chuẩn này,

x A,
A

đầy đủ thì

A

đ-ợc gọi là

- đại số.

2.1.4. Tôpô lồi địa ph-ơng trên B(H).

Cho

H

là không gian Hilbert. Ký hiệu

B(H)

là

C

đại số tất cả các

toán tử tuyến tính bị chặn trên H. Khi đó:
i) Một tôpô lồi địa ph-ơng trong

B(H)

đ-ợc cho bởi chuẩn toán

tử:
x = x



= sup xh .
hH
h 1

ii) Một tôpô mạnh trên

B(H)

ph-ơng liên kết với họ nửa chuẩn
cách khác, dãy
x(h),

với mọi

{x}

là một không gian tôpô lồi địa

x x(h)

hội tụ mạnh đến

x

, với

x B(H)

khi và chỉ khi

và

{x(h)}

h H.

Nói

hội tụ đến

h H.

iii) Một tôpô

mạnh

(hay siêu mạnh) trên

nửa chuẩn:


xhi 2 )1/2,

x(
i=1

15

B(H)

đ-ợc cho bởi


với

{hi }


i=1

là dãy các phần tử bất kỳ trong H, sao cho:

xhi

2

< .

iv) Một tôpô yếu trên B(H) là một không gian tôpô lồi địa ph-ơng
liên kết với nửa chuẩn
khác, dãy
với mọi

{x }

x |(x(h), g)|,

hội tụ yếu đến

với

x B(H)

và

x B(H)

h, g H.

khi và chỉ khi

Nói cách

(x x)(h), g 0

h, g H.

v) Một tôpô

yếu

(hay siêu yếu) trên

B(H)

đ-ợc xác định bởi

nửa chuẩn:


x|

(xhi , gi )|,
i=1


i=1

với

hi

2

< ,

và


i=1

gi

2

< .

2.1.5. Định nghĩa.

Với mỗi tập con

A B(H),

ta ký hiệu

A

là hoán tập của A, tứclà:

A = {y B(H) : xy = yx, x A}.

Dễ dàng chỉ ra đ-ợc
là một

C

là đóng yếu. Nếu

A

là tự liên hợp thì

đại số. Từ nay về sau ta sẽ ký hiệu

A

thay cho

A

A

(A )

2.1.6. Định nghĩa.

Một

C

đại số con đóng yếu

Neumann. Nói cách khác, một

Neumann nếu

A=A

và

A B(H)

C

đ-ợc gọi là một đại số von

đại số con

A B(H)

là đại số von

1 A.

2.1.7. Định lý.

Nếu

A

là một đại số von Neumann thì

A = A.

Chứng minh.

Cho

A

tác động trên một không gian Hilbert

H,

với mọi

n

nguyên

d-ơng, ta đặt H(n) = H ...H (n lần). Mọi phần tử trong B(H(n)) đ-ợc cho
bởi ma trận
A(n)

(bij )nxn

các phần tử thuộc

B(H).

Với

x A,

đặt



x = ij x

và cho

là tập tất cả các toán tử thỏa mãn các điều kiện trên. Rõ ràng

là một đại số von Neumann. Cho

(bij ) B(H(n)).
16

Khi đó

bij A(n)

A(n)

(hoán


tập của

A(n) )

nếu và chỉ nếu

y = (ij y) A(n) .

ký hiệu

trực giao lên
tử

zA

A(n)g .

y An .

sao cho

với mọi

i, j .

Vì vậy, nếu



{xg; x A}.

Khi đó, theo (A2) - [7],

Cho

p A(n)

Điều này có nghĩa là, với mỗi

A(n)g

Điều này chứng tỏ



thỏa mãn

A



yg zy < ,

trù mật trong

trong tôpô toán tử yếu, ta có

A=A

A

p

thì

yA

là một phần tử cố định của

g = h1 h2 ... hn

là bao đóng của tập

A(n)g

theo y, với

Cho

bij A ,

H(n) ,

và

là một phép chiếu
và

> 0,

tức là:

A(n)g

là bất biến

tồn tại một toán
n
i=1

yhi zhi

2

< .

trong tôpô toán tử mạnh, vì thế

.

Định lý đ-ợc chứng minh.
2.1.8. Định nghĩa.

