CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (LỜI GIẢI)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (82.44 KB, 9 trang )
Bài tập
1. Giải các
⎧ x1
⎪
a) ⎨2x1
⎪x
⎩ 1
hệ phương trình tuyến tính sau bằng công thức Cramer
− x 2 + x 3 = −2
+
ĐS:
x3 =
D
+ 3x3
+ 2x2
+
+ x3
x2
−
x2
+
x3
+ 2x 2
+ 3x 3
x2
+ 2x3
+ 3x 2
+
=
6
=
2
= 8
x2
+
+ 5x 3
D = 18 ;
a)
D3
− 2x 3
+ 2x2
⎧ − x1
⎪
b) ⎨ 3x1
⎪−2x
1
⎩
⎧ x1
⎪
⎪x
c) ⎨ 1
⎪2x1
⎪x
⎩ 1
x2
= 2
= 1
x4
= 2
+ 9x4
= 2
+
− 4x4
+ 7x 4
D1 = 18 ;
= 2
= 2
D2 = 36 ;
D3 = −18 ;
x1 =
D
2. Giải các
⎧ x1
⎪
a) ⎨4x1
⎪2x
⎩ 1
⎧ x1
⎪
⎪x
b) ⎨ 1
⎪− x1
⎪2x
⎩ 1
⎧ x1
⎪
⎪x
c) ⎨ 1
⎪3x1
⎪2x
⎩ 1
x2 =
D2
D
= 2;
D
D1
D
= −2 ; x 2 = 2 = 3 ; x 3 = 3 = 5 .
D
D
D
c) D = −6 ; D1 = −36 ; D2 = 34 ; D3 = −12 ; D4 = 2 ; x1 =
D3
D
= 1;
= −1 .
b) D = −5 ; D1 = 10 ; D2 = −15 ; D3 = −25 ; x1 =
x3 =
D1
= 2 ; x4 =
D4
1
=− .
D
3
D1
D
= 6 ; x2 =
hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss
− 3x2 + 2x3 − x 4 = 2
+
x2
+ 7x2
−
x2
+ 3x 3
−
x3
+
x3
−
x3
− 2x4
−
+ 2x 4
+ 2x 2
− 2x 3
−
−
x3
+ 2x 2
−
3x 3
+
+ 5x 2
− 13x 3
+
x3
x2
+ 3x 2
+ 3x 2
+
4x 3
x4
+ 7x 4
= 1
= 1
=
2
=
0
= −7
3
=
5x 4
=
+ 22x4
= −1
−
2x4
=
5
=
4
−
7x 4
1
1
D2
D
=−
17
;
3
⎧ x1
⎪
⎪2x
d) ⎨ 1
⎪3x1
⎪2x
⎩ 1
+ 2x2
+ 2x2
− 3x 2
⎧ 3x1
⎪
⎪ x
e) ⎨ 1
⎪ x1
⎪12x
1
⎩
− 2x 3
+ 2x 3
−
x2
−
⎧ x1
⎪
⎪2x
g) ⎨ 1
⎪ x1
⎪3x
⎩ 1
+ 2x4
x3
+
5
=
−9
− 6x4
− 2x4
= 5
− 4x 2
+ 3x2
+ 7x2
−
x2
= 3
+ 5x 3
= 6
+ 3x 3
= −22
+ 5x 3
+ 2x3
− 2x3
+ 5x2
+
−
+
x2
+ 3x2
+ 9x 2
+
4x3
2x3
8x3
+ 10x3
4
=
+ 2x3
− 6x 2
=
1
x3
+
8
=
x2
−
x2
=
+ 2x4
= 1
+
6
= −8
+ 4x 4
x3
=
x4
+
x3
−
x2
− 3x 4
+ 3x 3
− 2x 2
+
− 2x4
− 2x3
x2
+
x3
−
x2
−
⎧ x1
⎪
⎪2x
f) ⎨ 1
⎪ x1
⎪3x
⎩ 1
⎧ x1
⎪
⎪2x
h) ⎨ 1
⎪5x1
⎪4x
⎩ 1
x2
−
+ 3x 3
=
12
=
34
=
0
+ 3x4
= −10
= 1
x4
= 0
+ 5x4
= 2
−
+
x4
= 1
ÑS: a) Bieán ñoåi
⎛ 1 − 3 2 −1 2 ⎞
⎛ 1 −3 2 −1 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ) : = ( 2 ) − 4 (1 )
(
( 3 ): = ( 3 ) − ( 2 ) →
→ 0 13 −5 2 −7 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 4 1 3 −2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 3 ) : = ( 3 ) − 2 (1 ) ⎜
⎜ 2 7 −1 0 1 ⎟
⎜ 0 13 −5 2 −3 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 −3 2 −1 2 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 13 −5 2 −7 ⎟
⎜0 0 0 0 4 ⎟
⎝
⎠
Heä phöông trình voâ nghieäm.
