Bài giảng toán kinh tế phần 2 TS trần ngọc minh

Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

CHƯƠNG 4
BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MẠNG
4.1 Một số khái niệm cơ bản
4.1.1 Định nghĩa về đồ thị hữu hạn
a) Đồ thị hữu hạn (Graph) là một cặp tập hợp; ký hiệu là G = {X.A}, trong đó X = {x1, x2,...., xn}
là tập hữu hạn các điểm (đỉnh, nút). A = {(i, j)} là tập hợp các cạnh (cung) nối tất cả hoặc một
phần các điểm xi  X lại với nhau, cách nối điểm i với điểm j, ký hiệu là (i, j).
Thí dụ 4.1 G = {X.A}, trong đó X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} và A = {(1,2), (2,1), (1,4),(1,3),
(2,5), (4,3), (3,5), (3,6), (3,7), (5,7), (4,6), (6,7)}
x5

x2

x7
x1
x3
x6

PT
IT

x4
Hình 4.1

Đồ thị vô hướng: Ký hiệu {G  X.A} trong đó X là tập các đỉnh (nút, điểm) và A là tập các
nhánh. Nhánh là một cặp không kể đến thứ tự hai đỉnh khác nhau xi và xj nào đó với xi  X, xj  X,
ký hiệu là (i, j). Vậy (xi, xj) = (xj, xi) trong đồ thị vô hướng.

Cung còn được gọi là cạnh có hướng. Cung (xi, xj) được gọi là nối đỉnh xi với đỉnh xj. Cấp của
một đỉnh là số cung nối tới nó. Cấp của đồ thị là cấp cực đại trong các cấp của các đỉnh của nó.
Một đường đi từ đỉnh x1 đến đỉnh xt là bộ t nút khác nhau x1, x2, ..., xk sao cho (xk , xk+1) A với
k= 1, 2, ..., t-1.
Chu trình (mạch vòng) là bộ t đỉnh: x1, x2,..., xt sao cho x1,...., xt-1 là một đường đi, xt ≡ x1 và có
ít nhất ba đỉnh khác nhau (tức là t - 1 ≥ 3).
Đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu ứng với mỗi cặp xi, xj  X đều có một đường đi từ xi
đến xj.
Số các đỉnh của đồ thị thường ký hiệu là n còn số nhánh là m.
Đồ thị có hướng: Ký hiệu là G = {X.A} nhưng mỗi nhánh là là một cặp có thứ tự. Vì vậy (xi , xj)
≠ (xj, xi). Nhưng đồ thị không được chứa cung tự nối dạng (xi, xi).
Thí dụ 4.2: Hình 4.2 là một đồ thị có hướng
x1
G = {X.A}.Với X = {x1, x2, x3, x4, x5} và A
={(x1,x2),(x2,x1),(x1,x3),(x1,x4),(x3,x2),(x4,x3), (x3,x5)}. Ta sẽ
x4
nói là cung (xi, xj) ký hiệu (i, j) là đi từ đỉnh i đến đỉnh j.
Đồ thị vô hướng tương ứng với một đồ thị có hướng là đồ x
2
thị nhận được khi không tính đến hướng trên các cung nữa.
Đồ thị có hướng là liên thông nếu đồ thị vô hướng tương
ứng là liên thông

Hình 4.2
x3

x5
119

Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

PT
IT

Mỗi đường đi trong đồ thị vô hướng tương ứng đều gọi là một đường đi trong đồ thị có hướng.
Nhưng đồ thị có thể chứa cả hai cung (i, j) và (j, i), nên để xác định một đường đi phải nói rõ cả
dãy đỉnh x1, ..., xt và dãy cung a1,...., at-1. Khi đó nếu một cung ak có dạng "thuận" ak = (ik, ik+1) thì
ta nói ak là cung tiến trong đường đi này. Ngược lại nếu ak = (ik+1, ik) thì ak là cung lùi.
Chu trình cũng được định nghĩa như ở đồ thị vô hướng, nhưng ở đây cho phép chu trình chỉ gồm
hai đỉnh khác nhau.Một đường đi hoặc chu trình được gọi là có hướng nếu nó chỉ chứa các cung
tiến. Trong hình 4.2 thì (1,3), (3,2), (2,1) là một chu trình có hướng. Nhưng (1,3), (1,2), (3,2) là
một chu trình không có hướng vì (1,3) và (3,2) là cung lùi.
Đường đi tối giản là đường đi qua một đỉnh của đường đi đó chỉ một lần. Tương tự chu trình tối
giản là chu trình mà trong đó mỗi đỉnh của đồ thị chỉ gặp một lần, từ đỉnh đầu tiên đến đỉnh cuối
cùng.
4.1.2 Các yếu tố khác của đồ thị
a. Ánh xạ và ánh xạ ngược:
- Một ánh xạ của đỉnh xi trong đồ thị G = {X.A}ký hiệu là Г(xi) là tập hợp các đỉnh cuối của tất
cả các cung có đỉnh đầu là xi. Thí dụ trong hình 4.2: Г(x1) = {x2, x3, x4}.
- Ánh xạ ngược của một đỉnh xj trong đồ thị G ={X.A}ký hiệu Г-1(xi) là tập hợp các đỉnh đầu
của tất cả các cung có đỉnh cuối là xj. Chẳng hạn trong hình 4.3: Г-1(x3) = {x1, x4}.
b. Cây
Đồ thị vô hướng được gọi là cây nếu nó liên thông và không chứa chu trình. Mỗi đỉnh cấp 1 của
cây gọi là một lá.
Định lý 4.1:
- Mỗi cây có hơn một đỉnh sẽ có lá.
- Đồ thị vô hướng là một cây khi và chỉ khi nó liên thông và có n- 1 cung.

- Với bất kỳ hai đỉnh xi ≠ xj trên cây đều có tồn tại duy nhất một đường đi từ xi tới xj.
- Nếu thêm một cạnh mới vào một cây thì đồ thị mới nhận được có đúng một chu trình.
Cây bao trùm:(cây tối đại) của đồ thị liên thông, vô hướng

  là một cây trong

G  X. A

G mà

chứa tất cả các đỉnh của G . Vậy cây bao trùm là cây T có dạng T = {X.A1} trong đó A1  A .
Định lý 4.2 Giả sử {G  X.A} là một đồ thị vô hướng liên thông và A0  A . Nếu các cung của A0
không tạo thành một chu trình nào thì có thể bổ sung thêm các cung của đồ thị vào A0 để được tập
mới A1 sao cho {X. A1} là một cây bao trùm.
Trong hệ thống kỹ thuật, người ta thường sử dụng các loại cây sau đây:
- Cây người chào hàng: Là một đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh chỉ qua một lần.
- Cây có chiều dài ngắn nhất: Là một đường đi nhận được từ đồ thị bằng cách loại ra khỏi nó các
cung theo trình tự giảm dần chiều dài của cung và kiểm tra tính liên thông của đồ thị, hoặc đưa
dần vào các cung vào đồ thị theo trình tự tăng dần chiều dài cung và cấm không được tạo thành
chu trình.
- Cây Steiner: Nếu cho phép đưa thêm vào tập hợp đỉnh của đồ thị những đỉnh phụ thì độ dài của
cây ngắn nhất có thể giảm xuống. Đỉnh phụ đưa thêm vào đồ thị có 3 nhánh cách nhau 1200 được
gọi là đỉnh Steiner.
c. Lát cắt: là tập hợp các nhánh sao cho nếu loại chúng ra khỏi đồ thị thì đồ thị trở nên không liên
thông.
120


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

PT
IT

Lát cắt gọi là phân chia hai đỉnh xi và xj của đồ thị, nếu sau khi loại lát cắt này ra khỏi đồ thị thì
hai đỉnh xi và xj không còn liên hệ với nhau nữa.
Lát cắt tối giản là lát cắt không chứa trong nó những lát cắt khác.
d. Đồ thị phẳng và đồ thị không phẳng:
- Đồ thị G = (X.A) được gọi là đồ thị phẳng nếu nó có thể biểu diễn được trên mặt phẳng hoặc
mặt cầu sao cho không có bất kỳ hai cạnh nào cắt nhau.
- Đồ thị không thỏa mãn điều kiện trên gọi là đồ thị không phẳng.
e. Đồ thị đối ngẫu
Đối với một đồ thị G = (X. A), giữa một cặp đỉnh nào đó ta gọi là đỉnh vào (đỉnh đầu) và đỉnh ra
(đỉnh cuối) ta có thể xây dựng được một đồ thị đối ngẫu G' = {X'.A} theo trình tự sau đây:
- Vẽ thêm một cung nối liền hai đỉnh "vào" và "ra" của đồ thị G = {X.A}.
- Trong mỗi "diện" của G = {X.A}("diện" là một phần của đồ thị được giới hạn bởi các cung mà
bên trong nó không chứa các cung khác của đồ thị), kể cả diện ngoài (diện ngoài là phần mặt
phẳng không giới hạn bởi các cung của đồ thị) ta đặt một đỉnh x' trong tập X' của đồ thị đối ngẫu
sẽ được xây dựng.
- Nối các đỉnh trong tập X' lại với nhau bởi các cung, cắt các cung tương ứng của đồ thị phẳng
ban đầu, số cung của đồ thị đối ngẫu đúng bằng số cung của đồ thị phẳng ban đầu.
Hướng của cung trong đồ thị đối ngẫu được xác định như sau: Nếu cung của đồ thị đối ngẫu đi từ
một đỉnh nằm bên trong một diện của đồ thị phẳng ban đầu cắt cung của G ={X.A} có hướng
thuận với chiều kim đồng hồ theo mạch vòng của đa diện, thì hướng của cung đang xét trong đồ
thị đối ngẫu sẽ đi từ bên trong diện ra bên ngoài diện và ngược lại. Nếu cung của đồ thị phẳng ban
đầu không có hướng thì cung tương ứng của G' = {X'.A} cũng không có hướng.
Hình 4.3a và 4.3b cho một thí dụ về cách xây dựng đồ thị đối ngẫu.
6'

2'

2

``
a1
1

a2

3

a7

a3

3'

a1

a4

a2

3'

2

'

a5

6

5'

a4

4'

5
a8

a8

a6

a7
4

1

a9

6'

'

a5
4'

a9

a6

a3

5'
1'

Hình 4.3 a

Hình 4.3 b

- Tính đối ngẫu của đường và lát cắt trong đồ thị phẳng
Đối với một đồ thị phẳng G = {X.A}, tương ứng với một cặp đỉnh "vào", "ra", ta có thể dựng
một đồ thị đối ngấu G' = {X'.A}.

