Đề cương giải tích thực ôn thi cao học

Version 1 (27/7/2013)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CAO HỌC TOÁN
MÔN GIẢI TÍCH - PHẦN GIẢI TÍCH THỰC
-----------------------1. Hàm nhiều biến
 Hàm số, giới hạn, liên tục.
 Đạo hàm riêng, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm ẩn, đạo hàm riêng cấp cao,
vi phân.
 Cực trị của hàm hai biến (cực trị không điều kiện và cực trị có điều kiện).
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng và bị chặn.
Giải các bài tập trong tài liệu.
2. Tích phân bội
 Tính tích phân hai lớp, ba lớp.
 Ứng dụng của tích phân bội;
- Tính diện tích hình phẳng, diện tích mặt cong.
- Tính thể tích vật thể.
- Tính khối lượng, tính moment quán tính và tọa độ trọng tâm.
Giải các bài tập trong tài liệu.
3. Tính tích phân đường
 Tính trực tiếp tích phân đường loại 1 và loại 2 (dùng công thức đưa về tích
phân xác định).
 Tính bằng công thức Green (nếu đường cong lấy tích phân là đường cong
kín).
 Định lý 4 mệnh đề tương đương và ứng dụng.
 Ứng dụng của tích phân đường loại 1 và loại 2 (tính khối lượng, moment
tĩnh và tọa độ trọng tâm, diện tích hình phẳng)
Giải các bài tập trong tài liệu.
4. Tích phân mặt
 Tính tích phân mặt loại 1 và loại 2 (tính trực tiếp và gián tiếp)
 Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 và loại 2 ( tính diện tích mặt cong, thể
tích vật thể, thông lượng của trường vector)

Giải các bài tập trong tài liệu.
5. Phương trình vi phân
 Giải một số Phương trình vi phân cấp 1.
 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số là hằng số.
Cần phân biệt rõ đề bài cho là “ Giải phương trình” hay “Tìm dạng nghiệm
tổng quát của phương trình”, vì chúng có cách làm khác nhau.
Giải các bài tập trong tài liệu.
 Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Hữu Khánh, Giáo trình Vi Tích Phân A2, ĐHCT.
2. Nguyễn Đình trí, Toán cao cấp, NXB Giáo dục, 1995 (Tập 3).
3. Adam R. A., Calculus, Addision-Wesley Publishers Limited, 3rd Edition, 1995
1


Version 1 (27/7/2013)

NỘI DUNG ÔN TẬP
HÀM NHIỀU BIẾN

Chương 1
I. Hàm nhiều biến

 Định nghĩa hàm nhiều biến
Cho tập D   n . Hàm f của n biến là qui luật cho ứng mỗi điểm ( x1 , x2 ,..., xn )  D với một
số thực duy nhất f ( x1 , x2 ,..., xn ) . Kí hiệu u  f ( x1 , x2 ,..., xn ) .
 Liên tục
 f(x, y) liên tục tại (x0, y0) 

lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) .

x  x0

y  y0

 f(x, y) liên tục trên D nếu f (x, y) liên tục tại mọi x, y)  D.

 Đạo hàm riêng
f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )
hay
x 0
x
f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )
 f y' ( x0 , y0 )  lim
hay
y 0
y

 f x' ( x0 , y0 )  lim

f x' ( x0 , y0 )   f ( x, y0 

'

f y' ( x0 , y0 )   f ( x0 , y 

x  x0
'

.
y  y0

 Chú ý: f x' ( x0 , y0 ) , f y' ( x0 , y0 ) không suy ra được f ( x , y ) liên tục tại ( x0 , y0 ) .

1. Chứng minh rằng hàm

 x3 y
, x2  y 2  0
 6
2
f ( x, y )   x  y

x2  y 2  0
 0
gián đoạn tại điểm (0, 0) nhưng hàm có các đạo hàm riêng tại điểm này.
2 f
f
 x 4 và thỏa các điều kiện
2. Tìm hàm f ( x, y ) thỏa các phương trình
 12 x 2 y ,
2
y
x
f (0, 0)  1 , f (1,1)  2 .
 ĐS: f ( x, y )  x 4 y  1 .
 Đạo hàm của hàm ẩn
i) y  y ( x) là hàm ẩn một biến xác định bởi phương trình F(x, y) = 0  y '  
ii) z = z(x, y) là hàm ẩn hai biến xác định bởi phương trình F(x, y, z) = 0



Fy'
z
Fx'
z
 ' ,
 ' .
x
Fz
y
Fz

3. Cho z  z ( x, y ) là hàm ẩn xác định bởi phương trình

x  y  z  f (3 x  2 y  z )  0 ,

2

Fx'
Fy'

.


