phương pháp giảng dạy: SỬ DỤNG CÂU HỎI KẾT THÚC MỞ TRONG PHÁT TRIỂN TƯ DUY CỦA HỌC SINH CÓ NĂNG KHIẾU TOÁN

Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

SỬ DỤNG CÂU HỎI KẾT THÚC MỞ
TRONG PHÁT TRIỂN TƯ DUY
CỦA HỌC SINH CÓ NĂNG KHIẾU TOÁN
I. MỞ ĐẦU
Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn toán hiện nay ở trường trung
học phổ thông là phải tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động
tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Nhiệm vụ của người giáo viên là mở rộng trí tuệ của
học sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có.
Ý nghĩa của việc học không chỉ là tiếp nhận thông tin mà phải bao gồm sự suy xét, phê
phán có ý thức và việc học phải được thực hiện chính bởi học sinh. Học sinh phải tự mình
tích cực kiến tạo tri thức toán học cho bản thân, tham gia vào các quá trình: nghi vấn, thảo
luận, giải thích, bác bỏ... qua đó phát triển tư duy của bản thân.
Như vậy điều quan trọng trong giáo dục Toán là nâng cao tư duy của học sinh. Đặc biệt
là đối với học sinh có năng khiếu toán học thì yêu cầu đó lại càng đòi hỏi cao hơn. Bởi vì các
học sinh có năng khiếu đòi hỏi những cơ hội được suy nghĩ theo nhiều hướng khác nhau,
những vấn đề mở, mà thách thức các em và khuyến khích phát triển tư duy bậc cao. Các em
cũng cần một môi trường mà có thể thúc đẩy tự nghiên cứu sáng tạo toán học.
Một trong những cách để phát triển tư duy cho học sinh đó là sử dụng câu hỏi kết thúc
mở. Những câu hỏi có kết thúc mở tạo cơ hội cho học sinh bày tỏ sự hiểu biết của mình về
toán học, cho phép nhiều câu trả lời đúng và khuyến khích một cách suy nghĩ khác của học
sinh, cho phép các em thể hiện các cách giải toán riêng của bản thân. Qua đó giúp các em
phát triển khả năng tư duy toán học của chính mình, làm cho các em trở nên năng động, sáng
tạo, biết tự suy nghĩ để giải quyết các vấn đề mà các em gặp phải trong quá trình học và cuộc
sống.
II. NỘI DUNG

1. Câu hỏi kết thúc mở:
1.1. Phân biệt câu hỏi kết thúc đóng - câu hỏi kết thúc mở:
• Câu hỏi kết thúc đóng là dạng câu có cấu trúc hoàn chỉnh, khi đó một câu trả lời đúng
luôn được xác định rõ ràng theo một cách cố định nào đó từ những giả thiết được cho
trong bài toán
• Câu hỏi kết thúc mở là dạng câu hỏi mà GV đưa ra một tình huống mở và yêu cầu học
sinh phải hoàn thành câu trả lời. Vấn đề kết thúc mở cho phép HS trả lời một cách phù
hợp tùy theo mức độ tư duy của HS và có thể có nhiều lời giải đúng cho một câu hỏi.
Ví dụ:
• Viết ba số tiếp theo của dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, ..., ..., ....
Đây là câu hỏi kết thúc đóng.
• Xét dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, .... Số 106 có thuộc dãy này không. Giải thích tại sao?
Đây là câu hỏi kết thúc mở.
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

1


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

1.2. Đặc trưng của câu hỏi kết thúc mở:
• Không có phương pháp cố định
Ví dụ: Hãy đưa ra những hình ảnh của sự liên tục?
Các em có thể đưa ra ví dụ trời mưa suốt ngày (không lúc nào ngừng mưa), hoặc là hình ảnh
đường ray được gắn liên tục vào nhau cho tàu chạy, hoặc các em vẽ ra đồ thị của một hàm số

