Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

❇é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦
➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥

◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ◆❣➞♥

▼ét sè ❧í♣ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣
✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣
▲✉❐♥ ➳♥ t✐Õ♥ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿
▼➲ sè✿

❚♦➳♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤
✻✷ ✹✻ ✵✶ ✵✷

❚❐♣ t❤Ó ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿ ✶✳ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ◆❣ä❝
✷✳ P●❙✳ ❚❙✳ ❍➭ ❚✐Õ♥ ◆❣♦➵♥

❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ✷✵✶✸


▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥
❚➠✐ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ➤➞② ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ t➠✐✳

❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈✐Õt

❝❤✉♥❣ ✈í✐ t➳❝ ❣✐➯ ❦❤➳❝ ➤➲ ➤➢î❝ sù ♥❤✃t trÝ ❝ñ❛ ➤å♥❣ t➳❝ ❣✐➯ ❦❤✐ ➤➢❛ ✈➭♦ ❧✉❐♥ ➳♥✳
❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ➳♥ ❧➭ ♠í✐ ✈➭ ❝❤➢❛ tõ♥❣ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜✃t ❦ú ❝➠♥❣
tr×♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝ñ❛ ❛✐ ❦❤➳❝✳

❚➳❝ ❣✐➯ ❧✉❐♥ ➳♥

◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ◆❣➞♥

✐


▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
▲✉❐♥ ➳♥ ➤➢î❝ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ t❤✉é❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝
❙➢ ♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝
❝ñ❛ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ◆❣ä❝ ✈➭ P●❙✳ ❚❙✳ ❍➭ ❚✐Õ♥ ◆❣♦➵♥✳ ❈➳❝ ❚❤➬② ➤➲ tr✉②Ò♥
❝❤♦ t➳❝ ❣✐➯ ❦✐Õ♥ t❤ø❝✱ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐Ö♠ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤♦❛ ❤ä❝✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥
❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❚❤➬②✳
❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ t➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ❧✉➠♥ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ sù ❣ã♣
ý✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ❝ñ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ➜✐♥❤ ◆❤♦ ❍➭♦✱ P●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②Ô♥ ▼✐♥❤ ❚rÝ✱ ❚❙✳
P❤➵♠ ▼✐♥❤ ❍✐Ò♥✱ ❚❤s✳ ➜➭♦ ◗✉❛♥❣ ❑❤➯✐ ✭❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❍➭♥ ❧➞♠ ❑❤♦❛
❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❱✐Öt ◆❛♠✮✱ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ▼❐✉✱ P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥
▼✐♥❤ ❚✉✃♥✱ P●❙✳ ❚❙✳ ❚r➬♥ ❍✉② ❍æ ✭tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❚ù ♥❤✐➟♥✱ ➜➵✐
❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✮✱ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➟ ❍ï♥❣ ❙➡♥✱ P●❙✳ ❚❙✳ P❤❛♥ ❚➝♥❣ ➜❛ ✭❦❤♦❛
❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ ø♥❣ ❞ô♥❣✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ❇➳❝❤ ❑❤♦❛ ❍➭ ◆é✐✮✱ P●❙✳ ❚❙✳ ➜➷♥❣ ◗✉❛♥❣

➳

✭❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥✱ ❱✐Ö♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❱✐Öt ◆❛♠✮✳ ❚➳❝ ❣✐➯
①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ sù q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì ❝ñ❛ ❝➳❝ ❚❤➬②✳
❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ ❝ï♥❣ ❝➳❝ ❛♥❤ ❝❤Þ ❡♠ ◆❈❙✱
❈❛♦ ❤ä❝ tr♦♥❣ s❡♠✐♥❛r ❝ñ❛ ❇é ♠➠♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢
♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ P❤ß♥❣ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✲ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱
❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❈➡ ✲ ❚✐♥ ❤ä❝✱ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❚ù ♥❤✐➟♥ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝
❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✱ ➤➲ ❧✉➠♥ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭
❝✉é❝ sè♥❣✳
❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ●✐➳♠ ➤è❝ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❇❛♥ ➜➭♦

t➵♦ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ö✉ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝➳❝ P❤ß♥❣ ❇❛♥ ❝❤ø❝ ♥➝♥❣✱ P❤ß♥❣ ◗✉➯♥ ❧ý ➤➭♦ t➵♦ ❙❛✉

✐✐


➤➵✐ ❤ä❝✱ ❇❛♥ ❝❤ñ ♥❤✐Ö♠ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ❝ï♥❣ t♦➭♥ t❤Ó ❣✐➳♦ ✈✐➟♥ tr♦♥❣ ❦❤♦❛✱ ➤➷❝ ❜✐Öt
❧➭ ❇é ♠➠♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ➤➲ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐✱ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ q✉➳
tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ➳♥✳
❚➳❝ ❣✐➯ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❜➵♥ ❜❒✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ❝❤å♥❣✱ ❝➳❝ ❝♦♥
❝ï♥❣ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥ tr♦♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ q✉➳
tr×♥❤ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ➳♥✳


▼ô❝ ❧ô❝
❇×❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐✈

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
▼ô❝ ❧ô❝

▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥
▼ë ➤➬✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✈✐✐✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶

✶ ❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋♦✉r✐❡r tæ♥❣ q✉➳t
✶✳✶

❇✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r ❝ñ❛ ❤➭♠ ❝➡ ❜➯♥ ❣✐➯♠ ♥❤❛♥❤
✶✳✶✳✶
✶✳✶✳✷

✶✳✷

✶✳✸

✐

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥

S

✶✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❝ñ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ ❝➡ ❜➯♥ ❣✐➯♠ ♥❤❛♥❤

❇✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ ❝➡ ❜➯♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

❇✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r ❝ñ❛ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ t➝♥❣ ❝❤❐♠

S′

✷✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❝ñ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ t➝♥❣ ❝❤❐♠

✷✶

✶✳✷✳✶

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✶✳✷✳✷

❇✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r ❝ñ❛ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ t➝♥❣ ❝❤❐♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✶✳✷✳✸

❇✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r ❝ñ❛ tÝ❝❤ ❝❤❐♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

❈➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈

H s (R)

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✶✳✸✳✶

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥

✶✳✸✳✷

❈➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

s
(Ω), H s (Ω)
H◦s (Ω), H◦,◦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✶✳✸✳✸

➜Þ♥❤ ❧ý ♥❤ó♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✐✈

✶✳✹

✶✳✺

✶✳✻

❈➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✈❡❝t➡

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✶✳✹✳✶

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✶✳✹✳✷

P❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

❚♦➳♥ tö ❣✐➯ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈❡❝t➡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✶✳✺✳✶

