chuyên đề lượng giác ôn thi đại học rất hay file pdf

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn
Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC

A. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Các công thức biến đổi:
1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau:
cos(-x) = cosx;
sin(-x) = -sinx;
tg(-x) = - tgx;
cotg(-x) = - cotgx
* Cung bù nhau:
cos( π - x) = - cosx
sin( π - x) = sinx
tg( π - x) = - tgx
cotg( π - x) = -cotgx
* Cung phụ nhau:
π
2

cos(  x ) = sinx

π
2

sin(  x ) = cosx

π
2

tg(  x ) = cotgx

π
2

cotg(  x ) = tgx

* Cung hơn kém nhau π :
cos( π + x) = - cosx
sin( π + x) = - sinx tg( π - x) = tgx
cotg( π - x) = cotgx
2) Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb
cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa
sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa
tg(a + b) =

tga  tgb
1  tgatgb

tg(a - b) =

tga  tgb
1  tgatgb

3) Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina cosa; cos2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a = cos2a - sin2a;
4) Công thức hạ bậc:

1
cos2 a  (1  cos 2a ) ;
2

1
(1  cos 2a ) ;
2
a
5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg
2

sin a 

2t

;

cos a 

sin 2 a 

1 t2

;

tga 

tg 2 a 

tg2a =

2 tga
1  tg 2 a

1  cos 2a
1  cos 2a

2t

1 t2
1 t2
1 t2
6) Công thức biến đổi tổng thành tích:
ab
ab
ab
ab
cos a  cos b  2 sin
sin
cos a  cos b  2 cos
cos
;
2
2
2
2
ab
ab
ab
ab

sin a  sin b  2 cos
sin
sin a  sin b  2 sin
cos
;
2
2
2
2
sin(a  b)
sin(a  b)
tga  tgb 
;
tga  tgb 
cos a. cos b
cos a. cos b
7) Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b) 2sinasinb
= cos(a - b) - cos(a + b)
2sinacosb
= sin(a - b) + sin(a + b)
Bài tập:
Bài 1: Chứng minh:
 x


tg  1  sin x 
2 cos x  2 cos  x 
4 2
4

  tgx
 cot gx
a)
b)
sin x


2 sin  x   2 sin x
4


1


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

c) cos3asina - sin3acosa =

sin 4a
4

(1  tga ) 2  2tg 2 a
 sin 2a  cos 2a
2
1  tg a

d)

5x
3x
7x
x
cos  sin sin  cos x cos 2x
2
2
2
2
x
x
2 sin 2  3 cos2  2
2
2
B=
2
2
sin 2x (1  cot g 2x )

e) sin 5x  2 sin x(cos 4x  cos 2x)  sin x g) cos
Bài 2: Rút gọn: A =

sin 2a  sin 5a  sin 3a
1  cos a  2 sin 2 2a

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các dạng phương trình đã biết cách giải tổng quát:
1) PTLG cơ bản:
 u  v  k 2
sin u  sin v  

; cou  cos v  u   v  k 2
 u    v  k 2
tgu  tgv  u  v  k
; cot gu  cot gv  u  v  k

2) PT bậc nhất, bậc hai, ... theo một HSLG
3) Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu: asinu + bcosu = c
- Cách giải: Chia hai vế cho

a

a 2  b 2 . Đặt:

a b
2

2

 cos ;

b
a  b2
2

 sin 

- Điều kiện có nghiệm: a 2  b 2  c 2
4) Phương trình đẳng cấp: a sin 2 u  b sin u cos u  c. cos2 u  0
- Xét cosu = 0
- Trường hợp cosu  0 , chia hai vế của phương trình cho cos2u

5) Phương trình theo sin u  cos u và sinu.cosu:
- Đặt t = sin u  cos u , suy ra: sinu.cosu = 

4

t2 1
2

- Lưu ý: sin u  cos u  2 sin(u  ) , u  2
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:

5

a) tg( x  )  cot gx  0

b) cos(1150 - 2x) = -sin3x

c) tgx.cotg3x = 1

Bài 2: Giải các phương trình:
3
0
4

1


 5
d) cos 2 x    4 cos  x  

e) cos 2x  2 sin 2x  tgx   0
3
2

6
 2

a) cos2x + 9cosx + 5 = 0

b) sin 2 2x  2 cos2 x 

Bài 3: Giải các phương trình:
a) sin x  3 cos x  2

b) sin(


 2x ) 
2

c) sin 2x  4tgx 

9 3
2

3 sin(  2x )  1

2

Gia sư Thành Được



www.daythem.com.vn


4





4

c) 2 sin x    sin x   
cos2 x  3 sin x cos x 

3 3
x
d) 8 sin 2  3 sin x  4  0
2
2

e)

3
2

Bài 4: Giải các phương trình

a) sin 2 x  sin 2x  2 cos2 x 
c) 8sin2x.cosx =

1
2

b) sin 3 x  2 sin 2 x. cos x  3 cos3 x  0

3 sinx + cosx

Bài 5: Giải các phương trình:
a) 2(sinx + cosx ) + 3sin2x - 2 = 0
c) sin 3 x  cos3 x  1  ( 2  2) sin x cos x
e) 1 - sin2x = |cosx + sinx|

x
x
2
2
d) 5(sin x  cos x)  sin 3x  cos 3x  2 2 (2  sin 2x)

b) sin x  2 2 (sin  cos )  3  0

Một số gợi ý giải phương trình lượng giác:
- Đối với một PTLG tổng quát, trong quá trình giải ta cố gắng dùng các công thức lượng giác
thích hợp để đưa về PTLG đã biết cách giải tổng quát ở trên hoặc là tích của các phương trình đó.
- Trong quá trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích A.B = 0 trước, sau đó là ưu tiên đưa
về cùng một góc lượng giác.
- Nếu trong phương trình có chứa mẫu thức hoặc tg, cotg thì phải đặt điều kiện trước khi giải.
Tùy theo trường hợp mà điều kiện có thể để nguyên phương trinh lượng giác cơ bản hay giải tường

minh ra x.
- Nếu đưa được PT về theo một hàm lượng giác của cùng một góc thì dùng ẩn phụ (với điều
kiện tương ứng).
- Nếu trong phương trình chỉ chứa tgx và sin2x, cos2x, tg2x, cotg2x hoặc chỉ chứa toàn bộ các
hàm lượng giác của cùng góc x thì đặt t = tgx. (Nếu Pt bậc n thu được giải được)
Lưu y: Các nhận xét trên chỉ mang tính chất tương đối, nhiều phương trình phải dựa vào đặc
trưng riêng của phương trình đó mà đưa ra cách giải thích hợp.
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) cos2 2x  2(cos x  sin x) 3  3sin 2x  3  0

1
cos x
d) 5 + cos2x = 2(2 - cosx)(sinx -cosx)
f) 2 sin 3 x  cos 2x  cos x  0
h) cos 2x  3 sin 2x  3 sin x  cos x  4 = 0
j) cos3 x  sin x  3 cos x sin 2 x  0

b) 3 sin x  2 cos x  3(1  tgx ) 

c) 4(sin 3x  cos 2x)  5(sin x  1)
e) sin x  4 sin 3 x  cos x  0
g) sin 3 x cos3x  cos3 x sin 3x  sin 3 4x
i) cos3x + cos2x + 2 sinx - 2 = 0
Bài 7: Giải các phương trình sau:
1  cos 2x
cos x  2 sin x cos x
 3
a) 1  cot g 2x 
b)
sin 2 2x

2 cos2 x  sin x  1
cot g 2 x  tg 2 x
1
 16(1  cos 4x )
c)
d) 2tgx  cot gx  2 sin 2x 
sin 2x
cos 2x
Bài 8: Giải các phương trình sau:
cos 3x  sin 3x 

a) 5 sin x 
  cos 2x  3 b) sin 2 3x  cos2 4x  sin 2 5x  cos2 6x (B-2002)
1  2 sin 2x 


3


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn
sin 4 x  cos 4 x 1
1
 cot g 2x 
d)
5 sin 2x
2
8 sin 2x

c) cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0

(2  sin 2 2x ) sin 3x
f) 3 - tgx(tgx + 2sinx) + 6cosx = 0
cos4 x
cos 2x
1
 sin 2 x  sin 2x (A-2003)
g) cot gx  1 
h) cos2x + cosx(2tg2x - 1) = 2
1  tgx
2
2
i) cot gx  tgx  4 sin 2x 
(B-2003)
j) 3cos4x - 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0
sin 2x
e) tg 4 x  1 

Bài 9: Giải các phương trình sau:
 
 3

a) cos4 x  sin 4 x  cos x   sin  3x     0
4 
4 2

b) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
c) cos23xcos2x - cos2x = 0
Bài 10: Giải các phương trình sau:

6
6
a) 2(cos x  sin x)  sin x cos x  0 (A-2006)
2  2sin x
c) cos3x + cos2x –cosx –1 = 0
(D-2006)
e)

cos x  sin 2 x
 3
2 cos2 x  sin x  1

g (sin4x + cos4x) + sin4x – 2 = 0







(D - 2005)
(B - 2005)
(A - 2005)

b) cot gx  sin(1  tgx.tg x )  4 (B-2006)
2
d) cos7x + sin8x = cos3x –sin2x
4 x
4 x
sin

-cos
f)
2
2 = 1+sin2x
π
sin2x
2sin 2 (x+ )
4
h) sin3x + cos3x = 2(sinx + cosx) –1



i) cos 2 (x  )  cos 2 (2x  )  cos 2 (3x  )  3 cos
2
2
2
6
Bài 12: Giải các phương trình
sin 3x sin 5x

a) 3(cotgx - cosx) - 5(tgx - sinx) = 2
b)
3
5
1
Bài 13: Định m để phương trình: sin 4 x  cos 4 x  cos 2x  sin 2 2x  m  0 có nghiệm
4
Bài 14:Giải các phương trình sau :
a) (KA-2007) (1  sin 2 x) cos x  (1  cos2 x) sin x  1  sin 2x
b) (KB-2007) 2 sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x

2

x
x

c) (KD-2007)  sin  cos   3 cos x  2
2
 2
1
1
 7

d) (KA-2008)

 4 sin
 x
3 
sin x

 4

sin x 

2 


e) (KB-2008) sin3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin 2 x cos x
f) (KD-2008) 2 sin x(1  cos 2x)  sin 2x  1  2 cos x
Bài 15:Giải các phương trình sau (các đề thi dự bị)
23 2

a) (K.A-2006) cos 3 x cos3 x  sin 3 x sin 3 x 
8
4


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

3x
 5x  
x 
   cos    2 cos
2
 2 4
2 4
sin 2 x cos 2 x

 tan x  cot x
c) (K.B-2007)
cos x
sin x
d) (K.A-2007) 2 cos2 x  2 3 sin x cos x  1  3(sin x  3 cos x)
1
1

 2 cot 2 x
e) (K.A-2007) sin 2 x  sin x 
2 sin x sin 2 x

b) (K.B-2007) sin

5