Dai so chuong 5 toán cao cấp

Chƣơng 5.
DẠNG TOÀN PHƢƠNG
NỘI DUNG CHÍNH

5.1 – Trị riêng, vectơ riêng.

5.2 – Chéo hoá ma trận.
5.3 – Dạng toàn phƣơng.
5.4 – Đƣa dạng toàn phƣơng về dạng chính tắc


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
5.1. Trị riêng, vectơ riêng
5.1.1. Đa thức đặc trƣng
Định nghĩa 5.1.1. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta gọi đa thức
đặc trưng của ma trận A là đa thức
pA( )

det(A

I n ).

Ví dụ 5.1.1. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận
A

2

2

1

2

2

0 .

3

1

1

Giải. Ta có
2
pA( )

det(A

I 3)

2
2
3

1
0

2
1

1

3

5

2

7

8.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

Định lí 5.1.1. (Cayley – Hamilton) Mỗi ma trận vuông A là
nghiệm của đa thức đặc trưng của nó, tức là
pA(A)

0.

0 1 0
4 4 0 và

Ví dụ 5.1.2. Cho ma trận A

2 1 2
f (x )

x8

6x 7 12x 6

8x 5

Tính f (A). Tìm A 1 (nếu có).

x4

6x 3 12x 2

10x

1.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
Giải. Đa thức đặc trưng của A là
pA(x )

det(A

x
1
4 4 x

xI 3 )

2

1

0
0
2

x3

6x 2

12x

x

Thực hiện phép chia đa thức f (x ) cho đa thức pA(x ), ta được
f (x )

pA(x )(x 5

Theo Định lí 5.1.1, ta có pA(A)
f (A)

pA(A)(A5
0
2

A)

2A

x)

2x

1.

0. Do đó

1I 3

1 0

1 0 0

1

2 0

4 4 0

0 1 0

8 9 0 .

2 1 2

0 0 1

4 2 5

8.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

Để xét tính khả nghịch của A, ta thấy
A3

pA(A)

Suy ra

8I 3

Hay

I3

6A2

A3

6A2

12A

A(A2

6A

12I 3 )

12A+8I 3

A(A2
1
8

6A

(A2

6A

0.
12I 3 )
1
12I 3 ) A.
8

Vậy A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của A là
A

1 2
(A
8

1

A

1

12I 3 ).

1

1
4
0

0 .

1
2

1
4

1
2

1

Cuối cùng ta được

6A

0

 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

5.1.2. Giá trị riêng, vectơ riêng
Định nghĩa 5.1.2. Cho A là ma trận vuông cấp n. Các nghiệm
thực của đa thức đặc trưng pA( ) được gọi là giá trị riêng của ma trận
A.

Nếu

0

là một giá trị riêng của A thì det(A

phương trình tuyến tính thuần nhất
(A

có vô số nghiệm.

x1

0

xn

0

I )

0 n

I )

0 n

0. Do đó, hệ


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

Định nghĩa 5.1.3. Cho

0

là một giá trị riêng của A. Tập hợp tất

cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
(A

I )X

0,

0 n

được gọi là không gian con riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng
0

và được kí hiệu là E ( 0 ).

Định nghĩa 5.1.4. Cho

0

là một giá trị riêng của A. Các vectơ

khác không là nghiệm của hệ
(A

I )X

0 n

0,

được gọi là các vectơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng 0 .
Nói cách khác, tập các vectơ riêng của ma trận ứng với giá trị
riêng 0 . là E( 0 ) \ {0}.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

5.1.3. Phƣơng pháp tìm giá trị riêng, vectơ riêng
Bƣớc 1: Tìm đa thức đặc trưng pA( )
Bƣớc 2: Giải phương trình pA( )
Bƣớc 3: Đối với mỗi trị riêng

i

det(A

I n ).

0 để tìm các trị riêng

.

, tìm các vectơ riêng tương ứng

bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A

Ví dụ 5.1.3. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận
A

i

1 3
2 4

.

I )X

i n

0.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
Giải. Bƣớc 1: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A

pA( )

A

I2

1

3
2

2

4

Bƣớc 2: Giải phương trình đặc trưng pA( )
riêng

1

1,

2

3

2.

0 ta được 2 giá trị

2.

Bƣớc 3: Tìm các vectơ riêng
 Với

1

1 : Để tìm vectơ riêng ta giải hệ phương trình

(A

I2)

x
y

0


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
Hay

2x

3y

0,

2x

3y

0.

Nghiệm của hệ trên là : x

3a, y

2a, a

Không gian con riêng của A ứng với
E(1)

{(3a, 2a ) | a

Các vectơ riêng của A ứng với
x

1

1

1 là
}.