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✶✳✺✳✷

❈❤✉➮♥ ✈➭ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

✶✳✺✳✸

◆❤ó♥❣ ❝♦♠♣❛❝t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✹

❚Ý♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣
✶✳✻✳✶

➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t

✶✳✻✳✷

➜Þ♥❤ ❧ý tå♥ t➵✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

✷ ❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ❝ñ❛ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣ ➤è✐ ✈í✐
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤✐Ò✉ ❤♦➭ ✈➭ s♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❤♦➭ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ❤×♥❤ ❞➯✐
✹✶
✷✳✶

❇➭✐
tr×♥❤

t♦➳♥
➤✐Ò✉

❜✐➟♥
❤♦➭

❤ç♥

❤î♣

t❤ø

♥❤✃t

➤è✐

✈í✐

♣❤➢➡♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✶✳✶

P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✸

✷✳✶✳✷

➜➢❛ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✸

✷✳✶✳✸

❚Ý♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✭✷✳✶✵✮

✹✺

✷✳✶✳✹

➜➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤
♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤②

✷✳✶✳✺

✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

➜➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤② ✈Ò ❤Ö ✈➠
❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷

✹✷

❇➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣ ➤è✐ ✈í✐ ❞➯✐ ➤➭♥ ❤å✐

✹✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✻

✷✳✷✳✶

P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✻

✷✳✷✳✷

➜➢❛ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✽

✷✳✷✳✸

❚Ý♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✭✷✳✺✶✮

✳

✻✶


✷✳✷✳✹

➜➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤
♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤②

✷✳✷✳✺

✷✳✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

➜➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤② ✈Ò ❤Ö ✈➠
❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✼

❇➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❤♦➭ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✷

✷✳✸✳✶

P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✸

✷✳✸✳✷

➜➢❛ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✹

✷✳✸✳✸

❚Ý♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✭✷✳✶✵✻✮ ✳

✼✼

✷✳✸✳✹

➜➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤
♣❤➞♥ ♥❤➞♥ ❧♦❣❛r✐t❤♠

✷✳✸✳✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✹

➜➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♥❤➞♥ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ✈Ò ❤Ö ✈➠
❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✹

✻✹

✽✻

❇➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣ t❤ø ❤❛✐ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤✐Ò✉
❤♦➭
✷✳✹✳✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥

✾✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✶

✷✳✹✳✷

➜➢❛ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✶

✷✳✹✳✸

❚Ý♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✭✷✳✶✺✼✮ ✳

✾✷

✷✳✹✳✹

➜➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤
♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤②

✷✳✹✳✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✹

➜➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤② ✈Ò ❤Ö ✈➠
❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✻

✸ ●✐➯✐ ❣➬♥ ➤ó♥❣ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ❝ñ❛ ♠ét ❤Ö
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋♦✉r✐❡r
✶✵✷
✸✳✶

➜➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ✈Ò ❞➵♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤ø ♥❣✉②➟♥

✶✵✷

✸✳✷

❚Ý♥❤ ❣➬♥ ➤ó♥❣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♠ét ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ

✶✵✻


✸✳✷✳✶

❚Ý♥❤ ❣➬♥ ➤ó♥❣ ♠❛ tr❐♥ ❤➵❝❤ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥
❦ú ❞Þ

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵✻

✸✳✷✳✷

❚Ý♥❤ ♥❣❤✐Ö♠ ❣➬♥ ➤ó♥❣ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ✶✶✵

✸✳✷✳✸

❱Ò tè❝ ➤é ❤é✐ tô

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷✽

❑Õt ❧✉❐♥ ✈➭ ➤Ò ♥❣❤Þ
❉❛♥❤ ♠ô❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ❝➠♥❣ ❜è ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸✷

✶✸✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸✺


▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥
R✿ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ t❤ù❝
Ω✿ ❦❤♦➯♥❣ ❤♦➷❝ ❤Ö ❝➳❝ ❦❤♦➯♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ R
Rn ✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ ❊✉❝❧✐❞❡ n ❝❤✐Ò✉
Cn ✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ø❝ n ❝❤✐Ò✉
C k (Ω)✿ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ➤Õ♥ ❝✃♣ k

tr➟♥

Ω

C◦k (Ω)✿ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ➤Õ♥ ❝✃♣ k

tr➟♥

Ω, ❝ã ❣✐➳ ❝♦♠♣❛❝t

tr♦♥❣

Ω

C ∞ (Ω)✿ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ✈➠ ❤➵♥ tr➟♥ Ω
C◦∞ (R)✿ t❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ✈➠ ❤➵♥ ❝ã ❣✐➳ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ R
ℓ2 ✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❞➲② sè {fn }, n ∈ N, t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
∞
n=0

|fn |2 < ∞

L1 (R)✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ tr➟♥ R
L2 (R)✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❦❤➯ tÝ❝❤ tr➟♥ R
L2ρ±1 (a, b)✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ u(x) ❝❤♦ tr➟♥ (a, b) s❛♦ ❝❤♦
b

||u||L2±1 =
ρ

ρ±1 (x)|u(x)|2 dx

1/2

< +∞,

a

✈í✐

ρ(x) =

(x − a)(b − x), a < x < b
✈✐✐✐


S ✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ❝➡ ❜➯♥ ❣✐➯♠ ♥❤❛♥❤ tr➟♥ R
S ′ ✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ t➝♥❣ ❝❤❐♠ tr➟♥ R
D(Ω)✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ✈➠ ❤➵♥ ✈➭ ❝ã ❣✐➳ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ Ω
D′ (Ω)✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛ D(Ω)
s
H s (R), H◦s (Ω), H◦,◦
(Ω), H s (Ω)✿ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈
s
Hs (R), H◦s (Ω), H◦,◦
(Ω), Hs (Ω)✿ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✈❡❝t➡

F ✿ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r
F −1 ✿ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r ♥❣➢î❝
p, p′ ✿ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❤➵♥ ❝❤Õ

ℓ, ℓ′ ✿ ❝➳❝ t♦➳♥ tö t❤➳❝ tr✐Ó♥
Tn (x)✿ ➤❛ t❤ø❝ ❈❤❡❜②s❤❡✈ ❜❐❝ n ❧♦➵✐ ♠ét
Un (x)✿ ➤❛ t❤ø❝ ❈❤❡❜②s❤❡✈ ❜❐❝ n ❧♦➵✐ ❤❛✐
Jm ✿ ❤➭♠ ❇❡ss❡❧ ❧♦➵✐ ♠ét ❝✃♣ m


ở
ý ọ ề t

P trì qts ệ trì ssts
qts t ệ t ỗ ợ ủ t ý t
sử ụ ế ổ tí tí ợ ề t ủ ý tết
ồ t ề ết ứt t ề tế ú ó tể ợ
ế trì r t
ữ ứ ề trì ủ ế tì ờ
ì tứ ủ trì
ệ ết q ị tí ề trì ò ế
tí ợ ủ ệ trì ợ
ứ ệ ứ ệ trì sẽ ở rộ ụ
trì tr ệ t ỗ ợ ủ t ý t
ì ệ ứ ề ệ trì tết ó tí tờ sự
r é ế ổ tí tì é ế ổ tí rr ó ị trí
ệt q trọ ố ớ t trể ý tết ủ t ọ ũ ứ
ụ tr ề ọ tự
ớ ý tr ú t ọ ề t ứ ủ
ì



