Mô hình tính phá hủy trong kết cấu do động đất

GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TÍNH PHÁ HỦY TRONG KẾT CẤU
DO ĐỘNG ĐẤT GÂY RA
TS. NGUYỄN VĂN BẮC
Trường Đại học GTVT - Cơ sở 2 - Tp. Hồ Chí Minh
1. Giới thiệu
Điểm căn bản trong các tiêu chuẩn thiết kế chống động đất hiện nay là vẫn còn giả thiết rằng phổ
phản ứng gia tốc nền đàn hồi (hoặc biến thể đàn hồi) sẽ cung cấp phương tiện tốt nhất để thành lập
sự ứng xử đòi hỏi của kết cấu. Theo phương pháp này, sự ứng xử của kết cấu chịu động đất được
dựa trên một “khoảnh khắc” ứng xử, đó là ứng xử tại thời điểm động đất gây ra lực cắt ngang lớn
nhất cho một kết cấu “đàn hồi tương đương”. Những ảnh hưởng của khoảng thời gian động đất đến
ứng xử của kết cấu không được tính đến một cách trực tiếp, chẳng hạn với cùng một sóng động đất,
kết cấu có chu kỳ dao động ngắn sẽ chịu một số lượng tải trọng lặp lớn hơn là kết cấu có chu kỳ dao
động dài. Vì vậy lực thiết kế chống động đất cho kết cấu (kết cấu “đàn hồi tương đương”) xác định
theo những tiêu chuẩn nói trên thường thấp hơn so với lực quán tính ngang lớn nhất thực tế có thể
xảy ra trong kết cấu theo một cấp động đất thiết kế. Kết quả là khi có động đất “nguy hiểm” xảy ra, sự
phá hủy thực tế phát sinh trong kết cấu có thể vượt quá sự phá hủy thiết kế cho kết cấu. Khác với
các tiêu chuẩn còn lại, tiêu chuẩn Eurocode 8 [1] có điểm mới là thành lập phổ ứng xử thiết kế từ phổ
phản ứng gia tốc nền đàn hồi nói trên thông qua việc dùng “hệ số ứng xử” q (phổ ứng xử thiết kế
được chiết giảm từ phổ ứng xử gia tốc nền đàn hồi qua hệ số q). Eurocode 8 giả thiết rằng với việc
dùng một “hệ số ứng xử” này thì ứng xử của kết cấu thiết kế được coi là đã gián tiếp kể đến những
ảnh hưởng của ứng xử phi đàn hồi, khả năng giải phóng năng lượng và tất cả các ảnh hưởng khác
có thể có. Tuy nhiên, sự ưu việt của việc dùng “hệ số ứng xử” q (nếu kể thêm các nguyên tắc phân
tích “tổ hợp các mode dao động” có hướng dẫn trong Eurocode 8 và các tiêu chuẩn khác) để bao
gồm ảnh hưởng của ứng xử phi đàn hồi và giải phóng năng lượng dường như vẫn khó có giá trị với
ứng xử thực sự của kết cấu và chưa thể giải thích được cơ chế ứng xử phi đàn hồi, giải phóng năng
lượng của kết cấu vì nó phải dùng một số lượng lớn các giả thiết/qui tắc có tính thực nghiệm và sự
xấp xỉ. Do đó ảnh hưởng của ứng xử phi đàn hồi và khoảng thời gian động đất hay năng lượng biến
dạng giải phóng trong kết cấu là không được xét đến một cách rõ ràng.
Để đảm bảo sự an toàn cho kết cấu, một cơ chế biến dạng “dẻo” (ductility) có khả năng giải
phóng một lượng lớn năng lượng biến dạng do động đất gây ra trong kết cấu phải được cung cấp
cho kết cấu khi thiết kế. Do đó, việc thừa nhận cẩn thận những ứng xử của kết cấu tại trạng thái giới