b) Bieán ñoåi
2
⎛1
⎜
⎜1
⎜ −1
⎜
⎜2
⎝
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎜0
⎝
−1
1
0
−1
2
−2
−1 −1
−1
1
1
−2
0
1
0
0
⎛ 1 −1 1 − 1 2 ⎞
−1 2 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − (1 )
⎟
⎜
⎟
2 0⎟
0 1 −2 3 −2 ⎟
3):= ( 3) + (1)
( 3) : = ( 3) − ( 2 ) →
(
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4
:
=
4
−
2
1
( ) ( ) ( ) ⎜ 0 1 −1 6 −5 ⎟ ( 4 ):= ( 4 ) − ( 2)
7 −7 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 1 −3 2 −1 ⎟
0 3 ⎟⎠
⎝
⎠
−1 2 ⎞
⎟
3 −2 ⎟
3 −3 ⎟
⎟
2 −2 ⎟⎠
Hệ có nghiệm duy nhất x1 = 2; x2 = 3; x 3 = 0; x 4 = −1.
c) Biến đổi
⎛1
⎜
⎜1
⎜3
⎜
⎜2
⎝
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎜0
⎝
2
3
5
3
2
1
0
0
⎛ 1 2 −3
5 1⎞
5
( 2 ) : = ( 2 ) − (1 )
⎟
⎜
−13 22 −1 ⎟
( 3):= ( 3) − 3(1) → ⎜ 0 1 −10 17
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ):= ( 4 ) − 2(1) ⎜ 0 −1 10 −17
−2 5 ⎟
1
⎟
⎜
⎜ 0 −1 10 −17
4 −7 4 ⎟⎠
⎝
−3 5 1 ⎞
⎟
−10 17 −2 ⎟
0
0 0⎟
⎟
0
0 0 ⎟⎠
−3
1⎞
⎟
−2 ⎟
( 3 ): = ( 3) + ( 2 ) →
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ): = ( 4 ) + ( 2 )
2⎟
⎟
2 ⎟⎠
Hệ có vô số nghiệm. Chọn ẩn tự do x 3 = m hay x 4 = m , với m ∈
theo m .
, và tính x1 , x2
d) Biến đổi
⎛1 2 3
⎜
⎜ 2 −1 −2
⎜ 3 2 −1
⎜
⎜ 2 −3 2
⎝
⎛1 2
3
⎜
⎜ 0 −5 −8
⎜ 0 0 − 18
5
⎜
36
⎜0 0
5
⎝
⎛1 2
−2 6 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
⎟
−3 8 ⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − 3( 1 ) → ⎜ 0 − 5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ) : = ( 4 ) − 2 (1 ) ⎜ 0 − 4
2 4⎟
⎟
⎜
⎜ 0 −7
1 −8 ⎟⎠
⎝
⎛1
−2 6 ⎞
⎟
⎜
1 −4 ⎟
( 4 ): = ( 4 ) + 2 ( 2 ) ⎜ 0
36
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0
− 54
5
5 ⎟
⎜
72 ⎟
⎜0
− 18
−
⎝
5
5 ⎠
−2 6 ⎞
⎟
−8 1 −4 ⎟
( 3):= ( 3) − 45 ( 2)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ):= ( 4 ) − 75 ( 2)
−10 8 −14 ⎟
⎟
−4 5 −20 ⎟⎠
2
3 −2 6 ⎞
⎟
−5 −8 1 −4 ⎟
36
⎟
− 54
0 − 18
5
5
5 ⎟
0
0 18 36 ⎟⎠
3
Hệ có nghiệm duy nhất x1 = 3 ; x 2 = −10 ; x 3 = 7 ; x 4 = 2 .
