CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG
PHƯƠNG PHÁP THÊM ĐIỂM
Nội dung phương pháp : Khi chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng , khi đã biết
mối quan hệ nào đó của C,D,E . Ví dụ như C là trung điểm của DE chẳng hạn , ta
sẽ thêm một điểm C’ là giao của AB với một đường DE đã chứa điểm C . Ta sẽ
tìm cách chứng minh C’ cũng là trung điểm của DE , tức là C’ trùng với C. Đó là
điều phải chứng minh , phương pháp thêm điểm là như vậy . Dưới đây là hình
minh họa và các ví dụ để các em tiện theo dõi nhé .
BÀI TOÁN MINH HỌA :
Bài 1:
Cho tam giác ABC, về phía tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân tại A.
Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng ba
điểm M,A,H thẳng hàng.
Lời giải:
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 1
Vẽ EK AH tại K, DN AH tại N, AH cắt DE tại M
900 ) và tam giac NDA ( DNA
900 ) có:
Xét tam giác HAB ( AHB
AB = AD ( tam giác ABC vuông cân tại A)
NDA
( cùng với góc DAN)
BAH
Do đó HAB NDA ( cạnh huyền – góc nhọn)
Tương tự KAE HCA ( cạnh huyền – góc nhọn) KE AH
Ta có DN = KE = AH
KE AH , DN AH KE // DN
/ KEM
/ , DN KE , DNM
/ EKM
/
Xét tam giác M / DN và tam giác M / EK có : NDM
Do đó M / DN M / EK ( g.c.g ) M / D M / E
M là trung điểm của DE nên M/ = M
Vậy ba điểm M,A,H thẳng hàng.
Bài 2:
Cho tam giác ABC,đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở D, E.
Trên các đoạn thẳng BC, DE lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BC = 3BM, DE = 3DN.
Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Lời giải:
Gọi N/ là giao điểm của AM và DE
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 2
Xét tam giác ABC có DE // BC (gt)
Xét tam giác ABM có DN/ // BC
DE AD
BC AB
DN / AD
BM
AB
Do đó:
DE DN
DE DN /
, mà BC = 3BM (gt), DE = 3 DN (gt)
BC BM
BC BM
Nên có
DN / DN
N N/
BM
BM
Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Bài 3:
Cho hai đường tròn (O;R) và (O/;R) tiếp xúc ngoài nhau tại A. BC, DE là các tiếp tuyến chung
ngoài của hai đường tròn (O) và (O/) (B, D (O) ; E (O / )) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BC và DE.
Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Lời giải:
Gọi M / , N / lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn (O) và (O/)
với BC, DE.
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 3
Ta có M / C M / A, M / A M / B ( Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau )
M /C M / B
Do đó M / M . Tương tự N / N
Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 4:
Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF (E nằm giữa A
). Vẽ đường thẳng qua E vuông s BC góc với OB cắt BC tại M, BF tại N.
và F, B
AF FAC
Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm F, M, I thẳng hàng.
Lời giải:
Vẽ OK EF tại K => K là trung điểm của EF.
ABO
AKO
ACO 900
A, B, K , C , O cùng thuộc một đường tròn.
MCK
BAK
MEK
Mà AB OB, EN OB AB / / EN BAK
MEK
( BAK
)
Ta có MCK
tứ giác EMKC nội tiếp
EKM
ECM
EFB
, nên EKM
EFB
MK // BN
Mà ECM
Tam giác EFN có KM // NF, EK = KF => EM = MN
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 4
Gọi I/ là giao điểm của FM và AB
EM MN FM
/
/
/
/
AI I B . Vậy I = I
AI /
I B FI /
Do đó: F, M, I thẳng hàng.
Bài 5:
Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD, CE. Gọi M là
giao điểm của các tiếp tuyến vẽ từ B, từ C của đường tròn (O), N là trung điểm của đoạn thẳng
DE.
Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng.
Lời giải:
Qua M vẽ đường thẳng song song với DE cắt AB, AC lần lượt ở K, S.
BDC
900
Gọi Cx là tia đối của tia CM. Ta có BEC
Tứ giác BEDC nội tiếp
ADE
ABC ,
AED
ACB
,
( đồng vị và DE // KS)
ADE MSC
AED BKM
Mà
Ta có
ACx
ABC ( hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 5
( đối đỉnh )
ACx MCS
MSC
Do đó MCS
MCS cân tại M
MC = MS
Tương tự MB = MK
Mà MB = MC ( MB, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Do đó MK = MS
Gọi M/ là giao điểm của AN và KS
AKM / có EN // KM/
EN
AN
/
KM
AM /
AM / S có ND // M/S
ND
AN
/
SM
AM /
Nên
EN
ND AN
/
KM
SM / AM /
Mà EN = ND, do đó KM/ = SM/. Ta có M/ = M
Vậy A, M, N thẳng hàng.
