Phương pháp giải hệ phương trình

Mục lục
Lời nói đầu

2

Các thành viên trong ban quản trị, trong nhóm biên soạn

3

1 Sử dụng phép biến đổi đại số và phép thế

4

2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

75

3 Sử dụng phương pháp hàm số

110

4

Sử dụng phương pháp đánh giá

123

5

Sử dụng phép thế lượng giác

143

/>
1


Lời nói đầu
Chúng tôi rất vui mừng khi “Tuyển tập hệ phương trình của BoxMath” được hoàn thành,
bởi nó đáp ứng được nhiều mong mỏi của quý đọc giả, đặc biệt là các em học sinh. Có thể nói tuyển
tập hệ phương trình của BoxMath là sự tập hợp nhiều bài toán hay và kỉ thuật thường dùng khi giải
hệ phương trình.
Nội dung của tuyển tập hệ phương trình của BoxMath được chia theo phương pháp giải toán
như sau:
1. Sử dụng phép biến đổi đại số và thế
2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
3. Sử dụng phương pháp hàm số
4. Sử dụng phương pháp đánh giá
5. Sử dụng phép thế lượng giác
Hy vọng, tuyển tập hệ phương trình của BoxMath góp phần nhỏ đem lại nhiều thành công cho
các bạn đọc giả, đặc biệt là quý Thầy Cô trong công tác giảng dạy, các em học sinh trong học tập,
trong các kì thi cấp khu vực, cấp quốc gia.
Cuối cùng thay ban quản trị xin chúc các bạn lời chúc sức, thành đạt trong công sống, và tha
thiết đón nhận ý kiến đóng góp quý báo của bạn đọc về những tồi tài, thiếu sót để tuyển tập hệ
phương trình của BoxMath hoàn thiện hơn.
Hồng Ngự, ngày 16 tháng 6 năm 2012.
Thay mặt nhóm biên soạn
lê trung tín

/>
2


Các thành viên trong ban quản trị, trong nhóm biên soạn
1. Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp.
2. Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp.
3. Lê Trung Tín - THPT Hồng Ngự 2 - Đồng Tháp.
4. Hồ Hoàng Việt - Gò Đen - Long An.
5. Nguyễn Văn Thoan - Nam Định.
6. Nguyễn Mạnh Tuấn - Khánh Hòa.
7. Thái Mạnh Cường - Nghệ An.
8. Đinh Văn Minh - Vĩnh Phúc.
9. Giang Hoàng Kiệt - TP Hồ Chí Minh.
10. Ngô Công Bình - THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa.
11. Nguyễn Đức Huỳnh - THPT Hùng Vương - TP Hồ Chí Minh.
12. Nguyễn Quốc Oanh - THPT Sào Nam -Quảng Nam.

LATEX
Hỗ trợ kĩ thuật Latex
• Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận.

Trình bày bìa
• Phạm Tuấn Khải

/>
3


1

Sử dụng phép biến đổi đại số và phép thế

1 Giải hệ phương trình:

x3 + 4y = y 3 + 16 (1)
1 + y 2 = 5 (1 + x2 ) (2)
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Phương trình (2) tương đương với y 2 − 5x2 = 4 (3)
Thay vào phương trình (1) ta có:
x3 + y 2 − 5x2 y = y 3 + 16 ⇔ x3 − 5x2 y − 16x = 0 ⇔

x=0
x2 − 5xy − 16 = 0

- Với x = 0 ⇒ y 2 = 4 ⇔ y = ±2
x2 − 16
- Với x2 − 5xy − 16 = 0 ⇔ y =
, thay vào (3) ta có
5x
x2 − 16
5x

2

− 5x2 = 4 ⇔ 124x4 + 132x2 − 256 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔

x = 1 ⇒ y = −3

x = −1 ⇒ y = 3

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: (x; y) = (0; ±2) , (1; −3) , (−1; 3)
2 Giải hệ phương trình:

1
1

 −
= 2 (y 4 − x4 )
x 2y
1
1

 +
= (x2 + 3y 2 ) (3x2 + y 2 )
x 2y
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Điều kiện:

x=0

y=0
Hệ phương trình tương đương với
2

 = 2y 4 − 2x4 + 3x4 + 3y 4 + 10x2 y 2
x


 1 = 3x4 + 3y 4 + 10x2 y 2 − 2y 4 + 2x4
y
⇔

⇔

2 = 5y 4 x + x5 + 10x3 y 2
1 = 5x4 y + y 5 + 10x2 y 3
x5 + 5x4 y + 10x3 y 2 + 10x2 y 3 + 5xy 4 + y 5 = 2 + 1

x5 − 5x4 y + 10x3 y 2 − 10x2 y 3 + 5xy 4 − y 5 = 2 − 1

√
5
3+1

√

5
5

x
=
(x + y) = 3
x+y = 3
2
√
⇔
⇔

⇔
5
5

(x − y) = 1
x−y =1

y = 3 − 1
2
√
√
5
3+1 53−1
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) =
;
2
2
/>
4


3 Giải hệ phương trình:

x3 (2 + 3y) = 1
x (y 3 − 2) = 3
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Điều kiện: x = 0
Biến đổi hệ phương trình thành


1

 2 + 3y = 3 (1)
x
3

 y3 − 2 =
(2)
x
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
y 3 + 3y =

1
1
3
1
=0
+ ⇔y 3 − 3 + 3 y −
3
x
x
x
x
1
1
1
y
⇔ y−
y2 + 2 +

+3 y−
x
x
x
x
1
y
1
y2 + 2 + + 3 = 0
⇔ y−
x
x
x
1
⇔ y−
x
⇔y =

1
y+
2x

2

+

=0

3
+3 =0

4x2

1
x


x = −1 ⇒ y = −1
3
1
3
2

−
2
=
⇔
2x
+
3x
−
1
=
0
⇔
1
x3
x
x= ⇒y=2
2
1

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: (x; y) = (−1; −1) ,
;2
2

Thay vào (2) ta được :

4 Giải hệ phương trình:

x4 − y 4 = 240
x3 − 2y 3 = 3 (x2 − 4y 2 ) − 4 (x − 8y)
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được
x4 − 8x3 + 24x2 − 32x + 16 = y 4 − 16y 3 + 96y 2 − 256y + 256
⇔ (x − 2)4 = (y − 4)4 ⇔

x−2=y−4
⇔
x−2=4−y

x=y−2
x=6−y

- Với x = y − 2, thay vào phương trình đầu ta được:
− 8y 3 + 24y 2 − 32y + 16 = 240
⇔ y 3 − 3y 2 + 4y + 28 = 0
⇔ (y + 2) y 2 − 5y + 14 = 0
⇔ y = −2 ⇒ x = −4
/>

5


- Với x = 6 − y, thay vào phương trình đầu ta được:
− 24y 3 + 216y 2 − 864y + 1296 = 240
⇔ y 3 − 9y 2 + 36y − 44 = 0
⇔ (y − 2) y 2 − 7y + 22 = 0
⇔y=2⇒x=4
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: (x; y) = (−4; −2) , (4; 2)
5 Giải hệ phương trình:

x3 − 8x = y 3 + 2y

(1)

x2 − 3 = 3 (y 2 + 1)

(2)

**** - - - - - - ****

Lời giải:
Thế (2) vào (1) ta có:
3 x3 − y 3 = x2 − 3y 2 (4x + y)
⇔x3 + x2 y − 12xy 2 = 0
⇔x x2 + xy − 12y 2 = 0
⇔x = 0 ∨ x = 3y ∨ x = −4y
- Với x = 0, thay vào (2) ta có: y 2 = −2 (vô nghiệm).
- Với x = 3y, thay vào (2) ta có: y 2 = 1 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±3.
6

6
- Với x = −4y, thay vào (2) ta có: y 2 =
⇒y=±
⇒ x = ∓4
13
13
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
(x; y) = (3; 1) , (−3; −1) , −4

6
;
13

6
13

, 4

6
.
13

6
;−
13

6
13

6 Giải hệ phương trình:


x3 + y 3 − xy 2 = 1
4x4 + y 4 = 4x + y

(1)
(2)

**** - - - - - - ****

Lời giải:
Thay (1) vào (2), ta có:
4x4 + y 4 = (4x + y) x3 + y 3 − xy 2
⇔ xy 3y 2 − 4xy + x2 = 0

x=0⇒y=1

y = 0 ⇒ x = 1

⇔

 3y 2 − 4xy + x2 = 0 ⇔ x = y
x = 3y
Thay vào (1), ta có: x = y = 1
3
1
,y = √
Thay vào (1), ta có: x = √
3
3
25

25
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (0; 1) , (1; 0) , (1; 1) ,
/>
3
1
√
;√
3
3
25 25
6


7 Giải hệ phương trình:



 3−

√
5
2y = 4
y + 42x
√
5


x=2
 3+
y + 42x

(I)

**** - - - - - - ****

Lời giải:
Điều kiện: x > 0, y > 0


√
1
2
5



 √x − √y = y + 42x
√
(I) ⇔

1
2


 √ + √ = 3 (2)
y
x

(1)

Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta được:
15
1 2
− =
x y
y + 42x
⇔ (y − 2x) (y + 42x) = 15xy
⇔y 2 − 84x2 + 25xy = 0
⇔ (y − 3x) (y + 28x) = 0
⇔y = 3x ( do y + 28x > 0)
√
√
5+2 6
5+2 6
Từ đó thế vào (2) ta được: x =
;y =
27
9
√
√
5+2 6 5+2 6
;
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) =
27
9
8 Giải hệ phương trình:

xy + x + y = x2 − 2y 2
x√2y − y √x − 1 = 2x − 2y

(1)
(2)

**** - - - - - - ****

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0
(1) ⇔ x2 − xy − 2y 2 − (x + y) = 0
⇔ (x + y) (x − 2y) − (x + y) = 0
⇔ (x + y) (x − 2y − 1) = 0
⇔ x − 2y − 1 = 0 ( do x + y > 0)
⇔ x = 2y + 1
Thế vào (2) ta được:
y

2y +

⇔ (y + 1)

2y = 2y + 2
2y − 2 = 0

⇔ 2y − 2 = 0 ( do y ≥ 0 ⇒ y + 1 > 0)
⇔2y = 4
⇔y = 2 ⇒ x = 5
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = (5; 2)
/>
7

9 Giải hệ phương trình:

2x3 + 3x2 y = 5
y 3 + 6xy 2 = 7
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
8x3 + 12x2 y + 6xy 2 + y 3 = 27
⇔ (2x + y)3 = 27
⇔ 2x + y = 3
⇔ y = 3 − 2x
Thay vào (2) ta được:
2y 3 − 9y 2 + 7 = 0

y=1⇒x=1

√
√

 y = 7 + 105 ⇒ x = 5 − 105
⇔
4
8

√
√

7 − 105
5 + 105

y=
⇒x=
4
8
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
(x; y) = (1; 1) ,

5+

√
√
105 7 − 105
;
8
4

,

5−

√
√
105 7 + 105
;
8
4

10 Giải hệ phương trình: 
9x2 − 4y 2 = 5
log (3x + 2y) − log (3x − 2y) = 1

5
3
**** - - - - - - ****

Lời giải:

3x + 2y > 0
Điều kiện:
3x − 2y > 0

/>
8