HỆ THỐNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG & KHÔNG GIAN

Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

VECTƠ TRONG PHẲNG

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoan thẳng có một điểm đầu, điểm còn lại là điểm cuối.
2. Giá của vectơ là đường thẳng mang vectơ đó.
3- Kí hiệu:

Nếu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B, kí hiệu AB
   
Ta còn kí hiệu một vectơ nào đó bằng một chữ in thường, với mũi tên ở trên, ví dụ vectơ a, b, x, y,...

4. Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, chẳng hạn:


- Độ dài của vectơ a , kí hiệu là a


- Độ dài của vectơ AB , kí hiệu là AB
5

Vectơ AB

Nha Trang

* A là điểm đầu
B là điểm cuối

* Hướng : từ A đến B
* Đường thẳng AB là giá

* Độ dài AB  AB

-1-


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

Nha Trang

6. Hai vectơ cùng phƣơng là hai vectơ có giá là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
 
a / /b





Hai vectơ cùng hướng
Hai vectơ ngược hướng



a  b
 
7. Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài. a  b    

 a  b

 
9. Cho hai vectơ a, b
 
 
Từ điểm A tùy ý, vẽ AB  a , rồi vẽ BC  b

 
Khi đó AC gọi là tổng của hai vectơ a, b
  
Kí hiệu AC  a  b

  
a0  a
   
ab  ba
     
ab c  a bc





  
 
10. Nếu tổng của hai vectơ a, b là vectơ – không a  b  0 thì ta bảo a là vectơ đối của vectơ b


hoặc b là vectơ đối của vectơ a .



  

11. Hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai. a  b  a  b

 

-2-





Độ dài của vectơ – không là 0  0

Vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ

Vectơ 0 cùng hướng với mọi vectơ


8. Vectơ - không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là 0









a  b


a  b









Vectơ đối của vectơ a là vectơ a


Vectơ đối của vectơ AB là vectơ BA


Ngược hướng với a

Vectơ đối của vectơ a
Cùng độ dài với a


Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30



12. Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu k a , được xác định như sau:


* ka  a nếu k > 0


ka  a nếu k < 0



* Độ dài của vectơ k a là ka  k . a




 
 
13. Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Từ điểm O tùy ý, vẽ OA  a và OB  b
 
Khi đó: a,b = AOB

 

Nha Trang



k la   kl  a

 
 k  l  a  ka  la
 


k a  b  ka  kb

 





 
k  0
ka  0    
a  0



Góc giữa hai vectơ a và b không phụ thuộc vào
vị trí chọn điểm O.
 
 
Nếu a, b  900 thì a  b
  

 
Nếu a  b  0 thì a, b có số đo tùy ý.


 


 
a  b  a, b  0 và a  b  a, b  1800

 

 

14. Phép nhân của hai vectơ là một số thực, số thực này gọi là tích vô hƣớng của hai vectơ, và
  
 
được xác định bằng công thức a.b  a . b .cos a, b

 

 

Bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài
2  2
của vectơ đó: a  a


   
Công thức hình chiếu: a.b  a.b ' với b '  hca b


 
a.b  0  a  b
 
a.b  b.a
 

ka .b  k a.b
    
a. b  c  a.b  a.c



   
 

-3-

 


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

Nha Trang





  
15* Điều kiện để hai vectơ cùng phƣơng: Vectơ b cùng phương với vectơ a a  0  k  R : b  ka





 
 A, B, C thẳng hàng  AB / / AC






16* Cho hai vectơ không cùng phương a và b , lúc đó mọi vectơ x đều có thể biểu diễn một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là tồn tại



duy nhất cặp số thực  ;   sao cho x   a   b .

17* Các quy tắc của vectơ

  
 
Quy tắc cộng: AA1  A1 A2  A2 A3  ...  An1 An  AAn
   

Quy tắc chèn điểm: AAn  AA1  A1 A2  A2 A3  ...  An1 An
  

Quy tắc hiệu: AB  AC  CB
  
Quy tắc hình bình hành: canh  canh  duongcheo (Cùng xuất phát từ một đỉnh)

Quy tắc trung điểm:
(IA = IB, I  AB )

  
IA  IB  0
 

MA  MB  2MI (M tùy ý)

Quy tắc trọng tâm (G – trọng tâm ABC )