Bài 6:
Cho tam giác nhọn ABC nọi tiếp đường tròn (O;R). AD, BE là các đường cao của tam giác
ABC. Các tiếp tuyến tại A, B của (O) ắt nhau ở M, N là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng ba điểm M, N, C thẳng hàng.
Lời giải:
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 6
Qua M vẽ đương thẳng song song với DE cắt BC, AC lần lượt ở K, I.
Gọi Bx là tia đối của tia BM
AEB
ADB 900
Tứ giác ABDE nội tiếp
BAE
CDE
BKM
(KI //AB)
CDE
CBx
, CBx
MBK
BAC
MBK
Do đó BKM
MKB cân tại M => MB = MK
Tương tự MA = MI mà MA = MB
Do vậy MI = MK (1)
Gọi N/ là giao điểm của CM và DE
Tam giác CMI có N/E // MI
N / E CN /
(2)
MI
CM
Tam giác CKM có N/D // KM
N / D CN /
(3)
MK
CM
Từ (1), (2), (3) có N/ E // N/D
Do đó N/ = N
Vậy ba điểm M, N, C thẳng hàng.
Bài 7:
Cho đường tròn (O;R) , A là điểm nằm trên đường tròn (O), H là điểm ở bên trong đường tròn
(O) sao cho AH = R 2 . Đường thẳng vuông góc với AH tại H cắt đường tròn (O) tại B, C.
Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt ở D, E ( khác A).
Chứng minh rằng D, E, O thẳng hàng.
Lời giải:
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 7
Xét đường tròn đường kính AH có
AEH 900 ,
ADE
AHE
Mà
AHE C ( cung phụ với góc EHC) do đó
ADE C
1
AOB và OA = OB (= R)
Mặt khác C
2
tam giác OAB cân tại O
1
DAO
AOB 900
2
Nên DAO
ADE 900 AO DE (1)
Vẽ AK DE tại K
Xét tam giác AED và tam giác ABC có:
( chung ),
ADE
ACB
EAD
Do đó EAD ABC ( g.g )
Bán kính đường tròn (AED) là
R 2
2
Bán kính đường tròn (ABC) là R.
Nên ta có
AK 2
. Mà AH R 2( gt ) AK R (2)
AH R
Từ (1) và (2) ta có K = O
Vậy D, E, O thẳng hàng.
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 8
Bài 8:
Cho tam giác ABC ( AB > AC) nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
BD = AC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại H. Tia phân giác góc BAC cắt
đường tròn (O) tại E và cắt DH tại F ( E khác A). Gọi M là trung điểm củ AD. Tia CF cắt đường
tròn (O) tại N. Chứng minh rằng :
a) E, D, N thẳng hàng.
b) C, M, N thẳng hàng.
Lời giải:
a) Ta có:
ADF
ABC (đồng vị và DH // BC)
mà
ANF
ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó:
ADF
ANF => Tứ giác AFDN nội tiếp
FAD
FND
FAD
(AE là tia phân giác của góc BAC)
Mà CAE
CNE
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)
Và CAE
CNE
Hai tia ND, NE trùng nhau
Do đó: FND
Vậy ba điểm E, D, N thẳng hàng.
b) Gọi K là giao điểm của CN và AB
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 9
Tam giác ACK có AF là đường phân giác
Tam giác KBC có DF // BC
KF AK
(1)
CF AC
KF KD
( định lý Talét) (2)
CF BD
Mà AC = BD (gt)
Từ (1), (2) và (3) có AK = KN => K là trung điểm của AD nên K = M.
Vậy C, M, N thẳng hàng.
Bài 9:
Cho tam giác ABC (AB < BC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm trên cạnh BC sao cho
MC = AB. Vẽ đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại N, cắt tia phân giác của góc
ABC tại I. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh rằng ba điểm A, I, K thẳng
hàng.
Lời giải:
Gọi T là giao điểm của AI và BC.
Tam giác TAC có MI // AC
TI TM
(1)
AI MC
Tam giác BAT có BI là đường phân giác (gt)
TI BT
(2)
AI AB
Mà MC = AB (3)
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 10
Từ (1), (2) và (3) ta có BT = TM => T là trung điểm của BM nêm T = K
Vậy ba điểm A, I, K thẳng hàng.