Một phiếm hàm tuyến tính
với mọi
x = 0,

x A+ .

với mọi

Phiếm hàm

trên

A

đ-ợc gọi là d-ơng nếu

đ-ợc gọi là chính xác nếu

(x)

(x) = 0

0,

suy ra

x A+ .

2.1.9. Nhận xét.
i)

Dễ dàng kiểm tra đ-ợc rằng, nếu là phiếm hàm tuyến tính d-ơng
thì

(x ) = (x).

trên

A

mọi

x, y A,

Nếu



là một phiếm hàm d-ơng trên A, thì với

ta có:
(y x)

()

Thật vây, với mỗi

C,

2

(y y)(xx).

ta có:
(x + y) (x + y)

Với

= t(xy)|(y x)|1

và

t R,

0.

ta có:

t2(xx) + 2t(y x) + (xy)

Điều này suy ra
ii)

().

Mọi phiếm hàm tuyến tính d-ơng

Thật vậy, ta có:
xx (1),

và

0.

|(x)|

|(x)|

(1)1/2(xx)1/2,

(1) x

.
17



và

là bị chặn và
x x

x x 1.

= (1).

Do đó:

(xx)


2.1.10. Định lý GNS (Gelfand - Naimark - Segal) (xem [7]).

Với mỗi phiếm hàm tuyến tính d-ơng
cyclic

{, K}

của

A

với một vectơ cyclic



,

trên A, có một biểu diễn

sao cho:

với mọi

(x) , = (x)

x A.

Chứng minh.

Với

x, y A,

đặt

< x, y >= (y x).

Khi đó

A

trở thành một không gian

tiền Hilbert. Từ :
|(y x)|2

tập

M

các phần tử

sao cho

(y x) = 0,

th-ơng

A/M

xA

sao cho

với mọi

(xx) = 0

xA

A

cũng là tập các phần tử

Đây là ideal trái của

y A.

T

của

A

lên

A/M

thì tích trái xác định bởi

(tức là

x

y xy )

không gian th-ơng có một toán tử tuyến tính
y (x) = (y xy).

(y x xy)

=

Khi đó



y (xx)

và không gian

Thật vậy, với

yA

K

là mở

K .

Hơn nữa, với

xác định bằng cách qua


x

trong

A/M .

Cho

yA

là một phiếm hàm tuyến tín nên
x x y (1)

Từ bất đẳng thức này suy ra toán tử

xA

là một ánh xạ tuyến

lên không gian con tuyến tính trù mật của

cố định, đặt

A

là một không gian tiền Hilbert Hausdorff. Đặt

rộng của nó. ánh xạ chính tắc
tính của

(y y)(xx),

x

xx (y y).

=

có chuẩn

1.

ta có:

< xy, xy >= (y x xy)

x x (y y) = x

2

< y, y > .

Do đó x mở rộng tới một toán tử tuyến tính liên tục

(x)

tác động trong

K .

Dễ dàng kiểm tra đ-ợc

x (x)

là một

Chẳng hạn, với mỗi

x, y, z A

thì:

< (x)T y, T z >

=





đồng cấu thoả mãn

< T y, (x)T z >
18

=

< y, xz >

1H 1K .

= (z x y)

Do đó

(x) = (x).

< x x, z >

=

Hơn nữa, đặt:

< (x )T y, T z > .

=

= T (1H ) K ,

ta có:

(x) = T (1) = T (x),

nên



là cyclic đại diện cho

(A).

Cuối cùng:
< (x) , >

=

< T (1H ), T (1H ) >

=

< x, 1H >

=

(x).

Định lý đ-ợc chứng minh.
2.1.11. Nhận xét.

Nếu

là chính xác, thì



x M,

nghĩa là:

tách đối với
Biểu diễn

A

từ đó

M =0

x = 0.

suy ra

(x) = 0

Nh- vậy, trong tr-ờng hợp này,

và hiển nhiên

{K , }

và điều kiện



là



đẳng

cấu từ

A

lên



T (x) = 0,

cũng là

(A).

xây dựng ở trên đ-ợc gọi là biểu diễn cyclic liên kết

với . Nó cũng đ-ợc ký hiệu bởi

{K , , }

để chỉ ra vectơ cyclic

.

2.1.12. Định lý.

Cho

là một phiếm hàm tuyến tính trên

B(H).

