Sáng kiến kinh nghiệm rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 trường THCS biên giới

Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

BẢN TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Tên đề tài: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp
8 trường THCS Biên Giới”.
Họ và tên tác giả: Vũ Thái Châu
Đơn vị công tác: Trường THCS Biên Giới, huyện Châu Thành, Tỉnh Tây
Ninh.
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình đại số lớp 8, mối liên hệ giữa các kiến thức với nhau thể
hiện rõ ràng ở các dạng toán như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán
tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích… đều có liên quan đến
phân tích đa thức thành nhân tử. Như vậy, có thể nói phân tích đa thức thành
nhân tử là một cơ sở để giải quyết một số dạng toán khác.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường trung học cơ sở, tôi thấy nghiên
cứu đề tài “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” là
việc làm có ý nghĩa cả về lý luận cũng như thực tiễn.
Hơn nữa, bản thân tôi muốn tìm hiểu việc “Phân tích đa thức thành nhân tử
đối với học sinh lớp 8” tại đơn vị mình công tác, nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới
phương pháp dạy học và từng bước giúp học sinh tháo gỡ, giải quyết tốt những
khó khăn, vướng mắc trong quá trình tìm ra phương pháp giải. Từ đó, góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học của nhà trường.
2. Đối tượng, phương pháp nghiên cứu:
a. Đối tượng nghiên cứu:
- Khách thể: Phân tích đa thức thành nhân tử; học sinh lớp 8 .
- Đối tượng: Rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8.
b. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu tài liệu; điều tra; thống kê.
3. Đề tài đưa ra giải pháp mới:
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.

- Củng cố các phương pháp phân tích cơ bản.
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
- Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
- Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử.
4. Hiệu quả áp dụng:
Tác động trực tiếp đến học sinh lớp 8.
Hiệu quả được nâng cao qua các đợt vận dụng các bài toán về phân tích đa
thức thành nhân tử.
Trang

1


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

5. Phạm vi áp dụng:
Vận dụng ở đơn vị, có thể nhân rộng ở các đơn vị bạn trong huyện, trong
tỉnh.
Châu Thành, ngày 05 tháng 04 năm 2013
Người thực hiện

Vũ Thái Châu

Trang

2

Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Trong thời đại ngày nay, khi khoa học công nghệ đang phát triển thì việc nắm
bắt, tiếp cận được những thông tin kịp thời và chính xác đòi hỏi mỗi người
chúng ta phải có một kiến thức, một sự hiểu biết nhất định. Do đó, trong công
tác giảng dạy người thầy phải hướng dẫn, bồi dưỡng cho các em học sinh có
lượng kiến thức đầy đủ và vững chắc để tiếp tục lĩnh hội và tiếp thu kiến thức
mới nhằm trang bị cho các em có đủ năng lực phục vụ cho xã hội sau này.
Việc lĩnh hội, tiếp thu kiến thức mới là một khâu quan trọng trong quá trình
hoàn thiện kiến thức ở tất cả các môn học nói chung và Toán học nói riêng.
Trong chương trình Đại số lớp 8, mối liên hệ giữa các kiến thức với nhau thể
hiện rõ ràng ở các dạng toán như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán
tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích… đều có liên quan đến
phân tích đa thức thành nhân tử. Như vậy, có thể nói phân tích đa thức thành
nhân tử là một cơ sở để giải quyết một số dạng toán khác.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường trung học cơ sở, tôi thấy nghiên
cứu đề tài “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” là
việc làm có ý nghĩa cả về lý luận cũng như thực tiễn.
Mặt khác, là một giáo viên dạy Toán của Trường THCS Biên Giới, sau khi
được đào tạo, học tập và trực tiếp giảng dạy, bản thân muốn tìm hiểu việc
“Phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8” tại đơn vị mình công
tác, nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học. Bên cạnh đó, còn
giúp học sinh tháo gỡ, giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập,
góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của nhà trường.
Với những lý do khách quan và chủ quan nêu trên, bản thân tôi đã mạnh dạn
chọn cho mình giải pháp “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học

sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới” để làm đề tài nghiên cứu trong năm học
2012 – 2013.
II. Mục đích nghiên cứu:
Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học: Từ mục tiêu “Học để biết, học để
làm, học để cùng nhau chung sống và học để làm người”, trước hết giáo dục nhà
trường phải hình thành và bồi dưỡng cho học sinh năng lực tự học, tự giải quyết
vấn đề. Việc trang bị tốt năng lực này là một trong những hoạt động trọng tâm
của việc đổi mới phương pháp dạy học trong điều kiện đổi mới chương trình phổ
thông. Vì thế cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học là hướng tới hoạt động
học tập tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, chống lại thói quen học tập
thụ động. Đổi mới phương pháp dạy học bao gồm đổi mới nội dung và hình thức
hoạt động của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức dạy học, đổi mới
Trang

