Một số bài toán về phương trình đường thẳng trong không gian

GIỚI THIỆU: LÊ ĐỨC THUẬN. EMAIL:
1

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

A/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1. Cách viết phương trình đường thẳng
D
đi qua
,
A
vuông góc với
1
d
và cắt
2
d

Cách 1.
Bước 1: Tham số hóa điểm
B
nằm trên
2
d
theo
.
t

Bước 2: Tính vectơ
AB

uuur
và xét
1
. 0
d
AB u
=
uuur uur
ta tìm được
.
t B
Þ

Bước 3: Đường thẳng
D
cần tìm chính là đường thẳng
.
AB

Cách 2.
Chúng ta cũng có thể làm theo các khác như sau:
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng
(
)
P
qua
A
và vuông góc với
1
.

d

Bước 2: Tìm
B
là giao của của
2
d
và
(
)
.
P

Bước 3: Đường thẳng
D
cần tìm chính là đường thẳng
.
AB

DẠNG 2. Cách viết phương trình đường thẳng
D
nằm trong
(
)
P
sao cho
D
cắt và vuông
góc với đường thẳng
d

cho trước
Cách 1.
Bước 1: Tìm giao điểm
A
của
d
và
(
)
.
P

Bước 2: Vì
D
nằm trong
(
)
P
và vuông góc với
d
nên
; .
P d
u n u
D
é ù
=
ë û
uur uur uur

Bước 3: Đường thẳng
D
đi qua
A
và có VTCP là
.
u
D
uur

Cách 2.
Bước 1: Tìm giao điểm
A
của
d
và
(
)
.
P

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng
(
)
Q
qua
A
và vuông góc với
.
d

Bước 3: Đường thẳng
D
là giao tuyến của
(
)
P
và
(
)
.
Q

DẠNG 3. Cách viết phương trình đường thẳng
D
vuông góc với
(
)
P
và cắt
1 2
,
d d

Cách 1.
Bước 1: Tham số hóa điểm
A
trên
1
d

và
B
trên
2
d
lần lượt theo
t
và
.
s

GIỚI THIỆU: LÊ ĐỨC THUẬN. EMAIL:
2

Bước 2: Để
AB
vuông góc với
(
)
P
thì
AB
uuur
và
P
n
uur
cùng phương, từ đó tìm được
t
và

s
Þ
tọa
độ
, .
A B

Bước 3: Đường thẳng
D
chính là đường thẳng AB.
Cách 2.
Bước 1: Lập
(
)
Q
chứa
1
d
và vuông góc với
(
)
.
P

Bước 2: Tìm
2
.
B d Q
= Ç

Bước 3: Đường thẳng
D
chính là đường thẳng B và vuông với
(
)
.
P

DẠNG 4. Cách viết phương trình đường thẳng
D
đi qua
,
H
cắt
d
và song song với
(
)
P

Cách 1.
Bước 1: Tham số hóa đường thằng
d
và lấy
A
trên
.
d

Bước 2: Tính

HA
uuur
và sử dụng điều kiện
P
HA n
^
uuur uur
để tìm được tọa độ của
.
A

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng
.
HA

Cách 2.
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng
(
)
Q
qua
H
và song song với
(
)
.
P

Bước 2: Tìm
A

là giao điểm của
d
và
(
)
.
Q

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng
.
HA

DẠNG 5. Cách viết phương trình đường thẳng
D
qua
M
đồng thời vuông góc với cả
1 2
,
d d

Bước 1: Tìm
1 2
;
d d
u u
uur uur
và tính
1 2
; .

d d
u u
é ù
ë û
uur uur

Bước 2: Vì
D
đồng thời vuông góc với cả
1 2
,
d d
nên
1 2
; .
d d
u u u
D
é ù
=
ë û
uur uur uur

Bước 3: Lập phương trình đường thẳng
D
qua
M
và có VTCP
.
u

D
uur

DẠNG 6. Cách viết phương trình đường thẳng
D
nằm trong
(
)
P
đồng thời cắt cả
1 2
;
d d

Bước 1: Tìm tọa độ các điểm
,
A B
lần lượt là giao điểm của
1 2
;
d d
với
(
)
.
P

Bước 2: Đường thẳng
D
thỏa mãn yêu cầu đề bài chính là đường thẳng

.
AB

DẠNG 7. Cách viết phương trình đường thẳng
D
song song với
d
đồng thời cắt cả
1 2
,
d d

Cách 1.
Bước 1: Tham số hóa hai đường thẳng
1 2
,
d d
và lấy hai điểm
,
A B
lần lượt trên
1 2
,
d d
theo tham
số
, .
t s

Bước 2: Từ điều kiện

AB
uuur
và
d
u
uur
cùng phương, ta tìm được
, .
t s
Từ đó suy ra tọa độ của
, .
A B

GIỚI THIỆU: LÊ ĐỨC THUẬN. EMAIL:
3

Bước 3: Đường thẳng
D
cần tìm là đường thẳng
.
AB

Cách 2.
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng
(
)
P
chứa
1
d

và song song với
.
d

Bước 2: Tìm điểm
B
là giao của
2
d
và
(
)
.
P

Bước 3: Lập phương trình đường thẳng
D
qua
B
và song song với
.
d

B/ BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. (TSĐH, khối D, 2006) Cho điểm
(
)
1;2;3
A và hai đường thẳng
1 2

2 2 3 1 1 1
: ; : .
2 1 1 1 2 1
x y z x y z
d d
- + - - - +
= = = =
- -
Viết phương trình đường thẳng
D
đi qua
,
A

vuông góc với
1
d
và cắt
2
.
d
Đáp số:
1 2 3
.
1 3 5
x y z
- - -
= =
- -

Bài 2. (TSĐH, D, 2009) Cho đường thẳng
2 2
:
1 1 1
x y z
d
+ -
= =
-
và mặt phẳng
(
)
: 2 3 4 0.
P x y z
+ - + =
Viết phương trình đường thẳng
D
nằm trong
(
)
P
sao cho
D
cắt và
vuông góc với đường thẳng
.
d
Đáp số:
3 1 1
.

1 2 1
x y z
+ - -
= =
- -

Bài 3. (TSĐH, khối A, năm 2007) Cho mặt phẳng
(
)
:7 4 0
P x y z
+ - =
và hai đường thẳng
1 2
1 2
1 2
: ; : 1 .
2 1 1
3
x t
x y z
d d y t
z
= - +
ì
- +
ï
= = = +
í
-

ï
=
î
Viết phương trình đường thẳng
D
vuông góc với
(
)
P
và
cắt
1 2
, .
d d
Đáp số:
2 1
.
7 1 4
x y z
- +
= =
-

Bài 4. (CĐGTVT, năm 2005) Cho điểm
(
)
1;2; 1 ,
H
-
mặt phẳng

(
)
: 3 0
P x y z
+ - + =
và đường
thẳng
3 3
: .
1 3 2
x y z
d
- -
= =
Viết phương trình đường thẳng
D
đi qua
,
H
cắt
d
và song song với
(
)
.
P
Đáp số:
1 2 1
.
1 2 1

x y z
- - +
= =
-

Bài 5. Cho điểm
(
)
2; 1;1
M - và hai đường thẳng
1 2
1 0 2 1 0
: , : .
2 0 0
x y x y
d d
x z z
+ + = + - =
ì ì
í í
- = =
î î
Viết
phương trình đường thẳng
D
qua
M
đồng thời vuông góc với cả
1 2
, .

d d
Đáp số:
2 1 1
.
4 2 1
x y z
- + -
= =
-

GIỚI THIỆU: LÊ ĐỨC THUẬN. EMAIL:
4

Bài 6. Cho mặt phẳng
(
)
: 2 0
P y z
+ =
và hai đường thẳng
1 2
1 2
: ; : 4 2 .
4 1
x t x t
d y t d y t
z t z
= - = -
ì ì
ï ï

= = +
í í
ï ï
= =
î î
Viết
phương trình đường thẳng
D
nằm trong
(
)
P
đồng thời cắt cả
1 2
; .
d d
Đáp số:
1
.
4 2 1
x y z
-
= =
-

Bài 7. (TSĐH, khối A, 2005) Cho đường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
x y z

d
- + -
= =
-
và mặt phẳng
(
)
:2 2 9 0.
P x y z
+ - + =
Gọi
A
là giao điểm của
d
và
(
)
.
P
Hãy viết phương trình đường thẳng
D
qua
A
nằm trong
(
)
P
và vuông góc với
.
d

Đs:
: ; 1; 4 .
d x t y z t
= = - = +

Bài 8. Cho ba đường thẳng
1 2
1 5 1 2 2 4 7
: ; : ; : .
3 1 1 1 4 3 5 9 1
x y z x y z x y z
d d d
- - - + - + +
= = = = = =
-

Viết phương trình đường thẳng
D
song song với
d
đồng thời cắt cả
1 2
, .
d d
Đáp số:
35 142 58
47 47 47
.
3 1 1
x y z- + -

= =
-

Bài 9. Cho hai đường thẳng
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
- +
= = và
2
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
: 2 3 0
P x y
- + =
và
(
)
: 3 0.
Q z
- =
Viết phương trình đường thẳng
D
là đường vuông góc
chung của

1 2
, .
d d
Đáp số:
2 1
.
1 2 4
x y z
- +
= =
- -

HẾT