121


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

Đường đi trong G = {X.A} sẽ tương ứng với lát cắt trong G' = {X'.A} và ngược lại. Ta có cặp đối
ngẫu sau:

Trong G' = {X'.A}
Lát cắt

Đường đi

Trong G = {X.A}
Đường đi
Lát cắt

- Ý nghĩa mạng của đối ngẫu:
Giả sử ta phải chuyển lượng hàng bi > 0 từ mỗi đỉnh i = 1, 2, ..., n-1 tới đỉnh n theo một mạng
riêng của mình. Khi đó nghiệm tối ưu của bài toán dòng trên mạng cho ta cách vận chuyển tốt
nhất.
Lại giả sử có một công ty vận tải mở dịch vụ vận chuyển từ mọi đỉnh i đến đỉnh n (theo mạng
của họ) với giá vận chuyển một đơn vị hàng là pi. Nếu (i, j) là một cung trong mạng riêng của ta
và phí tổn vận chuyển một đơn vị hàng trên cung này là cij, thì ta có thể tự chuyển hàng từ i đến j
rồi giao cho công ty vận tải chuyển nốt đến đỉnh n, với giá đơn vị là cij + pi. Công ty vận tải biết
các véc tơ b và c và tìm cách bao hết việc vận chuyển hàng của ta, kể cả trên cung (i, j). Khi đó họ
phải ra giá để cạnh tranh là pi ≤ cij + pj và pn = 0. Với giá đủ hấp dẫn này, coi như ràng buộc,
n 1

mục đích của họ tất nhiên là làm cực đại doanh thu

p b
i

i

.Vậy bài toán của công ty chính là bài

PT
IT

i 1

toán đối ngẫu với bài toán tự vận chuyển của ta. Định lý đối ngẫu mạnh của quy hoạch tuyến tính
nói rằng doanh thu tối ưu của công ty đúng bằng phí tổn tối ưu khi ta tự vận chuyển bằng mạng
riêng. Nói cách khác, nếu hai phía đều tìm cách vận chuyển tối ưu và giá của công ty đặt ra đúng
thì cước phí là như nhau.
4.1.3. Biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận
a. Ma trận liên hệ trực tiếp
Giả sử cho đồ thị G = {X .A}, ma trận liên hệ trực tiếp của nó được ký hiệu là A = {aij}, được
xác định như sau:
1 , nếu trong G = {X.A} có cung (i, j) (kể cả cung tự nối)
a ij  
, nếu trong G = {X.A} không có cung (i, j)
0
Thí dụ 4.3 Cho đồ thị G = {X.A} như hình 4.4. Khi đó ma trận liên hệ trực tiếp của đồ thị cho ở
bảng 4.1
Bảng 4.1
0
1
1
0
0
0
0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

122


Bài giảngToán kinh tế
`

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

a3

x2

a1
x1

a2
x3

a9

a4

a8

x6

a5

a10

x4
a7

x5

a6

Hình 4.4

Với mỗi đồ thị G = {X.A}ta có một ma trận liên hệ trực tiếp tương ứng, xác định đầy đủ cấu trúc
của đồ thị. Tổng các phần tử theo dòng trong bảng 4.1 cho ta số cung đi khỏi đỉnh xi, còn tổng các
phần tử theo cột cho ta số cung đi vào đỉnh xi.
b. Ma trận liên hệ cung nút
Cho đồ thị G = {X.A} có n đỉnh và m cung. Ma trận liên hệ cung nút của đồ thị, ký hiệu là B =
{bij}, có kích thước m×n với các phần tử được xác định như sau:

PT
IT

1 , nếu xi là đỉnh đầu của cung aj

b ij  - 1, nếu xi là đỉnh cuối của cung aj
0 , nếu xi không phải là đỉnh đầu hoặc đỉnh

cuối của cung aj hoặc nếu cung aj là cung tự nối

Thí dụ 4.4 Đối với đồ thị cho ở hình 4.4 thì ma trận cung nút có dạng như ở bảng 4.2
Bảng 4.2
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
x1

1
1
0
0
0
0
0
-1
-1
0
x2
-1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
x3
0
-1
0
0
-1
0
0
0

0
0
x4
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
x5
0
0
0
-1
0
1
-1
1
0
0
x6
0
0
0
0
0

0
1
0
1
0
Vậy mỗi cột của B có đúng hai phần tử khác không là 1 và -1; chỉ đỉnh đầu và đỉnh cuối của
cung tương ứng của cột này. Khi xét các hàng ta thấy hàng i ứng với đỉnh i và ràng buộc sẽ là:
a Ti x 

x - x
ij

jO(i)

ji

 bi

jI(i)

trong đó a iT x là hàng i của ma trận B. Như vậy, các phần tử khác 0 (là 1 hoặc -1) trên hàng i của
B ở cột nào thì có nghĩa là cung tương ứng cột đó có nối tới đỉnh i (1 ứng với cung đi ra từ đỉnh i,
-1 ứng với cung đi vào đỉnh i). Ma trận B gọi là ma trận nối cung - nút hoặc gọi tắt là ma trận nối.
Nhận xét rằng tổng tất cả các hàng của B là véc tơ 0. Vì vậy n hàng của B là phụ thuộc tuyến
tính. Vì vậy, có thể bỏ đi một hàng (nếu bài toán là chấp nhận được), thường là hàng ứng với đỉnh
ra của đồ thị.

123

Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

4.2 Bài toán đường đi ngắn nhất
4.2.1 Ý nghĩa và nội dung bài toán
Bài toán đường đi ngắn nhất là một bài toán quan trọng nảy sinh từ nhiều bài toán thực tế về vận
tải, mạng thông tin, điều khiển tối ưu,...Có thể phát biểu một dạng toán học chung cho các bài toán
như vậy thành bài toán dòng trên mạng như sau. Cho một đồ thị có hướng G = {X.A}. Mỗi cung
(i, j) có cước phí cij > 0 chính là độ dài của cung. Để tìm đường ngắn nhất từ một đỉnh s đến một
đỉnh r ta sẽ thấy cần tính nhiều hoặc thậm chí đường ngắn nhất từ mọi đỉnh khác đỉnh r tới đỉnh r.
Vì vậy người ta gọi bài toán đường ngắn nhất là bài toán tìm đường đi ngắn nhất từ mọi đỉnh trong
X tới một đỉnh r thuộc X cho trước, gọi là đỉnh gốc. Để đưa về bài toán dòng trên mạng, đặt bi = 1
cho mỗi đỉnh i ≠ r và

br  -  bi
ir

PT
IT

Ta có thể giải bài toán đường ngắn nhất bằng thuật toán đơn hình mạng. Đường ngắn nhất từ
đỉnh i tới đỉnh r chính là các cung thuộc cây bao trùm tối ưu T nối từ đỉnh i đến đỉnh r (đây là
đường đi có hướng, trong đường đi không có cung lùi). Có nhiều cách để giải bài toán tìm đường
đi ngắn nhất, nhưng trong khuôn khổ bài giảng này ta nghiên cứu một thuật toán tỏ ra có hiệu quả
nhất, đó là thuật toán gán nhãn do Dijkstra công bố năm 1959. Ý tưởng của thuật toán là lần lượt
tìm đường đi ngắn nhất từ mỗi đỉnh đến đỉnh gốc ký hiệu là n, bắt đầu từ đỉnh có đường đi này
ngắn hơn cả, rồi theo thứ tự đỉnh có đường ngắn hơn làm trước. Cụ thể là lần lượt gán cho các
đỉnh của đồ thị một số gọi là nhãn của đỉnh. Cho đỉnh vào của đồ thị là x1 có nhãn bằng 0, sau đó
các cung đi từ x1 đến các đỉnh xj, j  Г(x1), ta chọn cung có độ dài nhỏ nhất và gán nhãn cố định

cho nó.Tiếp theo trong các cung đi từ một đỉnh đã có nhãn cố định đến một đỉnh có nhãn tạm thời
ta lại chọn cung sao cho độ dài của nó cộng với nhãn của đỉnh đã được gán nhãn là nhỏ nhất, giá
trị này được gán cho đỉnh cuối của đường đi này. Quá trình tiếp tục cho đến khi đỉnh cuối (đỉnh
gốc) được gán nhãn cố định.
4.2.2 Thuật toán Dijkstra
Cho đồ thị G = {X.A}, tìm đường đi ngắn nhất từ xs đến xt, ký hiệu L(xi) là nhãn của đỉnh xi (i =
1, n ). Thuật toán như sau:

Bước 1: Đặt L(x1) = L(xs) = +0 và coi đây là nhãn cố định.
Đặt L(xi) = +∞ với i≠1 và xem các đỉnh này có nhãn tạm thời.
Gán xp ≡ xs
Bước 2: Với tất cả các đỉnh xi  Г(xp) có nhãn tạm thời sẽ được thay đổi nhãn tạm thời mới theo
điều kiện sau:
L(xi) = Min{L(xi); L(xp) + cpi}
(4.1)
Bước 3: Trong số các đỉnh đang có nhãn tạm thời (cũ và mới thay đổi) ta tìm một đỉnh j có nhãn
tạm thời thỏa mãn điều kiện:
L*(xj) = Min{L(xi)│L(xi) có nhãn tạm thời mới}
(4.2)
Coi nhãn của đỉnh xj ứng với điều kiện (4.2) là nhãn cố định và đặt xp ≡ xj chuyển sang bước sau.
Bước 4:
a. Nếu chỉ cần tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh xs đến đỉnh xt thì có hai trường hợp xảy ra:
- Khi xp≡xt thì L(xp) là chiều dài đường đi ngắn nhất cần tìm. Thuật toán dừng.
- Khi xp ≠ xt quay lại bước 2.
124


