SKKN môn Toán lớp 5 năm học 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOÀI ĐỨC
MÃ SKKN

**********************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN
QUAN ĐẾN HÌNH TAM GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 5

NĂM HỌC: 2014 - 2015
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài:
1


1.1. Cơ sở lí luận:
Cơ sở lí luận của việc rèn kĩ năng giải các bài toán về diện tích hình tam giác
nói riêng và dạy- học toán nói chung xuất phát từ những luận điểm của triết học
Mác- Lê Nin, đặc điểm tâm lí lứa tuổi và lí luận về phương pháp dạy học toán.
a) Quan điểm của triết học Mác- Lê Nin về nhận thức:
Các Mác - Ph.Ăng ghen khẳng định :
Nhận thức là sự phản ánh hiện thực khách quan vào trong bộ óc của con
người, là hoạt động tìm hiểu khách thể của chủ thể. Sự phản ánh đó là một quá
trình biện chứng, tích cực và sáng tạo. Quá trình phản ánh ấy diễn ra theo trình
tự từ chưa biết đến biết, từ biết ít đến biết nhiều, từ hiện tượng đến bản chất, từ
bản chất kém sâu sắc đến bản chất sâu sắc hơn. Nói cách khác, đặc điểm nhận
thức của con người là “từ trực quan sinh động đến tư duy trìu tượng, từ tư duy
trìu tượng đến thực tiễn”.
b) Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học:
Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học ở các lớp đầu cấp học là năng lực

phân tích tổng hợp chưa phát triển, tri giác thường dựa vào hình dạng bên ngoài.
Trí nhớ trực quan, hình tượng phát triển hơn trí nhớ từ ngữ, lôgic, ghi nhớ máy
móc chiếm ưu thế. Các em dễ nhớ nhưng mau quên; những gì gây chú ý và hấp
dẫn sẽ khiến các em nhớ lâu hơn. Đến cuối cấp học, suy luận của học sinh đã
phát triển nhưng vẫn còn là một dãy phán đoán. Chính vì đặc điểm nhận thức
như trên mà việc phân biệt các hình khi thay đổi vị trí, kích thước của chúng là
tương đối khó. Việc nhận thức được các khái niệm hình học, tư duy hình học
theo lôgic toán học không phải dễ dàng đối với học sinh tiểu học nói chung.
c) Quan niệm về phương pháp dạy học toán:
Toán học là một môn học khó đối với học sinh, bản chất của phương pháp dạy
học toán là một khoa học lựa chọn bước đi hợp lí nhất để chuyển nội dung toán
học đến người học, từ đó giúp người học chiếm lĩnh tri thức và phát triển nhân
cách. Phương pháp phải gắn liền với một mục đích, một nội dung. Phương pháp
dạy học toán là linh hồn của các nội dung toán học.
* Từ những luận điểm trên, cho thấy: Trong qúa trình dạy- học hình học, GV
cần cho các em tiếp xúc với nhiều vật thật, trang bị cho học sinh từ những kiến
thức cụ thể, đơn giản và gần gũi nhất rồi trên cơ sở đó giúp học sinh tự tìm ra
kiến thức mới, tiếp thu, vận dụng và hình thành những kiến thức mang tính tổng
hợp, sâu sắc hơn. Khi học sinh đã thông hiểu kiến thức, giáo viên hướng dẫn học
sinh sử dụng kiến thức đó để giải quyết những bài toán, những vấn đề trong thực
tiễn cuộc sống.
1.2. Cơ sở thực tiễn :
- Ở bất kì một giai đoạn lịch sử nào, một quốc gia nào, sự nghiệp giáo dục- đào
tạo luôn có vị trí hết sức quan trọng và có vai trò vô cùng to lớn trong quá trình
phát triển kinh tế - xã hội của mỗi đất nước cũng như trên toàn thế giới. Một xã
hội được phát triển tốt là xã hội “dựa trên trí thức”, phát huy mọi tiềm năng của
con người.
- Kế thừa và phát huy truyền thống văn hóa, lịch sử dân tộc; tiếp thu tinh hoa
văn hóa nhân loại, Chủ tịch Hồ Chí Minh luôn quan tâm và đề cao vai trò của
giáo dục - đào tạo. Lúc sinh thời, trong bức thư gửi cho các cháu thiếu niên nhi

2


đồng, Người đã nói: “... Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân
tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với các cường quốc năm
châu hay không, chính là nhờ một phần lớn ở công học tập của các em...”
Cũng chính vì ý nghĩa to lớn đó mà Đảng và Nhà nước ta luôn coi “Giáo
dục đào tạo là quốc sách hàng đầu”. Trong “Định hướng chiến lược phát triển
GD - ĐT trong thời kì CNH- HĐH” của NQTW II khoá VIII đã chỉ rõ: “Trong
thời đại của cuộc cách mạng KHCN ngày nay, khi mà tiềm năng trí tuệ là động
lực chính của sự tăng tốc, phát triển, giáo dục được coi là nhân tố quyết định sự
thành bại của một quốc gia trong sự cạnh tranh quốc tế và sự thành đạt của mỗi
người trong cuộc sống của chính mình”.
- Trong hệ thống GD Việt Nam, GD Tiểu học được coi là bậc học nền tảng của
toàn bộ hệ thống giáo dục quốc dân. Mục tiêu của giáo dục Tiểu học là “hình
thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và lâu dài về đạo đức, trí
tuệ, thể chất, thẩm mĩ và những kĩ năng cơ bản để học sinh tiếp tục học trung
học cơ sở”. Trong các môn học ở Tiểu học, môn toán là một môn học vô cùng
quan trọng và chiếm thời lượng lớn so với các môn học khác. Môn toán góp
phần quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của GD phổ thông, hình
thành nhân cách và phát triển năng lực trí tuệ cho người học: năng lực sáng tạo,
năng lực tư duy lôgic chính xác khoa học, năng lực phân tích, tổng hợp, …Có
thể nói, môn toán là “chìa khóa vàng” mở ra một chân trời khoa học cho các em.
Môn toán được đưa vào chương trình với 5 mảng kiến thức chính: số học, yếu tố
đại số, yếu tố hình học, đại lượng và giải toán có lời văn. Hình học là một nội
dung chiếm số lượng bài không lớn. Song theo các nhà khoa học thì không có
phân môn nào lại giúp học sinh phát triển tư duy lôgic, trí thông minh và óc sáng
tạo như nội dung hình học. Mặt khác các yếu tố hình học còn góp phần củng cố
các mảng kiến thức khác: số học, đại lượng,…Các yếu tố hình học luôn gắn học
với hành, nhà trường với đời sống. Trong các bài toán hình học, bản thân tôi

thấy các bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác (chủ yếu dành cho học
sinh lớp 5) là một nội dung đa dạng, phong phú nhưng lại tương đối khó, nó đòi
hỏi ở học sinh một khả năng tư duy trừu tượng, khả năng phân tích và tổng hợp
rất cao. Nhưng nếu ta tìm ra biện pháp giúp học sinh làm tốt những bài tập này
thì nó lại mang lại một ý nghĩa rất lớn trong việc phát triển trí tuệ cho học sinh
và tạo nền tảng ban đầu cho việc học môn hình học ở bậc học trên.
- Trong các nhà trường hiện nay, ở tất cả các môn học, giáo viên dạy học theo
quan điểm “lấy học sinh làm trung tâm”, dạy học theo quan điểm “sư phạm
tương tác” giữa thầy với trò . Đây là một hướng dạy tốt nếu người giáo viên biết
khơi dậy những tiềm năng, những thế mạnh của học trò. Nhưng làm thế nào để
giúp được các em có hứng thú trong môn học có tiếng là “khô khan” này là vấn
đề trăn trở không của riêng ai.
Bằng thực tiễn một số năm dạy học và dạy nội dung hình học, đặc biệt là
với học sinh khá giỏi, việc giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích hình
tam giác còn nhiều vướng mắc, đôi khi còn mang tính tự phát, mầy mò, các em
còn thiếu hoặc yếu kĩ năng làm bài, còn mắc một số sai lầm khi làm bài. Học
sinh không làm được hoặc làm được nhưng mất rất nhiều thời gian. Số lượng
học sinh làm tốt không nhiều. Là một giáo viên có nhiều đam mê môn toán, tôi
3


luôn trăn trở, suy nghĩ “mình phải làm gì và làm như thế nào” để các em yêu
thích và có kĩ năng làm tốt dạng bài tập này? Sau một số năm thực hiện, tôi đã
mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm “Một số iện pháp rèn kĩ năng giải các
bài toán có liên quan đến hình tam giác cho học sinh lớp 5 ”.

