hướng dẫn giải bài tập về tích phân đường tích phân mặt

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4
1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
a. Công thức:
TH1. Đường cong C có PT tham số: x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b
2

2

2

2

 dx   dy 
 dx   dy 
C f (x, y)ds  a f (x, y)  dt    dt  dt trong đó: ds   dt    dt  dt
b

TH2: Đường cong C có PT: y = y(x); a ≤ x ≤ b
b

2
 f (x, y)ds   f (x, y(x)) 1  y ' (x)dx
C

a

Ví dụ 1:Tính  (2  x 2 y)ds , trong đó C là nửa trên đường tròn đơn vị x2 + y2 = 1
C

Phương trình tham số của C là: x = cost, y = sint, 0  t   (do lấy nửa trên đường tròn)
Áp dụng công thức, ta được:



 (2  x y)ds   (2  cos
2

C

2

t sin t) sin 2 t  cos 2 tdt

0



  (2  cos 2 t sin t)dt  2 
0

2
3

Giờ ta giả sử C là đường cong trơn từng khúc, nghĩa là C gồm một số hữu hạn cung trơn
C1, C2, …, Cn, khi đó:

 f (x, y)ds   f (x, y)ds   f (x, y)ds  ...   f (x, y)ds
C

C1

C2

Cn

Ví dụ 2: Tính  2xds trong đó C gồm cung C1 của parabol y = x2 từ (0,0) tới (1,1) và
C

cung C2 là đoạn thẳng nối (1,1) tới (1,2).
Ta có:  2xds   2xds   2xds
C

C1

C2

Phương trình tham số của C1: x = x, y = x2, x [0,1]
1

Do đó:

2
 2xds   2x 1  4x dx 

C1

0

5 5 1
6
2

Với C2, ta coi y là tham số: x = 1, y=y, 1  y  2 , do vậy :

 2xds   2.1. 0  1dy  2
C2

Vậy ta có :  2xds 
C

1

5 5 1
2
6

b. Tích phân đường trong không gian:
Công thức
Giả sử C là đường cong trơn trong không gian có phương trình tham số:

x  x(t), y  y(t), z  z(t),a  t  b


2

2

2

 dx   dy   dz 
C f (x, y, z)ds  a f (x, y, z)  dt    dt    dt  dt
b

Ví dụ 1: Tính  y sin zds trong đó C là đường: x  cos t, y  sin t, z  t,0  t  2
C
2

2

Lời giải:  y sin zds   sin t.sin t. sin t  cos t  1dt  2  sin 2 tdt  2
2

C

2

0

0

Ví dụ 2: Tính  ydx  zdy  xdz trong đó C gồm đoạn thẳng C1 từ (2,0,0) tới (3,4,5) và
C

đoạn thẳng C2 từ (3,4,5) tới (3,4,0).
Lời giải:
Phương trình tham số của C1: x  2  t, y  4t, z  5t,0  t  1
1

Do đó :  ydx  zdy  xdz   (4t)dt  (5t)4dt  (2  t)5dt  24,5
C

0

C2: x  3, y  4, z  5  5t,0  t  1
1

Nên  ydx  zdy  xdz   15dt  15
C

0

Vậy:  ydx  zdy  xdz  24,5  15  9,5
C

c. Ứng dụng của tích phân đường loại 1:
Nếu khối lượng riêng tại M(x, y, z) của cung AB là (x,y,z) thì
+ Khối lượng của cung AB là:

m   (x, y, z)ds
AB

+ Toạ độ trọng tâm G: x G 

1
1
1
 x(M)ds, yG   y(M)ds, z G   z(M)ds
m AB
m AB
m AB

Chú ý: Nếu AB là đồng chất thì: x G 

1

 xds, yG 
AB

với

là độ dài cung AB:

1

 yds, z G 
AB

1

 zds;
AB

  ds
AB

2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2.
a. Công thức:
TH1: Đường cong AB có PT: y = y(x); x: a → b
b