Khi đó các điều kiện

sau đây là t-ơng đ-ơng:
i)

(x) =

n
k=1 (xhk , gk )

, với mỗi

gk , hk H,

k = 1, ..., n

và với mọi

x B(H);

ii)
iii)

là liên tục yếu;
là liên tục mạnh.

Chứng minh.

Rõ ràng

(i) (ii) (iii).

Ta sẽ chứng minh

là liên tục mạnh. Vì vậy, tồn tại các vectơ

(iii) (i).

h1 , h2 , ..., hn H

n

x(hk )

2

< 1,

suy ra

k=1

19

|(x)|

1.

Giả sử rằng
sao cho:




Điều này cho ta:
n

()

|(x)|

x(hk ) 2)1/2.

(
k=1

Xét

H(n)

và

x = ij x B(H(n) ).

trong

().

nh- trong Định lý 2.1.7, ta có, với

B(H(n) )

Cho

h(n) = h1 h2 ... hn ,

với

hj

x B(H),

đặt

xác định t-ơng tự nh-

Đặt:


(xh(n) ) = (x)

Công thức này cho ta một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con
đóng của

H(n)

sinh bởi các véctơ



xh(n) ,



|(xh(n) )|

xH

và thỏa mãn:



xh(n)

Từ định lý biểu diễn Riesz, có một véctơ

g = g1 g2 ... gn

trong

H

sao

cho:
n


(x) = (xh(n) , g(n) ) =

(xhk , hk ).
k=1

Định lý đ-ợc chứng minh.
2.1.13. Định nghĩa.

Một phiếm hàm tuyến tính d-ơng
thái nếu



trên

A

đ-ợc gọi là một trạng

(1) = 1.

2.1.14. Định lý.

Cho
H.



là một trạng thái trên đại số von Neumann A, tác động trong

Khi đó, các điều kiện sau đây là t-ơng đ-ơng:
i)

là chuẩn,



ii)



iii)



là liên tục yếu trên hình cầu đơn vị trong A,
là liên tục

yếu,

iv) Có một toán tử
v)

(x) =

(xhi , hi ),

x

của lớp vết trên

với

hi

2

< .

20

H

sao cho

(y) = tr(xy), y A,


Chứng minh.
(i) (ii).
(.p)
0,

Từ Định lý 2.1.12, ta tìm một phép chiếu

là liên tục yếu và

(p ) < .

Nếu

(xi )

p A,

sao cho

là dãy bị chặn hội tụ yếu đến

thì:
(xi )

(xi p) + (xi (1 p))
(xi p) + (xi xi )1/2(1 p)1/2
(xi p) + xi

Nghĩa là:

Vì

nó là liên tục
vì tôpô

yếu

1/2 1/2



.

hội tụ đến 0.

{(xi )}

(ii) (iii).





là liên tục yếu trong hình cầu đơn vị trên A, nên

yếu

trên

trên mọi hình cầu xung quanh điểm gốc. Nh-ng

A

là tôpô yếu liên kết với

A

nên đủ để áp dụng

Định lý của Krein - Smulian. Từ A.24 - [7] ta có (iii)
minh đ-ợc tính t-ơng đ-ơng (iii)
d-ơng trong đ-ờng chéo từ
riêng đơn vị) và

k > 0,



với

k

(iv). Chứng

(iv) là đủ để có một lớp toán tử vết



ek ,

x=

với

k (ek )

là giá trị riêng (vectơ

= trx < . Dễ dàng kiểm tra đ-ợc (iv)

k



(ii). Từ (ii)

(i) là hiển nhiên.



Định lý đ-ợc chứng minh.

2.2 Dạng khác của hội tụ hầu chắc chắn trong
đại số von Neumann.
Cho
A

A

là một đại số Von Neuman trong không gian Hilbert phức H.

là hoán tập của A.

là một trạng thái trên A.



d-ơng trong A. Ký hiệu Proj
trong A. Với

p

Proj

A

A

ứng Z . Cho

xA

A

ta luôn có
ta kí hiệu

ta đặt

là lớp các phần tử

là tập tất cả các phép chiếu trực giao

p = 1 p.

nhất trong A. Với mỗi tập con Borel
tử tự liên hợp trong

A+

| x |2 = x x .