ột số ớ ệ trì ứ ụ

ụ í ủ ề t


ụ í ủ ề t tết tí ợ ủ ệ

trì tí tr ữ tí ợ
ợ sử ụ tr s rộ t
t




✷✳✷✳

▼ô❝ ➤Ý❝❤ t❤ø ❤❛✐ ❝ñ❛ ➤Ò t➭✐ ❧✉❐♥ ➳♥ ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤÷✉

❤✐Ö✉ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ♥➭②✱
❝❤ó♥❣ t➠✐ sö ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣
tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ❤➭♠ ♣❤ô trî t❤Ý❝❤ ❤î♣✱ ✈➭ ➤➢❛ ❤Ö ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣
tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✈Ò ❤Ö ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ✈í✐ ♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤② ❤♦➷❝ ♥❤➞♥
❧♦❣❛r✐t❤♠✳
✷✳✸✳

▼ô❝ ➤Ý❝❤ t❤ø ❜❛ ❝ñ❛ ➤Ò t➭✐ ❧✉❐♥ ➳♥ ❧➭ ✈❐♥ ❞ô♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤÷✉ ❤✐Ö✉

❣✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ✱ ➤Ó tõ ➤ã ❝ã t❤Ó t×♠ ➤➢î❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ✈❐♥ ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣
➤❛ t❤ø❝ trù❝ ❣✐❛♦ ❬✸✷✲ ✸✼❪ ➤Ó ➤➢❛ ❤Ö ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ✈í✐ ♥❤➞♥
❈❛✉❝❤② ❤♦➷❝ ♥❤➞♥ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ✈Ò ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤

tù❛ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❝❤Ý♥❤ q✉✐ ❬✶✹❪✱ t❤✉❐♥ t✐Ö♥ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ❣➬♥ ➤ó♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝
❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ➤Ò ❝❐♣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ♥➭②✳
✸✳ ➜è✐ t➢î♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉

➜è✐ t➢î♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ➳♥ ❧➭ t❤✐Õt ❧❐♣ tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋♦✉r✐❡r tæ♥❣ q✉➳t ✈í✐ ❜✐Ó✉ tr➢♥❣ ✭s②♠❜♦❧✮ ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ①➳❝
➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳ ❳Ðt ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋♦✉r✐❡r
tæ♥❣ q✉➳t ✈➭♦ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét sè ❧í♣ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ①✉✃t ❤✐Ö♥ ❦❤✐ ❣✐➯✐ ♠ét
sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣ ❝❤♦ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤✐Ò✉ ❤♦➭ ✈➭ s♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❤♦➭ tr♦♥❣
♠✐Ò♥ ❤×♥❤ ❞➯✐ ❝ñ❛ ♠➷t ♣❤➻♥❣✳
✹✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉

❈❤ó♥❣ t➠✐ ✈❐♥ ❞ô♥❣ t✐Õ♣ ❝❐♥ ❧ý t❤✉②Õt ❤➭♠ s✉② ré♥❣ ✈➭ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ✈✐ ♣❤➞♥
➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♠➭ ❧✉❐♥ ➳♥ q✉❛♥ t➞♠✳ ❚✐Õ♣ ❝❐♥
❧ý t❤✉②Õt ❤➭♠ s✉② ré♥❣ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ❞➵♥❣
❚✐t❝❤♠❛s❤ ➤➢î❝ ❲❛❧t♦♥ ❏✳ ❘✳ ❧➬♥ ➤➬✉ t✐➟♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✼✺ ❬✹✼❪✱ ❝ß♥
t✐Õ♣ ❝❐♥ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ✈✐ ♣❤➞♥ ❞♦ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ◆❣ä❝ ✈❐♥ ❞ô♥❣ ♥➝♠ ✶✾✽✽ ❬✷✹❪ ➤Ó
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋♦✉r✐❡r ✈í✐ ❜✐Ó✉ tr➢♥❣
t➝♥❣ ❝❤❐♠✳


✺✳ ❚æ♥❣ q✉❛♥ ✈Ò ➤Ò t➭✐ ❧✉❐♥ ➳♥
✺✳✶✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tæ♥❣ q✉➳t

❍✐Ö♥ ♥❛② tr♦♥❣ sè ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣
❝ñ❛ ❱❐t ❧ý t♦➳♥ t❤× ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ❧➭ tæ♥❣ q✉➳t ✈➭ ❧✐♥❤ ❤♦➵t ❤➡♥
❝➯✳ ◆❤÷♥❣ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥Ò♥ ♠ã♥❣ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❧➭ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝
♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❇❡❧tr❛♠✐ ❊✳✱ ❇♦✉ss✐♥❡sq ❏✳ ✈➭ ❆❜r❛♠♦✈ ❱✳ ▼✳ ❙ù ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❝ñ❛
♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➲ ❞ù❛ tr➟♥ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ s❛✉ ➤ã ❝ñ❛ ❚r❛♥t❡r ❈✳✱ ❈♦♦❦❡ ❏✳✱ ❙♥❡❞❞♦♥
■✳✱ ❯❢❧✐❛♥❞ ■❛✳ ❙✳✱ ❇❛❜❧♦✐❛♥ ❆✳ ❆✳✱ ❱❛❧♦✈ ●✳ ◆✳✱ ▼❛♥❞❛❧ ❇✳ ◆✳✱ ❆❧❡❦s❛♥❞r♦✈ ❇✳

▼✳✱ ✳ ✳ ✳ ✳
❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ①✉✃t ❤✐Ö♥ ❦❤✐ sö ❞ô♥❣ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♥➭♦ ➤ã
➤Ó ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣✳ ❈ã ♥❤✐Ò✉
♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈➭ ♠ç✐ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❧➵✐ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ♠ét
❧♦➵✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣✳ ➜é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ ♠ç✐ ❧♦➵✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ♣❤ô t❤✉é❝
✈➭♦ ❜✐Ó✉ tr➢♥❣ ✈➭ sè ❦❤♦➯♥❣ ❝ã tr♦♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tæ♥❣ q✉➳t
❝ã t❤Ó ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿

R ✈➭ T ❧➭ ❜✐Õ♥ ➤æ✐
−1
tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♥➭♦ ➤ã tr➟♥ J ✈í✐ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ♥❣➢î❝ T
. ❑ý ❤✐Ö✉ v(ξ) ❧➭ T − ❜✐Õ♥ ➤æ✐
❝ñ❛ ❤➭♠ v(x). P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ T ❝ã
●✐➯ sö

