các dạng bài tập tích phân

B. BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ
DẠNG 1

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Bài 1. Tính các tích phân sau:
2

a) I = ∫
1

3

3x − 4
dx .
2 x −1

b) I = ∫
2

3 x 3 + 2 x −1
dx .
x −1

Hướng dẫn và đáp số
3 5
a) Đáp số: I = − ln 3.
2 4

b) Đáp số: I =

63
+ 4 ln 2.
2

Bài 2. Tính các tích phân sau:
2

a) I = ∫
1

1

2x +1
dx .
x ( x + 1)

b) I = ∫
0

x ( x −1)
x2 −4

dx .

Hướng dẫn và đáp số
3
b) Đáp số: I = 1 + ln 2 − ln 3.
2

a) Đáp số: I = ln 3.

Bài 3. Tính các tích phân sau:
4

a) I = ∫
3

4

4x + 3
dx .
2
x − 3x + 2

b) I = ∫
2

x 3 + 2 x +1
dx .
x 2 −6x + 5

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I = 18 ln 2 − 7 ln 3.
b) Đáp số: I = 18 − 35ln 3.
Bài 4. Tính các tích phân sau:
2

a) I = ∫
1

0

x
dx .
2
4 x − 4 x +1

b) I = ∫

−2

x 2 −1
dx .
x 2 −6x + 9

Hướng dẫn và đáp số
1
1
a) Đáp số: I = ln 3 + .
4
6

b) Đáp số: I =

46
3
+ 6 ln .
15
5

Bài 5. Tính các tích phân sau:

3

a) I = ∫
0

4
dx .
2
x +9

1

b) I = ∫
0

Hướng dẫn và đáp số

( x + 1)

2

x 2 +1

dx .


a) Đáp số: I =

2π
.

9

b) Đáp số: I = 1 + ln 2.

Bài 6. Tính các tích phân sau:
2

a) I = ∫
1

3

1− x 2
dx .
x + x3

b) I = ∫
2

x2 −2

( x −1)

3

dx .

Hướng dẫn và đáp số
4
a) Đáp số: I = ln .

5

5
b) Đáp số: I = ln 2 + .
8

Bài 7. Tính các tích phân sau:
3

a) I = ∫
2

3

1

( x −1)( x + 1)

2

b) I = ∫

dx .

2

x2

( x −1) ( x + 2)
2

dx .

Hướng dẫn và đáp số
1 3 1
a) Đáp số: I = ln − .
4 2 24

1
6

1
3

4
9

b) Đáp số: I = − ln 2 + ln 5.

Bài 8. Tính các tích phân sau:
1

a) I = ∫
1
2

1

2 x −1
dx .

x 3 +1

b) I = ∫
0

7 x 2 + 14 x + 16
dx .
x 3 + 3x 2 + 6 x + 4

Hướng dẫn và đáp số
1
3π
a) Đáp số: I = − ln 2 + ln 3 +
b) Đáp số: I = − ln 2 + 2 ln 7.
.
2
18
Bài 9. Tính các tích phân sau:
4

a) I = ∫
3

x 2 −1
dx .
( x 2 + 5x + 1)( x 2 − 3x + 1)

1

b) I = ∫

1
2

x −1
dx .
( x − 2 x )( x 2 − 2 x + 2)
2

Hướng dẫn và đáp số

3
1
a) Đáp số: I = ln 5 − ln 37.
8
8

1 3
b) Đáp số: I = − ln .
4 5

Bài 10. Tính các tích phân sau:
1+ 5
2

a) I =

∫
1

x 2 +1

dx .
x 4 − x 2 +1

1

b) I = ∫
0

Hướng dẫn và đáp số

dx
.
x + x 2 +1
4


a) Ta có

x 2 +1
x 2 +1
=
x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 ( x 2 + 1)2 − 3 x

(

)

2

=

Ax + B
Cx + D
.
+ 2
x − 3x +1 x + 3x + 1
2

1
1
Đồng nhất ta tìm được A = 0; B = ; C = 0; D = .
2
2
π
Đáp số: I = .
4
Cách 2. (Chỉ áp dụng cho cận khác 0 )
1+ 5
1+ 5
1
1
1+ 2
1+ 2
2
2
x
x
dx = ∫
dx .
Ta có I = ∫