liên tục.
• Không có lời giải cố định, có thể có nhiều lời giải
Ví dụ: Vẽ đồ thị của một hàm số đa thức biết đồ thị đi qua hai điểm (-3;0) và (1;0).
Với câu hỏi này các em có thể vẽ được rất nhiều đồ thị, chẳng hạn y = x 2 + 2 x − 3 ,
y = x 3 + x − 5 x + 3 hoặc y = −3x 3 − 7 x + 7 x + 3 .
• Được giải quyết theo nhiều cách khác nhau và trên nhiều mức độ khác nhau
Ví dụ: Một con kiến bò từ một đỉnh A đến đỉnh đối diện B của một hình lập phương có cạnh
là 2. Hỏi con kiến nên đi theo đường nào thì lợi nhất?
Với câu hỏi này tùy theo mức độ cuả các em mà có các câu trả lời khác nhau:
 Mức 1: Con kiến sẽ đi theo các cạnh của hình lập phương như trong hình vẽ. Khi đó
độ dài đường đi là 2+2+2=6.
 Mức 2: Con kiến sẽ đi theo đường chéo của một mặt và một cạnh. Độ dài đường đi
trong trường hợp này là: 2+2 2 .
 Mức 3: Nếu ta tưởng tượng trải hình lập phương ra thì đoạn thẳng nối hai điểm A và B
chính là hành trình của con kiến, độ dài đường đi là 2 5 . Đây là cách đi ngắn nhất.

A

Møc 1

B

B

B

A

Møc 2

A

Møc 3

• Tạo cho HS cơ hội tự quyết định và cách suy nghĩ toán học một cách tự nhiên
• Phát triển những kĩ năng giao tiếp
2. Ưu điểm, hạn chế của câu hỏi kết thúc mở:
2.1. Ưu điểm của câu hỏi kết thúc mở:
• Vấn đề kết thúc mở thường đòi hỏi học sinh phải giải thích tư duy của mình, cung cấp
cho học sinh cơ hội để bày tỏ sự hiểu biết của mình
Ví dụ 1: Cho đồ thị của hai hàm số sau, xét xem hàm số nào liên tục, tại sao?
Các em có thể trả lời rằng:
y
 Cả hai hàm số f(x) và
y
g(x) đều liên tục vì
chúng đều được cho bởi
một công thức. (1)
 g(x) không liên tục vì nó
x
không xác định tại 0. (2)
1
x
f(x)=x2
2

2

-2

g(x)= (x≠0)
x
2
______________________________________________________________________________
-2
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

 g(x) không liên tục vì nó đạt vô cực tại 0. (3)
 g(x) không liên tục vì đồ thị của nó không phải là một mảnh. (4)
Các câu trả lời của học sinh cho thấy sự hiểu biết của các em về tính liên tục của hàm số đến
mức độ nào. Câu trả lời (1) là đúng nhưng mà là “đúng trong lập luận sai” khi các em nghĩ
rằng bất kỳ một hàm số nào cho bởi một công thức đều liên tục. Còn các câu trả lời (2), (3),
và (4) là sai cả về lập luận.
• Những câu hỏi kết thúc mở cũng giúp chúng ta chú trọng đến một nhu cầu khác.
Thông thường chúng ta quan tâm nhiều đến việc thực hiện các quy trình có tính thuật
toán hơn là khi nào thì dùng chúng. Do đó nhiều học sinh biết dùng các quy trình toán
nhưng không biết dùng nó như thế nào.
Ví dụ 2: Em có thể tính log −2 (−8) không? Giải thích tại sao có hay không có?
Có học sinh sẽ dùng định nghĩa lôgarit: vì (−2) 3 = −8 , nên theo định nghĩa ta có: log −2 (−8) = 3
, nhưng em đó đã không để ý là trong định nghĩa a c = b ⇔ c = log a b thì a, b phải là số dương.
• Những câu hỏi kết thúc mở sẽ cho phép giáo viên có cách nhìn tốt hơn về việc hiểu
của học sinh các chủ đề toán, từ đó để chúng ta có thể thiết kế cách dạy bắt đầu với
những gì học sinh đã biết rồi và có thể làm được điều gì.

