Đề HSG Toán 9 Hải Phòng 2016

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
CẤP THCS NĂM HỌC 2015 - 2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 12/ 4/ 2016

Bài 1. (2,0 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức
với
.
ương thỏa mãn điều kiện:
b) Cho x, y, z là các số thực d
.
Rút
gọn
biểu
thức:
.
Bài 2. (2,0 điểm)
là hai nghiệm của phương trình
và
là
a) Giả
hai nghiệm
của sử
phương trình

.
Chứng minh:
b) Giải hệ phương trình:
.
Bài 3. (2,0 điểm)
a)
Tìm
ba
số
x,
y,
z
nguyên
dương
thỏa
mãn:
và
là số nguyên tố.
b) Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:
.
Bài 4. (3,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC cân tại A (
), vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với
hai cạnh AB, AC lần lượt tại điểm B, điểm C. Trên cung BC của (O) nằm trong
tam giác ABC lấy một điểm M
. Gọi I; H; K theo thứ tự là hình chiếu
của điểm M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm
của MC với IH. Gọi (O 1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK và
MQH. Gọi D là trung điểm của đoạn BC; N là giao điểm thứ hai của (O 1) và (O2).
Chứng minh:

a) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 ).
b) ba điểm M, N, D thẳng hàng.
2. Trên dây cung AB của (O) (AB không đi qua tâm O) lấy hai điểm P và Q
sao cho AP = PQ = QB. Vẽ bán kính OK, OH thứ tự qua điểm P và điểm Q.
Chứng minh
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho 2017 đường thẳng phân biệt đều cắt hai cạnh đối của một hình vuông
thành hai phần có tỉ số diện tích là 1:2. Chứng minh rằng trong 2017 đường thẳng
trên có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.
---------Hết--------(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:................................................Số báo danh:.................................................
Giám thị 1:............................................................Giám thị 2:...................................................