Version 1 (27/7/2013)

z z
trong đó f là hàm khả vi. Chứng minh rằng G ( x , y, z )  2 
không phụ thuộc vào
y x
hàm f.

 ĐS: G ( x , y, z )  1
 Hàm khả vi và vi phân
 Hàm f(x,y) khả vi tại (x0, y0) nếu f  Ax  By  x  y , trong đó A, B là các
hằng số và  ,   0 khi x, y  0 .
z
z
Nếu z  f ( x, y ) thì dz  dx  dy .
x
y
 Tính chất: Nếu f ( x , y ) khả vi tại ( x0 , y0 ) thì f ( x , y ) tồn tại các đạo hàm riêng và liên
tục tại điểm này.
 Định lí. Nếu hàm f ( x , y ) có các đạo hàn riêng ở lân cận điểm ( x0 , y0 ) và nếu các đạo
hàm riêng liên tục tại ( x0 , y0 ) thì f ( x , y ) khả vi tại điểm này.
f  df
 0 (   x 2  y 2 )
 Định lí. f khả vi tại ( x0 , y0 )  lim
 0

4 . Xét tính khả vi của các hàm sau tại điểm (0, 0):
a) f ( x, y )  x 2  y 2 ;
b) f ( x, y )  3 x 3  y 3 .
 ĐS: a) không khả vi vì f x' (0, 0) không tồn tại; b) không khả vi.
 Tìm cực trị của hàm f (x, y)
- Tìm các điểm tới hạn.
- Tại điểm dừng ( x0 , y0 ) : A  f xx'' ( x0 , y0 ) , B  f xy'' ( x0 , y0 ) , C  f yy'' ( x0 , y0 ) ,
 = B2 - AC . Kết luận tại ( x0 , y0 ) :
i)  < 0: A > 0  cực tiểu; A < 0  cực đại
ii)  > 0: không đạt cực trị
iii)  = 0: ( x0 , y0 ) là điểm nghi ngờ
- Tại điểm kỳ dị: dùng định nghĩa xét.

5. Tìm cực trị của các hàm sau:
a) z  4( x  y )  x 2  y 2 ;
b) z  x 3  y 3  3xy ;
c) z  xy 

50 20

(x > 0, y > 0);
x
y

d) z  x 4  y 4 ;
e) z  ( x  y ) 2  ( x  y ) 2 ;
f) z  1  x 2  y 2 ;

3


Version 1 (27/7/2013)
2

2

g) z  ( x  y )e

( x2  y 2 )

 ĐS: a) zCD  8 tại (2, -2), b) zCT  1 tại (1, 1), z không đạt cực trị tại (0, 0);
c) zCT  30 tại (5, 2); d) zCT  0 tại (0, 0); e) zCT  0 tại (0, 0); f) zCT  1 tại (0, 0);

g) zCT  0 tại (0, 0), đặt t = x 2  y 2  zCD  e 1 tại các điểm trên đường tròn x 2  y 2  1 .
6. Tìm cực trị của hàm z  z ( x, y ) xác định bởi phương trình z  e z ( x 2  y 2 )  0 .
 ĐS: zCĐ = 0 tại (0; 0).
7. Tìm cực trị của hàm ẩn z  z ( x, y ), z  0 , xác định bởi phương trình:

x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  11  0 .

 ĐS:

z đạt cực đại M(1, -2) và zCĐ = z(1, -2) = 8.

 Cực trị có điều kiện
Tìm cực trị của hàm z  f ( x , y ) với điều kiện ràng buộc  ( x , y)  0 .
Lập hàm L'Agrange: F ( x , y,  )  f ( x , y)  . ( x , y ) .

 Fx'  0

Giải hệ  Fy'  0 . Ta được nghiệm ( x0 , y0 , 0 ) .
 '
 F  0
Tính d 2 F ( x0 , y0 , 0 )  Fxx'' ( x0 , y0 , 0 )dx 2  Fxy'' ( x0 , y0 , 0 )dxdy  Fyy'' ( x0 , y0 , 0 ) dy 2 , xét với
'

'

điều kiện  x dx   y dy  0 , dx 2  dy 2  0 .
i) d 2 F ( x0 , y0 , 0 )  0  f ( x0 , y0 ) đạt cực đại có điều kiện tại ( x0 , y0 ) .
ii) d 2 F ( x0 , y0 , 0 )  0  f ( x0 , y0 ) đạt cực tiểu có điều kiện tại ( x0 , y0 ) .
iii) d 2 F ( x0 , y0 , 0 ) có dấu không xác định  f ( x0 , y0 ) không đạt cực trị tại ( x0 , y0 ) .

