Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến trong liên hệ với bài toán Newmann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





LÊ TRÙNG DƯƠNG





SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
LIÊN HỆ VỚI BÀI TOÁN NEUMANN







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 1.01.01






THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
LIÊN HỆ VỚI BÀI TOÁN NEUMANN





LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 1.01.01

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh
Học viên cao học: Lê Trùng Dương








THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2006

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH






Người hướng dẫn:
TS Nguyễn Thành Long
Khoa Toán-Tin học,
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1:
PGS. TS Lê Hoàn Hóa
Khoa Toán-Tin,
Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh



Người nhận xét 2:
TS. Nguyễn Công Tâm
Khoa Toán-Tin học,
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh



Ngườ
i thực hiện:
Lê Trùng Dương
Khoa KHCB,
Trường Đại Học Tiền Giang




LUẬN VĂN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2006

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành Luận văn Thạc sỹ Toán học này, lời đầu tiên tác giả xin
trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và
hướng dẫn trong suốt quá trình tôi thực hiện Luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa và Thầy Nguyễn Công Tâm
đã đọc luận văn và đã cho những nhận xét quý báu và những lời phê bình bổ ích
đối với luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã dành cho
tôi thời gian quý báu và những lời góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn tập thể các Thầy, Cô thuộc khoa Toán − Tin học
trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy trong
suốt thời gian học tập.
Xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo và Cán bộ Phòng Quản lý Khoa học và
Đào Tạo sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tổ
chức, tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và các thủ tục hành chính trong
khóa học.
Sau cùng, xin chân thành cảm ơn tập thể lớp Cao học Toán khoá 13; Ban
Giám Hiệu, các phòng khoa và tập thể giáo viên trường Đại học Tiền Giang; Gia
đình và những người thân;… đã luôn động viên, luôn nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi
điều kiện tốt nhất để tôi có thể có thể hoàn thành khoá học.
Tiền Giang, ngày tháng năm 2006

Lê Trùng Dương





3

CHƯƠNG 1.
TỔNG QUAN

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm dương
của phương trình tích phân phi tuyến thuộc dạng sau đây
(1.1)
()
(
)
(
)
N
N
N
IR
gx,y,uy
u x b dy, x IR ,
yx
σ
=∀∈
−
∫

trong đó
()()
1
1NN
1Nb
−
+

ω−=
với
1N+
ω
là diện tích của mặt cầu đơn vò trong IR
N +1
,
N;2N <σ≥
là một hằng số dương cho trước và
IRIRIR:g
N2
→×
+
là hàm
liên tục cho trước thoả điều kiện:
Tồn tại các hằng số
00 >≥
γ
β
α
M,,,
sao cho
(1.2)
()
,u,IRy,x,uyxMu,y,xg
N
0≥∀∈∀≥
α
γβ

và một số điều kiện bổ sung thêm.
Trong trường hợp phương trình (1.1) với
,1N
−
=
σ
=))y(u,y,x(g )),y(u,y(g
(độc lập với biến không lấy tích phân x), phương trình tích phân
(1.3)
()
(
)()
N
IR
1N
N
IRx,dy
xy
yu,yg
bxu
N
∈∀
−
=
∫
−

được thành lập từ bài toán Neumann phi tuyến sau đây
(1.4)
()

,0x,IRx,x,0vv
1N
1N
1N
1N
1i
xx
ii
>∈==Δ
+
+
+
+
=
∑

(1.5)
()
(
)
(
)
,IRx,0,xv,xg0,xv
N
x
1N
∈=−
+

mà giá trò biên u(x) = v(x, 0) là ẩn hàm của (1.3).

Trong [1] các tác giả Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov, Samarsky đã
nghiên cứu bài toán (1.4), (1.5) với N = 2 với phương trình Laplace (1.4) theo tọa
độ trụ

4
(1.6)
0z,0r,0vv
r
1
v
zzrrr
>∀>∀=++
,
và với điều kiện phi tuyến có dạng cụ thể như sau
(1.7)
()
(
)
(
)
,0r,0,rvr/rexpI0,rv
2
0
2
0z
≥∀+−=−
α

trong đó I
0

, r
0
, α là các hằng số dương cho trước. Bài toán (1.6), (1.7) là trường
hợp dừng của bài toán liên quan đến sự đốt cháy bởi bức xạ. Trong trường hợp
0 < α ≤ 2 bài báo [1] đã chứng minh rằng phương trình tích phân phi tuyến
(1.8)
()
()
2
22
00
22
00
1d
v r,0 I exp s / r v (s,0) sds r 0,
2
rs2rscos
+∞ π
α
θ
⎡⎤
=−+ ∀≥
⎣⎦
π
+− θ
∫∫

liên hệ bài toán (1.6), (1.7) không có nghiệm dương. Từ khi bài báo [1] xuất hiện
đã có nhiều tác giả nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác nhau [1
− 11].

