bài tập về phương trình đường thẳng

BÀI GIẢNG SỐ 1. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
....PHẦN 1....
Bài toán 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng
Phương pháp:
 Xác định vecto chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của đường thẳng
 Tìm một điểm M thuộc đường thẳng
 Viết phương trình đường thẳng theo công thức. Đường thẳng đi qua M  x0 ; y0  và nhận

n   A; B  làm vecto pháp tuyến thì có phương trình tổng quát A  x  x0   B  y  y0   0
.
 Đường thẳng d đi qua M  x0 ; y0  và nhận n   a; b  làm vectơ chỉ phương thì

 x  x0  at
x  x0 y  y0
d :
, t  R. (Pt tham số ) hoặc d :
( Pt chính tắc).

a
b
 y  y0  bt
Ví dụ 1:
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau
a. Đường thẳng đi qua điểm M(2;-5) và nhận vectơ u   4; 3 làm vecto chỉ phương
b. Đường thẳng đi qua hai điểm A(1;-4) và B(-3;5)
c. Qua điểm N(3;-2) và nhận vectơ n   4; 3 làm vectơ pháp tuyến
Giải
a. Đường thẳng nhận u   4; 3 làm vtcp nên nhận vectơ n   3; 4  làm vtpt và qua M  2; 5
Có phương trình tổng quát là : 3  x  2   4  y  5  0  3x  4 y  14  0
b. Ta có , AB   4;9  . Đường thẳng AB nhận AB   4;9  làm vectơ chỉ phương, nên nhận
vectơ n   9; 4  làm vtpt và đi qua A (1;-4) nên có phương trình tổng quát là :

9  x  1  4  y  4   0  9 x  4 y  7  0
c. Đường thẳng đi qua điểm N(3;-2) và nhận vecto n   4; 3 làm vectơ pháp tuyến có phương
trình tổng quát là : 4  x  3  3  y  2   0  4 x  3 y  18  0.
Ví dụ 2:
a. Viết phương trình tham số của đường thẳng : 3x  y  2  0
 x  1  2t
b. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng : 
y  3t
Giải
a. Cách 1: Lấy hai điểm, ví dụ M  0; 2  , N 1;1 thuộc đường thẳng  : 3x  y  2  0
Khi đó MN  1;3 là một vectơ chỉ phương của  nên  có phương trình tham số là

x  t
, t  R.

 y  2  3t


1
2 1
 y  2   t .
3
3 3
2 1

x   t
Đường thẳng đã cho có phương trình tham số 
3 3 , t  R.


y  t

Cách 2: Cho y  t ta có x 

 x  1  2t
b. Từ phương trình tham số 
, t  R. ta có phương trình chính tắc của đường thẳng là
y  3t
x 1 y  3

.
2
1
Phương trình tổng quát
1.  x  1  2  y  3  x  2 y  7  0 .
Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC có A(2;0), B(4;1), C(1;2).
Hãy viết phương trình các cạnh tam giác, phương trình đường cao AH, đường trung tuyến AM,
đường phân giác trong AI của tam giác ABC, phương trình đường trung trực của BC.
Giải
Ta có
AB   2;1 là vecto chỉ phương của AB
x2 y 0

 x  2y  2  0
2
1
BC   3;1 là vecto chỉ phương của BC

Phương trình đường thẳng AB :

x  4 y 1

 x  3y  7  0
3
1
AC   1; 2  là vecto chỉ phương của AC

Phương trình đường thẳng BC :

x2 y 0

 2x  y  4  0
1
2
Đường cao AH nhận BC   3;1 làm một vec tơ pháp tuyến. Phương trình đường cao AH

Phương trình đường thẳng AC :

3  x  4   1 y  1  3x  y  13  0
x A  xB
24


 xM  2
 xM  2  3
 1
M là trung điểm của BC nên 

 M  3; 

 2
 y  y A  yB
 y  0 1  1
M
M

2
2

2
 1
AM  1;  là một vtcp của AM hay 2 AM   2;1 cũng là 1vtcp của AM. Phương trình trung
 2
x2 y 0
tuyến AM :

 AM : x  2 y  2  0 .
2
1


Phương

trình

đường

phân giác trong
 x  3 y  2  0 1
x  2y  2

2x  y  4
.