J

❧➭ ❦❤♦➯♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❤❛② ✈➠ ❤➵♥ ❝ñ❛ trô❝ t❤ù❝

❞➵♥❣

pT −1 [A1 (ξ)v(ξ)](x) = f (x),
p′ T −1 [A2 (ξ) v(ξ)](x) = g(x),

x ∈ Ω,

x ∈ Ω′ ,

✭✶✮

A1 (ξ) ✈➭ A2 (ξ) ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ➤➲ ❜✐Õt✱ Ω, Ω′ ❧➭ ❝➳❝ ❤Ö ❦❤♦➯♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♦
′
′
♥❤❛✉ ❝ñ❛ J, s❛♦ ❝❤♦ Ω ∪ Ω = J, p ✈➭ p ❧➬♥ ❧➢ît ❧➭ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❤➵♥ ❝❤Õ tr➟♥ Ω
′
✈➭ Ω t➢➡♥❣ ø♥❣✳ ◆Õ✉ ❦ý ❤✐Ö✉
tr♦♥❣ ➤ã

u(ξ) = A2 (ξ)v(ξ),

A(ξ) =

A1 (ξ)
,
A2 (ξ)

u(x) = T −1 [u](x)

t❤× ✭✶✮ ❝ã t❤Ó ➤➢î❝ ✈✐Õt ❧➵✐ ë ❞➵♥❣

pT −1 [A(ξ)u(ξ)](x) = f (x),
p′ u(x) = g(x), x ∈ Ω′ ,

x ∈ Ω,

✭✷✮


❤➭♠

A(ξ) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜✐Ó✉ tr➢♥❣ ✭s②♠❜♦❧✮ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö ✭❣✐➯ ✈✐ ♣❤➞♥✮✿
Au := T −1 [A(ξ)u(ξ)](x).

◆❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ✭✷✮ ❝ã t❤Ó ➤➢î❝ ①❡♠ ♥❤➢ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t
➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❣✐➯ ✈✐ ♣❤➞♥

Au = f (x) tr➟♥ Ω.

✺✳✷✳ ❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤×♥❤ t❤ø❝

❚r♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ ✺✵ ♥➝♠ q✉❛ ➤➲ ①✉✃t ❤✐Ö♥ ♥❤✐Ò✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ♥❤÷♥❣ ♣❤➢➡♥❣
♣❤➳♣ ❤×♥❤ t❤ø❝ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✈➭ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣
❝❤✉ç✐ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ◆❤÷♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭②
♥❤×♥ ❝❤✉♥❣ ❝ß♥ ♠❛♥❣ tÝ♥❤ ❤×♥❤ t❤ø❝✱ tø❝ ❧➭ ❝❤➢❛ ①Ðt ➤Õ♥ tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❝➳❝
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ❝❤➢❛ ❝ã sù ➤➯♠ ❜➯♦ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝❤➷t ❝❤Ï ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝
❜✐Õ♥ ➤æ✐✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ➤➲ t❤ó❝ ➤➮② sù ♣❤➳t tr✐Ó♥ ♠➵♥❤ ♠Ï
❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ P❤➬♥
❧í♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❝ã t❤Ó t×♠ t❤✃② tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❬✶✼✱ ✸✶✱ ✹✹❪✳
❚r➢í❝ ❤Õt ➤Ò ❝❐♣ tí✐ ♥❤÷♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤×♥❤ t❤ø❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ❝➷♣ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r ✭❣ä✐ t➽t ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥
❋♦✉r✐❡r✮ ❞➵♥❣✿


∞
1

−1

u(ξ)A(ξ)e−ixξ dξ = f (x), x ∈ Ω ⊂ R,
F [Au](x) :=

2π −∞
∞
1

−1

u(ξ)e−ixξ dξ
= g(x), x ∈ R \ Ω,
F [u](x) :=
2π −∞

u(ξ) ❧➭ ❤➭♠ ❝➬♥ t×♠✱ A(ξ), f (x), g(x)
∪nk=1 Jk , Jk = (ak , bk ), Ji ∩ Jj = ∅ (i = j).

tr♦♥❣ ➤ã

•

❑❤✐

Ω = (0, ∞)

❧➭ ♥❤÷♥❣ ❤➭♠ ➤➲ ❜✐Õt✱

✭✸✮

Ω =

♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❤➞♥

tö ❤♦➳ ❲✐❡♥❡r✲ ❍♦♣❢ ❬✶✶✱ ✶✾✱ ✸✶❪✳ ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② t❤➢ê♥❣ ❣➷♣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐
t♦➳♥ ✈Ò t➳♥ ①➵ ❝➳❝ sã♥❣ ✈➭ ✈Ò ❝➳❝ ✈Õt ♥øt ♥ö❛ ✈➠ ❤➵♥✳

• ❑❤✐ Ω = (a, b) ❧➭ ❦❤♦➯♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✸✮ ❝ß♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣

tr×♥❤ ❜é ❜❛ ✭tr✐♣❧❡ ❡q✉❛t✐♦♥✮ ➤➢î❝ ➤➢❛ ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❞➵♥❣ ❝❤❐♣ ❬✶✱
✼✱ ✸✻✱ ✸✼❪✿

b

(a ∗ u)(x) :=

a

a(x − t)u(t)dt = f (x) + g˜(x), a < x < b,

✭✹✮


a(x), u(x) t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r ♥❣➢î❝ ❝ñ❛ A(ξ) ✈➭ u(ξ), ❝ß♥
g˜(x) ❧➭ ❤➭♠ sè ♣❤ô t❤✉é❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭♦ ❤➭♠ g(x). P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❞➵♥❣
tr♦♥❣ ➤ã

❝❤❐♣ ✭✹✮ t❤➢ê♥❣ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ ♥❤➞♥ ❧♦❣❛r✐t❤♠✱ ❤♦➷❝ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐
♥❤➞♥ ❦ú ❞Þ ❈❛✉❝❤② ✈➭ ➤➢î❝ ❣✐➯✐ ❣➬♥ ➤ó♥❣ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤❛ t❤ø❝ trù❝ ❣✐❛♦
❬✸✻✱ ✸✼❪✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ t✐Ö♠ ❝❐♥ ❬✶❪✳

• ❊s✇❛r❛♥ ✭✶✾✾✵✮ ❬✶✼❪ ➤➲ ➤Ò ①✉✃t ♠ét ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣
ξ 2 − k 2 , Ω = (−1, 1), g(x) = 0 ❣➷♣ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt
tr×♥❤ ✭✸✮ ✈í✐ A(ξ) =

♥❤✐Ô✉ ①➵ ✭❞✐❢r❛❝t✐♦♥✮ sã♥❣ ➤✐Ö♥ tõ✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ñ❛ ❊s✇❛r❛♥ ❞ù❛ tr➟♥ q✉➳ tr×♥❤
trù❝ ❣✐❛♦ ❤♦➳ ✈➭ ❤Ö t❤ø❝