 P(x, y)dx  Q(x, y)dy    P(x, y(x))  Q(x, y(x))y '(x)  dx
AB

a

TH2: Đường cong AB có PT tham số: x = x(t), y = y(t), t: α→β


 P(x, y)dx  Q(x, y)dy   P(x(t), y(t))x '(t)  Q(x(t), y(t))y '(t)  dt
AB




Ví dụ: Tính  y 2 dx  xdy trong đó:
C

(a) C = C1 là đoạn thẳng từ (-5,-3) tới (0,2)
(b) C = C2 là cung parabol x = 4-y2 từ (-5,-3) tới (0,2).
Lời giải :
(a) Phương trình tham số của đường thẳng là : x  5t  5, y  5t  3, 0  t  1
1

1

2
2
2
 y dx  xdy   (5t  3) (5dt)  (5t  5)(5dt)  5 (25t  25t  4)dt  

Do vậy :

C1

0

0

5
6

(b) Phương trình của parabol là: x  4  y , y  y, 3  y  2
2

2

2

 y dx  xdy   y (2y)dy  (4  y )dy   (2y

Vậy dx = -2ydy nên

2

2

2

3

C2

3

 y 2  4)dy  40

3

5
6

b. Công thức Green
Giả sử D là miền liên thông bị chặn với biên trơn từng khúc L (có thể gồm nhiều
đường cong kín rời nhau). Nếu các đạo hàm riêng cấp một của P(x, y) và Q(x, y) liên tục
trong D thì
 Q P 
  dxdy .
y 
D  x

 P(x, y)dx  Q(x, y)dy   
L

Ví dụ. Tính I =  [(x)  y 2 ]dx  [x  2xy  (y)]dx , trong đó L là đường tròn x2 + y2 = 2y,
L

còn (x) và (y) là các hàm khả tích bất kỳ xác định với x và y trong hình tròn đó.
P(x, y) = (x) + y2 

Ta có:

P

= 2y,
y

Q(x, y) = x + 2xy + (y) 

Q
= 1 + 2y.
x

 Q P 
  dxdy =  dxdy =  (diện tích hình tròn).
y 
D  x
D

AD công thức Green ta có I =  
3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1
a. Công thức:

Giả sử S = {(x, y, z): (x, y)  D, z = z(x, y)}.
2
2
 f (x, y, z)dS   f (x, y, z(x, y)) 1  z x ' (x, y)  z y ' (x, y)dxdy
S

D

Ví dụ. Tính I =  z 2 (x 2  y2 )dS với S là một phần tư mặt cầu
S

x2 + y2 + z2 = a2, x  0, y  0.
2

2

2

z
S1

2

Từ x + y + z = a ta có z.z’x = x, z.z’y = y
D
x

y
S2


a2
.
z2

 z 2 (z '2x  z '2y ) = x2 + y2  1  z '2x  z '2y =

Chia S thành hai phần là S1 và S2 tương ứng với z  0 và z < 0.
Trên S1 thì z =

a 2  x 2  y 2 , z2(x2 + y2) 1  z '2

 z '2
= a a 2  x 2  y 2 (x2 + y2);
x
y

dxdy

dS  1  z'2
 z'2
dxdy 
x
y

a 2  x 2  y2

Trên S2 thì z = – a 2  x 2  y 2 , z2(x2 + y2) 1  z '2x  z '2y = a a 2  x 2  y 2 (x2 + y2);
dxdy

dS  1  z'2
 z'2
dxdy 
x
y

a  x 2  y2
2

Vậy I1 =  z 2 (x 2  y2 )dS =  z 2 (x 2  y2 )dS = I2.
S1

S2

Chuyển sang toạ độ cực, D’ = {(r, ) : 0    /2, 0  r  a} 
/2

a

0

0

I = 2a  a 2  x 2  y2 (x 2  y2 )dxdy = 2a  d  a 2  r 2 r 3dr .
D

a

/2

0

0

Đặt r = asint, 0  t  /2   a 2  r 2 r 3dr = a5  sin 3 t cos 2 tdt =
 I = 2a

2 5
a
15

 2 5 2 6

a = a .
2 15
15

b. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1
a) Tính khối lượng của mặt cong
Nếu mặt S có khối lượng riêng tại M(x, y, z) là (x, y, z) thì khối lượng của mặt S là
m =  (x, y, z)dS .
S