8. Tìm cực trị của hàm z  x 2  y 2 với điều kiện
 ĐS: zCT 

x y
  1.
2 3

36
12
tại ( 18
13 , 13 ) .
13

9. Tìm cực trị của hàm f ( x , y)  6  4 x  3 y với điều kiện x 2  y 2  1 .
 ĐS: zCT = 1 tại

 45 , 35  và zCĐ = 11 tại   45 ,  53  .

 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm liên tục f (x, y) trên miền đóng và bị
chặn D
- Tìm các điểm tới hạn của f(x, y) thuộc phần trong của D và tính giá trị của hàm tại các
điểm này.
- Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên biên (dùng phép thế hoặc phương pháp nhân tử
L'Arange).
So sánh các giá trị vừa tính f min = số nhỏ nhất, f max = số lớn nhất

4


Version 1 (27/7/2013)

10. Tìm cực trị của hàm trên miền đóng và bị chặn
a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm f (x, y) = x2 + 2y2 + 4xy - 4x trên miền
D = {x  0, y  0, x + y  3}.

Hệ

Giải.

 f x'  2 x  4 y  4  0
 '
 f y  4 x  4 y  0
không có nghiệm trong miềm mở x > 0, y > 0, x + y < 3. Do đó GTNN và GTLN của f chỉ đạt
trên biên của D.

Trên các biên x = 0 ( 0  y  3); y = 0 (0  x  3) và x + y = 3 (0  x  3) hàm có 4 điểm
nghi ngờ là M1(3; 0), M2(0; 3), M3(0; 0), M4(2; 0).
So sánh giá trị của f tại 4 điểm trên ta được
fmin = - 4 tại M4(2; 0) và fmax = 18 tại M2(0; 3).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm f (x, y) = xy2 trên tập
D = {(x,y): x2 + y2  1}.

Giải
* Điểm dừng trong tập mở x2 + y2 < 1 là mọi điểm có dạng (x0, 0). Ta có f (x0, 0) = 0.
* Trên biên: x2 + y2 = 1  y =  1 x 2  f = -x3 + x (-1  x  1).
 1
 1
2
2
2

2
Có 4 giá trị cần xét là f   ; 
; f  ; 
  
 
3
3 3 3
3
3 3

 3
Vậy fmin = 

2
3 3



tại  


1
3

,

 1
2
2
2

tại  ,   .
 và fmax =
3
3
3 3
 3

c) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm f (x, y) = x + y trên tập
D = {(x,y): x2 + y2  1}.

Giải
* Điểm tới hạn trong tập x2 + y2 < 1:
 f x'  1
 '
 f y  1
* Lập hàm Lagrange:

 Không có điểm tới hạn

F ( x, y, )  x  y   ( x 2  y 2  1)

Giải hệ
Fx'



1  2x

 0

Fy'



1  2y

 0

F'

 x2  y 2  1  0

Ta được hai điểm tới hạn

2
và f ( M 1 )   2 .
2
2
M 2 ( 22 , 22 ) ứng với   
và f ( M 1 )  2 .
2
Vậy f min   2 tại M1 ( 22 ,  22 ) và f max  2 tại M 2 (

M1 (

2
2

,

2
)
2

ứng với  

5

2
2

,

2
).
2


Version 1 (27/7/2013)

d) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z  x  x 2  y 2 trên hình chữ
nhật D:{0  x  2, 0  y  1};
 ĐS: zmin  2 , zmax  5 / 4 ;
e) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z  x 2  y 2 trên hình tròn
D:{ x 2  y 2  4 };
 ĐS: zmin  4 tại (0, -2), (0, 2) và zmax  4 tại (-2, 0), (2, 0);
f) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z  x 2 y (4  x  y ) trên miền
D:{x = 0, y = 0, x + y = 6}.
 ĐS: zmin  64 tại (4, 2) và zmax  4 tại (2, 1);
g) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z  sin x  sin y  sin( x  y ) trên

miền D:{ 0  x  2 , 0  y  2 };
 ĐS: zmin  0 tại (0, 0) và zmax 

3 3
tại ( 3 , 3 ) ;
2

h) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z  x 2  2 xy  4 x  8 y trên miền
D:{ 0  x  1, 0  y  2};
 ĐS: zmin  3 tại (1, 0) và zmax  17 tại (1, 2);
i) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z  x 2  y 2  xy  x  y trên miền
D:{x  0, y  0, x + y  -3};
 ĐS: zmin  1 tại (-1, -1) và zmax  6 tại (-3, 0), (0, -3);
j) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z  x  xy trên miền
D:{0  x  1, 0  y  1 x 2 };
 ĐS: zmin  0 tại x = 0 (0  y  1) và zmax  1 tại (1, 0).
k) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm z  x 2  x  2 y 2 trên miền
D: { x 2  y 2  1 }.
 ĐS: zmin  

1
tại
4

 12 , 0 và zmax  94



tại  12 ; 

3
2

.