Các tác giả Long, Ruy [7] đã mở rộng một kết quả trong [1] với (1.7) được
thay bởi điều kiện biên phi tuyến tổng quát
(1.9)
()
(
)()
0r,0,rv,rg0,rv
z
≥
∀
=− .
Trong [8] Ruy, Long, Bình đã xét bài toán (1.4), (1.5) với N = 2 và hàm g
liên tục, không giảm và bò chận dưới bởi một hàm luỹ thừa bậc
α đối với biến
thứ ba trong [8] đã chứng minh rằng nếu
20
≤
α
<
thì bài toán (1.4), (1.5) không
có nghiệm dương.
Các tác giả Bình, Diễm, Ruy, Long [2] và Bình, Long [3] đã xét bài toán
(1.4), (1.5) với
2N ≥ . Hàm số
++
→× IRIRIR:g
N
là liên tục, không giảm đối
với biến u, thoả điều kiện
(1.10)

()
,0u,IRy,Muu,yg
N
≥∀∈∀≥
α

(1.11) Tích phân
(
)
∫
+
N
IR
dy
y1
0,yg
tồn tại và dương,
và thêm một số điều kiện phụ. Trong trường hợp
(
)
2N,1N/N0 ≥−
≤
α
≤
các tác
giả trên đã chứng minh rằng phương trình tích phân phi tuyến (1.3) tương ứng với
bài toán (1.4), (1.5) không có nghiệm dương [2, 3].

5
Trong [5, 6] các tác giả đã chứng minh rằng bài toán (1.4), (1.5) không có

nghiệm dương với g(x, v) có dạng cụ thể độc lập với x
(1.12)
()
.1,vv,xg ≥α=
α

Trong [5] Hu, Yin đã chứng minh với
(
)
2N,1N/N1 ≥
−
<
α
≤
và trong [6]
Hu đã chứng minh với
(
)
(
)
2N,1N/1N1 ≥
−
+
<
α
≤ .
Cũng cần chú ý rằng hàm
(
)
α

= vv,xg không thoả các điều kiện (1.10),
(1.11) trong các bài báo [2, 7, 8, 10].
Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với
hai trường hợp:
IRIRIR:g
N
→×
+
và IRIRIR:g
N2
→×
+
là hàm liên tục cho
trước thoả điều kiện (1.2) tương ứng. Với các điều kiện trên hàm g tương ứng
luận văn sẽ chứng minh rằng phương trình (1.1) không có nghiệm liên tục dương.
Các điều kiện cho hàm g trong luận văn nầy cũng không sử dụng tính không giảm
của hàm g đối với biến u và các điều kiện (1.10), (1.11) như trong một số công
trình trước đây [2, 7, 8, 10, 11].
Luận văn này ngoài phần kết luận và phần tài liệu tham khảo sẽ được trình
bày trong 4 chương:
Trong chương 1, là phần trình bày xuất phát điểm của bài toán cùng với một
số kết quả đã có trước đây và giới thiệu các nội dung sẽ trình bày trong các
chương kế tiếp của luận văn.
Trong chương 2, nhằm mục đích thiết lập phương trình tích phân phi tuyến
(1.3) mà ẩn hàm là giá trò biên xuất phát từ phương trình Laplace (N + 1)
− chiều
(1.4) trong nửa không gian trên
(
)
0,,

1
1
1
>∈
+
+
+ N
N
N
xIRxx , liên kết với điều kiện
biên Neumann phi tuyến (1.5) tương ứng với
2,1 ≥
−
=
N
N
σ
.
Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm dương của
phương trình tích phân phi tuyến (1.3) cụ thể với
2,1
=
=
N
σ
, như sau

6
(1.13)
()

(
)
(
)
()()
()
∫∫
∈∀ηξ
η−+ξ−
η
ξ
η
ξ
π
=
2
IR
2
22
,IRy,xdd
yx
,u,,g
2
1
y,xu

với
++
→× IRIRIR:g
2

thoả các điều kiện:
(1.14) g là hàm liên tục và tồn tại 3 hằng số
0,0,0M ≥
γ
≥
α
>
sao cho:
(1.15)
()
()
.0v,IRy,x,v.yxMv,y,xg
22
≥∀∈∀+≥
α
γ

Với một số điều kiện phụ bổ sung, luận văn sẽ chứng minh rằng nếu
20
≤
γ
−
α<

thì phương trình tích phân phi tuyến (1.13) không có nghiệm dương liên tục. Kết
quả trong [8] là một trường hợp riêng của chương này với
.0
=
γ
Trong chương 4, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với

2N,N,N0 ≥<σ+
γ
<σ< . Hàm
[
)
IR,0IR:g
N2
→∞× là hàm liên tục cho trước
thoả điều kiện (1.2) và một số điều kiện phụ sau đó. Bằng cách xây dựng một
dãy hàm thích hợp chúng tôi chứng minh rằng nếu
(
)( )
β−σ
γ
+
≤
α
≤
/
N0 phương
trình (1.1) không có nghiệm liên tục dương.

7
CHƯƠNG 2.
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

Trong chương này, với σ = N – 1, chúng tôi muốn chỉ ra rằng phương trình
tích phân phi tuyến (1.1) ở trên mà ẩn hàm u(x) = v(x, 0) là hàm giá trò biên của
bài toán Neumann phi tuyến cho phương trình Laplace (N + 1)−chiều trong nửa
không gian trên .

N1
IR
+
+
Trước hết, ta đặt các ký hiệu sau

()
{}
()
{}
()()
()
.x'xxx
,x,'xx,,x,xx,IRx
,0x,IR'x:IRx,'xxIR
,0x,IR'x:IRx,'xxIR
,1Nn
2
1
2
n
2
2
1
n
1i
2
i
nn21
n

n
1nn
n
n
n
1nn
n
n
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
==∈
≥∈∈==
>∈∈==
+=
∑
=
−
+
−
+
K

Xét bài toán : tìm một hàm v có tính chất
(S

1
)
()
(
)
(
)
,IRCv,IRCIRCv
n
x
nn2
n
+++
∈∩∈
(S
2
)
() ()
,0x
v
supRxvsuplim
0x,Rx0x,Rx
R
nn
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
ν∂
∂
+
>=>=
+∞→

và thoả phương trình Laplace
(2.1)
(
)
{
}
,0x,IR'x:x,'xIRx,0v
n
1n
n
n
>∈=∈=Δ
−
+

và điều kiện biên Neumann
(2.2)
,IR'x),'x(G)0,'x(
v
1n−
∈=
ν∂
∂

trong đó
ν∂
∂.
chỉ đạo hàm theo hướng vectơ pháp tuyến đơn vò ν trên nửa mặt cầu
0x,Rx
n
>=
, hướng ra ngoài và G là hàm số cho trước liên tục trên .
1n
IR
−
Xét hàm Green cho phương trình Laplace với điều kiện Neumann

8
(2.3)
()
()
[
]
,x
~
axa
n
x,a
nn
n
−−
−+−
ω−

=γ
22
2
1

trong đó

(
)
(
)
,IRa,x,'xx
~
,IRx,'xx
n
n
n
n +
∈−=∈=

là diện tích của mặt cầu đơn vò trong IR
n
ω
n
.
Chú ý rằng với cố đònh, hàm
n
IRa
+
∈

(
)
,.a
γ
thuộc lớp trong
∞
C
{
a
}
~
,a\IR
n
và
(2.4)
()
,a
~
x,ax,0x,a
x
n
1i
2
i
2
≠≠∀=γ
∂
∂
=γΔ
∑

=

(2.5)
()
.xtrên ,'x,a
nx
n
000
=
=
γ

Cố đònh và số thực R > 0. Chọn
n
IRa
+
∈
0>
ε
đủ nhỏ sao cho

{
}
,BIRax:IRxS
RR
nn
Ω≡∩⊂ε≤−∈=
++ε

với

{
}
Rx:IRxB
n
R
<∈≡ .
p dụng công thức Green trên miền
ε
Ω S\
R
, ta viết được
(2.6)
()
.dSv
v
dSv
v
dxvv
ax
S\
R
R
∫∫∫
ε=−
Ω
Ω∂
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ=γΔ−Δγ
ε


Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Với giả thiết (S
1
) ta có
(2.7)
()
∫

ε=−
→ε
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ
+
ax
0
avdSv
v
lim
.

Chứng minh. Ta viết hàm Green
(
)
x,a
γ
dưới dạng
(2.8)

()()
(
)
,x,ax,asx,a
Φ
+=
γ


()
()
()
()
()
x
~
,asx
~
a
2n
1
x,a,xa
2n
1
x,as
n2
n
n2
n
=−

ω−
=Φ−
ω−
=
−−
.
Ta có

9
(2.9)
xa xa xa
vvv
vdS v dS s vd
−=ε −=ε −=ε
∂∂γ ∂∂Φ ∂∂
⎛⎞⎛ ⎞⎛
γ− = Φ− + −
⎜⎟⎜ ⎟⎜
∂ν ∂ν ∂ν ∂ν ∂ν ∂ν
⎝⎠⎝ ⎠⎝
∫∫ ∫
s
S
⎞
⎟
⎠


(
)

(
)
12
Ia, Ia,.
=
ε+ ε

* Do giả thiết (S
1
), hàm
()()() (
x,ax,avx,a
v
x,ax
ν∂
)
Φ
∂
−
ν∂
∂
Φa liên tục trên
ε
S
nên
(2.10)
()
.0,aIlim
1
0

=ε
+
→ε
* Đổi biến
,y
a
x ε+= chuyển tích phân mặt trên mặt cầu tâm a bán kính
ε
thành
tích phân mặt trên mặt cầu đơn vò tâm O.
(2.11)
()()
∫∫
ε=−=
−
ωε+
ν∂
∂
ε+ε=
ν∂
∂
ax1y
1n
dya
v
ya,asdS
v
s

()
()
n
y1
v
ayd 0
n2
khi 0
+
=
,
ε
∂
=+εω→
−ω ∂ν
∫
ε→

(2.12)
()()
∫∫
ε=−=
−
ωε+
ν∂
∂
ε+ε−=
ν∂
∂
−

axy
n
dya,a
s
yavdS
s
v
1
1


() ()
∫
=
+
→ε→ωε+
ω
=
1y
n
.avdyav
1
0 khi

Vậy (2.11), (2.12) dẫn đến
(2.13)
()
(
)
.av,aIlim

2
0
=
ε
+
→ε

Từ (2.9), (2.10), (2.13) ta suy ra bổ đề 2.1 được chứng minh.

Từ (2.6), thay
0,vvà
=
Δ
≠
∀
=
γ
Δ ax,0
sau đó cho ta thu được
+
→ε 0
(2.14)
()
.a,dSv
v
av
R
R
∫
Ω∂

Ω∈∀
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ=


Khi đó ta thu được bổ đề sau
Bổ đề 2.2. Giả sử v là nghiệm của (2.1), (2.2) thoả các điều kiện (S
1
), (S
2
), ta có
(2.15)
∫∫
Ω∂
+∞→
−
γ−=
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ
R
1n
n
IR
x
R
'.dxvdSv
v
lim



10
Chứng minh. Ta có

(
)
{
}
,R'x:0,'xD,SD
RRRR

≤
=
∪=Ω∂


()
{
}
.0x,Rx:x,'xxS
nnR
>
=
==

Ta viết
(2.16)
.dSv
v
dSv
v
dSv
v
RRR
SD
∫∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂

γ
Ω∂

Ta sẽ chứng minh rằng
(2.17)
∫∫
−
γ−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ
+∞→
R
1n
n
D
IR
x
R
,'dxvdSv
v

lim

(2.18)
∫
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ
+∞→
R
S
R
.0dSv
v
lim

Chứng minh (2.17).
Trên
()
.vv,,,,:D
n

xR
−
=
−=ν
ν
100 K

*
()
()
()
.
xa
ax1
xa
ax
xan2
2n
1
x,'x;as
n
n
n
n
n1
n
nx
n
−
−

×
ω
−
=
−
−
−−
ω−
=
−

Tương tự

()
⋅
−
+
×
ω
−
=Φ
n
n
n
nx
x
~
a
ax1
x,'x;a

n

Do đó

()()
(
)
0000
=
Φ
+
=γ ,'x;a,'x;as,'x;a
nnn
xxx
,
hay
(2.19)
()
,0x,a
R
D
=
ν∂
γ
∂

(2.20)
()
()
()

()
⋅
−
×
ω−
=γ
− 2/2n
2
n
D
'x'a
1
2n
2
x,a
R

Từ (2.19), (2.20) dẫn đến

11
(2.21)
∫∫
ν∂
∂
γ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ
+∞→+∞→
RR
D
R
D
R
dS
v
limdSv
v
lim


∫
ν∂
∂
γ=
+∞→
R
D
R
'dx
v

lim


∫
γ−=
+∞→
R
n
D
x
R
'dxvlim

.'dxv
1n
n
IR
x
∫
−
γ−=
(2.17) được chứng minh.
Chứng minh (2.18).
Trước hết ta đánh giá các tích phân trên S
R
:
(i) Đánh giá tích phân
∫
ν∂
∂

γ
R
S
.dS
v

* Trên S
R
ta có
(2.22)
()
()
()
.Sx,
aR
1
2n
2
x,a0
R
2n
n
∈∀
−
×
ω−
≤γ≤
−

Do đó

(2.23)
()
()
∫∫
ν∂
∂
−
×
ω−
≤
ν∂
∂
γ
−
RR
S
2n
n
S
dS
v
aR
1
2n
2
dS
v


()

()
()
∫
=
−
−
ω
ν∂
∂
−
×
ω−
=
1y
1n
2n
n
dRRy
v
aR
1
2n
2

()
()
()
2
x
v

sup
aR
R
2n
2
n
Sx
2n
1n
n
R
ω
ν∂
∂
×
−
×
ω−
≤
∈
−
−

()
()
()
.x
v
sup
aR2n

R
R
Sx
2n
1n
ν∂
∂
×
−−
=
∈
−
−

(ii) Đánh giá tích phân
∫
ν∂
γ
∂
R
S
dSv
.
Ta có

12
(2.24)
()
∑∑
==

=ννΦ+=νγ=
ν∂
γ
∂
n
1i
ixx
n
1i
ix
.
R
x
,s
iii

(2.25)
()
()
()
xa
ax
xan2
2n
1
x;as
ii
n1
n
x

i
−
−
−−
ω−
=
−


,ni1,
xa
ax
1
n
ii
n
≤≤
−
−
ω
−
=

(2.26)
()
()
()
x
~
a

ax
x
~
an2
2n
1
x,a
ii
n1
n
x
i
−
−
−−
ω−
=Φ
−


,1ni1,
x
~
a
ax
1
n
ii
n
−≤≤

−
−
×
ω
−
=

(2.27)
()
.
x
~
a
ax
1
x,'x;a
n
nn
n
nx
n
−
+
×
ω
−
=Φ

Chuù yù raèng :
:0x,Rx

~
x,Sx
nR
≥==∈∀

,aRaxax −=
−
≥−

aRax
~
ax
~
−=−≥− .
(2.28)
()
1n
n
n
ii
n
x
xa
11
xa
ax
1
x;as
i
−

−
×
ω
≤
−
−
×
ω
≤


() ()
.ni1,
aR
11
ax
11
1n
n
1n
n
≤≤
−
×
ω
=
−
×
ω
≤

−−

Töông töï
(2.29)
()
1n
n
n
ii
n
x
x
~
a
11
x
~
a
ax
1
x,a
i
−
−
×
ω
≤
−
−
×

ω
≤Φ


() ()
,1ni1,
aR
11
ax
~
11
1n
n
1n
n
−≤≤
−
×
ω
=
−
×
ω
≤
−−

(2.30)
()
n
nn

n
x
x
~
a
ax1
x,a
i
−
+
×
ω
≤Φ


13

()
.
aR
11
x
~
a
11
1n
n
1n
n
−−

−
×
ω
≤
−
×
ω
≤

Ta suy từ (2.24), (2.28), (2.29), (2.30) rằng
(2.31)
()
∑
=
νΦ+≤
ν∂
γ∂
n
1i
ixx
ii
s

()
.Sx,
aR
1n2
R
1n
n

∈∀
−
×
ω
≤
−

Do đó
(2.32)
()
∫∫
∈
−
−
×
ω
≤
ν∂
γ∂
ν
R
R
R
S
Sx
1n
n
S
dSsup
aR

1n2
dS


()
()
2
Rxsup
aR
1n2
n
1n
Sx
1n
n
R
ω
ν
−
×
ω
≤
−
∈
−


()
()
.xsup

aR
nR
R
Sx
1n
1n
ν
−
≤
∈
−
−

Ta suy ra từ (2.23), (2.32) rằng
(2.33)
()
()
()
x
v
sup
aR2n
R
dSv
v
R
R
Sx
2n
1n

S
ν∂
∂
×
−−
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ
∈
−
−
∫


()
()
.xvsup
aR
nR
R

Sx
1n
1n
∈
−
−
−
+

Sử dụng giả thiết (S
2
), từ (2.33) ta suy ra

.0dSv
v
lim
R
S
R
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂

∂
γ
∫
+∞→

Do đó (2.18) được chứng minh và bổ đề 2.2 được chứng minh xong.

Kết quả sau đây được suy ra từ (2.14) và bổ đề 2.2.

Bổ đề 2.3.
Giả sử v là nghiệm của (2.1), (2.2) thoả các điều kiện (S
1
), (S
2
) ta có
(2.34)
()
(
)
(
)
∫∫
−−
+
∈∀γ=γ−=
11
0
nn
n
IR

n
IR
x
IRa,'dx'xG,'x;a'dxvav
.

14
Ta có đònh lý sau
Đònh lý 2.1. Nếu nghiệm v của bài toán (1.1), (1.2) với
[
)
[
)
+∞→+∞×
−
,,IR:g
n
00
1

là hàm liên tục thoả các tính chất (S
1
), (S
2
), khi đó v là nghiệm của phương trình
tích phân phi tuyến sau
(2.35)
()
()
(

)
(
)
()
()
()
∫
−
+
−
∈∀
+−
ω−
=
1
22
2
2
0
2
2
n
IR
n
n
/n
n
n
n
IRa,'a,

a'a'x
'dx,'xv,'xg
n
a,'av
.


15
CHƯƠNG 3.
SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VỚI N = 2

Xét sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến
sau (tương ứng với N = 2)
(3.1)
()
(
)
(
)
()()
()
,IRy,xdd
yx
,u,,g
2
1
y,xu
2
IR

2
22
∫∫
∈∀ηξ
η−+ξ−
η
ξ
η
ξ
π
=

với
[
)
[
)
+∞→+∞× ,0,0IR:g
2
thoả các điều kiện:
(G1) g là hàm tuyến tính,
(G2) Tồn tại 3 hằng số M > 0, α ≥ 0, γ ≥ 0 sao cho
()
(
)
.0v,IRy,xvyxMv,y,xg
22
≥∀∈∀+≥
α
γ

Chúng tôi xét bài toán (1.1), (1.2) cụ thể với N = 2 như sau
(3.2)
(
)
{
}
,z,IRz,y,xIR)z,y,x(,v 00
33
>∈=∈=∆
+

(3.3)
()
(
)()
(
)
,IRy,x,0,y,xv,y,xg0,y,xv
2
z
∈=−
trong đó g thoả các điều kiện (G
1
), (G
2
).
Các tính chất (S
1
), (S

2
) được cụ thể lại như sau
()
1
S
*

()
(
)
(
)
,IRCv,IRCIRCv
3
z
332
+++
∈∩∈

()
2
S
*

()
(
)
() () () ()
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
>=++
+∞→
>=++
+∞→
.0z,y,x
z
v
zz,y,x
y
v
yz,y,x
x
v
xsuplimii
,0z,y,xvsuplimi

0z,Rzyx
R
0z,Rzyx
R
2222
2222





16
Khi đó ta có đònh lý sau
Đònh lý 3.1 : Giả sử nghiệm v của bài toán (3.2), (3.3) với
[
)
[
)
+∞→+∞× ,0,0IR:g
2
là hàm liên tục thoả các tính chất
(
)
1
S
*
,
(
)
2

S
*
. Khi đó v là
nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến sau
(3.4)
()
(
)
(
)
()()
()
∫∫
+
∈∀ηξ
+η−+ξ−
η
ξ
η
ξ
π
=
2
IR
3
2
22
.IRz,y,x,dd
zyx
0,,v,,g

2
1
z,y,xv

Ta cũng giả sử rằng giá trò biên
(
)
(
)
0,y,xvy,xu
=
của nghiệm v của bài
toán (3.2), (3.3) thoả điều kiện
()
3
S
*
Tích phân
(
)()
()()
∫∫
ηξ
η−+ξ−
η
ξ
η
ξ
2
IR

22
dd
yx
0,,v,,g
tồn tại
(
)
2
x,y IR∀∈.
Khi đó, ta dùng đònh lý hội tụ bò chận, cho z → 0
+
trong phương trình tích phân
(3.4), nhờ vào
()
3
S
*
, ta thu được
(3.5)
()
(
)
(
)
()()
()
∫∫
∈∀ηξ
η−+ξ−
η

ξ
η
ξ
π
=
2
IR
2
22
.IRy,x,dd
yx
0,,v,,g
2
1
0,y,xv
Khi đó, phương trình tích phân (3.5) được viết lại theo ẩn hàm
()
(
)
0,y,xvy,xu =
như sau
(3.6)
()
(
)()
[]
(
)
y,x,u,,gAy,xu
η

ξ
ηξ=


(
)()
()()
()
∫∫
∈∀ηξ
η−+ξ−
η
ξ
η
ξ
=
2
IR
2
22
,IRy,x,dd
yx
,u,,g

trong đó A là một toán tử tuyến tính xác đònh bởi công thức
(3.7)
()
[]
()
(

)
()()
()
.IRy,x,dd
yx
,G
2
1
y,x,GA
2
IR
2
22
∫∫
∈∀ηξ
η−+ξ−
η
ξ
π
=ηξ

Như vậy phương trình tích phân (3.6) được thiết lập từ bài toán Neumann
phi tuyến (3.2), (3.3).
Để chứng minh rằng phương trình tích phân (3.6) không có nghiệm dương
liên tục, trước hết ta cần một bổ đề sau đây


17

Bổ đề 3.1. Với mọi

()
2
IRy,x ∈ ta có:
(i)
Nếu
,10 ≤
γ
−α<

(
)
(
)
()
.y,x1A
2222
+∞=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ

(ii)
Nếu ,1>
γ
−α

()
(
)
()
y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ
hội tụ và
()()
()
y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ


()

()
1
122
1
211xy
α−γ−
α+
≥
α−γ− + +

(iii)
Nếu ,2=γ−α
(
)
(
)
()
y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ
(
)
⋅

+
++
≥
α 22
22
yx2
yx1ln


Chứng minh bổ đề 3.1
(i) 10 ≤
γ
−α< : Sử dụng bất đẳng thức
(3.8)
()()
.IRy,x,,
yx
1
yx
1
222222
∈ηξ∀
η+ξ++
≥
η−+ξ−

ta được
(3.9)
()()
()

y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ

=
(
)
()
()()
∫∫
ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
α
γ
2
IR
22
22
22
dd
yx1

2
1



(
)
()()
∫∫
ηξ
η+ξ++η+ξ+
η+ξ
π
≥
α
γ
2
IR
222222
22
dd
yx1
2
1


()
∫∫
+∞
α

+γ
π
+++
ϕ
π
=
0
22
1
2
0
)yxr(r1
drr
d
2
1


18

()
∫
+∞
α
+γ
+++
=
0
22
1

)yxr(r1
drr


()
,
)yxr(r1
drr
1
22
1
+∞=
+++
≥
∫
+∞
α
+γ

vì
()
()
γ−α
α
γ
++
⋅
+
r
1

~
yxr
r
r1
r
22
khi
+
∞→
r
và
.
r
dr
1
+∞=
∫
+∞
γ−α

(ii)
1>
γ
−α
: Ta kiểm tra lại
(
)
(
)
()

y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ
hội tụ nếu
.1>
γ
−α
a) Xét tại (x, y) = (0, 0) : Ta có
(3.10)
()
(
)
()
0,01A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ

(
)
()
ηξ
η+ξη+ξ+
η+ξ
π
=
∫∫
α
γ
dd
1
2
1
2
IR
2222
22


()
(
)
()
.
1
1

dr
r1
r1
dr
r1
r
00
+∞<
−γ−α
=
+
+
<
+
=
∫∫
+∞
α
γ
+∞
α
γ

Vậy, tích phân
(3.11)
()
(
)
()
0,01A

2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ
hội tụ khi .1>
γ
−
α

b) Xét tại
()()
0,0y,x ≠ :
Chọn
0yx3R
22
>+> . Ta viết lại
(
)
(
)
()
y,x1A
2222
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ
thành
tổng hai tích phân:
(3.12)
()
(
)
()
y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ

(
)
()
()()
∫∫
ηξ

η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
=
α
γ
2
IR
22
22
22
dd
yx1
2
1


19
(
)
()
()()
()()
∫∫
≤η−+ξ−
α
γ
ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ

π
=
Ryx
22
22
22
22
dd
yx1
2
1

(
)
()
()()
()()
∫∫
≥η−+ξ−
α
γ
ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
+
Ryx
22
22
22

22
dd
yx1
2
1

()
(
)
(
)
(
)
.y,xJy,xJ
2
R
1
R
+≡

(j) Ñaùnh giaù

()
()
(
)
()
()()
()()
.dd

yx1
2
1
y,xJ
Ryx
2
2
22
22
1
R
22
∫∫
≤η−+ξ−
α
γ
ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
=

Ta coù
(3.13)
()
()
(
)
()
()()

()()
∫∫
≤η−+ξ−
α
γ
ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
=
Ryx
2
2
22
22
1
R
22
dd
yx1
2
1
y,xJ

()()
(
)
()
α
γ

≤η−+ξ−
η+ξ+
η+ξ
π
≤
22
22
Ryx
1
sup
2
1
22

()()
()()
∫∫
≤η−+ξ−
η−+ξ−
η
ξ
×
Ryx
22
22
yx
dd


()()

(
)
()
∫∫
≤η+ξ
α
γ
≤η−+ξ−
η+ξ
ηξ
×
η+ξ+
η+ξ
π
=
R
22
22
22
Ryx
22
22
dd
1
sup
2
1


()()

(
)
()
∫∫
π
α
γ
≤η−+ξ−
ϕ
η+ξ+
η+ξ
π
=
R
0
2
0
22
22
Ryx
drd
1
sup
2
1
22


()()
(

)
()
.
1
supR
22
22
Ryx
22
+∞<
η+ξ+
η+ξ
=
α
γ
≤η−+ξ−

(jj) Ñaùnh giaù

()
()
(
)
()
()()
()()
.dd
yx1
2
1

y,xJ
Ryx
22
22
22
2
R
22
∫∫
≥η−+ξ−
α
γ
ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
=


20
Chú ý rằng
(3.14)
()( )( )
{
}
Ryx:, ≥η−+ξ−ηξ
22
(
)
{

}
,yxR:,
2222
+−≥η+ξηξ⊂

(3.15)
()()
,yxyx
2222
22
+−η+ξ≥η−+ξ−
với mọi
()()
.IRy,x,,
2
∈ηξ

Ta có
(3.16)
()
()
(
)
()
()()
()()
∫∫
≥η−+ξ−
α
γ

ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
=
Ryx
R
dd
yx
y,xJ
22
22
22
22
2
1
2
1


(
)
()
()()
∫∫
+−≥η+ξ
α
γ
ηξ
η−+ξ−η+ξ+

η+ξ
π
≤
2222
yxR
22
22
22
dd
yx1
2
1


()
⋅
+−
⋅
+
=
∫
+∞
+−
α
γ
22
yxR
22
yxr
rdr

r1
r

Do
0yx3R
22
>+> , ta có
,0yxyx2Ryxryxr
22222222
>+>+−≥+−=+−
với mọi
.yxRr
22
+−≥
Do đó, tích phân
()
∫
+∞
+−
α
γ
+−
⋅
+
22
yxR
22
yxr
rdr
r1

r
hội tụ với
.1>
γ
−
α

Vậy tích phân
(3.17)
()
()
y,xJ
R
2
hội tụ với
.1>
γ
−
α

Tổng hợp lại (3.11), (3.12), (3.13) và (3.17) ta thu được
(3.18)
()
2
IRy,x ∈∀
,
(
)
(
)

()
y,xA
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ
2222
1 hội tụ với
.1>γ−α

Hơn nữa, với
1>γ−α
, ta có
(3.19)
()()
()
()
()
∫
+∞
α
γ
α−γ
++
⋅
+

≥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
0
22
2222
yxr
rdr
r1
r
y,x1A


21

()
()
⋅
++
⋅
+
≥
∫
+∞
+

α
γ
22
yx
22
yxr
rdr
r1
r

Từ bất đẳng thức sau
(3.20)
,yxr,
2
1
yxr
r
22
22
+≥∀≥
++

ta thu được từ (3.19) rằng
(3.21)
()()
()
y,x1A
2222
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ
()
∫
+∞
+
α
γ
+
≥
22
yx
r1
drr
2
1


22
1xy
1r
rdr
21r
+∞
α
γ−α

++
⎛⎞
⎟
⎜
≥
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+
∫

22
1
1xy
1
rdr
2
+∞
γ−α
α+
++
≥
∫


()
()
1

122
1
211xy
α−γ−
α+
=⋅
α−γ− + +

(iii)
2=γ−α , ta có
(3.22)
()()
()
y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ


(
)
()
()()
∫∫

ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
=
α
γ
2
IR
22
22
22
dd
yx1
2
1


(
)
()
()()
∫∫
ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
=
+γ
γ

2
IR
22
2
22
22
dd
yx1
2
1


(
)
()
∫∫
++η+ξ
ηξ
⋅
η+ξ+
η+ξ
π
≥
+γ
γ
2
IR
2222
2
22

22
yx
dd
1
2
1


()
∫
+∞
+γ
γ
++
⋅
+
=
0
22
2
yxr
rdr
r1
r


()
⋅
++
⋅

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
≥
∫
+∞
+γ
1
22
2
yxrr
dr
r1
r


22

Ta sử dụng bất đẳng thức
(3.23)
,1r,
2
1
r
1
r

≥∀≥
+

ta suy ra
(3.24)
()()
()
y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ


()
∫∫
∞+∞+
+γ+γ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
++
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≥
11
2222
2
22
2
dr
yxr
1
r
1
yx

1
2
1
yxrr
dr
2
1

(
)
⋅
+
++
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
=
α
+∞

α 22
22
1
2222
yx2
yx1ln
yxr
r
ln
yx2
1

Đònh lý 3.2 : Giả sử rằng g thoả các giả thuyết (G1), (G2) với điều kiện
20 ≤
γ
−α<
. Khi đó phương trình tích phân phi tuyến (3.1) không có nghiệm
dương liên tục.
Chứng minh đònh lý 3.2 :
Bằng phương pháp phản chứng, ta giả sử rằng phương trình tích phân phi tuyến
(3.1) có nghiệm liên tục dương u = u(x, y). Giả sử rằng tồn tại (x
o
, y
o
) ∈ IR
2
sao
cho u(x
o
, y

o
) > 0. Do u liên tục, khi đó, tồn tại r
0
> 0 sao cho:
(3.25)
() ()
,my,xu
2
1
y,xu
000
≡>

()
(
)( )
(
)
(
)
{
}
.ryyxx:y,xy,xBy,x
2
0
2
0
2
000r
0

<−+−=∈∀

Ta suy ra từ (G
2
), (3.6), (3.25) và tính đơn điệu của toán tử A, rằng
(3.26)
()
(
)()
[]
(
)
y,x,u,,gAy,xu
η
ξ
ηξ=


()
()()
y,x,uMA
22
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ηξη+ξ≥
α

γ


()
(
)
()()
()
∫∫
∈∀ηξ
η−+ξ−
η+ξ
π
≥
γ
α
.IRy,x,dd
yx
2
mM
2
22
22
0


23
Sử dụng bất đẳng thức sau
(3.27)
()()

2222
22
yxyx η+ξ++≤η−+ξ−


(
)
(
)
2222
1yx1 η+ξ+++≤

(
)
(
)( )
(
)
2
0
2
0
2
0
2
0
22
yxyx1yx1 −η+−ξ+++++≤

(
)
(
)
,ryx1yx1
2
0
2
0
2
0
22
+++++≤
() ()
(
)
00r
2
y,xB,,IRy,x
0
∈ηξ∀∈∀ , ta thu được
(3.28)
()
(
)
()()
()
∫∫
ηξ
η−+ξ−

η+ξ
π
γ
α
000
y,xB
22
22
0
dd
yx
2
mM


(
)
()()
()
()
∫∫
ηξη+ξ
+++++
π
≥
γ
α
000
y,xB
22

2
0
2
0
2
0
22
0
dd
ryx1yx1
2
mM


(
)
()()
drrd
ryx1yx1
2
mM
0
r
0
1
2
0
2
0
2

0
2
0
22
0
∫∫
+γ
π
α
ϕ
+++++
π
=

(
)
()
()
⋅
++
⋅
++++γ
=
+γ
α
222
0
2
0
2

0
2
00
yx1
1
ryx12
rmM

Ta suy ra từ (3.26), (3.28) rằng
(3.29)
()
()
()
,IRy,x,y,xu
yx1
m
y,xu
1
22
1
∈∀≡
++
≥
với
()
⋅
++++γ
=
+γα
2

0
2
0
2
0
2
00
1
ryx1)2(
r)m(M
m

Ta xét các trường hợp khác nhau của
α − γ.
Trường hợp 1 : .10
≤
γ−α<
Ta thu được từ (G
2
), (3.6), (3.29) và tính đơn điệu của toán tử A rằng
(3.30)
()
(
)()
[]
(
)
y,x,u,,gAy,xu
η
ξ

ηξ=


(
)
()()
y,x,uMA
22
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ηξη+ξ≥
α
γ