Rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU.
Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kiến thức cơ bản trong
chương trình toán học là công cụ để giải quyết nhiều bài toán như :
- Rút gọn phân thức.
- Giải phương trình, giải bất phương trình.
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
- Biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ.
- Tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên.
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
…
Việc phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải tư duy, có kiến
thức tổng quát, sáng tạo, nhanh trí, vận dụng kiến thức toán học một cách nhuần
nhuyễn, hợp lý. Để làm được việc này ít nhất là người học sử dụng thành thạo các
tính chất, quy tắc phép tính, thành thạo trong việc nhân chia đa thức. Đặc biệt phải
thuộc lòng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ từ đó phát triển được các hằng đẳng thức tổng
quát.
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp . Ngoài 3 phương
pháp cơ bản :
- Đặt nhân tử chung.
- Nhóm nhiều hạng tử.
- Dùng hằng đẳng thức.
Sách giáo khoa còn giới thiệu thêm hai phương pháp :
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm bớt cùng một hạng tử.
Ngoài ra có thể sử dụng những phương pháp khác :
- Đặt ẩn phụ (biến đổi).
- Hệ số bất định.
Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau do đó khi
giảng dạy người giáo viên giúp đỡ học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để giải
quyết một cách nhanh chóng. Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân

tử , giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách
giáo khoa. Đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi .Giúp các em lựa chọn phương pháp
thích hợp để giải quyết các bài toán khó.
Vì vậy tôi xin nêu ra phương pháp tôi đã sử dụng trong giảng dạy, đó là “Rèn
luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8”.
II . THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1. THỰC TRẠNG
Qua những năm giảng dạy môn toán ở lớp 8,tôi thấy nhiều học sinh còn lúng
túng khi gặp các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử .Cũng có nhiều nguyên
nhân dẫn đến điều này, nhưng theo tôi nguyên nhân chính là :
+Kiến thức cơ bản cần sử dụng vào bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
các em nắm chưa vững
+Gặp một số dạng toán mà sách giáo khoa chưa giải quyết được
Chẳng hạn khi nói đến các dạng toán : “Phân tích đa thức thành nhân tử ” ở lớp
8 nhiều em còn vướng mắc khi sử dụng ở một số phương pháp tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử,thêm bớt cùng một hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ (biến đổi),
hệ số bất định…Vì thế mà các em còn ngại , chán nạn khi chưa tìm ra hướng giải và
khi giải các em còn không biết cách phân tích dẫn đến mắc một số sai lầm không
đáng có cụ thể:
Ví dụ1 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
3x
2
– 8x + 4
-Học sinh rất lúng túng khi gặp dạng toán này chưa biết nên tách hạng tử
nào,nhiều em còn sai lầm đi nhóm nhân tử chung : 3x
2
– 8x + 4 = x (3x - 8) + 4
đến đây các em mất phương hướng giải .
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
4x

4
+ 81
- Nhìn bài toán này học sinh khá, giỏi vẫn còn vướng mắc, chưa nói đến học sinh
trung bình ,yếu các em thật sự chán nạn,sợ sệt hoặc không đủ tự tin là bản thân làm
sẽ đúng vì học sinh chưa hiểu được 4x
4
+ 81 khi thêm, bớt 36x
2
thì bài toán sẽ có
dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.Nên khi ra một dạng toán nào học sinh
cần xem áp dụng được pháp nào?
2 . KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT.
Khi chưa thực hiện đề tài ,tôi đã khảo sát ở 2 lớp 8A,8B với đề bài như sau :
Phân tích đa thức thành nhân tử
a , 4xy + 3x
2
y b, x
2
- 4
c, x
2
+x -2x
3
-2 d , 2x
2
– 4xy + 2y
2
e, (x
2
+ x)