e) Biến đổi
3
⎛3
⎜
⎜1
⎜1
⎜
⎜ 12
⎝
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎜0
⎝
−1 −1
−1 −2
1
3
−2
1
−1 −2
2
5
2
5
10 25
⎛ 1 −1
1 ⎞
⎟
⎜
4 5 ⎟
3 −1
1) ∼ ( 2 )
(
⎯⎯⎯⎯→ ⎜
⎜1 1
−6 −9 ⎟
⎟
⎜
⎜ 12 −2
−2 −10 ⎟⎠
⎝
⎛1
4 5 ⎞
⎟
⎜
−10 −14 ⎟
( 3) : = ( 3) − ( 2 )
⎜0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
4
:
=
4
−
5
2
⎟
( ) ( ) ( ) ⎜0
−10 −14
⎜
⎟
⎜0
−50 −70 ⎟⎠
⎝
2
−2
−1
3
1
−1
2
0
0
5 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − 3 (1 )
⎟
2 1 ⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 ) →
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ):= ( 4 ) −12(1)
−6 − 9 ⎟
⎟
−2 −10 ⎟⎠
−2 4 5 ⎞
⎟
5 −10 −14 ⎟
0
0 0 ⎟
⎟
0
0 0 ⎟⎠
4
Hệ có vô số nghiệm. Chọn 2 trong 3 ẩn x 2 , x 3 , x 4 làm ẩn tự do và tính hai ẩn còn lại
theo các ẩn tự do.
f) Biến đổi
⎛1 1
⎜
⎜ 2 −1
⎜ 1 −1
⎜
⎜
⎝ 3 −6
⎛1
1 1⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
⎟
1 3⎟
( 3):= ( 3) − (1) → ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ):= ( 4 ) − 3(1) ⎜ 0
2 5⎟
⎟
⎜
⎜
5 6 ⎠⎟
⎝0
⎛1 1 1 1 ⎞
⎜
⎟
( 4 ):= ( 4 ) − 3( 3) ⎜ 0 −3 −1 1 ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜
5
10 ⎟
0 0
3
3 ⎟
⎜
⎜ 0 0 0 −10 ⎟
⎝
⎠
⎛1 1 1 1 ⎞
1 1⎞
⎜
⎟
⎟
−3 −1 1 ⎟
( 3):= ( 3) − 23 ( 2) ⎜ 0 −3 −1 1 ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ):= ( 4 ) − 3( 2) ⎜ 0 0 5 10 ⎟
−2 1 4 ⎟
3 3 ⎟
⎜
⎟
⎜0 0 5 0 ⎟
−9 2 3 ⎠⎟
⎝
⎠
1
Hệ vô nghiệm.
g) Biến đổi
⎛1
⎜
⎜2
⎜1
⎜
⎜3
⎝
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎜0
⎝
⎛1
3 −22 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
⎟
3 5 12 ⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 ) → ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ) : = ( 4 ) − 3( 1 ) ⎜ 0
7 2 34 ⎟
⎟
⎜
⎜0
−1 −1 0 ⎟⎠
⎝
⎛ 1 −4
−4 3 −22 ⎞
⎟
⎜
11 −1 56 ⎟
( 3) ∼ ( 4 ) ⎜ 0 11
⎯⎯⎯⎯→
⎜0 0
0 0 0 ⎟
⎜
⎟
⎜
0 −9 10 ⎟⎠
⎝0 0
−4
Hệ có nghiệm duy nhất x1 =
128
99
3 −22 ⎞
⎟
11 −1 56 ⎟
( 3 ): = ( 3 ) − ( 2 ) →
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ): = ( 4 ) − ( 2 )
11 −1 56 ⎟
⎟
11 −10 66 ⎟⎠
3 −22 ⎞
⎟
−1 56 ⎟
−9 10 ⎟
⎟
0 0 ⎟⎠
−4
; x2 =
494
99
; x 3 = − 10 .