∞

Jm (ξx) ixξ
e dξ = 0, |x| > 1.
ξ
−∞

✭✺✮

◆❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✸✮ ➤➢î❝ t×♠ ë ❞➵♥❣

u(ξ) =

∞

am (m + 1)im+2

m=0

Jm+1 (ξx)
,
ξ

✭✻✮

➜➢❛ ✭✻✮ ✈➭♦ ✭✸✮✱ t❤❛② ➤æ✐ t❤ø tù ❧✃② tæ♥❣ ✈➭ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t❛ ➤➢î❝

∞
m=0

am ψm (x) = f (x), |x| < 1,

tr♦♥❣ ➤ã

ψm (x) = (m + 1)im+2

∞
−∞

ξ 2 − k2

Jm+1 (ξx)
dξ.
ξ

✭✼✮

✭✽✮

❈➳❝ ❤Ö sè ❝❤➢❛ ❜✐Õt ➤➢î❝ t×♠ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ trù❝ ❣✐❛♦ ❤♦➳ ❞➲② ❤➭♠ ψm (x),
①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭✽✮✳

• ❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✈í✐ ❤➵❝❤ ❧➢î♥❣ ❣✐➳❝ t❤➢ê♥❣ ❣➷♣ tr♦♥❣ ❝➳❝

❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ò ✈Õt ♥øt ✈➭ t✐Õ♣ ①ó❝ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt ➤➭♥ ❤å✐ ❤❛✐ ❝❤✐Ò✉ ❬✹✵✱ ✹✶❪✳ ❚r♦♥❣
❬✶✼❪ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❝➳❝❤ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ❤×♥❤ t❤ø❝ ❝ñ❛ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ❧♦➵✐ ♥➭②

❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r✲s✐♥ ✈➭ ❋♦✉r✐❡r✲ ❝♦s✐♥✳

• ❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤×♥❤ t❤ø❝ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ❧✐➟♥ q✉❛♥

➤Õ♥ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❍❛♥❦❡❧✱ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ▼❡❤❧❡r✲ ❋♦❝❦✱ ❲❡❜❡r✲❖rr ✈➭ ▲❡❣❡♥❞r❡ ➤➢î❝ ❣✐í✐
t❤✐Ö✉ ❦❤➳ ❝❤✐ t✐Õt tr♦♥❣ ❬✶✼✱ ✹✹❪✳


tr ó tr ề ò tí ì
tứ q t ế ề tồ t t ệ tr
tí ợ ó ũ ữ t ọ tết tr
q trì ế ổ trì ề trì tí t
ứ ớ ú t sẽ trì tổ q ữ ết q ứ ề
tí ợ ủ ột số ớ trì tí ệt tí
rr ố tợ ứ ủ ề t
í ợ ủ trì

ố ợ ứ ề tí ợ ủ trì s ớ
ứ ề tì ờ ì tứ ủ trì
rt tố r ú t sẽ ề ế ột số ết q
ứ ệ ủ ủ t ề tí ợ
ủ trì tí tờ tr t ỗ ợ
ủ t ý t



t ụ tế s rộ

ét tí t ệ ủ trì trs

0
0

t2 (t)Jà (tx) = f (x), 0 < x < 1,
t

2



(t)J (tx) = g(x), 1 < x < ,

tr ớ s rộ í q

ở Jà , J

(t)

số ũ ớ

tì

f (x), g(x), ,

ss ột

tế ó trì ũ ợ ứ s ó tr
t tr ét tí ợ ủ trì
tr s

ễ ọ ét tí ợ ủ ột số ớ trì
m
m
tí sử ụ t tử Mà , N
m
m

tí Mà,J , Nà,J tr s rộ Hà .
ễ ọ ế ự
q ế é ế ổ tí ể ứ t tử


A[u] = Bà [A(.)u(.)], tr ó u = Bà [u] ế ổ ủ s


ré♥❣

u, A(t)

❧➭ ❜✐Ó✉ tr➢♥❣ ✭s②♠❜♦❧✮ ➤➲ ❝❤♦✳

t♦➳♥ tö ❣✐➯ ✈✐ ♣❤➞♥

A[u]

❚Ý♥❤ ❜Þ ❝❤➷♥ ✈➭ tÝ♥❤ ❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛

➤➢î❝ ✈❐♥ ❞ô♥❣ ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❝➳❝

♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❞➵♥❣





•





∞
0∞
0

A(t)u(t)Jµ (tx) = f (x), x ∈ Ω ⊂ R+ ,

✭✶✵✮

u(t)Jµ (tx) = g(x), x ∈ R+ \ Ω.

❳Ðt tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋♦✉r✐❡r✳ ❚r♦♥❣ ❬✶✶❪ ①Ðt

♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ➤è✐ ✈í✐ tÝ❝❤ ❝❤❐♣ tr➟♥ ❝➳❝ ♥ö❛ trô❝ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣

♣❤➳♣ ❲✐❡♥❡r✲ ❍♦♣❢ ✭P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❤➞♥ tö ❤♦➳✮✱ ♠➭ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜➭✐ t♦➳♥

❜✐➟♥ ❘✐❡♠❛♥♥ ✭①❡♠ ♠ô❝ ✺✳✸✱ tr❛♥❣ ✺✸✮✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② ❝ã t❤Ó ➤➢❛ ✈Ò ♣❤➢➡♥❣

tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋♦✉r✐❡r ❞➵♥❣

F −1 [(1 + K1 (ξ))u(ξ)](x) = f (x), x > 0,
F −1 [(1 + K2 (ξ))u(ξ)](x) = g(x), x < 0

✭✶✶✮

1 + Kj (ξ) = 0, kj (x) = F −1 [Kj (ξ)], f (x) ∈ {0} (j = 1, 2),

✭✶✷✮

✈í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt

tr♦♥❣ ➤ã

{0}

❧➭ ❧í♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ❝ã ❋♦✉r✐❡r t❤✉é❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

L2 (R)

✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥

➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❍♦❧❞❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❜✃t ❦ú ✈➭ t➵✐ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛

±∞

✈➭

f (x) =
•

f (x), x ≥ 0,
g(x), x < 0.

●♦❤❜❡r❣ ■✳ ❈ ✈➭ ❋❡❧✬♠❛♥ ■✳ ❆✳ ❬✶✷❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✶✮ ✈í✐

❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt

f˜(x), kj (x) = F −1 [Kj (ξ)] ∈ L1 (R),

1 + Kj (ξ) = 0, Ind[1 + Kj (ξ)]R = 0 (j = 1, 2),
tr♦♥❣ ➤ã

IndK(ξ)R

❧➭ ❝❤Ø sè ❝ñ❛ ❤➭♠

K(ξ)

✭✶✸✮

✭✶✹✮

tr➟♥ trô❝ t❤ù❝ t❤❡♦ ❝❤✐Ò✉ ❞➢➡♥❣✳

❑Õt q✉➯ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✸✮✲✭✶✹✮ ❧➭ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ➤Ó ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✶✮

❝ã ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣

L1 (R).


