Tích phân 2 lớp ôn thi cao học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (965.36 KB, 40 trang )
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
TÍCH PHÂN HAI LỚP
Tóm tắt lý thuyết
∬ (
( )
)
∫
∫
( )
(
)
∫
∫
( )
Đổi biến số
(
Đ {
(
)
)
ế
∬ (
(
(
{
)
)
)
)
( )
ổ
(
(
(
|
)
)
|
( )
∫ ||( (
∫
) (
))
( )
Chuyển sang tọ
Đ
ộ cực
( )
2
( )
( )
∬ (
)
∫
∫
(
)
2
( )
*
∬
1,5
+
1
Giải
0,5
∬
∫
∫
∫
-5
(
∫
-4
)
-3
-2
-1
1
2
3
√
ổ
ự
∫
∫ (
-0,5
1,5
)
-11
Giải
0,5
-1,5
∫
∫ (
)
-4
-3
-2
-1
-2
1
2
3
2
-0,5
*
∬
+
-1
1
-1,5
Giải
∬
∫
∫
∫
∫
. /
-4
∫(
)
4
5|
∫.
/|
-2
2
-1
-2
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 1
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
4
3
∬(
*
)
+
2
Giải
1
∬(
)
∫
∫(
)
∫-84
5 -6|
-4
-2
2
-1
∫4
5
4
5|
-2
-3
∬(
)
{
}
-4
Giải
Đ
8
{
(
(
)
)
∫
∫ (
|
|
|
|
)
∫
|
2
∬
(
)
*
+(
)
1
Giải
Đ
2
-6
∫
∫
(
∫
-4
)
|
-2
(
2
)
-1
2
∬√
(
)
-2
1
Giải
Đ
2
-6
∫
∫
√
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
-4
∫
∫
√
Trang 2
-2
(
)
2
∫ (.√
-1
/ |
)
-2
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
)
∫(
)
∫(
(
)|
(
)
BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU HÁNH (ĐH CẦN HƠ)
ế
ự
ố
∬ (
)
Giải
∬ (
(
(
) (
) (
) (
) (
)
(
)
)
)
)
∫ (
∫
(
(
)
(
(
)
)
2
)
∫ (
∫
-6
(
B
1
)
-4
)
O
-2
A
-1B
∬ (
)
∫
∫ (
)
∫
∫ (
)
∫ (
∫
∫
-4
O
-2
-2
ự
∫ (
A
1
)
-6
ổ
2
2
2
4
-1
)
∫ (
∫
)
-2
√
∫
∫ (
)
∫
∫
(
)
∫
(
∫
)
4
Giải
2
√
∫
∫ (
)
∫
∫ (
)
√
-10
-5
5
4
-2
∫
∫ (
)
∫
∫ (
)
∫
∫ (
)
2
-4
-10
4
-5
5
10
-2
2
∫
∫ (
)
∫
∫ (
)
∫
(
∫
)
-4
√
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
-10
Trang 3
-5
5
-2
3
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
2
1
√
√
∫
(
∫
)
∫
(
∫
)
-8
-6
-4
-2
2
√
-1
-2
*
∬
∬(
(
)
(
-3
+
*
)
∬
∬
*
)
∬(
+
+
2
3
*
)
∬
+
√
2
3
4
Giải
2
*
∬
∬
∫
+
-10
∫
-5
∫
|
5
∫
10
-2
∬(
*
)
+
2
-4-10
-5
5
10
-2
∬(
)
∫
∫ (
)
∫ 0(
)|
1
-4
-6
-8
∫4
5
∬ (
4
5|
*
)
+
4
∬(
)
∫
∫(
)
∫ (4
5| )
2
-10
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 4
-5
5
-2
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
∫4
5
∬
(
4
5|
)
4
2
3
-10
∬
(
)
∫
∫
2
-5
(
)
∫4
5
(
)|
5
-2
∫
|
-4
(
∬
*
)
+
1
0,5
√
∬
(
)
∫
∫
(
)
∫ (4
-3
-2
5 |√ )
-1
1
2
3
-0,5
∫4
√
∬
5
4
5|
√
2
-1
4
3
2
Đ
-10
∫
∫
-5
∫
5
4 5|
-2
∫
(
∫
)
|
-4
∬√
*
∬√
+
8
9
Giải
∬√
*
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
+
Trang 5
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
Đ
{
{
(
(
)
)
∫
|
|
|
∫√
|
( √
)
∬√
Đ
8
9
2
∫
∫√
∫√
ọ
(
∬ (
ộ ự
.√
)
/ |
)
4
Giải
*
*
*
(
(
*
(
)+
)+
+
2
)+
-10
Đ
-5
5
-2
∬ (
)
*
∫
∫
(
)+
(
)
-4
4
2
Đ
∬ (
)
∫
∫
(
)
-10
*
-5
5
4
+
-2
Đ
2
∬ (
)
∫
∫
-10
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
(
)
-4
-5
Trang 6
5
-2
10
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
ể
ọ
ộ ự
∬
∬√
(
∬
)
*
+
√
∬
∬
∬
∬
(
*
∬.