2. Mục đích nghiên cứu :
Nhằm giúp các em học sinh lớp 5 có khả năng giải những bài toán hình từ đơn
giản đến phức tạp, hình thành năng lực phân tích yêu cầu và các dữ liệu từ đề
bài, từ đó giúp các em có thể tự tin tìm cách giải khi gặp các bài toán khó dần

đạt được những kĩ năng cần thiết để giải toán đạt kết quả cao nhất.

3. Đối tượng nghiên cứu :
- Học sinh khối 5, - năm học 2012 -2013
- năm học 2013 -2014
- năm học 2014 -2015
- Trong đó:
* Học sinh thực nghiệm: Lớp 5A năm học 2012 – 2013
Lớp 5C năm học 2013 – 2014
Lớp 5A năm học 2014 – 2015
* Học sinh đối chứng :

4.

Lớp 5B, 5C năm học 2012 – 2013
Lớp 5D năm học 2013 – 2014
Lớp 5B năm học 2014 – 2015

Phương pháp nghiên cứu :

4.1.
Nghiên cứu tài liệu :
- Sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài.
- Sách giáo khoa, sách giáo viên lớp 5
- Các loại sách tham khảo.
4.2. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp với phụ huynh học sinh về các
biện pháp nhằm HD học sinh phân tích đề, lập phương án giải các bài toán khó
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (soạn hệ thống bài tập thông qua

các tiết dạy để kiểm tra tính khả thi của đề tài).
4.3. Thời gian thực hiện :
Năm học 2012 - 2013
Năm học 2013- 2014
Năm học 2014 – 2015

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Tình hình thực trạng qua khảo sát, điều tra:
1.1. Kết quả khảo sát:
4


Năm học 2012 – 2013, tôi được phân công chủ nhiệm lớp 5A với 35 học
sinh. Đây là một lớp mà học sinh có trình độ không đồng đều. Một số em học
rất khá, nhưng bên cạnh đó, có một số học sinh yếu, học trước quên sau, do gia
đình thiếu sự quan tâm, bản thân các em cũng sợ học, nhất là môn toán, và nhất
là giải toán có lời văn. Hết học kì 1, sau đợt thi học kì, kết quả môn toán như
sau:
Kết quả Điểm 9-10 Điểm 7-8
Lớp
Điểm 5-6 Điểm 3-4
SL
%
SL
%
SL
% SL
%
SS

5A

35

15

42,9 13

37,1 6

17,1 1

2,9

5B
33
15
45,5 10
30,3 7
21,2 1
3
5C
32
13
40,6 11
34,3 6
18,8 2
6,3
1.2 Nguyên nhân :
Qua tìm hiểu thực tế, tôi thấy một số vấn đề như sau:

- Học sinh hầu hết là có ý thức nhưng cứ đến bài cảm thấy khó là ngại suy nghĩ.
Đối với các dạng toán đã được học, các em hiểu bài, biết cách làm nhưng với
những bài toán phối hợp nhiều dạng khác nhau hay bài có nhiều ẩn số, kĩ năng
phân tích yêu cầu để tìm phương án giải còn lúng túng. Vì vậy, khi học hình,
khả năng tư duy, tưởng tượng sẽ hạn chế nhiều và ảnh hưởng đến kĩ năng làm
bài.
So với cả khối, lớp 5A là lớp có một số em học khá giỏi toán. Qua sự hướng
dẫn, động viên, gợi mở của tôi, giải toán trở thành một hoạt động trí tuệ hấp dẫn
đối với học sinh, nhất là với học sinh khá giỏi. Song các bài toán liên quan đến
tính diện tích hình tam giác dành cho HS lớp 5 là mảng kiến thức mới và khó
đối với các em. Số lượng học sinh làm tốt các bài tập này không nhiều, đa số các
em chỉ làm được dạng bài tập áp dụng theo quy tắc đã học hoặc dạng bài tập cần
suy luận nhưng rất ít. Các bài tập khó cần khả năng tư duy lô gic, cần một dãy
các lập luận, để chứng minh hoặc tìm ra một nội dung nào đó thì HS chưa làm
được hoặc hiểu nhưng không biết cách trình bày ra sao. ...Trong quá trình làm
bài, các em còn mắc nhiều sai lầm: sai lầm khi vẽ hình, sai lầm trong quá trình
giải toán (HS không nắm chắc các khái niệm, quy tắc hình học, không thấy được
mối liên hệ giữa các điều kiện mà đề bài đã cho với điều cần chứng minh,…)
- Một số GV hướng dẫn HS làm từng bài toán hình học một cách đơn lẻ, chưa
tập trung rèn cho HS kĩ năng làm bài toán hình học nói chung. Sau khi làm được
bài đó, HS hiểu nhưng khi gặp một bài toán khác các em lại cần sự giúp đỡ của
thầy hoặc những người xung quanh.Vì vậy, hiệu quả dạy- học đạt được chưa
cao.
Chính vì những lí do trên, tôi nhận thấy khi tổ chức, hướng dẫn các em
làm dạng bài tập này, việc rèn cho HS kĩ năng làm bài là rất cần thiết. Ngoài
việc giúp các em làm nhanh, làm chặt chẽ còn giúp các em phát triển tư duy và
hình thành kĩ năng làm bài đối với các dạng bài tập khác.
Sang năm học tiếp theo, tôi cũng tiến hành điều tra, khảo sát các lớp 5, phân loại
học sinh, chọn lớp thực nghiệm và thực hiện đề tài
5

Một thuận lợi nữa đó là BGH đó để tôi tiếp tục dạy lớp 5, do đó tôi có điều
kiện để tiếp tục áp dụng và rút kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải toán
hình, đặc biệt là toán có liên quan đến hình tam giác, giúp các em có hứng thú
học tập trong giai đoạn cuối cấp tiểu học, tạo tiền đề tốt đẹp để HS học tốt hơn ở
bậc học THCS, góp phần cho tôi hoàn thiện đề tài này.
2.Các giải pháp thực hiện:
2.1 Trang bị cho học sinh những kiến thức, kĩ năng cơ bản về hình học làm
cơ sở để giải toán:
a) Ngay khi được làm quen với môn hình học, các kiến thức và kĩ năng xác định
điểm, đoạn thẳng, cạnh, góc, đỉnh, đáy, hai cạnh song song, hai cạnh vuông góc,
chu vi, diện tích của hình, đọc đúng thứ tự tên các hình, …, học sinh đã được
hình thành ở lớp 1; 2; 3; 4. Nhưng nếu học sinh chưa nắm chắc, GV cần củng cố
lại. Những khái niệm, biểu tượng tưởng chừng như đơn giản đó lại có rất nhiều
em nhầm lẫn. Chẳng hạn, có HS nêu tên tam giác là “ tam giác A” hay “cạnh
ABC”, nhầm lẫn giữa diện tích và chu vi,...Những sai lầm đó là do HS chưa
nắm bắt được các khái niệm trên.
- Điểm thường được ghi bằng 1 chữ cái in hoa. Ví dụ: điểm A, điểm B,…
.A
.B
- Đoạn thẳng được ghi bằng hai chữ cái ở hai đầu đoạn thẳng. Ví dụ: đoạn thẳng
AB, đoạn thẳng BC, đoạn thẳng AC,…
A

.

.

B

- Tam giác được ghi bằng 3 chữ cái ở 3 đỉnh của tam giác. Ví dụ: tam giác ABC,
…
- Chu vi của một hình là tổng độ dài các cạnh của hình đó. Chu vi được tính
bằng đơn vị đo độ dài (km, hm, dam, m, dm, cm, mm)
- Diện tích được tính đơn vị đo diện tích (km2, hm2, dam2, m2, dm2, cm2, mm2).
Ví dụ:
4cm
A
D

m
3c

2cm

3c
m

B

A

3cm

C

C

B

2

1cm

Chu vi hình tam giác ABC là 9cm. Diện tích của hình chữ nhật ABCD là 8 cm2.
- Học sinh có biểu tượng và vẽ được 2 đường thẳng song song, 2 đường thẳng
vuông góc. Học sinh nhận biết được các chiều cao của hình thang bằng nhau
(tính chất này được sử dụng khá nhiều khi giải các bài toán về diện tích hình tam
giác gắn với hình thang)
b) Hướng dẫn học sinh sử dụng một số kí hiệu trong khi tóm tắt và giải toán:
- Đặc điểm của phần lớn các bài toán hình học là học sinh phải lập luận, chứng
minh tương đối dài. Vì vậy học sinh cần sử dụng một số kí hiệu thay cho các từ
ngữ, thuật ngữ để bài ngắn gọn hơn. Khi trình bày bài giải, cần sử dụng các kí
hiệu:
6


- S : (Diện tích tam giác). SABC (Diện tích tam giác ABC)
- AB // CD : (Đoạn thẳng AB song song với đoạn thẳng CD)
- AB = CD : (Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài đoạn thẳng CD)
- AB =

1
1
DC : ( Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài đoạn thẳng CD),…
3
3

Khi tóm tắt bài toán có thể sử dụng thêm 1 số kí hiệu:
- AB ⊥ CD : (cạnh AB vuông góc với cạnh CD). hA->BC( Chiều cao hạ từ đỉnh A

đến BC,…)
- AB < CD : ( Độ dài đoạn thẳng AB ngắn hơn độ dài đoạn thẳng CD)
c) Kĩ năng xác định chiều cao:
- HS hiểu thế nào là chiều cao của một hình: hình thang, hình tam giác, có kĩ
năng tìm chiều cao của mỗi hình khi đặt hình ở các vị trí khác nhau.
+ Chiều cao: là 1 đoạn thẳng nối từ 1 đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện (cạnh
đáy).
+ Mỗi tam giác có 3 đáy, có 3 chiều chiều cao tương ứng với 3 đáy. Nếu 3 chiều
cao nằm trong tam giác sẽ gặp nhau tại 1 điểm.
C

A

C
H

I

I

H

K
A

B

B

C

K

B

A
H

- Tam giác có góc A
vuông: 2 cạnh góc
vuông là 2 chiều cao.
Tam giác ABC:
+ Đỉnh C, đáy AB,
đường cao AB
+ Đỉnh B, đáy AC,
đường cao AC
+ đỉnh A, đáy BC,
chiều cao AH

- Tam giác có 3 góc
nhọn: có 3 chiều cao
nằm trong tam giác
Tam giác ABC:
+ Đỉnh A, đáy BC, chiều
cao AK.
+ Đỉnh B, đáy AC,
chiều cao BI.
+ Đỉnh C, đáy AB, chiều
cao CH.

- Tam giác có 1 góc tù:
có 2 chiều cao nằm ngoài
tam giác, 1chiều cao nằm
trong tam giác.
Tam giác ABC:
+ Đỉnh A, đáy CB, chiều cao
AI.
+ Đỉnh B, đáy AC, chiều cao
BH.
+ Đỉnh C, đáy AB, chiều cao
CK

- HS thực hành hạ chiều cao trên bảng lớp. Giáo viên cũng có thể in sẵn các
phiếu có các giác khác nhau, xoay hình ở các vị trí khác nhau, học sinh hạ
các chiều cao của mỗi tam giác. Ví dụ:

7


Họ và tên :……………………Lớp:………………………….
PHIẾU HỌC TẬP
THỰC HÀNH KẺ CHIỀU CAO CỦA TAM GIÁC

Em hãy dùng ê-ke kẻ tất cả các chiều cao của mỗi tam giác sau rồi ghi vào
chỗ chấm:
P

A
M
C

N

D

B

E

K
H
G
G

- Tam giác ABC : + Đỉnh …… đáy …… chiều cao …....
+ Đỉnh …… đáy …… chiều cao ……
+ Đỉnh …… đáy …… chiều cao ……
- Tam giác PMN : + Đỉnh …… đáy …… chiều cao …....
+ Đỉnh …… đáy …… chiều cao ……
+ Đỉnh …… đáy …… chiều cao ……
- Tam giác KHG : + Đỉnh …… đáy …… chiều cao …....
+ Đỉnh …… đáy …… chiều cao ……
+ Đỉnh …… đáy …… chiều cao ……
- Tam giác DEG : + Đỉnh …… đáy …… chiều cao …....
+ Đỉnh …… đáy …… chiều cao ……
+ Đỉnh …… đáy …… chiều cao ……

- Sau khi HS đã thành thạo, GV có thể thiết kế phiếu có bài tập mang tính tổng
hợp hơn. Ví dụ:

Họ và tên :……………………………Lớp:…………………………
8


PHIẾU HỌC TẬP
THỰC HÀNH TÌM CHIỀU CAO CỦA TAM GIÁC

Quan sát các hình dưới đây rồi viết tên những tam giác có chung chiều cao và
nêu chiều cao chung ở mỗi hình đó:
P

K

I
I

D

M

E
K
H
G

N
Hình 1

Hình 2

a) Hình 1:
Mẫu: - Tam giác PMK, tam giác KMN và tam giác PMN có chung chiều cao
hạ từ M -> PN.
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………....
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………...…
b) Hình 2:
…………………………………………………………………….................
…………………………………………………………………………..........
…………………………………………………………………………………
................................................................................................................
................................................................................................................
................................................................................................................
................................................................................................................

Việc xác định chính xác yếu tố đáy, chiều cao tam giác đặc biệt là các tam giác
nhỏ nằm lồng trong hình thang, hình chữ nhật hay trong các hình tam giác lớn là
vô cùng quan trọng. Khi học sinh làm bài toán gồm nhiều hình đan xen thì học
sinh chỉ cần hiểu và nêu tên chiều cao hạ từ đỉnh nào đến cạnh nào? chứ không
cần vẽ cụ thể chiều cao làm rối hình.
9


d) Kĩ năng xây dựng và vận dụng công thức tính S, h, a hình tam giác:

S=

Trong đó: S là diện tích
a là cạnh đáy
h là chiều cao (tương ứng của đáy a)
( a, h cùng một đơn vị đo)

axh
2

- Công việc hình thành diện tích tam giác được thực hiện bằng trực quan (như
hướng dẫn SGK lớp 5)
- Dựa vào công thức tính diện tích, HS tự tìm công thức tính chiều cao, cạnh
đáy của tam giác: Chẳng hạn, dựa vào kiến thức tìm thành phần chưa biết, ta có:
2×S
axh
2 ×S
h=
S=
=> 2 x S = a x h Suy ra: a =
;
h
a
2
- Học sinh phát biểu thành lời. Các nhóm thi đọc đúng, đọc nhanh các công thức
tính a; h;S
e) Kĩ năng so sánh diện tích, đáy, chiều cao của hai hay nhiều tam giác:
- Hai tam giác có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) và chiều cao bằng nhau (hoặc
chung chiều cao) thì diện tích bằng nhau.
A
Ví dụ:

+ Nếu BM = MC thì SABM = SAMC (vì có chung chiều
cao hạ từ A -> BC)
B

C

M

- Hai tam giác có diện tích bằng nhau, chiều cao của hai tam giác bằng nhau
(hoặc chung chiều cao) thì 2 đáy của 2 tam giác ứng với 2 chiều cao đó bằng
nhau.
A
- Ví dụ:
+ Tam giác ABM và AMC :
B

C -

M

chung chiều cao hạ từ A->BC.
nếu SABM = SAMC thì BM = MC.

- Hai tam giác có diện tích bằng nhau, đáy của hai tam giác bằng nhau( hoặc
chung đáy) thì hai chiều cao tương ứng bằng nhau.
+ Ví dụ:
A
+ Nếu SABM = SAMC :

B

C

M

-

Mà tam giác ABM và AMC chung đáy AM

-

Suy chiều cao hạ từ B -> AM bằng chiều cao
hạ từ C -> AM.

- Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì tỉ số giữa 2 chiều cao h tỉ lệ nghịch với
tỉ số giữa 2 đáy a (b) tương ứng( tức là: Nếu tỉ số giữa đáy của tam giác thứ nhất
a
thì tỉ số giữa chiều cao tương ứng của tam giác
b
b
thứ nhất và chiều cao tương ứng của tam giác thứ hai là )
a
a2
h1
=
Nếu: S1 = S2 . Suy ra:
( h1, h2 lần lượt là chiều cao tương ứng

và đáy của tam giác thứ hai là

h2

a1

10


của đáy a1, a2).
Ví dụ:

+ Nếu SABM = SAMC:
- mà đáy AC = 2 x AB thì

A

- chiều cao hạ từ M -> AC =
B

C

M

1
chiều cao hạ từ M -> AB
2

- Hai tam giác có chiều cao h bằng nhau (hoặc chung chiều cao) thì tỉ số giữa
diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số giữa 2 đáy a tương ứng.
S1

Nếu: h1= h2 Suy ra:
đáy a1, a2)
Ví dụ:
A

=

S2

a1

h1; h2 lần lượt là chiều cao tương ứng của

a2

+ Tam giác ABM và AMC:
- có chung chiều cao hạ từ A -> BC
- nếu BM =

B

1
1
MC thì SABM = SAMC
2
2

C

M

- Hai tam giác có đáy a bằng nhau (hoặc chung cạnh đáy) thì tỉ số giữa hai
chiều cao h (tương ứng với đáy bằng nhau) bằng tỉ số giữa diện tích hai tam
giác đó.
Nếu: a1 = a2
Ví dụ:

Thì:

A

h1

=

S1

+ Tam giác ABM và AMC có chung đáy AM
1
- Nếuh2SABM = S2SAMC
2

B

- Thì chiều cao hạ từ B -> AM =

C

M

1
chiều cao hạ từ C ->AM
2

- Hai tam giác có diện tích bằng nhau, nếu chúng có 1 phần S chung (hoặc 1
phần diện tích bằng nhau) thì các phần S còn lại của chúng cũng bằng nhau.
A

B
(3)

(1 )

Chẳng hạn: Nếu SADC = SDBC
Mà hai tam giác này có S2 chung => S1 = S3

(2)

D

C

Kết luận: Tất cả những kiến thức, kĩ năng trên đều là tiền đề để học sinh giải
các bài toán về diện tích tam giác ở dạng phức tạp hơn. Giáo viên có thể tổ chức
các hoạt động nhóm, trò chơi học tập đối với các kiến thức đơn lẻ đó để học sinh
được luyện tập thành thạo kiến thức, nhuần nhuyễn, trở thành cẩm nang khi làm
bài.
2.2. Rèn kĩ năng làm bài toán về diện tích hình tam giác theo 5 bước:
Bước 1: Đọc thật kĩ đề toán, tóm tắt đề bài bằng kí hiệu:
11

- Xác định rõ 2 phần của đề toán :
+ Những điều kiện đã cho
+ Những gì phải tìm, phải tính, phải chứng minh?
Thông thường đối với bài toán hình học: học sinh cần ghi tóm tắt 2 phần này ra
nháp, dùng kí hiệu để ghi cho ngắn gọn, chính xác. Yêu cầu học sinh tìm ra
những từ ngữ quan trọng, những điều kiện thuộc về bản chất của đề toán.
Bước 2: Vẽ hình
- Đây là bước vô cùng quan trọng giúp học sinh quan sát hình để tìm ra hướng
làm bài. Vì thế đòi hỏi học sinh phải vẽ đúng đặc điểm hình đã cho, tỉ lệ giữa
các đoạn thẳng,...
- Nếu học sinh vẽ sai, vẽ không chính xác điều kiện đề bài thì dẫn đến học sinh
ngộ nhận hoặc nhận diện sai điều kiện của đề bài, như thế học sinh sẽ khó có thể
tìm ra lời giải đúng.
- Sau khi vẽ xong, giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen kiểm tra lại hình vẽ
theo các điều kiện của bài toán.
Bước 3: Phân tích đề toán, tìm ra hướng giải cho bài toán:
Đối với bất kì 1 bài toán nào, học sinh cần bám sát đề bài, hướng suy nghĩ
vào những điểm chính yếu của đề toán. Suy luận xem muốn trả lời câu hỏi của
bài, muốn tìm đáp số cần phải biết những gì? những gì đã biết, những gì cần biết
thêm? làm phép tính gì?... Tức là phải lật ngược từ câu hỏi chính lên.
Riêng đối với bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác, khi phân tích
đề bài, học sinh cần bám sát vào hình vẽ kết hợp với đề bài để tìm hướng giải.
Tức là học sinh phải tạo được thói quen suy luận, thiết lập mỗi quan hệ giữa
những gì đề bài cho và yêu cầu phải tìm, phải chứng minh; khai thác triệt để
những yếu tố đề bài đã cho. GV cũng cần có những câu hỏi khai thác đề bài hay
để gỡ được “nút thắt” trong bài toán và tránh nhàm chán cho HS.
- Học sinh kẻ, nối thêm đường kẻ phụ nếu cần thiết.
- Một bài toán hình dành cho học sinh khá giỏi tương đối dài (nếu trình bày đầy

đủ). Vì vậy, khi hướng dẫn học sinh làm bài hình nói chung và hình tam giác nói
riêng, những buổi đầu tiên, GVnên cùng học sinh làm một vài bài tập đơn lẻ, cụ
thể (cách trình bày, lập luận rõ ràng, chi tiết). Sau đó khi học sinh đã biết cách
trình bày thì với những bài khác, sau khi phân tích, tóm tắt và vẽ hình, GV có
thể cho học sinh tìm ra hướng giải bài toán trước, nhiều học sinh nêu đi nêu lại
sơ lược cách làm bằng miệng (chưa yêu cầu phải giải thích cụ thể). Sau khi HS
nêu xong, HS khác nhận xét. GV đặt 1 số câu hỏi để kiểm tra xem HS đó có
thực sự hiểu bài hay không? Khi học sinh nắm được các bước làm rồi thì học
sinh mới bắt tay vào giải bài toán ra nháp hoặc vở. Các bước giải được thực hiện
ngược lại với các bước phân tích đề bài.
Bước 4: Giải bài toán và thử lại các kết quả:
- Dựa vào kết quả phân tích bài toán và tìm ra các bước giải ở bước 3, HS trình
bày cụ thể lời giải có lập luận rõ ràng, chặt chẽ, giải thích ngắn gọn. Sau khi làm
xong cần thử lại kết quả xem có phù hợp với đề toán không?
Bước 5: Khai thác bài toán.
- Sau khi làm bài xong, giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen khai thác đề
toán, suy nghĩ xem:
12


- Bài toán này còn có thể giải bằng cách khác không? Đó là cách nào?
- Cách giải nào ngắn gọn nhất.
- Từ bài toán này có thể rút ra những kinh nghiệm gì?
* Ví dụ :
Cho hình tam giác ABC vuông ở A, cạnh AB dài 28cm, cạnh AC dài 36 cm, M
là điểm trên AC và cách A là 9cm. Từ M kẻ đường song song với AB và cắt BC
tại N. Tính độ dài đoạn MN.
C

36 cm

B1: - HS đọc kĩ đề bài, tóm tắt đề bài.
B2: - Vẽ hình.
B3: - Phân tích đề toán: GV đặt ra các câu hỏi:
+ Bài toán yêu cầu tìm gì?( MN = ?)
+ Bài toán cho biết những gì?

M

N

9cm
H

A

B

28 cm

+ Muốn tính độ dài đoạn thẳng MN ta cần làm gì? Vì sao? (ta cần biết diện tích
tam giác ANC vì MN là chiều cao của tam giác ANC, đáy AC bằng 36 cm)
+ Muốn biết diện tích tam giác ANC ta cần biết gì? (ta cần tính được diện tích
tam giác ABC và diện tích tam giác ANB)
Học sinh cần nêu miệng các bước làm bài vắn tắt.
* Các bước làm bài vắn tắt (chưa yêu cầu giải thích)
- Tính SABC = ? (36 x 28 : 2)
- So sánh AM và NH (bằng nhau)
- Tính SABN = ?

 28 × 9 


 2 

- Tính SANC = ? (SABC - SABN )
- Tính MN = ?

 2 xS ANC 


 36 

B4 : Học sinh giải bài toán và thử lại
B5 : Khai thác bài toán: Tôi thường cho hs tự trao đổi, hỏi đáp nhau (Cô chỉ là
người hướng dẫn đứng ra giải quyết những khó khăn của hs) rồi rút ra kết luận
chung.
Kết luận: Với 5 bước làm bài trên, giáo viên có thể tạo cho học sinh kĩ năng
làm bài, có thói quen đọc kĩ đề, suy luận- phân tích- tổng hợp để tìm ra cách làm
bài nhanh nhất.
2.3. Một số dạng bài liên quan đến tính diện tích hình tam giác và hướng
giải chung cho mỗi kiểu bài đó.
Các bài toán liên quan đến S tam giác rất đa dạng, việc phân loại dạng bài
chỉ mang tính chất tương đối. Các bài toán giáo viên đưa ra ban đầu cần đơn
giản, ngắn gọn, dễ hiểu, dễ nhớ và chính xác, sau đó mới cho các em làm quen
với những dạng bài khó và phức tạp hơn.

13

* Dạng 1: Tính diện tích (hoặc đáy, chiều cao) biết 2 trong 3 yếu tố (cạnh
đáy, chiều cao, diện tích) hoặc biết mối quan hệ giữa đáy và chiều cao của
hình tam giác đó.
*Cách làm bài: Đây là dạng bài không đòi hỏi suy luận nhiều, học sinh chỉ cần
hiểu, nhớ và vận dụng các công thức đã học.(Phù hợp với cả hs trung bình)
*Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có diện tích là 36m 2, chiều cao hạ từ A có độ dài
4m. Tính độ dài cạnh đáy BC của tam giác đó.
Bài giải
Độ dài cạnh đáy BC là:
2 x36
=18 (m)
4

Đáp số: 18m
*Ví dụ 2: Cho tam giác vuông có hiệu hai cạnh góc vuông bằng 18 dm, cạnh
góc vuông này bằng

4
cạnh góc vuông kia.Tìm diện tích của hình tam giác
7

vuông đó.
Hướng dẫn: Đưa bài toán về dạng toán tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số để
tìm đáy và chiều cao rồi tính diện tích.
Bài giải
Coi cạnh AB gồm 4 phần bằng nhau thì cạnh AC gồm 7 phần như thế.
18 dm gồm: 7 - 4 = 3 (phần)
C
Độ dài cạnh AB là:
(18 : 3) x 4 = 24 (dm)

Độ dài cạnh AC là:
24 + 18 = 42 (dm)
Diện tích tam giác vuông ABC là:
42 x 24
= 504 (dm2)
2

A

B

Đáp số: 504 dm2
Bài tập vận dụng:
Bài1 : Tính cạnh đáy của một hình tam giác có diện tích 150m 2 và chiều cao là
15m.
Bài 2: Tính chiều cao của một tam giác có diện tích là 126 cm 2 và cạnh đáy là
18 cm.
Bài 3: Cho tam giác có một chiều cao bằng

2
cạnh đáy tương ứng. Tổng số đo
3

chiều cao và cạnh đáy nói trên bằng 45 cm.Tìm diện tích của tam giác đó.
Bài 4 : Cho tam giác ABC có diện tích bằng diện tích hình vuông cạnh 22,5 cm.
a. Tính độ dài cạnh đáy BC biết đường cao AH là 11,25 cm
b. Tính chiều cao BI, biết cạnh đáy AC là 56,25cm
* Dạng 2: Tính diện tích của một hình tam giác khi biết diện tích (hoặc
cạnh đáy, chiều cao) của một hình tam giác khác có mối quan hệ trực tiếp
hoặc gián tiếp với hình cần tính diện tích.

14


- Dạng bài này có thể phân ra làm 3 dạng bài với mức độ từ dễ đến khó, phù hợp
với các đối tượng hs trong cả lớp:
a) Cho giá trị của phần diện tích tăng lên (hay giảm đi) sau khi tăng (hay giảm)
một cạnh nào đó trong hình. Tính diện tích hình ban đầu.
b) Cho diện tích (hoặc cho biết đáy, chiều cao) hình lớn, yêu cầu tính diện tích
các hình nhỏ trong hình đó.
c) Cho biết giá trị diện tích của một phần nào đó trong hình, yêu cầu tính diện
tích hình lớn hoặc diện tích các phần hình khác trong hình tổng thể.
* Cách làm bài:
+ Dạng bài a): Dựa vào diện tích tăng (hay giảm) để tính chiều cao (hoặc cạnh
đáy) của phần diện tích tăng (hay giảm). Từ đó so sánh chiều cao ( hoặc cạnh
đáy) đó với chiều cao (hay cạnh đáy) của hình ban đầu để tính diện tích.
+ Dạng bài b) và c):
Thông thường, ta chọn diện tích một hình nào đó làm đơn vị quy ước, hình sử
dụng làm đơn vị quy ước có thể là một phần diện tích nhỏ trong hình có thể là
diện tích hình lớn bao phủ các hình nhỏ. Từ đó, bằng kiến thức so sánh diện tích
(trực tiếp hoặc trung gian) tìm tỉ số giữa diện tích hình cần tìm với diện tích quy
ước đó và dựa vào đó để tính phần diện tích đề bài yêu cầu.
+ Một số ít bài toán, để tìm phần diện tích mà bài yêu cầu, ta đi tìm những phần
diện tích còn lại (ngoài hình cần tìm) phủ kín hình lớn. Từ đó, ta lấy diện tích
hình lớn trừ đi những phần diện tích đã tìm ta sẽ tìm được phần diện tích bài yêu
cầu.
* Ví dụ 1:
Cho hình tam giác ABC, các điểm E, M lần lượt là các trung điểm các cạnh BC,
BA. Nối AE, CM chúng cắt nhau tại I, kẻ BI kéo dài cắt AC tại N. Tính diện
tích các hình tam giác ICE, IEB, IBM, IMA, IAN và INC biết SABC = 315 cm2
- HS vẽ hình, tóm tắt, phân tích bài toán:

A
M

Cho biết

N
I

B

E

C

Yêu cầu

SABC có: MA = MB, EB = EC
AE cắt CM tại I; BI cắt AC tại N
SABC = 315 cm2
SBIE = ? ; SCIE = ? ; SAMI = ?;
SBMI = ? ; SIAN = ? ; SINC = ?

* Tìm hướng giải: Lấy SABC là đơn vị diện tích quy ước, lồng các diện tích phải
tính vào trong các diện tích lớn hơn đó là: S BIC, SACI, SABI. So sánh các diện này
với SABC. Dựa vào kết quả so sánh ta tính S BIC , SACI , SABI , sau đó ta tính các
diện tích nhỏ mà đề bài yêu cầu.
* Các bước suy luận:
- Muốn tính SICE và SIBE cần biết SBIC
- Muốn tính SBIC phải so sánh SBIC với SAIC và SABI
- Bài toán cho MA = MB; BE = EC nhằm mục đích gì ? ( Để so sánh S ABI = SAIC

= SBIC =

1
SABC và so sánh SICE = SIBE; SAMI = SBMI )
3

15


- Bài cho biết SABC = 315 cm2 nhằm mục đích gì?(giúp ta tìm SABI; SAIC; SBIC)
- Muốn so sánh SABI, SAIC và SBIC phải so sánh SBMC và SAMC ; SABE và SAEC
- SBMC = SAMC. => SBIC = SAIC
- SABE = SAEC => SAIC = SABI
- SBIC = SACI = SABI =

1
SABC...
3

- Từ đó ta sẽ tính được SICE =? ; SIEB = ? SIBM = ?SIMA = ? …
* Các bước làm bài vắn tắt: (GV yêu cầu nhiều HS nêu trước khi làm bài).
- So sánh SABE và SAEC ( bằng nhau )
- So sánh SAMC và SBMC (bằng nhau)
- So sánh SBIE và SCIE ( bằng nhau )
- So sánh SAMI và SBMI (bằng nhau)
=> SABI = SAIC
(1)
=> SAIC = SBCI (2)
- Từ (1) và (2) => SABI = SAIC = SBIC =

1
SABC = ? cm2
3

=> SBIE = SIEC = SAMI = SBMI= ? (cm2)
- Vì SABI = SBIC => hA->BN = hC -> BN

=> SANI = SCIN =

1
SAIC = ? (cm2)
2

Bài giải
- Ta có : SAEC = SAEB =

1
SABC
2

( Vì có chung chiều cao hạ từ A -> BC và đáy EC = EB =
Mà : SBIE = SCIE =

1
BC )
2

1
SBCI (Vì có chung chiều cao hạ từ I -> BC và đáy BE = EC
2

1
BC ) => SAEB - SBIE = SACE - SCIE
Hay: SABI =
SACI (1)
2
1
1
Mặt khác: SAMC = SBMC = SABC (vì chung chiều cao từ C->AB và AM=MB= AB)
2
2
1
1
Mà : SAMI = SBMI = SABI (vì chung chiều cao từ I -> AB và AM = MB = AB)
2
2

=

=> SAMC - SAMI = SBMC - SBMI
- Từ (1) và (2) => SABI = SACI = SBCI

Hay: SACI

=

SBCI (2)
1
3

- Mà: SABI + SACI + SBCI = SABC => SABI = SACI = SBCI = SABC =

315
= 105 (cm2)
3

1
105
= 52,5 (cm2)
2
2
1
105
= SABI =
= 52,5 (cm2)
2
2

- SBIE = SCIE = SBCI =
- SAMI = SBMI

- Mặt khác: vì SABI = SBCI và có chung đáy BI nên chiều cao hạ từ A -> BI bằng
chiều cao hạ từ C-> BI
Tam giác ABI và AIN có chung chiều cao hạ từ A; tam giác BCI và INC có
chung chiều cao hạ từ C

16


1

SAIC ( vì chung đáy IN và chiều cao hạ từ A -> IN bằng chiều
2
105
cao hạ từ C -> IN) => SAIN = SINC =
= 52,5 (cm2)
2

=> SAIN = SINC =

+ Vậy: SBIE = SCIE = SAMI = SBMI = SAIN = SINC = 52,5 cm2
Đáp số : 52,5 cm2
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, M là điểm chính giữa cạnh AB.
Trên AC lấy AN =

1
NC. Hai đoạn BN và CM cắt nhau tại K.
2

Hãy tính SAKC. Biết SKAB = 42 dm2
* HS vẽ hình ,tóm tắt, phân tích bài toán:
Cho biết

1
NC
2
BN cắt CM tại K; SKAB = 42 dm2

Yêu cầu

Tính SAKC = ?

A

MA = MB;

N

M
K
B

AN =

C

* Tìm hướng giải:
Lấy SKAB làm đơn vị quy ước, tìm cách so sánh S KAB và SAKC qua một diện tích
trung gian là SBKC , từ đó tính SAKC.
* Các bước làm bài vắn tắt: (GV yêu cầu nhiều HS nêu trước khi làm bài).
- So sánh SAMC và SBMC ( bằng nhau)
- So sánh chiều cao hạ từ A -> MC và chiều cao hạ từ B -> MC : bằng nhau.
- So sánh SAKC và SBKC ( bằng nhau ) (1)
- So sánh SABN và SBNC ( SABN =

1
SBNC )
2
1
2

- So sánh chiều cao hạ từ A->BN và chiều cao hạ từ C->BN (hA->BN= hC ->BN )
- So sánh SABK và SBKC ( SABK =
Từ (1) và (2) suy ra: SABK =

1
SBKC ) (2)
2

1
SAKC => SAKC = 2 x SABK
2

- Tính SAKC = SABK x 2 = 42 x 2 = 84 (dm2)
Bài giải
( HS tự trình bày bài giải cụ thể – GV nhận xét, bổ sung)
*Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh 5 cm.
Từ B và D kẻ hai đường thẳng song song với AC.
Từ A kẻ một đường thẳng cắt hai đường thẳng
song song trên lần lượt ở E và F.
Tính diện tích tam giác CEF.(xem hình vẽ)
+ Hướng dẫn: Chia diện tích CEF thành hai
phần diện tích nhỏ: ECA và FAC.
17

B

5cm

C

E
D

A
F


So sánh hai phần diện tích này với hai nửa hình vuông.
Bài 2: Cho tam giác ABC, trên AB lấy điểm D, E sao cho AD = DE = EB.
Trên AC lấy điểm H, K sao cho AK = KH = HC. Trên BC lấy điểm M, N sao
cho BM = MN = NC. Tính diện tích hình DEMNKH. Biết diện tích hình tam
giác ABC là 270 cm2.
Bài 3:Cho hình vuông ABCD có cạnh 36 cm. Trên cạnh AB lấy AM = 12 cm.
Trên cạnh BC lấy BN = 12 cm. Trên cạnh AD lấy DP = 12 cm.
a) Tính diện tích tam giác MNP .
b) Nối PM và PN, chúng lần lượt cắt đường chéo AC tại S và R. Tính
diện tích tứ giác MNRS.
Bài 4: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 10,8 cm, đáy lớn DC = 27cm.
Nối A với C.
Tính SADC biết diện tích tam giác ABC bằng 54 cm2.
* Dạng 3: Kẻ thêm đoạn thẳng để chia diện tích 1 hình thành những phần
có tỉ số cho trước.
* Cách làm bài: Học sinh sử dụng kiến thức, kĩ năng so sánh diện tích các hình,
so sánh đáy, chiều cao (như đã trình bày ở phần 3.1) để suy luận, chứng minh tỉ
số diện tích của các phần chia ra. Sau đó học sinh mới kết luận cách chia hình.
- Khi giải cụ thể thì học sinh phải trình bày cách vẽ trước, giải thích, chứng
minh sau:
*Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Hãy vẽ thêm 2 đoạn thẳng để chia tam giác đó
thành ba hình tam giác có diện tích bằng nhau

* Tìm hướng giải:
Vì hai đoạn thẳng chia tam giác đó thành ba tam giác có diện tích bằng nhau nên
diện tích mỗi tam giác bằng

1
diện tích tam giác ban đầu. Có nhiều cách để chia
3

diện tích tam giác thành ba phần có diện tích bằng nhau.
- Cách 1: (HS cả lớp có thể cùng làm cách này)Lấy hai điểm cùng nằm trên một
cạnh: Hai điểm này chia cạnh thành 3 phần bằng nhau.
Nối đỉnh đối diện của cạnh đó với hai điểm vừa lấy ta được hai đoạn thẳng
đúng với đề bài.
- Cách 2: Lấy hai điểm nằm trên hai cạnh của tam giác: Trên một cạnh , lấy 1
1
2

điểm sao cho điểm đó chia cạnh thành hai phần có tỉ số là . Nối từ đỉnh đối
diện của cạnh đó với điểm vừa tìm được ta sẽ được một đoạn thẳng chia tam
giác ban đầu thành hai tam giác có tỉ số diện tích là

1
. Coi một điểm đã lấy là
2

đỉnh của tam giác lớn hơn, kẻ một đoạn thẳng nối từ đỉnh đó tới trung điểm của
cạnh đối diện ta sẽ được hai đoạn thẳng đúng với yêu cầu của đề bài.

Bài giải

A

+ Cách 1:
18
B

D

E

C


a) Cách vẽ:
Lấy D và E trên BC sao cho: BD = DE = EC.
Nối AD, AE
1
3

Khi đó, ta có: SABD = SADE = SAEC = SABC
b) Giải thích, chứng minh:
- Tam giác ABC, ABD, ADE, AEC có chung chiều cao hạ từ A đến BC và đáy
BD = DE = EC =

1
BC.
3

Do đó: SABD = SADE = SAEC =

1
SABC
3

+ Cách 2:
a) Cách vẽ

A

1
Trên BC lấy điểm D sao cho BD = DC
2
K

Trên AC lấy điểm K sao cho AK = KC
Khi đó: SABD = SADK = SDKC =

1
SABC
3

B

D
b) Giải thích, chứng minh : ( HS tự chứng minh)
Ngoài hai cách vẽ trên, học sinh còn có thể vẽ theo nhiều cách khác, chẳng hạn
một số cách sau:
A

C

A

A
K

K

P

K
B

D

C

B

D

B

C

C

D

* Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh AB. Hãy kẻ một đoạn

thẳng đi qua M và chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
* Tìm hướng giải:
Cách 1:(HS khá) Nếu ta nối A với trung điểm của đoạn thẳng BC thì đoạn thẳng
vừa nối sẽ chia diện tích tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Nhưng đoạn thẳng cần kẻ lại nối từ M, do đó ta coi M là đỉnh của một tam giác
có diện tích bằng diện tích của tam giác ABC. Nối M với C, tìm một diện tích
bằng diện tích tam giác AMC bằng cách từ A kẻ đường thẳng song song với MC
cắt BC kéo dài tại E. Nối M với E, khi đó S BME = SABC. Lấy trung điểm của đoạn
BE, nối M với trung điểm đó ta được đoạn thẳng chia tam giác ABC thành hai
phần có diện tích bằng nhau.
Cách 2(HS giỏi): lấy I là trung điểm của đoạn thẳng AB, đoạn thẳng CI chia tam
giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau, nối M với C, ta phải tìm một
tam giác có đỉnh là M có diện tích đúng bằng diện tích tam giác MIC nằm về
phía tam giác MBC. Vậy từ I ta kẻ đường thẳng song song với MC, cắt BC tại
N, nối M với N, khi đó MN là đường cần kẻ.
A
Bài giải
M
+ Cách 1:
19

B

N

C

E

a) Cách vẽ:
- Nối MC.
- Từ A kẻ đường song song với MC cắt BC kéo dài tại E
- Lấy N là trung điểm của BE
- Nối MN thì MN là đường cần kẻ.
- Khi đó: SBMN= SAMNC =

1
SABC
2

b) Giải thích, chứng minh :
- Vì MC // AE nên tứ giác AMCE là hình thang. Do đó: chiều cao hạ từ A đến
MC bằng chiều cao hạ từ E đến MC ( cùng là chiều cao hình thang)
- S MCA = S MCE ( vì có chung đáy MC và chiều cao hạ từ A->MC bằng chiều cao
hạ từ E -> MC )
- Suy ra: SBMC + SMCA = S BMC + S MCE
- Hay:
SABC
=
SBME
1
1
SBME (vì chung chiều cao hạ từ M -> BE và đáy BN = BE)
2
2
1
- Suy ra: SBMN = SABC (1)
2

- Mà: SBMN =

- Mà: SBMN + SAMNC = SABC
- Suy ra: SAMNC = SABC - SBMN = SABC -

1
1
SABC =
SABC (2)
2
2

- Từ (1) và (2) ta có: SBMN= SAMNC
M
+ Cách 2:
I
a) Cách vẽ:
- Nối MC. Lấy I là trung điểm của AB
B
- Từ I kẻ đường thẳng song song với MC cắt BC tại N
- Nối MN, khi đó MN là đường cần kẻ
b) Giải thích, chứng minh:
(HS tự trình bày - GV cùng HS nhận xét, bổ sung)

A

N

Bài tập vận dụng: (Đối với hs TB, khá, chỉ yêu cầu tìm được 1 hoặc 2 cách)
Bài 1: Ba lớp 4A, 4B, 4C đi trồng hoa trên một mảnh đất hình thang vuông có

đáy bé dài 12m, đáy lớn dài 24 m, chiều cao 12m. Em hãy chia mảnh đất đó
thành 3 phần có diện tích bằng nhau để chia cho 3 lớp 4A, 4B, 4C (nêu được
càng nhiều cách chia càng tốt)
Bài 2: Cho hình tam giác ABC. Trên AC lấy điểm K bất kì sao cho AK ngắn
hơn KC. Qua K kẻ đường thẳng chia hình tam giác ABC thành hai phần mà diện
tích phần này gấp đôi diện tích phần kia.
Bài 3: Cho hình tam giác ABC. K là điểm bất kì trên AB sao cho BK ngắn hơn
KA. Qua K kẻ đường thẳng chia hình tam giác ABC thành hai phần mà diện tích
phần này gấp ba lần diện tích phần kia.
* Dạng 4: So sánh, chứng minh mối quan hệ giữa diện tích 2 tam giác (Dạng
bài này ta gặp rất nhiều trong các đề ôn tập cuối năm hoặc đề thi HSG ).
* Cách làm bài:
20

C


HS suy luận và sử dụng tổng hợp các kiến thức về hình tam giác để làm bài:
+ Nếu 2 tam giác đó có chiều cao bằng nhau thì ta tìm (chứng minh) tỉ số giữa 2
đáy tương ứng của 2 tam giác, khi đó tỉ số giữa 2 diện tích sẽ bằng tỉ số 2 đáy.
+ Nếu 2 tam giác đó có đáy bằng nhau thì ta tìm (chứng minh) tỉ số giữa 2 chiều
cao tương ứng của 2 tam giác, khi đó tỉ số giữa 2 diện tích sẽ bằng tỉ số 2 chiều
cao.
+ Nếu 2 tam giác đó không có yếu tố nào trong 2 yếu tố đáy và chiều cao chung
thì ta phải sử dụng biện pháp so sánh trung gian, tức là so sánh diện tích các cặp
hình tam giác khác có liên quan đến hình cần so sánh rồi qua đó so sánh 2 diện
tích mà bài yêu cầu.
* Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, D là điểm chính giữa cạnh BC, E là điểm chính
giữa cạnh AC, AD và BE cắt nhau ở I. Hãy so sánh diện tích tam giác IAE và
tam giác IBD.

*Học sinh vẽ hình, tóm tắt và phân tích đề toán:
A

I

E

B

C

Cho biết

DB = DC; EA = EC
AD cắt BE tại I

Yêu cầu

So sánh: SAIE và SIBD

* Tìm hướng giải: D
Chọn diện tích hình tam giác ABC làm trung gian, lồng diện tích tam giác AIE
và IBD vào diện tích hai tam giác lớn hơn đó là AEB và ABD để so sánh trung
gian qua SABC .
* Các bước suy luận:
- Để so sánh SAIE và SIBD ta so sánh SAEB và SABD .(Vì hai tam giác này có phần
diện tích chung là SABI)
- Để so sánh SAEB và SABD ta so sánh diện tích mỗi tam giác đó với S ABC (Vì DB
= DC; EA = EC )
*Các bước làm bài vắn tắt: (GV yêu cầu nhiều HS nêu trước khi làm bài)

1
SABC ).
2
1
- So sánh SABE và SABC (SABE = SABC ).
2

- So sánh SABD và SABC (SABD =

- So sánh SABE và SABD (bằng nhau )
- So sánh SIAE và SIBD (bằng nhau )
Bài giải
1
1
SABC ( vì chung chiều cao hạ từ A và đáy BD = BC ) (1)
2
2
1
1
- SABE = SABC (vì chung chiều cao hạ từ B và đáy AE = AC ) (2)
2
2

- SABD =

- Từ (1) và (2) suy ra : SABE = SABD
- Hai tam giác ABE và ABD có chung phần diện tích ABI.
Suy ra: SIAE = SIBD
21

* Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho BD gấp đôi DC. Nối
A với D, lấy E là điểm bất kỳ trên AD, nối E với B và C.
Hãy so sánh SBAE và SCAE
* Học sinh vẽ hình, tóm tắt, phân tích đề toán.
A

BD = 2 x DC
Cho biết E nằm trên AD

E
B

Yêu cầu

So sánh: SBAE và SCAE

C

D

* Tìm hướng giải: Hai tam giác này có chung đáy AE. Vì vậy ta tìm cách so
sánh chiều cao hạ xuống đáy AE của hai tam giác.
* Các bước HS có thể suy luận:
- Để có thể so sánh chiều cao hạ xuống đáy AE của hai tam giác đó, ta so sánh
SABD và SADC (vì hai tam giác này có chung đáy AD ).
- Dựa vào điều kiện : BD = 2 x DC ta sẽ so sánh được SABD và SADC
*Các bước làm bài vắn tắt: (GV yêu cầu nhiều HS nêu trước khi làm bài)
+ So sánh SABD và SADC (SABD = 2 x SADC )
+ So sánh chiều cao hạ từ B -> AD và chiều cao hạ từ C-> AD (bằng nhau)

+ So sánh SABE và SAEC (SABE = 2 x SAEC )
Bài giải
- Ta có: SABD = 2 x SADC (vì có chung chiều cao hạ từ A và BD = 2 x DC )
- Mặt khác: hai tam giác ABD và ADC lại có chung đáy AD. Do đó, chiều cao
hạ từ B -> AD gấp 2 lần chiều cao hạ từ C -> AD )
- SABE = 2 x SAEC (vì có chung đáy ED và chiều cao hạ từ B -> AD gấp 2 lần
chiều cao hạ từ C -> AD )
Vậy : SABE = 2 x SAEC
* Ví dụ 3:
Cho hình tam giác ABC, điểm M trên cạnh BC sao cho BC = 5 x BM, điểm N
trên cạnh AC sao cho AN =

3
2
AC, điểm P trên cạnh MN sao cho NP = MN.
4
3

So sánh diện tích hai tam giác ABM và AMP.
* Học sinh vẽ hình, tóm tắt, phân tích đề toán
A

P
B

M

Cho biết

BC = 5 x BM; AN = AC

NP = MN

Yêu cầu

So sánh: SABM và SAMP

N
C

* Tìm hướng giải:
Lấy SAMC làm trung gian, so sánh SABM và SAMP qua diện tích trung gian đó.
*Các bước học sinh có thể suy luận:
22


- Từ điều kiện BC = 5 x BM, ta sẽ so sánh được SABM với SAMC
2
MN, ta sẽ so sánh được SAMP với SAMN
3
3
- Từ điều kiện AN = AC, ta sẽ so sánh được SAMN với SAMC
4

- Từ điều kiện PN =

- Từ đó ta sẽ so sánh SAMP với SAMC
- So sánh SABM và SAMP
*Các bước làm bài vắn tắt:
(GV yêu cầu nhiều học sinh nêu trước khi làm bài)
- So sánh SABM với SAMC (SABM =

1
SAMC ) (1)
4

1
SAMN )
3
3
(SAMN = SAMC )
4

- So sánh SAMP với SAMN (SAMP =
- So sánh SAMN với SAMC
- SAMP =

1
3
1
x SAMC = SAMC (2)
3
4
4

- Từ (1) và (2) suy ra: SABM = SAMP
Bài giải
( HS tự trình bày bài giải cụ thể - GV nhận xét, bổ sung)
* Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC. M là điểm chính giữa của BC, D là điểm nằm trên
cạnh AC sao cho AD =

1
AC.
3

Hãy so sánh diện tích tam giác BAD, tam giác DBM và tam giác DMC.
Bài 2: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Trên AH lấy D sao cho AD gấp đôi
DH. Biết BH = 4 cm, BC = 12 cm.
Hãy so sánh diện tích hai tam giác BCD với ABH.
Bài 3 : Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài 20cm, chiều rộng 15cm. Trên
cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = MB. Nối MC, DB cắt nhau tại 0.
Tính diện tích hình tam giác DOC
Bài 4: Cho hình tam giác ABC. Các đểm M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh:
BC, CA, AB và BM =

1
1
1
BC ; CN = CA ; AP = AB
3
3
3

A

Nối AM, BN, CP chúng cắt tại E, K, I
I

P

N

Hãy chứng tỏ rằng: SEBM + SKCN + SIAP = SIEK

K

C

E
M

B

* Hướng dẫn: So sánh diện tích các tam giác SABM ; SACP và SBNC với SABC (SABM
= SACP = SBNC =

1
S ABC ).Do đó: SABM + SACP + SBNC = SABC
3

23


Nhưng nhìn trên hình vẽ ta thấy tổng diện tích 3 hình trên không phủ kín tam
giác ABC mà còn thiếu phần SIEK nhưng lại phủ lên các hình tam giác EBM,
IAP, CNK mỗi tam giác 2 lần.
Vì vậy : SEBM + SKCN + SIAP = SIEK
* Dạng 5: Tính (hoặc chứng minh) độ dài đoạn thẳng hay tỉ số giữa độ dài
các đoạn thẳng.
Dạng bài này có thể chia thành một số dạng sau:

- Tính số đo của một đoạn thẳng.
- Chứng tỏ hai đoạn thẳng bằng nhau.
- Chứng tỏ hai đoạn thẳng có tỉ số bằng tỉ số cho trước.
- Tính tỉ số của hai đoạn thẳng.
* Cách làm bài:
a) Nếu đề bài cho tỉ số giữa đoạn thẳng cần tính và đoạn thẳng đã biết số đo thì
căn cứ vào tỉ số đã cho để tính.
b) Nếu đề bài không cho tỉ số giữa đoạn thẳng cần tính và đoạn thẳng đã biết ta
phải đi tìm tỉ số giữa 2 đoạn thẳng đó.
* Để tìm hoặc chứng minh tỉ số giữa hai đoạn thẳng, thông thường ta làm như
sau:
+ Coi 2 đoạn thẳng đó là 2 đáy của 2 tam giác có chung chiều cao hoặc chiều
cao bằng nhau. Ta đi tìm tỉ số giữa diện tích 2 tam giác nhận hai đoạn thẳng đó
là đáy. Khi đó, tỉ số diện tích cũng chính là tỉ số của hai đoạn thẳng (hay hai
đáy) phải tìm hay chứng minh.
+ Coi 2 đoạn thẳng đó là 2 chiều cao của 2 tam giác có chung đáy. Khi đó ta đi
tìm tỉ số giữa diện tích hai tam giác nhận hai đoạn thẳng đó làm chiều cao.
Tỉ số diện tích đó chính là tỉ số giữa 2 đoạn thẳng phải tìm hay chứng minh.
*Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, D và G lần lượt là điểm chính giữa của BC và
AC, BG cắt AD ở E. Hãy chứng tỏ AE gấp đôi ED.
* Học sinh vẽ hình, tóm tắt, phân tích đề toán.
Cho biết DB = DC; GA = GC
BG cắt AD tạiE

A
G
E
B

Yêu cầu

Chứng tỏ: AE = ED x 2

C
D

* Tìm hướng giải:
- Coi AE là đáy của tam giác AEB
- Coi ED là đáy của tam giác BED. Để so sánh AE và ED ta so sánh diện tích
SAEB và SBE . Chứng tỏ SAEB = 2 x SBED(vì 2 tam giác này có chung chiều cao hạ
từ B -> AD => AE = 2 x ED ).
* HS nêu các bước làm bài vắn tắt:
(GV nên yêu cầu nhiều học sinh nêu trước khi làm bài.)
Bài giải:
24


- Nối EC
- SABG = SBGC (vì chúng có chung chiều cao hạ từ B -> AC và AG = GC)
Mặt khác: tam giác ABG và BGC có chung đáy BG. Do đó, chiều cao hạ từ A->
BG bằng chiều cao hạ từ C ->BG. Chiều cao hạ từ A đến BG và chiều cao hạ từ
C đến BG cũng chính là chiều cao của tam giác ABE và chiều cao của tam giác
BEC. Do đó ta có:
- SABE = SBEC (vì có chiều cao bằng nhau và chung đáy BE) (1)
- SBED = SEDC =

1
1
SBEC(vì có chung chiều cao hạ từ E -> BC và đáy BD = DC =
2

2

BC) (2)
- Từ (1) và (2) => SBED =

1
SABE hay SABE = 2 x SBED
2

- Tam giác BED và ABE có chung chiều cao hạ từ B -> AD => AE = 2 x ED.
+ Vậy: AE = 2 x ED.
* Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB bằng
AC và BD cắt nhau ở O. Tính các tỉ số:

1
đáy DC, hai đường chéo
2

AO BO
;
OC BD

* Học sinh vẽ hình, tóm tắt và phân tích đề toán.
Cho biết

B

A

ABCD là hình thang

AB = DC

Yêu cầu

O
D

Tính tỉ số:

C

* Tìm hướng giải:
- Coi AO và OC lần lượt là đáy của tam giác AOD và DOC
- Coi BO và BD lần lượt là đáy của tam giác BOC và ODC
- Tìm tỉ số giữa SAOD và SDOC -> đó chính là tỉ số giữa OA và OC ( vì hai tam
giác có chung chiều cao hạ từ D)
- Tìm tỉ số giữa SBOC và SODC -> đó chính là tỉ số giữa BO và BD (vì hai tam giác
có chung chiều cao hạ từ C).
- Để tìm tỉ số giữa SAOD và SDOC ta tìm tỉ số giữa SABD và SBDC . Từ vì điều kiện
ABCD là hình thang và AB =

1
DC ta sẽ so sánh được SABD và SBDC
2

- Từ điều kiện đề bài ta có thể so sánh S ADO và SBOC. Từ đó so sánh SBOC với
SDOC , ta có thể tìm được tỉ số

BO
BD

Bài giải
-

Ta có: SABD =

1
SBDC
2

( vì có chiều cao đều bằng chiều cao hình thang và đáy AB =
Hai tam giác ABD và tam giác BDC có chung đáy BD.

25

1
DC )
2