Bài 10:
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Một đường thẳng song song với BC cắt AB,
AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng.
Lời giải:
Gọi K là giao điểm của AM và DE, N là giao điểm của OM và DE
Tam giác ABM có DN // BM
AN
DN
AM BM
Tam giác ACM có NE // MC
AN
NE
AM MC
Mà BM = MC. Do đó DN = NE => N là trung điểm của DE.
Mặt khác xét tam giác OMC có DK // MC
Tam giác OBM có KE // BM
DK OK
MC OM
KE
OK
BM OM
Do đó DK = KE => K là trung điểm của DE. Do vậy N = K
Ta có A, N, O, M thẳng hàng.
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 11
Bài 11:
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn (O) đường kính
AB và các tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By
theo thứ tự tại C và D. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Gọi E là trung điểm của MH.
Chứng minh rằng ba điểm B, E, C thẳng hàng.
Lời giải:
Gọi K là giao điểm của MH và BC
CA, CM là các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)
CA = CM, CO là tia phân giác góc ACM.
Tam giác CAM cân tại C, CO là đường phân giác nên cũng là đường cao CO AM
Tam giác MAB nội tiếp đường tròn đường kính AB
MAB vuông tại M.
Ta có: CO AM , BM AM CO // BM.
Xét tam giác HBM và tam giác AOC có:
OAC
900 , MBH
COA
(OC // BM)
BHM
Do đó: HBM AOC ( g.g )
MH BH
AC
OA
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 12
Tam giác ABC có AC // KH (AC AB, KH AB)
AB = 2OA nên
KH BH
AC
AB
KH
BH
MH
MH
KH
nên K là trung điểm của MH
AC 2OA 2 AC
2
Ta có K = E. vậy ba điểm B, E, C thẳng hàng.
Bài 12:
Cho đường tròn…tâm O. Từ 1 điểm P nằm ngoài …, ta kẻ đến … hai tiếp tuyến PA và PB.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường kính BC. M là trung điểm AH.
Chứng minh rằng ba điểm P, C, M thẳng hàng.
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng CA và BP.
P/ là giao điểm của hai đường thẳng CM và BI.
Như vậy, để chứng minh ba điểm P, C, M thẳng hàng, ta chỉ việc chứng minh P = P/.
900
Thật vậy, ta có: BAC
900
Suy ra: BAI
900
Tam giác BAI vuông tại A, nên:
AIB
ABI BAI
PAI
AIB
ABI BAP
(vì tam giác PAB cân tại P)
AIB PAI
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 13
Suy ra AP = PI
Mặt khác: AP = PB, nên PI = PB
Như vậy: P là trung điểm BI (1)
Lúc này ta cần chứng minh P/ cũng là trung điểm BI.
Thật vậy, ta có:
AM CM MH CM
AM MH
, /
/ /
/
CP P B CP
PI
PI
PB
Mặt khác: AM = MH, do đó : P/I = P/B
Như vậy, P/ là trung điểm BI (2)
Từ (1) và (2) ta nhận được P = P/
Kết luận: ba điểm P, C, M thẳng hàng.
Bài 13:
Cho đường tròn (O;R), điểm A ở ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai
tiếp điểm) và cát tuyến AMN ( AM < AN). Vẽ dây BD của đường tròn (O) và BD song song với
MN. Gọi I là tring điểm của MN. Chứng minh rằng C, I, D thẳng hàng.
Lời giải:
Cách 1:
I là trung điểm của MN OI MN . Ta có
ABO
AIO
ACO 900
B, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA
A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 14
AIB
ACB
BIA
Ta có BD // MN (gt) IBD
Và OI MN , BD // MN
OI BD
OI đi qua trung điểm của BD
Do đó OI là đường trung trực của đoạn thẳng BD
tam giác IBD cân tại I
IBD
IDB
BCA
, do vậy BDI
BDC
Mà BDC
Hai tia DI, DC trùng nhau.
Vậy C, I, D thẳng hàng.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 14 :
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn
(O) vẽ nửa đường tròn (I) đường kính OA. C là điểm trên nửa đường tròn (I). Tia OC cắt nửa
đường tròn (I) ở D. Đường thẳng qua D vuông góc với AB cắt AC tại E. Đường tròn ngoại tiếp
tam giác ODE cắt nửa đường tròn (O) ở M (M khác D). Chứng minh rằng A, E, M thẳng hàng.
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 15
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn
Page 16