)
+
/
4
2
Giải
∬
-10
-5
5
-2
Đ
∫
∫
∫
(
)
(
)|
(
-4
)
4
∬√
2
-10
Đ
-5
5
-2
∫
∫
-4
∬
(
)
*
+
Đ
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 7
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
4
2
-10
∫
∫
∫
(
)
(
|
)
(
-5
5
∫
-2
)
-4
√
∬
4
Đ
2
-10
∫
∫
-5
5
∫
-2
-4
∬
4
Đ
2
-10
∫
∫
∫
-5
∫
5
4
-2
-4
∬
2
Đ
-10
∫
∫
-5
5
∫
-2
∬
*
(
)
+
-4
Đ
4
∫
∫
∫
2
4
-10
∬.
-5
5
/
-2
2
Đ
-10
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 8
-5
-2
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
∫ (
∫
)
)(
∫(
∫(
)
)
|
(
|
√
)|
BÀI TẬP LÀM THÊM
∬ ( )
(
ến 3)
ỉnh A(1;2), B(2;4), C(2;7),D(1;5)
ể
ự
ế D
1. D là hình bình hành v i
Giải
P ơ g
ờng thẳng AB:2x – y = 0,CD:2x – y + 3 = 0
∫
(
∫
)
∫ (
∫
)
∫
6
4
4
∫
∫
2
∫
3
2. D là qu t tròn OAB v i O(0 ;0) và các mút c a cung ̂ là A(1;1), B(-1;1)
P ơ g
ờng tròn tâm O qua A, B là:
-10
√
∫
-5
5
2
√
(
∫
)
∫
-2
(
∫
1
)
-4
∫ (
∫
)
∫
√
√
(
∫
-8
)
-6
-4
-2
2
√
D
-1
ẳ g
1.5
Dg
D
-2
g
(
1
)
-3
Giải
0.5
√
√
∫
(
∫
)
∫
√
∫
-3
-4
(
√
)
-2
-1
1
2
-0.5
∫
(
∫
)
∫
∫
√
3
3
(
1
√
)
∫
-1
(
∫
√
√
2
)
-6
-4
-2
4
2
4
-1
2
∫
∫ (
)
∫ (
∫
( )
∫
∫
Đổi th tự l y tích phân c
)
∫
∫
(
(
)
)
-2
-10
p
(
∫
)
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
∫
-5
5
4
ến 20)
√
∫
(
∫
-2
√
(
)
√
∫
2
(
∫
-10
Trang 9
)
-4
-5
5
-2
-4
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
4
∫
∫
√
(
(
)
)
√
∫
(
∫√
)
∫
∫
√
(
4
√
√
∫
(
∫
)
2
)
-10
∫ (
∫
)
∫
(
∫
√
-5
5
-2
)
2
-4
√
10
-10
-5
5
8
∫
-2
√
√
(
∫
)
∫
6
(
∫
)
∫
√
)
4
-4
(
∫
3
2
√
√
∫
(
∫
)
-10
-5
5
4
√
∫
(
∫
)
∫
10
2
1
(
∫
)
∫ (
∫
)
2
√
-6
√
∫
(
∫
)
∫
√
√
∫ (-10 )
∫
-4
-2
√
√
∫ (
)
2
-5∫
-1
∫
(
)
4
4
√
√
√
∫
∫
(
)
2
√
∫ (
∫
)
-2
√
∫
-3
(
∫
)
2
-10
√
-2
-5
5
-4
-2
∫
∫ (
)
-10
∫
(
√
√
(
∫
)
∫
)
(
∫
-5
)
-4
√
8
-2
√
∫
∫ (
)
∫
6
(
∫
)
∫
∫
(
)
4
4
2
√
√
2
-10
-5
5
-4
∫
∫ (
)
∫
∫ (
)
-10
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
-5
Trang 10
5
-2
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần
2 Thơ
√
∫
(
√
(
∫
-10
)
∫
)
2
(
∫
-5
)
-2 1
4
√
√
∫
(
∫
(
)
∫
√
(
∫
)
√
-6
)
∫
(
∫
3
)
2
-4
-4
-2
2
1
∫
(
∫
)
∫
-8
(
∫
-6
)
-4
-1
-2
2
4
4
-1
2
-2
∫
∫
4
-2
√
(
)
∫
∫
(
√
)
-3
-10
-5
5
2
-4
-2
√
√
√
√
-4
∫
(
∫
√
)
∫
√
√
(
∫
)
-10
-5
5
√
-2
4
-4
∫ (
∫
)
∫
∫ (
)
∫
∫ (
2
)
6
-10
-5
5
4
-2
∫ (
∫
)
∫
∫ (
)
∫ (
∫
)
2
-4
p
D
∬
P
C(
ơ g
p(
)
-10
ến câu 30)
g
g
ờng thẳng AB: x + 2y –
-5
ẳ g
p
ể
5
(
) (
)
ộ
-2
10
g
2
ờng tròn: x2 + (y – 1)2 = 1
1
-6
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 11
-4
-2
2
-1
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
√
∫
∫
∬
∫
√
∫.
∫
D
*
∫
(
∫ .√
/
/
4
+
)
2
2
)
∫(
-10
-5
5
1
-2
√
∬
D
*
+
-6
-4
-2
2
-1
√
∫
-4
√
∫
)
√(
∫
√(
) |
-2
4
2
∬
(
)
D
*
+
-10
∫
∫
(
)
)
∫(
4
-5
(
5
)|
-2
2
-4
∬
D
*
+
4
-10
-5
3
∫
∫
∫ (
)
|
|
|
2
-2
1
∬
D
*
+
-8
-6
-4
-2
2
-4
-1
∫
∫
∫(
)
∫
-2
-3
∫
|
(
∫
)|
-4
∬
D
*
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
(
)
Trang 12
(
)
+
4
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
( )
D
∫
Đổ
(
ế
(
(
(
∫
)
)
)
)
∫(
∫
(
)
∫(
)
)|
∬
D
2
3
D
∫
Đổ
∫
∫
ế
4
∫
∫
∫
2
∬
D
2
3
-10
-5
5
-2
∫
∫
Đ
-4
∫
∫
∫
(
(
(
)
)
∫
∫
)|
(
(
)
)
4
∫
(
)
(
)|
∫
2
∬
√
D
*
-10
+
-5
5
-2
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 13
-4
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
∫
Đ
∫
√
ổ
√
∫
∫
ế
∫
∫√
∫
∫√
|
6∫ ( )g( )
∫(
7
)
ẳng th
( )
∫
√
|
√
∫
Bài t p ch ng minh b
∫
p
(
(
)|
ến 33)
∫ g ( )
Giải
∬( ( )g( )
p
∫
∫
( )g ( )
∫
( )
7
∫
( )
Giải: Do f(x) liên t
∫ ( )
∫
4∫
5
( )
5
∫
( )
(
)
*
D
( )g ( )
∫
4∫ ( )
∫ g( )
+
∫ ( )g( ) ( )g( )
∫
5
∫ g ( )
( )
ơ g
,
∫ .√ ( )/
(
4∫ ( )
∫
∫ g ( )
6∫ ( )g( )
∫ ( )
( )g( ))
∫
ơ g
,
-
-
.√ ( )/
:∫ .√ ( )/
.√ ( )/
;
)
(
)∫
( )
( )
,
-
Giải
4
4∫ ( )
5
4∫ ( )
5
∫
∫
( )
Tìm giá tr trung bình c a các hàm số sau (Bài t p
( )
g
D *
Giải: S là diện tích hình vuông c nh b ng 1
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
-10
Trang 14
(
)∫
ến 38)
+
-5
( )
2
5
-2
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
(
g
)
∬ (
)
∫
∫
4
2
g
D *
Giải: S là tam giác vuông diện tích S =12
+
-10
-5
5
10
-2
(
g
)
∬ (
)
∫ (
∫
)
-4
∫ (
∫
)
√
Giải: S là diện dích c
∫4
5
g
ờng tròn bán kính R, S =
√
(
g
)
∬ (
)
∫
√
∫
√
∫√
∫
(
) |
4
2
g
ệ
*
D
+
D
g
(
-10
)
g
∬ (
D
)
-5
∫
*
∫ (
5
)
∫(
-2
)
-4
+
Giải: Diện tích mi n D, S = 2
g
(
)
10
4
∬ (
)
∫
∫(
)
∫
2
4
Tính cách tích phân hai l p
∬4
5
(
ến bài 52)
D
2
-10
-5
-10
-2
-5
Giải
Đ
∫
5
-2
-4
∫(
)
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
∫(
)
∫
Trang 15
(
)|
-4
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
2
∬
√
Dg
1
Giải
Đ
-6
∫
∫
(
-4
-2
2
)|
4
-1
∬(
)
2
Dg
-2
Giải
-10
Đ
-5
5
-2
∫
∫
)
∫(
∫(
)
-4
(
)|
√
∬
D
√
g
ờ g
4
Giải
2
Đ
-10
∫
(
∫
-5
5
)|
-2
-4
∬
D
√
ếp
ộ
g
p
3
2
Giải
P ơ g
ờ g
(
)
√
∫
∫
√
∬√
∫
√
(
√
)
1
-6
√
∫ √
|
-4
-2
√
√
2
4
-1
D
*
+
-2
4
Giải
-3
2
Đ
-10
-5
5
-2
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 16
-4
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
∫
∫
∫(
∬
)
D
(
*
(
)
4
+
2
)
Giải
-10
∫
∫
∫
(
√
)
∫
√
-5
√
√
√
|
|
-2
3
√
2
∬
D
*
+
-4
1
Giải
-8
Đ
-6
-4
-2
2
4
6
8
-1
-2
∫
∫
∫
√
∫
-3
√
√
2
∬
Giải
D
Đ
(
√
D
)
8
9
i d u tích phân là hàm số chẵn và mi
-6
1
D ối x ng nên
-4
-2
2
-1
√
√
∫
∫
∫
∫
√
∫(
√
-2
)
∫
√
√
√
√
√
∫
√
Đ
(
)
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 17
4
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
∫
√
(
)(
∫ 6
(√
√
6
√
)
|
√
∫ 6
)
(√
√
|7 |
√
√
(
)
)
(√
)
(√
)
7
7
√
√
√
√
√
3
√
2
∬
D
√
{
√
√
√
}
1
Giải
√
∫
√
∫
√
-6
√
∫
√
√
-8
-4
∫
-2
2
-1
√
√
-2
√
√
√
-3
∫
∫
√
√
∫
√
∫
√
∫
√
∫
√
∫
√
√
√
√
√
∫
√
√
√
√
∫
∫
√
√
.
.
∫
/
∫
.
∬√
/
∫:
/|
|
.
.
D
/
/| |
;
|
*
+
Giải
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 18
4
2
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
1
Đ
-6
∫√
∫
-4
∫√
-2
2
4
√
Đ
-1
∫
(
∫
)
∫
√
∬
(
(
)
*
D
)
.
/
-2
-3
+
4
Giải
Đ
2
∫
∫
-10
∫
-5
5
10
-2
-4
4
5|
√
4
∫
∫√
√
5
√
4
∫√
√
4
5
∫
∫
√
5
√
3
∬√
(
ờ
)
(
)(
)
2
∬
ờ
4
5
1
Giải
Đ
√
6
√
∫
∫
√
4
2
)
∫ . √(
2
/
1
2
√
)
∫ √(
∫
3
√
4
∫(
√
√
)
5
4
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
√
(
)|
5
Trang 19
4
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
0.6
∬
ờ
Do hàm số
Đ
4
5
i d u tích phân là hàm chẵn và mi
0.4
0.2
D ối x ng nên
1.5
1
0.5
0.5
√
0.2
∫
∫
∫
64
5
7
0.4
0.6
4
5
4
5
4
5(
4
5:
4
5
∫
(
)
(
∫
)
)|
.