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

PT
IT

b. Nếu cần tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh xs đến các đỉnh còn lại của đồ thị, thì có hai trường hợp
xảy ra:
- Khi nhãn của tất cả các đỉnh là nhãn cố định thì trị số nhãn của đỉnh xj (j ≠ s) là chiều dài đường
đi ngắn nhất từ đỉnh xs đến đỉnh xj trong đồ thị G = {X.A}.
- Nếu đồ thị vẫn còn đỉnh có nhãn tạm thời thì quay lại bước 2.
Thí dụ 4.5 Cho đồ thị G ={X.A} thể hiện bởi ma trận khoảng cách cho ở bảng 4.3. Các trị số
trong các ô biểu thị độ dài đường đi từ i đến j.(đơn vị tính: km)
Hãy vẽ đồ thị G và tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh x1 đến tất cả các đỉnh còn lại.
Bảng 4.3
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
10
3
6
12
x1
10
18
2

13
x2
18
25
20
7
x3
25
5
16
4
x4
5
10
x5
20
10
14
15
9
x6
2
4
14
24
x7
6
23
5
x8

12
13
9
24
5
x9
Giải bài toán bằng thuật toán Dijkstra:
18

x2

x3

25

10

2

x1

13

20

7

x4

4

3

14

x7

24

12

x9

6

16

x6

9

10

5

15
5
x8

x5

23
Hình 4.5

Vòng lặp 1:
Bước 1: Đặt L(x1) = +0; L(xi) = +∞  i ≠ 1. Đặt xp ≡ x1 → B2
Bước 2: Г(xp) = Г(x1) = {x2, x7, x8, x9}, các đỉnh x2, x7, x8, x9 được thay nhãn tạm thời như sau:
L(x2) = Min{L(x2); L(xp)+cp2} = Min{+∞; 0 + 10} = 10
L(x7) = Min{L(x7); L(xp)+cp7} = Min{+∞; 0 + 3} = 3
L(x8) = Min{L(x8); L(xp)+cp8} = Min{+∞; 0 + 6} = 6
L(x9) = Min{L(x9); L(xp)+cp9} = Min{+∞; 0 + 12} = 12
Bước 3: Gán nhãn có định
125


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

PT
IT

L*(xi) = Min{L(x2), L(x7), L(x8), L(x9), L(x3), L(x4), L(x5), L(x6)
= Min{10, 3, 6, 12, +∞, +∞, +∞, +∞, +∞} = 3- ứng với đỉnh x7. Gán xp ≡ x7 → B4
Bước 4: Đồ thị còn có nhãn tạm thời → B2
Vòng lặp 2:
Bước 2: Г(xp) = Г(x7) = {x2, x4, x6, x9}, các đỉnh x2, x4, x6, x9 được thay nhãn tạm thời như sau:
L(x2) = Min{L(x2); L(xp)+cp2} = Min{10; 3 + 2} = 5
L(x4) = Min{L(x4); L(xp)+cp4} = Min{+∞; 3 + 4} = 7
L(x6) = Min{L(x6); L(xp)+cp6} = Min{+∞; 3 + 14} = 17
L(x9) = Min{L(x9); L(xp)+cp9} = Min{12; 3 + 24} = 12

Bước 3: Gán nhãn có định
L*(xi) = Min{L(x2), L(x8), L(x9), L(x4), L(x6), L(x3), L(x5),
= Min{5, 6, 12, 7, 17 +∞, +∞, +∞, +∞, +∞} = 5- ứng với đỉnh x2. Gán xp ≡ x2 → B4
Bước 4: Đồ thị còn có nhãn tạm thời → B2
Vòng lặp 3:
Bước 2: Г(xp) = Г(x2) = {x3, x9}, các đỉnh x3, x9 được thay nhãn tạm thời như sau:
L(x3) = Min{L(x3); L(xp)+cp3} = Min{+∞; 5 + 18} = 23
L(x9) = Min{L(x9); L(xp)+cp9} = Min{12; 5 + 13} = 12
Bước 3: Gán nhãn có định
L*(xi) = Min{L(x8), L(x9), L(x4), L(x6), L(x3), L(x5),
= Min{ 6, 12, 7, 17, 23 +∞} = 6- ứng với đỉnh x8. Gán xp ≡ x8 → B4
Bước 4: Đồ thị còn có nhãn tạm thời → B2
Vòng lặp 4:
Bước 2: Г(xp) = Г(x8) = {x5, x6, x9}, các đỉnh x5, x6, x9 được thay nhãn tạm thời như sau:
L(x5) = Min{L(x5); L(xp)+cp5} = Min{+∞; 6 + 23} = 29
L(x6) = Min{L(x6); L(xp)+cp6} = Min{17; 6 + 15} = 17
L(x9) = Min{L(x9); L(xp)+cp9} = Min{12; 6 + 5} = 11
Bước 3: Gán nhãn có định
L*(xi) = Min{L(x9), L(x4), L(x6), L(x3), L(x5),
= Min{ 11, 7, 17, 23, 29} = 7- ứng với đỉnh x4. Gán xp ≡ x4 → B4
Bước 4: Đồ thị còn có nhãn tạm thời → B2
Vòng lặp 5:
Bước 2: Г(xp) = Г(x4) = {x3,x5, x6}, các đỉnh x3,x5, x6 được thay nhãn tạm thời như sau:
L(x3) = Min{L(x3); L(xp)+cp3} = Min{23; 7 + 25} = 23
L(x5) = Min{L(x5); L(xp)+cp5} = Min{29; 7 + 5} = 12
L(x6) = Min{L(x6); L(xp)+cp6} = Min{17; 7 + 16} = 17
Bước 3: Gán nhãn có định
L*(xi) = Min{L(x9), L(x6), L(x3), L(x5),
= Min{ 11, 17, 23, 12} = 11- ứng với đỉnh x9. Gán xp ≡ x9 → B4
Bước 4: Đồ thị còn có nhãn tạm thời → B2

Vòng lặp 6:
Bước 2: Г(xp) = Г(x9) = {x6}, các đỉnh x6 được thay nhãn tạm thời như sau:
L(x6) = Min{L(x6); L(xp)+cp6} = Min{17; 11 + 9} = 17
Bước 3: Gán nhãn có định
126


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

PT
IT

L*(xi) = Min{L(x6), L(x3), L(x5)}
= Min{ 17, 23, 12} = 12- ứng với đỉnh x5. Gán xp ≡ x5 → B4
Bước 4: Đồ thị còn có nhãn tạm thời → B2
Vòng lặp 7:
Bước 2: Г(xp) = Г(x5) = {x6}, các đỉnh x6 được thay nhãn tạm thời như sau:
L(x6) = Min{L(x6); L(xp)+cp6} = Min{17; 12 + 10} = 17
Bước 3: Gán nhãn có định
L*(xi) = Min{L(x6), L(x3)}
= Min{ 17, 23} = 17- ứng với đỉnh x6. Gán xp ≡ x6 → B4
Bước 4: Đồ thị còn có nhãn tạm thời → B2
Vòng lặp 8:
Bước 2: Г(xp) = Г(x6) = {x3}, các đỉnh x3 được thay nhãn tạm thời như sau:
L(x3) = Min{L(x3); L(xp)+cp3} = Min{23; 17 + 20} = 23
Bước 3: Gán nhãn có định
L*(xi) = Min{L(x3)}
= Min{ 23} = 23- ứng với đỉnh x3. Gán xp ≡ x6 → B4

Bước 4: Đồ thị không còn nhãn tạm thời. Stop.
Chú ý: - Để tìm lộ trình đường đi ngắn nhất từ đỉnh s đến các đỉnh còn lại ta bắt đầu từ đỉnh gốc
lần ngược lại liên tiếp theo quan hệ sau:
L*(xj) - cij = L*(xi)
(4.3)
trong đó xj là đỉnh nằm liền kề trước đỉnh xi trên đường đi ngắn nhất từ đỉnh xs đến đỉnh xj.
- Nếu đường đi ngắn nhất từ đỉnh xs đến đỉnh xt là duy nhất thì các cạnh hoặc cung (i, j) của
đường đi ngắn nhất này tạo nên một cây có gốc là xs và ngọn là xt.Nếu đường đi này không duy
nhất thì có nhiều cây tương ứng.
- Thuật toán Dijkstra chỉ áp dụng được khi cij ≥ 0. Trong trường hợp tổng quát, cij có thể âm, khi
đó có thuật toán giải riêng.

4.3 Mạng liên thông

4.3.1 Nội dung và ý nghĩa của bài toán

a. Nội dung bài toán: Cho đồ thị vô hướng đối xứng G  X.A , với tập X = {x1, x2,.., xn}; tập A
= {a1, a2,..., am}, mỗi cạnh của đồ thị gán một số không âm, gọi là độ dài của cạnh. Hãy tìm một
cây bao trùm có tổng độ dài các cạnh là nhỏ nhất?
Theo định nghĩa cây là một đồ thị liên thông và không chứa chu trình. Cây của một đồ thị liên
thông n đỉnh gồm n-1 cạnh không chứa chu trình.
b. Ý nghĩa của bài toán:
Nếu coi các đỉnh của đồ thị là các điểm cần đặt máy điện thoại cố định thuê bao thì nên thiết kế
mạng đường dây theo những cạnh nào để tổng chiều dài đặt dây là nhỏ nhất tính từ tổng đài nội
hạt đến các thuê bao. Hoặc phải thiết kế hệ thống cáp truyền thông như thế nào để cung cấp thông
tin đến các địa phương trong vùng từ một trung tâm viễn thông sao cho tiết kiệm cáp nhất. Nếu
xem các đỉnh của đồ thị là những thành phố và các trung tâm huyện lỵ, muốn xây dựng mạng lưới
giao thông nối liền tất cả các điểm đó lại sao cho tổng kinh phí xây dựng là nhỏ nhất.
4.3.2 Thuật toán Prim
Ta có thể tìm cây bao trùm của đồ thị sao cho tổng độ dài các cạnh thuộc cây là nhỏ nhất theo

thuật toán đơn giản sau đây do Prim đề xuất. Đầu tiên ta chọn một cạnh ngắn nhất trong đồ thị làm
127