Ví dụ 3: Khi được yêu cầu giải một hệ phương trình tuyến tính, học sinh có thể thành thạo
giải bằng các phương pháp như đồ thị, thế, khử. Nhưng khi yêu cầu: Hãy tạo một hệ phương
trình tuyến tính mà nghiệm của nó là (-2,

5
) thì nhiều học sinh sẽ gặp lúng túng. Như vậy
3

học sinh chỉ mới có sự hiểu biết máy móc, thuộc lòng quy trình để đưa ra câu trả lời đúng mà
không hiểu được ý nghĩa thực sự của hệ phương trình tuyến tính.
• Những câu hỏi kết thúc mở cho phép học sinh thảo luận trước lớp về cách giải, phát
triển kỹ năng lập luận toán học và kỹ năng giao tiếp. Từ đó giúp các em phát triển sự
tự tin về khả năng của mình để làm toán, giúp cho các em khám phá được khả năng
toán học tiềm tàng ở trong họ.
• Cho phép học sinh có những lời giải mới lạ, đặc biệt, sáng tạo theo các cách rất riêng
của mình. Cho phép học sinh tiếp cận giải quyết vấn đề theo các cách mà các em chọn.
Không chỉ dừng lại ở việc “có câu trả lời đúng” các em được thảo luận xem lời giải
nào là tốt nhất và những yếu tố nào đã làm cho lời giải tốt như vậy.
• Mở rộng suy nghĩ sáng tạo và trí tưởng tượng của học sinh.
2.2. Hạn chế:
• Việc soạn câu hỏi kết thúc mở là rất khó và mất thời gian, đòi hỏi người biên soạn
phải có khả năng toán và tay nghề sư phạm cao thì mới biên soạn tốt.
• Nếu sử dụng câu hỏi kết thúc mở không phù hợp với trình độ học sinh thì không
những không phát huy được tư duy của các em mà còn làm cho các em không hiểu
bài.
• Nếu giáo viên không khéo léo sử dụng thì khi dạy sẽ mất nhiều thời gian, có thể không
cung cấp đủ kiến thức cho học sinh trong mỗi tiết học.
3. Các cách tạo ra câu hỏi kết thúc mở:
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

3


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

Thông thường từ các câu hỏi kết thúc đóng ta chuyển sang câu hỏi kết thúc mở.
Ví dụ 4:
• Vẽ đồ thị hàm số: y=-2x+5.
Với câu hỏi kết thúc đóng này học sinh thường lấy hai điểm, chẳng hạn (0;5) và (1;3)
và chỉ vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm này.
• Vẽ đồ thị của phương trình đường thẳng với hệ số góc âm và cắt Ox tại điểm có tung
độ dương. Giải thích tại sao đồ thị thỏa mãn các điều kiện đó?
Đây là câu hỏi kết thúc mở, đòi hỏi học sinh phải biết về hệ số góc, về “cắt Ox” và
mối quan hệ của chúng trong mặt phẳng tọa độ. Với câu hỏi này học sinh có rất nhiều
cách vẽ thỏa mãn.
Ví dụ 5:
• Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y =

x−5
.
x+2

Đây là câu hỏi kết thúc đóng. Học sinh chỉ cần cho mẫu số x+2 bằng 0 để có x=-2 là
tiệm cận đứng.
• Đưa ra phương trình của một hàm hữu tỉ mà đồ thị có tiệm cận đứng là x=-2. Giải

thích tại sao phương trình mà em vẽ được thỏa mãn tiêu chuẩn đó?
Với câu hỏi kết thúc mở này học sinh cũng phải biết thế nào là hàm hữu tỉ và phải biết
ý nghĩa của nó khi nào thì có tiệm cận đứng. Các em có thể đưa ra rất nhiều hàm số:
y=

2x + 1
x 2 − 4x + 1
y
=
,
, ...
x+2
2+ x

3.1. Yêu cầu học sinh tạo ra một tình huống hay cho một ví dụ thỏa mãn một vài điều
kiện xác định: Các câu hỏi thuộc loại này đòi hỏi học sinh nhận ra được những nét đặc trưng
của khái niệm cơ bản.
Ví dụ 6: Cho ví dụ về biến cố có xác suất bằng 0. Tại sao nó có xác suất bằng 0 hoặc chỉ ra
rằng không thể có biến cố thỏa mãn điều kiện đó.
Với câu hỏi này học sinh phải biết thế nào là biến cố, thế nào là xác suất của biến cố, đồng
thời các em phải biết dùng lập luận của mình để giải thích. Có thể nhiều em sẽ nói rằng
không có biến cố có xác suất bằng không, vì lâu nay các em quen với kết quả tính xác suất
của các biến cố là một số khác 0.
3.2. Yêu cầu học sinh giải thích ai đúng, ai sai và tại sao: Các câu hỏi thuộc loại này đưa
ra hai hay nhiều mệnh đề và yêu cầu học sinh phải lựa chọn và giải thích.
Ví dụ 7: A nói rằng 3 không phải là nghiệm của đa thức 2 x 4 + ax 3 + 3 x 2 − 5 x + 10 , còn B nói
rằng 3 có thể là nghiệm của đa thức, điều đó còn phụ thuộc vào tham số a. Ai đúng, ai sai, tại
sao?
Qua đó giúp cho các em phát triển tư duy phê phán trong việc xét tính có lý của lời giải thu
được.