hạn, bao gồm cả chuyển vị và năng lượng biến dạng là vô cùng quan trọng đối với thiết kế chống
động đất. Bởi vì việc kết cấu phá hủy và sụp đổ khi có động đất xảy ra có thể dẫn đến việc cướp đi
nhiều mạng sống con người.
Trong bài viết này, trước tiên tác giả bàn luận về điểm không đầy đủ trong việc xác định tính phá
hủy trong kết cấu đề cập trong các tiêu chuẩn thiết kế chống động đất. Sau đó sẽ giới thiệu các mô
hình tính phá hủy dựa trên kết quả phân tích kết cấu, cụ thể là mô hình phá hủy bao gồm chuyển vị
lớn nhất và năng lượng biến dạng giải phóng trong kết cấu khi dao động. Cuối cùng là giới thiệu mô
hình phá hủy Park-Ang [2], ví dụ áp dụng mô hình này vào kết quả phân tích của phương pháp Phần
Tử Hữu Hạn (PTHH) để xác định mức độ phá hủy trong một trụ cầu bêtông cốt thép (BTCT) do một
sóng động đất gây ra.
2. Sự không thỏa đáng của mô hình tính phá hủy trong các tiêu chuẩn thiết kế động đất
Theo nhiều tiêu chuẩn hiện tại [3-7], sự phá hủy trong kết cấu, nếu cần xác định, thường được
xác định dựa vào hệ số “chuyển vị dẻo”  và được biểu diễn như sau [8]:


Trong đó:

m
y

(1)


m - chuyển vị lớn nhất trên kết cấu trong suốt thời gian do động đất gây ra;
y - chuyển vị đàn hồi tới hạn dẻo, trên thời điểm đó kết cấu được giả thiết chịu sự gia tăng lớn về
chuyển vị nhưng không có sự gia tăng thêm về lực ngang. Các cấp độ của lực thiết kế được xác định
dựa vào một mức độ chấp nhận “cho phép” của sự phá hủy trong kết cấu. Tuy nhiên, thông số hóa
sự phá hủy trong kết cấu bởi mô hình (1) là không thỏa đáng và thiếu chính xác vì nó đơn giản giả
thiết sự phá hủy trong kết cấu chỉ duy nhất gây ra bởi chuyển vị lớn nhất trong kết cấu, theo đó hoàn
toàn không phụ thuộc vào số lượng các lần tải trọng lặp lại trong một trận động đất (theo khoảng thời

gian động đất), tức là không phụ thuộc vào sự giải phóng năng lượng biến dạng trong kết cấu.
Sự không thỏa đáng của (1) được chứng minh qua ví dụ số sau đây [8]: hình 1(a) biểu thị sóng dao
động nền của trận động đất El Centro năm 1940. Hình 1(b) biểu thị ứng xử đàn hồi dẻo của một kết cấu
“tương tự” hệ một bậc tự do (có chu kỳ dao động T = 0.2 s) khi chịu tác động của sóng động đất nói
trên. Cường độ tới hạn dẻo của lực ngang trong kết cấu là Vy = 0.363W, trong đó W là trọng lượng của
kết cấu, và chuyển vị tới hạn dẻo là y = 3.6 mm. Từ sự ứng xử này của kết cấu, hệ số “chuyển vị dẻo”
tính được là  = 3.41 tại 2.4 s. Để so sánh, hình 1(c) biểu thị ứng xử của một kết cấu khác có độ cứng
nhỏ hơn (có chu kỳ dao động T = 0.5 s) khi chịu tác động của cùng một sóng dao động nên như trên,
nhưng cường độ lực ngang và chuyển vị dẻo được điều chỉnh để kết cấu có độ cứng nhỏ hơn này sẽ
cho giá trị của hệ số “chuyển vị dẻo” bằng với của kết cấu cứng hơn nói trên. Trong trường hợp này,
cường độ tới hạn dẻo của lực ngang giảm còn Vy = 0.204W và chuyển vị tới hạn dẻo tăng đến y =
12.7 mm, tại khoảng 2 s. Mặc dù hai kết cấu được thiết kế với hệ số “chuyển vị dẻo” bằng nhau, năng
lượng biến dạng (do xảy ra chuyển vị dẻo) giải phóng trong hai kết cấu là hoàn toàn khác nhau. Kết cấu
có độ cứng nhỏ hơn giải phóng một lượng năng lượng Eh = 13.9Vyy, lớn hơn nhiều so với năng lượng
giải phóng bởi kết cấu có độ cứng lớn hơn Eh = 6.3Vyy. Năng lượng biến dạng giải phóng trong kết
cấu có độ cứng nhỏ hơn vì kết cấu mềm dẻo hơn này có thể chịu đựng được một số lượng lớn hơn
các tải trọng lặp lại (hay trùng phục) trong miền ứng xử dẻo, hay phi đàn hồi.
3. Mô hình phá hủy nào được coi là phù hợp?
Theo ví dụ trên, năng lượng biến dạng giải phóng trong kết cấu có độ cứng nhỏ hơn là lớn hơn,
theo đó phản ánh kết cấu này chịu một sự phá hủy lớn hơn. Năng lượng giải phóng trong kết cấu Eh
được tính bằng cộng diện tích bên trong vòng lặp lực - chuyển vị của tất cả các vòng tải trọng lặp,
được biểu thị như sau:
t