3


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

hình thức tương tác xã hội trong dạy học, đổi mới kĩ thuật dạy học với định
hướng: Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ
thể, phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh, các điều kiện dạy học của nhà
trường, ứng dụng công nghệ thông tin.
Khi vận dụng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, các em
vẫn lúng túng. Phải chăng điểm xuất phát từ bài đầu tiên là học sinh làm quen
với phân tích đa thức thành nhân tử, các em còn chưa hiểu rõ hết bản chất của
vấn đề, chưa nắm rõ các phương pháp phân tích, quy tắc toán học nên dẫn đến
nhầm lẫn khi giải toán. Chính vì vậy, ngay từ bài đầu tiên về phân tích đa thức
thành nhân tử giáo viên cần phải nghiên cứu để giúp học sinh hiểu rõ bản chất

của việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm thật vững kiến thức để hạn chế sự
nhầm lẫn, sai sót sau này.
III. Đối tượng nghiên cứu:
- Khách thể: Phân tích đa thức thành nhân tử; học sinh lớp 8 .
- Đối tượng: Rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8.
IV. Phạm vi nghiên cứu:
Giải pháp tập trung nghiên cứu việc rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân
tử cho học sinh lớp 8 của trường trung học cơ sở Biên Giới.
V. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu tài liệu: Đọc tạp chí dạy học ngày nay; tạp chí giáo dục; những
vấn đề về đổi mới giáo dục trung học cơ sở; sách giáo khoa toán 8; sách bài tập
Toán 8; hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán THCS làm cơ
sở thực hiện giải pháp này.
Điều tra: Qua giờ dạy, dự giờ học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi với
học sinh để đưa ra biện pháp thực hiện.
Thống kê: Thống kê số liệu học sinh qua theo dõi.
VI. Giả thuyết khoa học:
Nếu giáo viên hướng dẫn và thực hiện tốt việc “Rèn kĩ năng phân tích đa
thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” thì hiệu quả hay chất lượng giảng dạy sẽ
được nâng cao.

Trang

4


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

B. NỘI DUNG

I. Cơ sở lý luận
Bất cứ môn khoa học nào trong trường phổ thông cũng có vai trò và tầm
quan trọng của nó. Riêng đối với môn Toán có vai trò rất quan trọng vì nó có
khả năng to lớn góp phần thực hiện nhiệm vụ chung của nhà trường. Các kiến
thức Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, giúp
các em hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.
Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và
phẩm chất trí tuệ. Thật vậy, do tính trừu tượng cao độ của Toán học, môn Toán
có thể giúp nhiều cho học sinh trong việc rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo.
Do tính chính xác cao, suy luận logic, chặt chẽ, là môn “Thể thao trí tuệ”, Toán
học có khả năng phong phú làm cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với
logic. Việc tìm kiếm, tìm lời giải của một bài toán có tác dụng to lớn trong việc
cho học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong
học tập và trong việc giải quyết các vấn đề, rèn luyện cho học sinh trí thông
minh, sáng tạo. Môn Toán còn có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục
cho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống và trong lao động.
Vì vậy khi dạy Toán là làm thế nào cho học sinh nắm được một cách
chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng Toán học phổ
thông cơ bản. Có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ
thể khác nhau, vào đời sống, vào lao động sản xuất và vào học tập các môn học
khác.
Phát triển ở học sinh năng lực phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến những
tri thức thu nhận được thành của riêng bản thân mình, thành công cụ để nhận
thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như học tập hiện
nay và mãi mãi về sau. Giáo dục cho học sinh về tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ
của người công dân, phát triển ở mọi học sinh khả năng tiếp thu môn Toán.
Các mục đích nói trên không thể tách rời nhau mà có mối quan hệ mật
thiết, hỗ trợ, bổ sung cho nhau, thể hiện sự thống nhất giữa trí dục và đức dục,
giữa dạy học và phát triển, giữa nâng cao dân trí và đào tạo nhân lực, bồi dưỡng
nhân tài trong quá trình dạy học các bộ môn ở trường phổ thông.

