CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 ĐẦY ĐỦ CÁC DẠNG TOÁN

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
PHẦN ĐẠI SỐ
CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN THỰC HIỆN PHÉP TÍNH TRÊN Q VÀ R
Dạng 1: TÍNH VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC:
Bài 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) A = (

b)

B

HD : A =

1
1
1
1 1  3  5  7  ...  49


 ... 
)
4.9 9.14 14.19
44.49
89

212.35  46.92

 2 .3  8 .3
2

6

4

5



510.73  255.492

125.7 

3

 59.143

9
7
;B=
28
2

3 3 

0,375  0,3  
 1,5  1  0,75
 1890
11
12

:

Bài 2: a) TÝnh A 

 115
 2,5  5  1,25  0,625  0,5  5  5  2005


3
11 12 

1 1 1 1
1
1
b) Cho B   2  3  4  ...  2004  2005
3 3 3 3
3
3
1
Chøng minh r»ng B  .
2
5
5
1
3
 1
13  2  10  . 230  46
4
27
6
25
4

Bài 3: a) Tính : 
2
 3 10   1
1   : 12  14 
7
 10 3   3
1 1 1
1
   ... 
2 3 4
2012
b) TÝnh P 
2011 2010 2009
1


 ... 
1
2
3
2011
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….
2012
2010
1
 MS  1 
1
 ....  1 
 2011
1

2
2011
2012
2012
1 1 1
1
 2012 
 .... 
 2011 = 2012(    ...... 
)
2
2011
2 3 4
2012
1 1 1 1
(1  2  3  ...  99  100)    (63.1,2  21.3,6)
2 3 7 9
c) A 
1  2  3  4  ...  99  100
Bài 4: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
 11 3 

1 2
1 31 . 4 7  15  6 3 .19   14  31

 . 1
A

 .
5

1
1
93  50




 4 6  6 12  5 3 



1 1 1
1
1

b) Chøng tá r»ng: B  1  2  2  2  ... 
2
2 3 4
2004
2004
Bài 5: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

1


2

4
3



 81,624 : 4  4,505   125
3
4


A
2
 11 2


 
2  13
  : 0,88  3,53  (2,75)  :
 25 
 25

b) Chøng minh r»ng tæng:
1
1
1
1
1
1
1
S  2  4  6  ...  4 n  2  4 n  ....  2002  2004  0,2
2
2
2
2

2
2
2
Bài 6: Rút gọn:
16 .3  120.6
5.4 .9  4.3 .8
46.95  69.120
9. 520. 279  3.915. 259
45.94  2.69
;
;
;
D=
;
C

B

E
A  10 8 8
5.29.619  7.229.276
84.312  611
2 .3  6 .20
7. 329.1256  3. 39. 1519
4 6.312  611
15

9

20

3

9

10

9

ÔN LẠI DÃY SỐ ĐÃ HỌC Ở LỚP 6
( HS tự làm GV giải đáp trong 2 buổi)
DẠNG 2: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1 : Tính tổng:
2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … - 2008
Bài 2: Cho A  1  2  3  4  ...  99  100.
a) Tính A.
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ?
Bài 3: Cho A  1  7  13  19  25  31  ...
a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?
Bài 4: Cho A  1  7  13  19  25  31  ....
a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.
b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.
Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:
( x  2)  ( x  7)  ( x  12)  ...  ( x  42)  ( x  47)  655
Bài 6: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + … + (x+2009) = 2009.2010
b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ … + 2009. 2010
Bài 7: Tính tổng: S  9.11  99.101  999.1001  9999.10001  99999.100001
Bài 8: Cho A  3  32  33  ...  3100

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
Bài 9: Cho A  3  32  33  ....  32004
a) Tính tổng A.
b) Chứng minh rằng A  130 .
c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ?
Bài 10:
a) Cho A  1  3  32  33  ...  32003  32004. Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3.

2
b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với A  4  2  2  2  ...  2
Bài 11:
a) Cho A  2  2 2  23  ...  2 60
Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.
b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42
Bài 12:
Cho A = 2 + 22 + 23 + ............+299 + 2100
Chứng tỏ A chia hết cho 31
Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596
a, Chứng minh: S 126
b, Tìm chữ số tận cùng của S
3

2

4

5

2003

2004


Bài 14: Cho A  1.2.3......29.30
B  31.32.33........59.60
a) Chứng minh: B chia hết cho 2 30
b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61.
Bài 15: Cho A  3  2 2  23  2 4  ...  2 2001  2 2002 và B  2 2003. So sánh A và B.
Bài 16: Cho M = 3  32  33  ...  399  3100 .
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n .
Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
DẠNG 3:DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
1 1 1
2
2003
Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết:
   ... 

3 6 10
n(n  1) 2004
Bài 19:
2
2
2
2
a) Tính:



 ..... 
1.3 3.5 5.7
99.101
3
3
3
3
b) Cho S 



n  N * . Chứng minh: S  1
1.4 4.7 7.10
n(n  3)
2
2
2
2
Bài 20: So sánh: A 

 ... 

60.63 63.66
117.120 2003
5
5
5
5
và B 


 ... 

40.44 44.48
76.80 2003
Bài 21:
1
1
1
1
1
1
a) Tính A  




10 40 88 154 238 340
1 1 1
1
2
b) Tính: M      .... 
3 6 10 15
2004.2005
1
1
1
c) Tính tổng: S 

 ... 

1.2.3 2.3.4
98.99.100
1 1
1
1
Bài 22: So sánh: A  1   2  3  ...  100 và B = 2.
2 2
2
2
Bài 23: So sánh:
5
5
5
5
2
2
2
2
B

 ... 

A

 ... 

và
40.44 44.48
76.80 2006
60.63 63.66

117.120 2006
Bài 24. Tính
2 2 2
2
2
a. A =
   
.
15 35 63 99 143
3
3
3
3
b. B = 3+
.


 ... 
1 2 1 2  3 1 2  3  4
1  2  ...  100
Bài 25: Tính giá trị các biểu thức:
1 1
1
1
1 1 1
1
1    ... 

   ... 
3 5

97 99
100
a) A =
b) B = 2 3 4
1
1
1
1
1
99 98 97
1


 ... 



 ... 
1.99 3.97 5.95
97.3 99.1
1
2
3
99
1
1
1
1
Bài 26: Tính A 



 ... 
1.2.3 2.3.4 3.4.5
97.98.99
Bài 27:

3


1 1 1 1 1
Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy : 1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;....
3 8 15 24 35
1 1 1
1
Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau : ; ;
;
;...
6 66 176 336
A
Bài 30: Tính
biết:
B
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1

A=
; B=


 ... 

   ...  
1.2 3.4 5.6
17.18 19.20
11 12 13
19 20
1
1 
1
1
1
 1
Bài 31: Tìm x, biết: 

 ... 

 .... 
x 
10.110 
1.11 2.12
100.110
 1.101 2.102
Bài 32: Tính :
a) S  1  a  a2  a3  ...  a n , với ( a  2, n  N )

b) S1  1  a 2  a 4  a6  ...  a 2n , với ( a  2, n  N )
c) S2  a  a3  a5  ...  a 2n1 , với ( a  2, n  N * )
Bài 33: Cho A  1  4  42  43  ...  499 , B  4100 . Chứng minh rằng: A 

B
.
3

Bài 34: Tính giá trị của biểu thức:

a) A  9  99  999  ...  999...9

b) B  9  99  999  ...  999...9

50 ch÷ sè

200 ch÷ sè

DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI
(Dạy sau khi học xong chương I trên lớp)
Bài 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản
0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)
1
Bài 2: Tính: a) 10,(3)+0,(4)-8,(6) b) 12, (1)  2,3(6) : 4, (21)
c) 0, (3)  3  0,4(2)
3
Bài 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số

116
dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

99

Bài 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12)
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị

(4,6  5 : 6,25).4
4.0,125  2,31
0,5  0, (3)  0,1(6)
Bài 6: Rút gọn biểu thức M 
2,5  1, (6)  0,8(3)
Bài 7: Chứng minh rằng: 0,(27)+0,(72)=1
Bài 8: Tìm x biết
3
0, (3)  0, (384615)  x
0,1(6)  0, (3)
13  50
a)
b)
.x  0, (2)
0,0(3)
85
0, (3)  1,1(6)
a) A 

(11,81  8,19).2,25
6,75

b) B 

c) 0, (37)  0, (62)x  10

Bài 9: Cho phân số A 

d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4)

e) x : 0,(3) = 0,(12)

m  3m  2m  5
; (m  N )
m(m  1)(m  2)  6
3

2

a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản.
b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?
Bài 10: So sánh các số sau

4


 1
4
9 
:5
và  1 
b)

25
9
16



c) CMR: với a, b dương thì a  b  a  b
Bài 11: Tìm x biết

a) 0,5 100 



25  9 và

a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ; 2  3
b) 2 x  3  3  2 x
Bài 12: Tìm x biết

c)

a) x  2 x  0

b) x 

2

Bài 13: Cho A 

x  12  2 x  12  0

25  9



2

c) x  1 
2

x

9
16

x 1
16
25
. CMR với x 
và x 
thì A có giá trị là một số nguyên(chuyển sang chủ đề
9
9
x 1

tìm gí trị nguyên)
Bài 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên
7
3
2
a) A 
b) B 
c) C=
(chuyển sang chủ đề tìm gí trị nguyên)

x
x 1
x 3

x 1
Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên (chuyển sang chủ đề tìm gí trị nguyên)
x 3
Bài 16: thực hiện phép tính
2
2

 

 2 2 2 : 2,4 5,25 : 7 2   : 2 1 : 5  : 22 : 2 2  




 
   7

7  
81


 



Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý.

1
1
1
1


2
49 49 7 7
A
2
64 4  2 
4
   
2
7  7  343
Bài 15: Cho A 

 

 

 

 

 

 

2

5
5
25
5
Bài 18: Tính bằng cách hợp lý. M  1 



2
204
374
196 2 21
Bài 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức
Bài 20: Thực hiện phép tính

 
x  2 

2



y  2 

2

 x yz 0

 

 

2
 1
2 49   1
6
7  1704
 : 12  8  
:
M  18 : 225  8 .
2
  3
3
3
4
7

 445
3
2

 

BÀI TẬP VỀ NHÀ: Làm các bài Toán tính giá trị biểu thức và dãy số trong tập 30 đề.
CHỦ ĐỀ 2: BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU:
1. Kiến thức vận dụng :
a c
-   a.d  b.c
b d
a c e

a c e abe
-Nếu   thì   
với gt các tỉ số dều có nghĩa
b d f
b d f bd  f
a c e
- Có   = k Thì a = bk, c = d k, e = fk
b d f
2. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Tìm các số khi biết tổng (hoặc tích) và tỷ số của chúng.

5


VD1: Tìm x,y,z biết:
a)

x y z
  và x  y  z  18 ;
2 3 4

b)

x y z
  và x  y  z  15
2 3 4

Giải:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

 x  2.2  4
x y z x  y  z 18

  

 2   y  2.3  6
2 3 4 23 4 9
 z  2.4  8

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút x,y,z theo k.

 x  2k
x y z

   k   y  3k (1)
2 3 4
 z  4k

 x  y  z  2k  3k  4k  9k
 9k  18  k  2
Theo (1) ta có: x = 4; y = 6; z = 8
Cách 3: Rút x, y theo z.

1

x

z

x y z

2
 

2 3 4
y  3 z

4
1
3
9
 x  y  z  z  z  z  z  18
2
4
4
 z  8; x  4; y  6
 x  3.2  6
x y z x  y  z 15


 3   y  3.3  9
b)   
2 3 4 23 4 5
 z  3.4  12

VD2: Tìm x, y,z biết:
a)

x y z
x y z
  và x  2 y  4 z  93 ; b)   và  2 x  y  3z  34

3 4 5
3 4 5

Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

 x  3.3  9
x y z 2 y 4 z x  2 y  4 z  93




 3   y  3.4  12
a)   
3 4 5
8
20
3  8  20
31
 z  3.5  15

 x  2.3  6
x y z 2 x 3z  2 x  y  3z
34




 2   y  2.4  8
b)   

3 4 5 6 15
 6  4  15
 17
 z  2.5  10

VD3: Tìm x, y,z biết:

6

2x 3y 4z
và x+2y+4z=220 ;
= =
3
4 5


Giải:
a) Từ

2x 3 y 4z
x
y
z





3
4

5
18 16 15

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

 x  2.18  36
x
y
z
x  2 y  4 z 220





 2   y  2.16  32
18 16 15 18  32  60 110
 z  2.15  30

VD 4: Tìm x, y biết:
a) 5x  7 y và x  2 y  51 ;

b) a.x  b. y(a  0, b  0, b  a) và x  y  b  a

Giải:
a) Từ 5 x  7 y 

x y

7 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

 x  21
x y x  2 y 51
 

3 
7 5 7  10 17
 y  15
b) Từ a.x  b. y 

x y

b a

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

x  b
x y x y ba
 

1 
b a ba ba
y  a
VD5: Tính các góc của tam giác ABC biết 2A=B; 3B=C
Giải:
2A=B; 3B=C  2A=B 

Từ:

C
A B C A  B  C 1800
   

 200
3
1 2 6
9
9

 A  200 ; B  400 ;C  1200

Tổng quát :
x y z
= = và mx+ny+pz=d
a b c
Với a, b, c, dlà các số cho trước và m,n,p≠ 0

Tìm x,y,z biết

(*)

Phương pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để để tạo ra tỷ số là hằng số .
Cụ thể:
Từ

x y z mx ny pz mx  ny  pz
d
= = =

= = 

a b c ma nb pc ma  nb  pc ma  nb  pc

VD6: Tìm x,y,z biết:
a)

x y
 và xy  24 ;
2 3

b)

x y z
  và xyz  24
2 3 4

Giải:

7


a) Cách 1:
2

2

x y x  y
x y xy 24
      . 


4
2 3 2  3
2 3 6
6
x
  2  x  4
2
Với x = 4  y = 6
Với x = - 4  y = - 6
Cách 2: Đặt

x y
  k  x  2k ; y  3k
2 3

Thay x  2k ; y  3k vào xy  24 ta được:

2k.3k  6k 2  24  k 2  4  k  2
-Với k  2  x  4; y  6
-Với k  2  x  4; y  6
b) Đặt

x y z
   k  x  2k ; y  3k ; z  4k
2 3 4

Thay x  2k ; y  3k ; z  4k vào xyz  24 ta được:

x  2


2k .3k .4k  24k  24  k  1  k  1   y  3
z  4

3

3

VD7: Tìm x, y,z biết:
a)

x y z
2
2
2
  và x  2 y  4 z  141
3 4 5

b)

x y z
  và  2 x 2  y 2  3z 2  77
3 4 5

Giải:

x y z
 
(1)
3 4 5

a) Từ
x2 y 2 z 2



9 16 25
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

x 2 y 2 z 2 2 y 2 4 z 2 x 2  2 y 2  4 z 2 141






 1  x 2  9  x  3
9 16 25 32 100
9  32  100
141

x  3
 x  3


kết hợp với (1)   y  4 hoặc  y  4
z  5
 z  5


b) Từ

8

x y z
x2 y2 z 2
  (1) 


3 4 5
9 16 25


Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

x 2 y 2 z 2 2 x 2 3z 2 2 x 2  y 2  3z 2 77






 1  x 2  9  x  3
9 16 25 18
75
18  16  75
77

x  3
 x  3



kết hợp với (1)   y  4 hoặc  y  4
z  5
 z  5


Tổng quát :

x y z
  và mx k  ny k  pz k  d
a b c
Với a, b, c, d , m, n, p, d , k là các số khác 0 k  N *

Tìm x,y,z biết

Phương pháp giải như sau:
Từ

x y z
mx k ny k
pz k
  


a b c
ma k nb k
pc k

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số

mx k ny k
pz k
ta được:


ma k nb k
pc k

mx k ny k
pz k mx k  ny k  pz k
d
 k  k 

k
k
k
k
k
ma
nb
pc
ma  nb  pc
ma  nb k  pc k
Bài tập có hướng dẫn (Dạng 1)
Bài 1 : Tìm x,y z . Biết
a/

x y z
và 2x - y + 3z = 45



3 15 8

b/

x y y z
 ;  &
4 9 5 8

...=> x=9;y=45 ;z=24

x + y - z = - 35

HD: Để quy về tỷ số của y ta nhận thấy BCNN(9;5)=45 nên

x y
x
y
và
 

4 9
20 45

y z
y
z
x
y
z

Do đó ta được :
....=>x =100;y=225;z= 360
 



5 8
45 72
20 45 72
c/ 5x = 6y ; 5y = 6z và x + 2y – 3 z = 42
x y
y z
HD: Từ 5x = 6y và 5y = 6 z => 
và

6 5
6 5
x
y
z
Tương tự câu b : BCNN(5;6) =30 =>
... => x = 72, y=60, z=50


36 30 25
d/ 3x = 5y = 10z và x – 2y =Z = 15
HD : Để lập được các tỷ số ta chia mỗi tỷ số cho BCNN(3,5,10)=30 rồi rút gọn:
3x 5 y 10 z
x
y z

3x = 5y = 10z =
......=> x = 150,y = 90 z = 45


  
30 30 30
10 6 3
2
3
4
e/
x  y  z và x + y + z = 98
3
4
5
HD: Tương tự câu d ta chia mỗi tỷ số cho BCNN(2,3,4)=12 rồi rút gọn :
2x
3y
4z
x
y
z


 

.........=> x =35 ; y =32 ; z = 30
3.12 4.12 5.12
18 16 15

9


x
y y z
....=> x = 60 ; y = 30 và z = 75
 ;  & 2 x  3 y  4 z  330
10 5 2 3
x y z
Bài 2 : Tìm x,y,z . Biết
và x.y.z = 576
 
3 4 6
HD :

f/

3

3

3

x y z  x  y  z
x. y.z 576
Ta có :             k 3 

 8 => k = 2
3 4 6  3  4 6
72

72
x y z
=>
   2  x  6; y  8; z  12
3 4 6
x y
Bài 3 : Tìm x ,y . Biết
 & x 2 . y 2  144
3 4
x y x2 y2
HD: Ta có :
 

3 4 32 4 4
Nhân mỗi tỷ số với x 2 ta được
x4 x 2 y 2 144


 9  x 4  81  x  3 & y  4
9
16
16
x  1 y  2 2 z  14
Bài 4 a/ Tìm x,y,z. Biết
và x + z = y


3
5
9

x  1 y  2 2 z  14 2 x  2 2 y  4
HD: Ta có :




3
5
9
6
10
2 x  2  2 z  14  (2 y  4) 20
=

 4 .......=> x = 11 ; y = 22 ; z = 11
6  9  10
5
3
4
5
b/
và x + y + z = 18


x 1 y  2 z  3
3
4
5
3 45
12

HD: Ta có




1
x  1 y  2 z  3 x  1  y  2  z  3 18  6
=> x = 4 ;y = 6 ;z = 8
Bài 5 : Tìm x,y . Biết :
x3  y3 x3  2 y3
a/
và x 6 . y 6  64

6
4
3
x  y 3 x 3  2 y 3 2 x 3  2 y 3 2 x 3  2 y 3  x 3  2 y 3 3x 3
HD:




6
4
12
12  4
16
33

x y

x  2y
(x  y )  (x  2 y ) 3y



6
4
64
2
3
3
3
6
3x
3y
x
x


 y 3  y 3 
 y6
Do đó :
16
2
8
64
x 6 .y 6
64
 y 12 
 1  y  1 & x  2

Nhân mỗi tỷ số với y 6 ta được
64
64
Vậy ta có : ( 2 ; 1) và ( -2 ; -1 )
x  4 3y 1 3y  x  5
b/


6
8
x
x  4 3y 1 3y  x  5 3y  x  5
HD:
Ta có :



 x = 2 & y = 3
6
8
x
2
Bài 6 : Ba lớp chia nhau dự định chia nhau một số kẹo theo tỷ lệ 5:6:7 . Nhưng Cô giáo lại cho chia theo tỷ
lệ 4:5:6 nên có một lớp được nhận hơn dự định 4
túi kẹo Tính tổng số túi kẹo ?
HD : Gọi x là là tổng số túi kẹo ( x thuộc N )
3

10

3

3

3

3

3

3

3

3


Số túi kẹo mỗi lớp dự định chia là a ; b ; c ta có :
a b c abc x
5x
6x
7x
  

 a  ; b 
&c 
5 6 7 5  6  7 18
18
18
18

- Số túi kẹo mỗi lớp chia theo cô giáo là m ; n ; p ta có:
m n p mn p x
4x
5x
6x
  

 m 
;b 
&c 
4 5 6
4  5  6 15
15
15
15
6 x 5x 5x 4 x 7 x 6 x
- Vì
 ;

;

 Lớp thứ ba nhận nhièu hơn lúc đầu và
15 15 18 15 18 15
6x 7x
x
phân số chỉ 4 túi kẹo là :


15 18 90
=> Tổng số túi kẹo là : 4. 90 = 360 túi

37
Bài 7: Tìm ba phân số có tổng bằng 1
. Biết các tử số của chúng tỷ lệ với
44
4 : 3 : 5 và các mẫu tỷ lệ với 1 : 2 : 4 .
a c e
HD : Gọi ba phân số cần tìm là ; ;
( b,d,f =/= 0 . Ta có :
b d f
a c e
37 a c e b d
f
  1 ;   &  
b d f
44 4 3 5 1 2 4
Do đó :
e
a c e
a c
81
 
a b c d e f
a
2c 4e
3
f
b d f
:  :  : 



 b  d 

 44 
5
3 5
27 11
4 1 3 2 5 4
4b 3d 5 f
4 3
4 
2
4
2 4
4
a
3 12 c 3 3
9
e 5 3 15
Vậy:
 4.  ;  . 
&  . 
b
11 11 d 2 11 22 f 4 11 44
Bài 8 : Tìm ba số . Biết BSCNN của chúng bằng 120 ; Số thứ nhất và số thứ hai tỷ lệ 3 ; 4 . Số thứ nhất
với số thứ ba tỷ lệ 5 ; 8 .
HD : Ba số cần tìm là a,b,c thì ta có :
a b a c
a
b
c

 &   

 k  a  15k ; b  20k & c  24k
3 4 5 8
15 20 24
BCNN (a,b,c) = BCNN ( 15k;20k;24k ) =120 k =120 =>k= 1
Vậy a = 15 ; b= 20 ; c = 24
14
9
Bài 9 : Tìm a số tự nhiên .Biết rắng số thứ nhất bằng
số thứ hai và số thứ hai bằng
số thứ ba .Tổng
15
10
2 lần số thứ nhất và 3 lần số tjhứ hai nhiều hơn 4 lần số thứ ba là 19 .
Hướng dẫn : Gọi x;y;z là ba số tự nhiên phải tìmTheo đề bài ta có :
4
9
x= y& y 
và 2x + 3y – 4 z = 19.
5
10 z
a b c
bca
Bài 10: Cho dãy tỷ số bằng nhau
Tính giá trị biểu thức :
 
3 4 11
a cb
bca bca

a c b a c b
b  c  a 12
Ta có :

va



4  11  3
12
3  11  4
10
a  c  b 10
1
1
Bài 11: Ba tấm vải có chiều dai tổng cộng 145 m . Nếu cắt tâm thứ nhất đi
;cắt tấm thứ hai đi và cắt
2
3
1
tấm thứ ba đi
chiều dài mỗi tấm thì chiều dài của ba tấm còn lại bằng nhau .Hỏi chiều dài mỗi tấm trước
4
khi cắt ?

11


HD: Gọi chiều mỗi tấm trước khi cắt là x;y;z ( >0 , mét )). Thì sau khi cắt tâm thứ nhất còn 1/2x,tấm thứ hai
còn 2/3y và tấm thứ ba còn 3/4z. Vì chiều dài mỗi tấm con lại bằng nhau nên ta có

x 2 y 3z
x
y z
: 
và x + y + z = 145

  
2
3
4
12 9 8
Áp dụng DTSBN ........=> x= 60 m ; y = 45 m và z = 40 m
3
Bài 12: Tìm ba phân số biết tổng 3 và biết tử tỷ lệ với 2 ; 3 ; 5 và mẫu tỷ lệ với 5 ; 4 ; 6 ?
7
Hướng dẫn: Gọi x;y;z là 3 phân số cần tìm theo đề bài ta có :
2 3 5
x
y
z
7
x:y:z = : :  24 : 45 : 50 


&x yz 3
5 4 6
24 45 50
60
11
22

33
55
Áp dụng DTSBN => x 
.24  ; y 
&z 
420
35
28
42
AB 3
Bài 13: Cho tam giác vuông Â=90 độ . Biết
và BC = 15 cm . Tính

AC 4
AB ; AC ?
AB 3
AB AC AB 2  AC 2 15 2
Hướng dẫn :
 



 9  AB  9cm & AC  12cm
AC 4
3
4
25
32  4 2
3
Bài 14: Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng

;các tử số tỷ lệ
196
với 3 ; 5 và các mẫu số tương ứng tỷ lệ với 4 và 7.
Hướng dẫn: gọi x;y là phân số cần tìm .
3 5
x
y
3
9
15
Ta có x : y = :  21 : 20 
và x- y =

 x 
&y
4 7
21 20
196
28
49
12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z
Bài 15: Tìm x;y;z Biết :


& x  y z  48
7
9
11
12 x  15 y  20 z  12 x  15 y  20 z
0

Hướng dẫn : Ta có ........=

0
7  9  11
27
=> 12x - 15y = 0 <=> 12x = 15 y <=> x : 5 = y :4 (1)
20z - 12x = 0 <=> 12x = 20z <=> x : 5 = z : 3 (2)
x y z x  y  z 48
TỪ(1) và(2) =>   

 x  20; y  16 & z  12
5 4 3 5  4  3 12
Bài 16: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m vuông. Hai cạnh tỷ lệ với 4; 3. Tính chiều dài chiều
rộng khu vườn ?
Hướng dẫn : Gọi x ; y là chièu dai và chiều rộng khu vườn
Ta có x .y = 300 và x : 4 = y : 3 => x=4k ; y = 3k
x . y = 4k . 3k = 12k 2 =k 2 =25=>k = 5 (k=-5 loại)
Vậy x = 20 mét và y = 15 mét
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức từ một hệ thức cho trước. Tính giá trị của một biểu thức.
VD1: Cho tỉ lệ thức:

a c
 (a, b, c, d  0; a  b; c  d )
b d

Chứng minh rằng:
a)

ab cd


a b cd

b)

ab cd

b
d

Giải:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
Từ

12

a c
a b
   . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
b d
c d


a b a b a b
 

c d cd cd

do :

a b a b

ab cd



cd cd
a b cd

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:

 a  b kb  b k  1


a  kb  a  b kb  b k  1
a c
Đặt   k  

b d
c  kd
 c  d  kd  d  k  1
 c  d kd  d k  1
Vậy:

ab cd

a b cd

Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
b)do:

b a+b

a+b c+d
=

=
d c+d
b
d

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
Cách 4:

a c
a
c
a b c d
  1  1 

b d
b
d
b
d

a c
VD2: Cho tỉ lệ thức: = Chứng minh rằng:
b d

2a+3b 2c+3d
=

a)
2a-3b 2c-3d

3a 2 +5ab 3c 2 +5cd
b) 2
=
7a -10b 2 7c2 -10d 2

Giải:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
do:

a c
a b
   . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
b d
c d
a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b
= = = =
=
c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d

từ :

2a+3b 2a-3b
2a+3b 2c+3d
=

=
2c+3d 2c-3d

2a-3b 2c-3d

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:

 2a+3b 2kb+3b 2k+3
=
=
a=kb  2a-3b 2kb-3b 2k-3
a c

Đặt = =k  
b d
c=kd  2c+3d = 2kd+3d = 3k+3
 2c-3d 2kd-3d 2k-3
Vậy:

2a+3b 2c+3d
=
2a-3b 2c-3d

Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.

13


do:

a c
a b

   . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
b d
c d
2

2

a b  a   b  a b a 2 b 2 ab
=    =   .  2 = 2 
c d c d
c d c d
cd
2
2
2
2
3a 7a 10b
5ab 3a +5ab 7a 2 -10b 2
 2= 2=


=
3c 7c 10d 2 5cd 3c 2 +5cd 7c 2 -10d 2
3a 2 +5ab 3c 2 +5cd
 2
=
7a -10b 2 7c 2 -10d 2

3a 2 +5ab 7a 2 -10b 2
3a 2 +5ab 3c2 +5cd

=
 2
=
3c2 +5cd 7c2 -10d 2
7a -10b 2 7c2 -10d 2

từ

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
Tổng quát :
a c
Nếu: = thì:
b d

ma+nb mc+nd
a)
=
m'a+n'b m'c+n'd

ma 2 +nb2 +kab mc2 +nd 2 +kac
b)
=
m'a 2 +n'b 2 +k'ab m'c 2 +n'd 2 +kcd

Nhận xét: Hầu hết các bài tập trong hai dạng toán trên đều có thể giải bằng nhiều cách tuy nhiên ở mỗi bài
ta nên chọn cách giải hợp lý nhất.
VD 3: Cho tỉ lệ thức:

ab cd

. Chứng minh rằng: a  c .

a b cd
b
d

Giải:
ab cd
a  b  2b c  d  2d
2b
2d



 1
 1
a b c d
a b
cd
a b
cd
c d a b
c 1 a 1
a c



 
  
2d

2b
2d 2 2b 2
b d

a b c
a 2 +b 2 +c2
Ví dụ 4: Cho : = = hãy tính giá trị của biểu thức M=
(a+b+c)2
b c a
Giải:

a b c a+b+c
= = =
=1  a = b = c
b c a a+b+c
a 2 +b 2 +c2 a 2 +a 2 +a 2 3a 2 3a 2 1
 M=
=
=
=
=
(a+b+c) 2 (a+a+a) 2 (3a) 2 9a 2 3
Một số bài tập có hướng dẫn (dạng 2)
a2  c2 a
a c
Bài 1: Cho  . Chứng minh rằng: 2 2 
b c
b
c b
a c

HD: Từ  suy ra c 2  a.b
c b
a 2  c 2 a 2  a.b
khi đó 2 2  2
b c
b  a.b
a ( a  b) a
=

b( a  b) b

14


Bài 2: Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
(a  2012b) 2
a
=
c
(b  2012c) 2
HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac
= a( a + 2.2012.b + 20122.c)
(b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2
= c( a + 2.2012.b + 20122.c)
(a  2012b) 2
a
Suy ra :
=
c
(b  2012c) 2

a c
5a  3b 5c  3d
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu  th×

b d
5a  3b 5c  3d
a c
HD : Đặt   k  a = kb, c = kd .
b d
5a  3b b(5k  3) 5k  3
5c  3d d (5k  3) 5k  3
Suy ra :
và




5a  3b b(5k  3) 5k  3
5c  3d d (5k  3) 5k  3
5a  3b 5c  3d
Vậy

5a  3b 5c  3d
a 2  b 2 ab
Bài 4:
BiÕt 2
với a,b,c, d  0 Chứng minh rằng :

c  d 2 cd
a c

a d
 hoặc 
b d
b c
2
2
a b
ab 2ab a 2  2ab  b 2 (a  b)2
ab 2
HD : Ta có 2
=

 2

(
) (1)
2
2
2
c d
cd 2cd c  2cd  d
(c  d )
cd

a 2  b 2 ab 2ab a 2  2ab  b 2 (a  b)2
a b 2
=

 2


(
) (2)
2
2
2
2
c d
cd 2cd c  2cd  d
(c  d )
cd
a b a b
c  d  c  d
ab 2
a b 2
Từ (1) và (2) suy ra : (
) (
) 
cd
cd
ab  ba
 c  d d  c
Xét 2 TH đi đến đpcm
a c
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc  . Chøng minh r»ng:
b d
2
2
ab a  b 2
a 2  b2
ab

vµ 

  2
c  d2
cd c 2  d 2
cd 
a c
HD : Xuất phát từ  biến đổi theo các
b d
ab a 2  b2 a 2 c 2 a 2  b 2
a b 2
 2
 2  2 2
(
)
hướng làm xuất hiện
2
2
cd c  d
b
d
c d
cd
Bài 6 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b

c
d
ab bc cd d a



TÝnh M 
cd d a ab bc
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d
HD : Từ



a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 
1 
1
Suy ra :
a
b
c
d

15


a bcd a bcd a bcd a bcd



a
b
c
d
Nếu a + b + c + d = 0  a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)
ab bc cd d a
= -4
 M 



cd d a ab bc
ab bc cd d a
Nếu a + b + c + d  0  a = b = c = d  M 
=4



cd d a ab bc
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng:
x
y

z
NÕu


a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c
a
b
c
Th×


x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z
a
b c
b) Cho:
.
 
b
c d



a
 abc
Chøng minh: 
 
d
bcd 
x
y

z
a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c
HD : a) Từ





x
y
z
a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c
a  2b  c 2(2a  b  c) 4a  4b  c
a
(1)




x
2y
z
x  2y  z
2(a  2b  c) (2a  b  c) 4a  4b  c
b
(2)



2x

y
z
2x  y  z
4(a  2b  c) 4(2a  b  c) 4a  4b  c
c
(3)



4x
4y
z
4x  4 y  z
a
b
c
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :


x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z
x
y
z
t
Bài 8: Cho



y z t z t  x t  x y x y z
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.

x y y z z t t  x
P



z t t  x x y y z
x
y
z
t
y  z t z t  x t  x  y x  y  z
HD Từ







x
y
z
t
y z t z t  x t  x y x y z
y  z t
z t  x
t x y
x yz

1 

1 
1 
1
x
y
z
t
x y  z t z t  x y t  x y  z x y  z t




x
y
z
t
Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
Nếu x + y + z + t  0 thì x = y = z = t  P = 4
yzx zx y x yz
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :


x
y
z
 x 
y  z 
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1  1  1  
y 
z  x 


Bài 10 Các số a , b , c , d thoả mãn điều kiện
a
b
c
d



& a  b  c  d  0 . Chứng tỏ : a=b=c =d ?
3b 3c 3d 3a
3

16


HD: Áp dụng dãy TSBN :

a
b
c
d
abcd
1





3b 3c 3d 3a 3(a  b  c  d ) 3

a 1
  a  b(1)
3b 3
b 1
  b  c(2)
3c 3
Ta suy ra:
c
1
  c  d (3)
3d 3
d 1
  d  a (4)
3a 3
Từ (1);(2);(3) và(4) ta được a = b = c = d.
a
b
c
Bài 11: Tìm x, biết rằng: x 


bc ca ab
HD: * Khi a + b + c khác 0 ta có:
abc
abc
1
x=



(b  c)  (a  c)  (a  b) 2(a  b  c) 2
* Khi a + b + c = 0 thì a = -(b+c) ; b = -(a+c ) và c = - (a +b
Một số bài tương tự (dạng 2 tự giải)
Bài 12 Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d



a
b
c
d
ab bc cd d a
TÝnh M 



cd d a ab bc
Bài 13: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y  z  t  nx z  t  x  ny t  x  y  nz x  y  z  nt
( n là số tự nhiên)



x
y
z
t
và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
Bài 14: a/ Chứng minh rằng nếu có :

2( x + y ) = 5 (y =z ) = 3 (z + x )
x y yz
Thì :

4
5
2
a  b2 a
b/ Cho b 2  ac Chứng minh :

b2  c2 c
x y yz zx
Hướng dẫn : a/ Ta có : 2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x ) <=>


15
6
10
xz yz xz yz x y
Vậy :
(1)



10
6
10  6
4
x y zx x yzx yz
(2)




15
10
15  10
5
x y yz
Từ(1) và (2) =>

4
5
a b
a2 b2 a b a
b/ Ta có : b 2  ac    2  2  . 
b c
b c c
b
c
2
2
a b
a

Do đó :
2
2
c
b c
Bài 15: Cho dãy tỷ số bằng nhau :

17


2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d



a
b
c
d
ab bc cd d a
Tớnh giỏ tr ca biu thc M . Bit M =



cd d a ab bc
Hng dn : Mi t s ó cho u bt i 1 ta c :
2a b c d
a 2b c d
a b 2c d
a b c 2d
1
1
1
1
a
b
c

d
abcd abcd abcd abcd
=



a
b
c
d
Nu : a+b+c+d 0 => a=b=c=d lỳc ú M= 1+1+1+1 = 4
Nu : a+b+c+d = 0 => a+b = -(c+d) ; b+c = -(d+a)
C+d = -(a+b) ; d+a = -(b+c)
Lỳc ú : (-1)+(-1)+(-1)+(-1) = - 4
x 2 y 3z
Bi 16 : Cho P =
.
Tớnh P? Bit x;y;z t l vi 5;4;3 .
x 2 y 3z
x y z
Hng dn: Ta cú :
K x 5k , y 4k & z 3k
5 4 3
5k 8k 9k 4k 2
2
Vy :

P
5k 8k 9k
6k 3

3

Dng 3 : Vn dng tớnh cht dóy t s bng nhau tỡm x,y,z, (ch cú 1 iu kin)
Bi 1: Tỡm cp s (x;y) bit :

1+3y 1+5y 1+7y


12
5x
4x

HD : p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y
2y






12
5x
4x
4x 5x
x
5x 12
5x 12
2y

2y
vi y = 0 thay vo khụng tha món

x 5 x 12
Nu y khỏc 0
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đ-ợc:
1 3y 2 y
1

y =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y =
12
2
15
1
Vậy x = 2, y =
thoả mãn đề bài
15

=>

a b c
v a + b + c 0; a = 2012.
b c a
Tớnh b, c.
a b c a bc
HD : t
1 a = b = c = 2012
b c a a bc
Bi 4 : Tỡm cỏc s x,y,z bit :

y x 1 x z 2 x y 3
1



x
y
z
x yz
HD: p dng t/c dóy t s bng nhau:
y x 1 x z 2 x y 3 2( x y z )
1
(vỡ x+y+z 0)



2
x
y
z
( x y z)
x yz
Suy ra : x + y + z = 0,5 t ú tỡm c x, y, z

Bi 3 : Cho

18


1 2 y 1 4 y 1 6 y



18
24
6x
1  2 y 1  4 y 1  6 y 2(1  2 y)  (1  4 y) 1  2 y  1  4 y  (1  6 y)
HD : Từ




18
24
6x
2.18  24
18  24  6 x
1 1
Suy ra : 
 x 1
6 6x
x y x y
xy
Bài 6: Tìm các số x , y , z biết :


3
13
200
x y x y
xy

HD: Ta có :
(1)


3
13
200
x  y x  y x  y  x  y 2x x
Và
:
(2)




3
13
3  13
16 8
xy
x
  8 xy  200 x  8 xy  200  0
200 8
Từ (1) và (2) =>
x  0
8 x( y  25)  O  
 y  25
Xét hai trường hợp:
0 y 0 y
 Nếu x=0 thì


 0  y  0
3
13
x  25 x | 25
 Nếu y=25 thì

 13x  325  3x  75  x  40
3
13
Vậy: x = 0 ; y =0 và x =40 ; y= 25
x
y
z
Bài 7: T×m x, y, z biÕt:


 x  y  z (x, y, z  0 )
z  y 1 x  z 1 x  y  2
x
y
z
x yz
1
HD : Từ


 x y z 

z  y 1 x  z 1 x  y  2

2( x  y  z ) 2
1
1
1
1
Từ x + y + z =  x + y = - z , y +z = - x , z + x =
- y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x.
2
2
2
2
3x 3 y
3z
Bài 8 : T×m x, y, z biÕt
vµ 2 x 2  2 y 2  z 2  1


8
64 216
2x 1 4 y  5 2x  4 y  4
Bài 9 : Tìm x , y biết :


5
9
7x
C.BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm hai số x và y biết:
x
y

x 7
a)  và 5x – 2y = 87;
b)
và 2x – y = 34;

19 21
y 3
Bài 2: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.

Bài 5 : Tìm x, biết rằng:

Bài 3: Tìm các số x; y; z biết rằng:
x y z
x y y z
a)
và 5x + y – 2z = 28; b)
 
 ;  và 2x + 3y – z = 186;
10 6 24
3 4 5 7
2x 3y 4z
c) 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32; d)
và x + y + z = 49;


3
4
5
x 1 y  2 z  3
e)

và 2x + 3y – z = 50;


2
3
4
Bài 4: Tìm các số x; y; z biết rằng:

19


a)

x y z
  và xyz = 810;
2 3 5

b)

x 3 y3
z3
và x2 + y2 + z2 = 14.


8 64 216

Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng:
1  2y 1  4y 1  6y
2x  1 3y  2 2x  3y 1
a)

;
b)




18
24
6x
5
7
6x
Bài 6: Ba người cùng góp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 180 triệu đồng. Biết rằng 3 lần số vốn của
người thứ nhất bằng 2 lần số vốn của người thứ hai và 4 lần số vốn của người thứ hai bằng 3 lần vốn của
người thứ 3. Tính số vốn mà từng người đã góp.
Bài 7: Cho tỉ lệ thức: a  c ; Chứng minh rằng:

b
d
2
2
5a  3b 5c  3d
a)
;
b) 7a 2  3ab2  7c 2  3cd2 .

5a  3b 5c  3d
11a  8b
11c  8d
Bài 8: Cho tỉ lệ thức: 2a  13b  2c  13d . Chứng minh rằng: a  c .

b
d
3a  7b
3c  7d

x
y
z
Bài 9: Cho dãy tỉ số : bz  cy  cx  az  ay  bx . Chứng minh rằng:
.


a
b
c
a
b
c
Bài 10: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4.
a 3  a 32  a 33 a1
Chứng minh rằng: 13
 .
a 2  a 33  a 34 a 4
2
2
a
c
Bài 11*: Cho tỉ lệ thức : a 2  b2  ab . Chứng minh rằng:
.


b
d
c d
cd
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
bc ca a b

Bài 13: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 sao cho:
a+b-c a-b+c -a+b+c
=
=
c
b
a

Tìm giá bằng số của biểu thức: M 
Bài 14: Cho biểu thức: P=

(a+b)(b+c)(c+a)
abc

x+y y+z z+t t+x
.Tìm giá tri của biểu thức P biêt rằng:
+
+
+
z+t t+x x+y z+y

x
y

z
t



y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z
Bài 15: Cho 2016 số thoả mãn a1+a2+...+a2016  0 và
Hãy tính giá trị của biểu thức: N=

Bài 16: Cho P =

a
a
a1 a 2
= =...= 2015 = 2016
a 2 a3
a 2016
a1

2
a12 +a 22 +...a 22015 +a 2016
(a1 +a 2 +...+a 2015 +a 2016 ) 2

ax 2 + bx + c
a
b
c
Chứng minh rằng nếu
= =
2

2
a1x + b1x + c1
a1 b1 c1

Thì giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của x.
Buổi 8-9-10
CHỦ ĐỀ 3: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHÉP TOÁN ĐỂ TÌM X, Y

20


1. Kiến thức vận dụng :
-

Tính chất phép toán cộng, nhân số thực

-

Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

 A, A  0
- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A  0 với mọi A ; A  
  A, A  0
- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A  B  A  B dấu ‘=’ xẩy ra khi A.B  0;
A  B  A  B dấu ‘= ‘ xẩy ra A và B >0
A  m
A  m
A m

(m  0) ; A  m  
(hay  m  A  m) với m > 0
 A  m
 A  m
- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n  0 với mọi A ; - A2n  0 với mọi A
Am = An  m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)
0< A < B  An < Bn ;
2. Bài tập vận dụng
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài 1: Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
b)

x 1 x  2 x  3 x  4



2011 2010 2009 2008

c)

x2 x3 x4 x5 x6




11
12
13
14

15

HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013

 x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013
 x.

2011.2012
2.2013
 2012.2013  x 
2
2011

b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Từ


x 1 x  2 x  3 x  4



2011 2010 2009 2008

( x  2012)  2011 ( x  2012)  2010 ( x  2012)  2009 ( x  2012)  2008



2011
2010
2009

2008

x  2012 x  2012 x  2012 x  2012



 2
2011
2010
2009
2008
1
1
1
1
 ( x  2012)(



)  2
2011 2010 2009 2008
1
1
1
1
 x  2 : (



)  2012

2011 2010 2009 2008


Bài 2 Tìm x nguyên biết (tự hướng dẫn – dễ)

21


a)

1
1
1
1
49


 .... 

1.3 3.5 5.7
(2 x  1)(2 x  1) 99

b) 1- 3 + 32 – 33 + ….+ (-3)x =

91006  1
4

c)

x2 x2 x2 x2 x2





11
12
13
14
15

DẠNG 2 : TÌM X CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI


Dạng : x  a  x  b và x  a  x  b  x  c

Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá
trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
a) x  2011  x  2012

b) x  2010  x  2011  2012

HD : a) x  2011  x  2012 (1) do VT = x  2011  0, x
nên VP = x – 2012  0  x  2012 (*)

 x  2011  x  2012  2011  2012(vôly)
Từ (1)  

 x  2011  2012  x  x  (2011  2012) : 2
Kết hợp (*)  x = 4023:2

b) x  2010  x  2011  2012 (1)
Nếu x  2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012  x = 2009 :2 (lấy)
Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại)
Nếu x  2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy)
Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
Một số bài tương tự:
Bài 2 : T×m x biÕt x  1  x  3  4
Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: x  3  x  1  3x
b) Tìm x biết: 2 x  3  x  2  x
Bài 4 : tìm x biết :
a) x  1  4
b) x  2011  2012
DẠNG : SỬ DỤNG BĐT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x  1  x  3  x  5  x  7  8
b) Tìm x biết : x  2010  x  2012  x  2014  2
HD : a) ta có x  1  x  3  x  5  x  7  x  1  7  x  x  3  5  x  8 (1)
Mà x  1  x  3  x  5  x  7  8 suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=”

1  x  7
 3  x  5 do x nguyên nên x  {3;4;5}
Hay 
3  x  5
b) ta có x  2010  x  2012  x  2014  x  2010  2014  x  x  2012  2 (*)
Mà x  2010  x  2012  x  2014  2 nên (*) xẩy ra dấu “=”

 x  2012  0
 x  2012
Suy ra: 
2010  x  2014
Các bài tương tự

Bài 2 : Tìm x nguyên biết : x  1  x  2  .....  x  100  2500
Bài 3 : Tìm x biết x  1  x  2  .....  x  100  605x

22


Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x  1  x  2  y  3  x  4 = 3
Bài 5 : Tìm x, y biết : x  2006 y  x  2012  0
HD : ta có x  2006 y  0 với mọi x,y và x  2012  0 với mọi x
Suy ra : x  2006 y  x  2012  0 với mọi x,y mà x  2006 y  x  2012  0

x  y  0
 x  2012, y  2
 x  2006 y  x  2012  0  
 x  2012  0
Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.
2004  x  4  x  10  x  101  x  990  x  1000
MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (HS TỰ HỌC)
(GIẢI ĐÁP 1 BUỔI)
1. Dạng 1:
A(x)  k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức (Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm)
- Nếu k = 0 thì ta có A( x)  0  A( x)  0

 A( x)  k
- Nếu k > 0 thì ta có: A( x)  k  
 A( x)  k
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a) 2 x  5  4

b)

1 5
1
  2x 
3 4
4

Bài 1.2: Tìm x, biết:
1
a) 2 2 x  3 
b) 7,5  3 5  2 x  4,5
2
Bài 1.3 Tìm x, biết:
1 3
a) x    5%
4 4

b) 2 

3
1
5
x 
2
4
4

c)

1
1 1
 x 
2
5 3

c) x 

c)

d)

3
7
 2x  1 
4
8

4
  3,75    2,15
15

3 4
3 7
 x 
2 5
4 4

d) 4,5 

3 1
5 5
x 
4 2
3 6

Bài 1.4 Tìm x, biết:
11 3
1 7
15
3
1
21
x 2
9
1
a) 6,5  : x   2 b)
c)  2,5 : x   3 d)
 : 4x  
 3:   6
4 2
5 2
4
4
2
5
4 3
4
3

2. Dạng 2: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
a  b
 A( x)  B( x)
Vận dụng tính chất: a  b  
ta có: A( x)  B( x)  
a  b
 A( x)   B( x)
Bài 2.1: Tìm x, biết:
a) 5x  4  x  2
b) 2 x  3  3x  2  0

c) 2  3x  4 x  3

d) 7 x  1  5x  6  0

Bài 2.2: Tìm x, biết:
5
7 5
3
7
5 1
3
1
7
2 4
1
a) x   4 x  1 b) x   x   0 ; c) x   x  ; d) x   x  5  0
4
2 8

5
8
6 2
2
2
5
3 3
4
3. Dạng 3: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều
không âm. Do vậy ta giải như sau:
A( x)  B( x) (1)
Điều kiện: B(x)  0 (*)

23


 A( x)  B( x)
(1) Trở thành A( x)  B( x)  
( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )
 A( x)   B( x)
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a  0  a  a
Nếu a  0  a  a
Ta giải như sau: A( x)  B( x)



(1)

Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )
Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

Bài 3.1: Tìm x, biết:
1
a) x  3  2 x
b) x  1  3x  2
2

c) 5 x  x  12

d) 7  x  5 x  1

Bài 3.2: Tìm x, biết:
a) 9  x  2 x
b) 5 x  3x  2

c) x  6  9  2 x

d) 2 x  3  x  21

Bài 3.3: Tìm x, biết:
a) 4  2 x  4 x
b) 3x  1  2  x

c) x  15  1  3x

d) 2 x  5  x  2

4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A( x)  B( x)  C ( x)  m Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán (Đối chiếu điều kiện tương ứng)
Bài 4.1: Tìm x, biết:
a) 4 3x  1  x  2 x  5  7 x  3  12
1
1
1
c) 2  x  x   8  1,2
5
5
5

b) 3 x  4  2 x  1  5 x  3  x  9  5
d) 2 x  3

1
1
1
 x 3  2  x
2
2
5

Bài 4.2: Tìm x, biết:
a) 2 x  6  x  3  8
c) x  5  x  3  9

d) x  2  x  3  x  4  2

e) x  1  x  2  x  3  6

f)

2 x  2  4  x  11

5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
A(x)  B(x)  C(x)  D(x) (1)
Điều kiện: D(x)  0 kéo theo A( x)  0; B( x)  0; C ( x)  0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a) x  1  x  2  x  3  4 x

b) x  1  x  2  x  3  x  4  5x  1

Bài 5.2: Tìm x, biết:
1
2
3
100
a) x 
 x
 x
 ...  x 
 101x
101
101
101
101
1
1

1
1
b) x 
 x
 x
 ...  x 
 100 x
1.2
2.3
3.4
99.100
DẠNG 3: CHỨA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
a) 5x + 5x+2 = 650
b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162
HD : a) 5x + 5x+2 = 650  5x ( 1+ 52) = 650  5x = 25  x = 2
b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162  3x -1(1 + 5) = 162  3x – 1 = 27  x = 4

24


Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:
a) 2x + 1 . 3y = 12x
b) 10x : 5y = 20y
22 x 3 y
HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x  x 1  x  2 x 1  3 y  x
2
3
Nhận thấy : ( 2, 3) = 1  x – 1 = y-x = 0  x = y = 1
b) 10x : 5y = 20y  10x = 102y  x = 2y

Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2m + 2n = 2m +n
b) 2m – 2n = 256
HD: a) 2m + 2n = 2m +n  2m + n – 2m – 2n = 0  2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1
n

2  1  1
m
n
 (2 -1)(2 – 1) = 1   m
 m  n 1

2  1  1
b) 2m – 2n = 256  2n ( 2m – n - 1) = 28
Dễ thấy m  n, ta xét 2 trường hợp :
+ Nếu m – n = 1  n = 8 , m = 9
+ Nếu m – n  2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2
suy ra TH này không xảy ra : vậy n = 8 , m = 9
x 1
x 11
Bài 4 : Tìm x , biết :  x  7   x  7  0
HD :
x 1
x 11
 x  7   x  7  0
  x  7

  x  7

x 1

1   x  7 10   0



 x 1

1   x  7 10   0



  x 7  x10



  
1( x7)10 0


 x7
  x 70
10
 x 8
 ( x 7) 1  x  6

Bài 5 : Tìm x, y biết : x  2011y  ( y  1)2012  0
HD : ta có x  2011y  0 với mọi x,y và (y – 1)2012  0 với mọi y
Suy ra : x  2011y  ( y  1)2012  0 với mọi x,y . Mà x  2011y  ( y  1)2012  0

 x  2011y  0

 x  2011, y  1
 
 y 1  0
Các bài tập tương tự :
Bài 6 : Tìm x, y biết :
a) x  5  (3 y  4)2012  0
b) (2 x  1)2  2 y  x  8  12  5.22
BÀI TẬP VỀ NHÀ: LÀM TẤT CẢ CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN TRONG TẬP 30 ĐỀ.
CHỦ ĐỀ 4: GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN, GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC :
1 . Các kiến thức vận dụng:
- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
- Tính chất chia hết của một tổng , một tích
- ƯCLN, BCNN của các số
2. Bài tập vận dụng :
* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức
Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 7( x  2004)2  23  y 2
c) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6
d) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1

25