Xây dựng phần mềm đánh giá độ chính xác và bình sai lưới trắc địa BK HCM

Phần 1. Lý thuyết bình sai lưới trắc địa và đánh giá độ chính xác lưới thiết kế
Chương 1 .Cơ sở lý thuyết bình sai lưới trắc địa
1.1.Bình sai tham số và đánh giá độ chính xác
1.2. Bình sai điều kiện kèm đánh giá độ chính xác
1.4. Bình sai tham số kèm điều kiện kèm đánh giá độ chính xác;
1.5. Bình sai điều kiện kèm tham số và đánh giá độ chính xác.
Chương 2.Bình sai các loại lưới trắc địa
2.1. Bình sai lưới cao độ phụ thuộc bằng phương pháp tham số kèm đánh giá độ chính xác
2.2. Bình sai lưới đo góc –cạnh bằng phương pháp tham số kèm đánh giá độ chính xác
2.3.Bình sai đường chuyền theo phương pháp điều kiện
2.4. Bình sai lưới đường chuyền theo phương pháp điều kiện kèm tham số
2.5. Bình sai lưới không gian GPS và lưới hỗn hợp mặt bằng.
Chương 3 . Đánh giá độ chính xác lưới thiết kế
3.1. Đánh giá độ chính xác lưới cao độ thiết kế;
3.2. Đánh giá độ chính xác lưới thiết kế đường chuyền
3.3. Đánh giá độ chính xác lưới đo góc-cạnh hoặc lưới đo cạnh
3.4. Đánh giá độ chính xác lưới thiết kế GPS
3.5. Đánh giá độ chính xác lưới thiết kế hỗn hợp
Chương 4 Bình sai lưới trắc địa tự do
4.1. Bình sai lưới cao độ tự do kèm đánh giá độ chính xác
4.2. Bình sai lưới tư do mặt bằng kèm đánh giá độ chính xác
4.3. Bình sai lưới tự do mặt bằng đường chuyền hoặc lưới đường chuyền
4.4. Bình sai lưới tự do GPS
Chương 5. Phân tích độ ổn định mốc bằng bình sai lưới tự do
5.1. Phân tích độ ổn định các mốc cao độ lưới cơ sở khi có số liệu đo lặp 2 chu kỳ trở lên
5.2. Phân tích độ ổn định độ ổn định mốc tọa độ khi có số liệu đo từ 2 chu kỳ lưới đo góc,
góc-cạnh trở lên
5.3. Phân tích độ ổn định các mốc GPS khi có số liệu đo từ 2 chu kỳ trở lên: Các modul
chương trình tính
Chương 6. Giới thiệu giao diện chương trình BKHCM
Chương 7. Kết quả tính toán theo chương trình BK HCM

7.1 Sơ đồ lưới độ cao phụ thuộc và số liệu đo, kết quả chạy chương trình và so sánh đánh
giá;
7.2 Sơ đồ lưới độ cao tự do và số liệu đo, kết quả chạy chương trình và đánh giá.


7.3 Sơ đồ lưới tam giác đo góc-cạnh, số liệu đo, kết quả chạy chương trình và so sánh
đánh giá
7.4.Sơ đồ thiết kế lưới độ cao, đánh giá độ chính xác lưới với các trọng số trị đo khác
nhau.
7.5. sơ đồ lưới cao độ, số liệu các chu kỳ đo, kết quả phân tích độ ổn định các mốc, so
sánh.
7.6. Sơ đồ lưới đo góc-cạnh, số liệu đo các chu kỳ, kết quả phân tích độ ổn định các mốc,
so sánh
7.7. Sơ đồ đường chuyền và lưới đường chuyền, số liệu đo, kết quả bình sai, so sánh và
đánh giá.
7.8. Sơ đồ lưới GPS, số liệu đo, trọng số đo, kết quả chạy chương trình, so sánh và đánh
giá.
7.9. sơ đồ đo lưới hỗn hợp đường chuyền-GPS, số liệu đo, kết quả chạy chương trình, so
sánh, đánh giá.
7.12. Sơ đồ lưới đường chuyền thiết kế, đánh giá độ chính xác lưới thiết kế và so sánh
7.13. Sơ đồ đo lưới GPS, số liệu đo 2 chu kỳ, phân tích độ ổn định mốc và so sánh, đánh
giá. (bỏ)
Chương 8. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Tóm tắt
Bình sai trị đo lưới trắc địa là một trong những nội dung chủ yếu trong xử lý toán
học số liệu đo trắc địa. Lưới trắc địa gồm hệ thống lưới cao độ, tọa độ Quốc gia, lưới khu
vực, lưới đo vẽ được áp dụng rộng rãi trong đo vẽ bản đồ địa chính, bản đồ địa hình ,khảo
sát hiện trạng, thi công và quan trắc biến dạng công trình. Ngoài ra, để nghiên cứu chuyển
dịch vỏ trái đất và mực nước biển dâng hàng năm do biến đổi khí hậu, hệ thống mốc tọa
độ, cao độ Quốc gia cần phải đo lặp định kỳ và xử lý tính toán, bình sai lại để có số liệu

tin cậy và cập nhật nhất. Trong đào tạo bậc đại học và cao học bình sai lưới trắc địa là nội
dung chủ yếu của các môn học liên quan như: Trắc địa đại cương; địa hình; lưới trắc địa;
GPS, trắc địa công trình và ứng dụng, đồ án tốt nghiệp vv...
 Chính vì vậy, có một phần mềm bình sai lưới trắc địa là yêu cầu của thực tiễn sản

xuất và phục vụ đào tạo. Trong bối cảnh đó : “Xây dựng phần mềm đánh giá

độ chính xác và bình sai lưới trắc địa BK HCM”, mã số: C2013-20-12, đã
được đăng ký và thực hiện.

Để viết 13 modul tính như trong phụ lục hợp đồng C2013-20-12/HĐ-KHCN, tập thể thực hiện
có sự phân công từng nội dung như sau:
1. PGS-TS Đào xuân Lộc – phụ trách chung, và viết lý thuyết các chương 1,2,3,4,5 ,7
2. Th s. Vũ Duy Hưng – Lập trình các modul tính và viết chương 6;
3. Ths. Dương Tuấn Viết- viết mục 2.5 và phần chuyển đổi hệ thống tọa độ;


4. Ks-học viên cao học Thái Văn Hòa – Kiểm tra, tính toán, so sánh với các phần mềm
thương mại khác.
5. Ks-Nguyễn Duy Vũ- thu thập các số liệu đo từ thực tế trong sản xuất đo đạc;
Để kiểm chứng tính đúng đắn của chương trình BK HCM chúng tôi đã sử dụng các phần
mềm liscad10.0 SEE của Thụy sĩ; DPSurvey 2.8 (9/2014); bscao1.for; bscao2.for; pick
net; nivo.exe ; Geotool ; Gpset và các ví dụ trong nhiều tài liệu của trường Đại học trắc
địa không ảnh và bản đồ Moxcova (CHLB Nga); khoa trắc địa bản đồ- Trường đại học mỏ
địa chất-Hà nội và bộ môn địa tin học trường Đại học bách khoa-ĐHQG tp. HCM; Có
những trường hợp không có số liệu như lưới hỗn hợp GPS và đo mặt đất, chúng tôi phải
dựa vào số liệu đo thực tế GPS rồi xây dựng thêm mô hình số liệu đo mặt đất để thực
nghiệm so sánh. Tất cả các sơ đồ lưới và số liệu đo, chúng tôi trình bày trong file
dulieu.docx [23] để người đọc tiện theo dõi và chạy thử modul tính đó.
Trong thời gian thực hiện đề tài chúng tôi đã thực hiện viết 5 báo cáo khoa học

[9], [10], [24], [25], [26] và hướng dẫn thành công 1 luận văn thạc sĩ liên quan ( xem phụ
lục 2-1) đúng như yêu cầu trong phụ lục 2, hợp đồng Số: C2013-20-12/HĐ-KHCN. Riêng
mục đăng ký sở hữu trí tuệ đang được tiến hành theo các thủ tục cần thiết.
Phần mềm bình sai lưới trắc địa BK HCM đã hoàn thành, tính đúng đắn đã khẳng định .
Tuy nhiên, trong quá trình vận hành mong nhận được sự góp ý của mọi đối tượng sử dụng để
càng ngày càng hoàn thiện hơn.