2
1
2


1
1 x −1 +
1 

x −  + 1
x2

x

1
1
⇒ dt = 1 + 2  dx .

x
x 
1
1
Ax + B
Cx + D
=
= 2
+ 2
.
b) Ta có 4
2

2
2
2
x + x + 1 ( x + 1) − x
x − x +1 x + x +1

Đặt t = x −

1
1
Đồng nhất ta tìm được A = − ; B = C = D = .
2
2
3π 1
Đáp số: I =
+ ln 3.
12
4

DẠNG 2

TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ

Bài 1. Tính các tích phân sau:
27

a) I = ∫
1

x −2

x+ x
3

2

0

1− x +1
dx .
1 + 3 x +1
−1

b) I = ∫

dx .

Hướng dẫn và đáp số
3

a) Đặt t = x , … ta được I = ∫
6

1


6t 8 −12t 5
12t
6 
dt = ∫ 6t 2 − 6 − 2
+ 2

 dt .
6
4


t +t
t + 1 t + 1
1
3

π
Đáp số: I = 4 + − 6 ln 2.
12
199
3π
b) Đáp số: I =
+ 3 ln 2 − .
70
2

Bài 2. Tính các tích phân sau:
4

3

a) I = ∫
0

x3
1 + x +1

4

1

dx .

b) I = ∫ ( x + 1) 3 − 2 x − x 2 dx .
0


Hướng dẫn và đáp số
1 1 3
a) Đáp số: I = − ln .
2 2 2

b) Đáp số: I = 3.

Bài 3. Tính các tích phân sau:
4

a) I = ∫
0

3

dx
.
x +1 + 2 x +1

b) I = ∫

2

x −3
dx .
x −1 + 3 x − 5

Hướng dẫn và đáp số
1
a) Đáp số: I = − + 2 ln 2.
2

3
b) Đáp số: I = −1 + 2 ln .
2

Bài 4. Tính các tích phân sau:
2

a) I = ∫
1

x
x + x 2 −1

1

b) I = ∫

dx .

0

x3
x 2 + x 4 +1

dx .

Hướng dẫn và đáp số
7 −3 3
a) Nhân lượng liên hiệp. Đáp số: I =
.
3
2 −1
b) Nhân lượng liên hiệp. Đáp số: I =
.
3
Bài 5. Tính các tích phân sau:
3

a) I = ∫
0

x +1 − 2
dx .
2
x + 2 x + x +1 +1

2

b) I = ∫ (2 x −1)

3

x 2 − x dx .

1

Hướng dẫn và đáp số

4
π
a) Đáp số: I = ln −
.
3 3 3

b) Đáp số: I =

116 2
.
15

Bài 6. Tính các tích phân sau:
4

a) I = ∫
0

2 2

x +1

(1 +

1+ 2x )

2

dx .

b) I =

∫ (x
3

x5
2

−1) x 2 + 1

dx .

Hướng dẫn và đáp số

1
a) Đáp số: I = 2 ln 2 − .
4

b) Đáp số: I =

19

2  4 + 2 
.
+
ln 
3
4  4 − 2 


Bài 7. Tính các tích phân sau:
5

a) I = ∫
1

4

x

(4 x 2 + 1)

4x 2 + 5

b) I = ∫

dx .

2

4 x 2 −12 x + 10
dx .

(2 x − 3) 3x − 4

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =

1 15
ln .
16 7

2 100
9
+ ln .

2 27
5

b) Đáp số: I =

Bài 8. Tính các tích phân sau:
1

3

dx

a) I = ∫

( x + 1) x + x + 1
2

0

b) I = ∫

.

0

dx

(2 x + 3)( x + 1)

3

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =

1
ln 3.
2

b) Đáp số: I = 2 3 − 3.

Bài 9. Tính các tích phân sau:
3
2

a) I =

∫

−

3 3
2

2

dx

(9 − x )

2 3

b) I = ∫

.

0

1
1+ 2x − x 2

dx .

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =

4 3
.
27

b) Đáp số: I =

π
.
2

Bài 10. Tính các tích phân sau:
2

a) I = ∫
2

3

x2 −2
dx .
x

b) I =

∫
3
−
3

dx

( x 2 + 1)

3

.

Lời giải

 π
a) Đáp số: I = 2 1 − .
 4 

b) Đáp số: I =

3 +1
.
2

.


DẠNG 3

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Phần 1

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Bài 1. Tính các tích phân sau:
π
2

π
2

a) I = ∫ cos xdx .

b) I = ∫ cos 2 xdx .

0
π
2

0
π
2

c) I = ∫ cos3 xdx .

d) I = ∫ cos 4 xdx .

0

0

Hướng dẫn và đáp số
π
.
4
3π
d) Đáp số: I = .

16

b) Đáp số: I =

a) Đáp số: I = 1.
2
c) Đáp số: I = .
3

Bài 2. Tính các tích phân sau:
π
6

a) I = ∫
0
π
6

c) I = ∫
0

π
6

1
dx .
cos x

b) I = ∫

1
dx .
cos3 x

d) I = ∫

0
π
6

0

1
dx .
cos 2 x
1
dx .
cos 4 x

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =

1
ln 3.
2

b) Đáp số: I =

1
.

3

c) Đáp số: I =

1
1
ln 3 + .
4
3

d) Đáp số: I =

10 3
.
27

Bài 3. Tính các tích phân sau:
π
4

a) I = ∫
π
6
π
4

c) I = ∫
π
6

π
4

1
dx .
tan x

b) I = ∫

1
dx .
tan 3 x

d) I = ∫

π
6
π
4

π
6

Hướng dẫn và đáp số

1
dx .
tan 2 x

1

dx .
tan 4 x


1
ln 2.
2
1
c) Đáp số: I = 1 − ln 2.
2

a) Đáp số: I =

b) Đáp số: I = −1 + 3 −
d) Đáp số: I =

π
.
12

2 π
+ .
3 12

Bài 4. Tính các tích phân sau:
π

a) I = ∫
π
3

π
2

dx
.
2 + 3 sin x − cos x

b) I = ∫
0

cos3 x
dx .
1 + cos x

Hướng dẫn và đáp số
π

a) Ta có I = ∫
π
3

π

1
dx
.
= ∫



π 
2 π
3
1


1
+
sin
−
x

sin x − cos x 

3
6 
2
2

dx


2 + 2 


5π
6

5π
6

5π
6

π
1
dt
1
dt
1
dt
Đặt t = x − , ta được I = ∫
= ∫
= ∫
.
2
t π 
2 π 1 + sin t 2 π 
4 π
6

2
t
t

sin  + 
sin + cos 
 2 4 
6
6 

6
 2
2 

3
.
3
3π
b) Đáp số: I =
− 2.
4
Đáp số: I =

Bài 5. Tính các tích phân sau:
π
2

a) I = ∫
0

π
6

sin xdx
sin 2 x + 2 cos x cos 2

.

b) I = ∫

x
2
Hướng dẫn và đáp số

0

sin 3 x − sin 3 3 x
dx .
1 + cos 3 x

a) Đáp số: I = ln 2.
b) Ta có sin 3 x − sin 3 3 x = sin 3 x (1 − sin 2 3 x ) = sin 3 x .cos 2 3 x .
1 1
Đáp số: I = − + ln 2.
6 3

Bài 6. Tính các tích phân sau:
π
4

a) I = ∫
0

1 − 2 sin x
dx .
1 + sin 2 x
2

π
2

b) I = ∫
π
4

Hướng dẫn và đáp số

cos3 x
dx .
1 + sin x


a) Đáp số: I =

1
ln 2.
2

b) Đáp số: I =

3−2 2
.
4

Bài 7. Tính các tích phân sau:
π
6

a) I = ∫
0

π
6

cos 3 x

(2 sin x + 1)

2

b) I = ∫

dx .

0

cos x
dx .
2 sin x + 3

Hướng dẫn và đáp số

1
a) Đáp số: I = − + ln 2.
2

b) Đáp số: I = 2 − 3.

Bài 8. Tính các tích phân sau:
π

2

a) I = ∫ sin 2 x (1 + sin 2 x ) dx .
3

π
4

b) I = ∫

0

0

sin 4 x
dx .
1 + cos 2 x

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =
π
4

b) Ta có I = ∫
0

15
.
4
2 sin 2 x cos 2 x

dx .
1 + cos 2 x

dt = − sin 2 xdx dt = − sin 2 xdx
Đặt t = 1 + cos 2 x , suy ra  2
⇒ 
.
cos x = t −1
cos 2 x = 2t − 3
4
Đáp số: I = 2 − 6 ln .
3

Bài 9. Tính các tích phân sau:
0

sin 4 x
a) I = ∫
dx .
1 + sin x )(1 + cos x )
π(
−

π
4

b) I = ∫
0

4

cos 2 x

π
(1 + sin 2 x ) cos  x − 

4

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I = −6 + 8 ln 2.
b) Đáp số: I = 2 −1.
Bài 10. Tính các tích phân sau:
π

π 
6 tan  x − 

4 dx .
a) I = ∫
cos 2 x
0

π
3

b) I = ∫
π
4

dx

.
sin x cos5 x
3

dx .


Hướng dẫn và đáp số
π
6

a) Ta có I = ... = −∫
0

tan 2 x + 1

(tan x + 1)

2

π
3

b) Ta có: I = 8 ∫
π
4

dx . Đặt t = tan x . Đáp số: I =
π
3

dx

(2 sin x cos x ) cos x
3

2

= 8∫
π
4

dx
.
sin 2 x cos 2 x
3

Áp dụng công thức chia đôi ta có sin 2 x =
π
3

Do đó I = ∫

(1 + tan 2 x )

3

3

2

tan x cos x

π
4

Phần 2

dx

1− 3
.
2

2 tan x
.
1 + tan 2 x

. Đặt t = tan x . Đáp số: I =

16
+ 3 ln 3.
3

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Bài 1. Tính các tích phân sau:
π2
4

e

b) I = ∫ sin (ln x ) dx .

a) I = ∫ sin x dx .

1

0

Hướng dẫn và đáp số
b) Đáp số: I =

a) Đáp số: I = 2.

e (sin1 − cos1) + 1
2

Bài 2. Tính các tích phân sau:
π
3

a) I = ∫
0

π
4

x
dx .

1 + cos 2 x

b) I = ∫
0

x cos 2 x

(1 + sin 2 x )

2

dx .

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =

3π 1 1
+ ln .
6
2 2

b) Đáp số: I = −

π 1
+ .
16 4

Bài 3. Tính các tích phân sau:
π
4

π

a) I = ∫ x tan xdx .
2

b) I = ∫ x sin x cos 2 xdx .

0

0

Hướng dẫn và đáp số

.


π  π
2 π2
a) Đáp số: I = 1 −  + ln
+ .
4  4 
2
32

b) Đáp số: I =

π
.
3

Bài 4. Tính các tích phân sau:
π
2

1

b) I = ∫ e x sin 2 (π x ) dx .

a) I = ∫ e sin 5 xdx .
3x

0

0

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =

Phần 3

3e

3π
2

2π 2 (e −1)
b) Đáp số: I =
.
1 + 4π2

+5
.
34

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT

Bài 1. Tính các tích phân sau:
π
2

a) I = ∫
0

π
2

2015

sin

sin
x
dx .
x + cos 2015 x

b) I = ∫

2015

0

3sin x − 2 cos x
dx .
sin x + cos x

Hướng dẫn và đáp số
π
π
a) Đặt x = − t . Đáp số: I = .
2
4
π
2

b) Ta có I = 3∫
0
π
2

Tính A = ∫
0

π
2

sin x
cos x
dx − 2 ∫
dx = 3 A − 2 B.

sin x + cos x
sin
x
+
cos
x
0

sin x
π
dx . Đặt x = − t , … suy ra A = B .
sin x + cos x
2

π
π
Mà A + B = ... = . Đáp số: I = .
2
4
Bài 2. Tính các tích phân sau:
π
2

π
4

 1 + sin x 
a) I = ∫ ln 
dx .
1 + cos x 

0

b) I = ∫ sin 4 x ln (1 + tan x ) dx .
0

Hướng dẫn và đáp số

π
− t . Đáp số: I = 0.
2
π
1
b) Đặt x = − t . Đáp số: I = ln 2.
4
4
a) Đặt x =


DẠNG 4

TÍCH PHÂN HÀM LOGARIT

Bài 1. Tính các tích phân sau:
e

a) I = ∫
1

1

x 2 +1
ln xdx .
x

b) I = ∫
0

(2 x + 1)

2

x +1

ln ( x + 1) dx .