Z

eZ (x)

Ta sẽ viết 1 là toán tử đồng

trên đ-ờng thẳng thực và toán
là phép chiếu phổ của

x

t-ơng

Ta bắt đầu với một vài so sánh sau.
21


Trong không gian xác suất

(, F , P),

đặt

L (, F , P)

là đại số (hoặc lớp

t-ơng đ-ơng) các hàm bị chặn cốt yếu nhận giá trị phức
trên . Nó có thể xem nh- một đại số von Neumann trên
ta đồng nhất các hàm

với toán tử nhân

g L

thức

P (f ) =

của một dãy



f dP.

(fn )

Theo định lý Egoroff thì sự hội tụ

từ

A

f L2 .

nếu
Đại

cho bởi công

P

P

đo đ-ợc

L2 (, F , P)

với

ag : f fg

số A = L (, F , P) có một trạng thái vết chuẩn chính xác

F

hầu chắc chắn

là t-ơng đ-ơng với sự hội tụ hầu đều của nó. Rõ

ràng rằng có thể biểu diễn sự hộ tụ hầu chắc chắn nh- các phần tử của

đại số

mà không xem xét trên không gian cơ sở . Chúng ta có thể

A

khẳng định lại sự hội tụ hầu chắc chắn theo nghĩa
thái

P

L

chuẩn, trạng

và các hàm đặc tr-ng (của các tập "lớn"). Từ quan điểm trên ta

xem xét định nghĩa sau:
2.2.1. Định nghĩa.

Cho
.

là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác

A

Ta nói rằng một dãy

phần tử

xA

(1 p) <

(xn )

nếu với mỗi

và thoả mãn

các phần tử của

>0

A

hội tụ hầu đều tới một

tồn tại một phép chiếu

(xn x)p 0

khi

pA

sao cho

n .

2.2.2. Nhận xét.

Ta chú ý rằng ở định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn .
Và từ đó hội tụ hầu đều đ-ợc định nghĩa t-ơng đ-ơng với hai điều kiện
sau:
()

Với bất kì lân cận mạnh của toán tử đồng nhất trong

tại một phép chiếu
()

p

sao cho

(xn x)p 0

khi

Với mọi trạng thái chuẩn chính xác

một phép chiếu

pA

sao cho

(1 p) <

A

tồn

n .


trên

và thoả mãn

A

và

>0

tồn tại

(xn x)p 0

khi

n .

Các điều kiện trên đ-ợc suy ngay từ giả thiết nếu
22

là một trạng thái


chuẩn chính xác thì tôpô mạnh trong hình cầu đơn vị

S

trong

A

có thể

1
2

đ-ợc metric hoá bởi công thức: dist(x, y) = [(x y)(x y)] .
2.2.3. Định lý.

Cho

A

là một đại số von Neumann với một trạng thái chuẩn chính

xác . Với các dãy bị chặn các toán tử

(xn )

từ

thì sự hội tụ hầu đều

A

(xn ).

có thể hiểu nh- hội tụ mạnh của dãy
Chứng minh.

Cho

xn 0

hầu đều. Biểu diễn GNS của

A

liên kết với



là một

trạng thái chuẩn và chính xác. Không mất tính tổng quát ta có thể giả
sử rằng

A

tác động lên không gian

H

các biểu diễn GNS theo cách

chuẩn. Trong tr-ờng hợp đặc biệt ta có
một một vectơ cyclic tách trong
tại một phép chiếu
là hoán tập của

A

pA

sao cho

với chuẩn
xn y

.



H .

(x) = (x, )

Cho

>0

(1 p) <

trong

H ),

và

và

x

1.

xn p 0.

xA

và



là

Khi đó, tồn
Đặt

yA

(A

ta có:

xn py



+ xn (1 p)y

xn p . y



<0



với

.

Nh-ng:
xn py



với

n

đủ lớn,

và:
xn (1 p)y



= yxn (1 p)
1

= xn y [(1 p)] 2

Điều này chỉ ra rằng
trù mật trong
xn

H

và

xn y 0

(xn )

với mọi

xn y . (1 p)

1

xn y 2 .

y A.

Vì tập các vectơ

{y, y A }

bị chặn đều nên sự hội tụ mạnh ( mạnh) của

dần về 0.

2.2.4. Nhận xét.

Trong Định nghĩa 2.2.1, chúng ta đã giới thiệu tổng quát khái niệm
hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann trong phạm vi khái niệm của
23