2
+ 3( x
2
+ x) + 2
Qua bài khảo sát cho thấy một số học sinh còn đang mơ hồ về các phương pháp đã
học ,quá trình làm bài chưa tự tin hoặc đi sai vấn đề,chưa hợp lí.
Kết quả đạt được như sau:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
8A 32 1 3,1 6 18,8 12 37,5 5 15,6 8 25,0
8B 32 1 3,1 7 21,9 13 40,6 6 18,8 5 15,6
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :
I. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
- Ôn lại cho học sinh một số kiến thức cơ bản cần sử dụng để phân tích đa thức
thành nhân tử .
- Dựa vào các phương pháp đã học ta có thể phân loại các bài toán để học sinh
phát hiện , nhận dạng và có hướng giải quyết ,không đi sai lệch với đề bài đưa ra ,
học sinh nhận dạng được bài toán yêu cầu là tìm nhân tử chung ,đặt ẩn phụ , thêm bớt
hạng tử hay tách hạng tử đó là cơ sở để học sinh tháo gỡ vấn đề.
- Dạng toán “ Phân tích đa thức thành nhân tử ” có thể áp dụng ngay các tiết học
ở trên lớp ,ngoài ra có thể hướng dẫn các em một số phương pháp mới ở các buổi học
phụ đạo vào buổi chiều giúp học sinh nắm vững, hiểu sâu hơn.
II . BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thông thường.
1.1 – Phương pháp đặt nhân tử chung.
a . Phương pháp :
Tìm nhân tử chung là đơn , đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. Xem các số
hạng của đa thức có thừa số chung hay không? Nếu có ta đặt nó làm một thừa số của
đa thức bằng cách đặt nó ra ngoài dấu ngoặc,viết các nhân tử còn lại vào trong dấu

ngoặc (kể cả dấu của chúng).Phương pháp này dựa trên tính chất :
A.B + A.C + + A.F = A (B + C + + F)
Học sinh phải nắm chắc kiến thức phép nhân phân phối đối với phép cộng.
b. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử .
A = 15a
2
b
2
- 9a
3
b + a
2
b
3

Với định hướng câu hỏi như trên , học sinh tìm ra thừa số chung của các hạng tử là
3a
2
b
Đặt 3a
2
b làm thừa số chung ta được: A = 3a
2
b (5b – 3a –b
2
)
1.2 – Phương pháp dùng hằng đẳng thức :

a. Phương pháp :
Để sử dụng các hằng đẳng thức đưa các đa thức về dạng một tích các đa thức

hoặc luỹ thừa của một đa thức học sinh cần phải thuộc lòng 7 hằng đẳng thúc đáng
nhớ và các hằng đẳng thức tổng quát.
1, a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2
2, a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2
Mở rộng : a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)
2

3, a
2
- b
2
= (a + b)(a - b)
4, a
3

+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
)
5, a
3
- b
3
= (a - b)(a
2
+ ab + b
2
)
6, (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b +3ab
2
+ b
3
7, (a - b)
3
= a
3

- 3a
2
b +3ab
2
- b
3

Sau đó xét xem có thể phân tích đa thức thành thừa số bằng cách sử dụng một
trong các hằng đẳng thức trên hay không ?
b. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử :
8x
3
+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
Ở ví dụ này các số hạng có nhân tử chung không? Các số hạng có lập thành hằng
đẳng thức nào không ? Đa thức này có 4 hạng tử,nhận xét xem các hạng tử có đặc
điểm gì, từ đó suy ra nó thuộc hằng đẳng thức nào?
8x
3
+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
= (2x)

3
+ 3.(2x)
2
y + 3.2x.y
2
+ y
3
= (2x - y)
3
– Phương pháp nhóm nhiều hạng tử :
a. – Phương pháp :
Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
Tiếp tục áp dụng các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Đối với phương pháp này học sinh cần sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm
các hạng tử một cách thích hợp rồi phân tích thành nhân tử đối với từng nhóm,từ đó
viết được đa thức đã cho thành nhân tử .
b. Vớ d: Phõn tớch a thc thnh nhõn t :
2x
2
+ 2y
2
x
2
z + z zy
2
2
a thc ny cỏc hng t khụng cú nhõn t chung , khụng lp thnh hng ng
thc.Vy nờn nhúm cỏc s hng nh th no xut hin nhõn t chung mi?
2x
2

+ 2y
2
x
2
z + z zy
2
2 = (2x
2
x
2
z ) + (2y
2
y
2
z) + (z - 2)
= x
2
(2 - z) + y
2
(2 - z) 2 z = (x
2
+ y
2
- 1) (2 - z)
Ngoi ba phng phỏp trờn cú th phi hp ng thi c ba phng phỏp gii.
1.4.Phi hp nhiu phng phỏp:
a. Phng phỏp :
Chn cỏc phng phỏp theo th t u tiờn : -t nhõn t chung
Dựng hng ng thc
Nhúm nhiu hng t.

b.Vớ d : Phõn tớch a thc thnh nhõn t:
3x
3
y - 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy
a thc ny xột xem cú th nhúm cỏc s hng thớch hp no nhm lm xut
hin nhõn t chung hoc dng hng ng thc .
3x
3
y - 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy = 3x

y(x
2
- 2x y
2

2ay a
2
+ 1)
= 3xy (x
2
- 2x +1) (y
2
2ay a
2
) = 3xy(x -1)
2
(y- a)
2
= 3xy (x -1)

(y+ a) . (x -1)

+ (y+ a)

= 3xy (x -1

y - a).(x -1

+ y+ a)
1.5 . Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử :
a.Phơng pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn
rồi áp dụng phơng pháp nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc đặt nhân
tử chung:
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2

6x + 8
Đa thức trên không chứa nhân tử chung , không có dạng một hằng đẳng thức đáng
nhớ nào , cũng không thể nhóm các hạng tử . Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có
nhiều hạng tử hơn.
Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai).
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8 = (x
2
- 2x ) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x- 2) = (x -2)(x -4)
Cách 2: (Tách hạng tử thứ ba)
x
2
6x + 8 = x
2
6x + 9 1 = (x
2
6x + 9) 1 = (x 3)
2
1
= (x 3 1)( x 3 + 1) = (x 4)(x -2)
1.6 . Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
a. Phơng pháp :
Thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng
hoặc nhân tử chung .
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : x
4
+ 4

Giáo viên có thể gợi ý : Bằng phơng pháp đã học không thể giải quyết đợc thì ta
nghĩ đến phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử 4x
2

x
4
+ 4 = x
4
+ 4 + 4x
2
4x
2
= (x
4
+ 4x
2 + 4
) - 4x
2
= (x
2
+ 2)
2
- 4x
2

=( x
2
+ 2 -2x)( x
2
+ 2 + 2x)

Nhiều khi với những phơng pháp thông thờng trên vẫn cha đáp ứng đợc yêu cầu
phân tích đa thức thành nhân tử .Sau đây là một số phơng pháp đặc biệt .
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp đặc biệt :
2.1. Phơng pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ).
a. Phơng pháp :
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu
thức xuất hiện nhiều lần, ta đặt biểu thức ấy làm biến phụ từ đó đa đợc về đa thức
đơn giản hơn.
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử :
A = (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x - 3) 5
Đặt (x
2
+ 3x + 1) = y
A = y(y - 4) 5 = y
2
+ y - 5y - 5 = y (y + 1) - 5(y + 1) = (y +1)(y - 5)
Thay (x
2
+ 3x + 1) = y vào ta có : A = (x
2
+ 3x + 2) (x
2
+ 3x - 4)
= (x +1)(x + 2)(x -1)(x + 4)
2.2. Phơng pháp xét giá trị riêng:
a. Phơng pháp : Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các

biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại.
b.Ví dụ : P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x -y)
Thay x bởi y thì : P = y
2
(y - z) + y
2
(z -y) = 0
Nh vậy P cha thừa số (x - y)
Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi, đa thức P có
thể thay đổi vòng quanh .
Do đó nếu P đa chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa thừa số (y - z)(z -x)
Vậy P có dạng :k(x - y)(y - z)(z -x)
Ta thấy k là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z vì đẳng thức :
x
2
(y - z) + y
2
(z - c) + z
2
(x -y) = k(x - y)(y - z)(z -x)
đúng với mọi x,y,z .Nên ta gán cho các biến x,y,z các giá trị riêng .
Chẳng hạn : x = 2, y = 1, z= 0 ta đợc: 4.1 + 1(-2) + 0 = k.1.1.(-2) => k = 1
Vậy P = -(x - y)(y - z)(z -x) = (x - y)(y - z)(z -x)
2.3 Phơng pháp hệ số bất định

a. Phơng pháp :
Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc
nhất ,một đa thức bậc hai dạng: (a + b)(cx
2
+ dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ
số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.
b.Ví dụ :
1, x
3
+ 11x + 30
Kết quả cần tìm có dạng : (x + a)(x
2
+ bx + c)
Vì (x + a)(x
2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b) x
2
+ (ab + c)x + ac
Nên x
3
+ 11x + 30 = x
3
+ (a + b) x
2
+ (ab + c)x + ac
Ta có a + b = 0
ab + c = 11
ac = 30