Hướng dẫn và đáp số

e +3
.
4
2

a) Đáp số: I =

1
b) Đáp số: I = 1 + ln 2 2.
2

Bài 2. Tính các tích phân sau:
1

a) I = ∫ ln
−1

(

e

)

b) I = ∫

x + 1 − x dx .
2

1

ln (1 + ln 2 x )
x

dx .

Hướng dẫn và đáp số
π
b) Đáp số: I = ln 2 − 2 + .
2

a) Đáp số: I = 0.
Bài 3. Tính các tích phân sau:
e

x ( x 2 + 1) + 2 (ln x + x 2 )
a) I = ∫
dx .
2
1
+
x
(
)
1

1

b) I = ∫
0

x + ln ( x + 1)

( x + 2)

2

dx .

Hướng dẫn và đáp số
e

e

a) Ta có I = ∫ xdx + 2 ∫

1
1

b) Ta có I = ∫
0

1

ln x

(1 + x )

2

1

x

( x + 2)

2

dx + ∫
0

dx . Đáp số: I =

e 2 −1
2
2e

.
−
+ 2 ln
2
1+ e
e +1

ln ( x + 1)

1 2
dx . Đáp số: I = − + ln 2.
3 3
( x + 2)
2

Bài 4. Tính các tích phân sau:
3
1 + ln (e x .x )
a) I = ∫
dx .
2
( x + 1)
1

e2

b) I = ∫
e

Hướng dẫn và đáp số

3

a) Ta có I = ∫
1
e2

b) Ta có I = ∫
e

1 + x + ln x

( x + 1)

2

dx . Đáp số: I =

3
ln 3.
4

dx
4
. Đáp số: I = ln .
x ln x (1 + ln x )
3

dx
.
x ln x .ln (ex )

Bài 5. Tính các tích phân sau:
3

a) I = ∫
1

2

ln x 2 + 1
dx .
x2

b) I = ∫

ln ( x 2 + 1)
dx .
x3

1

Hướng dẫn và đáp số
3 −2
π
ln 2 + .
12
2 3

a) Đáp số: I =

5
b) Đáp số: I = − ln 5 + 2 ln 2.
8

Bài 6. Tính các tích phân sau:
2

a) I = ∫
1

x + ln x

( x + 1)

3

1

b) I = ∫

dx .

(

x ln x + x 2 + 1
x 2 +1

0

) dx .

Hướng dẫn và đáp số
17
1
1
a) Đáp số: I = ln 2 − ln 3 + .
b) Đáp số: I = 2 ln 1 + 2 −1.
18
2
72

(

Bài 7. Tính các tích phân sau:
e
(2 x 2 + 3) ln x + 2 x + 3
a) I = ∫
dx .
x
ln
x
+
1
1

e

b) I = ∫

)

( x 3 + 2) ln x + 2 − 3x 2
3 − x ln x

1

dx .

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I = A + 3B = e 2 −1 + 3 ln (1 + e ). b) Đáp số: I =
Bài 8. Tính các tích phân sau:
e
( x 2 −1) ln x + x 2
a) I = ∫
dx .
x + x ln x
1

e

b) I = ∫
1

1− e 3
3
+ 2 ln
.
3
3−e

ln x
dx .
x 1 + 2 ln x

Hướng dẫn và đáp số
e −3
+ ln 2.
2
2

a) Đáp số: I =

1
b) Đáp số: I = .
3

Bài 9. Tính các tích phân sau:
e

a) I = ∫
1

3 − 2 ln x
dx .
x 1 + 2 ln x

e

b) I = ∫

1

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =

10 2 −11
.
3

log 33 x
x 1 + 3 ln 2 x

dx .


e

b) Ta có I = ∫
1

(log 3 e.ln x )

3

x 1 + 3ln 2 x

e

dx = log e ∫
3

3

1

Bài 10. Tính các tích phân sau:
e
 ln x

a) I = ∫ 
+ 3 x 2 ln x  dx .

 x 1 + ln x

ln 33 x
x 1 + 3ln 2 x

dx . Đáp số: I =

e

b) I = ∫

1

ln x

3

1

4 log 33 e
.
27

2 + ln 2 x
dx .
x

Hướng dẫn và đáp số
5 − 2 2 + 2e
.
3
3

a) Đáp số: I =

DẠNG 5

b) Đáp số: I =

3 (3 4 3 4 )
3 − 2 .
8

TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ

Bài 1. Tính các tích phân sau:
1

a) I = ∫

0

1

e −2 x
dx .
1 + e −x

b) I = ∫
0

ex
dx .
e x + e −x

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I = ln

e +1 1
− .
2
e

b) Đáp số: I =

1 e 2 +1
ln
.
2
2

Bài 2. Tính các tích phân sau:
ln 5

ln 2

dx
a) I = ∫ x
.
e + 2e − x − 3
ln 3

b) I = ∫
0

e 3 x + 2e 2 x + e x
2 + (1 + e x )

3

Hướng dẫn và đáp số
3
a) Đáp số: I = ln .
2

1 29
b) Đáp số: I = ln .
3 10

Bài 3. Tính các tích phân sau:

ln 4

a) I = ∫
0

e 2x
1+ e x

ln 5

dx .

b) I = ∫
ln 2

e 2x
e x −1

dx .

Hướng dẫn và đáp số
2 11
a) Đáp số: I = 2 ln + .
3 3

b) Đáp số: I =

20
.
3

dx .


Bài 4. Tính các tích phân sau:
3ln 2

a) I =

∫
0

ln 3

dx

( 3 e x + 2)

2

ex

b) I = ∫

.

(e x + 1)

3

0

dx .

Hướng dẫn và đáp số

3  3 1
a) Đáp số: I = ln − .
4  2 6 

b) Đáp số: I = 2 −1.

Bài 5. Tính các tích phân sau:
ln

ln 2

a) I = ∫

3

e x − 1 dx .

b) I =

0

16
3

∫
ln

3e x − 4dx .

8
3

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I = 3 − ln 2 −

π 3
.
3

b) Đáp số: I = 4

(

)

π
3 −1 − .
3

Bài 6. Tính các tích phân sau:
ln 6

a) I = ∫
0

ex
ex +2 ex +3

ln 5

b) I = ∫

dx .

0

e 2x
2e x + 1 + 3e x + 1

Hướng dẫn và đáp số
1
3 6
1 9
a) Đáp số: I = ln 2 + ln .
b) Đáp số: I = 1 + ln .
2
2 5
4 5
Bài 7. Tính các tích phân sau:
x −1
1

a) I = ∫
0

1

e x +1
dx .
x 2 + 2x +1

b) I = ∫ e

x+

1
2

Hướng dẫn và đáp số
x −1
e −1
a) Đặt t =
. Đáp số: I =
.
x +1
2e
1
1
1
1
4
x +  x −1
x+ 
1 

1

x 
x 
b) Ta có I = ∫ e  3  dx = ∫ e  x + 1 − 2  dx .
 x 


x  x 
1
1
2

Đặt t = x +

2

1
3 5
. Đáp số: I = e 2 − e 2 .
x
2

1
x

 x 4 −1

 dx .
 x 3 

dx .


Bài 8. Tính các tích phân sau:
π
4

a) I = ∫
0

ln 2

e tan x +2
dx .
cos 2 x

b) I = ∫ e e

+1

( e 2 x + e x ) dx .

0

a) Đáp số: I = e − e .
3

x

2

Hướng dẫn và đáp số
b) Đáp số: I = 2e 3 − e 2 .

Bài 9. Tính các tích phân sau:
1

2

a) I = ∫ (8 x 3 − 2 x ) e x dx .

b) I = ∫ ( x 3 + x ) e x

2

0

2

−1

dx .

1

Hướng dẫn và đáp số
b) Đáp số: I =

a) Đáp số: I = 5 − e.

2e −1
.
2

Bài 10. Tính các tích phân sau:
π
2

π
2

a) I = ∫ e x cos 2 xdx .

b) I = ∫ e cos x sin 2 xdx .

0

0

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =

π
2

−e −1
.
5

DẠNG 66

b) Đáp số: I = 2.

TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1. Tính các tích phân sau:
1
2

2

a) I = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx .

b) I = ∫

0

0

4 x −1
dx .
x − 3x + 2
2

Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I = 4.
b) Đáp số: I = −14 ln 7 + 13 ln 3 + 19 ln 2.
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1

a) I = ∫ ( x + 1 − x ) dx .
−2

a) Đáp số: I = 0.

2

b) I = ∫ 2 x − x + 1 dx .
−2

Hướng dẫn và đáp số
b) Đáp số: I = 6.


Bài 3. Tính các tích phân sau:
π
3

a) I = ∫

2

b) I = ∫

tan x + cot x − 2dx .
2

2

e x + e − x − 2dx .

−1

π
6

Hướng dẫn và đáp số
π
3

π
3

a) Ta có I = ∫ (tan x − cot x ) dx = ∫ tan x − cot x dx
2

π
6

π
6
π
3

π
4

π
3

π
6

π
6

π
4

= 2 ∫ cot 2 x dx = 2 ∫ cot 2 x dx + 2 ∫ cot 2 x dx .

Đáp số: I = −2 ln
2

b) Ta có I = ∫

−1

3
.
2

2
0
2
x
x
x
x

x
x
x
 x
e 2 − e − 2  dx = e 2 − e − 2 dx = e 2 − e − 2 dx + e 2 − e − 2 dx .

∫
∫
∫


2

−1

−1

0



1
1
Đáp số: I = 2 e + + e +
− 4.


e
e

DẠNG 7

TÍCH PHÂN CHỨA NHIỀU HÀM SỐ

Bài 1. Tính các tích phân sau:
2

4 − x 2 

a) I = ∫ x e x −
 dx .

x 3 
1

e

b) I = ∫

( x 3 + 1) ln x + 2 x 2 + 1
2 + x ln x

1

dx .

Hướng dẫn và đáp số
π
a) Đáp số: I = e 2 − 3 + .
3

b) Đáp số: I =

Bài 2. Tính các tích phân sau:
1
1 + (2 + x ) xe 2 x
a) I = ∫
dx .
x
1
+
xe
0

e

b) I = ∫
1

e 3 −1
e +2
+ ln
.
3
2

(2 + x ln x )(1 + ln x )
1 + x ln x

Hướng dẫn và đáp số

a) Ta có 1 + (2 + x ) xe

2x

= ... = (1 + xe x ) − 2 (1 + xe x ) + 2e x (1 + xe x ).

Đáp số: I = 2e − 2 ln (1 + e ) .

2

/

dx .


b) Đặt t = 1 + x ln x . Đáp số: I = e + ln (1 + e ) .
Bài 3. Tính các tích phân sau:
e
( x 3 + 1) ln x + 2 x 2 + 1
a) I = ∫
dx .
2 + x ln x
1

e

b) I = ∫
1

( x 2 −1) ln x + x 2

x + x ln x

dx .

Hướng dẫn và đáp số
a) Ta có ( x + 1) ln x + 2 x + 1 = ... = x 2 ( x ln x + 2 ) + ( x ln x + 2) .
3

/

2

e 3 −1
2+e
.
+ ln
3
2
/
b) Ta có ( x 2 −1) ln x + x 2 = ... = x ( x ln x + x ) − ( x ln x + x ) + 2.

Đáp số: I =

Đáp số: I =

e 2 −1
− ln 2e + 2 ln 2 .
2

Bài 4. Tính các tích phân sau:

π
4

a) I = ∫
0

π
3

x sin x + ( x + 1) cos x
dx .
x sin x + cos x

b) I = ∫
0

x (sin x + cos 2 x )
1 + x cos x

Hướng dẫn và đáp số
a) Ta có x sin x + ( x + 1) cos x = ... = ( x sin x + cos x ) + ( x sin x + cos x ) .
/

Đáp số: I =

 2 π

π
 + 1 .
+ ln 



4
 2  4


b) Ta có x (sin x + cos 2 x ) = ... = cos x (1 + x cos x ) − (1 + x cos x ) .
/

Đáp số: I =

 6 + π 
3
.
− ln 
 6 
2

Bài 5. Tính các tích phân sau:
π
2

a) I = ∫
0

1 − 2e x sin x

(sin x − e x )

2

1

b) I = ∫

dx .

0

( x 2 + 1) e x
( x + 1)

2

Hướng dẫn và đáp số
a) Ta có 1 − 2e x sin x = ... = (sin x − e x ) + (sin x − e x ) (cos x + e x ).
2

π

Đáp số: I = −

e2
1− e

π
2

−2 .

/

dx .

dx .


b) Ta có ( x 2 + 1) e x = e x ( x + 1) − 2e x ( x + 1) + 2e x .
2

Đáp số: I = 1 .