h) Biến đổi
4
9
⎛1 5 4
⎜
⎜ 2 −1 2
⎜5 3 8
⎜
⎜ 4 9 10
⎝
⎛1 5
4
⎜
⎜ 0 −11 −6
⎜0 0
0
⎜
⎜0 0
0
⎝
⎛1 5
3 1⎞
4
3
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
⎟
−1 0 ⎟
( 3):= ( 3) − 5(1) → ⎜ 0 −11 −6 −7
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ):= ( 4 ) − 4 (1) ⎜ 0 −22 −12 −14
1 1⎟
⎟
⎜
⎜ 0 −11 −6 −7
5 2 ⎟⎠
⎝
3 1⎞
⎟
−7 −2 ⎟
0 0⎟
⎟
0 0 ⎟⎠
1⎞
⎟
−2 ⎟
( 3 ): = ( 3 ) − 2 ( 2 ) →
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ): = ( 4 ) − ( 2 )
−4 ⎟
⎟
−2 ⎟⎠
Hệ có vô số nghiệm. Chọn 2 trong 3 ẩn x 2 , x 3 , x 4 làm ẩn tự do và tính hai ẩn còn lại
theo các ẩn tự do.
3) Giải các
⎧ x1
⎪
⎪x
a) ⎨ 1
⎪2x1
⎪3x
⎩ 1
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau
+ x 2 − 2x3 − 6x4 = 0
−
+
x2
x2
+ 2x2
⎧2x1
⎪
⎪ 3x
b) ⎨ 1
⎪4x1
⎪x
⎩ 1
+ 3x2
− 4x3
− 5x 3
− 7x3
− 3x 3
+ 6x 4
= 0
+ 4x 3
⎧ x1
⎪
⎪ 3x
c) ⎨ 1
⎪4x1
⎪ 3x
⎩ 1
+ 2x 2
+
⎧ x1
⎪
⎪2x
d) ⎨ 1
⎪3x1
⎪x
⎩ 1
+
⎧ x1
⎪
⎪x
e) ⎨ 1
⎪2x1
⎪x
⎩ 1
+ 3x2
+ 5x2
+ 5x2
+ 8x2
−
−
+
−
4x 3
6x 3
2x 3
+ 24x3
3x2
+ 2x 3
5x2
+ 4x3
x2
+ 17x 2
+ 4x 2
+ 5x2
+ 5x2
= 0
= 0
= 0
− 2x 2
x2
− 14x4
8x4
−
+ 5x 4
+ 2x3
+
= 0
x3
−
x2
−
2x4
+
− 7x 4
= 0
− 7x 4
= 0
−
3x 4
= 0
3x 4
= 0
4x4
= 0
− 19x4
= 0
−
+
= 0
+ 3x3
= 0
+ 4x3
= 0
+ 3x3
+ 5x3
+ 4x 3
+ 7x3
= 0
+ 2x 4
+
+ 3x4
+
+
+
x4
+ 6x 4
4x5
= 0
5x5
= 0
7x5
= 0
+ 10x5
= 0
ĐS: a) Biến đổi
5
⎛1 1
⎜
⎜ 1 −1
⎜2 1
⎜⎜
⎝3 2
⎛1 1
⎜
⎜ 0 −2
⎜0 0
⎜⎜
⎝0 0
−2
−4
−5
−6
2
−8
⎞
⎛ 1 1 −2 −6 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − (1 )
⎟
⎜
⎟
( 3):= ( 3) − 2(1) ⎜ 0 −2 −2 8 ⎟ ( 3):= ( 3) − 12 ( 2)
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ):= ( 4 ) − 3(1) ⎜ 0 −1 −1 4 ⎟ ( 4 ):= ( 4 ) − 12 ( 2)
⎟
⎟
⎜⎜
⎟⎟
−7 −14 ⎟⎠
⎝ 0 −1 −1 4 ⎠
−2 −6 ⎞
⎟
−2 8 ⎟
0 0⎟
⎟
0 0 ⎟⎠
Chọn 2 trong 3 ẩn x 2 , x 3 , x 4 làm ẩn tự do và tính hai ẩn còn lại theo các ẩn tự do.
b) Biến đổi
⎛ 2 3 −1 5 ⎞
⎛ 1 −2 4 −7 ⎞
⎛ 1 −2 4
( 2 ) : = ( 2 ) − 3 (1 ) ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
(1) ∼ ( 4 ) ⎜ 3 −1 2 −7 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 3):= ( 3) − 4 (1) → ⎜ 0 5 −10
⎜ 3 −1 2 −7 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→
( 4 ):= ( 4 ) − 2(1) ⎜ 0 9 −19
⎜ 4 1 −3 6 ⎟
⎜ 4 1 −3 6 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝ 1 −2 4 − 7 ⎠
⎝ 2 3 −1 5 ⎠
⎝ 0 7 −9
⎛ 1 −2 4
⎛ 1 −2 4
−7 ⎞
−7 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
( 3):= ( 3) − 59 ( 2) ⎜ 0 5 −10 14 ⎟ ( 4 ):= ( 4 ) + 5( 3) ⎜ 0 5 −10 14 ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 0 −1 44 ⎟
( 4 ):= ( 4 ) − 75 ( 2) ⎜ 0 0 −1 44
5 ⎟
5
⎜
⎟
⎜
217 ⎟
3⎟
⎜0 0
⎜
5 −5⎠
0
5 ⎠
⎝0 0
⎝
Hệ chỉ có nghiệm tầm thường.
c) Biến đổi
⎛1 2 4
⎛1 2
4
−3 ⎞
−3 ⎞
( 2):= ( 2) − 3(1) ⎜
⎜
⎟
⎟
5 ⎟
( 3):= ( 3) − 4 (1) ⎜ 0 −1 −6
( 3) := ( 3 ) − 3( 2 )
⎜ 3 5 6 −4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
4
:
=
4
−
3
1
( ) ( ) ( ) ⎜ 0 −3 −18 15 ⎟ ( 4 ):= ( 4 ) + 2( 2)
⎜ 4 5 −2 3 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 3 8 24 −19 ⎠
⎝ 0 2 12 −10 ⎠
⎛ 1 2 4 −3 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −1 −6 5 ⎟
⎜0 0 0 0 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝0 0 0 0 ⎠
Chọn 2 trong 3 ẩn x 2 , x 3 , x 4 làm ẩn tự do và tính hai ẩn còn lại theo các ẩn tự do.
d) Biến đổi
⎛1 3
⎜
⎜ 2 −1
⎜ 3 −5
⎜⎜
⎝ 1 17
⎛1
⎛1 3 2 ⎞
2⎞
3
2⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
3⎟
( 3):= ( 3) − 3(1) ⎜ 0 −7 −1 ⎟ ( 3):= ( 3) − 2( 2) ⎜ 0 −7 −1 ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ):= ( 4 ) − (1)
( 4 ): = ( 4 ) + 2 ( 2 ) ⎜ 0 0 0 ⎟
⎜ 0 −14 −2 ⎟
4⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
4⎠
2⎠
⎝ 0 14
⎝0 0 0 ⎠
Chọn 1 trong 2 ẩn x 2 , x 3 làm ẩn tự do và tính hai ẩn còn lại theo ẩn tự do.
e) Biến đổi
6
−7 ⎞
⎟
14 ⎟
34 ⎟
⎟
19 ⎟⎠
⎛1
⎜
⎜1
⎜2
⎜⎜
⎝1
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎜⎜
⎝0
3 3 2
4 5 3
5 4 1
4
7
5
5 7 6
3
1
0
0
3 2
2 1
0 −2
0 2
⎞
⎛1
( 2 ) : = ( 2 ) − (1 )
⎟
⎜
( 3 ) : = ( 3 ) − 2 (1 ) ⎜ 0
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 4 ) : = ( 4 ) − (1 )
⎟
⎜0
⎟⎟
⎜⎜
10 ⎠
⎝0
⎛1
4⎞
⎟
⎜
3⎟
0
4 ): = ( 4 ) + ( 3 )
(
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
⎜0
0⎟
⎟⎟
⎜⎜
0⎠
⎝0
3 3 2 4⎞
⎟
1 2 1 3⎟
( 3 ) := ( 3 ) + ( 2 )
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
4 ): = ( 4 ) − 2 ( 2 )
(
−1 −2 −3 −3 ⎟
⎟⎟
2 4 4 6⎠
3 3 2 4⎞
⎟
1 2 1 3⎟
0 0 −2 0 ⎟
⎟
0 0 0 0 ⎠⎟
Chọn x5 và 1 trong 2 ẩn x 2 , x 3 làm các ẩn tự do và tính ba ẩn còn lại theo các ẩn tự do.
4) Giải và biện luận
⎧mx + x
2
⎪⎪ 1
+ mx2
a) ⎨ x1
⎪
⎪⎩ x1 + x 2
⎧ x1
⎪
⎪2x1
⎪
b) ⎨3x1
⎪
⎪5x1
⎪6x
⎩ 1
+
⎧ x1
⎪
c) ⎨2x1
⎪4x
⎩ 1
+ 2x 2
+
+
các hệ phương trình tuyến tính sau
+
+
7x 2
+ 12x 2
+ 14x 2
+ 4x 2
+ 8x 2
x3
+ mx 3
2x 2
5x 2
x3
=
1
=
m
= m2
3x 4
+
+
+
x3
x3
+ 13x 4
+ 3x3
+
x3
x3
+ 3x3
8x4
+
+ 2x3
+
5x 4
+
+ 16x4
=
1
=
3
7
=
= 16
= 23
=
m
= 46
= m
ĐS: a) Biến đổi
⎛m 1 1 1 ⎞
⎛1 m 1 m⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
1) ∼ ( 2 )
(
( 2 ) : = ( 2 ) − m (1 )
A = A B = ⎜ 1 m 1 m ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ m 1 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 )
⎜ 1 1 m m2 ⎟
⎜ 1 1 m m2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
(
)
⎛1
⎛1
m
1
m ⎞
m ⎞
m
1
⎜
⎟
⎜
⎟
2
3
∼
(
)
(
)
2
2
2
⎜ 0 1 − m 1 − m 1 − m ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 − m m − 1 m − m ⎟
⎜
2
2 ⎟
⎜⎜ 1 1 − m m − 1 m2 − m ⎟⎟
⎝0 1 − m 1 − m 1 − m ⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
m
1
m
1
⎜
⎟
3):= ( 3) − (1 + m )( 2)
(
2
⎜
⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ 0 1−m
m −1
m −m
⎜
⎟
0
1 − m − (1 + m ) ( m − 1 ) 1 − m 2 − (1 + m ) ⎡ m 2 − m ⎤ ⎟
⎜0
⎣
⎦⎠
⎝
⎛
⎞
m
1
m
⎜1
⎟
⎜
m −1
m ( m − 1) ⎟
= 0 1−m
⎜
⎟
2⎟
0
1 − m )( m + 2 )
⎜0
(
⎜
(1 − m )(1 + m ) ⎟⎠
⎝
7
m = −2 : Rank A = 2 < Rank A = 3 . Hệ vô nghiệm.
m = 1 : Rank A = 1 = Rank A < 3 (số ẩn). Hệ có vô số nghiệm.
m ≠ 1, −2 : Rank A = Rank A = 3 (số ẩn). Hệ có nghiệm duy nhất.
b) Biến đổi
⎛1 2 0 3 7 ⎞
⎛1 2
⎜
⎟
⎜
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜ 0 1
⎜ 2 5 1 5 16 ⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − 3( 1 ) → ⎜
A = A B = ⎜ 3 7 1 8 23 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 1
4 ) : = ( 4 ) − 5 (1 )
(
⎜
⎟
⎜
( 5 ) : = ( 5 ) − 6 (1 ) ⎜ 0 2
⎜ 5 12 2 13 m ⎟
⎜ 6 14 3 16 46 ⎟
⎜0 2
⎝
⎠
⎝
⎛1 2 0 3
⎛1
7 ⎞
⎜
⎟
⎜
2 ⎟
⎜ 0 1 1 −1
⎜0
( 3 ): = ( 3 ) − ( 2 )
( 3) ∼ ( 5 ) ⎜
⎜
⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯⎯→ 0
0
( 4 ) := ( 4 ) − 2 ( 2 ) ⎜ 0 0 0 0
⎟
⎜
( 5):= (5) − 2( 2) ⎜ 0 0 0 0 m − 39 ⎟
⎜0
⎜0 0 1 0
⎟
⎜0
0 ⎠
⎝
⎝
(
)
0
1
1
2
3
⎞
⎟
−1
2 ⎟
−1
2 ⎟
⎟
−2 m − 35 ⎟
−2
4 ⎟⎠
2 0
1 1
0 1
0 0
0 0
3
7
⎞
⎟
−1
2 ⎟
0
0 ⎟
⎟
0 m − 39 ⎟
0
0 ⎟⎠
3
m ≠ 39 : Rank A = 3 < Rank A = 4 . Hệ vô nghiệm.
m = 39 : Rank A = 3 = Rank A < 4 (số ẩn). Hệ có vô số nghiệm.
c) Biến đổi
⎛1 2 1 1 ⎞
⎛1 2 1
1 ⎞
⎜
⎟
⎜
2
:
=
2
−
2
1
( ) ( ) ( ) → 0 0 −1 1 ⎟
A = A B = ⎜ 2 4 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − 4 (1 ) ⎜
⎜4 8 3 m⎟
⎜ 0 0 −1 m − 4 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 2 1
1 ⎞
⎜
⎟
3
:
=
3
−
2
( ) ( ) ( )
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 0 −1 1 ⎟
⎜ 0 0 0 m − 5⎟
⎝
⎠
(
)
m ≠ 5 : Rank A = 2 < Rank A = 3 . Hệ vô nghiệm.
m = 5 : Rank A = 2 = Rank A < 3 (số ẩn). Hệ có vô số nghiệm.
5) Cho hệ phương trình
⎧ x1 + x2 − x3 =
⎪
⎨2x1 + 3x2 + kx 3 =
⎪x
⎩ 1 + kx 2 + 3x3 =
Xác đònh trò số k sao cho
a) Hệ có một nghiệm duy
b) Hệ không có nghiệm
c) Hệ có vô số nghiệm.
ĐS: Biến đổi
1
3
2
nhất
8
7
⎛ 1 1 −1 1 ⎞
⎛1
1
−1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 )
(
( 3):= ( 3) − ( k −1)( 2) →
A = A B = ⎜ 2 3 k 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
k + 2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜0
3
:
=
3
−
1
( ) ( ) ()
⎜1 k 3 2⎟
⎜0 k − 1
4 1 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
⎛1 1
⎞ ⎛1 1
−1
−1
1
1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
k+2
1
k+2
1 ⎟
⎜0 1
⎟ = ⎜0 1
⎜0 0 4 − k − 1 k + 2 1 − k − 1 ⎟ ⎜0 0 2 − k k + 3 2 − k⎟
( )(
) ( )⎠ ⎝
( )( )
⎝
⎠
ta suy ra
k = −3 : Rank A = 2 < Rank A = 3 ;
(
)
k = 2 : Rank A = 2 = Rank A < 3 ;
k ≠ 2, −3 : Rank A = Rank A = 3 .
Vậy a) Hệ có một nghiệm duy nhất khi k ≠ 2, −3 .
b) Hệ không có nghiệm khi k = −3 .
c) Hệ có vô số nghiệm khi k = 2 .
6) Cho hệ phương trình
⎧kx1 + x2 + x3 = 1
⎪
⎨ x1 + kx2 + x3 = 1
⎪x
⎩ 1 + x2 + kx 3 = 1
Xác đònh trò số k sao cho
a) Hệ có một nghiệm duy nhất
b) Hệ không có nghiệm
c) Hệ có vô số nghiệm.
ĐS: Biến đổi
⎛1
k
1
⎛ k 1 1 1⎞
⎛ 1 k 1 1⎞
1 ⎞
⎜
⎜
⎟
(1) ∼ ( 2) ⎜ k 1 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 2 ) : = ( 2 ) − k (1 ) → 0 1 − k 2 1 − k 1 − k ⎟
⎯⎯⎯⎯→
1
k
1
1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 )
⎜⎜ 0 1 − k k − 1 0 ⎟⎟
⎜ 1 1 k 1⎟
⎜ 1 1 k 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1
k
1
1 ⎞
⎜
⎟
( 3):= ( 3) − (1+ k )( 2)
⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 − k k − 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜ 0 1 − k2 1 − k 1 − k ⎟
⎝
⎠
( 2 ) ∼ ( 3)
⎛1
k
k
1
1 ⎞ ⎛1
⎟ ⎜
⎜
k −1
0 ⎟ = ⎜0 1 − k
⎜0 1 − k
⎜0
0
0
1 − k − (1 + k )( k − 1) 1 − k ⎟ ⎜ 0
⎝
⎠ ⎝
ta suy ra
k = −2 : Rank A = 2 < Rank A = 3 ;
k = 1 : Rank A = 1 = Rank A < 3 ;
k ≠ 1, −2 : Rank A = Rank A = 3 .
Vậy a) Hệ có một nghiệm duy nhất khi k ≠ 1, −2 .
b) Hệ không có nghiệm khi k = −2 .
c) Hệ có vô số nghiệm khi k = 1 .
9
1
1 ⎞
⎟
k −1
0 ⎟
(1 − k )( 2 + k ) 1 − k ⎟⎠
