Đề HSG tinh Ha Nam 2015 - 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi có 01 trang)

P=

Câu 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P.

x−2 x
x +1
x x + 2x − 3 x + 1
+
+
x x −1 x x + x + x
x2 − x

b) Tìm x để P là số tự nhiên chẵn.
Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho hàm số

y = x2

có đồ thị (P), đường thẳng (d) có phương trình

y = 2 x + m.

Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B sao cho tam giác OAB
vuông tại O với O(0;0).
x, y , z
x y + 1 = z 2.
b) Tìm các số nguyên tố
thỏa mãn
Câu 3 (4,0 điểm). a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình

x x 2 − x + 1 + 2 3x + 1 = x 2 + x + 3.

 x 2 + y 2 − x − y = xy
 3
2
2
 2x − x − y = 2xy.

Câu 4 (6,0 điểm). Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn

( O)

. Điểm M thuộc cung

( O)

nhỏ CD của
, M khác C và D. Đường thẳng MA cắt DB và DC theo thứ tự tại H và K,
đường thẳng MB cắt DC, AC theo thứ tự tại E và F. Hai đường thẳng CH, DF cắt nhau tại

N.
a) Chứng minh rằng HE là phân giác của góc MHC.
b) Gọi G là giao điểm của KF và HE. Chứng minh rằng G là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác KNE.
c) Chứng minh rằng

NH NF KE
+
+
=1
MH MF CD

Câu 5 ( 2, 0 điểm). Cho

x, y

.

là hai số thực dương. Chứng minh rằng

1 − xy
x2 − y
y2 − x
+
+
≥ 0.
2 + x 2 + y 2 1 + 2 x 2 + y 2 1 + x2 + 2 y 2


Hết

Họ và tên thí sinh……………………………..Số báo danh……….……………..
Người coi thi số 1……………………………Người coi thi số 2…………………