3.3. Yêu cầu học sinh giải hay giải thích bài toán bằng nhiều cách khác nhau:
Ví dụ 8: Nêu 5 phép dời hình khác nhau biến hình vuông ABCD thành chính nó.
Học sinh sẽ phải vận dụng tổng hợp kiến thức về các phép dời hình đã học như phép tịnh
tiến, phép quay, đối xứng trục, đối xứng tâm, hay là cao hơn là tích của các phép đó để chỉ ra
nhiều cách giải.
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

4


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

3.4. Yêu cầu học sinh giải quyết bài toán với dữ liệu bị mất, ẩn giả thiết:
Ví dụ 9: Phương trình sau có nghiệm không. Giải thích. Nếu có hãy chỉ ra nghiệm của nó:
x 2 + 2 = 0 (1)
Với câu hỏi này, có học sinh khẳng định ngay là (1) vô nghiệm, có em sẽ nhận ra thiếu giả
thiết là cần xét trên tập số nào và cho thêm giả thiết là x thuộc tập số thực thì vô nghiệm,
nhưng nếu x thuộc tập số phức thì (1) có nghiệm x = ± 2i .
3.5. Yêu cầu học sinh đặt đề bài cho bài toán phù hợp với các dữ liệu đã cho.
Ví dụ 10: Đặt đề bài toán thích hợp cho hình vẽ sau:
Học sinh tự cho đơn vị của hệ trục tọa độ, và có thể
đặt ra nhiều dạng đề toán khác nhau. Chẳng hạn: Với y(...)
x (tính bằng giây) và y (tính bằng m) thì ta có bài
C
toán:

A
B
Có 3 vận động viên tham gia thi chạy 200m. Hỏi:
• Ai thắng? Ai hoàn thành cuộc đua? (A thắng,
cả ba đều về đích)
• Chuyện gì xảy ra với B? (B ngã và sau đó tiếp
x(...)
tục chạy)
3.6. Yêu cầu học sinh giải quyết các bài toán có liên hệ với thực tế
Ví dụ 11: Có 6 học sinh A, B, C, D, E, F đi khám sức khỏe, kết quả được thể hiện trong sơ đồ
sau:
 Qua sơ đồ đó cho em biết những thông tin gì về họ? Cần chọn ra 2 người có hình dáng
cân đối nhất, theo em thì nên chọn ai? Giải chiÒu
A
C
thích cách chọn của em?
cao
D
B
Bài toán này đòi hỏi học sinh phải biết làm sáng tỏ
4
F
những thông tin từ đồ thị và phải biết liên hệ với
E
thực tế: người thế nào được gọi là cân đối, có nhiều
tiêu chuẩn, nhưng với giả thiết của bài toán thì “cân
2
đối” ở đây phải hiểu là cân đối giữa chiều cao và
cân nặng. Học sinh phải thể hiện kiến thức của
mình về mối quan hệ hàm số giữa chiều cao và

khối lượng. Học sinh có thể chỉ ra những ai có cúng
c©n
5 nÆng
chiều cao, cân nặng bằng nhau, và vẽ đường thẳng
từ gốc tọa độ qua các điểm có cùng tỷ số chiều
cao/cân nặng để tìm ra ai là cân đối nhất.
4. Vai trò của câu hỏi kết thúc mở trong việc phát triển tư duy của học sinh:
Sử dụng câu hỏi kết thúc mở trong dạy học có khả năng phát triển tư duy của học sinh,
đặc biệt là tư duy phê phán và tư duy sáng tạo.
4.1. Câu hỏi kết thúc mở giúp học sinh phát triển tư duy phê phán:
Tư duy phê phán là tư duy xem xét, liên hệ và đánh giá tất cả mọi khía cạnh của bài
toán. Nó bao gồm các khả năng như: khả năng đọc để hiểu, việc nhận ra cái gì đang được hỏi,
nhận ra rằng có những điều kiện không đủ, những điều kiện nào mâu thuẩn, việc xem xét tính
có lý của lời giải thu được.
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

