chuyên đề mặt cầu oxyz luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (590.08 KB, 24 trang )
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
CHUYÊN ĐỀ VỀ MẶT CẦU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
* Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi .
* Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu .
* Khoảng cách không đổi là R : Gọi là bán kính của mặt cầu .
2. Phương trình của mặt cầu :
- Giả sử điểm cố định I=(a;b;c) và R là khoảng khơng đổi M=(x;y;z) thì theo định nghĩa :
IM R
x a y b z c
2
2
2
R x a y b z c R2
2
2
- Nếu khai triển (1) ta có :
x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 a 2 b 2 c 2 R 2 d 0
2
1
2
- Như vậy (1) và (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu . Riêng trường hợp phương
trình (2) muốn là phương trình của mặt cầu thì phải thỏa mãn điều kiện :
R 2 a 2 b2 c2 d 0
*
3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 tiếp xúc với cầu (S) thì :
Khoảng cách từ tâm I của cầu đế mặt phẳng (P) phải bằng bán kính của (S) :
h I; P
aA bB cC D
A2 B 2 C 2
R
3
Khi đó mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của cầu (S) .
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
BÀI TỐN 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU .
Để lập được phương trình mặt cầu ta phải biết tọa độ của tâm I của cầu : ( Có ba ẩn số - là
ba tọa độ của I ) và biết bán kính của R của mặt cầu , như vậy có bốn ẩn số . Vì thế bài
tốn đã cho ta phải thiết lập được bốn phương trình thì ta mới giải được .
Đặc biệt khi tâm I của mặt cầu mà nằm trên một đường thẳng d , thì ta chuyển đường
thẳng d sang tham số , vì vậy ba tọa độ của I ta biểu diễn qua ẩn t , sau đó ta chỉ cần tìm
một phương trình nữa là đủ .
Sau đây chúng ta cùng nhau tham khảo một số dạng toán hay gặp trong các kỳ thi tôt
nghiệp cũng như thi đại học trong những năm gần đây .
1. Lập (S).đi qua bốn điểm :
Bước 1: Viết phương trình của (S) dạng (2).
Bước 2: Cho (S) đi qua lần lượt bốn điểm ta được bốn phương trình .
Bước 3: Giải hệ bốn phương trình tìm được , suy ra bốn ẩn là : a,b,c và d .
Bước 4: Thay bốn ẩn tìm được vào (2) ta suy ra phương trình của (S).
VÍ DỤ MINH HỌA
Trang 1
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
Ví dụ 1. ( TN-02-03).
Trong khơng gian với tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A,B,C,D có tọa độ xác định bởi hệ thức
A(2;4;-1) , OB i 4 j k ; C (2; 4;3); OD 2i 2 j k .
1/ Chứng minh rằng : AB AC, AC AD, AD AB . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2/ Viết phương trình tham số đường vng góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (ABD) .
3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phương trình tiếp diện
của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .
GIẢI
1/ Chứng minh rằng : AB AC, AC AD, AD AB . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Ta có : A(2;4;-1),B(1;4;-1),C(2;4;3) và D(2;2;-1) suy ra :
AB 1;0;0
AB AC 0
AC 0;0; 4 AC. AD 0 AB AC; AC AD, AD AB.
AD. AB 0
AD 0; 2;0
2/ Viết phương trình tham số đường vng góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
(ABD) .
y
Do là đường vng góc chung cho nên :
D
N
A
E
I
z
J
x
C
B
0 0 0 1 1 0
AB
u AB, CD
;
;
CD
2 4 4 0 0 2
x 2
0; 4; 2 / / u 0; 2; 1 : y 4 2t
z 1 t
Vì : CD 0; 2; 4 và qua A(2;4;-1).
- Mặt phẳng (ABD) qua A(2;4;-1) có
n AC 0;0; 4 / / k 0;0;1 ABD : z 1 0
- Gọi ; ABD sin cos u , k
u .k
u k
1
4 1.1
1
5
3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phương trình tiếp diện
của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .
Cách 1:
Gọi (S) : x 2 y 2 z 2 2ax-2by 2cz d 0 a 2 b 2 c 2 R 2 d 0 2
- (S) qua A(2;4;-1) suy ra : 4a +8b-2c-d= 21 (1)
- (S) qua B(1;4;-1) suy ra : 2a +8b-2c-d= 18 (2)
- (S) qua C(2;4;3) suy ra : 4a +8b+6c-d= 29 (3)
Trang 2
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
- (S) qua D(2;2;-1) suy ra : 4a +4b-2c-d= 9 (4)
Như vậy giải hệ bốn phương trình trên ta có :
3
1
a ; b 4, c 1; d 8 S x 2 y 2 z 2 3x 8 y z 8 0
2
2
Cách 2:
3
2
- Tâm của đường tròn đáy của tam giác (ABC) là J là trung điểm của BC , suy ra J( ; 4;1 )
- Lập phương trình đường thẳng d qua J và vng góc với (ABC) cho nên d có véc tơ chỉ
3
x
2
phương u k 0;0;1 : y 4
z 1 t
- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua K(2;3;-1) là trung điểm của AD và vng góc với
AD suy ra (P) có véc tơ pháp tuyến là k 0;0;1 P : z 1 0 .
- Tâm I của cầu (S) là giao của d với (P) cho nên I có tọa độ là nghiệm của hệ :
3
x 2
3
y 4 1 t 1 0 t 0 I ; 4;1
2
z 1 t
z 1 0
2
2
1
5
3
1 5
2
- Tính bán kính R bằng IA = 4
S : x y 4 z
4
2
2
2 4
Ví dụ 2.( TN : 2003-2004 )
Trong không gia tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2) và D(4;-1;2).
1. Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện .
2. Gọi A’ là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.
3. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
GIẢI
1. Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện .
AB 0; 4;0
4 0
- Ta có : AC 3; 4;0 AB, AC AD 3.
0 A,B,C,D đồng phẳng .
4
0
AD 3;0;0
2. Gọi A’ là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.
- Nếu A’ là hình chiếu của A trên (Oxy) thì A’(1;-1;0).
- Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm thì (S):
Trang 3
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
x 2 y 2 z 2 2ax-2by 2cz d 0 a 2 b 2 c 2 R 2 d 0
*
- (S) qua A’(1;-1;0) thì : 1+1-2a+2b+d=0 ; hay : 2a-2b-d=2 (1)
- (S) qua B(1;3;2) thì : 1+9+4-2a-6b-4c+d=0 ; hay : 2a+6b+4c-d=14 (2)
-(S) qua C(4;3;2) thì : 16+9+4-8a-6b-4c+d=0 ; hay : 8a+6b+4c-d=29 (3)
-(S) qua D(4;-1;2) thì : 16+1+4-8a+2b-4c+d=0 ; hay : 8a-2b+4c-d =21 (3).
Từ bốn phương trình trên ta có một hệ .
Giải hệ ta tìm được : a=5/2,b=2,c=1 và d=-1 . Thay vào (*) :
S : x 2 y 2 z 2 5x-4 y 2z-1 0
3. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
Nếu (P) là tiếp diện của (S) tại A’(1;-1;0) thì : IA ;3;1 / / n 3;6; 2 làm véc tơ pháp
2
tuyến . Cho nên (P): 3(x-1)+6(y+1)+2z=0 ; Hay (P): 3x+6y+2z+3=0 .
Ví dụ 3.(ĐH-KD-2008) .
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3).
Viét phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D ?
3
GIẢI
Gọi phương trình của (S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0
2
2
2
*
Nếu (S) qua bốn điểm A,B,C,D thì ta thay tọa độ bốn điểm vào (*) ta có hệ :
3
a 2
6b 6c d 18
a b 0
3
2
2
2
6a 6c d 18
d 0
3
3
3
27
b
S
:
x
y
z
2
2
2
2
4
6b 6c d 18
6a 9
3
c
6a 6b 6c d 27
6b 9
2
d 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. ( ĐHQG-KA-98 ).
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A(a;0;0),B(o;b;0),C(o;o;c) ( a,b,c>0 ). Dựng hình hộp
chữ nhật có O,A,B,C làm bốn đỉnh . Gọi D là đỉnh đối diện của O .
1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABD)
2. Tìm tọa độ hình chiếu của C lên mặt phẳng (ABD)
3. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ?
Bài 2.( HVCNBCVT-99).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a với A(a;0;0)
,D(0;0;0),C(0;a;0),D’(0;0;a). Gọi M là trung điểm của AD, N là tâm hình vng CC’D’D.
1. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN ?
2. Gọi (P) là mặt phẳng qua (BMN) . Tính diện tích thiết diện hình lập phương tạo bới
mặt phẳng (BMN) ?
Bài 3.( HVHCQG-2000)
Trang 4
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
Trong khơng gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ sao cho A trùng với gốc
tọa độ O ,B(1;0;0),D(0;1;0),A’(0;0;1) . Gọi M là trung điểm của AB , N là tâm hình vng
ADD’A’ .
1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm C,D’M,N ?
2. Tìm bán kính đường trịn (C ) là giao của (S) với mặt mặt cầu (S’) đi qua A’BC’D ?
3. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương tạo bởi mặt phẳng (CMN).
Bài 4. ( ĐHAn Giang-2001).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bên BB’,CC’,DD’. Với AB=a ,hai
điểm M,N trên CC’sao cho CM=MN=NC’. Xét mặt cầu (K)đi qua bốn điểm A,B’M và N.
1. Chứng minh các điểm A’,B thuộc mặt cầu (K)
2. Tính độ dài bán kính của mặt cầu (K).
Bài 5. ( BK-KD-2011).
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên các dường thẳng vng góc với
mặt phẳng (P) tại B và C lấy hai điểm D và E nằm về cùng một phía đối với mp(P) sao cho
BD
a 3
, CE a 3 .
2
1. Tính độ dài cạnh AD ,AE và DE của tam giác ADE
2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE ?
Bài 6.(ĐHCĐ-2001).
Trong không gian Oxyz , cho A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3) và H là hình chiếu vng góc của
O trên mặt phẳng (ABC).
1. Tính diện tích tam giác ABC và độ dài OH
2. Gọi D là điểm đối xứng với O qua H . Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện đều .
Tính thể tích tứ diện ABCD ?
3. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ?
Bài 7. ( ĐHKTCN-2001).
Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(3;6;-2),B(6;0;1),C(-1;2;0),D(0;4;1).
1. Chứng minh ABCD là một tứ diện
2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ?
3. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ? Tìm tâm và bán kính của
đường trịn đó ?
Bài 8. ( CĐKTKT-2004).
Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm S(2;2;6),A(4;0;0),B(4;4;0),C(0;4;0)
1. Chứng minh S.ABCO là hình chóp tứ giác đều ?
2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCO ?
BÀI TỐN 2:
LẬP MẶT CẦU (S) CÓ LIÊN QUAN ĐẾ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHƠNG GIAN
I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH (S) BIẾT (S) QUA BA ĐIỂM A,B,C VÀ TÂM NẰM TRÊN MỘT MẶT
PHẲNG (P) CHO SẴN HOẶC TIẾP XÚC VỚI (P).
CÁCH GIẢI
Trang 5
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát , sau đó cho (S) đi qua ba
điểm A,B,C ta được ba phương trình
Bước 2: Thay tạo độ tâm I với a,b,c vào phương trình mặt phẳng (P) ta được phương
trình thứ tư . Vậy ta có hệ bốn phương trình bốn ẩn .
Bước 3: Giải hệ , ta suy ra a,b,c và d . Thay vào phương trình tổng qt ta có
phương trình của (S) .
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.(ĐH-KD-2004 ).
Cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0) ,C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 . Viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua A,B,C và có tâm thuộc (P) .
GIẢI
2
2
2
Mặt cầu (S) có dạng : x y z 2ax 2by 2cz d 0 *
(S) qua A,B,C ta thay tọa độ của A,B,C vào (*) ta được hệ ba phương trình :
4a 2c d 5
2a 2c 4 c 1
2a d 1
d 2a 1
d 1
2
2
S : x 1 y 2 z 1 1
2a 2b 2c d 3 b c 1
b 0
a b c 2
a 1
a 1
Ví dụ 2.Lập mặt cầu (S) qua ba điểm A(-2;4;1) ,B(3;1;-3),C(-5;0;0) và có tâm thuộc mặt
phẳng (P) : 2x+y-z+3=0 .
GIẢI
Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R .