Có thể chọn: a =2, b = -2, c = 15 là bộ số thoã mãn (=> ac = 30)
Vậy x
3
+ 11x + 30 = (x + 2)(x
2
- 2x + 15)
2, x
3
- 19x 30
Nếu đa thức này phân tích đợc thành nhân tử thì tích đó phải có dạng :
x(x
2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b) x
2
+ (ab + c)x + ac
Vì hai đa thức này đồng nhất nên :
a + b = 0
ab + c = -19
ac = -30
Chọn a = 2, c = -15 khi đó b = - 2 thoả mãn
Vậy x
3
- 19x - 30 = (x + 2)(x
2
- 2x - 15)
2.4 Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức :
a. Phơng pháp :
Cho đa thức f(x),a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0 .Nh vậy nếu đa thức

f(x) chứa nhân tử (x - a) thì a phải là nghiệm của đa thức .
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do.
b. Ví dụ : x
3
+ 3x 4
Nếu đa thức có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử x - a) thì nhân tử còn lại có
dạng (x
2
+ bx + c) => - ac = 4 => a là ớc của 4.
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử
không đổi Ư(- 4) =
{ }
4;4;2;2;1;1
Sau khi kim tra thy 1 l nghim ca a thc => a thc cha nhõn t (x 1)
Do vy ta tỏch cỏc hng t ca a thc lm xut hin nhõn t chung (x 1)
Cách 1: x
3
+ 3x
2
– 4 = x
3
- x
2
+ 4x
2
– 4 = x
2
(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1)
= (x - 1)(x
2

+ 4x + 4) = (x - 1)(x

+ 2)
2
Cách 2: x
3
+ 3x
2
– 4 = x
3
- 1 + 3x
2
– 3 = (x
3
- 1) + 3(x
2
– 1)
= (x - 1)(x
2
+ x + 1) +3(x
2
– 1) = (x - 1)(x

+ 2)
2
Chú ý 1:
-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x - 1)
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc
lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1).
Ví dụ: x

2
- 5x + 8x – 4 có : 1 – 5 + 8 – 4
Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số (x - 1)
x
3
- 5x
2
+ 3x + 9 có : -5 + 9 = 1 + 3
Đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1)
Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
Trong đa thức với hệ số nguyên ,nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng p/q .Trong đó p
là ước của hạng tử không đổi ,q là ước dương của hạng tử cao nhất.
Ví dụ: 2x
3
- 5x
2
+ 8x – 3
Nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên là :-1 ; 1 ;-1/2 ; 1/2 ; -3/2 ; 3/2 ;3 ;…Sau khi
kiểm tra ta thấy x = -1/2 là nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử (2x - 1). Do
đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1).
2x
3
- 5x
2
+ 8x – 3 = 2x
3
- x
2
- 4x
2

+ 2x + 6x – 3
= x
2
(2x - 1) – 2x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1) (x
2
- 2x + 3)
Chú ý 2: Có thể nhận định đa thức :f(x) = a
n
x
n
+ a
(n – 1)
x
n – 1
+…+ a
o

với a
1
> a
2
… a
n

∈
Z . Nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ p/q thì p/a
0
> q/a
n

 Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x) khi phân tích thành nhân tử có một hạng tử là
x – a dựa vào hệ quả định lý Bezout
“ Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x)

x – a ”
Như vậy đối với đa thức bậc 2, bậc 3 mà nhẩm nghiệm không có nghiệm hữu tỉ thì
đa thức đó sẽ không phân tích được thành nhân tử.
PHẦN II : ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ .
1. Bài toán rút gọn biểu thức.
• Đường lối giải :
Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số . phân tích tử thức và mẫu thức
thành nhân tử chung rồi rút gọn đồng thời tìm TXĐ của biểu thức thông qua các
nhân tử nằm ở dưới mẫu .
Với học sinh nhằm rèn luyện kĩ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử vào loại bài rút gọn , giúp học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa
các kiến thức phát triển trí thông minh .
Ví dụ : Cho A = (
3
2
+
−
x
x
-
2
3
+
−
x

x
+
65
2
2
++
−
xx
x
)
a. Rút gọn
b. Tình giá trị của A với x = 998
Giải : a. Rút gọn với x
≠
- 2; x
≠
- 3
A = (
3
2
+
−
x
x
-
2
3
+
−
x

x
+
65
2
2
++
−
xx
x
)
A =
)3)(2(
)2()3)(3()2)(2(
++
−++−−+−
xx
xxxxx
A =
)3)(2(
294
22
++
−++−−
xx
xxx
=
)3)(2(
)3(
++
+−

xx
x
= -
2
1
+x
b. Tính A với x = 998 . A = -
2998
1
+
= -
100
1
2 . Bài toán giải phương trình:
* Đường lối giải.
Với các phương trình bậc 2 trở lên việc áp dụng các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử rất quan trọng ,vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì được dạng
phương trình tích : A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0
Ví dụ : Giải phương trình: (4x + 3)
2
– 25 = 0
Áp dụng phương pháp phân tích vế trái thành nhân tử đưa phương trình về dạng
(4x + 3)
2
– 25 = 8(2x - 1)(x + 2)
8(2x - 1)(x + 2) = 0
 x =1/2 hoặc x = -2
Áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân tử đưa phương
trình về dạng : (2x - 1)(x + 2) = 0
=> x = 1/2 hoặc x = -2

3 . Bài toán giải bất phương trình :
* Đường lối giải .
Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì
việc rút gọn biểu thức vào bất phương trình thành đa thức và mẫu thành nhân tử
đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình về dạng bất phương trình tích
(A.B < 0) hoặc (A.B > 0) hay bất phương trình thường
Ví dụ : Giải bất phương trình
a ,
1
2
+
−
x
x
- 1 >
1
23
−
+
x
x
- 3
Điều kiện : x
≠
- 1 và x
≠
1 ,bất phương trình đã cho tương đương với :
2
12
+

−−−
x
xx
-
1
3323
−
+−+
x
xx
> 0

1
3
+
−
x
-
1
5
−x
> 0 
1
3
+x
+
1
5
−x
< 0 

)1)(1(
5533
−+
++−
xx
xx
< 0 
)1)(1(
28
+−
+
xx
x
< 0
Sử dụng phương pháp bảng ta có x < -1 hoặc -1/4 < x < 1
b , x
2
– 2x + 1 < 9
Giải : Cách 1: x
2
– 2x + 1 < 9  (x - 1)
2
< 9 
1−x
< 3
 - 3 < x – 1 < 3  - 2 < x < 4
Cách 2: Biến đổi thành bất phương trình dạng tích :
x
2
– 2x + 1 < 9  x

2
– 2x - 8 < 0  (x + 2)(x - 4) < 0
Sử dụng phương pháp bảng ta có : - 2 < x < 4
4. Bài toán chứng minh về chia hết :
* Đường lối giải .
Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết
Ví dụ :
1 . Chứng minh rằng
∀
x thuộc Z ta có biểu thức P = (4x - 3)
2
– 25 chia hết cho 8
Phân tích : P = 8(2x - 1)(x + 1) chia hết cho 8
2 . Chứng minh rằng với n
∈
Z thì biểu thức
3
n
+
2
2
n
+
6
6
n
là số nguyên
Biến đổi đưa biểu thức về dạng :
6
32

32
nnn ++
Và chứng minh : (2n + 3n
2
+ n
3
) chia hết cho 6
2n + 3n
2
+ n
3
= n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp vì vậy ít nhất một
thừa số chia hết cho 2,một thừa số choa hết cho 3. Mà (2;3) = 1 nên tích này chia
hết cho 6.
Vậy
∀
n
∈
Z thì
3
n
+
2
2
n
+
6
6
n
là số nguyên .

C . KẾT LUẬN .
Trên đây tôi đã hệ thống lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử thường hay sử dụng ở bậc trung học cơ sở và bốn loại bài toán áp dụng kỹ năng
phân tích đa thức thành nhân tử .Tuy nhiên có một số bài tập khác (không điển
hình)có vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử .Với phương pháp và bài tập vận
dụng tôi nêu ở trên đã giúp học sinh phát triển tư duy, sáng tạo tìm tòi phương pháp
giải nhanh hơn , thông minh hơn .Từ các phương pháp và bài tập tôi mong các em
không chỉ giải từng bài một cách máy móc mà phải biết phân tích đặc điểm của
từng bài để xem xét nên vận dụng phương pháp nào vào phân tích.
Trong quá trình giảng dạy tôi cũng đã và đang vận dụng cách làm trên đây
.Tuy nhiên vì đối tượng học sinh là học sinh đại trà nên chủ yếu chỉ đi sâu vào
phương pháp thông thường và một số phương pháp đặc biệt vào các buổi phụ đạo
buổi chiều .Khi sử dung các phương pháp đặc biệt giáo viên cần tác động đén từng
đối tượng sao cho phù hợp, như học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỉ ,học sinh khá
,giỏi nêu ra nét cơ bản hướng dẫn theo con đường ngắn nhất.có như vậy học sinh sẽ
tích cực tìm tòi và phát huy trí lực của mình .Với định hướng phân tích như vậy tôi
thấy số lượng học sinh làm được bài tập có tăng hơn và các em cảm thấy tự tin hơn
khi bắt gặp các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử .Cụ thể khi làm phiếu
điều tra ở hai lớp 8A, 8B với đề bài :
Phõn tớch a thc thnh nhõn t
a , 2x(y - z) + 5y(y - z) b , 9x
2
4
c , 2x
3
+ 2x 3x
2
-3 d , 4x
2
+ 4x 3

e , B = 6x
4
11x
2
+ 3
Kt qu cho thy :
- Hc sinh khụng cũn nhm ln gia cỏc phng phỏp
- Bit la chn v trỡnh by phng phỏp hp lớ, cht ch.
- T tin ,sỏng to hn khi lm bi.
C th:
Lp S s Gii Khỏ TB Yu Kộm
SL % SL % SL % SL % SL %
8A 32 3 9,4 10 31,3 15 46,9 2 6,2 2 6,2
8B 32 3 9,4 9 28,1 15 46,9 3 9,4 2 6,2

Qua quỏ trỡnh vit ti, qua hc hi kinh nghim ca nhiu anh, ch i trc tụi
mnh dn vit li nhng gỡ mỡnh ó lm, tuy tui ngh s phm cha c nhiu v
thu ỏo.Trong quỏ trỡnh dy, i vi tng i tng m tụi iu chnh sao cho phự
hp vi cỏc em, ụi lỳc giỏo viờn phi theo s tip thu ca hc sinh m t cõu hi
sao cho d hiu, cú th giỳp gi m cỏc em t duy. Nhng bi a ra khụng nờn
quỏ d, phi cú d, phi cú khú dn, hc sinh s khụng nn m s tỡm cỏch gii
quyt bi toỏn tt hn.
Mc ớch ca tụi l lm nh th no rỳt ra c kinh nghim cho bn thõn, giỳp
cho kh nng dy hc ca mỡnh nõng cao hn, gim thiu hc sinh chỏn hc.
ng thi cng rt mong s úng gúp chõn thnh t cỏc bn, anh, ch ng
nghip, ca hi ng khoa hc cỏc cp tụi cú thờm nhng kinh nghim quý bỏu
trong dy hc. Bi theo tụi ngh bt kỡ õu, lm bt kỡ mt vic gỡ mun hon thnh
tt cụng vic thỡ ũi hi phi cú phng phỏp ỳng, cú s rốn luyn, s n lc t
phn u vn lờn ca mi cỏ nhõn mỡnh .
Khi dy dạng toán này tôi rút ra cho bản thân một số kinh nghiệm sau :

+ Cần cũng cố một số kiến thức cơ bản khi dạy dạng toán này để hộ trở lúc làm bài
cho học sinh.
+ Hệ thống các phơng pháp cơ bản để giải loại toán đó .
+ Hớng dẫn học sinh cách suy nghĩ để tìm tòi, lựa chọn phơng pháp phù hợp giải
quyết bài toán một cách nhanh chóng .