Đặc biệt, diện tích của mặt S là  dS .
S

b) Trọng tâm của mặt
Các toạ độ trọng tâm G của mặt S có khối lượng riêng tại M là (M) được tính theo
công thức:
xG =

1
1
1
 x(M)dS , yG =  y(M)dS , zG =  z(M)dS , m =  (M)dS .
mS
mS
mS
S

Ví dụ 1. Tính diện tích phần của paraboloid z = x2 + y2 nằm phía dưới mặt phẳng z = 9.
Lời giải

Hình 3

Mặt phẳng giao với paraboloid theo đường tròn x2 + y2 = 9, z = 9. Do đó mặt phẳng
đã cho nằm trên đĩa D với tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 3. (Xem Hình 4.)
Do đó ta có
∬ √

(

)

(

(

∬ √

)

)

Chuyển sang tọa độ cực ta được
∫

∫ √

∫ √

∫

( ) (

)

|

(

)

√

Ví dụ 2: Xác định tọa độ trọng tâm của mặt paraboloid
)
khối lượng riêng (
.

, biết

√

Lời giải:
Hình chiếu D:
Khối lượng:
∬

∬

√

Gọi G là trọng tâm, ta có:
∬

∬

∬(
=…
Tương tự với xG, yG

√

√

√
)

√


4. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2.
a. Cách tính: I =  P(x, y, z)dydz  Q(x, y, z)dzdx  R(x, y, z)dxdy (1)
S

Xét tích phân  R(x, y, z)dxdy . Giả sử mặt S = {(x, y, z): (x, y)  D, z = f(x, y)}.
S

 R(x, y, z)dxdy =  R(x, y, f (x, y))dxdy nếu ( n , Oz) là góc nhọn
S

S

 R(x, y, z)dxdy = –  R(x, y, f (x, y))dxdy nếu ( n , Oz) là góc tù.
S

S

Các tích phân  P( x, y,z )dydz và  Q( x, y,z )dzdx cũng được tính tương tự.
S

S

Chú ý:
Tích phân (1) là thông lượng của trường vectơ F  P(x, y, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)k
qua mặt cong S.
Ví dụ 1: Tính I =  x dydz +  y dzdx +  z dxdy = Ix + Iy + Iz, với S là mặt phía ngoài
S

2

2

S

2

S

2

của mặt cầu x + y + z = R .

Lời giải

Dễ thấy rằng, Ix = Iy = Iz, do đó ta chỉ cần tính Iz.
Ta phân S thành hai phần, S1 ứng với z  0, còn S2 ứng với z < 0.
Cả hai phần đều có chung miền hình chiếu D = {(x, y): x2 + y2  R2}.
Trên S1 thì z =

R 2  x 2  y 2 và véc tơ pháp tuyến làm với trục Oz một góc nhọn nên

I1 =  R 2  x 2  y2 dxdy .
D

Trên S2 thì z = – R 2  x 2  y2 và véc tơ pháp tuyến làm với trục Oz một góc tù nên
I2 = –  ( R 2  x 2  y2 )dxdy = I1.
D

Chuyển sang toạ độ cực ta có
2

R

0

0

2
2
2
2
2

 R  x  y dxdy =  d  R  r rdr =

D

2
2
R3  I = 6 R3 = 4R3.
3
3


b. Công thức Ostrogradsky
Giả sử V là miền giới nội trong R3 với biên là mặt kín S trơn từng mảnh. Khi đó ta có công
thức Ostrogradsky, ở đây tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S

 (
V

P Q R


)dxdydz   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy
x y z
S



Ví dụ. Tính thông lượng  của F  xyi  y 2  e xz

2

 j  sin(xy)k qua biên S hướng ra ngoài của

vật thể V giới hạn bởi mặt trụ z = 1 – x2 và các mặt phẳng y = 0, z = 0, y + z = 2.
Tính trực tiếp  =  Fn dS rất phức tạp.

z

Sa

y=2–z

Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có
1

1x 2

2 z

1

0

0

 =  divF dxdydz   3y dxdydz  3  dx  dz  ydy =
V

V

y

2

=

3 1 1x
11 2
184
2
3
.
dx
(2

z)
dz



 [(x 1)  8]dx 
2 1
2 1
35
0

x

z = 1 – x2