PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số bài TOÁN TỔNG hợp DAO ĐỘNG

1
A. PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN
Môn vật lí là cơ sở của nhiều ngành khoa học kĩ thuật, vì vậy người học hiểu và nhận thức
được các hiện tượng, quy luật vật lí là rất quan trọng. Vai trò của sách giáo khoa là cung cấp
nội dung kiến thức cơ bản, hiện đại, sát với thực tế là một điều không thể thiếu đối với người
học. Bên cạnh đó vai trò chủ đạo của người thầy trong việc hướng dẫn học sinh lĩnh hội kiến
thức cũng rất quan trọng.
Qua quá trình giảng dạy môn vật lí tôi thấy đa số nội dung kiến thức học sinh đều hiểu và
biết cách vận dụng. Tuy nhiên một số em do chưa nắm vững kiến thức nên hiệu quả học tập
vẫn chưa cao, kết quả thi đại học điểm của các em vẫn còn khá thấp. Để giúp cho quá trình
học tập của các em đạt hiệu quả tốt hơn, tôi đưa ra sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP DAO ĐỘNG.
Trong quá trình biên soạn còn nhiều thiếu sót, tôi mong nhận được sự góp ý của các thầy
cô và các em học sinh để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
II. THỰC TRẠNG CỦA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
CỦA HỌC SINH.
- Môn vật lí là một môn học khó, đòi hỏi người học phải nắm vững các hiện tượng, các quy
luật, các khái niệm, các định nghĩa công thức và phải có kĩ năng toán học tốt.
- Tuy nhiên thời lượng học môn vật lí lại rất ít, chỉ có hai tiết một tuần, giáo viên không đủ
thời gian để hướng dẫn tỉ mỉ cho học sinh, còn học sinh do nắm chưa vũng lí thuyết, cộng với
kĩ năng toán học chưa tốt, nên làm bài không tốt, do đó các em sinh ra tâm lí chán nản, dẫn
tới các em không muốn học môn vật lí, và luôn coi vật lí là môn học khó.
- Thời gian phân bố thời lượng học bài tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng
tần số chỉ có hai tiết, nhưng kiến thức đòi hỏi các em phải nắm được rất khó. Các em phải
nắm được các kiến thức về dao động điều hòa, kiến thức về phần véc tơ trong toán học, và
phải có kĩ năng toán học tốt thì mới làm được các bài tập. Sách giáo khoa trình bầy bài tổng
hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số đã đầy đủ nhưng vẫn chưa sâu sắc, vẫn
còn gây khó hiểu cho học sinh, lượng bài tập trong sách còn quá ít, khoảng cách giữa các bài

2
tập trong sách giáo khoa với các bài tập trong các đề thi đại học là rất lớn, nên các em không
hình dung ra bài tổng hợp dao động cần phải học những gì, bài tập có những dạng nào.
Nguồn tư liệu để các em học cũng có rất nhiều, nhưng các kiến thức về phần tổng hợp dao
động cũng trình bầy chưa sâu sắc, chưa đầy đủ. Chính vì vậy mà đa số các em không hiểu, và
không làm được bài tập về phần tổng hợp dao động, từ đó các em chán nản hơn với môn vật
lí.
- Trong quá trình giảng dạy thực tế, tôi biết được những khó khăn của các em học sinh, nên
tôi đưa ra sáng kiến kinh nghiệm: “PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG
HỢP DAO ĐỘNG’’. Tôi hy vọng sáng kiến này sẽ giúp ích cho các em trong việc làm các
bài toán tổng hợp dao động, từ đó các em sẽ hiểu và đam mê học môn vật lí hơn, các em sẽ
đạt kết quả cao hơn trong học tập.
III. MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN.
Giúp học sinh hiểu kỹ lưỡng hơn về dao động điều hòa của một vật, biết vận dụng các kiến
thức tổng hợp để giải các bài toán về tổng hợp dao động điều hòa của vật.
Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức toán học và sử dụng máy tính điện tử vào việc giải
bài toán Vật Lí.
Giúp học sinh giải thích được một cách định tính và định lượng về một số hiện tượng dao
động cơ học thường gặp trong đời sống.
IV. PHƯƠNG PHÁP VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
1. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
+ Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm sư phạm
2. Đối tượng nghiên cứu.
+ Các dạng toán cơ bản trong bài tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
của chương I dao động cơ thuộc chương trình vật lý lớp 12.
+ Cách tiếp cận và giải quyết một số bài toán của phần tổng hợp dao động trong chương I
dao động cơ của học sinh.

3
B. PHẦN HAI NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT BÀI 5: TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐỀU HOÀ CÙNG
PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN
I.1. Vectơ quay:
Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A.cos(ωt + φ ), có
uuuur
thể được xem như một vector quay OM , được vẽ tại thời điểm ban
đầu như hình vẽ:
Với: Biên độ A ≈ OM ; gốc tại gốc tọa độ của trục Ox; và hợp với
trục Ox một góc bằng pha ban đầu.
I.2. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
Xét một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương
trình x1 = A1cos(ωt + ϕ1) và x2 = A2cos(ωt + ϕ2). Khi đó dao động của vật là một dao động
điều hoà cùng phương cùng tần số có phương trình x = Acos(ωt + ϕ).
Với: - Biên độ của dao động tổng hợp :
A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(ϕ2 - ϕ1)
- Pha ban đầu của dao động tổng hợp:

tgϕ =

A1sinϕ1 + A 2sinϕ2
A1cosϕ1 + A 2cosϕ2

- Các trường hợp đặc biệt của A th :
Hai dao động cùng pha khi ∆ϕ = k2π ⇒ A = A1 + A 2
Hai dao động ngược pha khi ∆ϕ = (2k + 1)π ⇒ A = A1 − A 2
Hai dao động vuông pha khi ∆ϕ = (2k + 1)

π
⇒ A = A12 + A 22
2

Hai dao động lệch pha một gốc bất kì thì A1 − A 2 ≤ A ≤ A1 + A 2

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP DAO ĐỘNG


4
II.1. Bài toán viết phương trình tổng hợp dao động.
II.1.1. Bài toán viết phương trình tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương
cùng tần số
+ Một vật thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần
lượt là : x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2) .
→ Độ lệch pha của hai dao động: Δφ = φ2 - φ1
* Nếu φ2 > φ1 : dao động 2 sớm (nhanh) pha hơn dao động 1 góc ∆ϕ
* Nếu φ2 < φ1 : dao động 2 trễ (chậm) pha hơn dao động 1 góc ∆ϕ
* Nếu Δφ = 2kπ (với k = 0,±1,±2,…) → Hai dao động cùng pha
* Nếu Δφ = (2k + 1)π (với k = 0,±1,±2,…) → Hai dao động ngược pha
* Nếu ∆ϕ = kπ +