II. Cơ sở thực tiễn
1. Thực tiễn vấn đề nghiên cứu
Do học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và
thực hành giải toán... nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm
được hướng giải quyết thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước,
phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt
nhất. Do đó, dẫn đến việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử còn nhầm lẫn. Ngoài ra, một vài học sinh còn chưa xác định rõ phân tích
đa thức thành nhân tử là như thế nào? Và làm thế nào để phân tích được đa thức
đã cho thành nhân tử.
Trang

5


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Mặt khác, phân tích đa thức thành nhân tử còn được ứng dụng rất nhiều trong
các dạng toán sau này như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x,
rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích…
2. Sự cần thiết của đề tài:
Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến thức,
tôi nhận thấy việc “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
lớp 8” là thực sự cần thiết. Bởi vì, đây là cách giúp học sinh rèn được kĩ năng
quan sát, nhận xét và vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học vào từng bài
tập cụ thể. Từ đó, giúp các em tìm tòi, phát hiện và chiếm lĩnh tri thức một cách
tốt nhất. Không những thế, giải pháp này còn giúp các em hứng thú hơn khi
được học toán, xem việc giải bài tập như cách giải trí sau khi học các môn khác.
III. Nội dung vấn đề

1. Vấn đề đặt ra
Để phân tích được đa thức thành nhân tử thì học sinh cần phải nắm vững các
phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các
hạng tử; phối hợp nhiều phương pháp. Ngoài ra, đối với học sinh khá, giỏi có
thể giới thiệu thêm hai phương pháp phân tích (nâng cao): Tách một hạng tử;
thêm bớt cùng một hạng tử. Vì vậy, giáo viên phải thực hiện được một số việc
sau:
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
- Củng cố các phương pháp phân tích cơ bản.
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
- Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
- Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Giải pháp, chứng minh vấn đề được giải quyết
2.1) Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân
tử.
* Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp chung:
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏ nhất ).
Khi đó, nhân tử chung của đa thức là tích của nhân tử chung bằng số và
nhân tử chung của các biến.
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A.(B + C).
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 2x2 – 4x thành nhân tử.
Trang

6

Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 2, 4 trong các hạng tử trên?
(Học sinh trả lời là 2 vì ƯCLN(2,4 ) = 2).
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 và x ? (Học sinh trả lời là x).
Khi đó nhân tử chung của đa thức là bao nhiêu? (Học sinh trả lời là 2x).
Giải:
2x2 – 4x = 2x.x – 2x.2 = 2x.(x – 2).
 Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(y – x) thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 3 và 5 ? (Học sinh trả lời là: 1 vì
ƯCLN(3;5)= 1).
- Tìm nhân tử chung của (x – y) và y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: không
có).
- Sau đó giáo viên hướng dẫn thực hiện đổi dấu tích 3(x – y) hoặc tích –5x(y
– x) để có nhân tử chung (x – y) hoặc (y – x)?
Cách 1: Nếu đổi dấu tích –5x(y – x)= 5x(x – y) thì nhân tử chung của đa
thức là (x – y).
Cách 2: Nếu đổi dấu tích 3(x – y)= –3(y – x) thì nhân tử chung của đa
thức là (y – x) hoặc –(y – x).
Giải:
Cách 1: 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x(x – y)
= (x – y).3 + (x – y).5x
= (x – y)(3 + 5x)
Cách 2: 3(x – y) – 5x(y – x) = – 3(y – x) – 5x(y – x)
= (y – x). (–3) – (y – x).5x

= (y – x)( –3 – 5x)
= – (y – x)( 3 + 5x) = (x – y)(3 + 5x)
* Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp chung: Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng
tổng hoặc hiệu” đưa về “dạng tích”.
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Trang

7


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng khi nhận ra hằng đẳng thức vận
dụng thì nên lấy nháp ghi lại hằng đẳng thức đó.
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x2 – 4x + 4
b. x2 – 2
c. 1 – x3
Hướng dẫn
a. x2 – 4x + 4
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 với A = x, B= 2)

Giải:
x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
b. x2 – 2
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) với A = x, B = 2 )
Giải:
x2 – 2 = x2 –

( 2)

2

= (x – 2 )(x + 2 )

c. 1 – x3
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A 3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)) với A=1,
B=x).
Giải:
1 – x3 = (1 – x)(1 + x. 1 + x2) = (1 – x)(1 + x + x2).
Lưu ý: Giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức
đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử,
số mũ của các hạng tử (Ở các bài về những hằng đẳng thức đáng nhớ) để học
sinh sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp ở dạng này.
* Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phương pháp chung
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.

- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
 Nhóm các hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung:
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử.