11. Một hộp hình hộp chữ nhật hở ở phía trên có thể tích 32 cm3. Hỏi các cạnh phải có độ dài
bao nhiêu để hộp có diện tích chung quanh nhỏ nhất?

1 1
 ĐS: Hộp có diện tích toàn phần S ( x, y )  xy  64(  ) và S đạt min khi x = y = 4
x y
 Các cạnh có độ dài 4, 4, 2.

6


Version 1 (27/7/2013)

TÍCH PHÂN BỘI

Chương 2.

 Tích phân hai lớp trong tọa độ Descartes
Tính I   f ( x , y )dxdy
D

D: { a  x  b , 1 ( x )  y  2 ( x ) }.

i) D là hình thang cong loại 1:
2 ( x )

b

I =  dx  f ( x , y)dy
1 ( x )

a

ii) D là hình thang cong loại 2: D: {c  y  d,  1 ( y)  x   2 ( y ) }
d

 2 ( y)

I =  dy  f ( x , y)dx
1 (y)

c

iii) D là hình chữ nhật: D: { a  x  b , c  y  d}
b

d

d

b

I =  dx  f ( x , y)dy =  dy  f ( x , y )dx
a

c

c

a

* Đặc biệt: Khi f ( x , y)  f1 ( x ). f2 ( y)
b

d

I =  f1 ( x )dx. f2 ( y )dy .
a

c

1. Tính các tích phân:
a)  sin( x  y ) dxdy với D: {y = 0, y = x, x  y  2 };
D

b)  x 2 ydxdy với D: {y = 0, y  2 ax  x 2 };
D

c)  | x |  | y | dxdy với D: {| x | + | y |  1}
D

 ĐS: a)

1
2

4
5

; b)

a5 ; c)

4
3

.

 Tích phân hai lớp trong tọa độ cực
Tính tích phân I =

 f ( x , y)dxdy ,
D

f ( x , y) chứa biểu thức x 2  y 2 và D có dạng hình tròn.
Đặt x  r cos  , y  r sin  (*) (0    2 hoặc -    ; r  0).
Ta có x 2  y 2  r 2 ;

J = r.

D' là miền của , r có ảnh là D qua phép biến đổi (*).

I   f (r cos  , r sin  )rd dr .
D'

2. Tính các tích phân:
a)  xdxdy với D: { x 2  y 2  2 x };
D

7


Version 1 (27/7/2013)
y
x

2

x
3

b)  arctan dxdy với D:{
D

2

 y  3 x , 1  x  y  9 };

c)  xy 2 dxdy với D: { x 2  ( y  1)2  1 , x 2  y 2  4 y  0 };
D

d) 
D



y
x



 1 dxdy với D:{ 1  x 2  y 2  2 x }
2
6

 ĐS: a)  ; b)

3
2

; c) 0; d)

 3

3. Tính tích phân  ( y  x ) dxdy với D: {y = x + 1, y = x - 3, y   13 x  79 , y   13 x  5 }.
D

 ĐS: -38/3.
 Thể tích của vật thể hình trụ
Vật thể hình trụ giới hạn phía trên bởi mặt cong z  f2 ( x , y) , phía dưới bởi mặt cong
z  f1 ( x , y) và có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D. Vật thể có thể tích cho bởi

V   [ f2 ( x , y )  f1 ( x , y )]dxdy .
D

4. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt:
a) z  x 2  y 2 ,

x 2  y 2  1 , z = 0;

b) z  x 2  y 2 , y  x 2 , y = 1, z = 0;
c) z  cos x cos y , z = 0, | x  y |  2 , | x  y |  2 .
 ĐS: a) V =


2

88
105

; b) V =

, c) V = .

5. Tính diện tích của
a) phần mặt nón z  x 2  y 2 nằm bên trong mặt trụ x 2  y 2  1 ;
b) phần mặt cầu x 2  y 2  z 2  4 (z  0) nằm trong mặt trụ x 2  y 2  2 y .
 ĐS: a) S =

2 ; S =


2

1.

 Tích phân 3 lớp trong hệ tọa độ Descartes
Tính I =

 f ( x , y, z)dxdydz
V

trong đó V : {a  x  b, 1 ( x )  y  2 ( x ),  1 ( x , y )  z   2 ( x , y)}
b

 I =  dx
a

2 ( x )


1 ( x )

 2 ( x,y )

dy



f ( x , y, z )dz

 1 ( x ,y)

6. Tính  y cos( x  z )dxdydz với V:{ y  x , y = 0, z = 0, x  z  2 }
V

 ĐS:

1
2



2
8



1 .

 Tích phân 3 lớp trong tọa độ trụ

8


Version 1 (27/7/2013)

Tính I =

 f ( x , y, z)dxdydz
V

trong trường hợp V có dạng hình trụ và f ( x , y, z ) chứa biểu thức x 2  y 2 .
Đặt x  r cos  , y  r sin  , z = z (*) (0    2 hoặc -    ; r  0; - < z < ).
Ta có x 2  y 2  r 2

V' là miền của , r, z có ảnh là V qua phép biến đổi (*).
I=

 f (r cos  , r sin  , z)rd drdz
V'

7. Tính các tích phân sau trong tọa độ trụ:.

a)  x 2  y 2 dxdy với V:{ x 2  y 2  z 2 , z = 1};
V





b)  x 2  y 2 dxdydz với V:{ x 2  y 2  2 z , z = 2}.
V


6

 ĐS: a)

16
3

; b)

.

 Tích phân 3 lớp trong tọa độ cầu
Tính I =

 f ( x , y, z)dxdydz
V

trong trường hợp V có dạng hình cầu và f ( x , y, z ) chứa biểu thức x 2  y 2  z 2 .
Đặt x  r cos  sin  , y  r sin  sin  , z  r cos  (*)
(0    2 hoặc -    ; 0    ; r  0).
Ta có x 2  y 2  r 2
V' là miền của , r, z có ảnh là V qua phép biến đổi (*).
I=

 f (r cos  sin  , r sin  sin  , r cos )r

2

sin  d drdz

V'

8. Tính các tích phân sau trong tọa độ cầu:

a)  xyzdxdydz với V:{ x 2  y 2  z 2  1 , x = 0, y = 0, z = 0};
V

b)  x 2  y 2  z 2 dxdydz với V:{ x 2  y 2  z 2  z };
V





c)  x 2  y 2 dxdydz với V:{ 1  x 2  y 2  z 2  2 , z  0}.
V

 ĐS: a) 1/48; b)


10

; c)

124
15

.

 Ứng dụng cơ học
Cho bản phẳng chiếm miền D trong mặt phẳng Oxy, có khối lượng riêng tại điểm (x, y) là
(x, y).

9


Version 1 (27/7/2013)

  ( x, y)dxdy

i) Khối lượng của bản phẳng: M =

D

ii) Moment quán tính của bản phẳng đối với trục Ox, Oy và gốc O lần lượt là

I x   y 2 ( x , y )dxdy ;

I y   x 2 ( x , y)dxdy ; Io   ( x 2  y 2 ) ( x , y)dxdy .

D

D

D

iii) Moment tĩnh đối với trục Ox, Oy:

I x   y ( x , y)dxdy ;

I y   x ( x , y)dxdy .

D

D

iv) Tọa độ trọng tâm C của bản: xc 

My
M

, yc 

Mx
M

9. Tìm tọa độ trọng tâm của hình đồng chất giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  2 x 2 , x = 1, x = 2.
 HD & ĐS: S(D) =

7
3

; xc 

1
S

 xdxdy  4528 ;

yc 

D

1
S

.
 ydxdy  279
70
D

10. Tìm moment quán tính đối với trục Oz của vật thể V có khối lượng riêng  = 1 tại mỗi điểm
trên V và V:{ 0  z  x 2  y 2 , x 2  y 2  2ay }.


 HD & ĐS: Izz   ( x 2  y 2 )dxdydz =  d
0

V

Chương 3.

2 a sin 


0

r

dr  r 3dz =

512
75

a5 .

0

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

1. Tính các tích phân sau:

a)  xyds , với L là biên hình chữ nhật với các đỉnh O(0, 0), A(4, 0), B(4, 2), C(0, 2).
L

b)  x 2 ds , với L là giao của hai mặt phẳng x - y + z = 0 và x + y +2z = 0 từ gốc O đến
L

điểm (3, 1, -2).
c)  ( x  y) ds , với L: y  ax  x 2 .
L

 ĐS: a) 24;

b) 3 14 ; c)

a2
4

(  2) .

2. Tính các tích phân
a)  2( x 2  y 2 ) dx  x ( 4 y  3) dy , trong đó L là đường gấp khúc OAB với O(0, 0),
L

A(1, 1), B(2, 0).
b)

dx  dy
, trong đó ABCDA là biên hình vuông với A(1, 0), B(0, 1), C(-1, 0),
ABCDA | x |  | y |
D(0, -1).



10


Version 1 (27/7/2013)

 ĐS:

a)

7
3

; b) 0;

 Công thức Green
Nếu P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng trên miền D thì

  x  Py  dxdy   Pdx  Qdy
Q

D

L

L là biên miền D.
3. Tính các tích phân sau:
a)  (1  x 2 ) ydx  x (1  y 2 ) dy trong đó L: x 2  y 2  R 2

L
x
x
 (e sin y  ky )dx  (e cos y  k )dy , trong đó AmO là nửa trên của đường tròn

b)

AmO

x 2  y 2  ax chạy từ A(a, 0) đến O(0, 0).
c)  ( x  y )2 dx  ( x  y) 2 dy , trong đó L là chu tuyến dương của tam giác OAB với
L

O(0, 0), A(2, 0), B(4, 2).
d)  2( x 2  y 2 ) dx  x ( 4 y  3) dy , trong đó L là đường gấp khúc OAB với O(0, 0),
L

A(1, 1), B(2, 0).
 ĐS: Dùng công thức Green.

a) R 4 2 . b) ka 2 8 ; c) 16; d)

7
3

.

4. Tính các tích phân
( 2 ,3)

a)

 xdy  ydx ;
( 1,2 )
( 3,1)

b)

( x  2 y) dx  ydy
.
( x  y)2
(1,1)



 ĐS: a) 8; b) ln 2  14 .
5. Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường sau:
a) y  2 x , y  2 x  x 2 , x = 0, x = 2.
b) x  a cos3 t , y  a sin 3 t
 ĐS: a) S =

(a > 0).

3
4
3 a2
 , b) S =
.
ln 2 3
8

Chương 4

TÍCH PHÂN MẶT

 Tích phân mặt loại 1
Cho mặt cong S: z = g(x, y), trong đó g đơn trị và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền
D, với D là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy.

11


Version 1 (27/7/2013)
'2
'2
 f ( x , y, z )dS   f  x , y, g ( x , y)  1  g x  g y dxdy
S

D

1. Tính các tích phân sau:
a)   z  2 x  43 y  dS , trong đó S là phần mặt phẳng

x
2

 3y  4z  1 nằm trong góc phần

S

tám thứ nhất.





b)  x 2  y 2 dS , trong đó S là nửa trên của mặt cầu x 2  y 2  z 2  R2 .
S

 ĐS: a) 4 61 ; b)

4
3

 R4 .

 Tích phân đường loại 2
Cho mặt cong S: z = g(x, y), trong đó g đơn trị và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền
D, với D là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy.

 P( x , y, z)dydz  Q( x , y, z)dzdx  R( x, y, z )dxdy 
S

  [ P( x , y, z ( x , y))(  xz )  Q( x , y, z ( x , y ))(  yz )  R( x , y, z ( x , y ))]dxdy
D

trong đó dấu + nếu lấy theo phía trên S và dấu - nếu lấy theo phía dưới S.
2. Tính các tích phân sau:





a)  x 2  y 2 dxdy , trong đó S là mặt dưới của mặt tròn S: { x 2  y 2  R 2 , z = 0}.
S

b)  xdydz  ydzdx  zdxdy , trong đó S là phía ngoài mặt cầu x 2  y 2  z 2  a 2 .
S

c)  ( y  z)dydz  (z  x )dzdx  ( x  y )dxdy , trong đó S là phía ngoài của mặt nón
2

2

S
2

z  x  y , (0  z  h).

 ĐS: a)  R 4


; b) 4 a3 ; c) 0.
2

 Công thức Ostrogradski
Nếu các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục cùng với các đạo hàm riêng trên miền
V thì

  Px 

V

Q
y



 Rz dxdydz   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy
S

3. Tính các tích phân sau:
a)  xzdydz  yxdzdx  zydxdy , trong đó S là mặt ngoài của hình chóp
S

V: {x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1}.
b)  x 2 dydz  y 2 dzdx  z 2 dxdy , trong đó S là mặt ngoài của hình lập phương
S

V: {0  x  a, 0  y  a, 0  z  a}.

12


Version 1 (27/7/2013)
2

2

3

2

c) 
 xz dydz  ( x y  z )dzdx  (2 xy  y z )dxdy
S

với S là biên của nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt x 2  y 2  z 2  a 2 (a > 0)
z = 0. Tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S.
1
8

 ĐS: Dùng công thức Ostrogradski. a)

; b) 3a 4 .

c) P = xz2, Q = x2y - z3, R = 2xy + y2z 
2

 2

và

P
 z 2 Qy 
x
a 2 2
r .r sin  dr
0

x2 ,

,

R
z

 y2 .

I = V ( x 2  y 2  z 2 )dxdydz = 0 d 0 d 
2

 2

5

= 0 d 0 sin  d .( r5 ) |a0 =

a5
5

( |02 ).( cos |0 2 ) =

2 a5
.
5

 Công thức Stoke
Nếu các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục cùng với các đạo hàm riêng trên mặt S
thì

  Ry 
S

Q
z

 dydz  

P
z

 Rx  dzdx 



Q
x



 Py dxdy   Pdx  Qdy  Rdz
L

trong đó L là biên của S, tích phân mặt lấy theo phía trên của S, còn tích phân đường lấy theo
chiều dương tương ứng.
4. Tính các tích phân sau:
a)  ( y  z )dx  ( z  x ) dy  ( x  y) dz , trong đó L là đường tròn giao của mặt cầu
2

2

L
2

x  y  z  a 2 với mặt phẳng x + y + z = 0 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ
dương của trục Oz.

hướng

b)  y 2 dx  z 2 dy  x 2 dz , trong đó L là chu tuyến của tam giác với các đỉnh A(1, 0, 0),
L

B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) lấy theo chiều ngược kim đồng hồ nhìn từ chiều dương của
trục Oz.
 ĐS: Dùng công thức Stoke.

a) 0; b) -1.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chương 5

 Phương trình có biến phân ly
* Dạng:

M(x)dx + N(y)dy = 0.

* Tich phân tổng quát:

 M ( x)dx  N ( y)dy  C

1) Giải các phương trình vi phân sau:

a)

y 2  1 dx  xydy
 ĐS: Tích phân TQ: ln | x | C 

b)

y2 1 .

( x 2  1) y ' 2 xy 2  0 , y(0) = 1.
 ĐS: Nghiệm riêng ứng với ĐKBĐ y(ln|x2 - 1| + 1) = 1.

13


c)

Version 1 (27/7/2013)

2x2yy' + y2 = 2
 ĐS: TPTQ y 2  1  C .e1 x , y   2 .

d)

y '.cot x  y  2 ,

y(0) = -1.

 ĐS: y = -3cosx + 2.
e)

ye 2 x dx  (1  e2 x )dy  0

 ĐS: y  C 1  e 2 x
f)

y '  cos( x  y)
 HD & ĐS: Đặt u = x - y  nghiệm y  x  k 2 và tích phân TQ x  cot x 2 y  C .

 Phương trình đẳng cấp

dy
 f ( x, y ) , với f ( x, y )  g ( xy ) .
dx
y
dy
du
* Cách giải: Đặt u 

ux .
x
dx
dx
* Dạng:

2) Giải các phương trình

a)

dy
y2

dx xy  x 2
 ĐS: y  Ce y

b)

x

dy y (2 x 2  y 2 )

dx
2 x3

 ĐS: x   y ln | Cx | , y = 0.
c)

( y 2  2 xy ) dx  x 2 dy  0 .
 ĐS: y = Cx(x - y).

d)

xy '  y  x.e y x .
 ĐS: y = -xlnln|Cx|.

e)

xy ' y  x tan

y
.
x

 ĐS: sin yx  Cx .
 Phương trình vi phân tuyến tính
* Dạng: y' + P(x)y = Q(x)
 P ( x ) dx 
 P ( x ) dx dx  C 
* Nghiệm tổng quát: y  e 
  Q ( x )e




3) Giải các phương trình

14


Version 1 (27/7/2013)

a)

2

xy ' y  x sin x .
 ĐS: y = x(C - cosx)

b)

(1  x 2 ) y '  2 xy  (1  x 2 ) 2
 ĐS:

c)

2

y ' 2 xy  xe x ;
 ĐS:

d)

y  (1  x 2 )( x  C )

2



y  e x C 

x2
2

.

y ' y cos x  2 xe  sin x ,

y() = 0;

 ĐS: y  ( x 2   2 )e  sin x .
e)

y '

y
 x ln x ,
x ln x

 ĐS: y 
f)

y' 

x2
2

y (e)  e2 2 .

ln x .

y
;
x  y3

 ĐS: x  y



y2
2



C .

 Phương trình Bernoulli
* Dạng: y ' P( x ) y  Q( x ) y , trong đó    ; P(x), Q(x) liên tục.
* Cách giải:
+ Khi  = 0 hoặc  = 1  PTVP tuyến tính
+ Khi   0, 1: chia hai vế phương trình cho y và đặt z  y1
 PTVP tuyến tính theo z
4) Giải các phương trình
a) y '

2
y  3x 2 y 4 3 ;
x

b) y ' y  e x 2 y ; y(0) 

9
.
4

3
 ĐS: y 1 3  Cx 2 3  x 3 ; b) y  e x
7



1
2



2

ex  C .

 Phương trình vi phân toàn phần
 Dạng: M ( x , y)dx  N ( x , y )dy  0 (*)
với M ( x , y )dx  N ( x , y)dy  d ( x , y)
 Điều kiện để (*) là PTVP toàn phần:

N M

x
y

 Cách giải:
- Khi biết  ( x , y)  Tích phân tổng quát:  ( x , y)  C .
- Không biết  ( x , y)  Tích phân tổng quát:

15


Version 1 (27/7/2013)

y

x

x

y

 M ( x , y0 )dx   N ( x , y)dy  C hay  M ( x , y)dx   N ( x0 , y)dy  C
x0

y0

x0

y0

 Thừa số tích phân:
 ( x , y)[ M ( x , y)dx  N ( x, y)dy]  0 là phương trình vi phân toàn phần
+    ( x)    e
+    ( y)    e




M N
 x
y

N

N M
 y
x

M

dx

dy

5) Kiểm tra các phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải chúng
a) 2 xydx  ( x 2  y 2 )dy  0 ;
b) (2 x  sin y  ye  x )dx  ( x cos y  cos ye  x )dy  0 ;
c)

y
dx  ( y3  ln x )dy  0 ;
x

 x

( x 2  1) cos y
d) 
 2  dx 
dy  0 .
2 sin 2 y
 sin y


y3

 C ; b) x 2  ( x  1) sin y  e  x y  C ; c)
3
2
d) 2xsin1y  2 x  C .

 ĐS: a) x 2 y 

y4
4

 y ln x  C ;

6) Giải phương trình

y3
(2 xy  x y  )dx  ( x 2  y 2 )dy  0 b\
3
bằng cách tìm thừa số tích phân dạng    ( x ) .
2

 HD & ĐS:  = ex; e x ( x 2 y 

y3
)
3

C.

7) Giải phương trình

(1  x 2 y ) dx  x 2 ( y  x ) dy  0
bằng cách tìm thừa số tích phân dạng    ( x ) .
 HD & ĐS:  

1
x2

  1x  xy 

y2
2

C

 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi
* Dạng: y " py ' qy  f ( x ) (1)
* Nghiệm tổng quát: y  y  Y với

y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y " py ' qy  0 (3)
Y là một nghiệm riêng của (1)
 Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất y " py ' qy  0 (2):
Xét phương trình đặc trưng: k 2  pk  q  0 . Phương trình có hai nghiệm k1 , k2 .
i) k1 , k2 là hai nghiệm thực phân biệt  y  C1ek1 x  C2e k2 x .
ii) k1  k2    y  (C1  C2 x )e k1 x .

16


Version 1 (27/7/2013)
x

iii) k1,2     i  y  e (C1 cos  x )  C2 sin  x )
 Tìm một nghiệm riêng Y của phương trình không thuần nhất y " py ' qy  f ( x )
) f ( x )  e x Pn ( x ) , trong đó Pn ( x ) là đa thức bậc n.
So sánh  với hai nghiệm k1 , k2 của phương trình đặc trưng:
i)   k1 ,   k2  Y  e x Qn ( x ) .
ii)   k1 ,   k2  Y  e x x.Qn ( x ) .
iii)   k1  k2  Y  e x x 2 .Qn ( x ) .
)

f ( x )  e x [ Pn ( x ) cos  x  Qm ( x ) sin  x ]

So sánh    i với hai nghiệm k1 , k2 của phương trình đặc trưng:
i)    i  k1 , k2  Y  e x [Ur ( x ) cos  x  Vr ( x ) sin  x ] với r  max(n, m) .
ii)    i  k1  Y  e x [ xUr ( x ) cos  x  xVr ( x ) sin  x ]
7) Giải các phương trinh vi phân sau:
a) y " 2 y ' 3 y  e 4 x ;
 ĐS: y  C1e x C2 e3 x  15 e 4 x .
b)

y " y  4 sin x ;
 ĐS: y  C1 cos x  C2 sin x  2 x cos x ;

c) y " 9 y ' 20 y  x 2 e 4 x ;
 ĐS: y  C1e4 x  C2 e5 x  ( 13 x 3  x 2  2 x )e 4 x .
d) y " y ' 2 y  cos x  3 sin x , y(0) = 1, y'(0) = 2.
 ĐS: Nghiệm TQ: y  C1e2 x  C2 e x  sin x  Nghiệm riêng y  e x  sin x ;
8) Tìm dạng nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
a) y " 4 y ' 8 y  e2 x  s in2x ;
 ĐS: y  Ae2 x  B cos 2 x  C sin 2 x .

b) y " 4 y ' 5y  e x  cos x ;
 ĐS: y  C1e x  C2e 5 x  Axe x  B cos x  C sin x ;
c) y " y  xe x  2e x ;
 ĐS: y  C1 cos x  C2 sin x  ( Ax  B )e x  Ce  x .

17