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

gốc cây. Sau đó, cắt trong tất cả các cạnh có một đầu mút thuộc phần cây đã chọn và một đầu mút
ở ngoài cây và ta chọn cạnh có độ dài nhỏ nhất nối vào cây. Quá trình tiếp tục cho đến khi cây có
đủ n - 1 cạnh thì ta nhận được cây bao trùm có tổng độ dài nhỏ nhất. Có thể có nhiều cây như vậy,
nhưng tổng độ dài của các cây bằng nhau.
Có thể làm ngược lại, trên đồ thị chọn cạnh có độ dài lớn nhất "xóa" khỏi đồ thị, kiểm tra xem đồ
thị còn liên thông hay không, nếu có thì tìm cạnh có độ dài lớn nhất tiếp theo và "xóa" khỏi đồ thị
rồi lại kiểm tra tính liên thông của đồ thị. Quá trình tiếp tục cho đến khi đồ thị còn đúng n - 1
không chứa chu trình thì ta nhận được cây bao trùm có tổng độ dài nhỏ nhất.
Thí dụ 4.6 Cho đồ thị vô hướng G  X.A , mỗi cạnh gán một giá trị cij > 0 gọi là độ dài cạnh, như
hình 4.5
x2
12

6
x3

x1

11

x5

10

x8

7
5

x6

3

7

8
12

6

x9

12

9

10

PT
IT

12

x11

x4

9

x7

10

x10

Hình 4.5
Giải bằng thuật toán Prim:
Đầu tiên ta chọn cạnh ngắn nhất (3,4) làm gốc cây, tiếp đó chọn cạnh (3,6) nối vào cây, rồi lần
lượt chọn cạnh (3,2), (6,7), (5,6), (5,8), (8,11), (8,9), (9,10) và cuối cùng là chọn cạnh (1,2) hoặc
(1,4). Đến đây ta có đủ n - 1 = 10 cạnh và ta được một cây bao trùm có tổng độ dài các cạnh là
ngắn nhất, hình 4.6
x2
x5
x8

x1

x3

x6

x4

x7

x9

x11

x10
Hình 4.6

4.4 Bài toán luồng lớn nhất
4.4.1 Nội dung bài toán:
Cho một đồ thị có hướng G = {X.A}có tải năng các cung là uij, (i, j)  A, có thể bằng +∞. Giả sử
s và t là hai nút đặc biệt, gọi tương ứng là nguồn và đích. Bài toán đặt ra là tìm dòng lớn nhất có
thể chuyển qua mạng từ s đến t?
Phát bểu toán học của bài toán là:
Maxbs,
128


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng
Ax = b,
bt = -bs.
bi = 0, i  s, t ,
0 ≤ xij ≤ uij, (i, j)  A

Giá trị của bs sẽ gọi là giá trị của dòng chấp nhận được tương ứng. Bài toán luồng lớn nhất có
thể đưa về bài toán dòng trên mạng bằng cách sau. Trước hết, ta phải đưa vào các cij. Ta đặt cij = 0

(i, j)  A . Ta vẽ thêm cung mới (t, s) với uts = +∞ và cts = - 1. Tìm cực tiểu hàm mục tiêu

c

ij

x ij  - x ts ở bài toán dòng trên mạng mới được đặt, do đó, chính là dòng chấp nhận được sao

( i, j)

PT
IT

cho xts là lớn nhất. Nhưng vì bài toán mới đặt không có nguồn và đích nên toàn bộ dòng này phải
đi qua mạng để từ s quay lại t. Vậy xts chính là giá trị nghiệm của bài toán luồng lớn nhất.
Ngược lại, việc tìm dòng chấp nhận được của bài toán dòng trên mạng có tải năng hạn chế có thể
đưa về giải bài toán luồng lớn nhất như sau. Trước hết ta bỏ các hệ số cij đi và đưa thêm vào nút
nguồn s và nút đích t. Ta vẽ thêm cung (s, j) tới mỗi đỉnh j có bi > 0 và đặt tải năng của nó là usj =
bj và cung (i, t) từ mỗi nút t có bi < 0 và đặt uti = -bi. Vì ∑bk = 0 ta có ∑usj = ∑uit := w. Bây giờ ta
đưa vào khái niệm cắt, dùng đến nhiều cho bài toán luồng lớn nhất.
Một tập con S của tập các đỉnh X được gọi là một cắt hoặc cụ thể hơn, (s.t) cắt của bài toán luồng
(dòng) lớn nhất nếu s  S và tS. Dung lượng C(S) của cắt S là tổng tải năng của các cung đi từ
S ra ngoài phần bù của S, tức là các cung có đuôi thuộc S, đầu không thuộc S. Vậy:



CS 

u ij

(i,j)A:iS,jS

Mỗi dòng đi từ s đến t có thể tách thành hai phần là tổng các dòng trên các cung ra khỏi S trừ đi
tổng các dòng trên các cung quay ngược lại S. Tức là mỗi véc tơ dòng x có giá trị v (chính là dòng
từ s đến t):

v

x

jS, k S

jk

-

x

ij

x

sk

(4.4)

iS, jS

Nói riêng, nếu lấy S = {s} thì v =

k s

hoặc S = X\{s} thì v =  x jt , vì ta luôn giả thiết là trong
j t

mạng không có cung dạng (t,j), tức là cung ra khỏi điểm hút. từ (4.4) ta thấy ngay là giá trị của
mọi dòng chấp nhận được (từ s đến t) phải thỏa mãn:
v ≤ C(S)
(4.5)
với mọi cắt S. Vậy dung lượng của bất kỳ cắt nào cũng là một "cổ chai" mà dòng cực đại không
thể vượt quá được.
Bây giờ quay lại bài toán luồng lớn nhất ta vừa lập từ bài toán dòng trên mạng. Rõ ràng giá trị w
= ∑usj = ∑uit là dung lượng của cắt gồm chỉ có đỉnh s (và cũng là dung lượng của cắt gồm mọi
đỉnh, chỉ trừ đỉnh t). Do đó theo (4.5) mọi dòng chấp nhận được của bài toán luồng lớn nhất đang
xét đều có giá trị không vượt quá w. Cụ thể hơn là đối với dòng x chấp nhận được của bài toán
luồng lớn nhất này thì 3 khẳng định sau là tương đương:
- Giá trị của x là w.
- xsj = usj với mọi cung (s,j).
- xit = uit với mọi cung (i,t).

129


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

Dễ thấy dòng chấp nhận được của bài toán luồng lớn nhất (mà có giá trị w) luôn là dòng chấp
nhận được của bài toán dòng chấp nhận được ban đầu (vì ở các điểm nguồn và điểm đích luật bảo
toàn dòng được thỏa mãn, còn ở các đỉnh khác thì sự bảo toàn dòng ở hai bài toán là như nhau).

Ngược lại, mỗi dòng chấp nhận được của bài toán dòng trên mạng phải thỏa xsj = usj theo sự bảo
toàn dòng ở các điểm nguồn (vì usj = bsj), nên phải là dòng chấp nhận được với giá trị w của bài
toán luồng lớn nhất tương ứng.
Định lý 4.3 Đối với bài toán luồng lớn nhất đúng một trong hai trường hợp sau sẽ xảy ra:
- Có dòng chấp nhận được với giá trị lớn tùy ý và mọi cắt đều có dung lượng vô hạn.
- Tồn tại luồng lớn nhất và giá trị của nó là cực tiểu của dung lượng của tất cả các cắt.
Bài toán tìm luồng lớn nhất trên một mạng có nhiều điểm nguồn và nhiều điểm đích có thể dễ
dàng quy về bài toán luồng lớn nhất trên mạng chỉ có một điểm nguồn và một điểm đích bằng
cách thêm vào các đỉnh giả và cung giả thích hợp như hình 4.7a, b
x1

∞
y2

x1

∞

x0

y2

∞

y0

∞

PT
IT

x2

y1

y1

y3

x2

a)

b)

∞

y3

Hình 4.7
4.4.2 Thuật toán Ford - Fulkerson
a. Ý tưởng của thuật toán.
Xuất phát từ luồng không (xij = 0  (i,j)). Tiếp đó, tìm một đường đi từ đỉnh nguồn xs đến đỉnh
đích xt (xs và xt xác định trước) sao cho trên cạnh có vận chuyển theo chiều thuận (từ điểm nguồn
tới điểm hút) thì lượng hàng vận chuyển chưa đạt tới khả năng thông qua của cung có dung lượng
nhỏ nhất. Nếu không có đường đi nào như thế thì luồng hiện có là luồng lớn nhất, còn nếu phát
hiện có đường đi như thế thì điều chỉnh luồng hiện có như sau: thêm một lượng hàng h vào mỗi
cung chưa vận chuyển hoặc có vận chuyển hàng theo chiều thuận, giảm lượng hàng vận chuyển h
trên các cung có vận chuyển hàng theo chiều ngược (từ điển hút về điểm nguồn), với h là giá trị
lớn nhất có thể được sao cho luồng sau khi điều chỉnh vẫn còn phù hợp với khả năng thông qua

của mạng, nghĩa là 0 ≤ xij ≤ uij. Mỗi lần điều chỉnh như vậy ta sẽ vận chuyển thêm được h đơn vị
hàng từ điểm nguồn tới điểm hút. Sau khi điều chỉnh ta kiểm tra xem có đường đi nào từ điểm
nguồn đến điểm đích có tính chất trên không, nếu không thì thuật toán dừng. Nếu có thì điều chỉnh
luồng như trên. Quá trình tiếp tục sau một số hữu hạn bước ta sẽ thu được luồng lớn nhất.
b. Lược đồ thuật toán:
Bước 0: Xuất phát từ luồng 0 (chưa vận chuyển xij = 0 trên mọi cung), ta lần lượt gán cho các
đỉnh của đồ thị một cặp số, gọi là nhãn, như sau: gán cho đỉnh nguồn (đỉnh x0) nhãn (∞,0). Mỗi
đỉnh trong quá trình thực hiện thuật toán sẽ ở một trong ba trạng thái: chưa có nhãn, có nhãn chưa
xét và có nhãn đã xét. Nhãn của đỉnh gồm hai phần và có một trong hai dạng sau:
[(ei,pi)] hoặc [(ei,-pi)]
130