Eh   dEh

(2)

0

Trong đó: dE h - lượng gia tăng của năng lượng giải phóng và t là khoảng thời gian dao động của
kết cấu tính đến thời điểm xem xét. Năng lượng biến dạng chỉ ra mức độ giải phóng năng lượng động
đất tác động vào kết cấu thông qua cơ chế biến dạng phi đàn hồi của vật liệu bên trong kết cấu. Theo
đó, năng lượng giải phóng trong kết cấu thường được dùng để định lượng mức độ phá hủy trong kết
cấu [9,10]. Tuy nhiên, đối với các kết cấu BTCT, năng lượng giải phóng xác định theo (2) không hoàn
toàn phản ánh chính xác sự phá hủy thực sự trong kết cấu, mà thường “thổi phồng” mức độ phá hủy
thực sự. Bởi vì, sau khi bêtông trong kết cấu BTCT bị nứt trầm trọng và dính bám kém với cốt thép
chủ, năng lượng giải phóng chồng chất tính theo (2) sẽ bao gồm cả một phần lớn được tính từ biến
dạng dẻo của cốt thép dọc chủ mà không hề có sự tăng thêm sự phá hủy trong toàn bộ kết cấu
BTCT.


Hình
(a)
(b)
(c)

1. Ứng xử đàn hồi dẻo lý tưởng của một kết cấu “tương tự” hệ một bậc tự do
Sóng động đất El Centro năm 1940, dưới dạng gia tốc (acceleration)
Kết cấu với T = 0.2 s, hệ số cản damping = 5%
Kết cấu T = 0.5 s, hệ số cản damping = 5%

Thật vậy, sau khi bêtông bị nứt và phá hủy (phá hủy vật lý), các vòng lặp lực - chuyển vị ghi lại
bao gồm một phần lớn của biến dạng dẻo trong cốt thép dọc chủ. Sự biến dạng dẻo trong cốt thép
dọc chủ có thể chỉ đơn thuần là sự sắp xếp lại vị trí các phần trong kết cấu, và theo đó không thật sự
phản ánh sự phá hủy vật lý trong toàn bộ kết cấu BTCT. Hiện tượng này được ghi nhận qua thí
nghiệm khảo sát sự ứng xử của một cột BTCT đặt trên một bàn rung lắc để mô phỏng chuyển động
nền do động đất [11]. Vì vậy, nếu chỉ đơn giản dùng năng lượng giải phóng chồng chất sẽ không thể
định lượng chính xác sự phá hủy trong kết cấu do động đất gây ra.
Do đó, một mô hình phá hủy bao gồm cả phá hủy do chuyển vị lớn nhất theo (1) và phá hủy do

năng lượng biến dạng giải phóng theo (2) trong sự liên hệ với đặc trưng của kết cấu sẽ biểu thị thỏa
đáng sự phá hủy trong kết cấu. Thông thường sự tổ hợp của (1) và (2) được trình bày dưới dạng một
công thức, và dựa trên căn bản này có nhiều mô hình tính phá hủy được giới thiệu và dùng phổ biến
trong thiết kế chống động đất [12]. Trong số tất cả các mô hình tính phá hủy (dựa vào kết quả phân
tích kết cấu) được giới thiệu đến ngày nay, mô hình bán thực nghiệm Park - Ang [2] luôn được thừa
nhận là một trong những mô hình phổ biến và tin cậy nhất. Vì mô hình này đơn giản nhưng thật căn
bản về xác định sự phá hủy trong kết cấu và nó đã được xây dựng, kiểm chứng qua rất nhiều mẫu thí
nghiệm về động đất của các loại kết cấu BTCT và thép. Thêm nữa, mô hình này đã được kiểm chứng
và hoàn chỉnh qua việc áp dụng vào các kết cấu thực tế. Sau mô hình Park-Ang, có rất nhiều mô hình
phá hủy được đưa ra nhưng hầu hết vẫn dựa trên căn bản của mô hình Park - Ang như các mô hình
của Chai và các tác giả khác [8], Stephens và Yao [13], Kunnath và các tác giả khác [14], Cosenza và
các tác giả khác [15], Gohbarah và các tác giả khác [16] và Hindi và Sexsmith [17,18].
4. Mô hình phá hủy Park - Ang [2]
Theo mô hình, sự phá hủy trong kết cấu do động đất gây ra có thể biểu diễn bằng một tổ hợp
tuyến tính của phá hủy do chuyển vị lớn nhất và phá hủy do năng lượng biến dạng giải phóng chồng
chất qua một “chỉ mục phá hủy” D:

D

m
E h

 y Qy  y

(3)

Trong đó:
m - chuyển vị lớn nhất trên vòng tải trọng lặp lực -chuyển vị tại thời điểm xem xét;
y - chuyển vị tới hạn dẻo dưới tải trọng tĩnh tăng dần tác dụng vào kết cấu;

 - hệ số giảm cường độ trong kết cấu phụ thuộc vào các thông số của kết cấu như hàm lượng
cốt thép dọc, tỷ lệ cốt thép chịu cắt, phân phối ứng suất dọc và các yếu tố khác thuộc về phẩm chất
kết cấu;
Qy - cường độ tới hạn dẻo dưới tải trọng tĩnh tác dụng tăng dần vào kết cấu;
Eh - năng lượng biến dạng giải phóng tính tại thời điểm xem xét.
Tùy theo giá trị của “chỉ mục phá hủy” D mà có thể xếp loại mức độ phá hủy trong kết cấu được
thể hiện ở bảng 1 [1,19]:
Bảng 1. Quan hệ giữa “chỉ mục phá hủy” D và mức độ phá hủy trong kết cấu
“Chỉ mục phá hủy” D

Mức độ phá hủy trong kết cấu

D < 0.1

Không có phá hủy, hoặc chỉ xuất hiện các vết nứt nhỏ, cục bộ

0.1  D < 0.25

Phá hủy nhẹ, các vết nứt nhỏ và kéo dài

0.25  D < 0.4

Phá hủy vừa, các vết nứt lớn, cục bộ

0.4  D < 1

Phá hủy trầm trọng, bêtông bị vỡ nát, lộ trần cốt thép

1D

Sụp đổ hoàn toàn

5. Ví dụ áp dụng mô hình Park - Ang để xác định mức độ phá hủy của một trụ cầu BTCT
Trong ví dụ này, một trụ cầu BTCT của một mẫu cầu thiết kế [20] được chọn, hình 2 thể hiện mẫu
cầu thiết kế. Trụ cầu được chọn là trụ cao nhất (21 m), vì đây là trụ có độ cứng nhỏ nhất so với các
trụ còn lại nên có thể bị biến dạng phi đàn hồi và phá hủy nhiều nhất khi chịu động đất. Trụ cầu này
chịu tác dụng của động đất được mô phỏng bởi một sóng dao động nền, được thể hiện trên hình
3(a).

Hình 2. Mẫu cầu thiết kế, trong đó trụ cầu 21 m được nghiên cứu sự phá hủy.
Hình bên phải là mặt cắt ngang của kết cấu phần trên và trụ cầu theo thứ tự
từ trên xuống (các kích thước trên bản vẽ không theo cùng một tỷ lệ)
Thông thường mô hình Park-Ang được áp dụng vào kết quả phân tích ứng xử của kết cấu đạt
được từ các phương pháp giải tích (analytical methods). Trong bài báo này, mô hình Park-Ang được
dùng cho kết quả phân tích ứng xử đạt được từ phương pháp PTHH. Trụ cầu được mô phỏng bằng
phương pháp PTHH dùng chương trình LUSAS [21]. Mô hình “vết nứt liên tục” (smeared crack model
[22]) được đưa vào chương trình và dùng cho vật liệu bêtông, có khả năng mô tả ứng xử của bêtông
gần như ứng xử thực của bêtông: chẳng hạn có thể xảy ra nhiều vết nứt và vết nứt tại một điểm vật
liệu có thể hình thành và phát triển theo sự tiến triển của tải trọng, vết nứt đóng và mở theo tải trọng
có chu kỳ tương tự như tải trọng động đất. Mô hình đàn dẻo (plasticity model) được dùng cho vật liệu
thép để mô tả ứng xử của cốt thép. Phân tích động lực học phi tuyến được áp dụng trong phân tích
trụ cầu. Diễn giải chi tiết của phân tích này và kết quả không trình bày ở đây vì trong phạm vi bài viết
này chỉ nhằm giới thiệu việc áp dụng mô hình phá hủy Park-Ang để xác định phá hủy trong trụ cầu.
Chi tiết về phân tích PTHH, phá hủy trong trụ cầu và chọn sóng dao động nền có thể xem ở Nguyen
[23,24].
Theo kết quả của phương pháp PTHH, chuyển vị lớn nhất trong trụ cầu trong suốt thời gian dao
động được trình bày trên hình 3(b). Năng lượng biến dạng giải phóng tính được dựa vào kết quả các
vòng lực -chuyển vị và công thức (2), được thể hiện trên hình 3(c). Từ đây, mô hình Park-Ang được
áp dụng với các thành phần của công thức (3) được xác định như sau: m là chuyển vị lớn nhất tính

được ứng với từng vòng dao động tại từng thời điểm từ kết quả trên hình 3(b); y = 10.50mm và Qy
= 820 kN được xác định từ phân tích PTHH của trụ cầu chịu tải trọng tĩnh tác dụng tăng dần vào đỉnh


trụ;  = 0.05 cho kết cấu BTCT như đề nghị bởi Park và các tác giả khác [19]; Eh được tính bằng
cộng diện tích bên trong vòng lực - chuyển vị của tất cả các vòng tải trọng lặp tính đến thời gian t
đang xem xét, như trình bày trên hình 3(c). Thay tất cả các thành phần này vào (3) sẽ tính được “chỉ mục
phá huỷ” D.
Hình 3(d) trình bày phá hủy trong trụ cầu trong suốt thời gian dao động do sóng dao động nền
(hình 3(a)) gây ra. Theo kết quả phân tích này và kết hợp với xếp loại phá hủy ở bảng 1, có thể xác
định được mức độ phá hủy trong trụ cầu tại bất kỳ thời điểm nào trong suốt thời gian dao động. Ví dụ,
sau khi động đất xảy ra khoảng 12s, “chỉ mục phá huỷ” trong trụ cầu là D = 0.51. Đối chiếu với bảng
1, có thể nhận ra rằng trụ cầu đã bị phá hủy nghiêm trọng, bêtông có thể bị vỡ vụn để lộ cốt thép và
trụ cầu không thể sửa chữa được.

Hình 3. Ứng xử của trụ cầu BTCT dựa trên phân tích PTHH động lực học phi tuyến
(a)
Sóng dao động nền do động đất gây ra, dưới dạng gia tốc (acceleration)
(b)
Chuyển vị trong trụ cầu theo thời gian ()
(c)
Năng lượng biến dạng giải phóng trong trụ cầu theo thời gian (E h)
(d)
Phá hủy trong trụ cầu, biểu diễn qua mô hình Park-Ang (D)

6. Kết luận
Bài viết ngắn này bàn luận về sự không thỏa đáng của mô hình tính phá hủy đề cập trong nhiều
tiêu chuẩn thiết kế chống động đất, bởi vì theo mô hình này đã không tính đến phá hủy do năng
lượng biến dạng giải phóng trong kết cấu khi chịu động đất. Theo đó, bài viết giới thiệu vắn tắt về các
mô hình tính phá hủy được dùng hiện nay cụ thể là chi tiết về mô hình “chỉ mục phá hủy” Park-Ang.

Phần cuối bài viết trình bày một ví dụ về áp dụng mô hình Park-Ang để tính phá hủy trong một trụ cầu
BTCT dưới một sóng dao động nền do động đất. Trong ví dụ này, trụ cầu được xác nhận là đã bị phá
hủy nghiêm trọng, bêtông bị vỡ vụn và lộ trần cốt thép. Bài viết cho thấy, mô hình phá hủy như mô
hình Park-Ang có thể được áp dụng thành công vào kết quả phân tích ứng xử của kết cấu, chẳng
hạn như phương pháp PTHH trong bài, để định lượng mức độ phá hủy trong kết cấu chịu động đất.
Điều này có nghĩa là mức độ phá hủy trong kết cấu chịu động đất có thể tiên lượng được, để giúp
cho việc thiết kế kết cấu an toàn khi chịu động đất, cũng như khi đánh giá khả năng chịu động đất
của kết cấu đang khai thác.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Eurocode 8. Design of structures for earthquake resistance. European Standard, Final Draft, prEN
1998- 1:2004, Brussels , 2003.
2. Park, J. Y., and Ang, A. H. S., Mechanistic
seismic damage model for reinforced concrete.
Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 111, No. 4, 722- 739, 1985.
3. IBC. International Building Code. Falls Church, VA: International Code Council , 2000.
4. UBC. Uniform Building Code: Structural Engineering Design Provisions. International Conference
of Building Officials, Pasadena, CA, USA , 1997.
5. CEB Seismic Design of Concrete Structures. Comite‚ Euro-International du Beton (CEB), Gower
Technical Press Ltd., England , (1987).
6. BSLJ. Ministry of Land, Infrastructure and
Transport, Notification, No.1457-2000, Technical
Standard for Structural Calculation of Response and Limit Strength of Buildings, (in Japanese) , 2000.
7. NZS. Code of Practice for General Structural Design Loadings for Buildings Standards Association
of New Zealand, Wellington, New Zealand, 2004.


8. Chai, Y. H., Romstad, K. M., and Bird, S. M. Energy-based linear damage model for high-intensity
seismic loading. Journal of Structural Engineering, Vol. 121, No. 5, 857-864, 1995.
9. Banon, H., Biggs, J. M., and Irvine, H. M.
Seismic damage in reinforced concrete frames.

Journal
of Structural Engineering, ASCE, Vol. 107, No. ST9,
1713-1729, 1981.
10. Sucuoglu, H., and Erberik, A. Energy-based hysteresis and damage models for deteriorating
systems. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 33, No. 1, 69-88, 2004.
11. Park, W., Yen, W. P., Shen, J. J., and Liu, C. C. Shake-table test for cummulative seismic damage
th
of reinforced concrete bridge column. Proceedings of the 4
Asia-Pacific Transportation
Development Conference, Oakland, C.A., USA, 2003.
12. Williams, M. S., and Sexsmith, R. G. Seismic
damage indices for concrete structures: a stateof-the- art review. Earthquake Spectra, Vol. 11, No. 2, 319- 349, 1995.
13. Stephens, J. E., and Yao, J. T. P. Damage assessment using response measurements. Journal
of Structural Engineering, Vol. 113, No. 4, 787-801, 1987.
14. Kunnath, S. K., Reinhorn, A. M., and Abel, J. F., Computational tool for evaluation of seismic
performance of reinforced concrete buildings. Computers and Structures, Vol. 41, No. 1, 157-173,
1991.
15. Cosenza, E., Manfredi, G., and Ramasco, R. The use of damage functionals in earthquake
engineering: a comparison between different methods. Earthquake Engineering and Structural
Dynamics, Vol. 22, 855-868, 1993.
16. Ghobarah, A., Abou-elfath, H., and Biddah, A. Response-based damage assessment of
structures.
Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 28, No.1, 79-104, 1999.
17. Hindi, R. A., and Sexsmith, R. G. A proposed
damage model for RC bridge columns under
cyclic loading. Earthquake Spectra, Vol. 17, No. 2, 261-290,
2001.
18. Hindi, R. A., and Sexsmith, R. G. Inelastic damage analysis of reinforced concrete bridge
columns based on degraded monotonic energy. Journal of Bridge Engineering, ASCE, Vol. 9, No. 4,
326-332, 2004.

19. Park, Y. J., Ang, A. H. S., and Wen, A. K. Damage-limiting
aseismic
design
of
buildings.
Earthquake Spectra, Vol. 3, No. 1, 1-26, 1987.
20. Pinto, A. V. Pseudo-dynamic and shaking table tests on RC Bridges. PREC8 Report, LNEC
Lisbon, Portugal, 1996.
21. LUSAS User Manual. FEA Ltd., London,
England, 2001.
22. Jefferson, A. D. A multi-crack model for the finite element analysis of concrete. Proceedings of
BCA Concrete Conference, 275-286, 1999.
23. Nguyen, V.B., Chan, A.H.C. Non-linear
analysis for reinforced concrete structural members
under randomly generated artificial earthquake-like ground motion. Proceedings of the 5th
International PhD
Symposium in Civil Engineering, 16-19 June, 2004, Delft, the Netherlands. Vol.
2, 929-936. A. A. Balkema Publisher, London., 2004.
24. Nguyen, V.B. Numerical modelling of reinforced concrete bridge pier under artificially generated
earthquake time-histories. PhD thesis, University of Birmingham, England, UK, 2006. URL:
/>