SKKN tìm cực trị của biểu thức

Một số phơng pháp giải toán cực trị
Mở đầu
I - Cơ Sở th c tiễn
Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vợt trội,
những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục nào đó mà
không ai vợt qua đó là cái "nhất".Trong toán học cũng vậy trong mỗi lĩnh vực lại
có những đại lợng "lớn nhất" hay "hỏ nhất" ngời ta thờng gọi là các bài toán cực
trị, các bài toán này rất phổ biến trong các đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các
trờng Cao đẳng, Đại học cũng nh các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm Nội dung
các bài toán cực trị rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp
lý, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ.
ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã đợc làm quen với loại toán này
với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó
cũng không dễ dàng với học sinh.
Với những lí do nh vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài Một số phơng pháp
giải toán cực trị. Với mong muốn đợc trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của
mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc sự đóng góp chân thành để đề tài
đợc phát huy hiệu quả.
II - Nhiệm vụ của sáng kiến:
1/ Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu:
- Đối tợng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9)
- Phơng pháp nghiên cứu:
+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
+ Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dỡng học sinh giỏi toán
lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện.
+ Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng
dạy chuyên đề.
1
Một số phơng pháp giải toán cực trị
+ Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp
2/ Nhiệm vụ của sáng kiến:

- Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra đợc sai lầm thờng
mắc phải.
- Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất,
đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải.
- Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng
phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến khích
học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả năng t duy
linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc lòng say mê, sáng tạo, ngày càng
tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị.
III - Nội dung sáng kiến:
Chơng I: Một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Những sai lầm thờng mắc phải khi giải toán cực trị.
Chơng II: Một số phơng pháp tìm cực trị
1/ Phơng pháp tam thức bậc hai
2/ Phơng pháp miền giá trị
3/ Phơng pháp bất đẳng thức.
2
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Chơng I:
Kiến thức cơ bản
I - Định nghĩa:
1/ Định nghĩa 1:
Cho biểu thức
,...),( yxf
xác định trên miền
D
, ta nói
M
là giá trị lớn
nhất của

,...),( yxf
trên
D
nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:
i) Với
..., yx
thuộc
D
thì
Myxf

,...),(
với
M
là hằng số.
ii) Tồn tại
...,
00
yx
thuộc
D
sao cho
Myxf
=
,...),(
2/ Định nghĩa 2:
Cho biểu thức
,...),( yxf
xác định trên miền
D

, ta nói
m
là giá trị nhỏ
nhất của
,...),( yxf
trên
D
nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:
i) Với mọi
..., yx
thuộc
D
thì
myxf

,...),(
với
m
là hằng số.
ii) Tồn tại
...,
00
yx
thuộc
D
sao cho
myxf
=
,...),(
.

Chú ý: Để tranh sai lầm thờng mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần
nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản xạ sau:
+ Chứng tỏ
Myxf

,...),(
hoặc
myxf

,...),(
) với mọi
,..., yx
thuộc
D
+ Chỉ ra sự tồn tại
...,
00
yx
thuộc
D
để
,...),( yxf
đạt cực trị.
Chú y đến miền giá trị của biến.
Ta ký hiệu
MaxA
là giá trị lớn nhất của
MinAA,
là giá trị nhỏ nhất của
A

II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số:
1/ Tính chất 1: Giả sử
BA

khi đó ta có:
a/
)(max)( xfxfMax
BxAx

b/
)(min)( xfxfMin
Bx
Ax



3
Một số phơng pháp giải toán cực trị
2/ Tính chất 2: Nếu
0),(

yxf
với mọi
x
thuộc
D
, ta có:
a/
)(max)(

2
xfxfMax
DxDx

=

)(min)(
2
xfxfMin
Dx
Dx


=
3/ Tính chất 3:
)()())()(/
21
xfMaxxfMaxxgxfMaxa
DxDxDx

++

)1(
)()())()(/
21
xfMinxfMinxgxfMinb
DxDxDx

++

)2(
Dấu bằng trong
)1(
xẩy ra khi có ít nhất một điểm
0
x
mà tại đó
)(xf
và
)(xg
cùng đạt giá trị lớn nhất. Tơng tự nếu tồn tại
0
x
thuộc
D
mà tại đó
gf ,
cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì
)2(
có dấu bằng.
4/ Tính chất 4:
))((min)(
1
xfxfMax
Dx
Dx
=


5/ Tính chất 5:

Nếu đặt
)(xfMaxM
Dx

=
,
)(min xfm
Dx

=
thì
{ }
mMMaxxfMax
DxDx
,)(

=
.
6/ Tính chất 6:
Giả sử
{ }
0)(;
1
=
xfDxD
và
{ }
0)(;
2
=

xfDxD
thì

{ }
)(min);(max)(
2
1
xfxfMinxfMin
Dx
DxDx


=
Khi dạy phần này, giáo viên nên hớng dẫn học sinh chứng minh các tính
chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh
đợc sai lầm khi vận dụng giải bài tập.
Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ
cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số
)(xf
nhng xét trên hai TXĐ khác nhau thì
nói chung giá trị lớn nhất tơng ứng khác nhau. Để cho phù hợp với chơng trình các
lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị
trên một tập hợp nào đó.
4
Một số phơng pháp giải toán cực trị
III - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán cực trị:
1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
544
3

2
+
=
xx
A
Lời giải sai: Phân thức
A
có tử số là số không đổi nên
A
có giá trị lớn
nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có:
xxxx
+=+
,44)12(544
22
x
xx

+

,
4
3
544
3
2
2
1
4

3
==
xAMax
Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khi khẳng định
A
có tử số
là số không đổi nên
A
có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất mà cha đa ra nhận
xét tử mẫu là các số dơng.
Ta đa ra một ví dụ:
Xét biểu thức
4
1
2

=
x
B
Với lập luận phân thức
B
có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu
nhỏ nhất do mẫu nhỏ nhất bằng
4

khi
0
=
x
, ta sẽ đi đến:

4
1
max
=
B
không
phải là giá trị lớn nhất của
B
, chẳng hạn với
3
=
x
thì
4
1
5
1

.
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã
máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang
hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét:
44)12(544
22
+=+
xxx
nên tử và
mẫu của A là các số dơng. Hoặc từ nhận xét trên suy ra
0

>
A
, do đó
A
lớn nhất
khi và chỉ khi
A
1
nhỏ nhất
544
2
+
xx
nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
22
yxA
+=
biết
4
=+
yx
Lời giải sai:
Ta có:
xyyxA 2
22
+=
Do đó
A
nhỏ nhất

xyyx 2
22
=+

2
==
yx
Khi đó
822
22
=+=
MinA
5
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm. Ta
mới chứng minh đợc
),(),( yxgyxf

, chứ cha chứng minh đợc
myxf

),(
với
m
là hằng số.
Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng
44
2

xx

sẽ suy ra:
2
x
nhỏ nhất
20)2(44
22
===
xxxx
.
Dẫn đến:
24
2
==
xMinx
Dễ thấy kết quả đúng phải là: min
00
2
==
xx
Cách giải đúng:
Ta có:
1624)(
2222
=++=+
yxyxyx
)1(
Ta lại có:
020)(
222

+
yxyxyx
)2(
Từ
)1(
,
)2(
:
816)(2
2222
++
yxyx
Vậy
28
===
yxMinA
2/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
xxA
+=
Lời giải sai:
4
1
2
1
4
1
4
1
2

+=






++=+=
xxxxxA
Vậy
4
1
=
MinA
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh
,
4
1
)(

xf
cha chỉ ra trờng hợp
xẩy ra dấu đẳng thức

.
4
1
)(

xf
Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi
,
2
1
=
x
vô lý.
Lời giải đúng:
Để tồn tại
x
phải có
0

x
Do đó
0
+=
xxA
Min
00
==
xA
VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:
))(()( xzxyyxxyzA

+++=
Với
0,,

zyx
và
1
=++
zyx
6
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức:
2
)(4 baab
+
1)()(4
2
=+++
zyxzyx
1)()(4
2
=+++
xzyxzx
1)()(4
2
=+++
yxzyxx
Nhân từng vế (do hai vế đều không âm)
1)))((64
+++

xzxyyxxyz
64
1
=
MaxA
Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra dấu
đẳng thức. Điều kiện để
64
1
=
A
là:
Cách giải đúng:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
3
.31 xyzzyx
++=
)1(
3
))()((.3)()()(2 xzzyyxxzzyyx
++++++++=

)2(
Nhân từng vế
)1(
với
)2(
do 2 vế đều không âm)
3
3

9
2
.92







AA
3
1
9
2
3
===






=
zyxMaxA
7

=++
=+
=+
=+
0,,
1
zyx
zyx
yxz
xzy
zyx






=++
===
0,,
1
0
zyx
zyx

zyx

mâu thuẩn