/
;
4
∬√
8
9
2
Giải
Đ
-10
∫
√
∫
-5
5
∫ √
-2
-4
ể
ộ ự
6
√
4
∫
(
∫
)
2
-10
-5
5
-2
∫
(
∫
)
-4
∫
∫
√
(
)
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 20
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
4
2
∫ ( )
∫
∫ ( )
-10
∫
√
. /
∫
∫
∫
√
-5
5
. /
-2
√
-4
∫
∫ (
∬ (
)
)
∫
D
(
)
8
4
9
2
Đ
-10
∫ (
∫
-5
5
10
-2
)
2
-4
1.5
∬ (
)
D
Đ
g
ờ g4
√
5
1
0.5
√
√
√ ∫
∫
(
)
√
4
3
2
1
1
2
0.5
∬ :√
gg
;
D
p
g
p
1
1.5
p
6
2
Đ
4
2
-10
∫ .√
∫
∫ .√
/
-5
/
5
10
-2
-4
ộ ự
ờ
ộ
3
√
∫
-6
-8
∫
(
)
2
Giải
-10
1
Đ
-6
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 21
-4
-2
2
-1
4
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
∫
∫
(
(
)
)|
∫
(
)
(
∫
)
∫
∫
3
(
)
(
)
2
)
∬(
D
*
+
1
Giải
Đ
-6
∫
)
∫(
-4
-2
∫4
2
5
4
3
-1
2
4
5|
∬ √
D
-2
*
1
+
-3
Giải
-6
-4
-2
2
4
Đ
-1
∫
∫
√
∫
|
|
∫
-2
-3
∫
(
)
∬
D
(
)|
{
(
√
√
)
4
}
Giải
2
Đ
-10
∫
∫
-5
5
∫
-2
∬
D
g
p
gg
Giải
p
-4
4
2
Đ
-10
-5
5
-2
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 22
-4
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
∫
∫
|
1.5
∬√
D
g
4
5
gg
√
p
1
Giải
Đ
√
√
√
√
√
4
√ √ ∫
0.5
√
∫
√
3
2
∫( √
1
1
)
0.5
1
∫
√
1.5
√
∫
(
)
√
√
√
Đ
√
(
(
√
ế
∫
√
√
∫
√
2
)
(
∫√
ổ
√
)
√
|
√
ế
∫ (
∫
)
)
) ế
Giải
Đ
2
Đổi c n
∫
2
(
)
(
)
∫ (
|
(
(
)
(
)
)| |
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
|
|
|
)
∫
∫ (
Trang 23
)
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
∫
∫ (
)
D
2
3 ế
4
Giải
3
Đ
2
{
|
|
|
|
2
Đổi c n
1
-8
-6
-4
-2
2
4
6
-1
Dg
-2
∫
∫ .
/
∫
∫
.
/
-3
∫
∫
.
/
∬
∫
∫
.
/
2
-4
3
Giải
√
Đ
8
{
√
|
√
∫
∫
√
|
√
| √
|
√
√
√
√
|
|
√
√
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 24
8
Bài tập giải tích cổ điển luyện thi cao học Đại Học Cần Thơ
Diện tích hình phẳng
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP
4
( )
∬
ệ
ẳ
2
Giải
∬
∫
∫
∫(
-10
)
-5
5
-2
BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU HÁNH (ĐH CẦN HƠ)
ệ
ẳ
(
Giải
Đ
-4
)
{
(
(
{
)
)
|
|
||
(
)
(
∫
∫
∫(
(
(
)
)
∫
)
(
(
)
∫
)
)
(
)
(
)
(
||
(
)
∫(
)
(
(
)
)|
| )
4
3
2
1
∬
∫
∫
∫(
)
-6
-4
-2
2
4
-1
4
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc
Trang 25
2
6