1 có dạng

(3a, 2a), với a

0.

1 và A có 1 vectơ riêng độc lập

Do đó, dim E(1)
tuyến tính ứng với

.

1

1 là u1

(3, 2).


 Với

 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
2 : Ta giải hệ phương trình

2

(A

2I 2 )

x

0

y

Nghiệm của hệ là : x

hay

b, y

b, b

3x

3y

0,

2x

2y

0.

.

Không gian con riêng của A ứng với trị riêng
E(2)

{(b, b) | b

Các vectơ riêng của A ứng với

2 là

}.

2 có dạng (b, b), với b

0.

1 và A có một vectơ riêng độc lập

Ta có dim E(2)
tuyến tính ứng với

2

2

2

2 là u2

(1,1).


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

Định lí 5.1.2. Nếu u1, u2,..., um lần lượt là m vectơ riêng ứng với
m trị riêng phân biệt

1, 2,..., m

(m

n) của ma trận vuông A cấp

n thì hệ vectơ {u1, u2,..., um } là độc lập tuyến tính.

Nói cách khác, các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của
A tạo thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

Chứng minh. Ta chứng minh hệ vectơ {u1, u2,..., um } độc lập tuyến
tính bằng quy nạp như sau:
Nếu m
u1

1 thì hệ gồm một vectơ {u1} độc lập tuyến tính vì

0.

Giả sử định lí đúng trong trường hợp m k 1. Ta sẽ chứng
minh nó cũng đúng trong trường hợp m k 1, nghĩa là hệ
{u1, u2,..., uk , uk 1} độc lập tuyến tính, trong đó ui là vectơ riêng ứng

với trị riêng i , i

1, k

1.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
Thật vậy, giả sử
k 1
i 1

i [ui ]

0,

Vì ui là vectơ riêng ứng với trị riêng
k 1
i 1

k 1
i A[ui ]

i 1

i

,i

1, k

1 nên

k
i i [ui ]

i 1

i i [ui ]

Mặt khác, nhân hai vế của đẳng thức

k 1 k 1[uk 1 ]

0. (*)

k 1
i 1

i [ui ]

0 cho

k 1

, ta

được
k 1
i 1

k
i k 1[ui ]

Từ (*) và (**) , suy ra

i 1

i k 1[ui ]

k 1 k 1[uk 1 ]

0.

(**)


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
k

(
i 1

i ) i [ui ]

k 1

0.

Theo giả thiết quy nạp, {u1, u2,..., uk } độc lập tuyến tính nên
(

k 1

i

)

0, i

i

Vì các trị riêng phân biệt, tức
Thay kết quả này vào lại đẳng thức

k 1

[uk

i [ui ]

]

0.

1, k

1,

k 1
1

]

0 nên

k 1

i

k 1
i 1

Vì vectơ [uk

1, k.

1

nên

i

0,

0 , ta được

0.

Vậy
i

0, i

điều này có nghĩa là hệ {u1, u2,..., uk , uk

1

} độc lập tuyến tính.

i

1, k.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

5.2. Chéo hóa ma trận
5.2.1. Ma trận vuông chéo hóa đƣợc
Định nghĩa 5.2.1. Ma trận vuông A cấp n được gọi là chéo hóa
được nếu tồn tại ma trận P vuông cấp n khả nghịch sao cho P 1AP
là ma trận chéo.
Khi đó, ma trận P được gọi là ma trận làm chéo hóa A hay ma
trận A được chéo hóa bởi ma trận P.
Câu hỏi đặt ra là những ma trận vuông nào là chéo hóa được, trong
trường hợp chéo hóa được thì tìm ma trận P như thế nào? Định lí sau
sẽ trả lời câu hỏi đó.


Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

Định lí 5.2.1. (Điều kiện chéo hóa được) Ma trận A Mn ( ) chéo
hóa được khi và chỉ khi A có đủ n vectơ riêng độc lập tuyến tính, tức

là
k
i 1

với

,...,

1

k

dim E ( i )

n,

là tất cả các giá trị riêng của A. Hơn nữa, ma trận P làm

chéo hóa A là ma trận có các cột là n vectơ riêng độc lập tuyến tính
của A.
Nói cách khác, các cột của P là các cơ sở của các không gian
con riêng của A.
Từ Định lí 5.2.1, suy ra phương pháp chéo hóa ma trận vuông A
như sau.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
Bƣớc 1: Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng độc lập tuyến tính
của A.
Bƣớc 2:

 Nếu tổng số các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n
thì A không chéo hóa được (tức là không tồn tại P
P

Mn ( ) để

1

AP là ma trận chéo).

 Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì
A chéo hóa được. Khi đó, ma trận P cần tìm là ma trận mà các cột
của nó chính là các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A viết theo cột
và

P

1

là ma trận chéo, trong đó

AP

i

1

0

...

0

0

2

...

0

0

0

...

n

là giá trị riêng của A ứng với vectơ riêng

là vectơ cột thứ i của ma trận P .


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
1 3

Ví dụ 5.2.1. Chéo hóa ma trận A

(nếu được).

2 4

Giải. Ma trận A có 2 giá trị riêng là

1,

1

2

2 và có 2 vectơ

riêng độc lập tuyến tính là
(3, 2) và

1

(1,1).

2

Do số các vectơ riêng bằng cấp của A nên A chéo hóa được. Ma
trận P cần tìm là P

3 1
2 1

. Khi đó, ta có

1

P AP

Nếu chọn P

1 3
1 2

1

thì P AP

1 0
0 2

.

2 0
0 1

.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

Ví dụ 5.2.2. Chéo hóa ma trận A

3 1
7 5

1
1 (nếu được).

6 6

2

Giải. Đa thức đặc trưng của A là
3
A

I3

1
7
6

Các trị riêng của A là
5.2.1, dim E(4) 1.

1
1

5
6

2)2(4

(

2
2 (bội 2),

4 (bội 1). Theo Định lí

Tiếp theo, ta giải hệ phương trình (A 2I 3 )X
Biến đổi ma trận mở rộng

).

0 để tìm E( 2).


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

X

(t, t, 0) t(1,1, 0), t

.

Do đó, một cơ sở của E( 2) là {(1,1, 0)} và dim E( 2) 1.
1 1

10

7 7

10

6 6

0 0

d2 d2 7d1
d3 d3 6d1

1 1

10

0 0 6 0
0 0 6 0

1 1
d3 d3 d2

10

0 0 6 0
0 0 0 0

Tổng số chiều của E( 2) và E(4) là 2 n 3 nên A không chéo
hóa được.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

5.2.2. Chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao

Định nghĩa 5.2.2. Ma trận vuông P cấp n được gọi là ma trận
trực giao nếu P khả nghịch và PT

P 1. Khi đó, PT P

PPT

In .

Định lí 5.2.2. Ma trận vuông P cấp n là ma trận trực giao khi và
chỉ khi các cột của P lập thành một hệ vectơ trực chuẩn với tích vô
hướng trên

n

.

Tiếp theo chúng ta nghiên cứu vấn đề chéo hóa ma trận trong
trường hợp A là ma trận đối xứng và ma trận làm chéo hóa A là ma
trận trực giao P.
Ta biết rằng không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được,
tuy nhiên đối với ma trận đối xứng chúng ta có kết quả sau.


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

Định lí 5.2.3. Ma trận vuông A là ma trận đối xứng khi và chỉ khi
tồn tại một ma trận trực giao P làm chéo hóa A.
Định lí 5.2.4. Cho A là ma trận đối xứng. Khi đó, các vectơ riêng
thuộc những không gian riêng khác nhau sẽ trực giao theo tích vô

hướng Euclide trong

n

.

Chứng minh. Giả sử ,

là hai giá trị riêng phân biệt của ma trận

A và

v

(v1, v1,..., vn ) E( ), w

(w1, w1,..., wn ) E( ).

Khi đó, ta có
Av

v, Aw

w


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng

và
v, w

v1w1

v2w2

... vnwn

[v ]t [w ].

0. Thật vậy, do A là ma trận đối xứng

Ta sẽ chứng minh v, w
nên
v, w

v, w

[Av ]t [w ]

Av, w

[v ]t At [w ]

[v ]t A[w ]

v, w

v, w .

Do đó

) v, w

(

vì

nên suy ra v, w

0.

0,

v, Aw


 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
Nhận xét 5.2.1. 1) Trong Định lí 5.2.3, ma trận P có thể chọn là
ma trận có các cột là hệ vectơ trực chuẩn các vectơ riêng của A thu
được bằng cách trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ các vectơ riêng độc
lập tuyến tính của A.
2) Theo Định lí 5.2.4, ta chỉ cần áp dụng quá trình trực chuẩn hóa
Gram-Schmidt vào mỗi cơ sở của các không gian con riêng của A để
được một cơ sở trực chuẩn cho mỗi không gian riêng

Ví dụ 5.2.3. Tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận đối
xứng
A

4 2 2
2 4 2 .

2 2 4