5


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

Ví dụ 12: Bạn Nam nói “f(x)=mx(x+3)+(x+2)(x-5) luôn có hai nghiệm vì
f(0).f(-3)=-80<0”. Theo em bạn Nam nói đúng hay sai. Tại sao?
Với câu hỏi này có em sẽ cho Nam nói đúng. Có em sẽ thấy được điều kiện a ≠ 0 bị vi phạm
khi xem xét f(x) là tam thức bậc hai, vì khi m=-1 thì f(x)=-6x-10 chỉ có một nghiệm. Như vậy

các em nhận ra có điều kiện để xét f(x) là tam thức bậc hai là không đủ, từ đó dẫn đến việc
xem xét lời giải có hợp lý hay không, qua đó phát triển cho các em tư duy phê phán.
4.2.Câu hỏi kết thúc mở giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo:
Tư duy sáng tạo là tư duy có tính khởi đầu, hiệu quả và sản sinh ra một sản phẩm phức
tạp, có tính phát minh, trực giác và tưởng tượng. Nó bao gồm các khối kỹ năng như: tổng
hợp, tổng quát và áp dụng các ý tưởng.
Ví dụ 13: Cho a>0, b>0. Hãy so sánh

a + b và

a+b.

 Giải thích lập luận của em. Kết quả thu được có liên quan đến tính chất hình học nào?
Với câu hỏi này, trước hết học sinh phải nhận thấy a + b > a + b (1), học sinh có thể
chứng minh theo các cách sau:
 Cách 1: Học sinh sử dụng tính chất: Với A>0, B>0; A>B ⇔ A 2 > B 2
(1) ⇔ ( a + b ) 2 > ( a + b ) 2 ⇔ a + b + 2 ab > a + b ⇔ 2 ab > 0 . Đúng
 Cách 2: Dùng tính chất: Với A>0, B>0 thì ta có: A>B ⇔
(1) ⇔

a
a+b

tương tự

+

b
a+b

>1⇔

b
b
>
. Vậy
a+b a+b

a
b
a
+
> 1. Vì
<1⇒
a+b
a+b
a+b

A
>1
B
a
a
>
a+b a+b

a
b
+
> 1.

a+b
a+b

 Cách 3: Dùng phương pháp hình học: Các em phải thấy được mối liên hệ giữa 3 giá trị
a , b và a + b
Vì a,b>0 nên

a > 0,

b > 0. Dựng tam giác ABC có

A= 90 0 , AB= a , AC= b . Theo định lý Pitago: BC= a + b
Theo bất đẳng thức trong tam giác AB+AC>BC.
Vậy a + b > a + b
 Ta có thể mở rộng bài trên như thế nào?
• Cho a>0, b>0, c>0. so sánh: a + b + c với a + b + c .

B
a+b

a

A

b

C

• Chứng minh: | a | + | b | + | c |≥ a 2 + b 2 + c 2 , ∀ a, b, c.
Giải hoàn toàn tương tự như trên. Ở đây học sinh phải thấy được mối liên hệ giữa các cạnh

của hình hộp và đường chéo của nó. Xét hình hộp chữ nhật với các cạnh là |a|, |b|, |c| thì
đường
chéo
là
a2 + b2 + c2 .
Như vậy qua việc giải bài toán theo nhiều cách đòi hỏi học sinh phải biết tổng hợp các kiến
thức đã học về chứng minh bất đẳng thức, biết chuyển đổi từ ngôn ngữ đại số sang hình học,
biết mở rộng và áp dụng ý tưởng chứng minh, qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho các em.
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

6


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

Ví dụ 14: Vẽ trên giấy kẻ ô một hình vuông cạnh 2 đơn vị dài. Nối trung điểm của các cạnh
để tạo nên một hình vuông mới. Lặp lại quá trình tương tự như trên.
a) Vẽ 5 hình vuông đầu tiên bên trong
b) Viết dãy số biểu diễn diện tích của 5 hình vuông đó
c) Tìm diện tích hình vuông thứ n bên trong như thể nào?
Các câu trả lời tùy thuộc vào mức độ của học sinh:
 Một số học sinh có thể chuyển chính xác ngôn ngữ
lời thành ngôn ngữ hình học để vẽ chính xác, đầy đủ,
chỉ ra được sự lồng nhau của 5 hình vuông bên
trong. Các em sẽ thực hiện đến việc tính diện tích

theo 3 cách sau:
• Cách 1: Sử dụng định lý Pitago, tính chiều dài các cạnh và diện tích
• Cách 2: Đếm các ô vuông và các phần trên giấy kẻ ô phía sau hình vẽ.
• Cách 3: Ghép các góc của hình vuông lớn phía ngoài hướng vào phía trong, khi đó sẽ
được kích thước của hình vuông kế tiếp bên trong. Lưu ý rằng quá trình này không
được chứng minh, nhưng suy nghĩ này thể hiện năng khiếu toán của học sinh, và việc
thực hiện theo cách này thì sẽ đưa đến lời giải cho c)
 Những học sinh sau khi vẽ hình chính xác,
khi
dự đoán được công thức tổng quát cho diện
1
tích hình vuông thứ n sẽ có thể sử dụng một
1
1
trong hai cách sau:
2
1
1
• Cách 1: Dùng biểu thức đại số cho số hạng thứ
n
của
1
cấp
số
nhân:
1
1
3
3
An = 22− n =

 Cách

2:

4
1
= n−2
n
2
2

Dùng

1

công

thức

truy

5

1

hồi:
1

4

6

6
10

10
15

20

1

4

1

5
15

6

1

A
1
1
1
A1 = 2, A2 = 1, A3 = , A4 = , A5 = ⇒ An = n −1
2

4
8
2

 Một số em sẽ không vẽ được hình. Một số sẽ không hiểu các thuật ngữ của đề bài và
vẽ hình sai, chẳng hạn như sau:

Qua ví dụ này trước hết rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc bài toán để hiểu, từ đó biết vẽ
hình chính xác, sau đó phát triển tư duy sáng tạo ở việc học sinh sẽ tìm ra nhiều cách tiếp cận
để giải bài toán.
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

7


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

5. Thiết kế hoạt động có sử dụng câu hỏi kết thúc mở:
Tam giác Pascal
 Em có thể vẽ tiếp các hình sau không? Giải thích vì sao em vẽ được như vậy?

Số tam giác: 1, 3, 6, 10, ???

3

1

10

6

Số lục giác: 1, 6, 15, 28, ???

1

6

28

15

Số tứ diện: 1, 4, 10, 20, ???

1

4

10

20

Xem hình vẽ sau đây (được gọi là tam giác Pascal)
 Em có thể viết dòng tiếp theo hay không? Giải thích cách viết của em.
 Liệu có quy tắc nào để tính tổng các số hạng trong từng dòng không?
 Có những loại số nào mà em đã biết có thể tìm thấy trong tam giác Pascal?

 Em có thể tìm ra những quy luật nào giữa các số trong các hàng và đường chéo? Hãy
tìm
càng
nhiều
càng
tốt.
(quy ước: thứ tự các hàng tính từ trên xuống, bắt đầu từ 0)
Học sinh sẽ tìm ra được rất nhiều quy luật:
• Số tự nhiên: xuất hiện trên đường chéo thứ hai của tam giác
• Số mũ của 2:
1
20 = 1
1
1
21 = 1 + 1
1
2
1
22 = 1 + 2 + 1
1
3
3
1
23 = 1 + 3 + 3 + 1
1
4
6
4
1
24 = 1 = 4 + 6 + 4 + 1

...
...
...
...
...
...
...
...
Từ đó học sinh rút ra công thức tính tổng các số trong hàng thứ n là 2n .
• Số mũ của 11:
1
110
1
1
111
1
2
1
112
1
3
3
1
113
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

8

Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

1

4

6

4

1

Trường THPT Đông Hà

114

Sự phát hiện này thể hiện một học sinh có năng khiếu toán thực sự. Mặc dù có thê em
chưa biết về định lý nhị thức, nhưng đây có lẽ là một “Pascal trẻ”. Kết quả này có thể
được giải thích như sau:
1
= 110 = (10 + 1)0
1
1
1

2
3

= 111 = (10 + 1)1

1

= 112 = (10 + 1) 2 =1.102 + 2.101 + 1

1
3

1

= 113 = (10 + 1)3 = 1.103 + 3.102 + 3.101 + 1

1
4
6
4
1 = 114 = (10 + 1) 4 = 1.104 + 4.103 + 6.102 + 4.101 + 1
• Số tam giác: Số tam giác tìm thấy trên đường chéo thứ ba: 1, 3, 6, 10, 15,...
• Số tứ diện: tìm thấy trên đường chéo thứ tư: 1, 4, 10, 20, 35
• Số lục giác: tìm thấy trên đường chéo thứ ba (nhưng cách nhau một số): 1, 6, 15, 28,
45,...
• Số Fibonacci:
 Xét xem số 144 có thuộc dãy số sau không? Giải thích tại sao?
1
1
2
3
5
8

13
21
34
...
Để trả lời câu hỏi này, học sinh phải phát hiện ra được tính chất của dãy số là: hai số hạng
đầu tiên là 1, kể từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng liền trước đó.
F(n+1)=F(n-1)+F(n), n>1, F(1)=1, F(2)=1. Các số này gọi là số Fibonacci
 Số Fibonacci có thể tìm thấy trong tam giác Pascal như thế nào? Hãy tìm ra càng nhiều
cách càng tốt.
Học sinh sẽ phát huy sự tập trung và sáng tạo để tìm ra nhiều cách xuất hiện của số Fibonacci
trong tam giác
 Cách 1: Bằng cách cộng các số theo đường chéo vẽ như sau:
13
8
5
3
2 1
1
1
1
2
3
5
8
13
1
1
1
1
2

1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
16
6
1
... ...
...
...
...
...
...
...

 Cách 2: Gấp đôi các cột của tam giác Pascal và sắp xếp lại như sau, rồi cộng các số
theo hàng:
1
1
1
1
2
1
1
1
3
1
1
2
1
5
1
1
3
2
1
8
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

9


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

1
1
4
3
3
1
13
1
1
5
4
6
3
1
21
...
...
...
...
...
...
...
...
...
 Cách 3: Trình bày lại tam giác Pascal (viết lùi mỗi cột xuống một hàng) và tính tổng
trong các hàng.

1
1
1
1
1
1
2
1
2
3
1
3
1
5
1
4
3
8
1
5
6
1
13
...
...
...
...
...
 Cách 4: Viết gấp đôi các dòng của tam giác và sắp xếp lại, sau đó tính tổng trong mỗi
cột :

1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
3
3
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
4
6
4
1

...
...
...
...
...
...
1
2
3
5
8
...
...
...
...
...
...
 Từ đó học sinh sẽ phát hiện ra mối liên hệ thú vị giữa các các số Fibonacci và tam giác
Pascal.
F(n+1) = 1.F(n) +1.F(n-1)
F(n+2) = 1.F(n) +2.F(n-1) +1.F(n-2)
F(n+3) = 1.F(n) +3.F(n-1) +3.F(n-2) +1.F(n-3)
F(n+4) = 1.F(n) +4.F(n-1) +6.F(n-2) +4.F(n-3) +1.F(n-4)
F(n+5) = 1.F(n) +5.F(n-1) +10.F(n-2)+10.F(n-3) +5.F(n-4) +1.F(n-5)
• Số Catalan:
 Có thể chia các tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác thành các tam giác sao cho các
đường chéo của chúng không cắt nhau như thế nào? Có bao nhiêu cách chia tất cả?
Học sinh vẽ hình và tìm ra các cách chia như sau: Tam giác chỉ có một cách chia, tứ
giác có 2 cách, ngũ giác có 5 cách, lục giác có 14 cách (có em sẽ không tìm ra được
kết quả như vậy!). Các số này được gọi là số Catalan.

______________________________________________________________________________ 10
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

2

1

5

14

 Hãy dùng tam giác Pascal để tìm số các cách chia một bát giác thành các tam giác như
trên?
Học sinh phải tìm ra sự xuất hiện của số 1, 2, 5, 14,... trong tam giác Pascal để tim ra
số hạng tiếp theo của dãy số trên
1
1
1
1
2
1
1

3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10 10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35 21 7
1
1
8
28
56

70
56
28
8
1
1
9
36
84 126 126 84 36
9
1
1
10
45
120 210 252 210 120 45
10
1
 Cách 1: Lấy các số ở cột chính giữa trừ các số kề bên chúng (trái hoặc phải)
1
2
6
1
4
1
1
2
 Cách 2: Lấy các số ở cột
1
1

2
2

20
70
15
56
5
14
chính giữa

252
210
42
trừ đi

...
...
...
các số cách nó một số.

6
1
5

20
6
14

252

120
132

...
...
...

3
1

10
5

70
28
42

 Cách 3:
1
-

35
21

126
84

...
...

______________________________________________________________________________ 11
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

1
2
5
14
42
...
 Cách 4: Trừ theo đường chéo, tính từ số ở cột chính giữa.
1=1
1=1
1=2-1
2=3-1
2=6-3-1
5=10-4-1
5=20-10-4-1
14=35-15-5-1
14=70-35-15-5-1
42=126-56-21-6-1
42=252-126-56-21-6-1
1
1

1
• Tam giác Sierpinski:
1 2 1
1 3 3 1
 Từ tam giác Pascal có cách nào để vẽ tam giác
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Sierpinski không?
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Nếu ta tô màu một hình tam giác nhỏ xung quanh các
1
1
số lẻ và những phần còn lại không tô thì ta nhận được
một hình vẽ thú vị chính là tam giác Sierpinski

• Số hành trình ngắn nhất: Cho mạng lưới
đường phố mà các khu phố xem như những
hình vuông.
 Có bao nhiêu cách nhanh nhất để đi từ một
ngã tư này (A) tới một ngã tư kia (B).
 Trong các cách đó có cách nào nhanh hơn cả
không?
Đây là một sự vận dụng tam giác Pascal:
1(A)
1
1
1
2
1

1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10 5
1
6
15
20
15
6
21
35
35 21
56
70
56
126 126
252(B)

A

B

Qua các câu hỏi kết thúc mở này đã tạo cho học sinh có cơ hội khám phá ra nhiều tính chất
thú vị của tam giác Pascal, rèn luyện cho các em có con mắt phê phán khi biết sắp xếp các số
và nhìn tam giác dưới các dạng khác nhau, từ đó đọc được những quy luật thú vị giữa các con
số, phát triển tư duy sáng tạo khi cho phép các em có nhiều cách tiếp cận mỗi khi giải quyết
một vấn đề, khi áp dụng những ý tưởng trước đó để tạo ra các cách tiếp cận mới. Đồng thời
______________________________________________________________________________ 12
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

đưa đến cho các em những khái niệm liên quan như số Fibonacci, số Catalan, số tam giác, số
lục giác, số tứ diện...
III. KẾT LUẬN
Việc sử dụng câu hỏi kết thúc mở có tác dụng rất lớn trong phát triển tư duy của học
sinh nói chung và là học sinh có năng khiếu toán nói riêng. Câu hỏi kết thúc mở cho phép có
nhiều hơn một câu trả lời và có thể giải theo nhiều cách. Hơn nữa để có được một câu trả lời,
học sinh phải chỉ ra quá trình tư duy của các em, quá trình lập luận, từ đó phát triển các kỹ
năng giải toán, kỹ năng giao tiếp, phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là tư duy phê phán
và tư duy sáng tạo.
Do thời gian và kinh nghiệm hạn chế, nên bài viết không tránh khỏi nhiều thiếu sót.
Bản thân tự nhận thấy mặc dù đã có nhiều cố gắng tìm và nghiên cứu tài liệu song mức độ
nghiên cứu để khai thác câu hỏi kết thúc mở nhằm phát triển tư duy cho học sinh có năng
khiếu toán còn chưa sâu. Kính mong các nhận xét và góp ý của đồng nghiệp.

Đề nghị:(ThS. Lê Văn Cả).
1) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng và câu hỏi kết thúc mở trong quá trình hướng
dẫn giải bài toán cho học sinh THPT.
2) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng và câu hỏi kết thúc mở trong quá trình dạy
khái niệm, định lý.
3) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng và câu hỏi kết thúc mở trong quá trình hướng
dẫn học sinh sáng tạo các bài toán.

______________________________________________________________________________ 13
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà