Đề và đáp án sơ lược đề thi vào 10 Nguyễn Du DakLak

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐĂK LĂK

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 26/6/2009

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (3 điểm)
1) Giải pgương trình: (x 2 + 2x + 64)( x2 + 2x + 27) = 2010
Đặt t = x2 + 2x, phương trình trở thành:
(t + 64)(t + 27) = 2010

t2 + 91t – 282 = 0
 t 3
 1
t2   94
 x2  2x  3  0
Khi đó ta có  2
 x  2 x  94  0

1
 2

Phương trình (1) có x1 = 1; x2 = -3
Phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 = 1; x2 = -3
2

7
 3
 x  y  2x  y  3
2) Giải hệ phương trình 
 1  3 2
 x  y 2 x  y
ĐK: x  y  0; 2 x  y  0
1
1
Đặt u 
 0; v 
 0 , hệ đã cho trở thành
2x  y
x y

7

u 1
3u  2v 


3


1 (TMĐK)
 u  3v  2
v  3
 1
 x  y 1
 x  y 1

x  2
Khi đó ta có: 
(TMĐK)


2 x  y  3  y  1
 1 1
 2 x  y 3
x  2
Vậy hệ có một nghiệm là 
 y 1

Bài 2: (2 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y =
2kx + k2 – k + 1
1) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
x 2 – 2kx – k2 + k – 1 = 0 (*)
2

1
7
Ta có: ’ = k2 + k2 – k + 1 = 2k2 – k + 1 = 2  k     0, k


4

8

Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Tri nh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - gi ới thiệu)

trang 1


Nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k. Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt với mọi k.
2) Gọi x 1, x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm k để x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
x 1, x2 là hai nghiệm của (*).
3

1

2

3

Theo Viet ta có: x1x2 = – k2 + k – 1 =    k     . Dấu “=” xảy ra khi k
4 
2
4
=

1
.
2

Bài 3: (2,0 điểm)
1) Tìm x và y nguyên sao cho
Ta có

x2
 y2  1
4

x2
 y 2  1  x 2  4 y 2  4   x  2 y  x  2 y   4
4

Vì x, y  Z nên x – 2y  Z và x + 2y  Z, mặt khác x – 2y và x + 2y cùng tính chẵn
lẻ. Từ đó ta có bảng sau:
x – 2y
2
-2
x + 2y
2
-2
x
2
-2
y
0
0
Vậy các cặp số nguyên (x, y) cần tìm là (2; 0) và (-2; 0)
2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a3 + b3 + c3 + 2abc < a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2)
Ta có
a3 + b3 + c3 + 2abc < a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2)
 ab2 + ac2 + bc2 + a2b + a2c + b 2c – a3 – b3 – c3 – 2abc > 0
 (a2b + a2c – a3) + (b2c + bc2 – b3 – c3) + (ab 2 + ac2 – 2abc) > 0
 a2(b + c – a) – (b + c)(b – c)2 + a(b – c)2 > 0

 a2(b + c – a) – (b – c)2(b + c – a) > 0
 (b + c – a)[a2 – (b – c)2] > 0
 (b + c – a)(a + b – c)(a + c – b) > 0 (*)
(*)đúng vì b + c – a > 0, a + b – c > 0, a + c – b > 0. Vậy bất đẳng thức được chứng
minh.
Bài 4: (2 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =
2 (cm), 
ACB  450 . Tính thể tích hình được tạo thành
khi quay tam giác ABC một vòng quanh BC.
Tam giác ABC vuông cân tại A, nên khi quay tam giác
ABC quanh BC hình thu được gồm hai hình nón có thể
tích bằng nhau.
Ta có thể tích V hình tạo thành được tính
1
V  2    OA2  OC
3

Tính được OA2 = 1; OC = 1.
2
3

Vậy V    cm3 

Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Tri nh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - gi ới thiệu)

trang 2


2) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Gọi M, N là tiếp tuyến chung

của (O) và (O’) (M  (O), N  (O’)). Chứng minh AB đi qua trung điểm I của MN.
Gọi I là giao điểm của AB và MN.
Xét AIM và MIB, ta có:
  IMB
 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp
IAM
tuyến và dây cùng chắn cung MB của (O))

 (góc chung)
AIM  MIB
Vậy AIM MIB (g.g)
Nên

IM
IB

IA IM

 IM 2  IA  IB 1

Chứng minh tương tự có AIN
Nên

IN IB

IA IN

NIB (g.g)

 IN 2  IA  IB  2 

Từ (1) và (2)  IM = IN. Do đó AB đi qua trung điểm của MN (đpcm)
Bài 5: (1 điểm)
Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BC không song song với AD. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của BC và AD. Đường thẳng MN cắt AB tại I và cắt CD tại J.

Chứng minh: 
AIN  DJN
Gọi K là trung điểm AC, ta
có KM là đường trung bình
ABC, suy ra KM // AB và
KM =

1
AB
2

Tương tự KN là đường trung
bình ACD, suy ra KN //
CD và KN =

1
CD.
2

  KNM
 1
mà AB = CD (gt)  KM = KN. Vậy KMN cân tại K, nên KMN

  AIN

  2
lại có KM // AB (cmt)  KMN
  DJN
  3
KM // CD (cmt)  KNM

Từ (1), (2), (3) suy ra 
AIN  DJN

Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Tri nh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - gi ới thiệu)

trang 3