Phần 1. Lý thuyết bình sai lưới trắc địa và đánh giá độ chính xác lưới thiết kế

Chương 1 .Cơ sở lý thuyết bình sai lưới trắc địa
1.1.Khái niệm lưới trắc địa. Hệ thống các mốc, được gắn trên mặt đất, tạo thành một
mạng lưới được liên kết với nhau bởi các trị đo được gọi là lưới khống chế trắc địa.
Lưới khống chế trắc địa bao gồm lưới khống chế tọa độ và lưới khống chế độ cao.
Lưới khống chế trắc địa chia thành lưới khống chế tọa độ và độ cao quốc gia, lưới
khống chế tọa độ và độ cao khu vực và lưới khống chế đo vẽ. Các loại lưới khống chế
tọa độ và cao độ nói trên lại được chia thành nhiều cấp, hạng có độ chính xác giảm dần


từ cấp hạng trên xuống cấp hạng dưới. Ngoài ra, lưới khống chế tọa độ và cao độ cơ sở
công trình được thành lập trên khu vực thành phố, công nghiệp, thủy lợi … là cơ sở trắc
địa để tiến hành các công tác khảo sát, xây dựng và quan trắc biến dạng công trình.
Trong các loại lưới nêu trên các điểm cấp, hạng cao luôn luôn là điểm gốc để phát triển
lưới cấp hạng thấp hơn.
1.2. Khái niệm bình sai trị đo trong lưới trắc địa.
Các trị đo x’ trong lưới trắc địa đều chứa sai số thực, là độ lệch x’ so với trị thực X:
θ=x’-X

(1.1).

Trong lưới mặt bằng các trị đo có thể là góc đo β, cạnh đo s, còn nếu đo bằng công nghệ

GPS thì các trị đo là số gia tọa độ của các đường đáy Δx, Δy, Δz. Trong lưới cao độ các
trị đo là các chênh cao h giữa 2 mốc. Mỗi trị đo x’có trọng số tương ứng là p. Nếu tổng
tất cả các đại lượng đo trong lưới là n, số đại lượng đo vừa đủ để giải quyết bài toán đặt
ra là k, thì số lượng đo dư thừa sẽ là r=n-k. Vì có đo dư thừa, nên trong lưới xuất hiện r
sai số khép độc lập W=φ(x’). Và bình sai trị đo trong lưới trắc địa, là đi tìm số hiệu
chỉnh v vào giá trị đo x’, để được trị bình sai x:
1.

x=x’+v

(1.2).

2. Sau khi bình sai, không còn sai số khép trong lưới, hay W=φ(x)=0.
Còn số hiệu chỉnh v vào trị đo, từ (1.2), có:
3.

v=-(x’-x)

(1.3).

Phương án loại trừ sai số khép lý tưởng nhất, là tìm được trị bình sai x, bằng giá trị thực
X. Nếu được, thì v=-θ. Tuy nhiên, sai số thực trị đo không bao giờ tìm được.
Có rất nhiều hệ nghiệm v để loại trừ sai số khép trong lưới. Tuy nhiên, chỉ có một
tập hợp nghiệm v, vừa loại trừ được sai số khép trong lưới, vừa có xác suất lớn nhất
trùng với tập hợp –θ, và đó chính là nguyên tắc số bình phương nhỏ nhất:
[pvv]=min
Trong đó pi -là trọng số trị đo i tính theo công thức : Pi 

(1.4).
2

2

m

(1.5).

i

Nếu trong lưới trắc địa chúng ta không bình sai, thì tọa độ, cao độ của các điểm


xác định sẽ có các giá trị khác nhau, tùy theo cách tính từ các điểm gốc khác nhau, còn
trong lưới được bình sai, thì tọa độ, cao độ các điểm mốc cần xác định, sẽ có giá trị là
duy nhất, dù cách chuyền tọa độ, cao độ khác nhau. Như vậy, sau bình sai các yếu tố
cần xác định của lưới sẽ tăng độ chính xác, còn sai số khép trong lưới sẽ được triệt tiêu.
Để bình sai trị đo trong lưới trắc địa, thường dùng 2 phương pháp cơ bản là bình sai
tham số (gián tiếp) và bình sai điều kiện. Ngoài ra, còn có một số phương pháp khác kết
hợp giữa 2 phương pháp cơ bản nêu trên.
1.3.Bình sai tham số và đánh giá độ chính xác
Trong phương pháp này để tìm v theo nguyên tắc (1.4) phải chọn k tham số độc lập
t1,t2...tk . Nếu gọi các giá trị gần đúng tham số t10, t20 , ....tk0 và các số hiệu chỉnh vào tham
số gần đúng là τ1τ2...τk thì các tham số bình sai:
tj=tj0+τj
( 1.6 )
và các trị bình sai xi=fi(t1,t2,…tk)=x’i+vi=fi(t10+τ1, t20+τ2,….tk0+τk) (1.7)
từ đây khai triển (1.7) dưới dạng chuỗi Teilor ở lân cận t0 và bỏ qua thành phần bậc 2, ta
có phương trình số cải chính: vi  ai1.1  ai2.2  .....aik .k  li ( 1.8 )
trong đó

 xi 

 xi 
 xi 

  a i1 ; 
  a i2 ; 
  a ik ;
 t1 0
 t2 0
 t k 0

fi (t10, t20,....tk0) – x 'i = xi0 – x 'i = li .

Hay dưới dạng ma trận V=Aτ+l

(1.9 )
𝜕𝑥

Với A là ma trận hệ số phương trình số cải chính 𝐴 = ( ) (1.9)*
𝜕𝑡

và tìm véc tơ ẩn V dưới điều kiện (1.4), là đi tới giải hệ phương trình chuẩn sau:
ATPAτ +ATPl=Nτ+L=0
(1.10)
Trong đó P là ma trận đường chéo trọng số trị đo p .
Từ đây
τ=-N-1L =-QL
(1.11),
tính tham số bình sai t (1.6), V theo (1.8), trị bình sai x theo (1.2) và kiểm tra cuối cùng
theo (1.7).
Để đánh giá độ chính xác theo tài liệu bình sai, trước hết tính μ là sai số trung

phương đơn vị trọng số theo P và V:
𝜇=√

[𝑝𝑣𝑣]
𝑟

=√

𝑉 𝑇 𝑃𝑉
𝑟

(1.12).

Còn để tính sai số trung phương cho một hàm bất kỳ, trước hết lập hàm cần đánh giá
F=F(t), sau đó lấy đạo hàm theo các tham số 𝐹𝑗 =
, tính trọng số đảo hàm

𝜕𝐹
𝜕𝑡𝑗

, ta được ma trận cột F=(F1 F2

QF=1/PF=FTQF

Cuối cùng tính sai số trung phương hàm: 𝑚𝑓 = 𝜇 √𝑄𝑓

(1.13).
(1.14).

Fk)T

Trường hợp đặc biệt, nếu hàm cần đánh giá là các tham số, thì suy luận như trên có:
𝑚𝑡𝑗 = 𝜇 √𝑄𝑗𝑗

(1.15)

Với Qjj -là phần tử J trên đường chéo ma trận nghịch đảo Q=N-1
1.4. Bình sai điều kiện kèm đánh giá độ chính xác
Phương pháp này bài toán đi tìm cực tiểu [pvv] được giải theo phương pháp Legrend
bằng cách đưa các hệ số phụ của hệ phương trình điều kiện độc lập.
Giả sử có n trị đo liên hệ với nhau bởi r phương trình điều kiện độc lập:
φj (x1,x2…xn)=0

(1.16),

do có sai số trong quá trình đo, nên vế phải (1.16) khác 0 nghĩa là:
'
 j x1' ....X n
 Wj
(1.17).





Sau khi bình sai, sai số khép Wj phải được loại trừ, nên:
 j ( x1' + v1,...., x 'n + vn) = 0
(1.18).
Nếu phương trình (1.18) phi tuyến, trước hết đưa các phương trình điều kiện về dạng

tuyến tính, bằng cách khai triển dưới dạng chuỗi Taylor bỏ qua thành phần bậc 2 trở lên
thì:
  
  
'
'
 j x1'  v1 ,..., xn
 vn   j x1' ....xn

 v1  ...  
 vn
 x1 0
 xn 0









Ký hiệu
 j
x i

 a ij

(1.19).

Ta có:
 j = a1jv1 + a2jv2 +.....+ anjvn + wj = 0

(1.20).
Dưới dạng ma trận BV+W=0
(1.21)
Tiếp theo lập hàm Legrend là hàm cực trị, với điều kiện (1.21)
Ф=VTPV-2kTφ =min
(1.22)
Với k là véc tơ số liên hệ, từ (1.22) suy ra phương trình số hiệu chỉnh số liên hệ:
V = P–1 BTK

(1.23)

Hay vi = qi ai1 K1 + qi ai2 K2 +....+ qi air Kr

(1.24)

Với qi =1/pi -gọi là trọng số đảo trị đo.
Thay (1.23) vào (1.21) ta có phương trình chuẩn: BP-1BTK+W= NK+W=0

(1.25).


Giải (1.25) tìm K=-N-1W, thay vào (1.23) tìm V, cuối cùng tìm trị bình sai theo (1.2) và kiểm tra
còn sai số khép hay khộng, theo (1.16).
Để đánh giá độ chính xác của một hàm bất kỳ, trước hết lập hàm cần đánh giá là hàm trị
đo F=F(x), tiếp theo lấy đạo hàm theo các biến x:
𝜕𝐹

𝜕𝐹

𝑓 = 𝜕𝑥 = (𝜕𝑥

𝜕𝐹

1 𝜕𝑥2

𝜕𝐹

… . . 𝜕𝑥 ) = (𝑓1 𝑓2 … . 𝑓𝑛 )
𝑛

(1.26)

Sau đó tính trọng số đảo hàm theo [5]:
QF = fp-1 fT – fp–1 BTN–1 Bp–1 fT = Nff – NfT N–1 Nf. (1.27).
Và cuối cùng tính sai số trung phương hàm theo (1.12), còn μ tính theo (1.10).
1.5. Bình sai tham số kèm điều kiện và đánh giá độ chính xác;
Trong nhiều trường hợp trị đo được biểu diễn dưới dạng hàm các tham số, mà
số lượng các tham số này vượt đại lượng cần đủ k. Ta gọi các tham số dư ra khỏi
lượng tham số đủ là các ẩn số dư. Giữa tham số đủ và ẩn số dư tồn tại quan hệ toán
học. Giả sử lượng tham số được chọn là k’, vậy ngoài phương trình số cải chỉnh
(1.8), còn xuất hiện r’ = k’ –k phương trình điều kiện:
Bτ + W = 0
(1.28)
Giải hệ dưới điều kiện   V T .P.V  min , ta lập hàm Legrend:
Ф = 𝑉 𝑇 𝑃𝑉 + 2𝐾 𝑇 (𝐵𝜏 + 𝑊)

(1.29 )

Để hàm Ф cực trị, nghĩa là: AT.P.V + BT.K = 0; chú ý đến (1.8), ta viết được:
ATpAτ + ATpl + BTK = 0
Ký hiệu:

R = ATpA; b = ATpl và kết hợp với (1.28)

𝑅𝜏 + 𝐵𝑇 𝐾 + 𝑏 = 0
(1.30)
𝐵𝜏 + 𝑊 = 0
Từ phương trình thứ nhất (1.30) ta có: τ = – R–1 BTK – R–1 b, sau đó thay vào
phương trình thứ hai (1.30), suy ra:
có:

B.R–1. BT.K – W + B.R–1.b = 0
Ký hiệu: B. R–1. BT = N, có N.K + (B.R–1.b – W) = 0,
tìm vectơ số liên hệ K = N–1. W – N–1. B. R–1. b
hay

K  N1.W vôùi W  W  B.R1.b

còn vectơ τ được tính dưới dạng τ= τ’ + τ’’ .


̅
Trong đó τ’ = –R–1.b, còn 𝜏" = −𝑅−1 𝐵𝑇 𝐾 = −𝑅−1 𝐵𝑇 𝑁 −1 𝑊
Ma trận hệ số trọng số đảo giá trị vectơ bình sai τ:
𝑄𝜏 = (𝑅
𝐵

𝐵𝑇 )
0

−1

𝑄𝜏,𝜏
=(
𝑄𝑘,𝜏

𝑄𝜏,𝑘
)
𝑄𝑘,𝑘

(1.31)

Trọng số đảo hàm của hàm tính theo công thức:
QF = FT Qτ,τ F
(1.32)
Còn   pvv  pll.  K '  WT.K  pll  bT.X  WT.K . (1.33)
1.6. Bình sai điều kiện kèm tham số và đánh giá độ chính xác
Trong trường hợp này hệ phương trình điều kiện với ẩn phụ τ có dạng:
B.V + A.τ + W = 0

(1.34).

Ở đây τ là vectơ cột số hiệu chỉnh tới ẩn phụ.
Như vậy, số phương trình điều kiện tăng lên số lượng bằng số ẩn phụ r t = r + t.
Tuy tăng số lượng phương trình điều kiện lên nhưng chúng lại có dạng đơn giản
hơn so với phương pháp bình sai điều kiện thông thường.
Trước hết ta lập hàm Legrend:

Ф = 𝑉 𝑇 𝑃𝑉 − 2𝐾 𝑇 (𝐵𝑉 + 𝐴𝜏 + 𝑊)
Để  =min, nghĩa là:

 2V T .p  2K T .B ;
V


 2K T .A
x

phải bằng 0; do đó suy ra: V = P-1BTK
ATK = 0

(1.35)

Cuối cùng đi tới hệ phương trình chuẩn sau:
𝑊
𝑁 𝐴 𝐾
( 𝑇
)( ) + ( ) = 0
(1.36)
𝜏
0
𝐴
0
Ở đây N = B P-1BT.
Từ phương trình thứ nhất (1.36) tìm được vectơ số liên hệ
K = –N–1Aτ – N–1 W,
thay vào phương trình thứ hai của hệ trên, nhận được:
ATN–1 Aτ + AT N–1W = 0

hay

τ= -RA–1 bA

RAτ + bA = 0

ma trận hệ số trọng số đảo vectơ τ: Qτ = RA-1.

(1.37)


Để đánh giá độ chính xác hàm F = F(x,τ phụ), trước hết tính trọng số đảo hàm :
𝑄𝑓 = 𝑁𝑓,𝑓 − (𝑁𝑓𝑇

𝑄
Ф𝑇 ) ( 𝑘,𝑘
𝑄𝜏,𝑘

trong đó Nf,f= fP-1 fT ; Nf= BP–1 fT ; Ф = (
𝑁
( 𝑇
𝐴

𝑄𝑘,𝑘
𝐴 −1
) =(
𝑄𝑟,𝑘
0

𝑄𝑘,𝜏 𝑁𝑓

)( )
𝑄𝜏,𝜏 Ф
𝜕𝐹
𝜕𝜏 𝑝ℎ𝑢

(1.38),

) = (Ф1 Ф2 … Ф𝑡 )𝑇

𝑄𝑘,𝑟
) ,
𝑄𝑟,𝑟

Sau đó tính sstp hàm theo (1.12).
Chương 2. Bình sai các loại lưới trắc địa

2.1. Bình sai lưới cao độ phụ thuộc bằng phương pháp tham số kèm
đánh giá độ chính xác
2.1.1. Các trị đo trong lưới độ cao và trọng số tương ứng:

Các trị đo trong lưới cao độ là các chênh cao h’ giữa các điểm i, j được đo
chủ yếu hiện nay bằng phương pháp đo cao hình học từ giữa bằng máy thủy
chuẩn quang học hoặc điện tử với tia ngắm nằm ngang.
Giá trị chênh cao đo h’ giữa hai mốc i, j được tính bằng tổng chênh cao tất
cả các trạm đo trên tuyến thủy chuẩn này:
h''ij   htd

(2.1)

Mỗi giá trị đo h’ đều chứa sai số thực , tuân theo quy luật phân bố chuẩn đại

lượng ngẫu nhiên, do đó tuyến đo càng dài hoặc số lượng trạm đo càng lớn thì
sai số trung phương m của chênh cao h’ cũng lớn và khi bình sai phải thiết lập
trọng số trị đo (1.5). Tùy theo cách chọn  mà ta có trọng số tính theo các công
thức sau:


Pi 

C
Li

(2.2); pi 

c
(2.3) hoặc p i 
ni

c
(2.4)
 qtd

Trong đó C- hằng số tùy ý, phụ thuộc lựa chọn ; L- là chiều dài tuyến đo ở
đơn vị km; n- là số lượng trạm đo trên tuyến; qtd – là tsd trạm đo, được tính với
quan niệm rằng mỗi trạm đo chiều dài tia ngắm từ máy tới mia càng lớn thì sstp
chênh cao trạm đo càng lớn, thông dụng hiện nay trong đo lún công trình tính
theo công thức thực nghiệm của GS M.E Piscunop [4]:
qi 

0.014  0.0014Di 2
0.014  0.0014D0 2

(2.5)

Với Di và D0 là khoảng cách từ máy tới mia của trạm đo i và khoảng cách từ
máy tới mia của trạm đo chọn làm đơn vị trọng số. Thường (2.2) thiết lập trọng
số trị đo khi bình sai mạng lưới đo cao nhà nước; (2.3) thiết lập trọng số trong
các loại lưới đo cao khảo sát và thi công công trình, còn (2.5) áp dụng khi bình
sai lưới đo lún, trồi công trình.
2.1.2. Bình sai kết quả đo h’ trong lưới đo cao.
Phương trình số cải chính (1.8) cho các chênh cao đo là Vi-j= -Hi+Hj +lh (2.6).
trong đó Hi, Hj – là các số hiệu chỉnh cần tìm vào độ cao gần đúng H0,i và H0j để
được cao độ bình sai H=H0 +H ( 2.7), và lh = h0-h’ (2.8). Như vậy, nếu ký hiệu ma
trận cột trị đo h’, số cải chính V, trị bình sai chênh cao h cho cả lưới với n phần tử:
V=(v1 v2 …..vn)T

; h=(h1 h2 ….. hn)T ; l=(l1 l2 ...... ln)T ;

ma trận cột các ẩn cần tìm H=(H1 H2 ....Hk)T;


ma trận hệ số phương trình số cải chính (1.9) gồm các phần tử -1,+1 và ma trận
 p1

0
đường chéo trọng số trị đo P  
...

0


0 ...
p2 ...
...
0

...
...

0

0
... 

pn 

( 2.9 )

thì ta có hệ phương trình chuẩn (1.10) và giải ra có:
H=-N-1L

(2.10)

theo (2.7), tính các cao độ bình sai H, (2.6) tính các số cải chính vào các chênh cao đo
V và chênh cao bình sai h=h’ +V

(2.11)

Nếu cao độ gần đúng H0 được nhận là cao độ bình sai của 1 chu kỳ đo và có số liệu đo
chênh cao chu kỳ sau là h”, thì H tại (2.10) chính là độ chuyển dịch đứng (lún, trồi)
của mốc cao độ.

2.1.3. Để đánh giá độ chính xác cho cao độ bình sai, chênh cao bình sai và độ chuyển
dịch đứng các mốc, tính sai số đơn vị trọng số (1.12), trong đó k –là số lượng mốc cần
xác định cao độ trong lưới. Còn tsd cao độ hoặc chênh cao, từ N-1=Q áp dụng (1.13)
suy ra:

1
𝑃𝐻𝑖
1
𝑃ℎ𝑖𝑗

= 𝑄𝑖𝑖

= 𝑄𝑖𝑖 + 𝑄𝑗𝑗 − 2𝑄𝑖𝑗

(2.12)
(2.13)

Riêng sai số trung phương độ chuyển dịch đứng hoặc hiệu chênh cao bình sai 2 chu
kỳ đo, từ (1.13) có công thức :


mf 

1
( 12  22 )
pF

(2.14)

Với 1 ,2 –là sai số đơn vị trọng số đạt được theo kết quả bình sai 2 chu đo tương
ứng .
2.2. Bình sai lưới đo góc –cạnh bằng phương pháp tham số kèm đánh giá độ chính
xác
2.2.1- Khi đã có kết quả thực tế đo góc và đo cạnh, thì có thể thiết lập
trọng số các trị đo.
Trường hợp bình sai theo hướng

PH  1;

PS 

Trường hợp bình sai theo góc:

P  1;

PS 

2
mH

mS2

m2
mS2

(2.15)

(2.16)