Nếu (S) qua A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) thì ta có hệ :
4a+8b+2c-d=21 A S
4a+8b+2c-d=21
4a+8b+2c-d=21 a 1
b 2
6a 2b 6c d 0 B S
10a 6b 8c 21 3a 4b c 2
10a d 25 C S
3a 4b c 2
3b c 4
c 3
2a b c 3 0 I P
6a 7b 3c 24
34a=34
d 35
Vậy mặt cầu (S) có phương trình x2 y 2 z 2 2x 4 y 6z 35 0
Chú ý : Dạng toán này cịn có dạng
Lập mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc với một mặt phẳng (P) cho sẵn .
CÁCH GIẢI
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với (P) ud nP
Bước 2: Tìm tọa độ H là giao của d với (P) ( H chính là tiếp diểm ).
Bước 3: Tính độ dài IH = R
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho mặt
phẳng (P): 2x+y-z+5=0 và các điểm
I
Trang 6
P
H
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
A(0;0;4),B(2;0;0) . Viết phương trình mặt cầu đi qua O,A,B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
GIẢI
Cách 1:
Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có dạng tổng qt :
Nếu (S) qua O,A,B thì ta có hệ ba phương trình :
d 0
a 1
8c d 16
c 2
c 2
b 1
a 1
a 1
4a-d=4
2a b c 5
c 2
2
2
2
2
2
5
b
10
b
5
0
2
b
2
5
6
1
b
2
0
d 0
R
4 11
Vậy (S) : x 1 y 1 z 2 6 .
Cách 2:
Nhận xét : A ,B nằm trên hai trục Ox và Oz , cho nên OAB thuộc mặt phẳng (Oxz) vng
góc với trục Oy . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm M(1;0;2) của AB
Lập đường thẳng d qua M và vng góc với mp(OAB) ( Là trục của đường trịn qua OAB
2
2
2
x 1
) thì d song song với Oy u j 0;1;0 d : y t . Tâm I của mặt cầu thuộc d cho nên
z 2
tọa độ của I(1;t;2) .
Vì (S) tiếp xúc với (P) cho nên : h(I,P)=R =IO
5 t2
2t 25
6
5 t 2 2t 1 0 t 1 I 1;1; 2
Do đó mặt cầu (S) có phương trình là : x 1 y 1 z 2 6
Ví dụ 2. Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+2y-2z+2=0 , và điểm I có
tọa độ là I(1;2;2) .
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
b/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1).
c/ Lập phương trình mặt phẳng qua M,N và tiếp xúc với (S).
GIẢI
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
- Lập đường thẳng d qua I(1;2;2) và vng góc với (P) cho nên u n 1;2; 2 . Cho
nên d có phương trình : x=1+t ; y=2+2t;z=2-2t .
- Tìm tọa độ H là giao của d với (P) , tọa độ H là nghiệm của hệ :
2
2
2
x 1 t
y 2 2t
1
1 4 8
1 t 2 2 2t 2 2 2t 2 0 9t 3 t H ; ;
3
3 3 3
z 2 2t
x 2 y 2z 2 0
Trang 7
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
2
2
2
1
4
8
1
Vậy : IH 1 2 2 216
3
3 3
3
216
2
2
2
24 (*)
Cho nên : S : x 1 y 2 z 2
9
b/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1).
-
x 1 t
Đường thẳng (MN) qua M(1;2;1) có véc tơ chỉ phương u 1; 1;0 ( MN ) : y 2 t .
z 1
- Nếu (MN) cắt (S) thì : thay giao điểm A của (MN) với cầu (S) vào (*) A(t+1;2-t;1)
30
.
2
30
30
30
30
Do đó có hai điểm : A1 1
;2
;1 ; A2 1
;2
;1
2
2
2
2
ta có : t 1 1 2 t 2 1 2 24 2t 2 24 9 15 t
2
-
2
2
c/ Lập mặt phẳng (P) qua (MN) và tiếp xúc với (S) .
x y 1 0
.
z 1 0
- Đường thẳng (MN) là giao của hai mặt phẳng :
- Suy ra (P) qua (MN) thì (P) thuộc chùm : x+y-1+m(z-1)=0 hay : x+y+mz-1-m=0 (*)
- Nếu (P) tiếp xúc với (S) thì :
m 2 6 6
24 m 2 3 24
1 4 4
m 2 6 6
x y 2 6 6 z 1 6 6 0
Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng :
x y 6 6 2 z 1 6 6 0
h I , P R
-
1 2 2m 1 m
II. LẬP (S) CÓ TÂM I ĐỒNG THỜI CẮT (P) THEO MỘT ĐƯỜNG TRỊN XÁC
ĐỊNH ( Biết bán kính-hoặc chu vi-hoặc diện tích )
I
K
Trang 8
B
CÁCH GIẢI
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và
vng góc với (P) khi đó u n P .
Bước 2: Tìm tọa độ tâm K của đường tròn giao
tuyến là giao của d với (P) . Từ đó tìm được IK .
Bước 3:Dựa vào giả thiết cho biết đường trịn (C )
ta tính được r .
Bước 4: Tính R 2 IK 2 r 2 . Thay vào phương trình
mặt cầu .
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
Ví dụ 1 . Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(1;2;-2) và đường thẳng d là giao
tuyến của hai mặt phẳng 2x-y-5=0 và y-z+3=0 .
1.Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ,đồng thời mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0 cắt (S)
theo một giao tuyến là một đường trịn có chu vi bằng 8 .
2.Viết phương trình tiếp diện của (S) qua d ?
GIẢI
2425
d 3 . Theo giả thiết : 8 2 r r 4 ( là bán kính của đường
3
2
2
2
tròn C ). Vậy : R 2 d 2 r 2 9 16 25 R 5 S : x 1 y 2 z 2 25 .
1. Tính h(I,P)=
2. Mặt phẳng tiếp diện của (S) gọi là (Q) . Do mp(Q) qua d cho nên (Q) thuộc chùm mặt
phẳng : m(2x-y-5)+n(y-z+3)=0 ; hay : 2mx-(m-n)y-nz+3n-5m =0 (*).
H(I,Q)=
7n 5m
5 7n 5m 25 5m2 2mn 2n 2 10m n 0
2
4m 2 m n n 2
2
2
Nếu chọn : m=1, thì n=-10 , thay vào phương trình (*) ta có phương trình tiếp diện là :
2x-11y+10z-35=0 .
Ví dụ 2. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) và định ra trên đường thẳng d có
phương trình là giao tuyến của hai mặt phẳng : 5x-4y+3z+20=0 , 3x-4y+z-8=0 một dây
cung có độ dài bằng 16.
