Tuyển chọn các bài bất đẳng thức hay

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc
♦♦♦♦♦

1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
2

2

2

a 2 + (1− b) + b 2 + (1− c) + c 2 + (1− a ) ≥

3 2
.
2

Komal
2. [ Dinu Serbănescu ] Cho a, b, c ∈ (0,1) . Chứng minh rằng
abc + (1− a )(1− b)(1− c) < 1 .

Junior TST 2002, Romania

500

3. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng
minh rằng

b+c c +a a +b
+
+
≥ a + b + c + 3.
a
b
c

Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Gazeta Matematică
4

3

2

4. Nếu phương trình x + ax + 2 x + bx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực, thì

Cao Minh Quang

a 2 + b2 ≥ 8 .

♦♦♦♦♦

Tournament of the Towns, 1993
5. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức

x3 + y 3 + z 3 − 3xyz .

6. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh
rằng

ax + by + cz + 2 ( xy + yz + zx )(ab + bc + ca ) ≤ a + b + c .
Ukraine, 2001
7. [ Darij Grinberg] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a
2

(b + c)

+

b
2

(c + a )

+

c
2

( a + b)

≥

9
.
4 (a + b + c)

8. [ Hojoo Lee ] Cho a, b, c ≥ 0 . Chứng minh rằng

a4 + a2b2 + b4 + b4 + b2c2 + c4 + c4 + c2a2 + a4 ≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ca + c 2c2 + ab .
Gazeta Matematică
9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 2 . Chứng minh rằng
a 3 + b 3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b .

JBMO 2002 Shortlist
10. [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

xyz

Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008

≤

1

(1 + 3x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6) 7 4
2

.


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

3
c) xy + yz + zx ≤ ≤ x 2 + y 2 + z 2 ,
4

Gazeta Matematică
11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
5 (a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 6 (a 3 + b 3 + c3 ) +1 .

1
d) xy + yz + zx ≤ + 2 xyz .
2

20. [ Marius Olteanu ] Cho x1 , x2 ,..., x5 ∈ ℝ sao cho x1 + x2 + ... + x5 = 0 . Chứng minh rằng

12. [ Mircea Lascu ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ ℝ , n ≥ 2, a > 0 sao cho

x1 + x2 + ... + xn = a, x12 + x22 + ... + xn2 ≤

Cao Minh Quang

cos x1 + cos x2 + ... + cos x5 ≥ 1 .

a2
.
n −1

Gazeta Matematică
21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

x + y + z = xyz . Chứng minh rằng

Chứng minh rằng

 2a 
xi ∈ 0,  , i = 1, 2,..., n .
 n 

xy + yz + zx ≥ 3 + x 2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 + 1 .

13. [ Adrian Zahariuc ] Cho a, b, c ∈ (0,1) . Chứng minh rằng

22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x, y , z > −1 .
Chứng minh rằng

b a
c b
a c
+
+
≥1 .
4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c

1+ x2
1+ y2
1+ z 2
+
+
≥2.
2

2
1+ y + z
1+ z + x
1+ x + y 2

14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤ 1 . Chứng minh rằng

JBMO, 2003

a b c
+ + ≥ a +b+c .
b c a

23. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều
kiện a + x ≥ b + y ≥ c + z , a + b + c = x + y + z . Chứng minh rằng

a2 + b b2 + c c2 + a
+
+
≥ 2.
b+c
c+a
a +b

ay + bx ≥ ac + xz .

24. Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn ñiều kiện a 4 + b 4 + c 4 ≤ 2 (a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) . Chứng minh

16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
abc = 1 . Chứng minh rằng
1+

3
6
≥
.
a + b + c ab + bc + ca

rằng
a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2 (ab + bc + ca ) .
Kvant, 1988
25. Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện

Junior TST 2003, Romania

1
1
1
1
+
+ ... +
=
.
x1 +1998 x2 +1998
xn +1998 1998

17. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a 3 b3 c 3 a 2 b 2 c 2

+ + ≥ + + .
b2 c2 a 2
b
c
a

Chứng minh rằng
n

JBMO 2002 Shortlist
18. Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 3 thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 ...xn = 1 . Chứng minh rằng

x1 x2 ...xn
≥ 1998 .
n −1
Vietnam, 1998

1
1
1
+
+ ... +
>1.
1 + x1 + x1 x2 1 + x2 x3
1 + xn + xn x1

26. [Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = xyz .
Chứng minh rằng

Russia, 2004

a) xyz ≥ 27,

19. [ Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz = 1 .
Chứng minh rằng

b) xy + yz + zx ≥ 27 ,
c) x + y + z ≥ 9 ,

1
a) xyz ≤ ,
8

d) xy + yz + zx ≥ 2 ( x + y + z ) + 9 .

3
b) x + y + z ≤ ,
2

27. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 3 . Chứng minh rằng

x + y + z ≥ xy + yz + zx .
3

4


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Russia 2002

x
x + ( x + y )( x + z )

28. [ D. Olteanu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a+b
a
b+c
b
c+a
c
3
.
+
.
+
.
≥ .
b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b 4

+

z
z + ( z + x)( z + y )

≤1 .

Crux Mathematicorum

Gazeta Matematică

a1a24 + a2 a34 + ... + an a14 ≥ a2 a14 + a3a24 + ... + a1an4 .

39. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a b c c +a a+b b+c
+ + ≥
+
+
.
b c a c +b a +c b+a

 a
b+c c +a a +b
b
c 
.
+
+
≥ 4 
+
+
 b + c c + a a + b 
a
b
c

India, 2002

40. Cho a1 , a2 ,..., an là các số nguyên dương lớn hơn 1. Tồn tại ít nhất một trong các số

30. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a1

3(ab + bc + ca)
a
b
c
.
+
+
≥
b2 − bc + c 2 c 2 − ac + a 2 a 2 − ab + b 2
a +b +c
3

y
y + ( y + z )( y + x )

38. Cho a1 , a2 ,..., an , n ≥ 2 là n số thực sao cho a1 < a2 < ... < an . Chứng minh rằng

29. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

3

+

Cao Minh Quang

3

a1 , a2 a3 ,..., an−1 an , an a1 nhỏ hơn hoặc bằng

3

3.

Adapted after a well – known problem

Proposed for the Balkan Mathematical Olympical
31. [ Adrian Zahariuc ] Cho x1 , x2 ,..., xn là các số nguyên ñôi một phân biệt nhau. Chứng
minh rằng

41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
xy + yz + zx + 2 xyz = 1 . Chứng minh rằng
1
a) xyz ≤ ,
8

x12 + x22 + ... + xn2 ≥ x1 x2 + x2 x3 ... + xn x1 + 2n − 3 .

3
b) x + y + z ≥ ,
2

32. [ Murray Klamkin ] Cho x1 , x2 ,..., xn ≥ 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + ... + xn = 1 .
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x12 x2 + x22 x3 + ... + xn2−1 xn + xn2 x1 .

c)

1 1 1
+ + ≥ 4( x + y + z) ,
x y z

d)

(2 z −1)
1 1 1
, z = max { x, y, z } .
+ + − 4( x + y + z) ≥
x y z
z (2 z +1)

Crux Mathematicorum

2

33. Cho x1 , x2 ,..., xn > 0 thỏa mãn ñiều kiện xk +1 ≥ x1 + x2 + ... + xk với mọi k. Hãy tìm giá trị

lớn nhất của hằng số c sao cho x1 + x2 + ... + xn ≤ c x1 + x2 + ... + xn .

42. [ Manlio Marangelli ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

IMO Shortlist, 1986

3( x 2 y + y 2 z + z 2 x )( xy 2 + yz 2 + zx 2 ) ≥ xyz ( x + y + z ) .
3

34. Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn ñiều kiện a + x = b + y = c + z = 1. Chứng
minh rằng

43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

1
1
1
(abc + xyz ) + +  ≥ 3 .
 ay bz cx 

max {a, b, c} − min {a, b, c} ≤ 1
Chứng minh rằng

Russia, 2002
35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh
rằng

1 + a 3 + b3 + c 3 + 6abc ≥ 3a 2b + 3b 2 c + 3c 2 a .

44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng


 1 1 1
a 2 

b2 
c2 
27 + 2 + 2 + 2 +  ≥ 6 (a + b + c ) + +  .
 a b c 





bc 
ca 
ab 

ab
bc
ca
1
+
+
≤ (a + b + c) .
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4

Gazeta Matematică
36. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức

a2
1
45. Cho a0 = , a k+1 = ak + k . Chứng minh rằng
2

n
1
1− < an < 1 .
n

a 3 (b + c + d ) + b3 (c + d + a) + c 3 (d + a + b) + d 3 (a + b + c) .

TST Singapore

37. [ Walther Janous ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

46. [ Călin Popa ] Cho a, b, c ∈ (0,1) thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng
5

6


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

a
b
c
3 1− a 2 1− b2 1− c 2 
.
+
+

≥ 
+
+
b
c 
1− a 2 1− b 2 1− c 2 4  a

France, 1996
56. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng

(a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 4 (a + b + c −1) .

47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x, y, z ≤ 1 thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 .
Chứng minh rằng

1
1
1
27
+
+
≤ .
1 + x 2 1 + y 2 1 + z 2 10
48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho
2

MOSP, 2001
57. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

(a 2 + b2 + c2 )(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) ≤ abc (ab + bc + ca) .

x + y + z = 1 . Chứng minh rằng
2

Cao Minh Quang

58. [ D.P.Mavlo ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

2

(1− x) (1− y ) (1− z ) ≥ 215 xyz ( x + y )( y + z )( z + x) .

(a + 1)(b +1)(c +1)
1 1 1 a b c
.
3+ a +b + c + + + + + + ≥ 3
1 + abc
a b c b c a

49. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = x + y + z +2 . Chứng minh rằng
a) xy + yz + zx ≥ 2 ( x + y + z ) ,

b)

x+ y+ z≤

Kvant, 1988
59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
x1 x2 ...xn = 1 . Chứng minh rằng

3
xyz .
2

50. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2 . Chứng minh rằng

n
n
 n
1
n n .∏( xin + 1) ≥ ∑ xi + ∑  .

 i=1
i=1
i=1 xi 
n

x + y + z ≤ xyz + 2 .

IMO Shortlist, 1987

60. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ (0,1) và σ là một hoán vị của

1 1 d 


a 3 + b3 + c3 + abcd ≥ min  , +  .
 4 9 27 






{1, 2,..., n} . Chứng minh rằng
n



xi   n

 ∑

1
1
∑ 1− x ≥ 1+ i=1n .∑ 1− x .x  .
i=1
i
i σ(i ) 
  i=1




Kvant, 1993
61. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

n

n

52. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
n

i=1

n

xi ≥ (n −1) ∑
i=1

2 2

1

∑ 1+ x
i=1

∑

∑ (1+ a ) (1 + b ) (a − c) (b − c) ≥ (1 + a )(1 + b )(1 + c )(a − b) (b − c) (c − a) .
2

2

2

2

2

2

2

2

AMM
= 1 . Chứng minh rằng

i

1
.
xi

53. [ Titu Vàreescu ] Cho n > 3 và a1 , a2 ,..., an là các số thực thỏa mãn ñiều kiện

62. [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
xyz = 1 và α ≥ 1. Chứng minh rằng
xα
yα
zα
3
+
+
≥ .
y+z z+x x+ y 2

Vojtech Jarnik
n

∑a ≥ n
i

63. Cho x1, x2 ,..., xn , y1, y2 ,..., yn ∈ ℝ thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 +... + xn2 = y12 + y22 +... + yn2 =1 .
Chứng minh rằng



i=1

n



2
( x1 y2 − x2 y1 ) ≤ 2 1− ∑ xi yi  .
 i=1


n

và

2 2

∑ ai2 ≥ n2 . Chứng minh rằng
i=1

Korea, 2001

max {a1 , a2 ,..., an } ≥ 2 .

64. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho a1 , a2 ,..., an là các số nguyên dương khác nhau từng ñôi một.
Chứng minh rằng

USAMO, 1999
54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng

a12 + a22 + ... + an2 ≥

a −b b−c c − d d −a
+
+
+
≥0.
b+c c +d d +a a +b

2n + 1
(a1 + a2 + ... + an ) .
3

TST Romania
65. [ Călin Popa ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng
minh rằng

55. Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng

x y + yx >1 .
7

8


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

a

b c

(

3c + ab

)

Cao Minh Quang

+
b

(

c a
3a + bc

)

+
c

(

a b
3b + ca

)

≥

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ≥ (1 + a)(1 + b)(1 + c) .

3 3
.
4

75. [ Titu Vàreescu, Zuming Feng ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

66. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện

2

2

2

2

2

−3 ≤ ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd ≤ 5 .

USAMO, 2003

67. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

76. Cho x, y là các số thực dương và m, n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng

(a 2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) .

(n −1)(m −1)( x m+n + y m+n ) + (m + n −1)( x m y n + x n y m ) ≥ mn ( x m+n−1 y + y m+n−1 x) .

APMO, 2004

Austrian – Polish Competition, 1995

68. [ Vasile Cirtoale ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện 0 < x ≤ y ≤ z,
x + y + z = xyz + 2 . Chứng minh rằng

77. Cho a, b, c, d , e là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcde = 1 . Chứng minh rằng
a + abc
b + bcd
c + cde
d + dea
e + eab
10

+
+
+
+
≥ .
1 + ab + abcd 1 + bc + bcde 1 + cd + cdea 1 + de + deab 1 + ea + eabc
3

a) (1− xy )(1− yz )(1− zx) ≥ 0 ,
b) x 2 y ≤ 1, x 3 y 2 ≤

2

( 2a + b + c )
(2b + a + c)
(2c + b + c)
+ 2
+ 2
≤8.
2
2
2
2
2a + (b + c)
2b + (a + c)
2c + (a + b)

(1 + a )(1+ b )(1+ c )(1 + d ) = 16 . Chứng minh rằng
2

Cao Minh Quang

Crux Mathematicorum

32
.
27

69. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≥ abc .
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất ñẳng thức sau ñây là ñúng

 π
78. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c ∈ 0,  . Chứng minh rằng
 2 

sin a.sin (a − b).sin (a − c ) sin b.sin (b − c ).sin (b − a ) sin c.sin (c − a ).sin (c − b)
+
+
≥0.
sin (b + c )
sin (c + a )
sin (a + b)

2 3 6
2 3 6
2 3 6
+ + ≥ 6, + + ≥ 6, + + ≥ 6 .
a b c
b c a
c a b

TST 2003, USA

TST 2001, USA
70. [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều
kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng

79. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a 4 + b4 + c 4 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ≥ a 3b + b3c + c 3a + ab3 + bc3 + ca 3 .

( x −1)( y −1)( z −1) ≤ 6 3 −10 .

KMO Summer Program Test, 2001
80. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho a1 , a2 ,..., an > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện
a1a2 ...an = 1 . Hãy tìm hằng số kn nhỏ nhất sao cho

71. [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
2

2

2

a3 − b3 b3 − c3 c 3 − a3 (a − b) + (b − c ) + (c − a )
+
+
≤
.
4

a +b
b+c
c+a

a1a2

a2 a3

+

(a12 + a2 )(a22 + a1 ) (a22 + a3 )(a32 + a2 )

Moldova TST, 2004

+ ... +

an a1

(an2 + a1 )(a12 + an )

≤ kn .

81. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

72. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

ax + by + cz +

(a5 − a 2 + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c 2 + 3) ≥ (a + b + c)3 .

2

(a 2 + b2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 3 (a + b + c)( x + y + z ) .
Kvant, 1989

USAMO, 2004

82. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

73. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện

a b c 
b c a
3 + + −1 ≥ 2  + +  .
 b c a 
 a b c 

 n
 n 1 
∑  = n2 +1 .
∑ xk 
 k =1  k =1 xk 

83. [ Walther Janous ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + ... + xn = 1 .
Chứng minh rằng

Chứng minh rằng
 n 2 
 n 1 
2

2
 x 

.
k  ∑ 2 > n + 4+

∑
n (n −1)
 k =1 xk 
k =1

n

i=1

74. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các số thực dương.
Chứng minh rằng
9



1

n

i

i=1

 n − xi 

∏1 + x  ≥ ∏ 1− x  .
i

Crux Mathematicorum
10


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

2 (a + b + c) − abc ≤ 10 .

84. [ Vasile Cirtoaje, Gheoghe Eckstein ] Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều
kiện x1 x2 ...xn = 1 . Chứng minh rằng

1
1
1
+
+ ... +
≤1 .
n −1 + x1 n −1 + x2
n −1 + xn

Vietnam, 2002
94. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng



 

 


a + 1 −1b + 1 −1 + b + 1 −1c + 1 −1 + c + 1 −1a + 1 −1 ≥ 3 .

b 
c  
c 
a  
a 
b 

TST 1999, Romania
85. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện a2 +b2 +c2 +abc = 4 .
Chứng minh rằng

0 ≤ ab + bc + ca − abc ≤ 2 .

95. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n là số nguyên lớn hơn 2. Tìm số thực lớn nhất mn và số
thực nhỏ nhất M n sao cho với các số thực dương bất kì x1 , x2 ,..., xn (xem xn = x0 , xn+1 = x1 ),
ta có

USAMO, 2001

n

mn ≤ ∑

86. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a +b +c 3
− abc ≤ max
3

{(

) (
2

a− b ,

Cao Minh Quang

) (
2

b− c ,

c− a

i=1

) }.
2

xi
≤ Mn .

xi−1 + 2 (n −1) xi + xi +1

96. [ Vasile Cirtoaje ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
1
1
1
9
+
+
≥
.
x 2 + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2 ( x + y + z )2

TST 2000, USA
87. [ Kiran Kedlaya ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

Gazeta Matematică

a + ab + 3 abc 3 a + b a + b + c
≤ a.
.
.
3
2
3

97. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng

2 (a3 +1)(b3 +1)(c 3 + 1)(d 3 +1) ≥ (1 + abcd )(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )(1 + d 2 ) .

88. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với bất kì số nguyên dương n không chính phương, ta
có

(1+ n ) sin (π n ) > k .

Gazeta Matematică
98. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
4

4

4

(a + b) + (b + c) + (c + a) ≥

Vietnamese IMO Training Camp, 1995
3

89. [ Trần Nam Dũng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa ñiều kiện ( x + y + z ) = 32 xyz .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x4 + y4 + z 4
4

(x + y + z)

Vietnam TST, 1996
99. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng

.

1
1
1
1
1
1
.
+
+
≤
+
+
1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a 2 + a 2 + b 2 + c

Vietnam, 2004

Bulgaria, 1997

90. [ George Tsintifas ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng

100. [Trần Nam Dũng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3
3
3
3
4
(a + b) (b + c) (c + d ) (d + a) ≥ 16a 2b2 c 2 d 2 (a + b + c + d ) .

1 2 3
+ + .
a b c

Crux Mathematicorum
91. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều
kiện a + b + c = 1 và n là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

(ab)

n

1− ab

(bc)

n

+

1− bc

(ca)

n

+

4 4
(a + b 4 + c 4 ) .

7

1− ca

.

Vietnam, 2001
101. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
ñiều kiện xy + yz + zx = 3 . Chứng minh rằng

a
b
c
( y + z)+
( z + x) +
( x + y) ≥ 3 .
b+c
c+a
a +b

92. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
1
1
1
3
.
+
+
≥
a (1 + b) b (1 + c ) c (1 + a ) 3 abc 1 + 3 abc

(

102. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

)

2

2

2

93. [Trần Nam Dũng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 9 .
Chứng minh rằng
11

2

2

(b + c − a )
(c + a − b)
(a + b − c)
3
+
+
≥ .
2
2

2
2
2
2
5
b
+
c
+
a
c
+
a
+
b
a
+
b
+
c
(
)
(
)
(
)

2

Japan, 1997

12


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

103. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,..., an ≥ 0, an = min {a1 , a2 ,..., an } .
Chứng minh rằng

a12 + a22 + ... + an2 − n ≥

2a
2b
2c
+
+
≤ 3.
a +b
b+c
c+a

104. [ Turkervici ] Cho x, y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng

Gazeta Matematică

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 + 2 xyzt ≥ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2t 2 + x 2 z 2 + y 2t 2 .

114. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

Kvant



105. Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương. Chứng minh rằng

1

( xy + yz + zx) 

(a

+b

)(b

+c

)(c

2

2 2

2 2

2

2

(1 + a )

+

1
2

(1 + b)

+

1
2

(1 + c)

+

1
2

(1 + d )

n

i

.

Chứng minh rằng

)

2 2

1

n

∑ 6 x +1 ≥ 3 .
i=1

i

116. [ Suranyi ] Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương. Chứng minh rằng

(n −1)(a1n + a2n + ... + ann ) + na1a2 ...an ≥ (a1 + a2 + ... + an )(a1n−1 + a2n−1 + ... + ann−1 ) .

.

108. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcd = 1 .
Chứng minh rằng

1

2

n

n

+ a ) ≥ 8(a b + b c + c a
2

 9
≥ .

( z + x)  4
1

i=1

107. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều
kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
2

( y + z)

∏(3x +1) ≤ 2

3
n

TST Singapore

2

+

2

115. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

a
a
a
17
+ + ... + ≤ (a12 + a22 + ... + an2 ) .
b1 b2
bn 10

2

1

Iran, 1996

106. Cho a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn ∈ (1001, 2002) sao cho a12 + a22 + ... + an2 = b12 + b22 + ... + bn2 .
Chứng minh rằng

2

+

2

 ( x + y )

n
 n 2
ij
 a  ≤
ai a j .
∑
i

∑
 i , j=1 i + j −1
i=1

3
2

2n n
n −1 (a1 + a2 + ... + an − n) .
n −1

113. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

 a + a2 + ... + an−1
n
a1n + a2n + ... + ann − na1a2 ...an ≥ (n −1) 1
− an  .


n −1

3

1

Cao Minh Quang

≥1.

Miklos Schweitzer Competition
117. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0 thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 ...xn = 1 . Chứng
minh rằng
n

∑ (x − x ) ≥ ∑ x
2

i

Gazeta Matematică

j

1≤i≤ j≤n

109. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

2
i

−n .

i =1

A generazation of Tukervici’s Inequality

a2
b2
c2
a
b
c
+
+
≥
+
+
.
b2 + c 2 c 2 + a 2 a 2 + b 2 b + c c + a a + b

118. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 ,..., an <
nhỏ nhất của biểu thức

Gazeta Matematică

n

∑

110. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n số thực a1 , a2 ,..., an . Chứng minh rằng

i=1

2

1
và a1 + a2 + ... + an = 1, n > 2 . Tìm giá trị
n −1

a1a2 ...an
.
1−(n −1) ai



2
 ∑ ai  ≤ ∑ (ai + ... + a j ) .
i∈ℕ*  1≤i≤ j≤n

119. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 ,..., an ∈ [0,1) thỏa mãn ñiều kiện

TST 2004, Romania

a=

111. [Trần Nam Dũng ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ [−1,1] thỏa mãn ñiều kiện x13 + x23 + ... + xn3 = 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Chứng minh rằng
a
a1
a
na

.
+ 2 + ... + n 2 ≥
1− a12 1− a22
1− an 1− a 2

x1 + x2 + ... + xn .
112. [ Gabriel Dospinescu, Călin Popa ] Cho n số thực a1 , a2 ,..., an , n ≥ 2 thỏa mãn ñiều

kiện a1a2 ...an = 1 . Chứng minh rằng
13

a12 + a22 + ... + an2
3
≥
.
n
3

120. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều
kiện
14


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

(a + b + c)( x + y + z ) = (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = 4 .

ab
bc
ca
1
+
+
≤ .
1+ c 1+ a 1+ b 4

Chứng minh rằng
abcxyz <

Cao Minh Quang

130. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

1
.
36

a 2 + b 2 + c 2 + 2 3abc ≤ 1 .

121. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 ...xn = 1 . Tìm

Poland, 1999
131. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng

hằng số kn nhỏ nhất sao cho
1

1
1
+
+ ... +
≤ n −1 .
1 + kn x1
1 + kn x2
1 + kn xn

a +b+c +

1
≥4 3.
abc

Macedonia, 1999

Mathlinks Contest
122. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện

132. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
ab + c + bc + a + ca + b ≥ 1 + ab + bc + ca .

x12 + x22 + ... + xn2 = 1 . Tìm hằng số kn lớn nhất sao cho

133. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

(1− x1 )(1− x2 )...(1− xn ) ≥ kn x1 x2 ...xn .

(1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (1− a )(1− b)(1− c) .

123. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng

Russia, 1991
134. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b = 1 . Chứng minh rằng

1
1
1
3
+
+
≥ .
a3 (b + c ) b3 (c + a ) c3 (a + b) 2

a2
b2
1
+
≥ .
a +1 b +1 3

IMO, 1995

Hungary, 1996

124. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng

135. Cho các số thực x, y . Chứng minh rằng

ab

bc
ca
+
+
≤ 1.
a 5 + b5 + ab b5 + c5 + bc c5 + a 5 + ca

2

3( x + y + 1) + 1 ≥ 3 xy .

IMO Shortlist, 1996

Columbia, 2001

125. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng

136. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

1 + ab 2 1 + bc 2 1 + ca 2
18
.
+
+
≥ 3
c3
a3
b3
a + b3 + c3

3

Hong Kong, 2000

Czech and Slovakia, 2000

126. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng
1

1

+

2

1

+

2

2

(a +1) + b 2 + 1 (b +1) + c 2 + 1 (c +1) + a 2 + 1

≤

 1 1
a
b

2 (a + b) +  ≥ 3 + 3 .
 a b 
b
a

137. Cho a, b, c ≥ 1 . Chứng minh rằng

1
.
2

a −1 + b −1 + c −1 ≤ c (ab + 1) .
Hong Kong, 1998

127. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng

138. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng





a −1 + 1 b −1 + 1 c −1 + 1  ≤ 1 .

b 
c 
a 

1
1+ x2

IMO, 2000

+

128. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng
a

3

+

b

3

+

c

3

(1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c) (1 + a )(1 + b)

1
1+ y 2

+

1

1+ z2

3
≤ .
2

Korea, 1998
139. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

3
≥ .
4

a
a 2 + 8bc

IMO Shortlist, 1998

+

b
b 2 + 8ca

+

IMO, 2001

129. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
15

16

c
c 2 + 8ab

≥1 .


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

140. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng

Cao Minh Quang

x2 y y2 z z 2 x
+
+
≥ x2 + y2 + z 2 .
z
x
y

a
b
c
d

2
+
+
+
≥ .
b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + a + 3b a + 2b + 3c 3

Vietnam, 1991
150. Cho a ≥ b ≥ c > 0 . Chứng minh rằng

IMO Shortlist, 1993
141. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + cd + da = 1 . Chứng
minh rằng
a3
b3
c3
d3
1
+
+
+
≥ .
b+c +d c +d +a d +a +b a +b+c 3

a 2 − b 2 c 2 − b2 a 2 − c 2
+
+
≥ 3a − 4b + c .
c
a

b
Ukraine, 1992
151. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

IMO Shortlist, 1990

(

xyz x + y + z + x 2 + y 2 + z 2

142. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( x 2 + y 2 + z 2 )( xy + yz + zx)

a2
b2
c2
bc
ca
ab
+
+
≥1 ≥ 2
+
+
.
a 2 + 2bc b 2 + 2ca c 2 + 2ab
a + 2bc b2 + 2ca c 2 + 2ab

) ≤ 3+

3

9

.

Hong Kong, 1997
152. Cho a1 , a2 , ..., an > 0 và a1 + a2 + ... + an < 1 . Chứng minh rằng

Romania, 1997
143. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a1a2 ...an (1− a1 − a2 − ... − an )
1
≤
.
(a1 + a2 + ... + an )(1− a1 )(1− a2 )...(1− an ) n n+1

a 3 b3 c3
+ + ≥ a +b +c .
bc ca ab

IMO Shortlist, 1998

Canada, 2002

153. Cho hai số thực a, b , a ≠ 0 . Chứng minh rằng

144. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a 2 + b2 +

1
1
1
1
+
+
≤
.
a 3 + b3 + abc b3 + c 3 + abc c 3 + a 3 + abc abc

1 b
+ ≥ 3.
a2 a

Austria, 2000

USA, 1997
145. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a2 + b2 + c2 = 3 . Chứng minh rằng

154. Cho a1 , a2 , ..., an > 0 . Chứng minh rằng
a2
a2
a12 a22
+ + ... + n−1 + n ≥ a1 + a2 + ... + an .
a2 a3
an
a1

1
1
1
3
+
+
≥ .
1 + ab 1 + bc 1 + ca 2

China, 1984

Belarus, 1999

155. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng

146. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z ≥ 2 ( xy + yz + zx) .

a b c a +b b + c
+ + ≥
+
+1.
b c a b+c a +b

Russia, 2000
156. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz ≥ xy + yz + zx . Chứng minh
rằng

Belarus, 1998
3
147. Cho a, b, c ≥ − , a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
4

xyz ≥ 3( x + y + z ) .

a
b
c
9
+
+
≤ .
a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 10

India, 2001

1 1 1
157. Cho x, y, z > 1 và + + = 2 . Chứng minh rằng
x y z

Poland, 1996
148. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng

x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 .

x9 + y 9
y9 + z9
z 9 + x9

+
+
≥2.
x6 + x3 y 3 + y 6 y 6 + y 3 z 3 + z 6 z 6 + z 3 z 3 + x 6

IMO, 1992
158. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng

Roamania, 1997
149. Cho x ≥ y ≥ z > 0 . Chứng minh rằng

3

17

18

1
1
1
1
+ 6b + 3 + 6c + 3 + 6a ≤
.
a
b
c
abc


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

IMO Shortlist, 2004

Cao Minh Quang

abc + bcd + cde + def + efa + fab ≤

159. Cho x ≥ 2, y ≥ 2, z ≥ 2 . Chứng minh rằng

Poland, 1998

( x3 + y )( y 3 + z )( z 3 + x) ≥ 125 xyz .

168. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Chứng minh rằng

Saint Petersburg, 1997

a 2 + b 2 + c 2 ≤ a 2b + b 2 c + c 2 a + 1 .

160. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện c 2 + d 2 = (a 2 + b 2 ) . Chứng
3

minh rằng

Italy, 1993
169. Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c ≥ abc . Chứng minh rằng

a 3 b3
+ ≥ 1.
c
d

a 2 + b 2 + c 2 ≥ abc .
Ireland, 1997

Singapore, 2000

170. Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c ≥ abc . Chứng minh rằng

161. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3abc .

a
b
c
+
+
≥1.
b + 2c c + 2a a + 2b

BMO, 2001

Czech – Slovak Match, 1999

171. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng

162. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

xy + yz + zx ≥ 9 ( x + y + z ) .

ab
bc
ca
a
b
c
+
+
≥
+
+
.
c (c + a) a (a + b) b (b + c) c + a b + a c + b

Belarus, 1996
172. Cho x1 , x2 , x3 , x4 là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 x3 x4 = 1 . Chứng minh
rằng

Moldova, 1999
163. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng




1

1
1
1
x13 + x23 + x33 + x43 ≥ max 
 x1 + x2 + x3 + x4 , + + + 
.


x
x
x
x
1
2
3
4




a +c b+d c +a d +b
+
+
+
≥ 4.
a+b b+c c +d d +a

Iran, 1997

Baltic way, 1995

173. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

164. Cho x, y, u , v là các số thực dương. Chứng minh rằng

3

a 3 b3 c 3 (a + b + c )
+ + ≥
.
x
y
z 3( x + y + z )

xy + xu + uy + uv
xy
uv
.
≥
+
x + y +u +v
x+ y u +v

Poland, 1993

Belarus TST, 2000
174. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

165. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
 a + b + c 

 a 
b  c 
.
1 + 1 + 1 +  ≥ 2 1 + 3
 b  c  a 

abc 

1
1
1
1
+
+
+
=1.
1+ a4 1+ b4 1+ c 4 1+ d 4

Chứng minh rằng

APMO, 1998

abcd ≥ 3 .

166. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x + y + z =1. Chứng minh rằng
x2 y + y 2 z + z 2 x ≤

1
.
36

Latvia, 2002

4
.
27

175. Cho x, y, z > 1 . Chứng minh rằng

Canada, 1999

xx

167. Cho a, b, c, d , e, f là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
a + b + c + d + e + f = 1, ace + bdf ≥

2 +2 yz

yy

2 + 2 zx

zz

2 +2 xy

xy + yz + zx

≥ ( xyz )

Proposed for 1999 USAMO

1
.
108

176. Cho c ≥ b ≥ a ≥ 0 . Chứng minh rằng

(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) ≥ 60abc .

Chứng minh rằng

Turkey, 1999
19

20

.


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

177. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
2

2

1

1
1
+ + > xk + y k + z k .
xk y k z k

Macedonia, 2000
178. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng

Russia, 1999

a2
b2
c2
3
+
+
≥ .
1 + 2bc 1 + 2ca 1 + 2ab 5

187. Cho xn ≥ xn−1 ≥ xn−2 ≥ ... ≥ x1 > 0, n ≥ 3 . Chứng minh rằng

xn x1 x1 x2
x x
+
+ ... + n−1 n ≥ x1 + x2 + ... + xn .
x2
x3
x1

Bosnia and Hercegovina, 2002

179. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng minh rằng

Saint Petersburg, 2000

1
1
1
+
+
≤1.
a + b4 + c4 a4 + b + c4 a 4 + b4 + c

188. Cho x1 ,..., x6 ∈ [ 0,1] . Chứng minh rằng
x63
3
x13
x23
+ 5
+ ... + 5
≤ .
5
5
5
5
x + x + ... + x6 + 5 x3 + x4 + ... + x1 + 5
x1 + x2 + ... + x55 + 5 5

Korea, 1999

5

2

180. Cho a > b > c > 0, x > y > z > 0 . Chứng minh rằng

189. Cho a1 , a2 ,..., an > 0 . Chứng minh rằng

(a13 +1)(a23 +1)...(an3 +1) ≥ (a12 a2 +1)(a22 a3 +1)...(an2a1 +1) .

Korea, 2000
181. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh
rằng
a
b
c
3
+
+
≥ .
b2 +1 c 2 +1 a 2 + 1 2

Czech – Slovak – Polish Match 2001
190. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
a. 3 1 + b − c + b. 3 1 + c − a + c. 3 1 + a − b ≤ 1 .

Japan, 2005

Mediterranean, 2003

191. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

182. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

 a b c 2
 1 1 1
 + +  ≥ (a + b + c ) + +  .
b c a
a b c

a
b
c
+
+
≤1.
2a + b 2b + c 2c + a

Moldova, 2002

Iran, 2005

183. Cho α, β , x1 , x2 ,..., xn > 0, x1 + x2 + ... + xn = 1 . Chứng minh rằng

192. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng
1
1
1
1
a+b+c +d
+ + + ≥
.

a 3 b3 c 3 d 3
abcd

xn3
x13
x23
1
.
+
+ ... +
≥
α x1 + β x2 α x2 + β x3
α xn + β x1 n (α + β )

Austria, 2005

Moldova TST, 2002

193. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Chứng minh rằng

184. Cho a là một số thực dương, x1 , x2 ,..., xn > 0, x1 + x2 + ... + xn = 1 . Chứng minh rằng

a
b
c
+
+
≤2.
bc + 1 ca + 1 ab + 1

a x1−x2
a x2 −x3
a xn −x1
n2
+
+ ... +
≥ .
x1 + x2 x2 + x3
xn + x1
2

Poland, 2005

Serbia, 1998

194. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

185. Cho x, y ∈ [ 0,1] . Chứng minh rằng

1+ x2

+

1
1+ y 2

≤

5
3

Ukraine, 1999

a 2 x2
b2 y 2
c2 z 2
3
+
+
≥ .
(by + cz )(bz + cy ) (cz + ax)(cx + az ) (ax + by )(ay + bx) 4

1

Cao Minh Quang

1 1 1
186. Cho x, y , z > 0, xyz = 1, + + > x + y + z, k ∈ N * . Chứng minh rằng
x y z

x + y + z ≥ 2 ( xy + yz ) .
2

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

a b +b c +c a ≤

2
.
1 + xy

1
.
3

Bosnia and Hercegovina, 2005
195. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

Russia, 2000

21

22


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

 b c a  1+ a 1+ b 1+ c
.
+
+
2  + +  ≥
 a b c  1− a 1− b 1− c

a

a

+

3
≥ .
4

1
205. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = . Chứng minh
3
rằng

2

4 ( a − b)
a
b
c
.
+ + ≥ a +b+c +
b
c
a
a +b+c
2

1
1
1

+
+
≤3.
a 2 − bc + 1 b 2 − ca + 1 c 2 − ab + 1

Balkan, 2005
197. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 8 . Chứng minh rằng
a2

a

Czech and Slovak, 2005

196. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
2

+

(a +1)(b +1) (b +1)(c +1) (c +1)(a + 1)

Germany, 2005

2

Cao Minh Quang

b2

China, 2005

c2

4
+
+
≥ .
(a3 +1)(b3 +1) (b3 +1)(c3 +1) (c3 +1)(a3 +1) 3

206. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

ab (1− c ) + bc (1− a ) + ca (1− b) ≤

APMO, 2005
198. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng

2
.
3

Republic of Srpska, 2005
207. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a
b
c
+
+
≤1 .
a2 + 2 b2 + 2 c2 + 2

a
b
c
3
+
+
≥
(a + b + c) .
2
b+c
c+a
a +b

Baltic way, 2005
199. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz ≥ 1 . Chứng minh rằng

Serbia and Montenegro, 2005

x5 − x 2
y5 − y 2
z5 − z 2
+ 5
+ 5
≥0.
5
2
2
2
2
x +y +z

y +z +x
z + x2 + y3

208. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 4 + b 4 + c 4 = 3 . Chứng minh
rằng

IMO, 2005

1
1
1
+
+
≤1 .
4 − ab 4 − bc 4 − ca

200. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

Moldova, 2005

 2

 


a + b + 3 b 2 + a + 3  ≥ 2a + 1 2b + 1 



4 

4  
2 
2 

209. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng

Belarusian, 2005
201. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

3. 3

1 1 1
+ + = 1 . Chứng minh rằng
a b c

Slovenia TST, 2005
210. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a, b, c ≥ 1 . Chứng minh rằng

(a −1)(b −1)(c −1) ≥ 8

1

1

1

(2 + abc) + +  ≥ 9 .
a b c

Croatia, 2005

202. Cho x là số thực dương. Chứng minh rằng

211. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

(2 x)
.
n−1
(1 + x)
n

1 + x n+1 ≥

3
1
3
+ 6 (a + b + c) ≤
.
abc
abc

xy xy + yz yz + zx zx = 1 .
Chứng minh rằng

Russia, 2005

x6
y6
z6
1
+

+
≥ .
x3 + y 3 y 3 + z 3 z 3 + x3 2

203. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng minh rằng

1
1
1
+
+
≤ 1.
1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a

212. [ ðặng Thanh Hải ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng

Romania, 2005

sin x + sin 2 x + sin 3 x <

204. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng

3 3
.
2

213. [ Ngô Văn Thái ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 . Chứng minh rằng
23

24

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

224. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng

x12 + x2 x3
x 2 + x3 x4
x 2 + xn x1
x 2 + x1 x2
+ 2
+ ... + n−1
+ n
≥n.
x1 ( x2 + x3 ) x2 ( x3 + x4 )
xn−1 ( xn + x1 ) xn ( x1 + x2 )

(16 cos4 x + 3)

4

214. [ Nguyễn Duy Liên ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a, b, c ∈ [1, 2] .
Chứng minh rằng

8

4
1 (1 + x ) +16 x
≤
≤ 17 .
4
8
(1 + x 2 )

226. [ Nguyễn Lê Dũng ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

215. [ Lê Thanh Hải ] Cho a, b, c d là các số thực dương. Chứng minh rằng
2

2

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2
a2 + b2 + c2
+
+
≤3
.
a +b
b+c
c+a
a +b+c

2

a
b

c
d
a +b +c +d
.
+ + +
≥
4
b2 c2 d 2 a2
abcd

227. [ Trần Xuân ðáng ] Cho a, b, c là các số thực dương, n ≥ 2 . Chứng minh rằng

216. Cho x ∈ [0, 2] . Chứng minh rằng

4 x − x3 + x + x3 ≤ 3 4 3 .

n

217. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng

218. [ Trần Văn Hạnh ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x2 + y2 + z2 =1,
n ≥ 1 . Chứng minh rằng

(2n + 1) 2 n 2n +1
x
y
z
+
+
≥

.
2n
2n
2n
1− x
1− y
1− z
2n

2

 1 
 1
(1 + x)1 + +
(1 + y )1 +  ≥ 4 + 3 2 .

x

4

2
sin x − sin y sin y − sin z sin z − sin x 
1 
+
+
≤ 1−
.


sin z

sin x
sin y
2 

231. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 .
Chứng minh rằng

232. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 .
Chứng minh rằng

x2 y 2
y2 z2
z 2 x2
+ 2 2
+ 2 2
≤1 .
7
7
7
7
x y +x +y
y z +y +z
z x + z 7 + x7

222. [ Nguyễn Văn Thông ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

2

3x
4y

2z
+
+
= 2.
x +1 y +1 z + 1

2

233. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a +b +c =1.
Chứng minh rằng

Chứng minh rằng

a
b
abc
3 3
+
+
≤ 1+
.
4
a + bc b + ca c + ab

1
.
89

234. [ Nguyễn Minh Phương ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
x + y + z = 2007 . Chứng minh rằng

223. [ Nguyễn Bá Nam ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

1

4

x2
y2
z2
+
+
≥ 3.
3
3
x + y + y z y + z + z x z + x + x3 y

1
1
≥ + (1− a )(1− b)(1− c) .
a +b +c 3

1

.

π π
230. [ Nguyễn Bá ðang ] Cho x, y , z ∈  ,  . Chứng minh rằng
 6 2 

221. [ Ngô Văn Thái ] Cho a, b, c ∈ (0,1] . Chứng minh rằng

1

n +1

16 xyz ( x + y + z ) ≤ 3 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) .

2

220. [ Vũ ðức Cảnh ] Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y = 1 . Chứng
minh rằng

x3 y 4 z 2 ≤

nn

(n + 1)
4

1
1
1
1
+
+
≤ .
a 2 + 2b 2 + 3 b 2 + 2c 2 + 3 c 2 + 2a 2 + 3 2



xn y + y n z + z n x ≤

229. [ Nguyễn Văn Ngọc ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

219. [ Kiều Phương Chi ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 .
Chứng minh rằng

y

a
b
c
n n
+n
+n
>
n −1 .
b+c
c+a
a + b n −1

228. [ Trịnh Bằng Giang ] Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa ñiều kiện x + y + z = 1 ,
n ≥ 2 . Chứng minh rằng

2 sin x + 15 −10 2 cos x ≤ 6 .



+ 768 ≥ 2048cos x .

225. [ Lê Quốc Hán ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng

 1 1 1
(a + b + c) + +  ≤ 10 .
a b c
2

Cao Minh Quang

3  b + c c + a a + b 
+
+
.
a
b
c 

(a3 + b3 + c3 ) a3 + b3 + c3  ≥ 2 

x 20 y 20 z 20
+
+
≥ 3.6699 .
y11 z11 x11
25

26

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

235. [ Phạm Thị Thanh Quỳnh ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
3

3

3

3

3

a 2b 2
c (a + b
3

3

5b − a
5c − b
5a − c
+
+
≤ a +b+c .
ab + 3b 2 bc + 3c 2 ca + 3a 2

236. [ Lê Quang Nẫm ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x, y , z ≥ −1 và
x3 + y 3 + z 3 ≥ x 2 + y 2 + z 2 . Chứng minh rằng
5

5

5

2

2

2

)

+

b 2c 2
a (b + c
3

2

2

)

+

c2a2
b (c 2 + a 2 )
3

≥

3
.
2

246. [ ðỗ Ngọc Ánh ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 6 .
Chứng minh rằng




1 + 1 1 + 1 1 + 1  ≥ 729 .
 b3 
 c3  512
 a 3 

2

x +y +z ≥x +y +z .

247. [ Trương Hoàng Hiếu ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện
a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

237. [ Nguyễn ðễ ] Cho α, β , γ ∈ ℝ, sin α + sin β + sin γ ≥ 2 . Chứng minh rằng

cos α + cos β + cos γ ≤ 5 .

238. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 6 .
Chứng minh rằng

1
1
1
3 17
.
a +
+ b2 +
+ c2 +
≥
2
b+c
c+a
a +b
2

239. [ ðỗ Thanh Hải ] Cho x, y , z , t là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyzt = 1 .
Chứng minh rằng

1
1
1
1
4
+
+

+
≥ .
x 3 ( yz + zt + ty ) y 3 ( xz + zt + tx ) z 3 ( xt + ty + yx) t 3 ( xy + yz + zx ) 3

a 2 + 1 b2 +1 c 2 + 1 7
+
+
≤ .
b 2 + 1 c 2 + 1 a 2 +1 2

2
248. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c là các số thực dương và k ≥ . Chứng minh rằng
3

k 
k 
k
 a  +  b  +  c  ≥ 3 .
 b + c   c + a   a + b 
2k

249. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y = 1 .
Chứng minh rằng

1
1
+ ≥ 4+2 3 .
x 3 + y 3 xy

240. [ ðỗ Bá Chủ ] Cho a1 , a2 , ..., ak > 0, a1 + a2 + ... + ak ≥ k ; k , n ≥ 1 . Chứng minh rằng

250. [ Hồ Quang Vinh ] Cho a, b, c, d là các số thực thỏa ñiều kiện a 2 + b 2 = c + d = 4 .
Chứng minh rằng

a + a2n + ... + akn
≤1 .
a + a2n+1 + ... + akn+1
n
1
n +1
1

ac + bd + cd ≤ 4 + 4 2 .

241. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc + a + c = b . Chứng minh rằng

251. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho x, y, z với x = max { x, y, z } . Chứng minh rằng

2
2
3
10
−
+
≤ .
a 2 +1 b2 +1 c 2 +1 3

x
y
z

+ 1+ + 3 1+ ≥ 1+ 2 + 3 2 .
y
x
x

Vietnam, 1999
242. [ ðặng Thanh Hải ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

252. Cho a là số thực dương và x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx = 1 .
Chứng minh rằng


a +b
b+c
c+a
c
a
b 
+
+
≥ 2 
+
+
 .
 a + b
c
a
b
b+c
a + c 

243. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng
a + b + c + abc ≥

2

Cao Minh Quang

10 3
.
9

a ( x2 + y 2 ) + z 2 ≥

−1 + 1 + 8a
.
2

253. [ Triệu Văn Hưng ] Cho a, b, c > 1 . Chứng minh rằng
a logb c + blogc a + c loga b ≥ 3 3 abc .

254. [ Phạm Văn Thuận ] Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 = 1 .
Chứng minh rằng

244. [ Phan Hoàng Vinh ] Cho a1 , a2 , ..., an ∈ [0,1], n ≥ 2 . Chứng minh rằng

a1
a2
an
+

+ ... +
≤ n −1 .
a2 a3 ...an +1 a1a3 ...an + 1
a1a2 ...an−1 + 1

xy + max { x, y} ≤

245. [ ðào Mạnh Thắng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

3 3
.
4

255. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ a 2b 2 c 2 .

a6
b3
c6
1
+
+
≥ .
b3 + c3 c 3 + a 3 a 3 + b3 18

Chứng minh rằng

256. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng
27

28


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

269. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện (a 2 + a + 2)(b +1) (c 2 + 3c) = 64 .
2

xy
yz
zx
3
+
+
≤ .
z + xy
x + yz
y + zx 2

Chứng minh rằng

257. [ Trần Tuấn Anh ] Cho x là các số thực không âm. Chứng minh rằng

a 3b 4c 5 ≤ 1 .

2 2
+ x ≤ x + 9.
x +1

270. [ Trần Hồng Sơn ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤
Chứng minh rằng

258. Cho a, b là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a > b ≥ 0 . Chứng minh rằng

2a +

32
2

(a − b)(2b + 3)


1 1 
1 1 
1 1
3 + + 3 + + 3 + +  ≥ 343 .
a b
b c
c a

≥5.

3

271. Cho a, b, c, m, n, p là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤1, m + n + p ≤ .
2
Chứng minh rằng

259. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b = 4 . Chứng minh rằng
6 10
2a + 3b + + ≥ 18 .
a b


 2 1 

1 + + 1 + 2 + 1 1 + 2 + 1  ≥ 93 .
 b n  c p 
 a m 

260. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a +b+c =3 . Chứng minh rằng
5

3
.
2

272. [ Phùng Văn Sự ] Cho x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng

2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a ≤ 3 5 3 .

27 ( x 2 + 3)( y 2 + 3)( z 2 + 3) ≥ 4 (3xy + 3 yz + 3zx) .
2

261. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
6

( x + y + z ) ≥ 432 xy 2 z 3 .

273. [ Trần Anh ðức ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a 3 + b3 + c 3 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 9
+ 2
+
+
≥ .
2abc
c + ab a 2 + bc b 2 + ac 2

262. Cho a ∈ [0,1] . Chứng minh rằng

13. a 2 − a 4 + 9. a 2 + a 4 ≤ 16 .

274. [ Lê Thanh Hải ] Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab = 1 . Chứng
minh rằng

263. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng





2 + 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 + 3d  ≥ 28561 .





5b 
5c 
5d 
5a 
625

a3
b3
+
≥1.
1+ b 1+ a

264. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + d ≤ 1 . Chứng minh
rằng

275. [ Dương Châu Dinh ] Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện
x + y + z = 2 . Chứng minh rằng






1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1  ≥ 94 .
 a b  b c  c d  d a 

2 ( x3 + y 3 + z 3 ) ≤ 2 + ( x 4 + y 4 + z 4 ) .

276. [ Nguyễn Tất Thu ] Cho a, b, c , α là các số thực dương. Chứng minh rằng

265. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcd ≥ 16 . Chứng minh rằng

 2 1 α  2 1 α  2 1 α
α
a +  + b +  + c +  ≥ 3.2 .
ab
bc
ca






a + 2 + 1 b + 2 + 1 c + 2 + 1 d + 2 + 1  ≥ 2401 .




b c 
c d 
d a 
a b 
16

277. [ Trần Xuân ðáng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 .
Chứng minh rằng

266. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b ≤ 1 . Chứng minh rằng
1
1
1
+
+
≥ 20 .
a 3 + b3 a 2b ab 2

(a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 2 (1 + a + b + c) .
278. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

267. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤ 1 . Chứng minh rằng

1

1
1
1
1
1
1 81
+
+
+ + + ≥ .
a + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 ab bc ca 2

(2a + b)(a + c) a + (2b + c)(b + a) b + (2c + a )(c + b) c ≤ 3 6 .
5

5

1

x

z

y

279. [ ðàm Văn Nhỉ ] Cho a, b, c, d ∈ [0,1] . Chứng minh rằng

268. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng
5

1


+ + ≥ x+ y + z +6 .
( xyz + 1) + + +
 x y z z y x

2

5

a
b
c
d

+
+
+
≤3.
bcd + 1 cda + 1 dab + 1 abc + 1
29

30


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

280. [ Cao Xuân Nam ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca =1.
Chứng minh rằng

a8
2

(a 2 + b2 )

+

b8
2

(b2 + c2 )

+

c8
2

(c 2 + a 2 )

1
≥ .
12

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

290. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

(x x + y y ).
291. [ Nguyễn Hữu Bằng ] Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

281. [ Trần Hồng Sơn ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤ 3 .
Chứng minh rằng

1
a 3 b3 c 3
1
1
+ + + 27  + +  ≥ 84 .
 ab bc ca 
b2 c2 a2

1

1

1

(a + b + c) + +  +
a b c

3(a − b)(b − c )(c − a )
abc

≥9.

292. [ Cao Minh Quang ] Cho 10 số thực không âm ai , bi (i = 1, 2,...,5) thỏa mãn ñiều kiện

ai2 + bi2 = 1(i = 1, 2,...,5) và a12 + a22 + ... + a52 = 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b1 + b2 + b3 + b4 + b5
.
a1 + a2 + a3 + a4 + a5

282. [ Dương Châu Dinh ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
1
1
1
1 1 1
6  2 + 2 + 2  ≤ 1 + + + .
 a
b
c 

a b c

293. Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng
( x + y )( y + z )( z + x ) 2 ≥ xyz (2 x + y + z )(2 y + z + x )(2 z + x + y )



Chứng minh rằng
1
1
1
1
+
+
≤ .
10a + b + c a + 10b + c a + b + 10c 12

294. [ Vedula N. Murty ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
2

2

2

a + b + c 1 3 (a + b) (b + c) (c + a )
≤
.
3
4
abc

283. [ Lê Văn Quang ] Cho a, b, c, d , e, f là các số thực thỏa mãn ñiều kiện
ab + bc + cd + de + ef = 1 .

295. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, x1 + x2 + ... + xn = 2n, n ≥ 3 . Chứng minh rằng

Chứng minh rằng
a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 + f 2 ≥

1
π
2 cos
7

n

j =1 i=1
i≠ j

284. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng
a
b
c
27
.
+
+
≤
a 3 + a 2 + 1 b3 + b 2 +1 c 3 + c 2 +1 31

x

296. Cho hàm số f : [1, +∞) 
→ ℝ, f ( x) = ∫
1

3

.

dt
. Chứng minh rằng với các số
t + 2002t 2002

298. Cho các số thực a1 , a2 ,..., an . Chứng minh rằng
a13 + a23 + ... + an3 ≤ a12 + a22 + ... + an2 .
Nordic, 1990
299. Cho các số thực x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 2) thỏa mãn các ñiều kiện x1 + x2 + ... + xn ≥ 0 và
3

3ab +1 3 3ab +1
a + b + 3 ≥ a + b + 3.
.
.
4
4
4

287. [ Trần Thị Thuận ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

x12 + x22 + ... + xn2 = 1 . ðặt M = max { x1 , x2 ,..., xn } . Chứng minh rằng

1
1
1
3
+
+
≥
.
a (b + 1) b (c + 1) c (a +1) abc +1

M≥

1
n (n −1)

.

Nordic, 1995
300. Cho a1 , a2 ,..., an (n ≥ 1) là các số thực dương. Chứng minh rằng

288. Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng

)

2n (n −1)

(a − b)(a 2 − 9) + (a − c )(b 2 − 9) + (b − c )(c 2 − 9) ≤ 36 .

286. [ Walther Janous ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

8( x3 + y 3 + z

≥

f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn )
x + x2 + ... + xn
.
≤ ln 1
n
n
297. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ñiều kiện 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3 . Chứng minh rằng

x+ y+z
xy + yz + zx
.
≥
3 3
x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2

3 2

xj
xi3 +1

thực x1 , x2 ,..., xn ≥ 1 , ta có

285. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

4

n

∑∑

.

≥ 9 ( x 2 + yz )( y 2 + zx )( z 2 + xy ) .

1
1
1  1
1
1 
1
1
1
n + + + ... +  .
n  + + ... +  ≥ 
+
+ ... +

1 + an 
an  1 + a1 1 + a2
a1 a2
an 
 a1 a2

289. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

ðẳng thức xảy ra khi nào?

x2 − z 2 y 2 − x2 z 2 − y 2
+
+
≥0.
y+z
z+x
x+ y

Nordic, 1999
31

32


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

301. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với các số thực x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn , ta
luôn có bất ñẳng thức

x1 x2 ...xn + y1 y2 ... yn ≤ x12 + y12 + x22 + y22 + ... + xn2 + yn2 .
Poland, 2002
302. Cho x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 3) là các số thực dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai
bất ñẳng thức sau là ñúng
n

x
x
n n
n
∑ x +i x ≥ 2 , ∑ x +i x ≥ 2 .
i=1 i +1
i =1 i−1
i+2
i −2
(ở ñây ta xem xn+1 = x1 , xn+2 = x2 , x0 = xn , x−1 = xn−1 )
Poland, 2002
303. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

311. Cho các số thực x, y thỏa mãn ñiều kiện 1 ≤ x 2 − xy + y 2 ≤ 2 . Chứng minh rằng
2
a) ≤ x 4 + y 4 ≤ 8 ,
9
2
b) x 2 n + y 2 n ≥ n , n ≥ 3 .
3
312. Cho x1 , x2 ,..., xn−1 (n ≥ 3) là các số tự nhiên thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + ... + xn−1 = 2

và x1 + 2 x2 + ... + (n −1) xn−1 = 2n − 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
n−1

F ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∑ k (2n − k ) xk .

k =1

2 (a 2 + b 2 ) + 2 (b 2 + c 2 ) + 2 (c 2 + a 2 ) ≥ 3(a + b) + 3(b + c) + 3(c + a ) .
2

2

2

Poland, 2004
304. Cho a, b là các số thực dương và các số thực xi , yi ∈ [0,1], i = 1, 2,..., n (n ≥ 1) thỏa mãn

các ñiều kiện x1 + x2 + ... + xn ≤ a, y1 + y2 + ... + yn ≤ b . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .
Poland, 2005
305. Cho các số thực dương x1 , x2 ,..., xn và số thực c > −2 . Chứng minh rằng nếu
x12 + cx1 x2 + x22 + x22 + cx2 x3 + x32 + ... + xn2 + cxn x1 + x12 = c + 2 ( x1 + x2 + ... + xn )

 π
313. [ V. Senderov ] Cho x ∈ 0,  và m, n là các số tự nhiên sao cho n > m . Chứng minh
 2 
rằng
2 sin n x − cos n x ≤ 3 sin m x − cos m x .

314. [ S. Berlov ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng
minh rằng
1
1
1

2
2
2
+
+
≥
+
+
.
1 − a 1− b 1− c 1 + a 1 + b 1 + c
 π
315. Cho x ∈ 0,  . Chứng minh rằng
 2 
sin x ≤ sin x .
316. [ D. Tereshin ] Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng

(a + b + c) ≥ 3(a bc + b ca + c ab ) .

thì c = 2 hoặc x1 = x2 = ... = xn .

2

Poland, 2005.
306. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = abc . Chứng minh
rằng
a 4 + b4
b4 + c4
c4 + a4
+
+

≥1 .
3
3
3
3
ab (a + b ) bc (b + c ) ca (c 3 + a 3 )
Poalnd, 2006
1
≤ a, b, c ≤ 1 . Chứng minh rằng
2
a +b b+c c +a
2≤
+
+
≤ 3.
1+ c 1+ a 1+ b
 π
308. Cho a, b ∈ 0,  và n ∈ ℕ . Chứng minh rằng
 4 

(sin a + sin b)

n

≥

sin n 2a + sin n 2b

(sin 2a + sin 2b)

n

.

309. Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

(−a + b + c)(a − b + c) +(a − b + c)(a + b − c) +(a + b − c)(−a + b + c) ≤ abc ( a + b + c ) .
Romania TST, 2002
310. Cho a1 , a2 ,..., an (n ≥ 3) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a12 + a22 + ... + an2 = 1 .
Chứng minh rằng
2
a
a1
a
4
+ 2 + ... + 2 n ≥ a1 a1 + a2 a2 + ... + an an .
a22 + 1 a32 + 1
a1 + 1 5
Romania TST, 2002

(

x1
x2
xn−1
xn
+
+ ... +
+
≥2.

xn + x2 x1 + x3
xn−2 + xn xn−1 + x1
Xác ñịnh ñiều kiện xảy ra ñẳng thức khi n = 4 .
318. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
3(a + b + c + d ) + 4 (abc + bcd + cda + dab) = 8 .
Chứng minh rằng
ab + ac + bc + ad + bd + cd ≤ 2 .
319. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x 2 ≤ y + z, y 2 ≤ z + x, z 2 ≤ x + y . Hãy
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z .
Serbia and Montenegro, 2002
320. Cho a, b, c là các số thực dương và n, k là các số tự nhiên. Chứng minh rằng

307. Cho

sin n a + sin n b

317. Cho x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 4) là các số thực dương. Chứng minh rằng

)

33

a n+ k b n+ k c n + k
+ n + n ≥ ak + bk + ck .
bn
c
a
321. [ R. Sanojevic ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng
minh rằng
1

1
1
+
+
≥ 2.
1 1
1 1
1 1
b+ +
c+ +
a+ +
a 2
b 2
c 2
Serbia and Montenegro, 2004
322. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng
xy + yz + zx ≥ 4 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) + 5 xyz .

Serbia and Montenegro, 2006
34


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

323. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng
x
y
z

9
+
+
≥ .
y 2 + z z 2 + x x2 + y 4
Serbia and Montenegro, 2006
324. Chứng minh rằng
1
44
tan10 tan 20...t an440 < t an220 30 ' < ( tan10 + tan 20 + ... + t an440 ) .
44
325. Cho a, b, c, d , e, f là các số thực dương. Chứng minh rằng
(a + c + e)(b + d + f )
ab
cd
ef
.
+
+
≤
a +b c+d e+ f
a +b+c+d +e+ f
Yugolavia, 1985
326. Cho a ≥ 1, b ≥ 1 . Chứng minh rằng

 π
335. Cho x ∈ 0,  , n ∈ ℕ . Chứng minh rằng
 2n 
s in (n+1) x
s in2x s in3x

cos x
+
+ ... +
<2 2 .
sinx
sin2x
sinnx
sin x
Ukraina TST, 1999
336. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 2 . Chứng minh rằng
1
1
1
27
+
+
≥
.
1 + ab 1 + bc 1 + ca 13
Swiss TST, 2003
337. Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 ...an = 1 . Chứng minh
rằng
a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + a2 + ... + an .

2

( a − b)
( a − b)
a 2 + b2
≤

− ab ≤
.
2 ( a + b)
2
4 ab
Yugolavia, 1993
328. Cho các số thực x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Hãy xác ñịnh giá trị lớn nhất của số thực a ñể
x12 + x22 + x32 + x42 + x52 ≥ a ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x5 ) .
Yugolavia, 1996
329. [ ð. Dugosija ] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng
1
1
1
ít nhất hai trong ba số 2a − , 2b − , 2c − ñều lớn hơn 1.
b
c
a
Serbia and Montenegro TST, 2004
330. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng
a
b
c
d
+
+
+
≥ 2.
b +c c + d d + a a +b
Yugolavia TST, 1985
331. Cho a > b > 0 . Chứng minh rằng

2

( a − b)
8a

Cao Minh Quang

1
1
1
1
1
1
−1 −1 +
−1 −1 +
−1 −1 ≥ 6 .
a
b
b
c
c
a

 a 2 − b 2 2
ab
a2 + b2
 +
3
.
≥

 8 
a +b
8
Yugolavia, 1991
327. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
2

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

2

( a − b)
a +b
.
− ab <
2
8b
Sweden, 1985

338. Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng
minh rằng
1
a 2 + b 2 + c 2 + 4abc ≤ .
2
Italy, 1990
339. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
 1
9
1
1  1 1 1

≤ 2 
+
+
≤ + + .
 a + b b + c c + a  a b c
a+b+c
Irish, 1998
340. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng
1
2
2
2
2
2
2
(a − b) + (b − c) + (c − a )  ≤ a 2 + b 2 + c 2 − 3 3 a 2b 2c 2 ≤ (a − b) + (b − c) + (c − a) .
3 
Irish, 2005
341. Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng

a
b
c
3 3 abc
.
+
+
≥
1− a 1− c 1− c 1− 3 abc
Irish, 2002

342. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xyz = −1 . Chứng minh rằng
x2 x2 y 2 y2 z 2 z 2
+ + + + + .
y
z
x
z
x
y
Iran, 2004
343. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương. Chứng minh rằng

<

x 4 + y 4 + z 4 + 3( x + y + z ) ≥

 1
332. Cho x1 , x2 , x3 , x4 ∈ 0,  . Chứng minh rằng
 2 
x1 x2 x3 x4
x14 + x24 + x34 + x44
.
≤
(1− x1 )(1− x2 )(1− x3 )(1− x4 ) (1− x1 )4 + (1− x2 )4 + (1− x3 )4 + (1− x4 )4
Taiwan, 2002
333. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 + ... + xn2 = 1 . Hãy tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
n
x5
∑ x + x + ...i + x − x .

i=1 1
2
n
i
Turkey TST, 1997
334. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
35

xn3
x + x2 + ... + xn
x13
x23
.
+ 2
+ ... + 2
≥ 1
2
2
3
x + x1 x2 + x2 x2 + x2 x3 + x3
xn + xn x1 + x12
Hungary – Israel Competition, 2003
344. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + d = 1 . Chứng minh
rằng
1
6 ( a 3 + b3 + c 3 + d 3 ) ≥ (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + .
8
Hong Kong, 2006
345. Cho a1 , a2 ,..., an+1 (n ≥ 2) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
2

1

a2 − a1 = a3 − a2 = ... = an+1 − an .
36


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Chứng minh rằng

Cao Minh Quang
α +1

1
1
1
n −1 a1an + a2 an+1
.
+ + ... + 2 ≤
.
2
a22 a32
an
a1a2 an an+1
Hong Kong, 2004
346. Cho x, y, z > 0, k > 2, a = x + ky + kz, b = kx + y + kz, c = kx + ky + z . Chứng minh rằng

x y z
3
.
+ + ≥
a b c 2k + 1
Greek TST, 1998
347. Cho x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng

x2 − y2 y 2 − z 2 z 2 − x2
+
+
≤0.
2 x 2 + 1 2 y 2 + 1 2 z 2 +1
Greek TST, 2005
348. Cho x, y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x 2 + xy + y 2 = 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất của biểu thức
K = x 3 y + xy 3 .
Greek , 2006
1− γ 2
349. Cho α, β , γ là các số thực thỏa mãn ñiều kiện βγ ≠ 0,
≥ 0 . Chứng minh rằng
βγ
10 (α 2 + β 2 + γ 2 − βγ 3 ) ≥ 2αβ + 5αγ .

Greek , 2002
350. Cho α, β , x, y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện α + β = 1 . Chứng minh rằng
α β 
(α x + β y ) +  ≥ 1 .
 x y

a) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x ) =

x α+1 (1− x )
, ∀x ∈ (0,1) .
+
α
cα
(1− c)
α +1

b) Chứng minh rằng

a α +1 bα+1 (a + b)
+ α ≥
.
α
pα
q
( p + q)

Bulgarian, 1984
357. Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 là các số thực dương. Hãy xác ñịnh số C bé nhất ñể
125
C ( x12005 + x22005 + ... + x52005 ) ≥ x1 x2 x3 x4 x5 ( x1125 + x125
2 + ... + x5 ) .
16

Brasil, 2005
358. Cho a, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
a+z

a+x
a+ y
a+ y
a+z
a+x
x
+y
+z
≤ x+ y+z ≤ x
+y
+z
.
a+x
a+ y
a+ z
a+z
a+x
a+ y
359. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng
2 3 3 4 4... n n < 2 .
Austria, 1990
360. Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng

a 6 + b 6 + c 6 + d 6 + 2 ≥ 6abcd .
Austria, 2004
361. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng

{

2

2

2

}

min (a − b) , (b − c) , (c − a ) ≤

a2 + b2 + c2
.
2

Italy, 1992
362. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn các ñiều kiện a 2 ≤ b 2 + c 2 , b 2 ≤ c 2 + a 2 ,
c 2 ≤ a 2 + b 2 . Chứng minh rằng
(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )(a3 + b3 + c3 ) ≥ 4 (a 6 + b6 + c6 ) .

ðẳng thức xảy ra khi nào?

Greek , 2001
351. Cho x, y là các số thực dương. Hãy xác ñịnh số k lớn nhất ñể
1
xy
≤ .
2
2
2
2
( x + y )(3x + y ) k

Japan, 2001
363. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng

Greek , 2000
352. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a < b < c, a + b + c = 6, ab + bc + ca = 9 .
Chứng minh rằng
0 < a <1 < b < 3 < c < 4 .
Britain, 1995
353. Cho 0 ≤ x, y, z ≤ 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
S = x 2 y − y 2 x, P = x 2 y + y 2 z + z 2 x − x 2 z − y 2 x − z 2 y .
Britain, 1995
354. Cho a, b, c, d , e là các số thực dương. Chứng minh rằng
 a 4  b 4  c 4  d 4  e 4 b c d e a
  +   +   +   +   ≥ + + + + .
b
c
d
e
a
a b c d e
Britain, 1984
355. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x2 + y2 + z2 =1. Chứng minh rằng
1
x 2 yz + xy 2 z + xyz 2 ≤ .
3
Britain, 2004
356. Cho a, b, c, p, q, α ∈ (0,1) .

37

n−1

n

1

∑ n − k . 2k −1 < 4 .
k =1

Japan, 1992
364. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh
rằng
a
b
c
3
+
+
≥ a a +b b +c c .
b2 +1 c 2 +1 a 2 + 1 4
Mediteranean, 2002
365. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca + 2abc = 1 . Chứng
minh rằng
2 (a + b + c) +1 ≥ 32abc .
Mediteranean, 2004
366. Cho a, b, c là các số khác 0; x, y, z là các số thực dương thỏa ñiều kiện x + y + z = 3 .
Chứng minh rằng
3 1
1

1
x
y
z
+ + ≥
+
+
.
2 a2 b2 c 2 1+ a2 1+ b2 1+ c 2
Mediteranean, 1999
367. Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương. Chứng minh rằng

(

38

)


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

1
1
1
−
≥ .
1
1

1
1
1
1
n
+
+ ... +
+ + ... +
an
1 + a1 1 + a2
1 + an a1 a2

3

 3
369. Cho x, y ∈ 1,  . Chứng minh rằng
 2 

370.

371.

372.

373.

374.

375.
3

Cao Minh Quang

x 3 ( x + x2 + ... + xn )
x13 x23
.
+ 2 + ... + n2 ≥ 1
2
y1
y2
yn ( y1 + y2 + ... + yn )2
 π
381. [ D. Mitin ] Cho x, y ∈ 0,  . Chứng minh rằng
 2 

cos x cos y − 4
1
x+ y
 .
≤ 1 + cos 

cos x + cos y − 4
2
 cos x + cos y − 4 

368. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng
log 2 3 + log3 4 + ... + log n (n +1) < n + ln n − 0,9 .

2

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

382. [ D. Mitin ] Cho x1 , x2 ,..., xn ≠ 0 ,

2

y 3− 2x + x 3− 2 y ≤ x + y .
Moldova, 2001
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
a 2 + b 2 + c 2 +1 ≥ 4 (ab + bc + ca ) .
Moldova, 2002
Cho n là một số tự nhiên và x là một số thực. Chứng minh rằng
n
cos x + cos 2 x + cos 4 x + ... + cos 2n x ≥
.
2 2
 π
[ V. Yasinsky ] Cho α, β , γ ∈ 0,  . Chứng minh rằng
 2 
sin β
sin γ
sin α
.
α+β +γ ≥α
+β
+γ
sin α
sin β
sin γ
 π

[ V. Yasinsky ] Cho α, β , γ ∈ 0,  . Chứng minh rằng
 2 
sin β + sin γ
sin γ + sin α
sin α + sin β
α+β +γ ≥α
+β
+γ
.
2sin α
2sin β
2sin γ
[ M. Kurylo ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
abc (a + b + c )
a6
b6
c6
+
+
≥
.
2
b2 + c 2 c 2 + a 2 a 2 + b 2
[ M. Kurylo ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

(

x
x1 x2
+ + ... + n = 0 . Chứng minh rằng

x2 x3
x1

x1 x2 + x2 x3 + ... + xn x1 ≤ max xk − min xk
1≤k ≤n

1≤k ≤n

)( x + x
1

2

+ ... + xn ) .

383. [ V. Yasinskyy ] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện a + b + c = 2 và
ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng
4
max {a, b, c} − min {a, b, c} ≤
.
3
384. [ V. Brayman ] Cho 1 ≤ a, b, c, d ≤ 2 . Chứng minh rằng
a
b
c
d
4
≤
+
+

+
≤2.
3 b + cd c + da d + ab a + bc
385. [ O. Makarchuk ] Cho a, b, c > 1 thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = abc . Chứng minh rằng

(a 2 −1)(b2 −1)(c 2 −1) ≤ 8 .
386. [ V. Yasinskyy ] Cho x, y, z là các số thực thỏa ñiều kiện x + y + z ≤1, x − y + z ≤1,

4x + 2 y + z ≤ 8, 4x − 2 y + z ≤ 8 . Chứng minh rằng
x +3 y + z ≤ 7.
387. [ O. Rybak ] Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng
b4 c 4
c4 a4
a 4 b4
+ + b 4 + + + c 4 + + ≥ a 4 + b 3 c + b 4 + c 3 a + c 4 + a 3b .
2
2
2
2
2
2
388. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a4 +

a
b
c
a 2 + bc
b 2 + ca
c 2 + ab

.
+
+
≥
+
+
b + c c + a a + b (a + b)(a + c ) (b + a )(b + c ) (c + a )(c + b)
389. [ Daniel Campos Salas ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
a + b + c + 1 = 4abc .
Chứng minh rằng
1 1 1
1
1
1
+ + ≥3≥
+
+
.
a b c
ab
bc
ca
390. [ Bogdan Enescu ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện
cos x + cos y + cos z = 0, cos 3 x + cos 3 y + cos 3 z = 0 .
Chứng minh rằng
cos 2 x.cos 2 y.cos 2 z ≤ 0 .
391. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a (b +1) yz + 3 b (c + 1) zx + 3 c (a + 1) xy ≤ 3 (a +1)(b +1)(c + 1)( x + 1)( y + 1)( z + 1) .

1
. Chứng minh rằng
3
a +b b+c c +a
a + b + c − abc
.
+
+
≤2
1− ab 1− bc 1− ca
1− ab − bc − ca
377. [ O. Kukush, R. Ushakov ] Cho n ≥ 1 . Chứng minh rằng
376. [ V. Brayman ] Cho 0 ≤ a, b, c <

1 + 3 + 5 + ... + 2n −1 < 2 .

378. [ V. Gavran ] Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
a 3 b3 c 3 a
c
b
+ + ≥ (a + b − c) + (c + a − b ) + (b + c − a ) .
b2 c2 a 2 c
b
a
379. [ R. Ushakov ] Cho n ≥ 2, p ≥ 3 . Chứng minh rằng
n


1− 1  > p
∏

 k p  p + 1
k =2 
380. [ Prymak ] Cho x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn là các số thực dương. Chứng minh rằng

b+c
c+a
a +b
a +b +c
+
+
≥ 6. 3
.
a
b
c
abc
392. [ Vasile Cartoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện
a 2 + b2 + c2 + d 2 = 4 .
Chứng minh rằng
39

40


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

2 (4 − ab − bc − cd − da ) ≥

(

)

( x z − y z )(1− x z y z ) > 1− xy .
406. [ Bogdan Enescu ] Cho a, b là hai số thực phân biệt thỏa mãn ñiều kiện

a −1 + b +1 = a + b = a −1 + b + 1 .
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + b .
1
407. [ Iurie Boreico, Marcel Teleucă ] Cho x1 , x2 ,..., xn ≥ . Chứng minh rằng
2
xi
n
n 



2
x
4
1 + i  ≥   4 ( x1 + x2 )( x2 + x3 )...( xn−1 + xn )( xn + x1 ) .
∏

 3 
3 
i=1 
408. [ Iurie Boreico, Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt. Chứng
minh rằng
a 2b + a 2 c + b 2 a + b 2 c + c 2 a + c 2b

16abc
≥
.
2
a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca
(a + b + c)

a1a2 a3a4 a5 = a1 (1 + a2 ) + a2 (1 + a3 ) + ... + a5 (1 + a1 ) + 2 .
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
1
1
1
+ + + + .
a1 a2 a3 a4 a5
395. Cho x1 , x2 , x3 , x4 là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện
x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x12 + x22 + x32 + x42 = 1 .
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x13 + x23 + x33 + x43 .
396. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng
3

3

a + abc b + abc c + abc
+
+
≥ a 2 + b2 + c2 .
b+c

c+a
a +b
397. [ Titu Andresscu ] Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng
1
cos3 A + cos3 B + cos3 C + cos A cos B cos C ≥ .
2
398. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c là các số thực không âm nhưng không có hai số nào
trong ba số ñồng thời bằng 0. Chứng minh rằng

a 2 + bc 3 b 2 + ca 3 c 2 + ab
9 3 abc
.
+ 2
+ 2
≥
b2 + c 2
c + a2
a + b2 a + b + c
399. [ Titu Andresscu ] Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng

409. [ Titu Andreescu ] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 3(a + b) ≥ 2 ab +1 .
Chứng minh rằng
9 (a 3 + b3 ) ≥ a 3b3 + 1 .
410. [ Titu Andreescu ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng

3(a 2 − ab + b2 )(c 2 − cd + d 2 ) ≥ 2 (a 2 c 2 − abcd + b 2 d 2 ) .
411. [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a) (a 3 + b3 + c3 ) ≥ (a 4 + b 4 + c 4 )(ab + bc + ca ) .
2

b) 9 (a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ (a 5 + b5 + c 5 )(a + b + c ) .
2

3

3(a 2 − ab + b 2 )(b 2 − bc + c 2 )(c 2 − ca + a 2 ) ≥ a 3b3 + b3c 3 + c3 a 3 .

400. [ Darij Grinberg ] Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
A
A
B
B
C
C
3 
A
B
C
cos cot + cos cot + cos cot ≥
cot + cot + cot  .
2
2
2
2
2
2
2 
2
2

2
401. [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 .
Chứng minh rằng
1
1
1
1
1
1
.
a) Nếu a ≤ b ≤ 1 ≤ c thì
+
+
≥
+
+
a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1
1
1
1
1
1
1
b) Nếu a ≤ 1 ≤ b ≤ c thì
+
+
≤
+
+
.

a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1
402. [ Vasile Cartoaje ] Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng
1
5
x 4 ( y + z ) + y 4 ( z + x) + z 4 ( x + y ) ≤ ( x + y + z ) .
12
403. [ Zdravko F. Starc ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 .
Chứng minh rằng

(

) (

) (

Cao Minh Quang

x− y

2 +1 (4 − a − b − c − d ) .

393. [ Hồ Phú Thái ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a
b
c
a +b+c
+
+
≤
.

ab + bc + ca
a 2 + 2bc
b 2 + 2ca
c 2 + 2ab
394. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,..., a5 là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

3

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

)

a b2 − b + b c 2 − c + c a 2 − a ≥ 0 .

404. [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
3
(ab + bc + ca) ≤ 3(a 2b + b 2c + c 2 a )(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) .

405. [ Nikolai Nikolov ] Cho 0 < y < x < 1, 0 < z < 1 . Chứng minh rằng
41

3

412. [Titu Andreescu ] Cho a, b là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 9a 2 + 8ab + 7b 2 ≤ 6 .
Chứng minh rằng
7a + 5b + 12ab ≤ 9 .
413. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
 1
1
1

1 
1
1
.
+
+
+
≥

a + b + c  a + b b + c c + a  ab + bc + ca 2 (a 2 + b 2 + c 2 )
414. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng
minh rằng
4 (ab + bc + ca)
1
1
1
+
+
+
≥ ab + bc + ca .
a3 (b + c ) b3 (c + a ) c 3 (a + b) (a + b)(b + c)(c + a)
415. [ Bin Zhao ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a2
b2
c2
+
+
≤1 .
4a 2 + ab + 4b2

4b 2 + bc + 4c 2
4c 2 + ca + 4a 2
416. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a ≥ 1, a + b + c = 0 . Chứng minh rằng
a 4 + b 4 + c 4 − 3abc .
417. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤ 8 . Chứng minh rằng
1
1
1
+
+
≥1 .
a 2 − a +1 b2 − b + 1 c 2 − c + 1
n
n
1
418. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện S = ∑ xi = ∑ . Chứng
i=1
i=1 xi
minh rằng
42


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc
n

Cao Minh Quang

1

n

1

∑ n −1 + x ≥ ∑ 1 + S − x
i=1

i

i=1

2

i

1 1 1
419. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( x + y − z ) + −  = 4 . Hãy
 x y z 

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
1
E ( x, y, z ) = ( x 4 + y 4 + z 4 ) 4 + 4 + 4  .
 x
y
z 
420. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = 1 . Chứng minh
rằng
1 + a 2b 2 1 + b 2 c 2 1 + c 2 a 2 5
+

+
≥ .
2
2
2
(a + b) (b + c) (c + a) 2

421. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng
a +b
b+c
c+a
+
+
≥ 3.
b +1
c +1
a +1
422. Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Hãy tìm giá trị lớn nhất của số
thực k ñể
3

a 3 + b3 + c3 ≥ k ( a + b + c ) .
Iran, 2006
n

∑ x = 1 . Chứng minh rằng
i

i=1

 n
 n
1 
n2
.
xi ∑

≤


∑

 i=1 1 + xi 
n +1
i=1
China TST, 2006
424. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng

xy
yz
zx
2
.
+
+
≤
2
xy + yz
yz + zx
zx + xy

China TST, 2006
425. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng
1
1
1
+ + ≥ a2 + b2 + c 2 .
a2 b2 c 2
Romania TST, 2006
426. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a) Tìm tất cả các giá trị của n ñể bất ñẳng thức trên ñúng khi a1 , a2 ,..., an là các số thực
dương.
b) Tìm tất cả các giá trị của n ñể bất ñẳng thức trên ñúng khi a1 , a2 ,..., an là các số thực
bất kì.
Italy, 2006
430. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

3 
3 
3
 a + 2b  +  b + 2c  +  c + 2a  ≥ 3 .
 a + 2c   b + 2a   c + 2b 
MOP, 2004
431. Cho k ∈ ℤ + , a1 , a2 ,..., an là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1 + a2 + ... + an = 1 .
Chứng minh rằng
n
n
1− aik
≥ (n k −1) .
∏

aik
i=1
432. Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a1 + a2 + ... + an = 1 .
Chứng minh rằng
1
a1a2 + a2 a3 + ... + an−1an ≤ .
4
433. Cho a1 , a2 ,..., an (n > 1) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 ...an = 1 . Chứng
minh rằng
a + a2 + ... + an + n
1
1
1
.
+
+ ... +
≤ 1
1 + a1 1 + a2
1 + an
4
434. [ Aaron Pixton ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng
minh rằng
a b c
5 + + + ≥ (1 + a )(1 + b)(1 + c) .
b c a
435. [ Mildorf ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
4a 2
4b 2
4c 2
+

+
.
a +b b+c c +a
1
1
1
436. [ Po – Ru Loh ] Cho a, b, c > 1 thỏa mãn ñiều kiện 2
+
+
= 1 . Chứng
a −1 b 2 −1 c 2 −1
minh rằng
1
1
1
+
+
≤1.
a +1 b +1 c +1
437. [ Weighao Wu ] Cho x ∈ ℝ . Chứng minh rằng
3

 a b c 2 3  a + b b + c c + a 
 + +  ≥ 
+
+
.
 b c a 
a
b 

2  c
Junior Balkan TST, 2006
427. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

4a 3 + 4b3 + 3 4b3 + 4c 3 + 3 4c3 + 4a 3 ≤

sin x

(sin x)

cos x

< (cos x )

.

438. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a2 b2 c2
+ + ≥ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) .
b
c
a
Junior Balkan TST, 2006
428. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx = 1 . Chứng minh rằng
2
27
( x + y )( y + z )( z + x) ≥ x + y + y + z + z + x ≥ 6 3 .
4
Turkey TST, 2006

429. Cho a1 , a2 ,..., an (n ≥ 3) là các số thực. Giả sử rằng ta có

(

Cao Minh Quang

(a1 + a2 + ... + an ) ≥ 4 (a1a2 + a2 a 3 +... + an a1 ) .

.

423. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

)

43

a
b
c
3 2
+
+
≤
.
2
a 2 + b2
b2 + c2
c2 + a2

439. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,..., an (n > 1) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
1<

a1a2 ...an = 1 . Chứng minh rằng
a12 + 1
a 2 +1
a 2 +1
+ 2
+ ... + n
≤ a1 + a2 + ... + an .
2
2
2
440. [ Vascile Cartoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 .
Chứng minh rằng
44


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

a
b
c
3
+
+
≥ .
ab +1 bc + 1 ca + 1 2

441. Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện

∑ x −x
i

j

= 1 . Hãy

i< j

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

a 4 + c 4 + a 4 + d 4 + b4 + c 4 + b 4 + d 4 ≥ 2 2 (ad + bc ) .
Turkey, 2006
453. [ Phan Thị Mùi ] Cho 1 ≤ a, b ≤ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
2

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

i

i=1

4

4

i=1

i=1

443. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Chứng minh rằng

a (1− b)(1− c ) + b (1− c )(1− a ) + c (1− a )(1− b) ≤ 1 + abc .
444. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
2
2
2
a 2 b 2 c 2 3( a + b + c )
+ + ≥
.
b
c
a
a+b+c
445. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a +b +c =3 .
Chứng minh rằng
a 2 (b +1)
b 2 (c + 1)
c 2 (a +1)
+
+
≥ 2.
a + b + ab b + c + ca c + a + ca
446. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 2) là n số thực dương thỏa ñiều kiện

xi

∑ x + 2 ≤1 .
i

Chứng minh rằng

n (n −1)
1
∑ x +1 ≥ n + 1 .
i=1 i
447. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng
ab
bc
ca
1
+
+
≤ .
3a 2 + 2b + 3 3b 2 + 2c + 3 3c 2 + 2a + 3 12
448. Cho x1 , x2 ,..., x2 n là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xi+1 − xi ≤ 1, i = 1, 2,..., 2n −1 .
Chứng minh rằng
x1 + x2 + ... + x2 n + x1 + x2 + ... + x2 n ≤ n (n +1) .
Romania TST, 2000
449. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
n

(

3

(

)

x+ y + y+z + z+x .

455. Cho a, b, c > 1 . Chứng minh rằng
a
b
c
+
+
≥ 12 .
b −1
c −1
a −1
456. [ Nguyễn ðức Tấn ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

F = ∑ xi −( x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) +( x1x2 x3 + x1x2 x4 + x1x3 x4 + x2 x3 x4 ) −∏xi .

a 3 b3 c 3
+ + ≥ a ac + b ba + c cb .
b
c
a
457. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x3 + y3 + z3 =1 . Chứng minh rằng
x2

y2

+

2

+

z2

≥2.
1− x
1− y
1− z 2
458. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
S = ab + 2bc + 3ca .
459. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
2 xyz + xy + yz + zx ≤ 1 .
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
xyz .
2

n

460. [ Minh Trân ] Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện

∑ x = 1.
i

i=1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x1 x2 + x2 x3 + ... + x n−1 xn .
461. [ Trần Văn Tỏ ] Cho a, b, c ≥ 1 . Chứng minh rằng
 1
1
1 
a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b) + 2 
+
+
≥ 9 .
1 + a 2 1 + b 2 1 + c 2 
462. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa ñiều kiện x 3 + y 3 + z 3 = 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 3( xy + yz + zx)− xyz .

463. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

)

3 a + ab + abc ≤ 4 (a + b + c ) .
3

3

4 ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y )( y + z )( z + x )

442. Cho x1 , x2 , x3 , x4 ∈ [−1,1] . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

i=1

( a + b)

a +b
454. [ Lê Quang Nẫm ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

5

∑x .

n

Cao Minh Quang

k

k

∑ a ≤ ∑ i (i +1), k = 1, 2,..., n .
i

450. [ Rumen Kozarev ] Cho x ∈ ℝ . Chứng minh rằng

4 x 2 + x + 2 
≥ 0 .
x 2.3x − 2

x + x +1 

i=1

i=1

Chứng minh rằng
n

1

∑a
i=1

451. Cho 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2,..., n (n ≥ 2) . Chứng minh rằng

i

≥

n
.
n +1

464. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
ab 2 + bc 2 + ca 2
M=
.
2
(ab + bc + ca )

 n

( x1 + x2 + ... + xn )− ( x1 x2 + x2 x3 + ... + xn−1 xn + xn x1 ) ≤   .
 2 
Bulgaria, 1995
452. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng
45

46


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

465. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Hãy xác ñịnh giá trị lớn
nhất của số thực k ñể ta luôn có bất ñẳng thức
1
1
1
+ + + 3k ≥ (k +1)(a + b + c ) .
a2 b2 c 2
Vietnam, 2006
466. Cho x, y, z ∈ [1, 2] . Chứng minh rằng

1

1

1

 x

z 

+
+
 .
( x + y + z ) + +  ≥ 6 
x y z
 y + z z + x x + y 
y

Vietnam TST, 2006
467. [ ðỗ Văn Ta ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng
minh rằng
a
b
c
3
.
+
+
≥
2
b + ac
c + ab
a + bc
1
468. Cho ≤ x, y, z ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
2
x+ y y+z z+x

.
P=
+
+
1+ z 1+ x 1+ y
469. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa ñiều kiện x + y + z = 4 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 2 x + 1 + 3 y +1 + 4 z +1 .
470. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện a + b + c = 1 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
3
3
P = a (b − c ) + b (c − a ) + c (a − b) .
471. [ Tạ ðức Hải ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng


1
1
1
 + a +c + b +c + a +b ≥9.
4abc 
+
+
2
2
2 
b
a
c

 (a + b) c (b + c) a (c + a) b 
472. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = abc . Chứng minh rằng
3 3
bc
ca
ab
a +b+c
≤
+
+
≤
.
a (1 + bc ) b (1 + ca ) c (1 + ab)
4
4

2 
473. [ Trần Tuấn Anh ] Cho x, y ∈ 0,
 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2


x
y
.
P=
+
1+ y2 1+ x2

474. Cho x1 , x2 ,..., x2007 ∈ [−1,1] thỏa mãn ñiều kiện

2007

∑x

3
i

Cao Minh Quang

8 − x4
8− y4
8− z4
+
+
≥0.
16 + x 4 16 + y 4 16 + z 4
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xyz .
477. [ Nguyễn Khánh Nguyên ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
a 2 + b2 + c2 = 1 .
Chứng minh rằng
a2
b2
c2
+
+
≥1.
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c
478. [ Phan Tiến Thành ] Cho x, y, z ∈ (0,1) thỏa mãn ñiều kiện xyz = (1− x)(1− y )(1− z ) .

Chứng minh rằng
3
x2 + y 2 + z 2 ≥ .
4
479. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c ≥ −1, a + b + c = 3 4 −1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P = a 3 + b3 + c 3 .
480. [ Bùi Tuấn Anh ] Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3

ab + bc + ca (a + b + c)
.
+
a2 + b2 + c2
abc
481. [ Trần Việt Anh ] Cho n ∈ ℕ . Kí hiệu (2n +1)!! là tích các số nguyên dương lẻ từ 1 ñến
2n +1. Chứng minh rằng
P=

n +1

(2n + 1)

≤ (2n + 1)!!π n .

482. [ Ngô Trung Kiên ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện
ab + bc + ca ≤ 3abc .
Chứng minh rằng
a 4b
b 4c

c4a
+
+
≥1.
2a + b 2b + c 2c + a
483. [ Phạm Văn Thuận ] Cho a, b, c, d là các số thực phân biệt thỏa mãn các ñiều kiện
a b c d
+ + + = 4, ac = bd .
b c d a
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b c d
abcd
+ + + −
.
c d a b (ad + cd )2
484. [ Phạm Kim Hùng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 .
Chứng minh rằng
1+ a 1+ b 1+ c
a +b+c ≥
+
+
.
1+ b 1+ c 1+ a
485. [ Trần Nam Dũng ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

= 0 . Chứng minh rằng

i=1

x1 + x2 + ... + x2007 ≤

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

2007
.
3

xyz + 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 8 ≥ 5( x + y + z ) .

ðẳng thức xảy ra khi nào?
475. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

ðẳng thức xảy ra khi nào?
486. [ Trần Nam Dũng ] Cho k ∈ (−1, 2) và a, b, c là ba số thực ñôi một khác nhau. Chứng
minh rằng

1
1  9 (2 − k )
 a 2 + b 2 + c 2 + k (ab + bc + ca )  1
+
+
≥
.

 
2
2
2
4
(c − a ) 

 (a − b ) (b − c)
ðẳng thức xảy ra khi nào?

x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 = 2006 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x2
y2
z2
.
H=
+
+
y+ z z+ x x+ y
476. [ Cao Xuân Nam ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện
47

48


500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

487. Cho x1 , x2 ,..., xn > −1 thỏa mãn ñiều kiện x13 + x23 + ... + xn3 = 0 . Chứng minh rằng
n
x1 + x2 + ... + xn ≤ .
3
488. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

(

Tạ Minh Hoằng

)

ab
bc
ca
+1 +
+1 +
+1 ≥ 2 a + b + c .
c
a
b
489. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
 bc + a 
ca + b 
ab + c 


 ≥ abc .

1 + a  1 + b  1 + c 
490. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
yz
zx
xy
+
+
x ( x + y + z ) + 1 y ( x + y + z ) + 1 z ( x + y + z ) +1

≥

Nguyễn Huy Tùng

Tuyển tập các bài toán

x2
y2
z2
+
+
.
x ( x + y + z ) + 1 y ( x + y + z ) + 1 z ( x + y + z ) +1

491. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng
a 3b + b3c + c 3a ≥ a + b + c .
492. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng
1
1
1
9
+
+
≥
.
1 + xy
1 + yz
1 + zx
10
493. Cho −1 ≤ x, y ≤ 1 . Chứng minh rằng

2

 x + y 
.
1− x 2 + 1− y 2 ≤ 2 1− 
 2 
494. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng
n+ n n + n n− n n ≤ n n .
495. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng
a
b
c
3
+
+
≤ .
a 2 +1
b2 +1
c 2 +1 2
496. Cho a, b, x, y là các số thực dương, a < b . Chứng minh rằng
n

( x a + y a ) ≥ ( xb + y b )
b

a

.

1

497. Cho 0 < a, b, c ≤ . Chứng minh rằng
2
3
 1  1  1  
3
 .
 −1 −1 −1 ≥ 
−
1
 a  b  c   a + b + c 
498. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a2 +b2 +c2 +d2 =1. Chứng minh
rằng
(1− a)(1− b)(1− c)(1− d ) ≥ abcd .
499. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a
b
c
+
+
≥ 1.
2
2
2
a 2 + (b + c )
b 2 + (c + a )
c 2 + ( a + b)

Tháng 11 năm 2010

500. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a +b + c

(a 2 + 2ab) (b2 + 2bc) (c 2 + 2ca) ≥ (a 2 + b2 + c 2 )
a

b

c

.

… sẽ tiếp tục cập nhật
49