Trang

8


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Gợi ý: - Các hạng tử có nhân tử chung không?
- Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
(Học sinh trả lời: nhóm (x2 – 3x) và (xy – 3y))
Giải:
x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y)
= x(x – 3) + y(x – 3)
= (x – 3)(x + y)
 Nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức:
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử.
Gợi ý: x2 – 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức nào? (Học sinh: A2–
2AB+B2=(A–B)2)
Giải:
x2 – 2x +1– 4y2 = (x2 – 2x +1) – (2y)2
= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – 1– 2y)(x –1+2y)

 Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y thành nhân tử.
Gợi ý: Có thể nhóm ba hạng tử đầu thành một nhóm, hai hạng tử sau thành một
nhóm.
Giải
x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y = (x2 + 2xy + y2) + (4x + 4y)
= (x + y)2 + 4(x + y)
= (x + y)(x + y + 4)
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải
thực hiện lại.
* Phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp chung:
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử,
đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy, học sinh cần nhận xét bài toán
một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Thông thường ta có thể xét theo thứ tự các phương pháp: Đặt nhân tử chung;
dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử?
Ví dụ 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 5x3 + 10x2y + 5xy2
b) x2 – 2xy + y2 – 9
Gợi ý: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tử ?
Hay có thể phối hợp các phương pháp trên?
Trang

9

Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Giải
a) 5x3 + 10x2y + 5xy2 = 5x(x2 + 2xy + y2)= 5x(x + y)2
b) x2 – 2xy + y2 – 9 = (x2 – 2xy + y2) – 9
= (x – y)2 – 32 = (x – y – 3)(x – y + 3)
2.2) Củng cố các phương pháp cơ bản
Để học sinh nắm vững các phương pháp phân tích một cách tổng quát giáo
viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (4 học sinh) tóm tắt lại các phương
pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử dưới dạng sơ đồ tư duy và cho
học sinh trình bày lại.
Sau đây là một ví dụ minh họa về cách tóm tắt các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử.

Trang 10


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

2.3) Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Trong thực tế giảng dạy môn toán, mức độ tiếp nhận kiến thức của học sinh
không đồng đều, có học sinh tiếp thu kiến thức rất nhanh, ngược lại cũng có
những học sinh tiếp thu rất chậm. Do đó, để học sinh nắm bắt và tiếp thu kiến
thức dễ dàng giáo viên nên sắp xếp các bài toán theo các mức độ khác nhau.
Đồng thời, hình thành những dạng toán cơ bản thường gặp để học sinh có thể dễ
dàng trong việc học tập và giúp các em tiếp thu kiến thức nhanh hơn.
* Đối với học sinh yếu, kém: Có thể cho học sinh làm những bài toán có vận
dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức,

phương pháp nhóm hạng tử ở mức độ đơn giản học sinh có thể nhận dạng ngay
phương pháp cần áp dụng.
Ví dụ 8: Phân tích đa thức các đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 – x
b. x2 – 4x + 4
c. x2 – xy + 2x – 2y
Giải:
a. x2 – x
(Học sinh dễ dàng nhận ra nhân tử chung là x).
x2 – x = x(x – 1)
b. x2 – 4x + 4
(Học sinh thấy được dạng của hằng đẳng thức A2 – 2AB + B2 = (A – B)2).
Xem cách giải ở ví dụ 3a đã nêu ở trên.
2
c. x – xy + 2x – 2y
(Học sinh thấy được hai hạng tử đầu x 2 – xy có nhân tử chung là x; hai
hạng tử cuối 2x – 2y có nhân tử chung là 2 thì lập tức nhóm hạng tử).
x2 – xy + 2x – 2y = (x2 – xy) + (2x – 2y)
= x(x – y) + 2(x – y)
= (x – y)(x + 2)
* Đối với học sinh trung bình: Có thể cho học sinh làm những bài tập có vận
dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức,
phương pháp nhóm hạng tử ở mức độ cao hơn. Đồng thời, vận dụng phối hợp
các phương pháp nêu trên.
Ví dụ 9: (Bài tập 48a – Sgk trang 22, Toán 8 tập 1)
Phân tích đa thức đa thức x2 + 4x – y2 + 4 thành nhân tử.
Gợi ý: - Có thể nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức, sau đó tiếp tục
vận dụng hằng đẳng thức.
Giải:
x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2 = (x + 2 – y)(x + 2 + y).
Trang 11


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

* Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc vận dụng các phương pháp trên ở
mức độ bình thường còn phải vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng
dạng toán như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x, rút gọn
phân thức đại số, giải phương trình tích…
- Dạng tính nhanh giá trị của biểu thức:
Ví dụ 10: (?2a – trang 23 sgk Toán 8 tập 1)
Tính nhanh giá trị của các biểu thức P = x 2+2x +1 – y2 tại x = 94,5 và y
= 4,5.
Gợi ý: Phân tích đa thức x2 + 2x + 1 – y2 thành nhân tử rồi thay số vào tính.
Giải:
P = x2 + 2x + 1 – y2 = (x2+ 2x + 1) – y2 = (x+1)2– y2= (x+1– y)(x+1+
y).
Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức P ta được:
P = (94,5 + 1 – 4,5) (94,5 + 1 + 4,5) = 91.100 = 9100.
- Dạng toán tìm x (dạng phương trình đưa được về dạng phương trình
tích):
Ví dụ 11: (Bài 50a – trang 23 sgk Toán 8 tập 1) Tìm x biết: x(x – 2) + x – 2
=0
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử.
Giải
x(x – 2) + x – 2 = 0 ⇔ x(x – 2)+(x – 2)=0
⇔ (x – 2)(x +1)=1
⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 1=0