Pt ét trì ớ tết
F 1 [K1 ()](x) L1 (R), ecx F 1 [K2 ()](x) L1 (R), tr ó c

số

ó ự tr ỹ tt tử r
tr số tết ột số ị ý ề tí ợ ủ
trì tr tí ợ

ễ ọ P ét tí ợ

ủ trì tí ớ ợ tr ệ



d

A()() sin(x)d, x In , n = 1, N ,
dx 0



A() cos(x)d = 0, x R+ \ N

n=1 In ,



0

= (an , bn ), In Im = , A() tì ớ ột số tết ề
ể tr (), ứ ợ sự tồ t t ệ ủ
trì tr ớ CN (R, {j }). ệ ủ trì ợ

tr ó In

tì ở

2
A() =

ớ ề ệ

N

bj

j (y) sin(y)dy
j=1

aj

bj

j (y)dy = 0, j = 1, N .
aj

2N + 1 ợ ề ệ N trì tí
xy
ột ớ í ln
ố ớ j (y), j = 1, N .
x+y
ề t tì ệ ữ ệ ủ ột ớ

P trì tr ệ

trì q ế tổ ợ ủ ợ ợ
t ợ t ó ệ ủ trì t



ễ ọ ụ tế t tử

tr tự ể ét tí ợ ủ
trì tí rr tr tí ợ ết q
ủ ứ ế ể tr A() ủ trì

f (x) H /2 (), g(x) H /2 (R \ ),
/2
trì ó ệ t tr H
(R).



A() C(1 + ||)

tì ớ ỗ


•

◆➝♠ ✷✵✵✾✱ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ◆❣ä❝ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝❤ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣

➤è✐ ✈í✐ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r ✈í✐ s②♠❜♦❧ t➝♥❣ ❝✃♣

p ∈ N s❛✉ ➤➞② ❬✷✽❪✿

F −1 [|ξ|p A(ξ)u(ξ)](x) = f (x), x ∈ (a, b),
F −1 [u(ξ)](x)
= 0, x ∈ R \ (a, b),

✭✶✻✮

u(ξ) ∈ S ′ ∩ C ∞ (R) ❧➭ ❤➭♠ ❝➬♥ t×♠✱ f (x) ❧➭ ❤➭♠ ➤➲ ❝❤♦ t❤✉é❝ ❦❤➠♥❣
−p/2
❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ H
(a, b). ❍➭♠ ➤➲ ❜✐Õt A(ξ) t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

tr♦♥❣ ➤ã

i) A(ξ) ∈ C ∞ (R), A(−ξ) = A(ξ), ReA(ξ) ≥ 0(≡ 0),
ii) L(ξ) := 1 − A(ξ) = O(|ξ|−q ), |ξ| → ∞, q >> 1.

❑❤✐

p = 2m (m = 1, 2, . . .) ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✻✮ ➤➢î❝ t×♠ ë ❞➵♥❣
1
u(ξ) =
(−iξ)m
b
a

❑❤✐

b

ϕ(t)eiξt dt,

a

tk ϕ(t)dt = 0, k = 0, 1, . . . , m − 1.

p = 2m + 1 (m = 0, 1, 2, . . .)

m

➤➢î❝ t❤❛② ❜ë✐

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ✭✶✻✮ ➤➢î❝ ➤➢❛ ✈Ò ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ

♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤② ➤è✐ ✈í✐ ✈í✐ ❤➭♠

•

✭✶✽✮

♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✻✮ ➤➢î❝ t×♠

t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr➟♥✱ tr♦♥❣ ➤ã tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭✶✼✮✲✭✶✽✮

m + 1.

✭✶✼✮

ϕ(t).

▼í✐ ➤➞② ❇❛♥❡r❥✐ P✳ ❑✳ ✈➭ ❉❡s❤♥❛r ▲♦♦♥❦❡r ❬✷❪ ①Ðt tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ tr♦♥❣

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ ❝ñ❛ ♠ét ❧í♣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❜✐Õ♥
➤æ✐ ▼❡❤❧❡r✲❋♦❝❦










tr♦♥❣ ➤ã

∞
0∞
0

= g1 (α), 0 ≤ α ≤ a,

τ f (τ )P− 21 +iτ (cosh α)dτ

✭✶✾✮

tanh(πτ )f (τ )P− 21 +iτ (cosh α)dτ = g2 (α), α > a,

P− 21 +iτ (cosh α) ❧➭ ❤➭♠ ▲❡❣❡♥❞r❡✳

• ◆❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ❣➬♥ ➤➞② ❝ñ❛ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ◆❣ä❝ ✈➭ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ◆❣➞♥ ❞➭♥❤

❝❤♦ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋♦✉r✐❡r

pF −1 [A(ξ)u(ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω,
p′ F −1 [u(ξ)](x)

= g(x), x ∈ Ω′ = R \ Ω,

✭✷✵✮

tr ó



ột ữ ủ trụ tự

t

A()

u

f, g

ột tr ị ợ ọ

ể tr s ủ ệ trì
ế tr

t tì

p



p

ợt t tử

.

P ứ sử ụ tế t tử ủ
s rộ tr tí ợ ụ ị ý s ề
ế tế tí tụ tr rt ị ý r
ể ứ sự tồ t t ệ ủ ệ trì
r ể ễ ệ tí ợ ể ệ trì tí
rr ề ệ trì tí ỳ ị ệ trì tí
ớ rt ụ tứ trự ệ
trì tí tr ề ệ trì số tế tí
tự t í q
ì ố tợ ứ ủ tí ợ ủ ệ
trì tí q ế ế ổ rr tr ú
t ỉ ề ế trì tí ủ ế tí rr
q t ế trì ỗ ét r
ột số ết q ề tí ợ ủ trì ỗ ó tể tì t
í ụ tr
ét r ợ sử ụ tr ứ tí
ợ ủ trì tí ỗ ó tể t ó
tế s
tế tí tí

tế s rộ
tế t tử ủ s rộ tr
trì tí
trú tổ q

ồ ở ết ệ t


ệ trì ý tết ủ ệ trì

tí rr tr ệ ủ trụ tự ệ
trì sự qt ủ ề ệ trì tr
t ỗ ợ ủ t ý t ột số t ó sẽ ợ trì
tr
r ụ trì ột số ế tứ ổ trợ ế ổ rr ủ
s rộ t
tự t ỳ

(R), Hs (),
Hs, (), Hs (). ứ sự ữ Hs (R) ớ
s

s
(H (R)) ố ủ H (R) ị ý
ụ trì ề t H

s

tự ứ ị ý ề tổ qt ủ ế tế tí tụ
tr

Hs () ị ý ị ý ó trò q trọ tr

ứ tí ợ ủ ệ trì tí ợ ét ở
ụ s
ụ ệ ứ t tử t

(Au)(x) := F 1 [A()u()](x),
A() = ||aij ()||nìn tr n, u = (u1 , u2 , . . . , un )T
t ể ị ủ t ò (u1 , u2 , . . . , un ) u() := F [u] = (F [u1 ], F [u2 ],

. . . , F [un ])T . tr A() ợ ọ ể tr s ủ t tử
A. ự tr ề t ụ tể ú t ị ĩ ớ ủ



ể tr (R), + (R), (R) ị ĩ ề ệ ó

tr ó

trò t tự ề ệ ứ ố ớ t tử t
ớ ể tr

+ (R)

ó trò q trọ tr ệ ự

tí ớ t tr
tụ ủ t tử t

Au

Hs (R)

ớ ể tr

ệ ề í

A() (R)

ợ

ở ệ ề ò tí t tụ ủ t tử ợ ở ệ
ề tí t tr ủ t tử F

1

[A()u()](x) ó

trò q trọ tr ệ ứ tí ợ ủ ệ trì
tí ở ụ tế t


ụ ệ ứ tí ợ ủ ệ trì
tí

pF 1 [A()u()](x) = f (x),
p F 1 [u()](x)

= g(x),

x ,

x := R \ ,



ột ệ tr R, u() =
(
u1 (), u2 (), . . . , un ())T t tì f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . ,
fn (x))T (D ())n , g(x) = (g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x))T (D ( ))n ữ

t ột ị tr t ứ A() = ||aij ()||nìn tr

ợ ọ ể tr ủ ệ trì p p ợt

t tử ế tr t ứ ệ tr

tr ó

ệ trì tí ợ ét ớ tết s

A() (R), A() tr ị ớ ọ R,
f (x) H/2 (), g(x) H/2 ( ).



u() ợ tì ớ u() = F [u](), tr ó u H/2 (R).
ứ ợ sự tồ t t ệ ủ ệ trì
tí tr trờ ợ tr

A() + (R)

trờ ợ tr

A() (R) tr t tí ợ ủ s

rộ ị ý ị ý ị ý ị ý

ệ trì ề ột số ớ ệ trì tí
t ệ ột số t ỗ ợ ố ớ trì ề

s ề tr ề ì
r ú t ét ột số t ỗ ợ ủ
trì ề s ề tr ề ì ề ệ
ợ ẽ tr s s ớ trụ Ox ủ ề
ì
ụ ệ ứ ề ệ trì ớ ể tr
t ột r ụ trì t ỗ ợ
ụ ét ột ệ trì tí ớ ể tr t ột
ủ ột t ỗ ợ ố ớ trì ề tr ề ì


❞➯✐ ❦❤✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜✐➟♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ✭➤➵♦ ❤➭♠ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥✮ ➤➢î❝ ❝❤♦ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣
❤÷✉ ❤➵♥

(a, b), ❝ß♥ ë ♥❣♦➭✐ ❦❤♦➯♥❣ ➤ã t❤× ❝❤♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜✐➟♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ❇➺♥❣

♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❋♦✉r✐❡r ➤➲ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥
✭▼ô❝ ✷✳✶✳✷✮✳ ▼ô❝ ➤Ý❝❤ q✉❛♥ trä♥❣ ❧➭ ➤➲ t❤✐Õt ❧❐♣ tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥✿ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ s✉② ré♥❣✱ ➤ã
❧➭ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶ ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷ ✭▼ô❝ ✷✳✶✳✸✮✳ ❚r♦♥❣ ▼ô❝ ✷✳✶✳✹ ✈í✐
✈✐Ö❝ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝➳❝ ❤➭♠ um (x),

1
um (x) =
2

b
a

m = 1, 2 q✉❛ ❝➳❝ ❤➭♠ ♣❤ô trî t❤Ý❝❤ ❤î♣

vm (t)s✐❣♥(x − t)dt, vm ∈ L2ρ (a, b) ⊂ H◦−1/2 (a, b), m = 1, 2,

➤➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♥➭② ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ✈í✐
♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤② ✭❍Ö ✭✷✳✶✷✮ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥✮






tr♦♥❣ ➤ã

1
πi

b
a

vm (t)dt
+
x−t

2

b
a

vk (t)ℓmk (x − t)dt = −ifm (x),

k=1


 vm (t) ∈ L2 (a, b), m = 1, 2;
ρ

a < x < b,

−i ∞ e−ξh
ℓ11 (x) = ℓ22 (x) =
sin(ξx)dξ,
π 0 sinh(ξh)
i ∞ sin(ξx)
ℓ12 (x) = ℓ21 (x) =
dξ.
π 0 sinh(ξh)
❱❐♥ ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤❛ t❤ø❝ trù❝ ❣✐❛♦ ❬✸✻✱ ✸✼❪ ➤Ó ➤➢❛ ❤Ö ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ✈í✐ ♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤② ✈Ò ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥
tÝ♥❤✳ ➜➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✷✮ ✈➭ ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐
sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭✷✳✸✵✮ ❧➭ t➢➡♥❣ t➢➡♥❣ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺✮✳ ❚r♦♥❣ ❝➳❝ ❇æ ➤Ò ✷✳✷ ✈➭ ❇æ
➤Ò ✷✳✸ ➤➲ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝➳❝ ❤Ö sè ❝ñ❛ ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤
✭✷✳✸✼✮✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✻ ✈Ò ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥
tÝ♥❤ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ t❤✉é❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ℓ2 ✱ ♥❣♦➭✐ r❛ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ♥➭② ❧➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tù❛ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❝❤Ý♥❤ q✉✐ ✭▼ô❝ ✷✳✶✳✺✮✳ ◆é✐ ❞✉♥❣
❝ñ❛ ♠ô❝ ♥➭② ➤➲ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❚➵♣
❚❤➳✐ ♥❣✉②➟♥

❝❤Ý ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö✱ ➜➵✐ ❤ä❝

✈➭ tr♦♥❣ ❦û ②Õ✉ ❍é✐ t❤➯♦ q✉è❝ tÕ ✧❇❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❧❡❝t✉r❡s ♦❢


t❤❡

17th ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ❋✐♥✐t❡ ❛♥❞ ■♥❢✐♥✐t❡ ❉✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❈♦♠♣❧❡①

❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✧✳
▼ô❝ ✷✳✷ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ò ♠ét ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❣➷♣ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥
❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣ ➤è✐ ✈í✐ ❞➯✐ ➤➭♥ ❤å✐✳ ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝➳❝ ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ❝ñ❛ ❝❤✉②Ó♥
✈Þ ✈➭ ø♥❣ s✉✃t q✉❛ ❤❛✐ ❤➭♠ ➤✐Ò✉ ❤♦➭✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➢î❝ ➤➢❛ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣
tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤è✐ ✈í✐ ✈Õt ❝ñ❛ ❝➳❝ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ tr➟♥ ❜✐➟♥ ✈í✐ ❜✐Ó✉
tr➢♥❣ t➝♥❣ ❝✃♣ ♠ét ♥❤➢ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ➤➲ ❣➷♣ tr♦♥❣ ▼ô❝ ✷✳✶✱
♥❤➢♥❣ ❜✐Ó✉ tr➢♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② t❤× ❝ã ❝✃✉ tró❝ ♣❤ø❝ t➵♣ ❤➡♥ r✃t ♥❤✐Ò✉✳
▼ô❝ ✷✳✷✳✸ tr×♥❤ ❜➭② tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥✳ ❈❤ø♥❣
♠✐♥❤ ♠❛ tr❐♥

A◦ (ξ) ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✭❇æ ➤Ò ✷✳✹✮✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù

tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✭✷✳✺✹✮ ✭➜Þ♥❤ ❧ý
✷✳✼✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✽✮✳ ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr♦♥❣ ▼ô❝ ✷✳✶✳✹ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝➳❝ ❤➭♠

um (x), m = 1, 2 q✉❛ ❝➳❝ ❤➭♠ ♣❤ô trî t❤Ý❝❤ ❤î♣ ➤➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤
♣❤➞♥ ✭✷✳✺✹✮ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦ú ❞Þ ✈í✐ ♥❤➞♥ ❈❛✉❝❤② ✭▼ô❝ ✷✳✷✳✹✮✳
▼ô❝ ✷✳✷✳✺ tr×♥❤ ❜➭② ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ✈Ò ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✻✷✮ ✈➭ ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥
tÝ♥❤ ✭✷✳✻✾✮ ❧➭ t➢➡♥❣ t➢➡♥❣ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✵✮✳ ❚r♦♥❣ ❝➳❝ ❇æ ➤Ò ✷✳✻ ✈➭ ❇æ ➤Ò ✷✳✼
➤➲ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝➳❝ ❤Ö sè ❝ñ❛ ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭✷✳✻✾✮✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝ ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭✷✳✻✾✮ ❝ã ❞✉②
♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ t❤✉é❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ℓ2 ✱ ♥❣♦➭✐ r❛ ❝ß♥ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭②

❧➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tù❛ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❝❤Ý♥❤ q✉✐ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✶✮✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ♠ô❝
♥➭② ➤➲ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è tr♦♥❣ t➵♣ ❝❤Ý ❱✐❡t♥❛♠ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✳
▼ô❝ ✷✳✸ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ ❜✐Ó✉ tr➢♥❣ ❣✐➯♠
❝✃♣ ♠ét✱ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ò ♠ét ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❣➷♣ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥
❤ç♥ ❤î♣ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❤♦➭✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝ã ♥❣✉å♥ ❣è❝ tõ ❜➭✐ t♦➳♥
♠➠ t➯ sù ✉è♥ ❝ñ❛ t✃♠ ❤×♥❤ ❞➯✐ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❜ë✐ ❝➳❝ ❝➵♥❤ y

= 0, y = h ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
♥❣➭♠ ❝❤♦ tr➟♥ ❝➳❝ ❦❤♦➯♥❣ |x| < a ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❣è✐ tù❛ ❝❤♦ tr➟♥ |x| ≥ a ➤➢î❝

tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ▼ô❝ ✷✳✸✳✶✳ ▼ô❝ ✷✳✸✳✸ tr×♥❤ ❜➭② tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✭✷✳✶✵✻✮✳ ❙ö ❞ô♥❣ ❇æ ➤Ò ✷✳✽ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ✭✷✳✶✶✵✮ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✸✮✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✹✱
➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✶✵✮✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐


❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✽✶✮✲✭✷✳✽✺✮ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✺✮✳ ▼ô❝ ✷✳✸✳✹ tr×♥❤ ❜➭②
♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➢❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥
♥❤➞♥ ❧♦❣❛r✐t❤♠ tr➟♥


1





2π







1




2π








a

ln
−a

(−a, a) ✭❍Ö ✭✷✳✶✷✼✮ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥✮
1
u1 (t)dt
x−y

a

+
−a
a

+

a

1
ln
u2 (t)dt+
x
−
y
−a

a
−a

−a

u1 (t)k11 (x − t)dt
u2 (t)k12 (x − t)dt = f1 (x),

u1 (t)k21 (x − t)dt
a

+
−a

u2 (t)k22 (x − t)dt = f2 (x),

tr♦♥❣ ➤ã

a

um (ξ) = F [um ](ξ) =
−a

eitξ um (t)dt, suppum ⊂ [−a, a], m = 1, 2,

πx
1
k11 (x) = k22 (x) = ln x coth
2π
4h
∞
1
2a∗11 (ξ) − tanh(ξh)
+
cos(ξx)dξ,
2π 0
ξ
1 ∞ a∗12 (ξ)
k12 (x) = k21 (x) =
cos(ξx)dξ.
π 0
ξ
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✭✷✳✶✷✻✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❤Ö
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♥❤➞♥ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ✭✷✳✶✷✼✮ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✻✮✳ ▼ô❝ ✷✳✸✳✺ tr×♥❤

❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➢❛ t✐Õ♣ ✈Ò ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✼ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✭✷✳✶✷✼✮ ✈➭ ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭✷✳✶✸✽✮ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝➳❝ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✶ ✈➭
❇æ ➤Ò ✷✳✶✷ ➤➲ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝➳❝ ❤Ö sè ❝ñ❛ ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥
tÝ♥❤ ✭✷✳✶✹✷✮✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✽ ✈Ò ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐
sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ t❤✉é❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ℓ2 ✱ ♥❣♦➭✐ r❛ ❝ß♥ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤
❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② ❧➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tù❛ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❝❤Ý♥❤ q✉✐✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛
♠ô❝ ♥➭② ➤➲ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è tr♦♥❣ t➵♣ ❝❤Ý

❆❝t❛ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ ❱✐❡t♥❛♠✐❝❛✳

▼ô❝ ✷✳✹ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ ❜✐Ó✉ tr➢♥❣ t➝♥❣ ✲
❣✐➯♠ ❝✃♣ ♠ét✱ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ò ♠ét ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝➷♣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❣➷♣ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥
❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣ t❤ø ❤❛✐ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤✐Ò✉ ❤♦➭ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ❤×♥❤ ❞➯✐ ❦❤✐ tr➟♥