π 
1
=  k + ÷π (với k = 0,±1,±2,…) → Hai dao động vuông pha.
2 
2

→ Dao động tổng hợp của vật là một dao động điều hòa và có dạng:
x = x1 + x2 = A.cos(ωt + φ )

với : A 2 = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos(ϕ2 − ϕ1 )

và

tan ϕ =

A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ2
A1 cos ϕ1 + A 2 cos ϕ2

Chú ý: A1 − A 2 ≤ A ≤ A1 + A 2
Nếu hai dao động cùng pha: A = Amax = A1 + A2
Nếu hai dao động ngược pha: A = Amin = A1 − A 2
Nếu hai dao động vuông pha: A = A12 + A 22
Bài tập áp dụng:
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương
trình: x1 = 5cos( π t + π /3) (cm); x2 = 5cos π t (cm).
Dao động tổng hợp của vật có phương trình:
A. x = 5 3 cos( π t - π /4 ) (cm)
B.x = 5 3 cos( π t + π /6) (cm)
C. x = 5cos( π t + π /4) (cm)

D.x = 5cos( π t - π /3) (cm)

Giải: Dao động tổng hợp của vật là một dao động điều hòa và có dạng:
x = x1 + x2 = A.cos(ωt + φ )
A 2 = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) = 52 + 52 + 2.5.5.cos(0-π/3)=75 ⇒ A=5 3cm


5
tan ϕ =

5sin π / 3 + 5sin 0
= 0,577 ⇒ ϕ = π / 6rad
5cos π / 3 + 5cos 0

⇒ x = A.cos(ωt + φ ) = 5 3 cos( πt + π / 6)cm
II.1.2. Bài toán tổng hợp nhiều dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Một vật thực hiện đồng thời n dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình
lần lượt là: x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) ; x 2 = A 2 cos(ωt + ϕ2 );...; x n = A n cos(ωt + ϕn ) , tìm phương

y

trình dao động tổng hợp của vật?
ur ur ur
ur
- Áp dụng phương pháp hình chiếu: A = A1 + A 2 + ... + A n
 A x = A1cosϕ1 + A 2cosϕ2 + ... + A n cos ϕn
Chiếu lên trục Ox và Oy: 
A y = A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ2 + ... + A n sin ϕn
2
2
Khi đó: A = A x + A y ; tan ϕ =

Ay
Ax

Ay
o

ur

ϕA

Ax

x

; Các trường hợp về pha ban đầu:

Nếu A x > 0, A y > 0 thì 00 < ϕ < 900 ;

Nếu A x < 0, A y > 0 thì 1800 > ϕ > 900 ;

Nếu A x < 0, A y < 0 thì −900 > ϕ > −1800 ;

Nếu A x > 0, A y < 0 thì 00 > ϕ > −900

Nếu A x < 0, A y = 0 thì ϕ = 1800

Nếu A x > 0, A y = 0 thì ϕ = 00

Nếu A x = 0, A y < 0 thì ϕ = −900

Nếu A x = 0, A y > 0 thì ϕ = 900

Từ đó ta xác định được phương trình dao động tổng hợp của vật là x th = A cos(ωt + ϕ)

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình
dao động: x1 = 2 3 cos(2πt + π/3) (cm), x2 = 4cos(2πt +π/6) (cm) và x3 = 6 cos(πt + π / 3 )
(cm). Phương trình dao động tổng hợp của vật là?

Giải: Ta có
 A x = 2 3cosπ / 3 + 4cosπ / 6 + 6cos π / 3 = 8,196

A y = 2 3 sin π / 3 + 4sin π / 6 + 6sin π / 3 = 10,196
⇒ A = A 2X + A 2Y = 13cm ; tagϕ =
⇒ x = 13cos(2πt +0,893) (cm).

A Y 10,196
=
= 1, 244 ⇒ ϕ = 0,893rad
Ax
8,196


6
Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình lần lượt là: x1 = 5cos(2πt + π / 3), x 2 = 10cos(2πt + 2π / 3), x 3 = 20cos(2πt + π) , Xác định
phương trình dao động tổng hợp của vật?
Giải: Ta có
A x = 5cosπ / 3 + 10cos2π / 3 + 20cos π = −22,5

 A y = 5sin π / 3 + 10sin 2π / 3 + 20sin π = 12,99
⇒ A = A 2X + A 2Y = 26cm ; tagϕ =

A Y 12,99
=
= −0,577 ⇒ ϕ = −π / 6rad
A x −22,5

⇒ x = 26cos(2πt −π / 6 ) (cm).

II.1.3. Bài toán tổng hợp viết phương trình dao động thành phần?
Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động thứ
nhất có phương trình x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) , dao động tổng hợp có phương trình
x th = A cos(ωt + ϕ) , hãy xác định phương trình x2 ?
Ta có x th = x1 + x 2 ⇒ x 2 = x th + (− x1 ) = A cos(ωt + ϕ) + A1 cos(ωt + ϕ1 + π) , đặt x 2 = y th rồi
làm tương tự như như bài tổng hợp bình thường ta có y th = A th .cos(ωt + ϕth )
Với A 2th = A 2 + A12 + 2A1A cos(ϕ − ϕ1 − π) ; tan ϕth =

A1 sin(ϕ1 + π) + A sin ϕ
⇒ ϕth = ...
A1 cos(ϕ1 + π) + A cos ϕ

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có
phương trình: x1 = 3 cos(ωt + π/2) cm, phương trình dao động tổng hợp x = 2cos(ωt +
2π/3)cm, phương trình dao động thứ hai là:
A. x 2 = 2cos(ωt - π/3) cm
B. x2 = cos(ωt + π) cm
C. x 2 = 2cos(ωt + 5π/6) cm

D. x 2 = 2cos(ωt - π/6) cm

Giải:
x th = x1 + x 2 ⇒ x 2 = x th + (− x1 ) = A cos(ωt + ϕ) + A1 cos(ωt + ϕ1 + π)
= 2cos(ωt + 2π / 3) + 3 cos(ωt + π / 2 + π)

,

đặt x 2 = y th = A th cos(ωt + ϕth ) = 2cos(ωt + 2π / 3) + 3 cos(ωt + π / 2 + π)
A 2th = 22 + ( 3) 2 + 2.2. 3.cos(2π/3-π/2-π)=1 ⇒ A th =1cm

7
tan ϕth =

2sin 2π / 3 + 3 sin(3π / 2)
= 0 ⇒ ϕth = π rad
2cos 2π / 3 + 3 cos(3π / 2)

⇒ x 2 = y th = 1cos(ωt + π)cm
Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có
phương trình: x1 = 5cos(πt + π/3) cm, phương trình dao động tổng hợp x = 10cos(πt +
π/6)cm, phương trình dao động thứ hai là?
Giải:
x th = x1 + x 2 ⇒ x 2 = x th + (− x1 ) = A cos(ωt + ϕ) + A1 cos(ωt + ϕ1 + π)
= 10cos( πt + π / 6) + 5cos( πt + π / 3 + π)
A 2th = 10 2 + (5) 2 + 2.10.5.cos(π/6-π/3-π)=38,39 ⇒ A th = 6, 2cm
tan ϕth =

10sin π / 6 + 5sin(4π / 3)
= 0,108 ⇒ ϕth = 0,108rad
10cos π / 6 + 5cos(4π / 3)

⇒ x 2 = y th = 6, 2cos(πt + 0,108)cm
II.2. Bài toán tổng hợp áp dụng dụng phương pháp giản đồ vec tơ
+ Bước 1: Ta đi biểu diễn các dao động thành phần bằng các
uur uur
uuur
véc tơ quay A1 , A 2 và xác định véc tơ A th theo quy tắc hình bình hành.

+ Bước 2: Áp dụng định lí hàm sin và hàm cosin cho tam giác tạo bởi 3 cạnh A1A 2 A th
µ , B,C
µ µ
( Xét tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c; có số đo các góc là A
Biểu thức định lí hàm sin:

a
µ
sin A

Biểu thức định lí hàm cosin:

=

b
µ
sin B

=

c

c

µ
sin C

µ )
a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A

B

A

a
b

C

II.2.1. Bài toán cho độ lệch pha của hai dao động tìm biên độ hoặc pha ban đầu?
Bài toán cho góc lệch pha giữa dao động thứ nhất và dao động tổng hợp, tìm biên độ Auuu
2 ?r
uur uur uuur
A th
uur
- Bước 1: Ta đi vẽ hình biểu diễn A1 , A 2 , A th theo quy tắc hình bình hành
- Bước 2: Xét tam giác tạo bởi ba cạnh A1A 2 A th ta có
A 22 = A 2th + A12 − 2.A th .A1.cos(ϕth − ϕ1 ) ⇒ A 2

A2
A th A 2
uur
ϕth A
1

ϕ1


8
Sử dụng hình vẽ kết hợp với biểu thức định lí hàm cosin:

µ ) sẽ tìm được pha ban đầu.
a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A
Bài tập áp dụng:
Câu 1: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động
thứ nhất có A1 = 10cm , dao động thứ hai có A 2 , dao động tổng hợp có A = 20cm , dao động
thứ nhất trễ pha hơn dao động tổng hợp một góc 150 . Tìm A 2 ?
Giải:
Ta có A 22 = 102 + 202 − 2.10.20.cos150 = 113,6 ⇒ A 2 = 10,65cm

Câu 2: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có
phương trình: x1 = 2 3 sin ωt (cm), x2 = A2cos( ωt + ϕ 2)cm. Phương trình dao động tổng hợp
x = 2cos( ωt + ϕ )cm. Biết dao động thứ hai sớm pha hơn dao động tổng hợp góc π / 3 . Cặp
giá trị nào của A2 và ϕ 2 sau đây là ĐÚNG?
A. 4 cm và π / 3

B. 2 3 cm và π / 4

Giải: x1 = 2 3 sinωt = 2 3 cos(ωt Vẽ giãn đồ véc tơ

C. 4 3 cm và π / 2

D. 6 cm và π / 6

π
)
2

ur uur uur
A = A1 + A 2

uur
uur
π
Góc giữa vect tơ A và A 2 là .
3
Xét tam giác OA 2 A có: A12 = A2 + A22 – 2AA2cos

π
= A2 + A22 – AA2
3

AA22 – 2A1A2 + A2 – A12 = 0
A22 – 2AA2 + A2 – A12 = 0
A22 – 2A2 – 8 = 0 ⇒ A2 = 4cm
uur
ur
Ta có A22 = A12 + A2 = 16 ⇒ A vuông góc với A1 ;
Suy ra ϕ = 0 ⇒ ϕ2 =

π
Chọn đáp án A
3

Câu 3: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động trên trục Ox có phương trình


9
x1 = A1cos10t; x2 = A2cos(10t +ϕ2). Phương trình dao động tổng hợp x = A1 3 cos(10t +ϕ),
trong đó có dao động thứ 2 sớm pha hơn dao động tổng hợp góc
A.

1
3
hoặc
2
4

B.

1
2
hoặc
3
3

C.

3
2
hoặc
4
5

D.

ϕ
π
. Tỉ số
bằng
ϕ2

6

2
4
hoặc
3
3

Giải: Vẽ giản đồ véc tơ như hình vẽ:
Xét tam giác OA1A
A1
A
A2
π ⇒ sinϕ = 2 (*)
=
2A1
sin ϕ sin
6

A

A2

π/6

A22 = A12 + A2 – 2AA1cosϕ = 4A12 - 2 3 A12cosϕ (**)
A2
sinϕ =
=
2 A1

π/6

4 − 2 3 cos ϕ ⇒
4sin2ϕ = 4 - 2 3 cosϕ
2

O

ϕ
A1

2 3 cosϕ = 4(1- sin2ϕ) = 4cos2ϕ ⇒ 2cosϕ (2cosϕ - 3 ) = 0 (***)

φ
π
π
π
2π
3
⇒ cosϕ = 0 hoặc cosϕ = 3 ⇒ ϕ =
⇒ ϕ2 = +
⇒
=
=
φ2
2
2
6
3

4
2
hoặc ϕ =

ϕ
π
π
π
π
1
⇒ ϕ2 = +
= ⇒
=
ϕ2
6
6
6
3
2

Chọn đáp án A
Câu 4: Cho hai dao động điều hòa cùng phương x1 = 2cos(4t + ϕ1 ) (cm); x2 = 2cos(4t + ϕ 2 ) ,

π
0 ≤ ϕ2 − ϕ1 ≤ π . Phương trình dao động tổng hợp là x = 2cos(4t + )(cm) . Giá trị của ϕ1 là
6
A.

π
6

B. −

π
6

C.

π
2

Giải: A 2 = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos(ϕ2 − ϕ1 )
· OA
⇒ 2 2 = 22 + 22 + 2.2.2cos(ϕ2 − ϕ1 ) ⇒ ϕ2 − ϕ1 = A
2
1
Biên độ dao động tổng hợp khi A1 = A2 là

D. −

π
2

uur
A2

Nên AA1OA 2 là hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau sẽ là hình thoi

ur
A

uur
ϕ ϕA x
1
1

O


10
·
·
mà AOx
AOA
= ϕth = π / 6 ⇒ ϕ1 = −π / 6
1 = π/3
II.2.2. Bài toán tổng hợp dao động có biên độ lớn nhất hoặc nhỏ nhất:
Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương
trình x1 = A1cos(ωt + ϕ1 ); x 2 = A 2cos(ωt + ϕ2 ) , phương trình dao động tổng hợp của vật là
x = Acos(ωt + ϕ) .
Biên độ A1 hoặc A 2 hoặc A đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Hãy xác định giá trị lớn
nhất hoặc nhỏ nhất đó? Và khi đó hãy xác định các đại lượng còn lại?
- Khi làm bài tổng hợp có biên độ lớn nhất hoặc nhỏ nhất ta làm như sau:
Bước 1: Áp dụng phương pháp giản đồ véc tơ để vẽ hình biểu
uur uur uuur
diễn A1 ;A 2 ;A th theo quy tắc hình bình hành.
Bước 2: Áp dụng định lí hàm sin cho tam giác tạo bởi 3 cạnh A1A 2 A ta có
A th
A
A

= 2 = 1
sin α sin γ sin β
Ta biện luận biểu thức này và căn cứ vào hình vẽ là xác định được đại lượng cần tìm.
Bài tập áp dụng
Câu 1: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương , có các phương
π
π


trình : x1 = A1 cos  ωt + ÷ và x 2 = 6cos  ωt − ÷. Để vật dao động với biên độ nhỏ nhất thì
6
2


r
A1

pha dao động ban đầu của vật là bao nhiêu?
Giải: Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có :
π
A
A
π
3⇒
= 2 ⇒A=
A
.
min khi sinα =1 ⇒α = π/2 ⇒ ϕ = −
π sin α
sin

α
3
sin
3

ϕ

A 2 sin

r π
A2
3

α

r
A

Câu 2: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa
π

x1 = 10cos ( ωt + ϕ1 ) và x 2 = A 2 cos  ωt − ÷, phương trình dao động tổng hợp của vật là
2



11
π

x 2 = A cos  ωt − ÷. Để vật dao động với biên độ bằng một nửa giá trị cực đại của biên độ

3

r
A
1
thì A2 bằng bao nhiêu?
A1
A
A sin α
r
r
π
=
⇒A= 1
π sin α
π ⇒ A max ⇔ α = ⇔ A1 ⊥ A 2
Giải : Ta có
sin
sin
2
6
6
⇒ Amax =

A1
π
= 20
⇒ A = Amax/2 = 10 thi A 2 = 2A1 sin = 10 3 .
π
cos

6
3

π/3

r
A

r
A2

Câu 3 : Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương có các phương trình
π

x1 = A1 cos  ωt − ÷cm và x 2 = A 2 cos ( ωt + π ) cm . Phương trình dao động tổng hợp của vật
6

x = 9cos ( ωt + ϕ ) cm . Để A2 đạt giá trị lớn nhất thì A1 phải bằng bao nhiêu?
Giải:
A
Ta có :

khi α =

sin

π
6

=

A2
⇔
Amax
sin α

π
⇔ A = 18cm ⇔ A1 = A 22 − A 2 = 9 3cm
2

Câu 4 : Hai dao động điều hòa cùng tần số x 1=A1 cos(ωt -

π
) cm và x2 = A2 cos(ωt-π) cm có
6

phương trình dao động tổng hợp là x = 9cos(ωt+φ). Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì A1 có
giá trị:
A:18 3 cm

B: 7cm

c:15 3

D:9 3 cm

Giải: Vẽ giản đồ vectơ như hình vẽ
A2
A
A sin α

=
⇒ A2 =
π
π
Theo định lý hàm số sin: sin α
sin
sin
6
6
A2 có giá trị cực đại khi sinα có giá trị cực đại = 1 ⇒ α = π/2


12
A2max = 2A = 18cm ⇒ A1 =

A 22 − A 2 = 182 − 92 = 9 3 (cm). Chọn đáp án D

Câu 5: Một vật thực hiện đông thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có
phương trình lần lượt là: x1 = A1cosω t cm; x2 = 2,5 3cos(ω t+ϕ 2 ) , biên độ dao động tổng hợp
là 2,5cm. Biết A1 đạt cực đại, hãy xác định φ2 ?
A: không xác định được

B:

π
rad
6

c:

2π
rad
3

D:

5π
rad
6

Giải: Vẽ giản đồ vectơ như hình vẽ
Theo định lý hàm số sin:

A1
A
A sin α
=
⇒ A1 =
sin α sin( π − ϕ2 )
sin(π − ϕ2 )

A1 có giá trị cực đại khi sinα có giá trị cực đại = 1 ⇒ α = π/2
A1max =

A 2 + A 22 = 2,52 + 3.2,52 = 5 (cm)

sin(π - ϕ2) =

A
1

=
A1max 2

⇒ π - ϕ2 =

π
5π
⇒ ϕ2 =
6
6

Chọn đáp án D

Câu 6: Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là
x1 = A1 cos(ωt + 0,35)(cm) và x 2 = A 2 cos(ωt − 1,57)(cm) . Dao động tổng hợp của hai dao
động này có phương trình là x = 20cos(ωt + ϕ)(cm) . Giá trị cực đại của (A1 + A2) gần giá trị
nào nhất sau đây?
A. 25 cm

B. 20 cm

C. 40 cm

Giải: ϕ1 = 0,35 rad = 200; ϕ2 = -1,58 rad = - 900
Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ
α=

π
+ ϕ; β = 1800 - ϕ1- ϕ2 = 700
2

Áp dụng ĐL hàm số sin
A2
A
A1
20
=
=
=
= 21,3
sin α sin(ϕ1 − ϕ) sin β sin 700
A1 = 21,3sinα = 21.3cosϕ
A2 = 21,3sin(200 - ϕ)

D. 35 cm


13
A1 + A2 = 21,3[cosϕ + sin(200 - ϕ)] = 21,3[cosϕ + cos(700 + ϕ)] = 42,6cos350cos(ϕ + 350)
(A1 + A2)max = 42,6cos350 = 34,896 cm = 35cm. chọn đáp án D
II.3. Bài toán khoảng cách giữa hai chất điểm dao động điều hòa
II.3.1. Bài toán xác định các thời điểm mà hai vật cách nhau một khoảng ∆x ?
Cho 2 vật dao động điều hòa trên 2 đường thẳng song song với nhau và song song với trục
ox, có vị trí cân bằng của hai vật là ngang nhau, ngang với điểm O, có phương trình lần lượt
là x1 = A1cos(ωt + ϕ1 ); x 2 = A 2cos(ωt + ϕ2 ) . Hãy xác định các thời điểm mà hai vật cách
nhau một khoảng ∆x bất kì?
- Khi hai vật cách nhau một khoảng ∆x thì:
x1 − x 2 = ∆x ⇒ x1 + (− x 2 ) = ∆x ⇒ A1cos(ωt + ϕ1 ) + A 2cos(ωt + ϕ2 + π) = ∆x

(1)

- Đặt x th = ∆x = A1cos(ωt + ϕ1 ) + A 2cos(ωt + ϕ2 + π) = A th cos(ωt+ϕ th )
A th = A12 + A 22 + 2A1 A 2cos(ϕ2 + π − ϕ1 )

⇒ được phương trình xth
Ta có 
A1 sin ϕ1 + A 2 sin(ϕ2 + π)
tg
ϕ
=
⇒
ϕ
 th
th
A1cosϕ1 + A 2cos(ϕ2 + π)

- Thay x th vào phương trình (1) ta có x th = A th cos(ωt+ϕth ) = ∆x ⇒ cos(ωt+ϕth ) =

∆x
= cosα
A th

α − ϕ k2π

t1 =
+

ωt1 + ϕ = α + k2π

ω

ω
⇒
⇒
ωt 2 + ϕ = −α + l2π  t = −α − ϕ + l2π
2
ω
ω

( đây chính là biểu thức các thời điểm mà hai vật cách nhau một khoảng ∆x )
II.3.2. Khi bài toán cho hai vật có cùng tọa độ
Thì ta thay ∆x = 0 rồi làm tương tự trên ta được:
x th = A th cos(ωt + ϕth ) = 0 ⇒ ωt + ϕth =
π
− ϕth kπ
⇒ t= 2
+
ω
ω

π
+ kπ
2

( Đây chính là biểu thức các thời điểm mà 2 vật có cùng tọa độ).


14
II.3.3. Khi bài toán yêu cầu xác định khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa 2 vật
trong quá trình dao động.
- Khoảng cách giữa 2 vật trong quá trình dao động trên trục ox là = x2 − x1

= x1 + (− x 2 ) = A1cos(ωt + ϕ1 ) + A 2cos(ωt + ϕ2 + π)
- Đặt x th = A1cos(ωt + ϕ1 ) + A 2cos(ωt + ϕ2 + π) = A th cos(ωt+ϕth )
Khi đó khoảng cách giữa hai vật trên trục ox luôn biến thiên điều hòa theo thời gian theo
phương trình x th = A th cos(ωt+ϕth )
A th = A12 + A 22 + 2A1 A 2cos(ϕ2 + π − ϕ1 )

⇒ phương trình x th
Ta có 
A1 sin ϕ1 + A 2 sin(ϕ2 + π)
tg
ϕ
=
⇒
ϕ
 th
th
A1cosϕ1 + A 2cos(ϕ2 + π)

⇒ khoảng cách lớn nhất giữa 2 vật trên trục Ox chính bằng biên độ A th , nhỏ nhất là bằng 0
Bài tập áp dụng
Câu 1: Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau
và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng
qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Phương trình dao động của chúng lần lượt là
x1=10cos2πt cm và x2 = 10 3 cos(2πt +

π
) cm. Hai chất điểm gặp nhau khi chúng đi qua
2

nhau trên đường thẳng vuông góc với trục Ox. Thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm gặp

nhau là:
A. 16 phút 46,42s

B. 16 phút 46,92s

Giải: Ta có x2 = 10 3 cos(2πt +

C. 16 phút 47,42s D. 16 phút 45,92s

π
) cm = - 10 3 sin(2πt )
2

x1 = x2 ⇒ 10cos(2πt = - 10 3 sin(2πt ) ⇒ tan(2πt ) = 2πt = -

1
⇒
3

π
1 k
5
k
+ kπ ⇒ t = +
(s) với k = 1; 2; 3.... hay t =
+
với k = 0, 1,2 ...
6
12 2
12

2

Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm gặp nhau ứng với k = 0: t1 =

5
s.
12


15
Lần thứ 2013 chúng gặp nhau ứng với k = 2012
⇒ t2013 = 1006

5
= 16phút 46,4166s = 16 phút 46,42s
12

Đáp án A

Câu 2: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có
phương trình li độ lần lượt là x1 = 4cos(

2π
π
2π
t - ) và x2 = 3cos
t (x1 và x2 tính bằng cm, t
3
2
3

tính bằng s). Tại các thời điểm x1 = x2 và gia tốc của chúng đều âm thì li độ của dao động
tổng hợp là
A. −4,8cm
Giải: + x1 = 4cos(

B. 5,19cm

D. −5,19cm .

C. 4,8cm .

2π
π
2π
t - ) = 4sin(
t)
3
2
3

+ Khi x1 = x2 ⇒ 4sin

2π
2π
2π
3
2π
3
2π

37π
t = 3cos
t ⇒ tan
t = ⇒ sin
t= ⇒
t=
3
3
3
4
3
5
3
180

+ Dao động tổng hợp: x = 5cos(

2π
53π
16π
t) = 5cos(
) = 4,8cm
3
180
180

Câu 3: Hai chất điểm P và Q dao động điều hòa trên cùng một trục Ox (trên hai đường thẳng
song song kề sát nhau) với phương trình lần lượt là x 1 = 4cos(4 π t + π /3)(cm) và x2 = 4 2
cos(4 π t + π /12)(cm). Coi quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Hãy
xác định trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai chất điểm là

bao nhiêu?
A. dmin = 0(cm); dmax = 8(cm)

B. dmin = 2(cm); dmax = 8(cm)

C. dmin = 2(cm); dmax = 4(cm)

D. dmin = 0(cm); dmax = 4(cm)

Giải:
* Để xác định khoảng cách ta viết phương trình hiệu của x1 và x2 :
x = x1 – x2 = Acos( ω t + ϕ)
A2 = A12 + A22 – 2A1A2cos(ϕ1 - ϕ2) = 42 => A = 4cm
=> dmin = xmin = 0(cm); dmax = xmax = 4(cm)

ĐÁP ÁN D

Câu 4: Cho hai vật dao động điều hoà trên cùng một trục toạ độ Ox, có cùng vị trí cân bằng
là gốc O và có cùng biên độ và với chu kì lần lượt là T 1=1s và T2=2s. Tại thời điểm ban đầu,


16
hai vật đều ở miền có gia tốc âm, cùng đi qua vị trí có động năng gấp 3 lần thế năng và cùng
đi theo chiều âm của trục Ox. Thời điểm gần nhất ngay sau đó mà hai vật lại gặp nhau là:
A.

2
s
9

B.

4
s
9

C.

2
s
3

D.

1
s
3

Giải: Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều ở miền có gia tốc âm nên x >0, cùng đi qua vị trí có
động năng gấp 3 lần thế năng x =

A
và cùng đi theo chiều âm của trục Ox
2

π
Phương trình dao động vật 1 là x1 = A cos(2π t + )
3
π
Phương trình dao động vật 2 là x2 = A cos(π t + )

3
π
π
Gặp nhau nên x1 = x 2 ↔ A cos(2πt + ) = A cos(πt + )
3
3
π
π

2πt + = πt + + k2π
 πt = k2π

π
π
3
3
cos(2πt + ) = cos(πt + ) ↔ 
↔
3πt = − 2π + k2π
π
π
3
3
 2πt + = −πt − + k2π
3


3
3
 t = k2

↔
t = − 2 + k 2
9
3

Khi k =1 thì t=2 và t =

4
s (chọn)
9

Câu 5: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có
phương trình li độ lần lượt là x 1 = 3cos(

2π
π
2π
t - ) và x2 =3 3 cos
t (x1 và x2 tính bằng
3
2
3

cm, t tính bằng s). Tại các thời điểm x1 = x2 li độ của dao động tổng hợp là:
A. ± 5,79 cm.

B. ± 5,19cm.

C. ± 6 cm.

Giải: Ta có phương trình dao động tổng hợp x12 = 6cos(

D. ± 3 cm.
2π t π
− )
3
6


17
Khi x1 = x2 ta có 3cos(

2π
π
2π
t - ) = 3 3 cos
t
3
2
3

 2πt π 
 2πt 
 2πt 
 2πt 
⇔ cos 
− ÷ = 3 cos 
÷ ⇔ sin 
÷ = 3 cos 
÷

2
 3
 3 
 3 
 3 
3
 2πt  1  2πt 
 2πt π 
cos 
+ ÷= 0
÷− sin 
÷ = 0 ⇔ cos 
2
6
 3  2  3 
 3
2πt π π
1
⇔
+ = + kπ ⇒ t = + 1,5k(k ∈ z)
3
6 2
2
⇔

Chu kỳ dao động : T = 3s nên có 2 thời điểm là t1 = 0,5s(k = 0) & t 2 = 2s(k = 1) khi đó có hai
vị tri gặp nhau ứng với li độ dao động tổng hơp là
2π.0,5 π
− ) = 5,19cm
3

6
Đáp án B
2π.2 π
&x12 = 6cos(
− ) = −5,19cm
3
6
x12 = 6cos(

Câu 6: Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm ngang dọc
theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độ của con lắc
một là A1 = 4cm, của con lắc hai là A2 = 4 3 cm, con lắc hai dao động sớm pha hơn con lắc
một. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox là a = 4cm.
Khi động năng của con lắc một cực đại là W thì động năng của con lắc hai là:
A. 3W/4.

B. 2W/3.

C. 9W/4.

D. W

Giải: Giả sử phương trình dao động của hai con lắc lò xo:
x1 = 4cosωt (cm); x2 = 4 3 cos(ωt + ϕ) (cm)
uur uur
ur uur
uur
Vẽ giãn đồ véc tơ A1 ; A2 và coi A = A2 + (− A1 )
ur
Vectơ A biểu diễn khoảng cách giữa hai vật x = x2 – x1

A2
O

Đặt x = Acos(ωt + ϕ’)
biên độ của x: A2 = A12 + A22 – 2A1A2cosϕ = 64 - 32 3 cosϕ
Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox
khi cos(ωt + ϕ’) = ± 1 ⇒ A = a = 4cm ⇒ A2 = 16
64 - 32 3 cosϕ = 16 ⇒ cosϕ =

π
3⇒
ϕ=
6
2

ϕ’

ϕ
A1

A
x


18
Do đó x2 = 4 3 cos(ωt + ϕ) = x2 = 4 3 cos(ωt +
Khi Wđ1 = Wđmax =

π

)
6

kA12
= W thì vật thứ nhất qua gốc tọa đô: x1 = 0 ⇒ cosωt = 0;sinωt = ± 1
2

Khi đó x2 = 4 3 cos(ωt +

π
π
π
A
) = 4 3 cosωt cos - 4 3 sinωt sin = ± 2 3 cm = ± 2
6
6
6
2

3 kA 22
kA 22 kx 22
Wđ2 =
=
4 2
2
2
Wđ 2
Wđ1

3 kA 22

2
Wđ 2 4 2
3 A2 9
9
⇒ Wđ2 = W. Đáp án C
=
=
=
2
2 =
kA1
W
4 A1 4
4
2

Câu 7: Hai chất điểm M1 và M2 cùng dao động điều hòa trên một trục x quanh điểm O với cùng
tần số f. Biên độ của M1 là A, của M2 là 2A. Dao động của M1 chậm pha hơn một góc ϕ = π / 3
so với dao động của M2, lúc đó
A. Khoảng cách M1M2 biến đổi tuần hoàn với tần số f, biên độ A 3.
B. Khoảng cách M1M2 biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ A 3.
C. Độ dài đại số M 1M 2 biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ A 3 và vuông pha với dao
động của M2.
D. Độ dài đại số M 1M 2 biến đổi điều hòa với tần số f, biên độ A 3 và vuông pha với dao
động của M1.
Giải: Giả sử dao động của M1 và M2 có phương trình: x1 = Acos2πft ; x2 = 2Acos(2πft +
Khoảng cách giữa 2 vật = x2 – x1 = x2 + (− x1 ) = 2Acos(2πft +
= A 3 cos(2πft +

π

) + Acos(2πft + π )
3

π
). Chọn đáp án D
2

π
)
3


19
Câu 8: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox theo các phương trình
π
2

lần lượt là x1 = 4 cos(4π t )cm và x2 = 4 3 cos(4π t + )cm . Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm
gặp nhau là
B. 1 s

A. 1 s

C. 1 s

4

16

D. 5 s

12

24

Giải : ∆x = x2 – x1 = 8cos ( 4πt + 2π/3) cm
Khoảng thời gian ngắn nhất để hai chất điểm gặp nhau là
∆x = 0 => 8cos ( 4πt + 2π/3) = 0 => t = 5/24 s
Chọn D
Câu 9 : Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa
độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị trí cần bằng
của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động
của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt +π/2)cm và
y =4cos(5πt – π/6)cm. Khi chất điểm thứ nhất có li
độ x = − 3 cm và đang đi theo chiều âm thì khoảng cách giữa hai chất điểm là
A. 3 3 cm.

B.

7 cm.

C. 2 3 cm.

D. 15 cm.

Giải:
Tại t = 0: x = 0, vx< 0 chất điểm qua CB theo chiều âm
y = 2 3 , vy >0, chất điểm y đi từ 2 3 ra biên.
* Khi chất điểm x đi từ VTCB đến vị trí x = − 3 hết thời gian T/6
* Trong thời gian T/6 đó, chất điểm y đi từ y = 2 3 ra biên dương rồi về lại đúng y = 2 3

* Vị trí của 2 vật như hình vẽ
Khoảng cách giữa 2 vật là d =

( 3) + ( 2 3)
2

2

= 15 cm


20
Câu 10: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có
phương trình li độ lần lượt là x 1 = 3cos(

2π
π
2π
t - ) và x2 =3 3 cos
t (x1 và x2 tính bằng
3
2
3

cm, t tính bằng s). Tại các thời điểm x1 = x2 li độ của dao động tổng hợp là:
A. ± 5,79 cm.

B. ± 5,19cm.

C. ± 6 cm.

Giải: Ta có phương trình dao động tổng hợp x12 = 6cos(
Khi x1 = x 2 ta có 3cos(

D. ± 3 cm.
2πt π
− )
3
6

2π
π
2π
t - ) = 3 3 cos
t
3
2
3

 2πt π 
 2πt 
 2πt 
 2πt 
⇔ cos 
− ÷ = 3 cos 
÷ ⇔ sin 
÷ = 3 cos 
÷
2
 3

 3 
 3 
 3 
3
 2πt  1  2πt 
 2πt π 
cos 
+ ÷= 0
÷− sin 
÷ = 0 ⇔ cos 
2
6
 3  2  3 
 3
2πt π π
1
⇔
+ = + kπ ⇒ t = + 1,5k(k ∈ z)
3
6 2
2
⇔

Chu kỳ dao động : T = 3s nên có 2 thời điểm là t1 = 0,5s(k = 0) & t 2 = 2s(k = 1) khi đó có hai
vị tri gặp nhau ứng với li độ dao động tổng hơp là
2π.0,5 π
− ) = 5,19cm
3
6
Đáp án B

2π.2 π
&x12 = 6cos(
− ) = −5,19cm
3
6
x12 = 6cos(

Câu 11: Hai chất điểm dao động điều hoà trên trục Ox với các phương trình lần lượt là
x1 = 2Acos

2π
2π
T 3
π
t (cm), x2 = Acos(
t + ) (cm) . Biết 1 = .
T1
T2
T2 4
2

Vị trí mà hai chất điểm gặp nhau lần đầu tiên là:
A. x = - A.

B. x = -

2A
.
3

C. x = -

A
.
2

Giải: Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ.
Ở thời điểm ban đầu hai chất điểm ở M01 và M02

D. x = -1,5A.


21
Sau thời gian t =
x1 = 2Acos(
x2 = Acos(

T1 T2
=
hai chất điểm ở M1 và M2
3
4

2π T1
2π
) = 2Acos(
) = -A
T1 3
3

2π T2
π
+ ) = Acos(π) = - A
T2 4
2

Như vậy vị trí hai chất điểm gặp nhau lần đầu tiên
có tọa độ x = - A. Chọn đáp án A
Câu 12: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox theo các phương trình
π
2

lần lượt là x1 = 4 cos(4π t )cm và x2 = 4 3 cos(4π t + )cm . Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm
gặp nhau là
A. 1 s
16

B. 1 s
4

C. 1 s

D. 5 s

12

24

Giải : Khoảng cách giữa 2 chất điểm ∆x = x2 – x1 = 8cos ( 4πt + 2π/3) cm
Khoảng thời gian ngắn nhất để hai chất điểm gặp nhau là

∆x = 0 => 8cos ( 4πt + 2π/3) = 0 => t = 5/24 s

Chọn D

Câu 14: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo
hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M
và của N đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là
6 cm, của N là 8 cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo
phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng
thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là
Giải: Khoảng cách giữa hai chất điểm là x 2 − x1 bằng hình chiếu của MN xuống trục ox.
Giá trị x 2 − x1 lớn nhất khi MN//ox. Mà ta có MN 2 = A12 + A 22 => hai dao động vuông pha
N

M

x
O


22
nhau => khi dao động thứ nhất có Wđ = Wt ⇔ x1 = ±

A1 2
thì
2

A2 2
WđM WM A12 62 9
x 2đ =

⇔W =W ⇔
=
=
=
= .
2 ±
t2
2
WđN WN A 22 82 16
II.4. Bài toán tổng hợp áp dụng đạo hàm, áp dụng vi phân
II.4.1. Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương
trình dao động lần lượt là: x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) ; x 2 = A 2 cos(ωt + ϕ2 ) . Cho biết:
n.x12 + m.x 22 = b với m, n ,b là các số thực. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x1, tốc độ của
nó bằng v1 thì chất điểm thứ 2 có tốc độ là bao nhiêu?

- Ta có x , = v ; (u α ) ' = αu α−1u ,
- Lấy đạo hàm hai vế biểu thức n.x12 + m.x 22 = b
Ta có: (n.x12 + m.x 22 ) ' = b ' ⇔ 2.n.x12−1.(x1 ) ' = 2.m.x 22−1.(x 2 ) ' ⇔ 2.n.x12−1.v1 = 2.m.x 22−1.v 2 ⇒ v 2 =
II.4.2. Ba con lắc lò xo treo thẳng đứng có điểm treo cách đều nhau và có vị trí cân
bằng của ba con lắc là ngang nhau. Giả sử thứ tự ba con lắc từ trái sang phải là 1, 2, 3.
Con lắc thứ nhất có phương trình x1 = A1cos(ωt + ϕ1 ) cm. Con lắc thứ hai có phương
trình x 2 = A 2cos(ωt + ϕ2 ) cm. Để ba vật nặng của ba con lắc luôn thẳng hàng nhau thì
con lắc thứ ba phải có phương trình là?
- Để 3 vật luôn thẳng hàng trong quá trình dao động thì độ lớn vận tôc tương đối của vật 1 so
với 2 phải bằng của vật 3 so với vật 2, còn chiều thì chúng phải ngược chiều nhau.
uur
uur
v12 = − v 32 ⇒ v1 − v 2 = −(v 3 − v 2 ) ⇒ 2v 2 = v1 + v 3 (1)

m1

Lấy vi phân 2 vế của (1) ta có 2x 2 = x1 + x 3 ⇒ x 3 = 2x 2 + (− x1 )
x 3 = 2A 2cos(ωt + ϕ2 ) + A1cos(ωt + ϕ1 − π)
Rồi làm như bài toán tổng hợp là ta sẽ tìm được x 3

uuu
r
v12

m2

uuu
r
v 32

m3

Bài tập áp dụng:
Câu 1: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương trình dao
động


23
lần lượt là: x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) ; x 2 = A 2 cos(ωt + ϕ2 ) . Cho biết: 4 x12 + x 22 = 13(cm2) . Khi
chất điểm thứ nhất có li độ x1 =1 cm, thì tốc độ của nó bằng 6 cm/s. Khi đó tốc độ của chất
điểm thứ hai là
A. 9 cm/s.

B. 6 cm/s.

C. 8 cm/s.

D. 12 cm/s.

Giải:
Từ 4 x12 + x22 = 13(cm2) . Đạo hàm hai vế theo thời gian ta có ( v1 = x’1 ; v2 = x’2)
8x1v1 + 2x2v2 = 0 ⇒ v2 = -

4x1v1
x2

Khi x1 = 1 cm thì x2 = ± 3 cm. ⇒ v2 = ± 8 cm/s. .
Tốc độ của chất điểm thứ hai là 8 cm/s. Chọn đáp án C
Câu 2: Ba con lắc lò xo treo thẳng đứng có điểm treo cách đều nhau và có vị trí cân bằng ở
cùng độ cao. Giả sử thứ tự ba con lắc từ trái sang phải là 1, 2, 3. Con lắc thứ nhất có phương
trình x1 = 3cos (20t + π/2) cm. Con lắc thứ hai có phương trình x2 = 1,5cos 20t cm. Để ba vật
nặng của ba con lắc luôn thẳng hàng nhau thì con lắc thứ ba phải có phương trình là

Giải:

A. x3 = 3 2 cos (20t – π/4) cm.

B. x3 = 1,5cos (20t + π/4).

C. x3 = 3 2 cos (20t + π/4) cm.

D. x3 = 1,5cos (20t – π/4).

x 3 = 2A 2cos(ωt + ϕ2 ) + A1cos(ωt + ϕ1 + π) = 3cos(20t) + 3cos (20t + π/2-π)

A 3 = 32 + 32 = 3 2 cm tgϕ3 =

3sin 0 + 3sin( −π / 2)
π
= −1 ⇒ ϕ3 = − rad
3cos 0 + 3cos( −π / 2)
4

⇒ x 3 = 3 2cos(20t-π/4)cm

Đáp án A

II.5. Một số bài toán khó:
Câu 1: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ
bằng trung bình cộng của hai biên độ thành phần, có góc lệch pha so với dao động thành
phần thứ nhất là 900. Góc lệch pha của hai dao động thành phần đó là:
A. 143,10.

B. 1200.

Giải: Chọn pha ban đầu của A1 bằng 0
khi đó ϕ = 900 . Do đó góc lệch pha của

C. 126,90.

D. 1050.


24
hai dao động thành phần đó là ϕ2 = 900 + α Với sinα =

A2 = A12 + A22 ⇒ (
⇒ A2 =

A1
A2

A1 + A 2 2
) = A12 + A22 ⇒ 3A22 - 2A1A2 – 5A12 = 0
2

A
A1 ± 4A1
3
⇒ A1 = A2 ⇒ sinα = 1 = 0,6 ⇒ α = 36,86990
A2
3
5

⇒ ϕ2 = 900 + α = 126,90 . Đáp án C
Câu 2: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hoà cùng pha, cùng tần số có phương
trình lần lượt là: x1 = A1cos(2 π t +

2π
2π
) cm; x2 = A2cos(2 π t)cm; x3 = A3cos(2 π t 3
3

)cm.Tại thời điểm t1 các giá trị ly độ x1 = - 20cm, x2 = 80cm, x3 = - 40cm, thời điểm t2 = t1 +
T/4 các giá trị ly độ x1 = - 20 3 cm, x2 = 0cm,x3 = 40 3 cm. Tìm phương trình của dao động
tổng hợp.

Giải : Ta có t2 = t1 + T/4 nên dao động ở thời điểm t2 lệch pha so với dđ ở thời điểm t1 là π/2.

(

2
2
2
−20 3
−
20
x
x
(
)
11
12
Do đó ta có :
+
=
1
⇒
+
A12 A12
A12
A12

)

2

= 1 => A1 = 40cm

x 221 x 222
( 80 ) + 0 = 1 => A = 80cm
+
=
1
⇒
2
A 22 A 22
A 22
A 22
2

x
x
( −40 ) +
+
=1⇒
A
A
A 32
2
31
2
3

2
32
2

3

2

(

−40 3
A

2
3

)

2

= 1 => A3 = 80cm

Dđ tổng hợp : x = x1 + x2 + x3 = x1 + x23 = 40cos(2 π t - π/3)cm
Câu 3: Gọi x là dao động tổng hợp của hai dao động cùng phương : x 1 = 10cos(ωt + φ1) và x2
= Acos(ωt + φ2). Biết khi x1 = – 5cm thì x = – 2cm ; khi x2 = 0 thì x = – 5 3 cm và
T/12
| φ1 – φ2 | < π / 2. Biên độ của dao động tổng hợp bằng:
A. 10cm

B. 2cm

C. 16 cm

D. 14 cm

-10

-5

-5

x1

0

Giải: Ta có x = x1 + x2
T/12

Ở thời điểm t1 : x2 = x – x1 = - 2 + 5 = 3
0

A2/2

A2

X2


25
Ở thời điểm t2 : x1’ = x’ – x2’ = - 5 3 - 0 = -5 3
* Khoảng thời gian để x1 có giá trị

A2

từ -5 đến 5 3 là ∆t = T/12

A1

* Trong khoảng thời gian đó x2 phải có giá trị từ x2 =

600

A2/2 đến x2’ = 0 vì | φ1 – φ2 | < π / 2.
=> A2/2 = 3 => A2 = 6 cm và
| φ1 - φ2|=600

-5

-5

0

3

6

* Biên độ của dao động tổng hợp bằng:
A2 = 102 + 62 + 2.10.6.cos600
=> A =14cm
Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình lần lượt là x1 = A1 cos(ωt + π / 2) ; x2 = A2 cos(ωt ) ; x3 = A3 cos(ωt − π / 2) . Tại thời
điểm t1 các giá trị li độ x1 = −10 3 cm , x2 = 15cm , x3 = 30 3 cm. Tại thời điểm t2 các giá trị
li độ x1 = −20cm, x2 = 0cm, x3 = 60cm. Biên độ dao động tổng hợp là
A. 50cm.

B. 60cm.

C. 40 3 cm.
2

D. 40cm.

2

x  x 
Giải: x1 và x2 vuông pha nên:  1 ÷ +  2 ÷ = 1
 A1   A 2 
2

2

x  x 
x2 và x3 vuông pha nên:  2 ÷ +  3 ÷ = 1
 A 2   A3 
2

2

 −20   0 
Tại t2 
÷ +
÷ = 1 => A1 = 20cm
A
A

 1   2
2

2

2

2

 −10 3   15 
x  x 
Tại t1  1 ÷ +  2 ÷ = 1 => 
÷ +
÷ = 1 => A 2 = 30 cm
A
A
20
A
 1  2

  2
2

2

2

2
 x2   x3 
 15   30 3 

2
2
÷ = 1=> A 3 = 60 cm ⇒ A = A 2 + (A 3 − A1 ) = 50cm
÷ = 1 =>  ÷ + 

÷ +
 30   A 3 
 A 2   A3 

III. BÀI TẬP ÔN TẬP