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

PT
IT

Phần thứ nhất chỉ ra lượng lớn nhất có thể tăng hoặc giảm luồng theo cung này, còn phần thứ hai
chỉ ra cần tăng hay giảm luồng theo cung (i,j) hay (j,i). Đầu tiên chỉ có đỉnh xs được khởi tạo nhãn
và nhãn của nó là chưa xét, các đỉnh còn lại đều chưa có nhãn. Từ xs ta gán nhãn cho các đỉnh kề
với nó và nhãn của đỉnh xs trở thành đã xét
Bước 1: Gọi N1 là tập các đỉnh i (i ≠ s) của mạng nối trực tiếp với đỉnh nguồn bởi một cung mà
lượng hàng vận chuyển từ đỉnh nguồn trên đó chưa vượt quá khả năng thông qua. tiếp sau đó ta
gán cho đỉnh i thuộc N1 một cặp số (ei,pi) gọi là nhãn, như sau:
ei = u1i - x1i = khả năng thông qua còn lại trên cung (0,i)
pi = 0 = Số hiệu của đỉnh nguồn đến đỉnh i.
Nếu N1 chứa đỉnh nguồn (hút) xt thì chuyển sang thức hiện bước 5 để tăng giá trị của luồng. Trái

lại chuyển sang bước 2.
Bước 2: Ký hiệu N2 là tập hợp tất cả các đỉnh j chưa được gán nhãn của đồ thị sao cho đỉnh này
được nối với một đỉnh đã được gán nhãn thuộc tập N1, chẳng hạn đỉnh i, bởi cung (i,j) với xij < uij
hoặc xij > 0. tiếp theo, ta gán cho mỗi đỉnh j một cặp số (ej,pj) gọi là nhãn, theo công thức sau:
min(ei ; u ij - x ij ) nếu xij < uij
ej  
nếu xij > 0
min(ei , u ij )
pj = i. Chuyển sang bước 3
Bước 3: Lặp lại bước 2 với Nt thay cho Nt-1. Sau một số hữu hạn bước ta gặp một trong hai tình
huống sau:
3a. Nhãn của tất cả các đỉnh có nhãn đã xét nhưng đỉnh xt vẫn không có nhẫn. Thuật toán dừng.
Luồng hiện có là lớn nhất.(Không tồn tại đường tăng luồng)
3b. Đỉnh xt đã được gán nhãn. Chuyển sang bước 4.
Bước 4: Tăng luồng hiện có như sau: Giả sử đỉnh đích (điểm hút) (xt) đã được gán nhãn (et,pt), et
chỉ rõ lượng hàng sẽ vận chuyển thêm từ nguồn đến đích, số thứ hai (pt) cho biết đỉnh đã được
dùng để gán nhãn cho đỉnh đích. Dựa vào số thứ hai trong nhãn của đỉnh đích ta tìm được đỉnh
trước đó,v.v...cứ thế ta lần ngược lại đỉnh nguồn. Kết quả là xác định được đường đi từ nguồn tới
đích làm tăng giá trị luồng. Cách điều chỉnh luồng như sau:
- Nếu cạnh (i,j) không thuộc đường đi trên thì luồng giữ nguyên.
- Nếu cạnh (i,j) thuộc đường đi này và thuận chiều thì khi đó trên cạnh này xij < uij, ta đặt:
x'ij = xij + et
- Nếu cạnh (i,j) thuộc đường đi này và ngược chiều thì khi đó trên cạnh này xij > 0, ta đặt:
x'ij = xij - et
. Chuyển sang bước 5.
Bước 5: Xóa nhãn của mọi đỉnh, trừ đỉnh nguồn rồi quay lại bước 1. Đối với luồng mới thu được
ta lại sử dụng phép gán nhãn các đỉnh để tìm đường đi tăng.Thuật toán sẽ kết thúc sau một số hữu
hạn bước, nghĩa là sau một số hữu hạn lần áp dụng các bước từ 1 đến 5 ta sẽ gặp trường hợp
3a.(trong mạng không tìm được đường đi tăng)
Thí dụ 4.7: Cho đồ thị như ở hình 4.8. số ghi trên mỗi cung là khả năng thông qua của cung. Đỉnh

1 là đỉnh nguồn, đỉnh 7 là điểm hút.

131


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng
2

2

4
3

`
2

6

7

1
5

3
1
1

1

3

3
3

6
2

PT
IT

Hình 4.8
Giải: Xuất phát từ luồng 0. Đỉnh nguồn được gán nhãn (∞, 0). Ở bước lặp đầu tiên ta gán cho đỉnh
2 nhãn: e2 = u12 = 6; p2 = 1. Gán cho đỉnh 3 nhãn: e3 = u13 = 3; p3 = 1
Tiếp đó dựa vào các đỉnh đã được gán nhãn 2 và 3, ta gán cho đỉnh 4 nhãn: e4 = min(e2, u24) =
min(6, 2) = 2; p4 = 2. Gán cho đỉnh 5 nhãn: e5 = min(e3, u35)= min(3, 1)= 1; p5 = 3. Gán cho đỉnh 6
nhãn: e6 = min(e3,u36) = min(3, 2) = 2; p6 = 3. Gán cho đỉnh 7 nhãn: e7 = min(e4, u47) = min(2, 3) =
2; p7 = 4. Đỉnh 7 là điểm hút được gán nhãn. Ta vận chuyển e7 = 2 đơn vị hàng theo đường 1-2-47 (x12 = x24 = x47 = 2, các đỉnh khác xij = 0), giá trị luồng tương ứng là 2.
Ở vòng lặp tiếp theo, ta gán cho đỉnh 2 nhãn: e2 = u12 - x12 = 6 -2 = 4, p2 = 1. Gán cho đỉnh 3
nhãn e3 = u13 = 3, p3 = 1. Tiếp đó gán cho đỉnh 5 nhãn: e5 = min(e3, u35) = min(3, 1) = 1, p5 = 3.
Gán cho đỉnh 6 nhãn e6 = min(e3,u36) = min(3, 2) = 2, p6 = 3. Lúc này đỉnh 4 không được gán nhãn
vì cung (2,4) đã vận chuyển hết khả năng thông qua. Cuối cùng dựa vào các đỉnh đã được gán
nhãn 5 và 6 ta gán cho đỉnh 7 nhãn e7 = min(e5, u57) = min(1,1) = 1. p7 = 5.
Đỉnh 7 là đỉnh hút đã được gán nhãn. Ta vận chuyển e7 = 1 đơn vị hàng theo đường 1-3-5-7 (x13
= x35 = x57 = 1, các xij khác không đổi). Giá trị luồng bây giờ là 2 + 1 = 3.
Ở vòng lặp thứ ba, ta gán cho đỉnh 2 nhãn: e2 = u12 - x12 = 6 -2 = 4, p2 = 1. Gán cho đỉnh 3 nhãn:
e3 = u13 - x13 = 3 - 1 = 2, p3 = 1. Tiếp theo gán cho đỉnh 6 nhãn: e6 = min(e3, u36) = min(2, 2) = 2,
p6 = 3. Lúc này đỉnh 4, 5 không được gán nhãn. từ đỉnh 6 ta gán cho đỉnh 7 nhãn: e7 = min(e6,u67)
= min(2, 3) = 2, p7 = 6.

Kết quả ta vận chuyển thêm được e7 = 2 đơn vị hàng theo đường 1-3-6-7(x13 = x36 = x67 = 2, các
xij khác không đổi). Giá trị của luồng bây giờ là 3 + 2 = 5.
Để kiểm tra luồng hiện có đã lớn nhất hay chưa, ta tiếp tục quá trình gán nhãn: ta gán cho đỉnh 2
nhãn: e2 = u12 - x12 = 4, p2 = 1. Gán cho đỉnh 3 nhãn: e3 = min(e2, u23) = min(4, 3) = 3, p3 = 2.
Đến đây đỉnh 7 chưa được gán nhãn nhưng ta không thể gán nhãn cho đỉnh nào nữa (tình huống
3a). Vậy luồng hiện có là lớn nhất. Đó là:
x12 = 2, x13 = 3, x24 = 2 x35 = 1; x36 = 2, x47 = 2, x57 = 1, x67 = 2.
Lượng hàng vận chuyển lớn nhất từ điểm nguồn đến điểm hút là 5 đơn vị. Các lát cắt nhỏ nhất
C(S) là (2,4), (3,5) và (3,6). tổng cộng khả năng thông qua trên các cung này đúng bằng 5 đơn vị.
Thí dụ 4.8: Mạng vận tải gồm 4 nút. Nút nguồn là A, nút đích (điểm hút) là D. Các đường đi tăng
được tìm bằng phương pháp tìm kiếm theo chiều sâu, trong đó các đỉnh lân cận được duyệt theo
132


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

thứ tự bảng chữ cái. Thí dụ nà cho thấy biểu hiện của trường hợp xấu nhất của thuật toán. Mỗi
bước chỉ gửi thêm được một luồng có giá trị bằng 1.
B
0/1000

A

0/1000

0/1000

CA

B

1/1000

A

0/1000

1/1000

0/1000

D
0/1000

A

1/1000

0/1000

D

0/1000

D
1/1000

C
B

1/1000

1/1000

C

B
1/1000

1/1000

A

0/1000

1/1000

1/1000

D
1/1000

C

-

 f(i,j)
X

PT
IT

Thuật toán đánh dấu: Nếu tồn tại một đường đi từ nguồn đến đích với điều kiện tất cả các cung
trên đường đi đó vẫn còn khả năng thông qua thì ta sẽ gửi đi một luồng dọc theo đường đi đó. Sau
đó ta tìm một đường đi khác và tiếp tục như vậy. Một đường đi còn khả năng thông qua là một
đường đi có khả năng mở rộng thêm hay một đường đi mà luồng qua đó còn khả năng tăng thêm gọi tắt là đường tăng.
Cho đồ thị G = {X.A}, với khả năng thông qua uij và luồng f(i,j) = 0 trên các cung từ i đến j. Ta
muốn tìm luồng cực đại từ nút nguồn s đến đến điểm hút t. Sau mỗi bước các điều kiện sau đây
được duy trì:
- f(i,j) ≤ c(i,j): Luồng từ i đến j không vượt quá khả năng thông qua.
- f(i,j) = - f(j,i): Cân bằng luồng
= 0 cho tất cả các nút ngoại trừ s và t. Lượng vào nút bằng lượng ra khỏi nút.

Điều này có nghĩa là một luồng đi qua một mạng là một luồng hợp lệ sau mỗi vòng của thuật toán.
Chúng ta định nghĩa mạng còn dư Gt = {X, At} là mạng với sức chứa ut(i,j) = uij - f(i,j) và luồng
bằng 0. Chú ý rằng không chắc chắn là A = At bởi vì việc gửi luồng theo cung (i,j) (làm nó bảo
hòa), nhưng lại mở một cung mới (j,i) trong mạng còn dư.
Đầu vào: Đồ thị G với khả năng thông qua u. Nút nguồn s và nút đích t.
Đầu ra: Luồng f sao cho f là cực đại từ s đến t.
- f(i,j) ← 0 trên tất cả các cung (i,j).
- Trong khi còn có một đường đi từ s đến t trong Gt:
Tìm một đường đị x1, x2,..., xk với x1  s, xk t: ut(xt,xt+1) > 0
Tìm m = Min{ut(xt,xt+1)}.
f(xi, xi+1) ← f(xi, xi+1) + m: Gửi luồng dọc theo đường đi.(chiều thuận)
f(xi+1, xi,) ← f(xi+1, xi,) - m: Luồng có thể "quay lại" sau.(Chiều ngược)
Khái niệm mạng còn dư: Thể hiện lượng khả năng thông qua hiện có.Để ý rằng có thể có một
cung từ i đến j trong mạng còn dư, ngay cả khi không có cung từ i đến j trong mạng ban đầu. Do
133

Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

các luồng theo các hướng ngược nhau triệt tiêu lẫn nhau. Giảm luồng từ j đến i tương đương với
tăng luồng từ i đến j.
Khái niệm đường đi tăng: là một đường đi từ x1, x2,...., xk trong đó x1  s và xk  t và ut(xi,xi+1) > 0.
Nghĩa là có thể gửi thêm luồng dọc theo đường đi này.

4. 5. Bài toán luồng nhỏ nhất
4.5.1 Bài toán
Cho một đồ thị đối xứng có n đỉnh, mỗi cạnh có khả năng thông qua nhất định và có một cước
phí vận chuyển xác định (như nhau theo cả hai chiều). Cho trước một lượng S cần phải vận
chuyển từ đỉnh nguồn (đỉnh số 1) tới điểm hút (số n). Hãy tìm một phương án vận chuyển sao cho
phù hợp với khả năng thông qua của mạng và vận chuyển được lượng hàng S từ nguồn đến điểm
hút với tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất.
Đây là bài toán vận tải hạn chế khả năng thông qua. Tuy bài toán có một đỉnh nguồn và một
điểm hút, như bất kỳ bài toán vận tải trên mạng có nhiều nguồn và nhiều điểm hút có thể quy về
bài toán dạng trên bằng cách thêm vào các đỉnh giả và cung giả thích hợp như đã trình bày trong
bài toán luồng lớn nhất.
Về mặt toán học, bài toán luồng chi phí nhỏ nhất có thể phát biểu như sau:
Cực tiểu hàm chi phí

c

ij

x ij với các điều kiện của bài toán:

PT
IT

i, jA

S

i x ji - i x ij  0
- S


, nếu i = 1

, nếu i ≠ 1, i ≠ n
, nếu i = n

Ở đây đỉnh nguồn được đánh số 1, đích đánh số n, cij là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng trên
cạnh (i, j), uij là khả năng thông qua của cạnh (i, j), xij là khối lượng hàng vận chuyển trên cạnh (i,
j) và là biến cần xác định.
4.5.2 Phương pháp giải:
Luồng chi phí nhỏ nhất có thể giải bằng thuật toán đơn giản như sau: Xuất phát từ phương án
vận chuyển không (xij = 0 trên mọi cạnh của đồ thị). Ở mỗi bước lặp, ta tìm đường đi có chi phí
nhỏ nhất từ nguồn đến điểm hút. Đường đi này bao gồm một dãy các cạnh kế tiếp nhau sao cho
trên các cạnh có vận chuyển hàng theo chiều thuận thì lượng hàng vận chuyển chưa vượt quá khả
năng thông qua của cạnh đó. Trên đường đi này, cạnh chưa vận chuyển hàng hoặc có vận chuyển
hàng theo chiều thuận thì chi phí vận chuyển là số dương, còn trên cạnh vận chuyển hàng theo
chiều ngược thì chi phí vận chuyển là âm Tiếp đó, ta xác định khả năng thông qua của đường đi
vừa tìm được, đó là số nhỏ nhất trong số các khả năng thông qua còn lại trên các cạnh có chi phí
vận chuyển âm. Thêm khả năng thông qua này vào các cạnh chưa vận chuyển hàng hoặc vận
chuyển hàng theo chiều thuận và bớt đi ở các cạnh vận chuyển hàng theo chiều ngược của đường

đi này, rồi chuyển sang bước lặp sau. Quá trình tiếp tục cho đến khi vận chuyển hết lượng hàng S
từ nguồn đến điểm hút hoặc phát hiện mạng không đủ khả năng vận chuyển hết lượng hàng S từ
nguồn đến điểm hút.
Chú ý: Ở mỗi bước lặp ta phải giải một bài toán phụ: tìm đường đi ngắn nhất từ nguồn đến điểm
hút trên mạng với cước phí có thể là số âm.
Thí dụ 4.9 Cho đồ thị vô hướng như hình 4.9. Mỗi cạnh tương ứng với một cặp số thứ tự mà số
thứ nhất là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng trên cạnh, số thứ hai là khả năng thông qua của
134


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

cạnh này. Đỉnh nguồn là đỉnh 1, điểm hút là 6. Tổng khối lượng hàng cần vận chuyển từ đỉnh
nguồn đến điểm hút là 5 đơn vị.
4
(4,1)

(3,4)
(2,4)

6

(1,2)

1

3
(1,4)

(1,2)

(6,2)
2

(5,2)

5

PT
IT

Hình 4.9
Giải: Ở bước lặp đầu tiên, phương án vận chuyển bằng 0 trên tất cả các cạnh. Tiếp đó, tìm đường
đi có chi phí nhỏ nhất từ đỉnh nguồn đến điểm hút, đó là 1-2-3-6 với tổng chi phí vận chuyển bằng
3, khả năng thông qua của đường đi này bằng 2 bằng khả năng thông qua của
\cạnh (1,2) hoặc (3,6). Ta vận chuyển thêm hai đơn vị hàng từ đỉnh nguồn đến điểm hút theo
đường đi vừa tìm được.
Ở bước lặp tiếp theo, đường đi có chi phí nhỏ nhất từ đỉnh nguồn đến điểm hút là 1 - 4- 6, với chi
phí vận chuyển bằng 7 và khả năng thông qua bằng 1 bằng khả năng của cạnh (4,6). Ta vận
chuyển thêm được 1 đơn vị hàng từ đỉnh nguồn tới điểm hút.
Ở bước lặp thứ 3, đường đi có chi phí nhỏ nhất từ đỉnh nguồn tới điểm hút là 1 - 4 - 3 - 2 - 5 - 6.
Trên đường đi này có 3 cạnh chưa vận chuyển, đó là (3,4), (2,5), (5,6); cạnh có vận chuyển hàng
theo chiều thuận là (1,4) và cạnh vận chuyển hàng theo chiều ngược là (2,3). Vì thế, chi phí vận
chuyển trên đường đi này bằng: 3 + 2 - 1 + 5 + 6 = 15. Khả năng thông qua của đường đi này
bằng:
Min(4-1, 4-0, 2, 2-0) = 2
Ta vận chuyển thêm 2 đơn vị hàng trên các cạnh (1,4), (4,3),(2,5), (5,6) và bớt 2 đơn vị hàng trên
cạnh (2,3). Kết quả ta vận chuyển được 5 đơn vị hàng từ đỉnh nguồn tới điểm hút, với tổng chi phí

bằng:
3.2 + 7.1 + 15.2 = 43
Luồng chi phí nhỏ nhất là:
x12 = 2, x14 = 3, x23 = 0, x25 = 2, x36 = 2, x43 = 2, x46 = 1, x56 = 2
Thuật toán đánh dấu: Cho mạng (G,u) trong đó G = {X.A}, u là năng lực thông qua trên mỗi
cạnh. Tìm luồng t qua mạng với giá trị tz nhỏ nhất và thỏa mãn điều kiện:
 (i,j)  A, t(i,j) ≥ u(i,j)
Xuất phát từ một luồng t nào đó thỏa mãn điều kiện trên, ta dùng phương pháp sau đây để giảm
giá trị của luồng t.
Bước 1: Đánh dấu các đỉnh.
Đầu tiên đánh dấu cho đỉnh đích (z) số 0.
Nếu đỉnh j đã được đánh dấu, có cạnh (i,j) với đỉnh đầu chưa được đánh dấu và t(i,j) > u(i,j) thì
đánh dấu cho đỉnh i là +j.
Nếu đỉnh i đã được đánh dấu, có cạnh (i,j) thì đánh dấu cho đỉnh j là -i.
135


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

Với cách đánh dấu này mà đi tới được đỉnh nguồn (x0) thì ta đã tìm được một đường đi vô hướng
từ z tới x0 được đánh dấu.
Bước 2: Giảm luồng
Bây giờ ta có thể giảm luồng đi 1 bằng cách chọn luồng mới t' như sau:
Nếu cạnh (i,j) không thuộc đường đi trên thì giữ nguyên luồng, nghĩa là: t'(i,j) = t(i,j)
Nếu cạnh (i,j) thuộc đường đi này và cùng chiều với chiều từ x0 đến z thì đặt: t'(i,j) = t(i,j) - 1 (vì
trên cạnh đó t(i,j) > u(i,j)), còn nếu cạnh (i,j) ngược chiều thì đặt t'(i,j) = t(i,j) + 1.
Lặp lại quá trình giảm luồng trên cho đến khi không đánh dấu được tới đỉnh nguồn x0. Khi đó ta
nhận được luồng có giá trị nhỏ nhất,

Thí dụ 4.10: Xét mạng vận tải:
+0
5/5
x1
x3
6-5/5
0
4/3
z
3-4/3
9/8
+2
x0
10-9/8

+4 4/3
x2
6-5/5

+3
x4

13/13

PT
IT

Luồng hiện có có giá trị là tz = 19. Luồng mới sau khi cải tiến có giá trị là tz' = 18 là luồng nhỏ
nhất.

4.6 Phương pháp sơ đồ mạng lưới (Pert)

4.6.1 Một số khái niệm và quy tắc lập sơ đồ mạng lưới
a. Định nghĩa:
Định nghĩa 1: Một tập hợp các điểm (ta gọi là các đỉnh, ký hiệu là X) và tập hợp các cung (ký
hiệu là A) được gọi là sơ đồ mạng lưới nếu chúng thỏa mãn các điều kiện sau:
- Giữa 2 đỉnh có không quá một cung nối liền và ngược lại mỗi cung phải liên kết 2 đỉnh nào đó
với nhau.
j
i
Cung nối từ đỉnh i đến đỉnh j được ký hiệu là (i, j), trong đó i là điểm gốc của cung và j là điểm
ngọn của cung.
- Điểm gốc và điểm ngọn của mỗi cung không trùng nhau.
- Trong một dãy các cung nối tiếp nhau (tức là điểm ngọn của mỗi cung là điểm gốc của cung tiếp
theo) thì không bao giờ điểm ngọn của cung cuối cùng trùng với điểm gốc của cung đầu tiên. Một
dãy như vậy được gọi là một đường đi trong sơ đồ mạng lưới.
- Giữa 2 đỉnh tùy ý bao giờ cũng có một dãy các cung nối liền.
- Có một đỉnh chỉ toàn cung đi ra gọi là đỉnh khởi công toàn bộ và có một đỉnh chỉ toàn cung đi tới
gọi là đỉnh kết thúc toàn bộ. Các đỉnh còn lại có cả cung đi ra lẫn cung đi tới gọi là đỉnh trung
gian.
Định nghĩa 2: Ứng với mỗi cung (i, j) có một số tij đặc trưng cho cung đó về mặt lượng được
gọi là độ dài hay thời hạn của cung đó.
Định nghĩa 3: Độ dài đường đi μ trong sơ đồ mạng lưới là tổng độ dài của tất cả các cung
thuộc đường đi đó, ký hiệu là l(μ). Theo định nghĩa thì:
136


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

l(µ) 

t

ij

 (i, j)μ

PT
IT

b. Công dụng của sơ đồ mạng lưới:
Nó được dùng để mô tả quá trình thi công một công trình nào đó hoặc bất cứ một quy trình nào
đó mà trong đó bao gồm nhiều công việc thành phần với những trình tự tiến hành khác nhau. Hai
yếu tố chính trong quá trình thi công là công việc và sự kiện. Các công việc được mô tả bởi các
cung, các sự kiện được biểu thị bằng các đỉnh. Thời điểm khởi công toàn bộ công trình (sự kiện
đầu tiên khởi công toàn bộ công trình) được biểu thị bằng đỉnh khởi công toàn bộ (thường ký hiệu
là đỉnh 1). Thời điểm kết thúc toàn bộ công trình (sự kiện cuối cùng hoàn thành toàn bộ công
trình) được biểu thị bởi đỉnh kết thúc toàn bộ (thường ký hiệu là đỉnh n). Các đỉnh còn lại biểu thị
các sự kiện trung gian, đó là những mốc thời gian trong quy trình thi công, nó đánh dấu sự hoàn
thành cuả một số công việc nào đó của công trình và sự bắt đầu của một số công việc tiếp theo.
Một cách chính xác, ta định nghĩa:
Định nghĩa 4: Một sự kiện được gọi là hoàn thành nếu mọi việc ứng với các cung đi đến nó đều
đã hoàn thành.
Một sự kiện có hoàn thành thì các công việc ứng với các cung đi khỏi nó mới có thể bắt đầu.
c. Các quy tắc thiết lập sơ đồ mạng lưới.
Quy tắc1: Nếu một nhóm 2 hay nhiều công việc cùng chung sự kiện khởi công và cùng chung sự
kiện kết thúc thì không được biểu diễn như hình 4.10a, tùy thuộc vào tính chất của các công việc
mà ta có thể xử lý như sau:
- Nếu tính chất của các công việc như nhau hoặc trong thực tế không thể làm tách rời nhau được

thì gộp chúng lại thành một cung duy nhất (hình 4.10b).
- Nếu tính chất các công việc khác nhau mà không thể gộp chúng lại được thì phải thêm đỉnh mới
và cung giả (hình 4.10c). Các đỉnh mới là j1 và j2; các cung (j1, j) và (j2, j) gọi là các cung giả (biểu
thị bằng nét đứt).
a
b

i

j

c
a, b, c
j1

i

j

Hình 4.10a

Hình 4.10b

a
b

i

j

Hình 4.10c

c
j2
Quy tắc2: Nếu một nhóm công việc lập thành một mạng con trong sơ đồ mạng lưới (các công việc
và sự kiện của nhóm này không phụ thuộc gì vào và không ảnh hưởng đến các công việc khác của
sơ đồ mạng lưới, trừ sự kiện đầu tiên và sự kiện cuối cùng của nhóm này) thì ta có thể gộp mạng
con đó thành một cung duy nhất, nếu sự gộp đó không làm cho sơ đồ mạng lưới trở nên quá thô
(hình 4.11a chuyển sang hình 4.11b), cung (2, 4) trong hình 4.11b mô tả cả 3 công việc a, b, c
trong sơ đồ mạng lưới hình 4.11a.
137


Bài giảngToán kinh tế
1

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng
2

4

5
Hình 4.11a

3
2

5
Hình 4.11b
Quy tắc 3: Nếu một nhóm các công việc liên hệ với nhau theo trật tự:

Việc d sau việc a, b, c
Việc e sau việc a, b
thì ta phải biểu diễn như hình 4.12
`
a
e
i
1

4

b

d
Hình 4.12

PT
IT

Việc d sau việc a, c
Việc e sau việc a, b
thì ta phải biểu diễn như hình 4.13.

c

d

a

e

b

Hình 4.13

Quy tắc 4: Nếu một nhóm các công việc liên hệ với nhau theo trật tự:
Việc a sau việc b
Việc c sau việc d
Việc e sau việc b, d
thì ta phải biểu diễn như hình 4.14:
b

a
e

d

c

Hình 4.14

Quy tắc 5:
Nếu việc a bắt đầu khi hoàn thành 1/5 công việc x
Nếu việc b bắt đầu khi hoàn thành 1/2công việc x
Nếu việc c bắt đầu khi hoàn thành 4/5 công việc x
Nếu việc d bắt đầu khi hoàn thành toàn bộ công việc x

138

Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

a
j

1/5x
j1

c

b
3/10x

j2

3/10x

j3

1/5x

j

d

Hình 4.15
Qui tắc 6:
- Nếu một đỉnh không phải đỉnh khởi công toàn bộ mà chỉ toàn những cung đi ra thì ta phải thêm

một cung giả nối từ đỉnh khởi công toàn bộ với đỉnh đó: Hình 4.14a chuyển sang hình 4.16b.
- Nếu một đỉnh không phải đỉnh kết thúc toàn bộ mà chỉ toàn những cung đi tới thì ta phải thêm
một cung giả nối từ đỉnh đó đến đỉnh kết thúc toàn bộ: Hình 4.14c chuyển sang hình 4.16d
3

3

1

5

2

1

4
Hình 4.16a

4

Hình 4.16b

2

1

5

2

PT
IT

`

2

4

5

1

4

5

3

3
Hình 4.16c
Hình 4.16d
Chú ý: Muốn cho sơ đồ mạng lưới vẽ được cân đối đẹp đẽ, ta tiến hành như sau:
- Cho sự kiện khởi công toàn bộ mang số 1 và xếp nó vào lớp thứ nhất.
- "Xóa" sự kiện 1 và các cung đi khỏi nó, chọn những sự kiện toàn cung đi tới xếp vào lớp thứ 2.
- Đánh số thứ tự cho các đỉnh thuộc lớp thứ hai bắt đầu từ số 2, các đỉnh trong một lớp có thể
đánh số tùy ý.
- "Xóa" các sự kiện thuộc lớp thứ i cùng các cung đi khỏi các sự kiện thứ i, chọn ra các sự kiện
chỉ toàn những cung đi ra xếp vào lớp thứ i + 1. Quá trình lặp lặp lại cho đến khi sự kiện kết thúc
toàn bộ được đánh số.

- Việc giả có độ dài tij = 0 nếu việc giả đó phản ánh trật tự lô gíc giữa các việc. Việc giả có độ dài
khác 0 nếu việc giả đó phản ánh sự chờ đợi.
- Khi vẽ sơ đồ mạng lưới ta nên đưa các sự kiện có liên quan nhiều với các sự kiện khác vào bên
trong, các sự kiện ít liên quan đến các sự kiện khác thì vẽ ra phía ngoài.
4.6.2 Các chỉ tiêu thời gian của sơ đồ mạng lưới
Cho sơ đồ mạng lưới G = {X.A} trong đó X là tập các sự kiện thể hiện bởi các đỉnh và A là tập
các công việc thể hiện bởi các cung.
a. Thời điểm sớm nhất hoàn thành sự kiện:
139


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

Ký hiệu thời điểm sớm nhất hoàn thành j là Tjs  j  X
Ta biết rằng sự kiện j là hoàn thành nếu mọi công việc ứng với các cung đi tới sự kiện j đều đã
hoàn thành. Vì vậy đối với sự kiện 1 là sự kiện khởi công toàn bộ, trước đó chưa có công việc nào
nên T1s = 0.
Đối với sự kiện j tùy ý, như trên hình 4.16 thì đến thời điểm 24 mới có việc (i1, j) hoàn thành, nếu
việc này thi công sớm nhất vào thời điểm 18, việc (i2, j) và (i3, j) chưa hoàn thành, dù cho 2 việc
này thi công sớm nhất có thể được thứ tự là 19 và 16, cũng xét như vậy ta được:



Tjs  27  max Tis  t ij ; (i, j)  A j



s

i1

T =18
`
i1

t i1 j =6

Tis2 =19
i2

s
j

T `= ?

t i2 j = 8

s
i3

T =16
` i3

t i 3 j = 10

j

Hình 4.17

PT
IT

trong đó A j = {(i1,j), (i2,j), (i3,j)} - tập hợp các công việc ứng với các cung đi tới sự kiện j.
Một cách tổng quát: Tjs = max{ Tis  t ij (i, j)  A -j } (1), trong đó Aj là tập hợp các công việc
ứng với các cung đi tới sự kiện j.