   
GA  GB  GC  0
   
MA  MB  MC  3MG (M tùy ý)
 
 
GA1  GA2  ...  GAn  0
 


MA1  MA2  ...  MAn  nMG (M tùy ý)

Tổng quát: G – trọng tâm của hình gồm n đỉnh

-4-

Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

Nha Trang

   
18* Quy tắc hình hộp: canh  canh  canh  duongcheo (xuất phát từ 1 đỉnh)

19. Trong không gian, ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song
song hoặc chứa trong một mặt phẳng.

 

20* Cho 3 vectơ a , b và c trong không gian



     
Từ một điểm O bất kỳ ta vẽ OA  a, OB  b, OC  c . Khi đó ba vectơ a ,


b và c đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O, A, B, C cùng nằm trên
một mặt phẳng.



 



Nếu một trong ba vectơ a , b và c là vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng
phẳng.



 

Nếu hai trong ba vectơ a , b và c cùng phương thì ba vectơ đó đồng
phẳng.

 

21* Cho hai vectơ không cùng phương a , b và một vectơ c trong không gian.
 

Khi đó, ba vectơ a , b và c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất cặp số

 
m, n sao cho c  ma  nb
 


22* Cho a , b và c là ba vectơ không đồng phẳng. Với bất kỳ một vectơ x nào
trong không gian ta đều tìm đƣợc một bộ duy nhất ba số m, n, p sao cho:





x  ma  nb  pc

-5-


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG
  
OM  xi  y j  M ( x; y )

 

u  xi  y j  u( x; y)

1.

2*


a  a1 ; a2 

b  b1 ; b2 

 
a  b   a1  b1; a2  b2 
 
a  b   a1  b1; a2  b2 


ka   ka1; ka2  với k  R

a.b  a1.b1  a2 .b2
 
a1  b1
ab
a2  b2

 
a  kb1
a / /b  k  R :  1
a2  kb2

Nha Trang

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
   
OM  xi  y j  zk  M ( x; y; z )

  

u  xi  y j  zk  u ( x; y; z )

1.

 
a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 
 
a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 


với k  R
ka   ka1; ka2 ; ka3 

a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3

a  a1 ; a2 ; a3 
2*  
b  b1 ; b2 ; b3 

* Đặc biệt: Nếu b1 , b2  0 thì
 
a a
a / /b  1  2
b1 b2

a  a12  a22

-6-

a1  b1
 

a  b  a2  b2
a  b
 3 3

a1  kb1
 


a / / b  k  R : a2  kb2
a  kb
3
 3
* Đặc biêt: Nếu b1 , b2 , b3  0 thì
 
a
a a
a / /b  1  2  3
b1 b2 b3

a  a12  a22  a32


Nguyễn Bá Vinh

 A  xA ; y A 

3*  B  xB ; yB 

C  xC ; yC 

01684.93.77.30

Nha Trang


AB   xB  xA ; yB  y A 



AB   xB  xA ; yB  y A ; zB  z A 

I là trung điểm AB:
x A  xB

 xI  2

 y  y A  yB
 I
2

x A  xB

 xI  2

y  yB

I là trung điểm AB:  yI  A
2

z A  zB

 zI  2


G là trọng tâm  ABC:
x A  xB  xC

 xG 
3


 y  y A  yB  yC
 G
3

 A  xA ; y A ; z A 

3*  B  xB ; yB ; z B 

C  xC ; yC ; zC 

-7-

G là trọng tâm  ABC:
x A  xB  xC

 xG 
3

y A  yB  yC

 yG 
3

z A  z B  zC

 zG 
3


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

Nha Trang
 
a
  a; b    2
 b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1
;
b1 b1

a2 

b2 

 
 
*  a; b    b; a 
 

 
c  a

 Nếu c   a; b  thì   
c  b
*

 
 
 
*  a; b   a . b .sin a; b

 

* SABC 
4* Tích có hƣớng

1  
 AB; AC 

2

 
* ShbhABCD   AB; AC 
* Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’
  
VhhABCD. A ' B 'C ' D '   AB; AC  .AA '
* Thể tích tứ diện ABCD :
1   
VABCD   AB; AC  .AD
6

 

 
* a, b cùng phương   a, b   0
  
  
* a, b, c đồng phẳng   a, b  .c  0
-8-


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
TRONG MẶT PHẲNG

Nha Trang

PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN


1. Vectơ pháp tuyến của một đƣờng thẳng là vectơ khác 0 có

giá vuông góc với đường thẳng ấy. Kí hiệu là n d


1. Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là vectơ khác 0 có giá vuông góc với mặt

phẳng ấy. Kí hiệu là n 


Vectơ chỉ phƣơng của một đƣờng thẳng là vectơ khác 0 có giá

song song hoặc trùng với đường thẳng ấy. Kí hiệu là u d


Vectơ chỉ phƣơng của một mặt phẳng là vectơ khác 0 có giá song song hoặc nằm

trong mặt phẳng ấy. Kí hiệu là u  



n( A; B)  u( B; A)

2*



n( A; B)
3*  d  : 

 M 0 ( x0 ; y0 )


u1
 

 
2* u2
 n  u1 , u2 

  
u1 / / u2


u
u (u1 ; u2 )  k  2
u1
Phương trình tổng quát:
 d  A( x  x0 )  B( y  y0 )  0





n( A; B; C )
3*  P  : 

 M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

 d  Ax  By  C  0  n( A; B)

 P  A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )  0


 P  Ax  By  Cz  D  0  n( A; B; C )

-9-


Nguyễn Bá Vinh



u (u1 ; u2 )
3*  d  : 

 M 0 ( x0 ; y0 )

A  xA ; y A 
B  xB ; y B 

he-so  goc : k
4*  d  
 M 0 ( x0 ; y0 )


d  Ox   A , x A  a
5* d : 

d  Oy  B , yB  b

01684.93.77.30

Nha Trang

Phương trình tham số
 x  x0  ku1
;k  R
d  
 y  y0  ku2

Phương trình chính tắc
x  x0 y  y0
(d )

u1
u2
Phương trình chính tắc của
đường AB:
x  xA
y  yA

xB  xA yB  y A

(d ) y  y0  k  x  x0 

 d  y  kx  m
Phương trình đoạn chắn
x y
(d )   1
a b

 P   Ox   A , x A  a

5*  P  :  P   Oy  B , yB  b

 P   Oz  C , zC  c

- 10 -

Phương trình đoạn chắn

x y z
 P    1
a b c


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI
CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG TRONG PHẲNG
A1 B1 C1


A2 B2 C2
A B C
 d1    d2   1  1  1
A2 B2 C2
A
B
 d1  cat  d2   1  1
A2 B2

Nha Trang

VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI
CỦA HAI MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

 d1  / /  d2  

 d1  A1x  B1 y  C1  0
 d2  A2 x  B2 y  C2  0



 P1  A1x  B1 y  C1z  D1  0
 P2  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0



 d1    d2   n1  n2

GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG
TRONG MẶT PHẲNG




Hai đường thẳng d1 , d 2 cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo
nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo góc giữa hai
đường thẳng d1 , d 2 hay đơn giản là góc giữa d1 , d 2 .
Khi d1 / / d 2 hoặc d1  d 2 , ta quy ước góc giữa chúng bằng
00 .



d1 ; d 2 
Góc giữa hai đường thẳng d1 ; d 2 được ký hiệu là 
hay đơn giản là  d1 ; d 2  . Góc này không vượt quá 900

A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2
A B C
D
 P1    P2   1  1  1  1
A2 B2 C2 D2
A B C
 P1  cat  P2   1 ; 1 ; 1 không đồng
A2 B2 C2
thời bằng nhau.
 
 P1    P2   n1  n2

 P1  / /  P2  

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN


Hai mặt phẳng  P1  ,  P2  cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các
góc đó được gọi là số đo góc giữa hai mặt phẳng  P 1 ,  P2  hay đơn giản là
góc giữa  P1  ,  P2 




Khi  P1  / /  P2  hoặc  P1    P2  , ta quy ước góc giữa chúng bằng 00 .


Góc giữa hai mặt phẳng  P 1 ,  P2  được ký hiệu là   P 1 ,  P 2  hay đơn giản
là

- 11 -

 P  ,  P   . Góc này không vượt quá 90
1

2

0


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30



 d1  A1x  B1 y  C1  0; n1 ( A1, B1 )

 d2  A2 x  B2 y  C2  0; n2 ( A2 , B2 )
* Nếu  d1  y  k1 x  b1

 d2  y  k2 x  b2

 
n1.n2
cos  d1 ; d 2    

n1 . n2

tan  d1 ; d 2  



 P1  A1x  B1 y  C1z  D1  0; n1 ( A1 , B1 , C1 )

 P2  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0; n2 ( A2 , B2 , C2 )

2*
 d1  A1x  B1 y  C1  0

 d2  A2 x  B2 y  C2  0

d M;d  

Ax0  By0  C
A2  B 2

Khoảng cách giữa hai đường
thẳng song song bằng khoảng
cách từ một điểm tùy ý trên
đường thẳng này đến đường
thẳng kia.

d1 / / d 2

d  d1 , d 2  

 
n1.n2
cos   P 1 ,  P2     
n1 . n2

k2  k1
1  k1.k2

KHOẢNG CÁCH TRONG MẶT PHẲNG

 M  x0 , y0 
1* 

 d  Ax  By  C  0

Nha Trang

C2  C1
A B
2

KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

 M  x0 , y0 , z0 
1* 

 P  Ax  By  Cz  D  0

2*
 P1  A1x  B1 y  C1z  D1  0

 P2  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
 P1  / /  P2 

2

- 12 -

d  M ,  P  

Ax0  By0  Cz0
A2  B 2  C 2

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song bằng khoảng cách từ một điểm tùy
ý trên mặt phẳng này đến mặt phẳng
kia.

d   P 1 ,  P2   

D2  D1
A  B2  C 2
2


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

Nha Trang

PHƢƠNG TRÌNH HAI ĐƢỜNG PHÂN GIÁC
Phƣơng trình hai đƣờng phân giác của các góc tạo bởi d1 ,d 2 là
tập hợp tất cả điểm M thỏa:
d  M , d1   d  M , d2 

 d  Ax  By  C  0

và M  xM ; yM  , N  xN ; yN   d



M,N nằm cùng phía đối với d  f  M  . f  N   0



M,N nằm khác phía đối với d  f  M  . f  N   0

Với f  x, y   Ax  By  C

PHƢƠNG TRÌNH CHÙM ĐƢỜNG THẲNG
Nếu  d1  A1 x  B1 y  C1  0 và  d2  A2 x  B2 y  C2  0 cắt nhau tại
M thì mọi đường thẳng khác đi qua M đều có dang:
m  A1 x  B1 y  C1   n  A2 x  B2 y  C2   0 với m2  n2  0

PHƢƠNG TRÌNH CHÙM MẶT PHẲNG
Hai mặt phẳng  P1  A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và  P2  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 cắt nhau

 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
tại giao tuyến  d  : 

thì mọi mặt phẳng đi qua giao tuyến d
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
đều có dạng:
m  A1 x  B1 y  C1 z  D1   n  A2 x  B2 y  C2 z  D2   0 với m2  n2  0

- 13 -


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

Nha Trang

ĐƢỜNG TRÕN
1. Phƣơng trình đƣờng tròn tâm I  x0 ;y 0  bán kính R là tập hợp
các điểm M(x;y) thỏa phương trình:

 x  x0    y  y0 
2

2

1. Phƣơng trình mặt cầu tâm I  x0 ;y 0 ;z 0  bán kính R là tập hợp các điểm
M(x;y;z) thỏa phương trình:

 x  x0    y  y0    z  z0 

 R2

2* Phương trình x2  y 2  ax  by  c  0 là đường tròn tâm
 a b
I   ;   , bán kính R  xI2  yI2  c ; trong đó xI2  yI2  c  0
 2 2
3* Vị trí giữa M và đƣờng
tròn (C) tâm I, bán kính R.

MẶT CẦU

M nằm ngoài (C)  MI > R
M nằm trên (C)  MI = R
M nằm bên trong (C)  MI
(d) không cắt (C)  d(I,(d)) > R
4* Vị trí giữa đƣờng thẳng d
(d) tiếp xúc (C)  d(I,(d)) = R
và đƣờng tròn (C) tâm I,
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt 
bán kính R.
d(I,(d)) < R.
 Muốn viết phương trình tiếp tuyến d của (C), ta chú ý tới 2 điều:
- Điểm trên đường tròn mà d đi qua
- Định lý: d là tiếp tuyến của (C)

2

2

2

 R2

2* Phương trình x2  y 2  z 2  ax  by  cz  d  0 là đường tròn tâm
 a b c
I   ;  ;   , bán kính R  xI2  yI2  zI2  d ; trong đó xI2  yI2  zI2  d  0
 2 2 2
3* Vị trí giữa M và mặt cầu (S) tâm
I, bán kính R.

M nằm ngoài (S)  MI > R
M nằm trên (S)  MI = R
M nằm bên trong (S)  MI
4* Vị trí giữa mặt phẳng (P) với mặt
cầu (S) tâm I, bán kính R.

(P) không cắt (S)  d(I,(P)) > R
(P) tiếp xúc (S)  d(I,(P)) = R
(P) cắt (S) tại hai điểm phân biệt 
d(I,(P)) < R.

 (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có dạng:
 x 2  y 2  z 2  ax  by  cz  d  0
C  
Ax+By+Cz+D=0
* Tâm O: là hình chiếu I lên mặt phẳng (P)
Cách tìm: - Viết phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P)
- Tìm giao điểm O giữa đường thẳng này với (P).
* Bán kính: r  R 2  IO2
- 14 -

Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

ELLIP TRONG MẶT PHẮNG

Nha Trang

ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1F2  2c  c  0 
Đƣờng elip là tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a
Trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
Hai điểm F1 , F2 gọi là các tiêu điểm của elip.
Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của elip.

1*

 M  x0 ; y0 ; z0 
d : 
u (u1 ; u2 ; u3 )

Phương trình tham số của d:
 x  x0  u1t

 y  y0  u2t ; t  R
z  z  u t
0

3


2* Phƣơng trình chính tắc của elip
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tiêu cự F1  c;0  , F2  c;0 
Khi đó phương trình elip là:  E  :

2

Phương trình chính tắc của d
x  x0 y  y0 z  z0
; u1 , u2 , u3  0


u1
u2
u3

2

x
y
 2  1 a  b  0 
2
a
b

Trong đó a 2  b2  c2

3* Bán kính qua tiêu

Với M  xM ; yM    E  :

A  xA ; y A ; z A 

 MF1  a  ex M
x2 y 2
 2  1 , ta có: 
2
a
b
 MF2  a  ex M

B  xB ; y B ; z B 

- 15 -

Phương trình chính tắc của đường AB:
x  xA
y  yA
z  zA


xB  xA yB  y A zB  z A


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

HÌNH DẠNG CUẢ ELIP

1* Tính đối xứng của elip

Nha Trang

VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI
2* Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng

2

2

x
y
 2  1 a  b  0  nhận các trục tọa độ
2
a
b
làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.


(d1 ) đi qua M1  x1; y1; z1  và có u (u1; u2 ; u3 )

(d 2 ) đi qua M 2  x2 ; y2 ; z2  và có v(v1; v2 ; v3 )

2. Hình chữ nhật cơ sở


 
Cách 1: Đặt n  u; v 

Elip có phương trình  E  :

x2 y 2
Elip  E  : 2  2  1 a  b  0  cắt trục Ox tại điểm hai điểm A1 và
a
b
A2 , cắt trục Oy tại hai điểm B1 và B2
-

Bốn điểm đó gọi là các đỉnh của elip.

-

Trục Ox được gọi là trục lớn, trục Oy gọi là trục bé.
Người ta cũng gọi đoạn A1 A2 là trục lớn, đoạn B1B2 là
trục bé.

-

 
n  0
*d1 / / d 2  
 M 1  d 2
 
n  0
*d1  d 2  
 M 1  d 2
 
n.M 1.M 2  0
*  d1  cat  d 2     

n  0

Độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b.


d1  d 2  u.v  0

Vẽ qua A1 , A2 hai đường thẳng song song với trục tung,
vẽ qua B1 , B2 hai đường thẳng song song với trục hoành.
Bốn đường thẳng đó tạo thành hình chữ nhật cơ sở.

 
*  d1  cheo  d 2   n.M 1.M 2  0

- 16 -


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

3. Tâm sai của elip
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và
c
được kí hiệu là e, tức là e   0  e  1 .
a

4. Elip và phép co đƣờng tròn
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:
x2  y 2  a2

Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’;y’) sao cho:
x '  x

b (0  b  a)

 y '  a y

Nha Trang

Cách 2: Xét hệ phương trình tạo thành gồm các phương trình của (d1 ) và (d 2 )
 Nếu hệ có một nghiệm duy nhất thì (d1 ) cắt (d 2 )



Nếu hệ vô số nghiệm thì  d1   (d2 )

 d1  / /(d 2 )
Nếu hệ vô nghiệm thì 
 d1  , (d 2 )cheonhau
- Nếu các VTCP cùng phương thì hai đường thẳng song song với
nhau.
- Nếu các VTCP không cùng phương thì hai đường thẳng chéo nhau.

Cách 3: Xét các VTCP


Nếu các VTCP cùng phương thì chỉ xảy ra 1 trong hai trường hợp là hoặc
song song, hoặc trùng nhau
-



x '2 y '2
thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình 2  2  1
a
b
Khi đó ta nói đƣờng tròn (C) đƣợc co về elip.

Nếu các VTCP không cùng phương thì hai đường thẳng cắt nhau, hoặc
chéo nhau. Lúc này lập hệ phương trình để xét
-

- 17 -

Nếu M1  d1  M1  d2 thì d1  d 2
Nếu M1  d1  M1  d2 thì d1 / / d 2

Nếu hệ có nghiệm thì hai đường cắt nhau
Nếu hệ vô nghiệm thì hai đường chéo nhau.


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

Nha Trang

3* Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng



- Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có VTCP u  u1; u2 ; u3 

- Mặt phẳng (P) có VTPT n  A; B; C 
Cách 1:


* u.n  0  d cắt (P)
 
 d vuông góc (P)  u / / n


d / /  P 
* u.n  0  
 d   P 
- Nếu M 0  d  M 0   P  thì d   P 
- Nếu M 0  d  M 0   P  thì d / /  P 

Cách 2:
-

-

-

- 18 -

 x  x0  u1t

Viết d dưới dạng tham số  y  y0  u2t ; t  R
z  z  u t

0
3


 x  x0  u1t
y  y u t

0
2
Giải hệ 
 z  z0  u3t
 Ax  By  Cz  D  0
Nếu hệ có một nghiệm thì d cắt (P)
Nếu hệ vô nghiệm thì d // (P)
Nếu hệ có vô số nghiệm thì d   P 


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

Nha Trang

KHOẢNG CÁCH
1* Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng
-

Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có VTCP

u  u1; u2 ; u3 

Một điểm M bất kỳ
Tính d (M , d )  ?

 
M 0M ; u 


Cách 1: d ( M , d ) 

u

Cách 2:
-

Viết phương trình mặt phẳng   qua M và vuông góc với d

-

Tìm giao điểm H của d với  

-

Khi đó: d (M , d )  MH

-

 x  x0  u1t

Viết d dưới dạng tham số  y  y0  u2t ; t  R
z  z  u t

0
3


Cách 3:

-

- 19 -

Gọi H là điểm bất kỳ thuộc d  H  x0  u1t; y0  u2t; z0  u3t 
 
Để H là hình chiếu vuông góc của M lên d  MH  u
Khi đó d (M , d )  MH


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

Nha Trang

2* Khoảng cách giữa hai đƣờng chéo nhau
-


Đường thẳng d đi qua điểm A và có VTCP u

Đường thẳng d’ đi qua điểm B và có VTCP v
Tính d (d , d ')  ?

  
u; v  . AB
 
Cách 1: d (d , d ') 
 
u ; v 
 

Cách 2: Tính độ dài đoạn vuông góc chung

Cách 3:
-

- 20 -

Viết phương trình mặt phẳng   chứa d’ và   // d
Khi đó d (d , d ')  d  d ,     d  A,   


Nguyễn Bá Vinh

01684.93.77.30

Nha Trang

GÓC
1* Góc giữa hai đƣờng thẳng

- Đường thẳng d có VTCP u


- Đường thẳng d’ có VTCP v

u.v
- Khi đó cos  d , d '   
u.v

00  cos  d , d '  900
 

d  d '  u  v  u.v  0
2* Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
-


Đường thẳng d có VTCP u

Mặt phẳng (P) có VTPT n

u.n
Khi đó sin  d ,  P     
u.n


00  sin  d ,  P    900

 
d / /  P 
nu


 d   P 

- 21 -