Trong trường hợp ở lưới đo góc cạnh chỉ đo một số cạnh, nghĩa là
không đo dư (nếu xét lưới đo cạnh thuần túy) thì ms trong (2.15), (2.16) có
thể tính theo giá trị cho của lý lịch máy đo dài.
2.2.2- Phương trình số hiệu chỉnh hướng đo, phương vị đo, góc đo và cạnh
đo
2.2.2.1- Các tham số trong bình sai được chọn là tọa độ các điểm cần
xác định. Trong trường hợp bình sai theo hướng, ngoài các tham số kể trên
còn phải tính thêm các tham số là các góc định hướng 0 ở mỗi điểm đo
hướng.
Để cho hướng đo từ điểm cần xác định i đến điểm cần xác định Kphương trình số hiệu chỉnh có dạng:
vik  zi  aikxi  bikyi  aikxk  bikyk  lik

trong đó:

aik  

 sin  iko
sik

; bik 

 . cos  iko
sik

(2.17)
(2.18)

với: zi - là số hiệu chỉnh góc định hướng hướng o trên điểm đo i;

xi , yi , xk , yk - số hiệu chỉnh vào tọa độ gần đúng xio , yio , xko , yko
o
o
Số hạng tự do lik   ik
 Rik

o
lik  zik
 zio

hay

(2.19)

o
với:  ik
- là giá trị góc định hướng tính theo tọa độ gần đúng
o
Rik

là giá trị góc định hướng ik gần đúng được tính theo:
,
o
Rik
 Nik  Zio

(2.20)

,

với: Nik - giá trị hướng đo; Z io - giá trị trung bình góc định hướng hướng 0
trên trạm đo:
Zio 

1 n o
 Zik ;
n k1

,
o
o
Zik
  ik
 Nik

(2.21)

Từ các công thức trên suy ra tổng số hiệu chỉnh hướng trên trạm đo
vik  0 . Ngoài ra, do góc định hướng ik và ki lệch nhau 180o nên aik = -aki;

bik = -bki
Từ (2.17) suy ra các trường hợp sau:
a- Hướng đo từ điểm gốc i đến điểm xác định k
vik  zi  aikxk  bikyk  lik

(2.22)

b- Hướng đo từ điểm xác định i đến điểm gốc k
vik  zi  aikxi  bikyi  lik

(2.23)

c- Hướng đo từ điểm gốc i đến điểm gốc k
vik  zi  lik

(2.24)

2.2.2.2- Để cho góc định hướng đo, phương trình số hiệu chỉnh có dạng:
vik  aikxi  bikyi  aikxk  bikyk  lik
o
do
lik   ik
  ik

(2.25)
(2.26)


do
với  ik
là góc định hướng đo.

2.2.2.3- Phương trình số hiệu chỉnh cạnh đo từ điểm xác định i đến
điểm xác định k
vik  cikxi  dikyi  cikxk  dikyk  lik

trong đó:

o
cik   cos  ik

;

o
dik  sin  ik
;

(2.27)

o
do
lik  Sik
 Sik

với Siko và Sikdo là cạnh tính theo tọa độ gần đúng điểm i, k và
cạnh đo.

P(k)

T(j)



2.2.2.4- Phương trình số hiệu chỉnh góc đo.

i

Hình 2.1

Góc i tại điểm i là hiệu giá trị hai hướng đo (hướng

phải trừ hướng trái theo chiều kim đồng hồ). Từ đây, ta có phương trình hiệu
chỉnh góc đo:
v  aik  aij xi  bik  bij yi  aikxk  bikyk  aij x j  bij y j  l

(2.28)

với l   o   do ; trong đó  o là góc tính theo tọa độ gần đúng.
Như vậy, nếu lưới chỉ đo góc thì phương trình số hiệu chỉnh có dạng
(2.17) khi bình sai hướng, còn khi bình sai góc phương trình có dạng (2.28).
Nếu lưới chỉ đo toàn cạnh thì phương trình có dạng (2.27). Nếu lưới đo cả
góc và cạnh lúc đó kết hợp các phương trình hiệu chỉnh hướng và cạnh khi
bình sai theo hướng còn khi bình sai theo góc thì kết hợp phương trình hiệu
chỉnh góc và cạnh.
Trong trường hợp đo hướng mà bình sai theo góc thì các góc đo là các
trị đo phụ thuộc và do đó, P không còn là ma trận đường chéo nữa mà là
phi đường chéo với qjk= -0.5 [14]. Còn việc đánh giá độ chính xác hướng đo,
góc đo, cạnh đo hoặc phương vị đo, do đã có các phương trình cải chỉnh
nêu trên, nên các thành phần F trong (1.13 ) chính là các hệ số a trong các
phương trình số cải chính, khi tính 1/pf theo(1.13). Nếu cần đánh giá độ
chính xác một cạnh, hoặc góc phương vị giữa 2 điểm bất kỳ của lưới, thì từ
tọa độ gần đúng của các điểm liên quan, tính các hệ số a,b theo (2.18) và


sin, cos góc phương vị tương ứng, rồi tính 1/ps hoặc 1/pα và cuối cùng tính
sai số tương hỗ giữa chúng theo công thức:
1

𝑠2 1

𝑃𝑠

𝜌2 𝑝𝛼

𝑀𝑡ℎ = 𝜇√( +

) = √𝑚𝑠2 + 𝑚𝛼2

𝑠2
𝜌2

(2.29 )

2.3.Bình sai đường chuyền đa giác theo phương pháp điều kiện
2.3.1. Với đường chuyền phù hợp (chuẩn) có 3 ptđk sau:
[vβ]+wβ =0
−

∆𝑦1𝑛
𝜌

𝑣𝛽1 −

∆𝑦2𝑛
𝜌

𝑣𝛽2 − ⋯ −

∆𝑦𝑛−1,𝑛
𝜌

𝑐𝑜𝑠𝛼𝑛 𝑣𝑠𝑛 + 𝑤𝑥 = 0
∆𝑥1𝑛
𝜌

𝑣𝛽1 +

∆𝑥2𝑛
𝜌

(2.30)

𝑣𝛽(𝑛−1) + 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑣𝑠1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼2 𝑣𝑠2 + ⋯ +
( 2.31)

𝑣𝛽2 + ⋯ +

∆𝑥𝑛−1,𝑛
𝜌

𝑠𝑖𝑛𝛼𝑛 𝑣𝑠𝑛 + 𝑤𝑦 = 0

𝑣𝛽(𝑛−1) + 𝑠𝑖𝑛𝛼1 𝑣𝑠1 + 𝑠𝑖𝑛𝛼2 𝑣𝑠2 + ⋯ +
( 2.32)

Với wβ, wx và wy là sai số khép góc, tọa độ x và y:
wβ=αđ+[βtr]-(n+1)1800-αc
Wx=X(goc dau)+[Δx]-X(goc cuoi)
Wy=Y(goc dau)+[Δy]-Y(goc cuoi).
Hệ phương trình chuẩn (1.25) có 3 ẩn số là các số liên hệ kβ, kx và ky. Giải ra, tìm
được chúng, thay vào (1.24) để tìm các v.

Để đánh giá độ chính xác tọa độ x,y cho điểm j bất kỳ trên tuyến đa giác (1.26) có
dạng:
𝑓𝑥𝑗 = (−

𝑓𝑦𝑗 = (−

∆𝑦1𝑗
𝜌

∆𝑥1𝑗
𝜌

−

−

∆𝑦2𝑗
𝜌

∆𝑥2𝑗
𝜌

….−

….−

∆𝑦𝑗−1,𝑗
𝜌

∆𝑥𝑗−1,𝑗

𝜌

𝑐𝑜𝑠𝛼12 𝑐𝑜𝑠𝛼23 … . 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑗−1,𝑗 )𝑇

𝑠𝑖𝑛𝛼12 𝑠𝑖𝑛𝛼23 … . 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑗−1,𝑗 )𝑇

( 2.33 )

( 2.34 )


𝑓𝛼 = (1 1 … … . 1 0 0 … . 0 )𝑇

(2.35 )

𝑓𝑠 = (0 0 … … . 1 0 0 0 )𝑇

(2.36)

Sau đó áp dụng (1.27) để tính tsd hàm và sstp hàm.
2.3.1. Với đường chuyền chỉ có 1 phương vị gốc và gối đầu lên 2 điểm gốc có 2
ptdk dạng (2.31), (2.32). Quá trình các bước tính toán giống đường chuyền phù
hợp.
2.3.2. Đối với đường chuyền không có phương vị gốc mà chỉ có 2 điểm gốc đầu
và cuối chỉ có một ptdk, đó là:
𝑐𝑜𝑠∆𝛼1 𝑣𝑠1 + 𝑐𝑜𝑠∆𝛼2 𝑣𝑠2 + ⋯ + 𝑐𝑜𝑠∆𝛼𝑠𝑛 𝑣𝑠𝑛 + 𝑤𝑠 = 0 (2.37)
Trong đó Δαsi là độ lệch phương vị giữa 2 điểm gốc đầu và cuối và phương vị cạnh
si, còn ws là độ lệch chiều dài đường chéo tính theo tọa độ chuyền từ đầu đến cuối và tọa
độ 2 điểm gốc.Trình tự tính toán loại đường chuyền này như sau: với phương vị cạnh thứ
nhất giả định( thường chọn bằng 0) chuyền phương vị cho tất cả các cạnh khác thông qua

các góc đo; tính tọa độ giả định x’,y’ các điểm đường chuyền, kể cả điểm gốc cuối; tính
α’ từ điểm gốc đầu đến điểm gốc cuối; tính phương vị α từ điểm gốc đầu đến cuối; tính
δα=α-α’ là độ lệch phương vị trong 2 hệ tọa độ x’,y’ và x,y; tính lại tất cả góc phương vị
các cạnh trong hệ x,y; tính lại tọa độ các điểm và sai số khép wx,wy,ws; lập ptdk (2.37)
giải tìm số liên hệ Ks; tính các số cải chính vào các cạnh; tính tọa độ cuối cùng của các
điểm đường chuyền.
Nếu sử dụng hệ tọa độ trọng tâm với ξi=xi-xtb và ηi=yi-ytb, trong đó xtb=[x]/n và ytb=[y]/n
Thì ptdk tọa độ được viết:
𝜂1

𝜂
𝑣 + 2 𝑣𝛽2
𝜌 𝛽1
𝜌
𝑤𝛽
)=0
𝜂
𝜌 𝑐𝑢𝑜𝑖

−

𝜉1
𝜌

+ ⋯+

𝑤𝛽
𝜌

𝜌

𝑣𝛽𝑛 + 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑣𝑠1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼2 𝑣𝑠2 + ⋯ + 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑛 𝑣𝑠𝑛 + (𝑤𝑥 +
(2.38)

𝑣𝛽1 −

(𝑤𝑦 −

𝜂𝑛

𝜉2
𝜌

𝑣𝛽2 + ⋯ +

𝜉𝑐𝑢𝑜𝑖 ) = 0

𝜉𝑛
𝜌

𝑣𝛽𝑛 + 𝑠𝑖𝑛𝛼1 𝑣𝑠1 + 𝑠𝑖𝑛𝛼2 𝑣𝑠2 + ⋯ + 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑛 𝑣𝑠𝑛 +
(2.39)


2.4. Bình sai lưới đường chuyền theo phương pháp điều kiện kèm tham số
Đây là một phương pháp cơ bản khi bình sai lưới đường chuyền. Lưới đường
chuyền gồm nhiều đường chuyền và nơi hội tụ của ít nhất 3 đường chuyền gọi là
điểm nút. Cơ sở lý thuyết bình sai lưới đường chuyền được giới thiệu kỹ trong
[3,5] và các tài liệu bình sai kinh điển khác.
Trong phương pháp này, tham số τ trong (1.34) là tọa độ x,y điểm đầu, cuối

đường chuyền và phương vị α tại cạnh bất kỳ ở điểm nút. Sau đây là phương trình
điều kiện kèm tham số tổng quát của 1 đường chuyền từ điểm nút đầu đến điểm
nút cuối, với các tham số chọn như trên, (2.30), (2.31),(2.32) trở thành [4] :
n'

 ñ    c   v     0

( 2.40 )

1

n
1 n'
1
1
1
 vsi cos  i   i vi  ñ  ñ   c  c  xñ  xc   c .    x  0
1
1





(2.41 )

1 n'
1
1
1

  i vi   ñ  ñ   c  c  yñ  yc   c .    y  0
 1




(2.42 )

n

 vsi sin  
1

n’ và n là các góc và cạnh trong tuyến;  = 206265”
đ, c, xđ, xc, yđ, yc - là số hiệu chỉnh góc định hướng gần đúng, tọa
độ gần đúng x, y điểm đầu và cuối tuyến. Các sai số khép góc wβ, wx và wy
được tính dựa vào phương vị gốc tọa độ gốc và phương vị gần đúng và tọa
độ gần đúng tại điểm nút. Như vậy, đối với mỗi tuyến gối đầu lên 2 điểm nút
ta có [4] tr 204:
  d 


  c 
 
 xñ 
 
z  
 ;    x  ;

y

 ñ
 y 
 
 x c 


 y c 
 A C
N  
;
 C B



 1
 1
  
ñ


  1  ñ
 

1
1
 c

1
 c




0

1 1
0
0

0
0  1  1 

0

0

0

 cos 2  
1  2 
A  



2 
 Ps  P  P 

 sin 2  
1 2 
B  


 ;

P . 2  P 
 Ps 

 sin . cos  
1  . 
C 
 
P
P 2  P 


s

(2.43 )


Với A,τ trong (1.36) thay bằng β và Δz,đề cập ở các công thức trên ta có hệ
phương trình chuẩn :

NK  z  W  0 

 T .K  0


(2.44 )

Nếu tuyến đi từ điểm gốc và phương vị gốc tới điểm nút và phương vị nút thì ma

trận β ở (2.43) bỏ các cột 1,3,5. Nếu tuyến đi từ điểm nút và phương vị nút đến
điểm gốc thì bỏ cột 2,4,6.
Sau khi loại trừ các số liên hệ k, ta có hệ phương trình :
(2.45 )
 T . N 1 ..Z   T . N 1 .W  0
(2.45) có thể viết dưới dạng: RΔz+b=0

Trong đó R   RT

 R

(2.46)

R 

R 

(2.47)

