skkn bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân trong toán học cao cấp

Đặt vấn đề
Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 11 – Chương Dãy số – Cấp số
cộng, cấp số nhân, tôi nhận thấy có một vấn đề thường gặp khó khăn cho học
sinh lớp 11 và cũng như là một số giáo viên đó là bài toán tìm số hạng tổng quát
của một dãy số cho bởi một hệ thức truy hồi. Như chúng ta đã biết bài toán tìm
số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi thực chất là “Bài toán
tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân trong toán học cao cấp” . Nhưng
làm thế nào để học sinh 11 có thể nắm bắt và giải quyết được bài toán này? Vì
vậy dưa trên ngôn ngữ của toán học cao cấp tôi đã cố gắng tìm hiểu và đưa cách
giải tổng quát cho một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số thường gặp
bằng ngôn ngữ toán học sơ cấp, hy vọng nó sẽ giúp các em học sịnh giải quyết
được một số bài toán tìm số hạng tổng quát thường gặp.


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
Loại 1. Dựa vào phương trình Vi phân tuyến tính cấp 1.
Bài toán 1.
u1 cho tr íc
 u n +1 = un + d

Cho dãy số (un) xác định bởi: 

(1)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải.
Dãy số (u n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u 1 và công sai d, nên theo
công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có un = u1 + (n - 1).d.
Bài toán 2.
u1 cho tr íc
 u n +1 = qun ,

Cho dãy số (un) xác định bởi: 

n = 1, 2,...

(2)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải.
Dãy số (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu u 1 và công bội q, nên theo
công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta có un = u1.qn – 1.
Bài toán 3.
u1 cho tr íc
 u n +1 = aun + b.

Cho dãy số (un) xác định bởi: 

n = 1, 2,...

(3)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải.
Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n) ta đưa vào dãy số phụ vn sao cho
un = vn + k, n = 1,2,…Từ công thức xác định dãy suy ra:
vn+1 + k = a(vn + k) + b.
Chọn k sao cho: k = ak + b ⇔ k =

b
.

1− a

Khi đó: vn+1 = avn, n = 1, 2,… và v1 = u1 - k. Nên theo bài toán 2 thì số hạng
tổng quát của dãy (vn) là vn = v1.an - 1.

2


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
b
Vậy: un = (u1 - k)an - 1 + k, n = 1, 2,… trong đó k =
.
1− a
Bài toán 4.
Cho dãy số (un) xác định bởi:

u 1 cho tríc

n
u n +1 = au n + bq , n = 1,2,...

(4)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải.
Xét 2 khả năng
a)

Nếu a = q:

un
u
u
Ta có un+1 = qun + bqn, hay: qn +n1 = q nn−1 + b , n = 1,2,... Đặt v n = n −1 ,
q

Thì (4) trở thành

n = 1,2,…

v = u
1 1

vn+1 = vn + b

Theo kết quả bài toán 1 ta có số hạng tổng quát của dãy (vn) là:
vn = v1 + (n - 1).b, n = 1,2,…
Vậy:

un = vn.qn-1 = qn-1[u1 + (n – 1)b], ∀n = 1,2,…

b) Nếu a ≠ q: Đặt un = vn + λqn-1, n = 1,2,… thì v1 = u1 - λ và từ công thức xác
định dãy suy ra: vn+1 + λqn = a(vn + λqn-1) + bqn, n = 1,2,…
Chọn λ sao cho: λqn = a.λqn-1 + bqn, tức λ =

bq
. Khi đó:
q−a

vn+1 = avn, n = 1,2,… ⇒ vn = v1.an-1.

Vậy: un = v1an-1 + λqn-1, n = 1,2,… với v1 = u1 - λ, λ =

bq
.
q−a

Bài toán 5.
u1 cho tr íc

Cho dãy số (un) xác định bởi: 

u n +1 = aun + nb,

3

n = 1,2,...


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải
Xét 2 khả năng
a) Nếu a = 1: T a có: un = un-1 + (n -1)b, n = 2,3,…Do đó:
un = (un - un-1) + (un-1 - un-2) + … + (u2 - u1) + u1 =
= (n-1)b + (n-2)b + … + b + u1 =

n ( n − 1)
b + u 1 , n = 2,3,…
2

Công thức này cũng đúng khi n = 1. Vậy: un =

n(n − 1)
b + u1 , n = 1,2, …
2

b
b) Nếu a ≠ 1: Đặt un = vn + λ n + β với λ = 1 − a ;

β=

−b
(1 − a)2

Từ công thức xác định dãy suy ra: v n = a vn-1, n = 1,2,… từ kết qủa bài toán 2 ta
có vn = v1.an-1 trong đó v1 = u1 - λ − β . Vậy un = vn + λ n + β
Loại II. Dựa vào phương trình Vi phân tuyến tính cấp 2.
Bài toán 6

 u1 , u2 cho tr íc
Cho dãy số (un) xác định bởi: 
 u n + 2 + aun +1 + bun = 0,

n = 1,2,...

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải
Xét các trường hợp sau:
a) Nếu a2 - 4b > 0: Phương trình x 2 + ax + b = 0 có 2 nghệm phân biệt x 1, x2
và x1 + x2 = -a, x1x2 = b.

Từ công thức xác định dãy suy ra: un+2 - (x1 + x2)un+1 + x1x2un = 0, n = 1,2,…
Hay: un+2 - x1un+1 = x2(un+1 - x1un)

(*).

Đặt un+1 - x1un = vn, ∀n = 1,2, … ⇒ v1 = u2 - x1u1 và từ (*) ta có v n+1 = x2vn,
n = 1,2,… ⇒ vn = v1.x2n-1, n = 1,2,…

4


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
Do đó từ: un+1 - x1un = vn ⇒ un+1 = x1un + v1x2n-1, n = 1,2,… Đây là dãy có dạng
n −1

đã xét ở bài tập 4. Từ đó suy ra: un = C1 x1
với C1 =

+ C2 x2n −1 , n = 1,2,…

u1x 2 − u 2
u − u1x1
, C2 = 2
.
x 2 − x1
x 2 − x1

b) Nếu a2 - 4b = 0: Khi đó phương trình x 2 + ax + b = 0 có nghiệm kép
a
x0 = − .

2
Làm tương tự trên ta suy ra: un+1 = x0un + v1x0n-1, n = 1,2,…, v1 = u2 - x0u1. Từ đây
n −1
cũng theo bài 4. Suy ra: un = x0 (C3 + C4 n) , n = 1,2,…

Với C 3 = 2u 1 −

u2
u
, C 4 = 2 − u1 .
x0
x0

c) Nếu a2 - 4b < 0: Phương trình x2 + ax + b = 0 vô nghiệm.
4b − a 2
−∆
Đặt cos ϕ = −
, sin ϕ =
=
2 b
2 b
2 b
a

2

2

a   −∆


 =1)
(Ta có thể đặt được như vậy vì:  −
 +
 2 b   2 b 
Khi đó bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được:
un =

( b)

n −1

[C5 cos(n −1)ϕ + C6 sin( n −1)ϕ] , n = 1,2,…

với C 5 = u 1 , C 6 =

2u 2 + au1
.
−∆

Bài toán 7
u1 , u 2 cho tr íc
 u n + 2 + aun +1 + bun = c, n = 1, 2,...

Dãy số xác định bởi: 

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải
5

Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
Xét các trường hợp sau:
a) Nếu a + b = -1 (a = -1 - b): Từ công thức xác định dãy suy ra:
un+2 - un+1 - b(un+1 - un) = c, n = 1,2,…
Đặt vn = un+1 - un, n = 1,2,…ì v1 = u2 – u1 và vn+1 = bvn + c, n = 1,2,…
Theo 3. Suy ra: Nếu b = 1 thì: v n = v1 + (n – 1)c; nếu b ≠ 1 thì: vn = C1bn-1 + C2,
với C1 = u 2 +

u1 + c
c + bu 1
, C2 =
. Từ đó:
b −1
1− b

+) Khi b = 1(a = -2): un+1 – un = v1 + (n – 1)c, n = 1,2,…. Theo mục 5. ta tìm
được: un = K1 + K2n + K3n2, n = 1,2,…, với K1 = 2u1 - u2 + c,
3
3
c
K 2 = v1 − c = u 2 − u 1 − c , K 3 = .
2
2
2
+) Khi b ≠ 1: Ta có: un+1 - un = C1bn-1 + C2, n = 1,2,…Cũng từ bài toán 5. Ta suy
ra:

un = C3 + C4 n + C5b n−1 , n = 1,2,…

trong đó: C3 = u1 - C4 - C5, C 4 =

c + bu 1
u + c
1 
, C5 =
u2 + 1
.
1− b
b − 1
b −1 

b) Nếu a + b ≠ -1: Đặt un = vn + λ, với λ =

c
, n = 1,2,…
a + b +1

Từ công thức xác đinh dãy suy ra: v n+2 + avn+1 + bvn = 0, n = 1,2,…Từ đây theo
mục 6. Tìm được vn và do đó suy ra un. Cụ thể như sau:
c

n −1
n −1
C
x
+
C
x
+
, nÕu x 2 + ax + b = 0 cã 2 nghiÖm x 1 ≠ x 2

1
1
2
2

a + b +1

c

u n = (C 3 + C 4 n ) x 0n −1 +
, nÕu x 2 + ax + b = 0 cã nghiÖm kÐp x 0
a + b +1

n −1
c

b
[C 5 cos(n − 1)ϕ + C 6 sin( n − 1)ϕ] +
, nÕu x 2 + ax + b = 0 VN

a + b +1


( )

( cos ϕ = −

4b − a 2
−∆
) với

, sin ϕ =
=
2 b
2 b
2 b
a

6


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp

C1 =

u1x 2 − u 2
u − u1x1
u
u
2u + au 1
, C2 = 2
, C 3 = 2u 1 − 2 , C 4 = 2 − u 1 , C 5 = u 1 , C 6 = 2
.
x 2 − x1
x 2 − x1
x0
x0
−∆

u 1 = −1, u 2 = 0
Ví dụ 1. Cho dãy số được xác định: 

u n + 2 − 4u n +1 + u n = 5, n = 1,2,...
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Giải: Đặt u n = v n −

5
5 3
5 5
, n = 1,2,… ⇒ v1 = u 1 + = , v 2 = u 2 + = .
2
2 2
2 2

Từ công thức xác định dãy suy ra: vn+2 – 4vn+1 + vn = 0, n = 1,2,…
Phương trình đặc trưng x2 – 4x + 1 = 0 có 2 nghiệm x 1 = 2 − 3, x 2 = 2 + 3 , do
đó: v n = C1 (2 − 3 ) n −1 + C 2 (2 + 3 ) n −1 , n = 1,2,…
Khi n = 1 và n = 2, ta có:

3
9+ 3

C
+
C
=
v
=
2
1
C1 =
 1

2
12
⇔

C (2 − 3 ) + C ( 2 + 3 ) = v = 5
C = 9 − 3
1
2
2

 1
2
12
Vậy: v n =

9+ 3
9− 3
(2 − 3 ) n −1 +
(2 + 3 ) n −1 , n = 1,2,…
12
12

Suy ra: u n =

9+ 3
9− 3
5
(2 − 3 ) n −1 +
(2 + 3 ) n −1 − , n = 1,2,…
12

12
2

u 1 = 0, u 2 = −1
Ví dụ 2. Xét dãy: 
u n +2 = 2u n +1 − 4u n + 6, n = 1,2,...
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Giải: Đặt un = vn + 2, n = 1,2,… ⇒ v1 = u1 – 2 = -2; v2 = u2 – 2 = -3.
Từ công thức xác định dãy suy ra: vn+2 = 2vn+1 – 4vn, n = 1,2,…
Phương trình đặc trưng x2 = 2x – 4 vô nghiệm (∆ = -12)
Ta có: cos ϕ = −

a
2 b

=−

−2 1
−∆
3
π
= , sin ϕ =
=
⇒ϕ= .
2
3
2 4 2
2 b
7

Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
π
π
n −1
Do đó: v n = 2 [C1 cos(n − 1) + C 2 sin( n − 1) ] , n = 1,2,….
3
3
C1 = −2
C1 = v1 = −2


⇔
Khi n = 1, n = 2 ⇒ 
π
π
3
2(C1 cos 3 + C 2 sin 3 ) = v 2 = −1 C 2 =
3

Vậy: v n = 2 n −1[−2 cos(n − 1)

π
3
π
+
sin( n − 1) ] , n = 1,2,…
3
3
3

Suy ra: u n = 2 n −1[−2 cos(n − 1)

π
3
π
+
sin( n − 1) ] + 2 , n = 1,2,…
3 3
3

u 1 = u 2 = 1
Ví dụ 3. Xét dãy: 
u n + 2 − 3u n +1 + 2u n = −1, n = 1,2,...
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Giải: Từ cách xác định dãy suy ra: un+2 - un+1 - 2(un+1 - un) = -1 (*).
Đặt un+1 – un = vn + 1, ∀n = 1,2,… ⇒ v1 = u2 - u1 -1 = -1.
Từ (*) ⇒ vn+1 + 1 - 2(vn + 1) = -1 ⇔ vn+1 = 2vn, ∀n = 1,2,… ⇒ (vn) là cấp số
nhân với công bội q = 2.
Ta có: với n = 2,3,… :un = (un - un-1 - 1) + (un-1 - un-2 - 1) +… + (u2 - u1 - 1) + u1 +
(n-1) = vn-1 + vn-2 + … + v1 + n ⇒ u n = v1 .

2 n −1 − 1
+ n = 1 − 2 n −1 + n
2 −1

Công thức này cũng đúng khi n = 1.
Vậy: un = n + 1 – 2n-1, n = 1,2,…
u 1 = u 2 = 1


Ví dụ 4. Xét dãy số (un): 
1
u n + 2 = u n +1 − 4 u n , n = 1,2,...
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Giải: Phương trình đặc trưng: x 2 = x −

1
1
có nghiệm kép x 0 = . Do đó:
4
2
8


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
1
un =  
2

n −1

(C1 + C 2 n ) , n = 1,2,… Trong đó C1, C2 được xác định:

C1 + C 2 = u 1 = 1
n −1
C1 = 0

1
⇔
. Vậy: u n = n   , n = 1,2,…

1

2
 2 (C1 + 2C 2 ) = 1 C 2 = 1
Bài toán 8
u 1 , u 2 > 0 cho tríc
Cho dãy số (un) xác định bởi: 
α
β
u n +2 = u n +1u n , n = 1,2,...
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Giải: Từ công thức xác định dãy ta có un > 0 ∀n = 1,2,… Ta có:
ln u n + 2 = α ln u n +1 + β ln u n , n = 1,2,…
Đặt lnun = vn, ∀n = 1,2,… thì v1 = lnu1, v2 = lnu2 và vn+2 = αvn+1 + βvn, n = 1,2,…
Do đó:
a) Nếu α2 + 4β > 0: Phương trình x2 = αx + β có 2 nghiệm phân biệt x 1, x2. Khi
đó v n = C1 x 1n −1 + C 2 x n2 −1 , ∀n = 1,2,… trong đó: C1 =
Từ đó suy ra:

u n = ( e C1 )

x1n −1

.( e C2 )

x n2 −1

v1 x 2 − v 2
v − v1 x 1
,C2 = 2

.
x 2 − x1
x 2 − x1

, ∀n = 1,2,…

b) Nếu α2 + 4β = 0: Phương trình x2 = αx + β có nghiệm kép x 0 =
v n = (C 3 + nC 4 ) x 0n −1 , ∀n = 1,2,… trong đó: C 3 = 2v1 −

(

Từ đó suy ra: un = eC3

)

x0n−1

.( e

C4

)

n. x0n−1

v2
v
, C 4 = 2 − v1 .
x0
x0

, ∀n = 1,2,…

c) Nếu α2 + 4β < 0: Phương trình x2 = αx + β vô nghiệm. Khi đó
vn =

(

−β

)

n −1

[C 5 cos(n − 1)ϕ + C 6 sin( n − 1)ϕ] , n = 1,2,…

9

α
. Khi đó
2


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
− α 2 − 4β
α
−∆
cos
ϕ
=

,
sin
ϕ
=
=
trong đó:
;
2 −β
2 −β
2 −β
.
Từ đó suy ra:

un = e (

− β )n−1 .C5 .cos( n −1)ϕ

.e(

− β )n −1 .C5 .sin( n −1)ϕ

, ∀n = 1,2,…

u 1 = 1, u 2 = 2
Ví dụ 1. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
u n + 2 = u n +1u n , n = 1,2,...
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy (un).
Giải. ở đây α = β =

1

1
1
1
, phương trình x 2 = x + có các nghiệm x 1 = − , x 2 = 1
2
2
2
2

 1
. Do đó: v n = ln u n = C1  − 
 2

n −1

+ C 2 , Với C1, C2 được xác định để phù hợp với

C1 + C 2 = 0
C1 = − ln 3 4

⇔
u1, u2 như sau:  1
−
C
+
C
=
ln
2
C 2 = ln 3 4

2
 2 1
Vậy un = ( e

)

 1
C1  − 2 



n −1

 1 
.e C2 = 3 4. 3 
 4

 1
− 
 2

n −1

, n = 1,2,…

u 1 = 1, u 2 = 2

Ví dụ 2. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
u 2n +1
u

=
 n + 2 u , n = 1,2,...

n
Tìm un theo n.
Giải. ở đây α = 2, β = -1, phương trình x2 = 2x - 1 có nghiệm kép x0 = 1. Do đó:
v n = ln u n = C1 + C 2 n , với C1, C2 được xác định:
C1 + C 2 = 0
C = − ln 2
⇔ 1

C1 + 2C 2 = ln 2 C 2 = ln 2
10


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
n
1
Vậy u n = e C1 .( e C2 ) = .2 n = 2 n −1 , n = 1,2,….
2
u 1 = 1, u 2 = 2

1
Ví dụ 3. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
u
=
, n = 1,2,...
n
+
2


(u n +1u n ) 2

Tìm công thức số hạng tổng quát un.
Giải. ở đây α = β = -2. Phương trình x2 = -2x – 2 vô nghiệm (∆ = -4). Ta có:
cos ϕ =

−2
2
4
2
3π
=−
, sin ϕ =
=
⇒ϕ=
2
2
4
2 2
2 2

Do đó: v n = ln u n =

( 2)

n −1

[C1 cos(n − 1)

3π
3π
+ C 2 sin( n − 1) ] , với C1, C2
4
4

C1 = 0
C = 0

⇔ 1
được xác định: 
3π
3π
 2 (C1 cos 4 + C 2 sin 4 ) = ln 2 C 2 = ln 2
3π
n −1
Vậy u = 2 ( 2 ) sin( n −1) 4 , n = 1,2,…
n

u 1 = 1, u 2 = 2

Ví dụ 4. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
2u 2n +1
u
=
, n = 1,2,...
 n +2
u

n

Tìm un theo n.
Giải. Dãy ở đây có dạng 2), với C = ln2, α = 2, β = -1 (α + β = 1).
Đặt lnun = vn, ∀n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 và
vn+2 = 2vn+1 - vn + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 = vn+1 - vn + ln2.
Đặt vn+1 - vn = wn , n = 1,2,…w1 = ln2 và wn+1 = wn + ln2, ∀n = 1,2,…(wn) là
CSC công sai d = ln2.
Ta có: vn = (vn - vn-1) + (vn-1 - vn-2) + ….v2 - v1) + v1 =
= wn-1 + wn-2 + …w1 =

n −1
n (n − 1) ln 2
[ 2w 1 + (n − 2)d] =
, ∀n = 2,3,…
2
2
11


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
Vậy u = e vn = 2
n

n ( n −1)
2

, n = 1,2,….

u 1 = 1, u 2 = 2

Ví dụ 5. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 

2u 2n
u n +2 = u , n = 1,2,...

n +1
Tìm un theo n.
Giải. ở đây ta có C = ln2, α = -1, β = 2 (α + β = 1)
Đặt lnun = vn, ∀n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 và
vn+2 = -vn+1 + 2vn + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 Đặt vn+1 – vn -

ln 2
ln 2
= -2(vn+1 - vn ).
3
3

ln 2
ln 2 2 ln 2
= wn, n = 1,2,…w1 = v2 – v1 =
và:
3
3
3

wn+1 = -2wn, n = 1,2,…(wn) là CSN công bội q = -2.
Ta có: vn = (vn - vn-1 -

= wn-1 + wn-2

ln 2
ln 2

ln 2
ln 2
) + (vn-1 - vn-2 )+ …+(v2 - v1 )+v1 + (n-1)
3
3
3
3

ln 2
ln 2
(−2) n −1 − 1
+ …w1 + (n - 1)
= w 1.
+ (n – 1)
=
3
3
−3

ln 2
2 ln 2 (−2) n −1 − 1
.
+ (n – 1)
, n = 2,3,…
3
3
−3
Công thức này cũng đúng khi n = 1. Vậy
vn =

2 ln 2
ln 2
[1 − (−2) n −1 ] + (n − 1)
, n = 1,2,… đó:
9
3

un = e

vn

=2

1
1
[1−( −2 ) n −1 ]+ ( n −1)
9
3

, ∀n = 1,2,…

Trên đây là một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số thường gặp
trong chương trình toán THPT mà kết quả của nó thực chất là một nghiệm riêng
12


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
của “Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2” trong toán học cao cấp
và trong quá trình giảng dạy tôi đã cố gắng tìm hiểu và trình bày lại dưới ngôn
ngữ toán học sơ cấp. Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng vì điều kiện thời gian và

sự hiểu biết của tôi về phương trình vi phân còn hạn chế cho nên chỉ mới dừng
lại ở ứng dụng kết quả của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2. Hy
vọng trong thời gian tới tôi có thể giải quyết được lớp bài toán rộng hơn, phong
phú hơn. Rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy, cô trong tổ Toán –
Tin của Trường THPT Vũ Quang.

13