⇔ x = 2 hoặc x = –1
Vậy: x = 2 ; x = –1
- Dạng toán rút gọn phân thức đại số
Ví dụ 12: (Bài 12a – trang 40 sgk Toán 8 tập 1)
3 x 2 − 12 x + 12
.
x 4 − 8x

Rút gọn phân thức

Gợi ý: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
Giải
3x 2 − 12 x + 12 3( x 2 − 4 x + 4
=
x 4 − 8x
x x3 − 8

(

)

)

=

2
3( x − 2)
3( x − 2 )
=
2

x x 2 + 2x + 4
x( x − 2 ) x + 2 x + 4

(

)

(

)

Bên cạnh đó, đối với học sinh khá, giỏi giáo viên còn giới thiệu cho học
sinh các bài toán vận dụng hai phương pháp phân tích nâng cao: Phương pháp
tách hạng tử và phương pháp thêm bớt hạng tử (được trình bày ở phần 2.6).
Trang 12


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

2.4) Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán
Trong tính toán, do học sinh chưa nắm rõ các phương pháp phân tích nên học
sinh thường nhầm lẫn. Từ đó, dẫn đến kết quả tính toán sai mà học sinh không
hề phát hiện ra.
* Sai lầm 1: Chưa hiểu được phân tích đa thức thành nhân tử là làm gì?
Ví dụ 13: Khi phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(x – y) thành nhân tử học sinh
làm như sau: 3(x – y) – 5x(x – y) = (x – y) + (3 – 5x)
Sai lầm của học sinh ở đây là chưa biết phân tích đa thức thành nhân tử là
biến đổi đa thức đã cho thành tích của những đa thức. Khi đặt nhân tử chung
xong các em không biết dùng phép tính gì nên đặt đại dấu “+” hoặc dấu “–”.

Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi đặt nhân tử chung thì phép tính
tiếp theo là phép nhân.
Lời giải đúng: 3(x – y) – 5x(x – y) = (x – y).(3 – 5x)
* Sai lầm 2: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
Ví dụ 14: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a –
trang 22 – SGK Toán 8 tập I)
Lời giải sai:
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)x (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì hết, có nghĩa
là còn lại là số 0)
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh ở trường hợp này nên phân tích (x – y) = 1.
(x – y) thì khi đặt nhân tử chung x – y thì học sinh vẫn còn nhìn thấy số còn lại là
1.
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
* Sai lầm 3: Thực hiện thiếu dấu ngoặc trong quá trình phân tích:
Ví dụ 16: Phân tích đa thức (x + y) 2 – (x – y)2 thành nhân tử. (BT- 28a –
trang 6 – SBT – Toán 8 tập I).
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2).
Lời giải sai:
(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0
(kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc dẫn đến kết quả
sai.

Trang 13

Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Lời giải đúng:
(x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử. (?1b – trang 20–Sgk – Toán 8 tập
I).
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2).
Lời giải sai:
(x + y)2 – 9x2 = (x + y)2 – 3x2 (kết quả sai vì thiếu dấu ngoặc (3x)2)
= (x + y – 3x)(x + y + 3x)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc dẫn đến kết quả
nhầm lẫn 9x2 = 3x2 mà học sinh không hề hay biết.
Lời giải đúng: (x + y)2 – 9x2 = (x + y)2 – (3x)2
= (x + y – 3x)(x + y + 3x)
Ở trường hợp này, giáo viên nên rèn cho học sinh cách trình bày ngay từ khi
học về những hằng đẳng thức. Nếu A hoặc B có từ hai nhân tử hoặc từ hai hạng
tử trở lên thì khi dùng hằng đẳng thức nên bỏ vào trong dấu ngoặc.
* Sai lầm 4: Phân tích chưa triệt để
Ví dụ 18: (?2 sgk, trang 22, toán 8, tập 1)
Khi thảo luận nhóm, một bạn ra đề bài: Hãy phân tích đa thức x4 – 9x3 +
x2 – 9x thành nhân tử.
Bạn Thái làm như sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
Bạn Hà làm như sau:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – 9)= (x – 9)(x 3
+ x)

Bạn An làm như sau:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 + x2)– (9x3 + 9x)
= x2 (x2 + 1)– 9x (x2 + 1)
= (x2 + 1)(x2– 9x)
= x(x– 9) (x2 + 1)
Hãy nêu ý kiến của em về lời giải của các bạn.
Giáo viên cho học sinh nêu ý kiến của mình. Sau đó giáo viên chốt lại và
nêu ra các sai lầm mà Thái và Hà đã mắc phải đó là phân tích chưa triệt để còn
bài của bạn An đã phân tích triệt để.
Ví dụ:

Trang 14


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Lời giải chưa triệt để
Lời giải hoàn chỉnh
x4 – 9x3 + x2 – 9x
x4 – 9x3 + x2 – 9x
= x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x(x3 – 9x2 + x – 9)
Bạn Thái
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
x4 – 9x3 + x2 – 9x
x4 – 9x3 + x2 – 9x
= (x4 – 9x3 ) + (x2 –

= (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 )
Bạn Hà
= x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x )
= (x – 9)(x3 + x )
= (x – 9).x.(x2 + 1)
Ở trường hợp này giáo viên cần rèn cho học sinh cách đặt nhân tử chung
một cách triệt để. Nên tìm hết nhân tử chung của các hạng tử và chỉ dừng lại
công việc phân tích khi không còn phân tích được nữa.
* Sai lầm 5: Đổi dấu sai
Ví dụ 19: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai:
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2
(đổi dấu sai )
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y)
(kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2
Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử : –10 và (y – x)2 của tích –10(y – x)2
(vì (y – x)2 = (x – y)2).
Lời giải đúng:
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số
và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.

 Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách
tổng quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).
Lưu ý: (A – B)2 = (B – A)2

Trang 15


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

* Sai lầm 6: Cách nhóm hạng tử và đặt dấu sai
Ví dụ 20: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Lời giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
(đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2)
(kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là: Nhóm và đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai.
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
thay vì
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (–2x – 4y )
Lời giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (–2x – 4y)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x +2y)
= (x + 2y)(x – 2y– 2)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần
chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu:

- Nếu nhóm các hạng tử và đặt dấu “+” ở trước dấu ngoặc thì giữ nguyên
dấu tất cả các hạng tử mang vào.
- Nếu nhóm các hạng tử và đặt dấu “–” ở trước dấu ngoặc thì phải đổi dấu
tất cả các hạng tử mang vào.
* Sai lầm 7: Vận dụng hằng đẳng thức chưa thành thạo.
Ví dụ 21: Phân tích đa thức x2 – 4y2 thành nhân tử.
Lời giải sai: x2 – 4y2 = (x + 4y)(x – 4y) (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh là: dùng hằng đẳng thức A2 – B2 mà không đưa về
đúng dạng. Chưa phân tích 4y2 về dạng bình phương của một biểu thức.
Lời giải đúng: x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Khi vận dụng các hằng
đẳng thức A2 – B2 , A3 – B3 , A3 – B3… cần phân tích đưa các hạng tử về đúng
dạng.
2.5) Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán:
* Tìm tòi những cách giải hay
Ví dụ 22: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài 47a, trang
22,sgk, toán 8 tập I)
Giải:

Trang 16


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

- Nếu học sinh chọn cách nhóm hạng tử (x 2 – xy) và (x – y) thì kết quả ít
sai lầm vì khi nhóm trước mỗi nhóm đều mang dấu cộng. Cụ thể như sau:
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 1)
- Nếu học sinh chọn cách nhóm hạng tử (x 2 + xy) và (– x – y) thì kết quả
dễ dẫn đến sai lầm là khi nhóm hai hạng tử – x – y và đặt dấu trừ đằng trước mà

không đổi dấu các hạng tử mang vào. Cụ thể như sau:
x2 – xy + x – y = (x2 + xy) – (x – y)= x(x + y) – (x + y)=(x + y)(x – 1).(lời
giải sai)
Lời giải đúng:
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)
= x(x + 1) –y (x + 1)
= (x + 1)(x – y).
Như vậy, sai lầm ở cách 2 là sai lầm mà học sinh thường mắc phải nhất.
Học sinh thường không chú ý đến dấu khi nhóm. Còn khi nhóm các hạng tử theo
cách 1, thì học sinh ít sai do hạng tử đầu ở mỗi nhóm đều mang dấu cộng. Như
vậy, nếu nhóm theo cách 1 thì học sinh ít sai hơn.
Ví dụ 23: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
(Bài tập 57- SBT - trang 9 toán 8 tập 1)
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách
giải phù hợp nhất, gọn nhất.
Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B).
Giải:
A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
= [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3
= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3
= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
= [x3 + y3 + 3xy(x + y) – x3 – y3] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 )
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)[ (xy + xz) + (yz + z2)]
= 3(x + y)[ x(y + z) + z(y + z)]
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Cách 2: Áp dụng hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) được suy ra
từ hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B).
Giải

Ta có: x3 + y3 + z3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3

Trang 17


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

= ( x + y )

