ĐÊ THI HSG CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 8 NĂM 2016

PHềNG GD&T HNG SN
TRNG THCS SN TIN

THI HC SINH GII CP TRNG
NM HC 2015 2016. Mụn thi: TON 8

Thi gian: 90 phỳt (khụng k thi gian giao )

CHNH THC

Cõu 1:
a) Phõn tớch a thc thnh nhõn t: x 4 + 2011x 2 + 2010 x + 2011
b) Tỡm cỏc s nguyờn x; y sao cho: 3x 3 + xy = 3 .
c) Tỡm cỏc hng s a v b sao cho x 3 + ax + b chia cho x + 1 d 7; chia cho x 2
d 4.
Cõu 2:
a) Tớnh giỏ tr biu thc:
2
2
2
A= x + y + 5 + 2 x 4 y ( x + y 1) + 2 xy vi x = 2 2011 ; y = 16 503
x 2 2 x + 2011
b) Tỡm x B cú giỏ tr nh nht: B =
vi x > 0.
2
x

Cõu 3:
Cho a; b; c l ba cnh ca tam giỏc.
Chng minh:

ab
bc
ac
+
+
a+b+c
a + b c a + b + c a b + c

Cõu 4 :
Gi O l giao im hai ng chộo AC v BD ca hỡnh thang ABCD
(AB//CD). ng thng qua O song song vi AB ct AD v BC ln lt ti M v N.
a) Chng minh OM=ON.
1
1
2
+
=
.
AB CD MN
= a 2 ; S COD = b 2 . Tớnh S ABCD ?

b) Chng minh

c) Bit S AOB
Câu 5: Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân ,
đỉnh F có góc đáy là 150 . Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều ./.


Câu:
Nội dung

1a a/ x 4 + 2011x 2 + 2010 x + 2011 = x 4 + x 3 + x 2 + 2010( x 2 + x + 1) − ( x 3 − 1)
0,75đ = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 2011)
b/ 3x 3 + xy = 3 ⇔ x( 3x 2 + y ) = 3 . Do x; y là các số nguyên nên ta có:
x = 1

x = 3
x = 1
x = 3
⇔
⇔
(thỏa mãn) hoặc  2
(thỏa mãn)
y = 0
3 x + y = 1  y = −26
3 x + y = 3
 x = −1
 x = −3
 x = −1
 x = −3
⇔
⇔
TH2:  2
(thỏa mãn) hoặc  2
(thỏa mãn)
 y = −6
3 x + y = −1  y = −28
3 x + y = −3

0,75đ TH1: 

Điểm
0,5
0,25
0,25
0,25

2

0,25

0,75đ c/ Vì x 3 + ax + b chia cho x + 1 dư 7 nên ta có: x 3 + ax + b = ( x + 1).Q( x) + 7 do đó với x = −1 thì 0,25
-1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1).
Vì x 3 + ax + b chia cho x − 2 dư 4 nên ta có: x 3 + ax + b = ( x − 2 ).P( x) + 4 do đó với x = 2 thì 0,25
8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2).

Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4.
a/ Ta có: x 2 + y 2 + 5 + 2 x − 4 y = ( x + 1) 2 + ( y − 2 ) 2 ≥ 0 với mọi x; y nên ta có:

2.

a. A= x 2 + y 2 + 5 + 2 x − 4 y − ( x + y − 1) 2 + 2 xy
0,75đ
= x 2 + y 2 + 5 + 2 x − 4 y − x 2 − y 2 − 1 − 2 xy + 2 x + 2 y + 2 xy = 4 x − 2 y + 4 = 2(2 x − y ) + 4
Thay x = 2 2011 ; y = 16 503 = ( 2 4 )

b
1,0đ

3.
1,0đ

503

(

= 2 2012 vào A ta có: A= 2. 2.2

2011

)

− 2 2012 + 4 = 4

x 2 − 2 x + 2011 2011x 2 − 2.x.2011 + 20112
=
x2
2011x 2
2
2
2010 x 2 + ( x − 2011)
2010 ( ( x − 2011)
2010
=
.
=
+
≥
2
2
2011

2011
2011x
2011x
Dấu “=” xẩy ra khi x = 2011 .
2010
Vậy GTNN của B là
đạt được khi x = 2011 .
2011
vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0;
a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0
y+z
x+z
x+ y
;b =
;c =
ta có: x + y + z = a + b + c; a =
2
2
2
ab
bc
ac
( y + z )( x + z ) ( x + z )( x + y ) ( x + y )( y + z )
+
+
=
+
+
a + b − c −a + b + c a − b + c
4z

4x
4y

b/ B=

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

1 xy yz xz
1
1 xy
yz
xz 
( + + + 3 x + 3 y + 3 z ) = 3( x + y + z ) + (2 + 2 + 2 ) 
4 z
x
y
4
2
z

x
y 
1
y x z
x y z
z x y 
3( x + y + z ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) 

4
2 z x 2 z y 2 y x 
1
≥ [ 3( x + y + z ) + x + y + z ] = x + y + z
4
Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh
=

1,0đ vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0;

0,25

0,5


B

A

hình vẽ

0,25

N

M
O

4.

D

C

1,0đ a/ Do MN//AB và CD ⇒

OM AM
OM DM
OM OM AM + MD
0,25
=
=
+
=
= 1 (1)
và
. Do đó:
CD
AD
AB
AD
DC AB

AD

ON ON
+
= 1 (2)
DC AB
MN MN
+
=2
Từ (1);(2) ⇒
DC AB
1
1
2
⇒
+
=
DC AB MN

0,25

b/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 cạnh đáy

0,25

Tương tự:

tương ứng. Do vậy :
1,0
Nhưng

0,25
0,25

S AOB OB
S AOD OA
=
=
và
S AOD OD
S COD OC

0,5

S
S
OB OA
⇒ AOB = AOD ⇒ S 2 AOD = S AOB .S COD = a 2 .b 2 nên S AOD = ab .
=
S AOD S COD
OD OC
A

2
Tương tự S BOC = ab .Vậy S ABCD = ( a + b )

B

0,25

c/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K
Do Dˆ < Cˆ < 90 0 nên H, K nằm trong đoạn CD

0,25

Ta có AEˆ D = BCˆ D = Cˆ > Dˆ ⇒ AD > AE .
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE
Vậy AD>BC ⇒ DH>KC ⇒ DK > CH.

0,25

Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : DB 2 D= BK 2 + DKH 2 > AHE 2 + CH 2 K= AC 2
(Do AH 2 = BK 2 ) ⇒ BD > AC
2
HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa

I

C©u 5:

2

D
F

C

2

H

150

150

2

C

0,25


F

F

A

B

Dựng tam giác cân BIC nh tam giác AFB có góc đáy 150 .
Suy ra : Bả 2 = 600 (1) .
Ta có VAFB =VBIC (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2).
Từ (1) và (2) suy ra : VFIB đều .
Đờng thẳng CI cắt FB tại H . Ta có: Ià2 = 300 ( góc ngoài của VCIB ).
ả = 900 ( vì à = 600 ) Tam giác đều FIB nên IH là trung trực của FB hay CH
Suy ra: H
B
2

là đờng trung trực của VCFB . Vậy VCFB cân tại C . Suy ra : CF = CB (3)

Mặt khác : VDFC cân tại F . Do đó: FD = FC (4).
Từ (3) và (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).
Vậy VDFC đều.