pp tìm cực trị

Bài thảo luận nhóm 4

Chủ đề :

Phương pháp tìm cực trị địa phương
và cực trị có điều kiện


Thành viên nhóm:

Nguyễn Thị Ngọc Tú
Phi Thị Tươi
Bùi Thị Uyên
Nguyễn Kim Xuyến
Nguyễn Ngọc Yến
Bùi Văn Hùng
Vũ Thị Thủy
Lê Thị Ninh

Văn Thị Thu Giang


Cực trị địa phương

Cực trị có điều kiện


Cực trị địa phương
1. Định nghĩa

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên D. Ta nói rằng hàm số đạt cực đại địa phương(cực tiểu địa phương) tại điểm M 0

(x0;y0) D, nếu tồn tại một lân cận U của điểm M0 (x0;y0) sao cho với mọi (x;y)

Ta có:

∈
∈

U, (x,y)≠(x0;y0).

f (x,y) < f (x0;y0)
hoặc f (x,y) > f (x0;y0)

Điểm M0 (x0;y0) được gọi là điểm cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) của hàm số z = f (x;y) và f (x 0;y0) được
gọi là giá trị cực đại địa phương (giá trị cực tiểu địa phương) gọi tắt là CĐĐP (CTĐP) gọi chung là cực trị địa phương.


Cực trị địa phương
 

2. Điểm dừng
Điểm M0 (x0;y0) được gọi là điểm dừng của hàm số z = f (x;y) nếu:

Bổ đề: Nếu hàm số z = f (x;y) khả vi trong miền D, có cực trị địa phương tại điểm P
bằng 0.

∈

D thì tại điểm nay các đạo hàm riêng

Nhận xét: Một hàm số có thể không có đạo hàm riêng tại các điểm cực trị địa phương của nó.

Cực trị địa phương
 

VD: Z =
Z≥0

x,y

R

2

∀

∈

Z=0
Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại O(0,0), zCT = z (0,0) = 0

∂
∂x

 

        (0,0)
z = =

∂

∂y

z ==
        (0,0)
 

=> không xác định

=> không xác định


Cực trị địa phương
3.Phương pháp tìm cực trị địa phương của một hàm số khả vi trong miền D

 

Z = f (x;y) khả vi trong (D)

•
•
•
•

Tìm điểm dừng của hàm số từ việc giải hpt
Giả sử P (a,b)

A=

∂2 x
(a,b)2

∂.x

∆ = AC - B

B=

∂2z
(a,b);
∂ x∂ y

2

•

hàm số có cực tiểu địa phương tại P(a,b)

•

hàm số có cực đại địa phương tại P(a,b)

 

 

C=

∂2z
(a,b)
∂y 2

Cực trị địa phương
 

•

∆ < 0  Không đạt cực trị tại P

•

∆ = 0  Chưa kết luận được.

Khi đó ta xét số gia ∆
∆ (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) – f (x0;y0)
Nếu


Cực trị địa phương
 

2
2
VD: Tìm cực trị của hàm số z = x – xy + y – 2x + y
Hàm số khả vi trên R

2

 

 

A=

∂2 x
(1,0)2 = 2
∂.x
∂z
(1,0) = -1
∂ x∂ y
∂2z
(1,0) = 2
∂y 2
2

B=

C=

 

 

=> điểm dừng P (1,0)

2
∆ = AC - B = 2.2 – 1 = 3 > 0
A=2>0

Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại P (1,0)

Cực trị địa phương
VD: Tìm cực trị địa phương của hàm số
4
4
2
f(x,y) = x + y – 2(x-y)
TXĐ: D = R

2

 z ' x = 4 x 3 − 4( x − y )
 '
 z y = 4 y 3 + 4( x − y )
 z x = 0
 '
 z y = 0
'





4 x 3 − 4( x − y ) = 0
 3
4 y + 4( x − y ) = 0

 z ' x − z ' y = 4[( x − y ) 3 − 2( x − y )] = 4( x − y )( x 2 + y 2 + xy − 2) = 0
 '
 z y + z ' x = 4( x 3 + y 3 )

2
2
 x − y = 0 hay x + y + xy − 2 = 0
 3
3
3
y
=
−
x
=
(
−
x
)



Cực trị địa phương

x = y

 y = −x
x = 0

y = 0

hay

hay

 x 2 + y 2 + xy − 2 = 0

 y = −x
 x = 2
 x = − 2
hay


 y = − 2
 y = 2

 

Điểm dừng P1 (0,0), P2 (, -, P3(- )

∂2 z
= 4;
∂ x∂ y

∂2x
2
=
12
x
− 4;
2
∂.x

∂2z
2
=
12
y
−4
2
∂y

a. điểm dừng P1 (0,0)

A=

∂2 x
(0,0)2 = -4
∂.x

B=

∂2z
(0,0) = 4
∂ x∂ y

C=

∂2z
(0,0)
2 = -4
∂y

Cực trị địa phương
2
2
∆ = AC - B = (-4).(-4) – 4 = 0

Xét

1 1
X n ( , ) (n ∈ R)
n n

∀r > 0, ∃n
Khi đó:

đủ lớn để

f(X n ) − f(X 0 ) =

X n ∈ B (X 0 , r)
1 1
2
+
+
0
−
0
=
>0
4

4
4
n n
n

Do đó f (X0) không là cực đại địa phương của f
Xét

Xm (

1
,0) (m ∈ R)
m

∀r > 0, ∃m
Khi đó:

đủ lớn để

X m ∈ B (X 0 , r)

f(X m ) − f(X 0 ) =

Ta chọn được m đủ lớn để

1
1 −2
−
= 4
4

2
m m m
−2
<0
4
m


Cực trị địa phương
Do đó f (X0) không là cực tiểu địa phương của r
 

b. tại điểm dừng P=(±);
 

A=

 

C=

∂2 x
(±) =2 20
∂.x
∂2z
(±);2 = 20
∂y

2
2

∆ = AC - B =20.20 – 4 = 384>0
Ta lại có: A=20>0
=> f (X0) là cực tiểu địa phương của f

 

B=

∂2z
(±) = 4
∂ x∂ y


Cực trị có điều kiện

Bài toán tìm cực trị có điều kiện là bài toán tìm cực trị thông thường của hàm số u = f (x 1,x2,…,xn) với các điều kiện
ràng buộc Fi (x1,x2,…,xn)

ϕ ( x, y ) = 0

i = 1…m , mTìm cực trị của hàm số u = f (x,y) với điều kiện ràng buộc

Trường hợp 1: Nếu từ
một biến số u = f(x,g(x))

Trường hợp 2: Nếu từ

ϕ ( x, y ) = 0

rút ra y = g(x) thì bài toán tìm cực trị trên trở thành bài toán tìm cực trị của hàm số

ϕ ( x, y ) = 0

không rút ra được y thì dùng phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1: Thành lập hàm Lagrange

F (x, y) = f (x, y) + λ ϕ (x, y)

λ(

gọi là nhân tử Lagrange )


Cực trị có điều kiện

λ

Tìm M0(x0,y0, ) từ hệ :

F' x (x, y) = 0
 '
F y (x, y) = 0
ϕ (x, y) = 0


ϕ (x, y) = 0

Tính vi phân cấp 2 của hàm số F từ điều kiện ràng buộc

ϕ ' x .dx + ϕ ' y .dy = 0 => dy =
Thay vào

− ϕ 'x

ϕ

'

y

d 2 F ( x, y ) = G ( x, y, λ )dx 2

dx


Cực trị có điều kiện
Nếu

G ( x,> 0y , =>
λ ) dx 2

Nếu

G ( x<, 0y , =>
λ ) dx 2 là điểm cực đại M ( x0 , y0 )

là điểm cực tiểu

M ( x0 , y0 )


Cực trị có điều kiện
2
2
VD: Tìm cực trị của hàm số z = 6 – 4x – 3y với dx: x + y = 1

Hàm

ϕ (x, y) = x 2 + y 2 − 1

F(x, y) = f(x, y) + λϕ (x, y) = 6 - 4x - 3y + λ (x 2 + y 2 − 1)
F ' x = 0
 '
F y = 0
ϕ ( x, y ) = 0






2

x
=
(1)

λ


3

(2)
y =
2λ

x 2 + y 2 − 1 = 0



 − 4 + 2λ x = 0

 − 3 + 2λ y = 0
x2 + y 2 −1 = 0


Thế (1),(2) vào (3)

(3)


Cực trị có điều kiện

(3) 





λ=
λ=

5
2

-5
2

2 2
3 2
( ) +(
) −1 = 0
λ
2λ
4
9
+
−1 = 0
2
2
λ
4λ
25 = 4λ2









5

λ
=

2

λ = − 5

2

4
3
x = ; y = =>
5
5
x=

-4
−3
; y=
5
5

25
−1 = 0
2

4λ

4 3
M1 ( , )
5 5
=>

M2 (

-4 −3
, )
5 5


Cực trị có điều kiện

∂2x
= 2.λ
2
∂.x

∂2z
=0
∂ x∂ y

∂2z
= 2.λ
2
∂y

2
2
2
∂
F
∂
F
∂
F
d 2 F = 2 dx 2 + 2
+ 2 = 2λ (dx 2 + dy 2 )
∂x
∂x.∂y ∂y

5
λ=
=>
2

d F(M1) > 0 =>

5
=>
2

d 2 F(M1) < 0 =>

λ=−

 

2

Điểm M1( ,) là điểm cực tiểu

 

M2( ,) là điểm cực đại


Cảm ơn cô và
các bạn đã lắng nghe