3

+ z3  − 3xy ( x + y )


= ( x + y + z )

3

− 3z ( x + y ) ( x + y + z )  − 3xy ( x + y )


3
= ( x + y + z ) − 3 ( x + y ) z ( x + y + z ) + xy 
3
= ( x + y + z ) − 3 ( x + y ) ( zx + zy + z 2 + xy )

= ( x + y + z)

3

(

)

− 3 ( x + y )  zx + z 2 + ( zy + xy ) 

3
= ( x + y + z ) − 3 ( x + y ) z ( x + z ) + y ( z + x ) 

= ( x + y + z ) − 3( x + y ) ( x + z ) ( z + y)
3

Từ

x 3 + y3 + z 3 = ( x + y + z ) 3 − 3 ( x + y ) ( x + z ) ( z + y )

3
Suy ra ( x + y + z ) − x 3 − y3 − z3 = 3 ( x + y ) ( x + z ) ( z + y )

* Khai thác bài toán
Từ ví dụ 23 có thể khai thác thành những bài toán sau:
1) Chứng minh rằng A= ( x + y + z ) − x 3 − y3 − z3 chia hết cho 3 với mọi x, y, z
3

nguyên.
2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x 3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBTtr7).
Hướng dẫn:
Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0 ⇔ x + y = – z .
3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3– 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBTtr6).

Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y).
2.6) Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng
cao)
Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng
thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp. Tuy nhiên, trong phần
bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải,
(Chẳng hạn:bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25). Sách giáo khoa có gợi ý cách “tách”
một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “thêm và bớt cùng một hạng tử” thích
hợp rồi áp dụng các phương pháp trên để giải. Xin giới thiệu thêm về hai
phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi trong thực hành giải toán.
* Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
Ví dụ 24: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
Gợi ý: ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)

Trang 18


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Giải:
Cách 1: (tách hạng tử : 3x2 = 4x2 – x2)
3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2
= (2x – 2)2 – x2
= (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)= (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: (tách hạng tử : – 8x = – 6x – 2x)
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
= 3x(x – 2) – 2(x – 2)
= (x – 2)(3x – 2)

Cách 3 (tách hạng tử : 4 = 16 – 12)
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2)
= 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
= (x – 2)(3x + 6 – 8)
= (x – 2)(3x – 2)
Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử
nhằm:
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. (cách 1)
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất
hiện nhân tử chung x – 2 . (cách 2)
- Làm xuất hiện nhân tử chung và hằng đẳng thức. (cách 3)
Vì vậy, việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất
hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,
nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải
toán.
Khai thác: Trong đa thức 3x2 – 8x + 4 đặt a = 3, b = – 8, c = 4. Tính tích
a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b
ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12;
b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8
Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax 2 + bx + c thành nhân tử, ta tách
hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Trang 19

Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x 2 + 7x – 2 thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBTtr7)
Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2
Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
Bước 3: b = 7 = 4 + 3
Khi đó ta có lời giải: –6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2
= (– 6x2 + 4x) + (3x – 2)
= –2x(3x – 2) + (3x – 2)
= (3x – 2)(–2x + 1)
Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số
tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp
nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử
chung.
Ví dụ 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: n3 – 7n + 6
Giải:
n3 – 7n + 6 = n3 – n – 6n + 6
= n(n2 – 1) – 6(n – 1)
= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1)
= (n – 1)[n(n + 1) – 6]
= (n – 1)(n2 + n – 6)
= (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6)
= (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2))
= (n – 1)(n – 2)(n + 3)
Ví dụ 26: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.
Ta có cách tách như sau: 31x = x + 30x
Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
= x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1)

= x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x – 30)
* Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp
nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
Ví dụ 27: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Ta có thể phân tích:
Cách 1: Thêm x2 và bớt x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Trang 20


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Ta có x4 + x2 + 1 = x4 + x2 + x2 +1 – x2
= x4 + 2x2 +1 – x2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2
Giải:
x4 + x2 + 1 = x4 + x2 + x2 +1 – x2
= x4 + 2x2 +1 – x2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2
= (x2 + 1)2 – x2
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Cách 2: Thêm x và bớt x:(làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung)
Ta có x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1)
Giải:
x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Ví dụ 28: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử.
Cách 1: Thêm x3 và bớt x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử
chung)
Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1
= (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 )
= x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1)
= (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 )
Cách 2: Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x
(làm xuất hiện đặt nhân tử
chung)
Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 )
Chú ý: Các đa thức có dạng x4+ x2+1, x5+ x+1, x5+ x4+ 1, x7+ x5+1,…;
tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 +1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có chứa
nhân tử x2 + x + 1.
Ví dụ 29: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử. (Bài tập 57d)-SGK-tr 25)
Gợi ý: Thêm 4x2 và bớt 4x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức).

Trang 21


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Giải: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 +
2x)
Khai thác bài toán:

* Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4
Hướng dẫn giải:
Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2
= (x2 + 8y2)2 – (4xy)2
= (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy)
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những
khó khăn trong quá trình giải bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử.
2.7) Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử:
* Quan sát đặc điểm của bài toán; nhận dạng bài toán; chọn lựa phương
pháp giải thích hợp:
- Quan sát đặc điểm của bài toán: Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong
bài toán (về các hệ số, các biến).
- Nhận dạng bài toán: Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào? áp dụng
phương pháp nào trước, phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng
hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp các phương pháp, phương pháp
tách hạng tử, thêm bớt hạng tử).
- Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa
phương pháp cho phù hợp với bài toán.
* Một số lưu ý khi thực hiện phân tích một đa thức thành nhân tử:
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp
theo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng
phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp
theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử
chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước tiếp
theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng
hằng đẳng thức.
- Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai

bước liền.
- Phương pháp nhóm không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền.

Trang 22


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

- Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai
bước liền.
- Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử.
- Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai.
Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phép
biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước giải phải
có sự kiểm tra; phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ trình nhất
định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù hợp.
Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận
xét đánh giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thích
hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kĩ năng giải toán trong thực
hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh
tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác,
khai thác bài toán dưới nhiều dạng khác nhau.
3. Kết quả thực hiện
Qua giảng dạy bộ môn toán 8 và kinh nghiệm rèn kĩ năng phân tích đa thức
thành nhân tử cho học sinh lớp 8, tôi nhận thấy nội dung này rất thiết thực và có
lợi thế trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán, các em tích cực học
tập và hứng thú hơn khi giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Đặc
biệt là vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào các dạng
toán sau này một cách có hiệu quả.

Với việc các em nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
và kết hợp với việc đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn toán ở khối 8, tôi
thấy chất lượng môn toán ngày càng tiến bộ rõ rệt. Cụ thể là:
GIỮA HKI
HKI
LỚP (trước khi nghiên cứu) ( sau khi nghiên cứu)
TS Đạt TB↑ TL% Đạt TB↑
TL%
8A
27
18
66,7
24
88,9
8B
27
19
70,4
24
88,9
4. Phạm vi áp dụng:
Giải pháp này đã được áp dụng tốt trong đơn vị và có thể áp dụng cho một số
đơn vị trong huyện, trong tỉnh.

Trang 23


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

C. KẾT LUẬN
1. Bài học kinh nghiệm
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng
dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
Đối với học sinh yếu kém: Là một quá trình liên tục được củng cố và sửa
chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được
phương pháp vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán, cho
học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng
dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK.
Đối với học sinh trung bình: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc
các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng
từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự
học, gợi sự say mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động
chiếm lĩnh kiến thức.
Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta
cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các
bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương
tự hoá vấn đề để việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt hơn. Qua
đó, tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải,
khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình
tự nghiên cứu của các em.
2. Hướng phổ biến, áp dụng của đề tài
Giải pháp này đã được áp dụng tốt trong đơn vị trường THCS Biên Giới và
có thể áp dụng cho một số đơn vị trong huyện, trong tỉnh.
3. Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài
Đề tài sẽ được nghiên cứu tiếp tục ở các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử khác (nâng cao): phương pháp đặt biến phụ, phương pháp giảm
dần số mũ của lũy thừa, phương pháp hệ số bất định.
Đề tài nghiên cứu cho các đa thức phức tạp hơn, đi sâu vào việc nghiên cứu
các đa thức đặc biệt.

Châu Thành, ngày 05 tháng 04 năm 2013
Người thực hiện

Vũ Thái Châu

Trang 24


MỤC LỤC
Trang
Bản tóm tắt đề tài …………………………………………………………… 1
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài: .........................................................................................3
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................3
3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................4
4. Phạm vi nghiên cứu.......................................................................................4
5. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................4
6. Giả thuyết khoa học.......................................................................................4
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận .................................................................................................5
II. Cơ sở thực tiễn .............................................................................................5
III. Nội dung vấn đề .........................................................................................6
1. Vấn đề đặt ra .................................................................................................6
2. Giải pháp, chứng minh vấn đề được giải quyết.............................................6
3. Kết quả thực hiện ........................................................................................23
4. Phạm vi áp dụng..........................................................................................23
C. KẾT LUẬN
1. Bài học kinh nghiệm ...................................................................................24
2. Hướng phổ biến, áp dụng đề tài .................................................................24
3. Hướng nghiên cứu tiếp đề tài .....................................................................24

Trang 25