5
5
3 x  y  6  0  2 

và

phân

giác

ngoài

tại

A

là

Lần lượt thay tọa độ của B, C vào vế trái của (1) ta đượ( 4+3.1-2) (1+3.2-2)=25>0
Do đó B và C nằm cùng phía với đường thẳng có phương trình (1). Do đó phương trình đường
phân giác trong góc A là : 3x  y  6  0
 1
Đường trung trực của BC nhận BC   3;1 làm một vtpt, đi qua M  3;  có phương trình
 2
1
19


3  x  3  1 y    3x  y   0.
2
2

Bài tập
Bài 1. Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC biết A(-1;2), B(2;-4), C(1;0).
Đáp số: x-4y+9=0, x-y-6=0, x-2y-1=0.
Bài 2. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết M(-1;1), N(1;9), M(9;1) là
các trung điểm của ba cạnh của tam giác.
Đáp số: x+4y-13=0, x-y+2=0, x-1=0.
Bài 3. Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua hai
điểm M(3;6) và N(5;-3)
 x  3  2t x  3 y  6
Đáp số: 
,
.

2
9
 y  6  9t
Bài 4. Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng sau
x  2  t
 x  3
 x  2  3t
a. 
,
b. 
,
c. 

 y  2  t
 y  6  2t
y  4
Đáp số: a. x  y  0,
b. x  3  0,
c. y  4  0
Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng
a.  2 x  y  3  0,
b. x 1  0, c. y  6  0
x  t
x  1
x  t
, b. 
, c. 
Đáp số: a. 
 y  3  2t
y  t
y  6
Bài 6. Cho hai điểm A(-1;3) và đường thẳng d có phương trình x  2 y  2  0 . Dựng hình vuông
ABCD sao cho hai đỉnh B, C nằm trên d và các tọa độ của đỉnh C đều dương.
a. Tìm các tọa độ các đỉnh B, C, D.
b. Tính chu vi và diện tích hình vuông ABCD
Đáp số:
a. B(0;1), C(2;2),
D(1;4)
b. Chu vi: 4 5 , diện tích: 5
Bài toán 2: Các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng đặc biệt ( Song song Ox, Oy, đọan chắn)
Phương pháp:
 Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy có dạng ax  c  0
 Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox có dạng by  c  0



Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng ax  by  0



Đường thẳng cắt trục Ox tại A(a;0) và Oy tại B(0;b) ( a, b  0 ) có phương trình theo đoạn
chắn

x y
  1.
a b

Ví dụ 1:
Lập phương trình đường thẳng d đi qua P(6;4) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện
tích bằng 2.
Giải
Giả sử d giao với Ox tại A(a;0) và Oy tại B(0;b) (a và b khác 0). Phương trình của d là
x y
 1
a b
6 4
Pd   1
1
a b
1
1
SOAB  OA.OB  a.b  2  a.b  4

 2
2
2
4a
4
Từ (1) ta có b 
( a  6 vì nếu a  6 thì (1) trở thành  0 : vô lí)
a6
b
4a
Thay vào (2) ta được a.
 4  a2  a  6
a6
2
Với a  6 thì  3  a  a  6  0 vô nghiệm.

a  2
Với a  6 thì  3  a 2  a  6  0  
 a  3
x y
Với a = 2  b  2 ta có đường thẳng d1 : 
1 x  y  2  0
2 2
4
x y
Với a = -3  b  ta có đường thẳng d 2 :   1  4 x  9 y  12  0
3
3 4
3
Ví dụ 2:

Lập phương trình đường thẳng đi qua A 1; 4  và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm M, N
khác điểm O sao cho tam giác OMN có diện tích nhỏ nhất.
Giải
Giả sử M(m;0), N(0;n) với m, n  0 . Phương trình của đường thẳng d là

1 4
1 4
x y
1 4
1
 mn  16  SOMN  ab  8
  1 , vì A  d    1 , theo cô si 1    2
m n
mn
m n
m n
2
1 4
1 4
Vậy SOAB min  8   và   1  m  2; n  8
m n
m n
x y
Khi đó phương trình đường thẳng d là   1  4 x  y  8  0 .
2 8
Bài tập


Bài 1. Đường thẳng d: 2x-5y+9=0 cắt 2 trục tọa độ tại A và B. Tính chiều cao OH của tam giác
OAB.

9
Đáp số: OH 
29
Bài 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(2;4) và cắt Ox, Oy tại M, N trong các trường hợp
a. A là trung điểm của M, N
b. OM = ON
Đáp số: a. 2x+y-8=0
b. y = 2x, y = x+2y, y = -x+6
Bài 3. Lập phương trình đường thẳng qua 2 hình chiếu của K(4;-3) lên Ox, Oy
x y
Đáp số: 
1
4 3
Bài 4.
Cho đường thẳng  : ax  by  c  0. Viết phương trình đường thẳng  ' đối xứng với 
a. Qua Ox
b. Qua Oy
c. Qua gốc tọa độ
Đáp số: a.  ' : ax  by  c  0
b.  ' : ax  by  c  0
c.  ' : ax  by  c  0
Bài 5.
Lập phương trình đường thẳng đi qua A  4;9  và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm M, N
khác điểm O sao cho tam giác OM  ON nhỏ nhất.
Đáp số: 3x  2 y  30  0 .