  1 


  2 
 x 
 1    
z   y1     ;

   
 x 
 K 

 y K 

b=

 b 
 
 b 

Giải hệ (2.46) tìm:
Δz=-R-1b,
hiệu chỉnh vào phương vị gần đúng cạnh nút, tọa độ x,y gần đúng các điểm nút để
được phương vị và tọa độ bình sai tại nút, rồi tiến hành bước tiếp theo, là bình sai
từng đường chuyền phù hợp như mục 2.3 đã đề cập ở trên.
Để đánh giá độ chính xác, sau khi bình sai sơ bộ để có phương vị gần đúng tại
cạnh điểm nút và tọa độ gần đúng tại nút, dựa vào phương vị gần đúng tại tất cả
các nút để tính số cải chính V’ cho tất cả các góc đường chuyền, tính được [pv’v’].
Kết quả bình sai có: v"  


V1  i
 1
  .K 2  i K 3 .
n'  

 P

(2.48)


Còn vs  1 cos  i K 2  sin  i .K 3 

P

si

(2.49)

Trong đó V1=-wβ, còn  PV " V "   WjT .N j 1Wj  T .b  T .b

(2.50)

Sau đó VTPV=[pvv]=[pv’v’]+[pv”v”] rồi áp dụng (1.12) để tính μ. Để đánh
giá độ chính xác cho các tham số, thì tsd phương vị bình sai và tọa độ bình
sai x,y tại nút là thành phần trên đường chéo ma trận R-1. Còn trọng số đảo
của phương vị và cạnh khác trong lưới thì phải lập hàm trọng số dạng (2.332.36) với điểm xuất phát là điểm gốc và phương vị gốc cho những tuyến gối
đầu lên 1 điểm gốc và 1 điểm nút. Riêng đối với tuyến gối đầu lên 2 nút thì
xuất phát từ một nút và phải lưu ý rằng nút là tham số, nghĩa là khi lấy đạo
hàm có thành phần ф trong (1.38).
2.5. Bình sai lưới không gian GPS và lưới hỗn hợp mặt bằng.
2.5.1.Bình sai mạng lưới GPS
Trong xử lý dữ liệu đo GPS thì kỹ thuật lấy hiệu thường được áp dụng cho trị
đo pha để cung cấp độ chính xác tốt nhất. Tuy nhiên kỹ thuật này không cung cấp
toạ độ chính xác của các máy thu mà thay vào đó chỉ cung cấp các gia số toạ độ
chính xác giữa 2 máy thu, thường gọi là “baseline vector” kèm theo ma trận hiệp
phương sai - hay còn gọi là ma trận trọng số đảo (  2X ,  XY ,  XZ ,  Y2 ,  YZ ,  Z2 ) để
đánh giá độ chính xác cho từng thành phần trong mỗi đường đáy (X, Y và Z).
Các đường đáy trong một mạng lưới GPS sẽ được xử lý tuần tự hoặc đồng thời tất
cả tuỳ vào khả năng của các loại phần mềm. Đối với phần mềm thương mại, như
Trimble Business Center – TBC/ Topcon Tools/ Leica Geomatic Office – LGO, thì
các đường đáy sẽ được xử lý tuần tự từng đường đáy một, ngược lại đối với phần
mềm khoa học (GAMIT/GLOBK hay BERNESE) thì các đường đáy sẽ được xử lý

đồng thời cùng một lúc.
Công việc cuối cùng đó là bình sai toàn mạng lưới GPS này dựa trên các kết
quả xử lý đường đáy đơn và các ma trận hiệp phương sai tương ứng. Trước khi
tiến hành bình sai toàn mạng lưới thì một vài phép kiểm tra sẽ được tiến hành để


đảm bảo việc đo đạc lưới khống chế bằng công nghệ GPS là đạt yêu cầu đối với
từng cấp hạng. Việc kiểm tra này bao gồm các bước cơ bản như sau:
- Kiểm tra sai số trong các vòng khép, hoặc một đường chuyền đơn (bắt đầu
từ một điểm gốc này và kết thúc tại một điểm gốc khác).
- Đo kiểm tra trên các cặp mốc gốc để từ đó có thể phát hiện ra sai số do số
liệu gốc gây ra (nếu có).
- Đo lặp lại một đường đáy nhiều lần, việc này sẽ được thực hiện trên những
mạng lưới khống chế GPS dùng để quan trắc biến dạng hay các dự án đòi hỏi độ
chính xác cao. Đo lặp một đường đáy nhiều lần (ít nhất 2 lần) cho phép chúng ta
có thể kiểm tra và đánh giá kết quả giữa các lần đo.
- Tối thiểu điều kiện rằng buộc khi bình sai – minimally constrained
adjustment (một điểm gốc), phương pháp này còn được gọi là bình sai tự do bậc
0. Từng điểm khống chế sẽ được cố định toạ độ (các điểm khống chế còn lại tự
do), dữ liệu đo sẽ không bị ảnh hưởng bởi sai số do điểm gốc gây ra và chỉ cần
thoả mãn cấu hình hình học trong mạng lưới. Bằng cách kiểm tra F-test (giả thiết
trống-Null Hypothesis) khi so sánh tỷ số của phương sai tham khảo (reference
variances) giữa bình sai tự do (chỉ có một điểm toạ độ gốc) và bình sai lưới phụ
thuộc (tất cả các điểm gốc đều được chọn tham gia vào quá trình bình sai) chúng
ta sẽ phát hiện được các điểm gốc bị sai toạ độ (sai số số liệu gốc lớn so với giá
trị được cung cấp).
Công việc bình sai toàn mạng lưới GPS sẽ được tiến hành tuần tự theo các
bước sau đây:
Bước 1. Phương trình tuyến tính số hiệu chỉnh của các trị đo Δx, Δy, Δz lưới GPS
được biểu diễn theo dạng ma trận bởi công thức (1.9):

V  A  l

(2.51 )

Trong đó:
A

: ma trận hệ số kích thước (n  k), cũng giống như lưới thuỷ thuẩn

thì giá trị trong ma trận này chỉ bao gồm các giá trị 1, 0, và -1.
l : ma trận số hạng tự do kích thước (n  1)
δ : ma trận ẩn số kích thước (k  1) :


V : ma trận số hiệu chỉnh cho các trị đo (n  1),
n : tổng số lượng trị đo trong lưới GPS
k : số lượng ẩn số cần xác định
P

: ma trận trọng số của các trị đo có kích thước (n  n), trong đó với

mỗi đường đáy
𝝈𝟐∆𝒙
𝒑 = 𝒒−𝟏 = (𝝈∆𝒙∆𝒚
𝝈∆𝒙∆𝒛
Dưới điều kiện

𝝈∆𝒙∆𝒚
𝝈2∆𝒚

𝝈∆𝒙∆𝒛

−𝟏

𝝈∆𝒚∆𝒛 )

𝝈∆𝒚∆𝒛

( 2.52 )

𝝈𝟐∆𝒙

[ pvv]  V T PV  min

(2.53)

Hệ phương trình chuẩn (1.10) có dạng: 𝐴𝑇 𝑃𝐴𝛿 + 𝐴𝑇 𝑃𝑙 = 0
Hay Nδ+L=0
1
T
Giải hệ phương trình chuẩn có:    N ( A Pl )  QL

(2.54)

Sai số trung phương của ẩn số cần xác định sẽ được xác định theo công thức
mi  . Q(i ,i )

(2.55)

với

V T PV

(n  k )

(2.56)

2.5.2.Bình sai trị đo GPS với các trị đo mặt đất (lưới hỗn hợp)
Trong quá trình thi công và đo đạc một mạng lưới khống chế đôi khi có
những mạng lưới được đo bằng cả công nghệ GPS và kết hợp đo góc, cạnh
(thêm lưới đường chuyền hoặc lưới tam giác đo góc-cạnh vào lưới GPS-gọi chung
là lưới hỗn hợp). Khi bình sai trị đo mạng lưới này, cần phải kết hợp các loại trị đo
khác nhau để tiến hành bình sai chặt chẽ cả mạng lưới. Phần trình bày dưới đây,
thể hiện vắn tắt quá trình thực hiện.

