CHUYÊN ĐỀ : CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG(ÔN THI THPT)

Vấn đề 1. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:
1. Chứng minh các góc đối đỉnh:
Chú ý: Để chứng minh hai góc là đối đỉnh, ta cần chứng minh chúng:
• có chung đỉnh;
• có số đo bằng nhau;
• có một cặp cạnh là hai tia đối nhau; hai cạnh còn lại nằm khác phía nhau đối với
đường thẳng chứa hai cạnh kia.
Ví dụ 1. Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy điểm M tuỳ ý. Gọi A', B', C' lần lượt
là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: A', B', C' thẳng hàng.
(Đường thẳng Simson)
Chứng minh:
Giả sử M thuộc cung AC (các trường hợp khác tương tự).
Tứ giác ABCM nội tiếp (ABC) nên
·
·
0
ABC AMC 180+ =
.
Tứ giác BA'MC' nội tiếp (vì
µ
µ
0
A' C' 180+ =
) nên:
·
·
0
ABC A'MC' 180+ =
Từ đó:
·

·
AMC A'MC'=
⇒
·
·
AMC' A'MC=
và trong hai điểm A', C' có một điểm nằm
trên cạnh và một điểm nằm ngoài cạnh ∆ABC. (1)
Tứ giác MCA'B' nội tiếp đường tròn đường kính MC (vì
·
·
CA'M CB'M=
), nên:
·
·
A'MC A'B'C=
(góc nội tiếp cùng chắn cung A'C) (2)
Tứ giác AB'MC' nội tiếp (vì
·
·
0
AC'M AB'M 180+ =
), nên:
·
·
AMC' AB'C'=
(góc nội tiếp cùng chắn cung AC') (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
·
·

AB'C' A'B'C=
và do đó chúng là hai góc đối đỉnh ⇒ A',
B', C' thẳng hàng (đpcm).
2. Chứng minh tổng các góc bằng 180
0
:
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD. Trên CD, lấy điểm M tuỳ ý. Đường tròn đường
kính BM cắt đường tròn đường kính CD tại N và cắt AB tại E. Chứng minh rằng: D,
N, E thẳng hàng.
3. Sử dụng tiên đề Euclide:
Chú ý: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta chứng minh AB, AC cùng song song
với một đường thẳng khác.
Ví dụ 3. Cho ∆ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các phân giác của các góc A, B,
C cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại D, E, F.
a) Chứng minh rằng: ∆BDI là tam giác cân.
b) Gọi P là giao điểm của AB và DF, Q là giao điểm của của AC và DE. Chứng
minh rằng: P, I, Q thằng hàng.
4. Áp dụng định lí Menélaus:
Vấn đề 1. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG 1
A
B
C
M
A'
C'
B'
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10 - MÔN TOÁN
Chú ý: (Định lí Menélaus)
Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC, lần lượt lấy các
điểm P, Q, R. Khi đó:

P, Q, R thẳng hàng ⇔
PB QC RA
. . 1
PC QA RB
=
.
Ví dụ 4. Các đường thẳng AA
1
, BB
1
, CC
1
cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: Ba giao
điểm của ba cặp đường thẳng AB và A
1
B
1
, BC và B
1
C
1
, CA và C
1
A
1
thẳng hàng.
II. BÀI TẬP:
Bài 1. Cho ∆ABC vuông tại A. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABHK,
ACDE.
a) Chứng minh rằng: H, A, D thẳng hàng.

b) Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại F. Chứng minh rằng:
∆FBC là tam giác vuông cân.
c) Giả sử
·
0
ABC 45>
. Gọi M là giao điểm của FB và ED. Chứng minh rằng: B,
K, E, M, C cùng ở trên một đường tròn.
d) Chứng minh rằng: MC là tiếp tuyến của đường tròn (ABC).
Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến di động
quanh A cắt (O), (O') tại P, Q. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AP, AQ.
a) Chứng minh rằng: Đường trung trực của IJ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Đường vuông góc với PQ tại P và Q cắt (O), (O') tại N, M. Chứng minh
rằng: N, B, M thẳng hàng.
Bài 3. Cho ∆ABC vuông tại A, có AB = 15cm, BC = 25cm. Đường tròn (O) đường
kính AB cắt đường tròn (O') đường kính AC ở D (khác A). Gọi M là điểm chính giữa
của cung CD; N là giao điểm của tia AM và (O).
a) Tính độ dài AC, AD.
b) Chứng minh rằng: O, N, O' thẳng hàng.
c) Gọi I là trung điểm MN. Chứng minh rằng: IO ⊥ IO'.
Vấn đề 1. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG 2