Từ định nghĩa về sự hoàn thành một sự kiện ta suy ra Tjs là độ dài đường đi dài nhất từ sự kiện 1
đến sự kiện j:

Tjs = l(Δj) j X

(1')

Trong đó Δj là đường đi dài nhất từ sự kiện 1 đến sự kiện j.

Gọi n là sự kiện hoàn thành toàn bộ công trình thì Tns = l(Δn) - thời hạn hoàn thành toàn bộ công
trình.
b. Thời điểm muộn nhất hoàn thành sự kiện.

Ký hiệu Tim i` X . Nếu sự kiện i hoàn thành muộn hơn thời điểm Tim thì thời gian hoàn thành
toàn bộ công trình bị kéo dài. Đối với sự kiện n thì: Tnm  Tns

Giả sử biết thời điểm muộn nhất hoàn thành các sự kiện kề sau sự kiện i. Ta biết rằng sự kiện i
có hoàn thành thì các công việc ứng với các cung ra khỏi i mới bắt đầu được.
m
j1 Tj1 = 60

t ij1 = 8

Tjm1 =?

i

t ij2 = 9

t ij3 = 11

j2 Tjm2 = 59

Hình 4.17

j3 Tjm = 62
3

140


Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

Trên hình 4.17, nếu sự kiện i hoàn thành vào thời điểm 51 và cả 3 việc đều thi công ngay khi sự
kiện i hoàn thành thì đến thời điểm 62, việc (i,j3) đã hoàn thành, việc (i, j1) cũng đã hoàn thành
m
trước thời điểm 60, chúng đều không làm ảnh hưởng đến Tj1 và Tjm3 , nhưng việc (i, j2) chưa hoàn

thành được ở thời điểm Tjm2 do đó làm ảnh hưởng đến thời gian hoàn thành toàn bộ công trình.
Cũng xét như vậy, ta được ở thời điểm 50 sự kiện i phải hoàn thành thì mới không làm ảnh hưởng
đến Tjm , Tjm , Tjm3 và do đó sẽ không làm ảnh hưởng đến thời gian hoàn thành toàn bộ công trình.

1

2

Một cách tổng quát: Tim = min{ Tjm - tij; (i, j)Aj }

(2)

trong dó A j - tập hợp các công việc ứng với các cung ra khỏi sự kiện i.
1

Từ bản chất của thuật ngữ "muộn nhất hoàn thành" suy ra độ dài đường đi dài nhất từ sự kiện i
đến sự kiện n là Tnm - Tim . Nếu ký hiệu γi - đường đi dài nhất từ sự kiện i đến sự kiện n thì:
l(γi) = Tnm - Tim hoặc Tim = Tnm - l(γi)  i < n

(2')

với i = 1 thì T1m = Tnm - l(γ1) = Tnm - l(Δn) = 0.

PT
IT

Thí dụ 4.11: Một quy trình công nghệ gồm một số các công việc chính sau đây:
Công việc a1 làm trong 6h bắt đầu ngay.
Công việc a2 làm trong 4h sau a1 hoàn thành.
Công việc a3 làm trong 5h bắt đầu ngay.
Công việc a4 làm trong 7h bắt đầu ngay.
Công việc a5 làm trong 6h sau a1 hoàn thành.
Công việc a6 làm trong 8h sau a4 hoàn thành.
Công việc a7 làm trong 6h sau a4 hoàn thành.

Công việc a8 làm trong 9h sau a3, a6, a7 hoàn thành.
Công việc a9 làm trong 7h sau a3, a6 hoàn thành.
Công việc a10 làm trong 9h sau a2, a5 hoàn thành.
Công việc a11 làm trong 5h sau a2, a9 hoàn thành.
Công việc a12 làm trong 5h sau a7 hoàn thành.
Công việc a13 làm trong 8h sau a8, a12 hoàn thành.
a) Lập sơ đồ mạng lưới mô ta quá trình thi công các công việc trên?
b) Tính thời điểm sớm nhất và muộn nhất hoàn thành các sự kiện?
Giải: - Vẽ sơ đồ mạng lưới

141


Bài giảngToán kinh tế
2

`

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng
a5=6

7
a10=9

a2=4
a1=6
4
8

11

a9=7

a3=5

1

a11=5

5

a13=8
a6=8

a4=7

9
a8=9
3

T1s = 0

a12=5

10

PT
IT

6

a7=6
Hình 4.18
- Tính thời điểm sớm nhất hoàn thành các sự kiện:
T2s = max{ T1s + t1,2} = 0 + 6 = 6h

T3s = max{ T1s + t1,3} = 0 + 7 = 7h

T4s = max{ T2s + t2,4} = 6 + 4 = 10h

T5s = max{ T1s + t1,5; T3s + t3,5} = max{0 + 5; 7 + 8} = 15h
T6s = max{ T3s + t3,6} = 7 + 6 = 13h

T7s = max{ T2s + t2,7; T4s + t4,7 } = max{6 + 6; 10 + 0} = 12h
T8s = max{ T4s + t4,8, T5s + t5,8} = max{10 + 5; 15 + 7} = 22h

T9s = max{ T5s + t5,9; T6s + t6,9 } = max{15 + 0; 13 + 0} = 15h
T10s = max{ T6s + t6,10; T9s + t9,10} = max{13 + 5; 15 + 9}= 24h
T11s = max{ T7s + t7,11; T8s + t8,11; T10s + t10,11} = max{12 + 9; 22 + 5; 24 + 8}= 32
- Tính thời điểm muộn nhất hoàn thành các sự kiện:
T11m = T11s = 32

T10m = min{ T11m - t10,11} = 32 - 8 = 24h
T9m = min{ T10m - t9,10} = 24 - 9 = 15h

T8m = min{ T11m - t8,11} = 32 - 5 = 27h
T7m = min{ T11m - t7,11} = 32 - 9 = 23h
T6m = min{ T10m - t6,10; T9m - t6.9} = min{24 - 5; 15 - 0} = 15h
142

Bài giảngToán kinh tế

Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

T5m = min{ T9m - t5,9; T8m - t5,8} = min{15 - 0; 27 - 7} = 15h
T4m = min{ T8m - t4,8; T7m _ t4,7} = min{27 - 5; 23 - 0} = 22h

T3m = min{ T6m - t3,6; T5m - t3,5} = min{15 - 6; 15 - 8} = 7h
T2m = min{ T7m - t2,7; T4m - t2,4} = min{23 - 6; 22 - 4} = 17h
T1m = min{ T3m - t1,3; T2m - t1,2; T5m - t1,5} = min{7 - 7; 17 - 6; 15 - 5} = 0
c. Thời gian dự trữ của sự kiện.
- Định nghĩa 1: Chênh lệch giữa thời đỉểm muộn nhất và thời điểm sớm nhất hoàn thành một sự
kiện được gọi là thời gian dự trữ của sự kiện đó, ký hiệu thời gian dự trữ của sự kiện i là Di:
Di = Tim - Tis i  X
'

'

(3)
(3')

m
n

Theo (1 ) và (2 ) ta có: Di = T -[l(Δi) + l(γi)] i  X

Nhận xét: Tổng l(Δi) + l(γi) là tổng độ dài đường đi dài nhất từ sự kiện 1 đến sự kiện i và từ sự
kiện i đến sự kiện n nên tổng ấy chính là độ dài đường đi dài nhất từ sự kiện 1 qua sự kiện đến sự
kiện n và gọi là đường đi dài có điều kiện i. Tnm là độ dài của đường đi dài nhất từ sự kiện 1 đến sự
kiện n, đó là đường đi dài nhất không điều kiện. Như vậy Di là chênh lệch giữa 2 đường đi dài

nhất: dài nhất không điều kiện và dài nhất có điều kiện.

PT
IT

Tnm

n Di = T nm -[l(Δi) + l(γi)]

1

l(  i )

l(γ i )

i
Hình 4.19
- Định nghĩa 2: Sự kiện i được gọi là sự kiện găng nếu nó không có thời gian dự trữ, tức là Di =
m

s

0 hay Ti = Ti .

Trong thí dụ 4.1 các sự kiện 1, 3, 5, 9, 10, 11 là các sự kiện găng. Đường đi qua các sự kiện đó
gọi là đường găng.
Lưu ý: Trong một sơ đồ mạng lưới có thể có nhiều hơn một đường găng. Trong thí dụ 4.1 ngoài
đường găng trên còn có đường găng thứ hai đi qua các sự kiện 1, 3, 6, 9, 10, 11.
d. Thời điểm sớm nhất khởi công và hoàn thành công việc
- Thời điểm sớm nhất khởi công công việc.

Ký hiệu Tijks là thời điểm sớm nhất hoàn thành công việc (i, j) (i, j)  A
Ta biết rằng, sự kiện i có hoàn thành thì công việc (i, j) mới bắt đầu được (i < n) nên:
Tijks = Tis .

(4)

- Thời điểm sớm nhất hoàn thành công việc.
Ký hiệu thời điểm sớm nhất hoàn thành công việc (i, j) là Tijhs (i, j)  A
Ta biết rằng, giữa thời điểm hoàn thành (sớm nhất) và thời điểm khởi công (sớm nhất) công việc
(i, j) chênh nhau bởi thời gian thi công tij, nên:
(5)
Tijhs = Tijks + tij (i, j)  A
143