2.5.2.1. Chuyển đổi từ  H sang XYZ:
Các công thức cần thiết


X  ( N  H ) cos cos 
Y  ( N  H ) cos sin 
Z  [ N (1  e 2 )  H ] sin 

(2.57)

Với
H : Độ cao trắc địa của một điểm
 : Vĩ độ trắc địa của điểm xét

 : Kinh độ trắc địa của điểm xét
2
2
e : Độ lệch tâm của ellipsoid được tính như sau: e  2 f  f , f 

hoặc e 2 

a b
;
a

a2  b2
a2

a- bán trục lớn ellipsoid;b- bán trục nhỏ của ellipsoid; f -độ det của ellipsoid
N

1  e

a
2

sin 2 



: bán kính cung pháp thứ nhất

2.5.2.2.Chuyển đổi từ XYZ sang  H :
1

Bước 1: Xác định kinh độ trắc địa:   tan

Bước 2: Tính D từ: D 

Y
X

X2 Y2

1
Bước 3: Tính ( 0) từ: ( 0)  tan

Bước 4: Tính N ( 0) từ: N ( 0) 

Z
D(1  e 2 )
a

1  e sin
2

2

( 0 )




Bước 5: Tính cao độ trắc địa từ: H 

1

Bước 6: Tính lặp vĩ độ  :   tan

D
 N ( 0)
cos( 0)

Z  e2 N (0)sin ( 0)
D

Bước 7: Kiểm tra tính lặp cho tới khi: nếu   (0) quá trình tính lặp kết thúc,
ngược lại thì (0)   và tiếp tục lại bước 3.

2.5.2.3. Chuyển đổi từ XYZ sang hệ toạ độ địa phương (địa diện) NEU:

Hình 2.2: Vị trí của một điểm trên mặt đất trong hệ toạ độ địa phương (Nguồn:
GNSS – Global Navigation Satellite Systems)
Trong hình vẽ (2.2) thì một hệ tọa độ trắc địa địa phương với gốc tọa độ được
đặt tại điểm P1 (nằm trên mặt ellipsoid), các trục N, E, U được thành lập với các
đặc điểm sau:

Trục N tiếp tuyến với mặt phẳng kinh tuyến đi qua gốc tọa độ Pi và
được định hướng theo hướng Bắc.



Trục E tiếp tuyến với mặt phăng vĩ tuyến đi qua gốc tọa độ tại Pi và
được định hướng theo hướng Đông.


Trục U trùng với phương vuông góc của ellipsoid đi qua điểm Pi.
Hệ tọa độ địa phương trên được đặt trong một hệ tọa độ địa tâm có gốc trùng
với trọng tâm của trái đất.Trục Z chỉ đến một điểm gọi là cực mặt đất quy ước
(CTP- Conventional Terrestrial Pole). Trục X là giao của mặt phẳng kinh tuyến
gốc và mặt phẳng xích đạo trung bình. Trục Y tạo với trục X và trục Z thành một
tam diện phải.
Như vậy, nếu một máy thu được đặt tại điểm gốc Pi còn máy thu khác được
đặt tại vị trí Pj thì hoàn toàn có thể xác định được góc phương vị, khoảng cách
ngang cũng như góc thiên đỉnh (góc cao của Pj) trong hệ tọa độ địa phương đó.
Ta sẽ đi xác định gia số toạ độ (n, e, u) của các máy thu Pj trong hệ toạ độ địa
phương của máy thu Pi.
Nếu ký hiệu toạ độ gần đúng của điểm đặt máy Pi là ( X i ,Yi , Z i ) trong hệ toạ
độ không gian 3 chiều, thì từ tọa độ không gian ( X i ,Yi , Z i ) của điểm đặt máy thu,
ta sẽ chuyển đổi sang toạ độ trắc địa (i, i, Hi) theo các công thức ở trong phần
2.5.2.2 phía trên. Ma trận thể hiện các số gia toạ độ theo ba thành phần X, Y, Z
giữa 2 điểm Pj và Pi là:
0
0
X   X j  X i 


X ij   Y    Y j0  Yi 0 
 Z   Z 0j  Z i0 



(2.58)

Gọi R là ma trận xoay tại vị trí điểm Pi được xác định theo công thức sau:
 sin i cos i

Ri    sin i
 cosi cos i

 sin i sin i
cos i
cosi sin i

cosi 
0 
sin i 

(2.59)

Gia số toạ độ của Pj so với Pi trong hệ toạ độ địa phương được tính theo công
thức:

 n 
 sin i cos i


Wij   e   Ri . ij    sin i
 u 
 cos i cos i

 sin i sin i
cos i
cos i sin i

cos i  X 
0 . Y . (2.60)

sin i   Z 

Mặt khác, theo hình 2.2, ta lại có mối liên hệ của các thành phần trong ma
trận W với: khoảng cách trong không gian s, góc phương vị trắc địa  và góc cao
 (góc thiên đỉnh z).

Có 2 cách thức xem xét các trị đo để bình sai trên mặt phẳng chiếu như sau:


Cách 1: quy đổi Δn và Δe về số gia tọa độ trên mặt phẳng chiếu Δx và Δy qua
góc xoay là độ hội tụ kinh tuyến và cao độ trắc địa trung bình điểm i và j, rồi lập
phương trình số cải chính cho trị Δx, Δy và kết hợp phương trình số cải chính góc,
cạnh- số liệu đo mặt đất để giải hệ phương trình chuẩn.
Cách 2: từ Δn và Δe chuyển về hai trị đo khác là góc định hướng α’ và s”:
Suy luận như sau:
n  s cos  cos 

(2.61)

e  s cos sin 

(2.62)

u  s sin 

(2.63)

Hàm ngược của các hàm trên là:
  tan 1 (

e
)
n

  900  z  sin 1 (

(2.64)
u
)
s

(2.65)

s  n 2  e 2  u 2

(2.66)

s'  n 2  e 2

(2.67)

(2.64) và (2.67) là phương vị trắc địa và khoảng cách trên mặt phẳng ngang
của điểm i. Khi bình sai trên mặt phẳng chiếu thì phải chuyển α về góc định hướng
α’ thông qua số hiệu chỉnh là độ hội tụ kinh tuyến γ và S’ về khoảng cách trên mặt
phẳng chiếu S” qua cao độ trắc địa trung bình của i và j.
Từ 2 trị đo phụ thuộc α’ và s” kết hợp với các trị đo mặt đất để bình sai chặt
chẽ mạng lưới hỗn hợp.
2.5.2.4. Trọng số các trị đo
Để đồng nhất với lưới GPS thì các trọng số trị đo hướng, góc và cạnh tính theo:
𝑝𝑖 =

1
𝑚𝑖2

(2.68)

Riêng trọng số trị đo GPS được tính theo suy luận sau: mỗi đường đáy sau khi
quan trắc và xử lý đều có p tính theo (2.52). Khi chuyển về hệ tọa độ địa phương
theo (2.60) thì ta có tsd là: