KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH ĐỀ CHÍNH THỨC LỚP 12, NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN. Ngày thi: 20/04/2016

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

LỚP 12, NĂM HỌC 2015-2016
Môn: TOÁN. Ngày thi: 20/04/2016
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

SỐ01138
(ĐềĐỀ
thi gồm
trang)

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  x 4  2 x 2
2x 1
Câu 2 (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y 
biết d có hệ số
x 1
góc bằng – 1.
Câu 3 (1,0 điểm).
1) Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực của số phức w  3 z  z .
1
2) Tính giá trị của biểu thức P  log 2 4 
.
log 27 3 9

2

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I   ( x  2cos x ) cos xdx .

0

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2; 1) , B(3;0; 5) và
mặt phẳng ( P) : 2 x  y  z  3  0 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, cắt trục Ox và song song với mp(P).
Câu 6 (1,0 điểm).


3 sin 3 x  cos3x  2sin  2 x   .
3

2) Hội đồng coi thi THPT Quốc gia gồm có 30 cán bộ coi thi đến từ ba trường THPT, trong đó
có 12 giáo viên trường A, 10 giáo viên trường B, 8 giáo viên trường C. Chủ tịch Hội đồng coi thi
chọn 2 cán bộ coi thi chứng kiến niêm phong gói đựng bì đề thi. Tính xác suất để 2 cán bộ coi thi
được chọn là giáo viên của hai trường THPT khác nhau.

1) Giải phương trình:

Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a,
  600 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a 3 . Gọi M là trung điểm của
BAC
cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB, CM.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi
H (5;5) là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên cạnh BC, đường phân giác trong góc A của tam
giác ABC nằm trên đường thẳng x  7 y  20  0 . Đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác
ABC đi qua điểm K ( 10;5) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABCbiết điểm B có tung độ
dương.

 x2 (1  y 2 )  1  x2  1  xy


Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
(2 x  7 xy) 3x  2  x  3xy  5
Câu 10 (1,0 điểm). Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2  xy  xz  10 yz .
3 x3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  8 xy  2
.
y  z2
-------------------- Hết -------------------





Trần Quốc Nghĩa (Bình Dương) + Lưu Công Hoàn (Hòa Bình)

795
/>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12 THPT
Môn: TOÁN. Năm học: 2015-2016
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM.
Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang
ĐÁP ÁN
ĐIỂM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

CÂU
Câu 1 a) (1,0 điểm)
(1,5đ)  TXĐ: D  
 Giới hạn: lim y   ; lim y  
x 

x

 x  0  y (0)  0
 Sự biến thiên: y '  4 x  4 x  y '  0  
 x  1  y (1)  1
 Bảng biến thiên:
x –∞
0
+∞
1
1
–
0
+
0
–
0
+
y

0,25

3

+∞

0

+∞

y

1

1

0,25

 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1;0) và (1;  )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 1) và (0;1)
 Hàm số đạt cực đại tại điểm x  0  yCD  0
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x  1  yCT  1
 Đồ thị:
y

1

2

1

1

0,25

2
x

O

1

Câu 2 TXĐ: D   \ {1}
(1,0đ) Gọi M ( x0 ; y 0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C ) . Khi đó

0,25

y '( x0 )  1

Ta có phương trình:

 x0  0
1
2


1

(
x

1)

1


0

( x0  1) 2
 x0  2

0,25

Phương trình tiếp tiếp d của đồ thị (C ) tại điểm (0;1) là y   x  1

0,25

Phương trình tiếp tiếp d của đồ thị (C ) tại điểm (2;3) là y   x  5

0,25

796


Câu 3 a) (0,5 điểm)
(1,0đ) Ta có   3(3  2i )  (3  3i )  6  8i

0,25
0,25

Phần thực của số phức   6  8i bằng 6
b) (0,5 điểm)
log 2 4  2

1

log 27
Câu 4
(1,0đ)

0,25

7
7 15
 log9 27 3   P  2  
9
4
4 4
3


2


2

0,25


2

I   ( x  2 cos x) cos xdx   x cos xdx   2 cos 2 xdx  I1  I 2
0

0

0,25

0


2

u  x
 du  dx

I1   x cos xdx . Đặt 
dv  cos xdx v  sin x
0

0,25


2



 I1   x sin x  02   sin xdx
0

 I1 

2


2

0



  cos x    1 .
2
2

0,25


2


2

1



I 2   2cos 2 xdx   1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x  
2

0 2
0
0

0,25

 I  I1  I 2    1


Câu 5 Trung điểm của AB là I (2;1; 3), AB  (2; 2; 4)

(1,0đ
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và nhận vectơ AB là 1 VTPT nên có

0,25
0,25

phương trình: x  y  2 z  7  0
Giả sử d cắt trục Ox tại M (m; 0; 0) .
qua A(1;2; 1)
 
Khi đó d : 
1 VTCP ud  AM  ( m  1; 2;1)

 A(1;2; 1)  ( P )
4  0
1
d // ( P )    
   
 2m  1  0  m  .
2
ud  n( P )
ud .n( P )  0
x 1 y  2 z  1
d:



.
1
4
2
Câu 6 a) Giải phương trình ...
(1,0đ)
3
1






PT 
sin 3 x  cos3 x  sin  2 x    sin  3 x    sin  2 x  
2
2
3
6
3








3 x  6  2 x  3  k 2

 x  6  k 2


(k  )
3 x      2 x    k 2
 x    k 2


6
3
10
5

797

0,25

0,25

0,25

0,25


b) Tính xác suất ...
Gọi A là biến cố: “Chọn 2 cán bộ coi thi là giáo viên của hai trường THPT
khác nhau”.
Số phần tử không gian mẫu là   C202  435

0,25

A  C121 C101  C121 C81  C101 C81  296 .
Vậy xác suất để 2 cán bộ coi thi ở hai trường THPT khác nhau là:
A 296
P ( A) 

.
 435

0,25

Câu 7 Xét tam giác ABC có BC  AB tan 600  2a 3  S ABC  2a 2 3.
(1,0đ)
Thể tích của khối chóp S.ABCD là
1
1
VS . ABCD  SA.SABC  a 3.2a 2 3  2a3
3
3
- Gọi N là trung điểm cạnh SA .
Do SB // (CMN ) nên ta có:
d ( SB , CM )  d ( SB ,(CMN ))  d ( B , (CMN ))  d ( A, (CMN )).
- Kẻ AE  MC , E  MC và kẻ AH  NE , H  NE .

0,25
0,25

0,25

Chứng minh được AH  (CMN )  d ( A,(CMN ))  AH .

Tính AE 

2 SAMC
trong đó:
MC

S

1
  a2 3
AM . AC.sin CAM
2
2a 3
MC  a 13  AE 
13
2a 3
Tính được AH 
29
2a 3
d ( A,(CMN )) 
29
2a 3
 d ( SB, CM ) 
29
S AMC 

Câu 8
(1,0đ)

N

C

A
E

M
B

 (do cùng phụ
Ta có 
ACB  BAH
với 
ABC ).

A

Hơn nữa, MA  MB  MC nên
  MCA
 nên BAH
  MAC
.
MAC

K
B

0,25

H

K'

I

H

D

M

C

798

Suy ra đường phân giác trong AD
của góa A cũng là phân giác của
.
góc HAM

0,25


Gọi K là điểm đối xứng với K qua AD thì K thuộc AH.
Viết được phương trình KK ' : 7 x  y  65  0
 19 3 
KK ' AD  I  I   ;   K '  9; 2 
 2 2

0,25

AH : x  2 y  5  0 , AH  AD  A  A 1;3  BC : 2 x  y  15  0

 13 
Đường thẳng AM đi qua A và K nên AM : 2 x  11 y  35  0 . Vậy M  ;2 
2 
Vì B thuộc đường thẳng BC nên B  b;15  2b 

b  9
Do MA  MB  5b 2  65b  180  0  
b  4
Vậy B  4;7  , C  9; 3 .

Câu 9
(1,0đ)

0,25

0,25

 x2 (1  y 2 )  1  x 2  1  xy
(1)


(2 x  7 xy) 3 x  2  x  3xy  5 (2)





2

x 
Điều kiện: 
3
 x  3 xy  0

(1)  1  y 2  1 

0,25

1 1
1
1
  y  y  1  y 2   1  2 (3)
2
x
x
x
x

Xét hàm số f (t )  t  1  t 2 , t   . Do f '(t )  0  hàm số f đồng biến
trên  .

1
1
Do đó (3)  f ( y )  f    y  .
x
x
Khi đó (2)  (2 x  7)





3x  2  x  3  5

 3x  2  x  3 

5
7
 0 (Vì x  không là nghiệm)
2x  7
2

Xét hàm số g ( x )  3 x  2  x  3 
Ta có g '( x) 

0,25

5
2
 7 
, với x   ;   \   .
2x  7
3
 2

3
1

10


.
2
2 3x  2 2 x  3 (2 x  7)

2
 7 
Vì 3 x  3  3 x  2  0, x   ;   \   .
3
 2 
 g '( x) 

3
1
10
2
 7 


 0, x   ;   \  
2
2 3x  2 2 x  3 (2 x  7)
3
 2

799

0,25

2 7 
7

Suy ra g '( x ) đồng biến trên  ;  và  ;   .
3 2 
2

Mà g (1)  g (6)  0 nên phương trình có 2 nghiệm là x  1; x  6 .

0,25

 1
Vậy hệ có nghiệm là 1;1 ;  6;  .
 6
Câu
10

(1,0đ)

2

3x
x

Ta có: x  y  z  xy  xz  10 yz    ( y  z )   12 yz 
4
2


2

2

2

2

0,25

Suy ra 16 yz  x 2  16 xyz  x 3
Mặt khác ta có y 2  z 2  2 yz 

x2
3 x3
  2 2  24 x
8
y z

0,25

3x3
x3
Khi đó P  8 xyz  2
  24 x
y  z2 2
x3
Xét hàm số f ( x)   24 x với x  (0; )
2

0,25

Suy ra min f ( x)  64 khi x  4  y  z  1
x(0; )

Vậy min P  64 khi x  4, y  z  1 .

Đề và Đáp án này được gõ lại từ file ảnh nên không tránh khỏi sai sót.
Quý thầy cô cùng các em học sinh nếu phát hiện sai sót vui lòng báo
giúp để chúng tôi kịp thời sửa chữa.
Xin chân thành cảm ơn!
Trần Quốc Nghĩa (Bình Dương) + Lưu Công Hoàn (Hòa Bình)
/>
800

0,25