GIẢI
Ta tính h(I,d) .
x 1 2t
- Đường thẳng d viết lại : y 5 t . Gọi H là một điểm
z 15 2t
I
A
B
bất kỳ thuộc d thì H(1+2t;-5+t;-15-2t)
d
IH 2t 1; t 8; 2t 14 u 2;1; 2
H
IH .u ' 0 2 2t 1 t 8 2 2t 14 0 9t 18 t 2
Vậy : H 5; 10; 10 IH 2 25 100 100 225 R 2
AB 2
IH 2 64 225 269
4
Vậy : S: x 2 y 3 z 1 289 .
2
2
2
IM , u
; M 1; 5; 15
- Ta cịn có cách tính IH bằng cơng thức : h I , d
u
Trang 9
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
2
2
2
8 14 14 1 1 8
IM , u
302 302 152
2025
1 2 2 2 2 1
IM 1;8;14 IH
15
3
3
4 1 4
u
2
2
AB
16
Theo cách tính : R IH 225 225 64 269 .
2
2
2
2
Ví dụ 3.( ĐHLN-2001).
x t
Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: y 1 2t và mp (P): 2x-y-2z-2=0 .
z 2 t
1/ Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tâm I cách mặt phẳng (P)
một khoảng bằng 2 .đồng thời (S) cắt (P) theo đường trịn có bán kính bằng 3.
2/ Viết phương trình mặt phẳng ® qua d và tạo với (P) một góc nhỏ nhất .
GIẢI
1/ Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tâm I cách mặt phẳng (P)
một khoảng bằng 2 .
Nếu I d I t; 1 2t; 2 t h I , P
2 t 2t 1 2 2 t 2
4 1 4
2 6t 5 6
1 2 13
1
I1 ; ;
t
6
6t 5 6
6 3 6
. Tính khoảng cách từ hai tâm đến (P)
6
t
5
6
11
11
14
1
t
I2 ; ;
6
3 6
6
1 2
13
11 14
1
2 2 2
2 2 2
6
3
6
6 3
6
2; h I 2 , P
2 . Do đó :
h I1 , P
4 1 4
4 1 4
2
2
2
2
1
2 13
2
R1 2 9 13 S1 : x y z 13
6
3
6
2
2
2
11
14
1
2
2
R2 2 9 13 S 2 : x y z 13
6
3
6
x y 1
1 2
2x y 1 0
2/ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng :
.
x z 2 0
x z2
1
1
Do vậy mặt phẳng (R ) qua d thì (R ) thuộc chùm : 2x+y+1+m(x+z-2)=0 .
Hay mp( R) : (2+m)x+y+mz+1-2m=0 (*). Mp( R) có n1 m 2;1; m ; nP 2; 1; 2 .
Vậy : cos
Trang 10
n1.nP
n1 nP
2 m 2 1 2m
m 2
2
1 m2 4 1 4
5
3 2m 2 4m 5
5
1
5
3 2 m 12 3 3 3
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
Do nhỏ nhất cho nên cos lớn nhất khi m=-1 .
Vậy thay vào (*) ta có mp( R): x+y-z+3=0 .
Chú ý : Dạng tốn này cịn có cách giải khác :
Giả sử ( R) là mặt phẳng qua d và cắt (P) theo giao
B
tuyến và A=d giao với (P) . B là một điểm bất kỳ
trên d . Kẻ BH ( P), BC BHC BHC
d
Là góc phẳng của nhị diện tạo bởi (P) và ( R) .
H
A
P
Vì HC HC HA tan
BH BH
hằng số .
HC HA
Nên có giá trị nhỏ nhất khi C trùng với A
d . Vậy ( R) là mặt phẳng qua AB và cắt (P)
theo giao tuyến ABH .
Ta có :
C
vd 1; 2;1 , nP 2; 1; 2 vd , nP 3;0; 3 / / v 1;0;1
Mặt khác ta lại có : vd , v 2; 2; 2 / / 1;1; 1 nR . Để ý M(0;-1;2) thuộc d nằm trong ( R).
Ta có phương trình mặt phẳng ( R) : x+y+1-(z-2)=0 ,Hay : x+y-z+3=0 .
BÀI TOÁN 3:
LẬP MẶT PHẲNG-ĐƯỜNG THẲNG KHI CHO PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT
CẦU (S)
I. LẬP MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CẦU
Chú ý :
- Giả sử cần lập mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) có tâm I(a;b;c;) và bán kính R
Mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 được xác định khi tối thiểu phải biết được ba ẩn số .
Trong khi đó điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) thì chỉ có một dữ kiện là
h(I,P)=R .
aA bB cC D
A2 B 2 C 2
R.
- Vì thế cho nên bài ra bao giờ cũng cho thêm tối thiểu hai dự kiện nữa .
1. Lập mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d cho sẵn ( hoặc song song với một
mặt phẳng (Q) cho sẵn ) và tiếp xúc với cầu (S) .
CÁCH GIẢI
Bước 1: Nếu (P) vng góc với d thì nP ud A; B; C P : Ax By Cz m 0 *
Bước 2: Nếu (P) tiếp xúc với cầu (S) thì :
aA bB cC m
A2 B 2 C 2
R
1
Bước 3: Giải (1) ta tìm được ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P)
Trường hợp (P) song song với (Q) thì véc tơ pháp tuyến của (Q) cũng là của (P).
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Trang 11
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
2x 3 y 4z 1 0
và mặt cầu (S) có phương trình là :
x y 2z 9 0
Ví dụ 1; Cho đường thẳng d :
x2 y 2 z 2 4x 2 y 6z 6 0 . Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) vng góc với d và tiếp
xúc với mặt cầu (S).
GIẢI
3
4 4
;
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u n1 , n2
1
2
2
Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;3) và có bán kính là R= 20 .
Do vậy (P) vng góc với d có dạng : 2x+z+m=0 (*)
Nếu (P) tiếp xúc với (S) thì : h I , P
2.2 3 m
4 1
P1 : 2x z 3 0
2 2 3
;
2;0;1 nP .
1 1 1
m 3
20 m 7 10
m 17
Vậy có hai mặt phẳng :
P2 : 2x z 17 0
Ví dụ 2.( Bài 87- tr137-BTHH12NC).
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu : S : x 2 y 2 z 2 10x 2 y 26z 113 0 .
x 5 y 1 z 13
Và hai đường thẳng d :
;
2
3
2
x 7 3t
d ' : y 1 2t
z 8
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vng góc với d .
b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d ,d’.
GIẢI
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vng góc với d .
Mặt cầu (S) có tâm I(5;-1;-13) và có bán kính R= 308
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u 2; 3; 2 nP
Nếu (P) vuông góc với d thì (P): 2x-3y+2z+m=0 (*).
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) thì :
h I , P
10 3 26 m
494
308 m 13 17.308 m 13 5236
Tóm lại có hai mặt phẳng : 2x-3y+2z 13 5236 =0 .
b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d ,d’.
ud 2; 3; 2
3 2 2 2 2 3
Ta có :
ud , ud '
;
;
4;6;5 nQ
ud ' 3; 2;0
2 0 0 3 3 2
Vậy (Q) có dạng : 4x+5y+6z+m=0 (*)
Nếu (Q) tiếp xúc với (S) thì : h I , Q
Trang 12
m 103
308 m 51 154
16 36 25
m 205
20 6 65 m
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
Q1 : 4x 5 y 6z 103 0
Vậy có hai mặt phẳng (Q) :
Q2 : 4x 5 y 6z 205 0
2. Lập mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc với cầu (S)
CÁCH GIẢI
Bước 1: Chuyển đường thẳng d sang dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng .
Bước 2: Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm mặt phẳng . Viết phương trình chùm mặt
phẳng sau đó chuyển về dạng mẫu mực .
Bước 3: Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) thì h(I,P) = R , ta sẽ thu được
phương trình của mặt phẳng (P)
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.( MĐC-98).
Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
x 13 y 1 z
và mặt cầu (S) có
1
1
4
phương trình : x2 y2 z 2 2x 4 y 6z 67 0 .
Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với (S) .
GIẢI
( Chuyển d về dạng giao tuyến của hai mặt phẳng )
Đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng :
x 13 z
1
4 4x z 52 0
.
y
1
z
4
y
z
4
0
1
4
I
d
M
Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm :
4x+z-52+m(4y-z+4)=0 ;
Hay : 4x+4my+(1-m)z+4m-52=0 (*) .
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kính R=9. Cho nên (P) tiếp xúc với (S) thì :
Khoảng cách từ tâm I đến (P) bằng bán kính :
P
H
u
m 1
9 9m 45 9 17m 2m 17 2m m 1 0
2
m 1
2
16 16m 1 m
2
P : 2x 2 y z 28 0
Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : 1
.
P2 : 8x 4 y z 100 0
8x 11y 8z 30 0
Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
và mặt
x y 2z 0
4 8m 3(1 m) 4m 52
2
2
2
cầu (S) có phương trình : x2 y 2 z 2 2x 6 y 4z 15 0 .
Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với cầu (S) .
GIẢI
Cầu (S) có tâm I(-1;3;-2) và có bán kính R= 29 .
Trang 13
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
Mặt phẳng (P) chứa d cho nên (P) thuộc cùm mặt phẳng :
8x-11y+8z-30+m(x-y-2z)=0 ; hay : (8+m)x-(11+m)y+(8-2m)z-30=0 (*)
Néu (P) tiếp xúc với (S) thì :
h I , P
8 m 3 11 m 2 8 2m 30
8 m 11 m 8 2m
2
2
2
29
87
6m2 6m 249
29
m 1
6.m 2 6.m 249 3.87 m 2 m 2 0
m 2
Nếu m=1: (P) : 9x-12y+6z-30=0 ; hay : 3x-4y+2z-10=0 .
Nếu m=-2 thì (P): 6x-9y+12z-30=0 , hay (P): 2x-3y+4z-10=0 .
Như vậy có hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với (S) .
II. MẶT PHẲNG CẮT MẶT CẦU – TÌM TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG
TRỊN GIAO TUYẾN .
BÀI TỐN :
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R . Mặt phẳng (P) Ax+By +Cz+D=0 . Chứng
minh (P) cắt (S) . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường trịn giao tuyến
CÁCH GIẢI
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua tâm cầu I và
vng góc với mặt phẳng (P) : u n A; B; C
Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm K của d với (P) . ( Đó
chính là tâm của đường trịn giao tuyến ). Sau đó tính độ
I
dài đoạn thẳng d=IK
R
d
Bước 3: Để tính bán kính của đường trịn ( C) ta sử dụng
K
công thức : r 2 R2 d 2 R2 IK 2
r
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.( Bài 3.59-Ơn chương III-tr117-BTHH12CB)
Trong khơng gian cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và D(1;1;0)
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D /
b/ xác định tâm và bán kính của đường trịn là giao tuyến của mặt phẳng(ACD) với mặt
cầu (S)
GIẢI
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D
Từ hình vẽ , dễ dàng tìm được tọa độ tâm cầu (S) là I :
- Gọi J là trung điểm của AB J ; ;0
2 2
- Kẻ đường thẳng m qua J và song song với Oz cắt
CD tại I ( I là trung điểm của CD ) . Do vậy :
1 1
C
K
I
B
O
Trang 14
A
J
D
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
1 1 1
I ;
. Bán kính của cầu (S) bằng đoạn thẳng OI=
2 2 2
0 1 1 1 1
;
;
Ta có : AC 1;0;1 , AD 0;1;0 AC , AD
1 0 0 0 0
1 1 1
3
.
4 4 4
2
0
1;0; 1 / / n 1;0;1
1
Mặt phẳng (ACD) qua A(1;0;0) và có véc tơ pháp tuyến là
AC , AD 1;0; 1 ACD : x z 1 0
b/ xác định tâm và bán kính của đường trịn là giao tuyến của mặt phẳng(ACD) với mặt
cầu (S)
-
1
x 2 t
1
Gọi d là đường thẳng qua tâm cầu I và vng góc với (ACD) thì d : y
2
1
z 2 t
- Đường thẳng d cắt ACD) tại điểm H thì tọa độ H là nghiệm của hệ :
1
1
1 1 1
t t 1 0 t 0 H ; ;
2
2
2 2 2
- trùng với I . Vì thế (ACD) cắt (S) theo đường trịn lớn có bán kính bằng bán kính
của (S) r R
3
.
2
Ví dụ 2.( Bài 3.54-Ơn chương III-tr116-BTHH12CB)
Cho mặt phẳng (P): 2x-3y+4z-5=0 và mạt cầu (S): x2 y 2 z 2 3x 4 y 5z 6 0
a/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt
mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C ). Xác định bán kính r và tâm H của
đường tròn (C ).
GIẢI
a/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
3
5
9
25
26
Mặt cầu (S) có tâm I= ; 2; ; R 4 6
2
2
4
4
2
3
5
2 3 2 4 5
2
8
2
29 R .
b.Ta có khoảng cách từ tâm I đến (P) : h( I , P)
4 9 16
29
Chứng tỏ : (P) cắt cầu (S) theo giao tuyến là một đường trịn .
Tìm tâm và bán kính của ( C).
Trang 15
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
3
x 2 2t
Đường thẳng d qua I và vng góc với (P) : y 2 3t
5
z 4t
2
Đường thẳng d cắt (P) tại H ( là tâm của đường tròn ) : Tọa độ của H là nghiệm của
hệ :
3
x 2 2t
8
y 2 3t
3
5
119 34 81
2 2t 3 2 3t 4 4t 5 0 t
H
; ;
5
2
2
29
58
29 58
z 4t
2
2x 3 y 4z 5 0
Bán kính r của ( C) : r 2 R 2 h2 I , P
26 64 249
249
r
4 26 58
58
Ví dụ 3. ( ĐH-Đà lạt -2001)
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(0;1;2) ,A(1;2;3) ,B(0;1;3)
1/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A ?
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B có véc tơ pháp tuyến n 1;1;1
3/ Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường trịn ( C) . Tìm tâm và bán kính của ( C) ?
GIẢI
1/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A ?
2
2
2
Nếu (S) qua A(1;2;3) , thì IA=R R 2 IA2 1 0 2 1 3 2 3 .
Vậy (S) : x 1 y 2 z 3 3 .
2/ Lập mặt phẳng (P) qua B(0;1;3) có n 1;1;1 , (P) : x+y+z-4=0 (*).
2
2
2
3/ Chứng minh (P) cắt (S) : Ta có h I , P
0 1 2 4
3
1
3 R P S
3
x t
Tìm tọa độ tâm : Lập d qua I ( 0;1;2) và vng góc với (P) : d : y 1 t
z 2 t
x t
y 1 t
1
1 4 7
Tâm H của ( C) là d cắt (P) , d :
3t 1 t H ; ;
3
3 3 3
z 2 t
x y z 4 0
1 8
8 2 6
Bán kính r của ( C) : r 2 R 2 h2 I , P 3 r
3 3
3
3
BÀI TOÁN 4:
Trang 16
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
TÌM ĐIỂM TRÊN CẦU (S) THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – (S) CHỨA THAM SỐ
BÀI TOÁN : Cho mặt cầu (S) : F(x,y,z)=0 (1) hoặc F(x,y,z,m)=0 (2) . Mặt phẳng (P) hay
đường thẳng d ( cho phương trình )
1/ Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là nhỏ nhất , lớn nhất .
2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 tại hai điểm M,N sao cho MN=a ( hằng số )
3/ Tìm quỹ tích tâm I của (S) ....
CÁCH GIẢI
1/ Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là nhỏ nhất , lớn nhất .
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với (P)
Bước 2: Tìm tọa độ H ,K là giao của d với (Q) . Sau đó tính IH và IK . H,K là các
điểm cần tìm .
2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 tại hai điểm M,N sao cho MN=a ( hằng số )
Bước 1: Chuyển d sang tham số . Lập hệ để tìm giao của d và (S) suy ra g(t,m)=0
Bước 2: Lấy trên d một điểm H , tính IH theo cơng thức .(1)
MN
Bước 3: Sử dụng IH R
2
2
2
2
2 . Từ (1) và (2) suy ra m cần tìm .
3/ Tìm quỹ tích tâm I của (S) ....
* Sử dụng phương pháp tìm quỹ tích trong hàm số .
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho (S) : x2 y2 z 2 2x 2z 2 0 và mặt phẳng
(P) : 2x-2y+z+6=0 . Tìm điểm A trên (S) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất , nhỏ
nhất ?
GIẢI
2
2
2
Mặt cầu (S) : x 1 y z 1 4 I 1;0; 1 , R 2 .
x 1 2t
Đường thẳng d qua I(1;0;-1) và vng góc với (P) : d : y 2t
z 1 t
Đường thẳng d cắt (S) thơng qua phương trình :
1 2t 1 2t 1 t 1
2
2
2
4 9t 2 4
2
13
7 4 1
t 3 A 3 ; 3 ; 3 h( A, P) 3
2
t
3
2
1
1 4 5
t A ; ; h( A, P)
3
3
3 3 3
Trang 17
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
2x 2 y z 1 0
và mặt cầu
x 2 y 2z 4 0
Ví dụ 2. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
(S) : x2 y2 z 2 4x 6 y m 0 . Tìm m để d cắt (S) tại hai điểm M,N sao cho MN=8 .
GIẢI
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0) và bán kính R= 4 9 m 13 m 0 m 13 *
2
2
MN
8
Mặt khác ta có : IH R r 13 m
13 m m 3 IH m 3 (1)
2
2
2
2
2
Lại có IH=h(I,d) . Ta có d qua M(0;1;-1) và có véc tơ chỉ phương là tích có hướng của hai
véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng :
2 1 1 2 2 2
u n, n '
;
;
6;3;6 / / u ' 2;1; 2 ; MI 2; 2;1 .
2 1 1 2 2 2
MI , u '
9 36 36 3 (2)
Do đó : h I , P
4 1 4
u'
Từ (1) và (2) : m 3 3 m 12 . Vậy với m=-12 thì thỏa mãn yêu cầu bài tốn .
Ví dụ 3. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho họ :
Sm : x 2 y 2 z 2 4mx 2my 6z m2 4m 0
1/ Tìm m để S m là phương trình của một mặt cầu ?
2/ Chứng minh rằng tâm I của S m luôn nằm trên một đường thẳng cố định ( với các giá
trị của m tìm được )
GIẢI
1/ Tìm m để S m là phương trình của một mặt cầu ?
Sm : x 2m y m z 3 4m2 4m 9 (*)
Để S m là phương trình của mặt cầu thì : 4m2 4m 9 0 ' 4 36 32 0 . Do đó với
2
2
2
mọi m (*) ln là phương trình của (S) .
2/ Ta có tọa độ tâm I của S m
x 2m
x 2 y 0
là : y m
. Đây chính là giao của hai mặt
z 3
z 3
phẳng . Do đó giao tuyến của chúng là một đường thẳng cố định ( ví khơng phụ thuộc vào
m ).
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYÊN
Bài 1. ( ĐH-Thủy lợi -2000)
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2 y2 z 2 6x 4 y 2z 5 0 và mặt
phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 .
a/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của (S)
Trang 18
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
b/ Tìm điểm M trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng (P) là ngắn nhất
?
Bài 2. ( ĐHAN-KA-98) .
Cho tam diện vuông Oxyz và một phần tám mặtcầu đơn vị : x 2 y 2 z 2 1 (x,y,z 0 ), trong
góc tam diện ấy . Một mặt phẳng (P) tiếp xúc với một phần tám mặt cầu ấy tại điểm M cắt
các trục Ox, Oy,Oz thứ tự tại A,B,C sao cho OA=a,OB=b,OC=c (a,b,c>0).
1 1 1
1 ?
a 2 b2 c2
b/ Chứng minh : 1 a 2 1 b2 1 c 2 64 . Tìm vị trí của M khi dấu đẳng thức xảy ra ?
a/ Chứng minh rằng :
Bài 3. ( ĐHQG-A-99).
Cho đường tròn ( C) là giao tuyến của cầu (S) : x2 y 2 z 2 4x 6 y 6z 17 0 với
(P) có phương trình : x-2y+2z+1=0 .
1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính đường trịn ( C)
2/ Lập phương trình mặt cầu (S’) chứa đường trịn ( C) có tâm nằm trên mặt phẳng (Q) :
x+y+z+3=0 .
Cho họ : Cm : x 2 y 2 z 2 2 m 1 x 2 m 2 y 6m 7 0 . ( với m là tham số )
1/ Tìm quỹ tích tâm I của họ Cm
2/ Tìm tọa độ tâm thuộc họ mà tiếp xúc với Oy .
2x y 2z 12 0
. Lập phương trình đường trịn ( C) có tâm
4x 7 y z 6 0
Bài 4. Cho đường thẳng :
I(1;-1;-2) và cắt tại hai điểm A,B sao cho AB=8 .
Bài 5. ( ĐH-Thủy lợi -2000) .
Cho mặt cầu (S) : x2 y2 z 2 6x 4 y 2z 5 0 . Và mặt phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 .
1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của ( C) là giao của (P) với (S) ?
2/ Tìm tọa độ điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ đó đến (P) nhỏ nhất ?
Bài 6. ( ĐH-YHP-2000).
Cho các điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) ( a,b,c>0) và :
1 1 1
2 .
a b c
1/ Chứng minh khi a,b,c thay đổi thì mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định . Tìm
tọa độ điểm cố định ấy ?
2/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC ? v chng minh :
1
r
4
2
3
3 1
B SUNG THấM
Bài 1.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (Pm):
2x+2y+z m2-3m=0 và mặt cầu (S): (x-1)2+(y+1)2+(z-1)2=9.
a.Tìm m để mặt phẳng (Pm) tiếp xúc mặt cầu (S). Với m tìm đ-ợc, hÃy xác định toạ độ tiếp
điểm của mặt phẳng (Pm) và mặt cầu (S)
b. Cho m=2. Chứng minh rằng mp(P2) tiếp xúc với (S). Tìm toạ độ tiếp điểm c. Xác định m
Trang 19
Gia s Thnh c
www.daythem.com.vn
để (Pm) cắt (S) theo một đ-ờng tròn (C) có bán kính r=2 2
Bài2.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0),
C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0. Viết ph-ơng trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và
có tâm thuộc mặt phẳng (P)
Bài 3.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1
với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1 (4;0;4)
a. Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết ph-ơng trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt
phẳng (BCC1B1).
b. Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết ph-ơng trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và
song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đ-ờng thẳng A1C1 tại N. Tính độ dài đoạn MN
Bài 4.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0),
S(0;0;4).
a. Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết
ph-ơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S
b. Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đ-ờng thẳng SC
Bài 5.
Trong kg với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2)
a. Viết ph-ơng trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC. Tìm toạ độ giao
điểm của đ-ờng thẳng AC với mặt phẳng (P)
b. CM ABC là tam giác vuông. Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Bài 6.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng
(P): 2x+y-z+5=0 và các điểm A(0;0;4), B(2;0;0)
a. Viết ph-ơng trình hình chiếu vuông góc của đ-ờng thẳng AB trên mặt phẳng (P)
b. Viết ph-ơng trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Bài 7.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho 4 điểm S(2;2;6), A(4;0;0),
B(4;4;0), C(0;4;0)
a. CMR hình chóp SABCO là hình chóp tứ giác đều
b. Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCO
Bài 8.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đ-ờng thẳng d:
2 x 2 y z 1 0
và mặt cầu (S): x2+y2+z2+4x-6y+m=0. Tìm m để đ-ờng thẳng d cắt mặt
x 2 y 2z 4 0
cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9
Bài 9.
Trang 20
Gia s Thnh c
www.daythem.com.vn
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho A(0;3;-3), B(1;1;3) và đ-ờng
x 3 2t
th¼ng d: y 5 2t
z 1 t
a. CMR ABd
b. T×m h×nh chiÕu cđa A, B trên d
c. Tìm Md để MA+MB nhỏ nhất
d. Viết ph-ơng trình mặt cầu nhỏ nhất qua A, B vµ tiÕp xóc d
Bµi 10.
Gäi (C) lµ giao tun cđa mặt cầu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=100 và (P): 2x-2y-z+9=0. Xác
định toạ độ tâm và bán kính của (C)
Bài11.
Trong kg gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 và
đ-ờng thẳng d:
x y z 1
.
1 1
1
a. Viết PTCT của các đ-ờng thẳng là giao tuyến của mp(P) với các mặt phẳng toạ độ. Tính
thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm t-ơng ứng của mp(P) với các trục
toạ độ Ox, Oy, Oz còn D là giao điểm của đ-ờng thẳng d với mặt phẳng toạ độ Oxy
b. Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính
của đ-ờng tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mp(ACD)
Bài12.
Trong kg Đềcác vuông góc Oxyz cho A(-3;1;2) và mp(P): 2x+3y+z-13=0
a. HÃy viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng d đi qua A và vuông góc với mp(P). Tìm toạ độ giao
điểm M của d và (P)
b. Viết ph-ơng trình mặt cầu tâm A bán kính R=4. CMR mặt cầu này cắt mp(P) và tìm bán
kính của đ-ờng tròn là giao của mặt cầu và mp(P)
Bài13.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông gãc Oxyz cho 4 ®iĨm A, B, C, D cã toạ độ xác
định bởi A(2;4;-1); OB i 4 j k ; C(2;4;3); OD 2i 2 j k
a. CMR ABAC; ABAD; ACAD vµ tÝnh thĨ tích của tứ diện ABCD
b. Viết PTTS của đ-ờng vuông góc chung của 2 đ-ờng thẳng AB và CD
c. Viết PTmp(ABD) và tính góc giữa đ-ờng thẳng với mp(ABD)
d. Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D
Bài14.
Trong kg hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho I(1;2;2) và mp(P): x+2y-2z+2=0
a. Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với (P). Tìm tiếp điểm
b. Tìm giao điểm của (S) với đ-ờng thẳng qua điểm M(1;2;1); N(2;1;1)
c. Lập ph-ơng trình mp qua MN và tiếp xúc với (S)
Bài15.
Trong kg vuông góc Oxyz cho mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x+4y-6z=0
a. Xác định vị trí t-ơng đối của (S) với đ-ờng thẳng d qua M(1;-1;1), N(2;1;5). Tìm toạ độ
giao điểm của (S) và d (nếu có). Xác định tâm và tính bán kính của ®-êng trßn giao tuyÕn
Trang 21
Gia s Thnh c
www.daythem.com.vn
giữa (S) với mp Oxy
b. Tìm m ®Ĩ mp(P): x-y-z-m=0 lµ tiÕp diƯn cđa (S). Khi ®ã tìm góc tạo bởi (P) và tiếp diện
(Q) của (S) biết (Q) qua gốc O
Bài 16.
Cho hình chóp tứ giác SABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a.
a. CMR đáy ABCD là hình vuông
b. Năm điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên một mặt cầu. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó
Bài17. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC có O là
gốc toạ độ, AOx, BOy. COz và mp(ABC) có ph-ơng trình là 6x+3y+2z-6=0
a. Tính thể tích khối tứ diện OABC
b. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC
Bài18.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt cầu
(S): x2+y2+z2=2(x+2y+3z)
a. Gọi A, B, C là giao điểm (khác điểm O(0;0;0)) của mặt cầu (S) với các trục 0x, 0y, 0z.
Xác định A, B, C và viết ph-ơng trình mặt phẳng (ABC)
b. Xác định tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC
Bài19.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt cầu (S) có ph-ơng trình
x2+y2+z2=4 và mặt phẳng (P) có ph-ơng trình x+y+z=1
a. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) và chứng tỏ rằng mặt phẳng
(P) cắt mặt cầu (S) theo một đ-ờng tròn.
b. Viết ph-ơng trình đ-ờng tròn (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). HÃy xác
định toạ độ tâm H và tính bán kính của đ-ờng tròn (C) đó.
Bài20.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho A(0;-2;0), B(2;1;4) và mặt
phẳng (): x+y-z+5=0
a. Viết PTTS của đ-ờng thẳng d đi qua A và B
b. Tìm trên đ-ờng thẳng d điểm M, sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng () bằng 2 3 .
c. Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) có đ-ờng kính AB. Xét vị trí t-ơng đối giữa mặt cầu (S) và
mặt phẳng ()
Bài 21.
5 x 4 y 3z 20 0
và điểm I(2;3;-1)
3x 4 y z 8 0
Cho đ-ờng thẳng :
a. Tính khoảng cách từ điểm I đến đ-ờng thẳng
b. Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) tâm I và cắt đ-ờng thẳng tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho AB=8
Bài 22.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đ-ờng thẳng . Trên
lấy hai điểm A, B với AB=a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm
D sao cho AC, BD cùng vuông góc với và AC=BD=AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Trang 22
Gia s Thnh c
www.daythem.com.vn
tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a
Bài 23.
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, biết các đỉnh S(3;2;4), A(1;2;3), C(3;0;3). Gọi H là tâm
hình vuông ABCD
a. Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
b. Tính thể tích của khối chóp có đỉnh S, đáy là thiết diện tạo bởi hình chóp SABCD với mp
đi qua H và vuông góc với SC
Bài 24.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tai gốc 0, biết A(2;0;0),
B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gọi M là trung điểm của SC
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng SA và BM
b. Giả sử mp(ABM) cắt đ-ờng thẳng SD tại N. TÝnh thĨ tÝch khèi chãp SABMN
Bµi 25.
8 x 11y 8 z 30 0
vµ tiÕp xóc với mặt cầu
x y 2z 0
Lập ph-ơng trình mp chứa đ-ờng thẳng:
x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0
Bài 26.
Lập ph-ơng trình mp tiếp xúc với mặt cầu: x2+y2+z2-10x+2y+26z-113=0 và song song với
hai ®-êng th¼ng :
x 5 y 1 z 13
x 7 y 1 z 8
, ’:
2
3
2
3
2
0
Bµi 27.
LËp pt mặt cầu có tâm I:
x 2 y 1 z 1
vµ tiÕp xóc víi hai mp
3
2
2
(P): x+2y-2z-2=0, (Q): x+2y-2z+4=0
Bµi 28.
Cho mặt cầu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=9 và mp(P): x+2y+2z+11=0. Tìm điểm M trên mặt
cầu sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là ngắn nhất
Bài 29.
Cho hai đ-ờng thẳng d1:
x y2 z4
x 8 y 6 z 10
, d2:
1
1
2
2
1
1
a. Viết ptđt d song song với 0x và cắt d1 tại M, cắt d2 tại N. Tìm toạ độ M, N
b. Ad1, Bd2. AB vuông góc d1 và d2. Viết pt mặt cầu đ-ờng kính AB
Bài 30.
Cho A(3;6;-2), B(6;0;1), C(-1;2;0), D(0;4;1)
a. CMR A, B, C, D là 4 đỉnh của tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa tø diƯn ®ã
b. ViÕt PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu
này
c. Viết ph-ơng trình đ-ờng tròn đi qua A, B, C. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đ-ờng
tròn đó
Bi 31.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
d1 :
x 4 y 1 z 5
x2 y3 z
d2 :
3
1
2
1
3
1
Trang 23
Gia sư Thành Được
www.daythem.com.vn
Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d 1 và d2
Bài 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường
trịn ngoại tiếp tam
giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Trang 24
